ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዋናዎቹ ዘዴዎች፡- እኩልታዎችን ወደ ቀላሉ መቀነስ (ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን በመጠቀም)፣ አዳዲስ ተለዋዋጮችን ማስተዋወቅ እና ፋክተሪንግ ናቸው። አጠቃቀማቸውን በምሳሌዎች እንመልከታቸው። ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች የመፍትሄ ሃሳቦችን ለመጻፍ ቅርጸት ትኩረት ይስጡ.
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት አስፈላጊው ሁኔታ የትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች እውቀት ነው (የሥራ 6 ርዕስ 13)።
ምሳሌዎች።
1. እኩልታዎች ወደ ቀላሉ ይቀንሳሉ.
1) እኩልታውን ይፍቱ
መፍትሄ፡-
መልስ፡-
2) የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ
(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, የክፍሉ ንብረት.
መፍትሄ፡-
መልስ፡-
2. ወደ አራት ማዕዘን የሚቀንሱ እኩልታዎች.
1) ቀመር 2 ኃጢአት 2 x - cosx -1 = 0 ን ይፍቱ።
መፍትሄ፡-ቀመሩን sin 2 x = 1 - cos 2 x በመጠቀም እናገኛለን
መልስ፡-
2) ቀመር cos 2x = 1 + 4 cosx ይፍቱ።
መፍትሄ፡-ቀመር cos 2x = 2 cos 2 x - 1 በመጠቀም እናገኛለን
መልስ፡-
3) ቀመር tgx - 2ctgx + 1 = 0 ይፍቱ
መፍትሄ፡-
መልስ፡-
3. ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች
1) እኩልታውን 2sinx - 3cosx = 0 ይፍቱ
መፍትሄው፡- ኮስክስ = 0፣ ከዚያም 2sinx = 0 እና six = 0 - ከሀጢአት 2 x + cos 2 x = 1 ጋር የሚጋጭ ነው። እናገኛለን
መልስ፡-
2) ቀመር 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x ይፍቱ
መፍትሄ፡-
ቀመሮችን እንጠቀማለን 1 = sin 2 x + cos 2 x እና sin 2x = 2 sinxcosx , እናገኛለን
ኃጢአት 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
ኃጢአት 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Cosx = 0 እንበል፣ ከዚያም ኃጢአት 2 x = 0 እና six = 0 - ከኃጢአት 2 x + cos 2 x = 1 ጋር የሚጋጭ ነው።
ይህ ማለት cosx ≠ 0 ነው እና እኩልታውን በ cos 2 x መክፈል እንችላለን .
እናገኛለን
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = yን እንጥቀስ
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ሀ) tgx = 4, x= arctan4 + 2 ክ, ክ
ለ) tgx = 2፣ x= arctan2 + 2 ክ, ክ .
መልስ፡- arcg4 + 2 ክ፣ arctan2 + 2 ኬ፣ ኪ
4. የቅጹ እኩልታዎች ሀ six + ለ cosx = ኤስ, ኤስ≠ 0.
1) እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ፡-
መልስ፡-
5. በፋክተሪንግ የተፈቱ እኩልታዎች.
1) እኩልታውን sin2x - six = 0 ይፍቱ።
የእኩልታ ሥር ረ (X) = φ ( X) እንደ ቁጥር 0 ብቻ ሊያገለግል ይችላል። ይህን እንፈትሽ፡-
cos 0 = 0 + 1 - እኩልነት እውነት ነው.
የዚህ እኩልታ ሥር ቁጥር 0 ብቻ ነው።
መልስ፡- 0.
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች.የትሪግኖሜትሪክ እኩልታን መፍታት ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው- የእኩልታ ለውጥበጣም ቀላል ለማግኘትዓይነት (ከላይ ይመልከቱ) እና መፍትሄየተገኘው በጣም ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ.ሰባት ናቸው። ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች.
1. የአልጀብራ ዘዴ.
(ተለዋዋጭ የመተካት እና የመተካት ዘዴ).
2. ማምረቻ.
ምሳሌ 1. እኩልታውን ይፍቱ፡-ኃጢአት x+ኮስ x = 1 .
መፍትሄ ሁሉንም የእኩልታ ውሎችን ወደ ግራ እናንቀሳቅስ።
ኃጢአት x+ኮስ x – 1 = 0 ,
አገላለጹን እንለውጥ እና ወደ ውስጥ እንጨምር
የእኩልታው ግራ ጎን፡
ምሳሌ 2. እኩልታውን ይፍቱ፡- cos 2 x+ ኃጢአት x cos x = 1.
መፍትሄ፡- cos 2 x+ ኃጢአት x cos x– ኃጢአት 2 x- ኮስ 2 x = 0 ,
ኃጢአት x cos x– ኃጢአት 2 x = 0 ,
ኃጢአት x· (ኮስ x– ኃጢአት x ) = 0 ,
ምሳሌ 3. እኩልታውን ይፍቱ፡- cos 2 x- 8 x+ 6 x = 1.
መፍትሄ፡- cos 2 x+ 6 x= 1 + ኮስ 8 x,
2 ኮስ 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,
ኮ 4 x · (ኮስ 2 x- ኮስ 4 x) = 0 ,
ኮ 4 x · 2 ኃጢአት 3 xኃጢአት x = 0 ,
1) cos 4 x= 0, 2). ኃጢአት 3 x= 0, 3). ኃጢአት x = 0 ,
3. መቀነስ ወደ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ.እኩልታው ተብሎ ይጠራል ተመሳሳይነት ያለው ከ በተመለከተ ኃጢአትእና cos , ከሆነ ሁሉንም አንጻራዊ ተመሳሳይ ዲግሪ ውሎች ኃጢአትእና cosተመሳሳይ ማዕዘን. ተመሳሳይ እኩልታ ለመፍታት የሚከተሉትን ያስፈልግዎታል ሀ) ሁሉንም አባላቱን ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ; ለ) ሁሉንም የተለመዱ ምክንያቶች ከቅንፍ ውስጥ ማስቀመጥ; ቪ) ሁሉንም ምክንያቶች እና ቅንፎች ከዜሮ ጋር ማመሳሰል; ጂ) ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ቅንፎች አነስተኛ ዲግሪ ያለው ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ፣ እሱም መከፋፈል አለበት። cos(ወይም ኃጢአት) በከፍተኛ ዲግሪ; መ) የተገኘውን የአልጀብራ እኩልታ መፍታትታን . ኃጢአት 2 x+ 4 ኃጢአት x cos x+ 5ኮስ 2 x = 2. መፍትሄ፡ 3ሲን 2 x+ 4 ኃጢአት x cos x+ 5 ኮስ 2 x= 2ሲን 2 x+ 2 ቆስ 2 x , ኃጢአት 2 x+ 4 ኃጢአት x cos x+ 3 ኮስ 2 x = 0 , ታን 2 x+ 4 ታን x + 3 = 0 , ከዚህ y 2 + 4y +3 = 0 , የዚህ እኩልታ መነሻዎች፡-y 1 = - 1, y 2 = - 3፣ ስለዚህ 1) ታን x= -1, 2) ታን x = –3, |
4. ወደ ግማሽ ማዕዘን ሽግግር.
ይህንን ዘዴ ምሳሌ በመጠቀም እንመልከተው-
ለምሳሌ እኩልታ መፍታት፡ 3ኃጢአት x- 5 ኮ x = 7.
መፍትሄ: 6 ኃጢአት x/2)ኮስ ( x/ 2) - 5 cos² ( x/ 2) + 5 ኃጢአት² ( x/ 2) =
7 ኃጢአት² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 ኃጢአት² ( x 2) - 6 ኃጢአት x/2)ኮስ ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan²( x/ 2) - 3 ታን ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. የረዳት አንግል መግቢያ.
የቅጹን እኩልነት ግምት ውስጥ ያስገቡ:
ሀኃጢአት x + ለ cos x = ሐ ,
የት ሀ, ለ, ሐ- ጥምርታዎች;x- ያልታወቀ.
አሁን የእኩልታው ቅንጅቶች ሳይን እና ኮሳይን ባህሪያት አሏቸው። ማለትምየእያንዳንዳቸው ሞጁሎች (ፍፁም ዋጋ) ከእነዚህ ውስጥ ከ 1 አይበልጥም. እና የካሬዎቻቸው ድምር 1 ነው።. ከዚያ ማመላከት እንችላለን በዚሁ መሰረት እንዴት cos እና ኃጢአት (እዚህ - የሚባሉት ረዳት አንግል), እናየእኛን እኩልነት ይውሰዱ
ርዕሰ ጉዳይ፡-"ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች"
የትምህርት ዓላማዎች፡-
ትምህርታዊ፡-
በትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች መካከል ያለውን ልዩነት ለመለየት ክህሎቶችን ማዳበር;
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎችን በጥልቀት መረዳት;
ትምህርታዊ፡-
በትምህርት ሂደት ውስጥ የግንዛቤ ፍላጎትን ማዳበር;
የተሰጠውን ተግባር የመተንተን ችሎታ መፈጠር;
በማደግ ላይ
ሁኔታን የመተንተን ክህሎትን ለማዳበር እና ከዚያ በጣም ምክንያታዊ የሆነውን መንገድ ለመምረጥ።
መሳሪያ፡ፖስተር ከመሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች፣ ኮምፒውተር፣ ፕሮጀክተር፣ ስክሪን ጋር።
ማንኛውንም እኩልነት ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴን በመድገም ትምህርቱን እንጀምር: ወደ መደበኛ ቅፅ በመቀነስ. በትራንስፎርሜሽን፣ መስመራዊ እኩልታዎች ወደ ቅፅ መጥረቢያ = b ይቀነሳሉ፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች ወደ ቅጹ ይቀንሳሉ መጥረቢያ 2 +bx +ሐ =0በትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ውስጥ, በቀላሉ ሊፈታ የሚችል, ወደ ቀላል, ቅጹ: six = a, cosx = a, tgx = a, መቀነስ አስፈላጊ ነው.
በመጀመሪያ ደረጃ, በእርግጥ, ለዚህ በፖስተር ላይ የቀረቡትን መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን መጠቀም አለብዎት: የመደመር ቀመሮች, ባለ ሁለት ማዕዘን ቀመሮች, የእኩልታውን ብዜት መቀነስ. እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈታ አስቀድመን አውቀናል. ጥቂቶቹን እንድገማቸው፡-
በተመሳሳይ ጊዜ, መፍትሔው አንዳንድ ልዩ ቴክኒኮችን ማወቅ የሚፈልግ እኩልታዎች አሉ.
የትምህርታችን ርዕስ እነዚህን ቴክኒኮች ግምት ውስጥ ማስገባት እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎችን ማደራጀት ነው።
ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች.
1. ከአንዳንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ጋር በተያያዘ ወደ ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ መለወጥ ከዚያም የተለዋዋጭ ለውጥ።
እያንዳንዱን የተዘረዘሩ ዘዴዎችን በምሳሌዎች እንመልከታቸው፣ ነገር ግን እኩልታዎችን በምንፈታበት ጊዜ የመጀመሪያዎቹን ሁለቱን አስቀድመን ስለተጠቀምን በመጨረሻዎቹ ሁለት ላይ በዝርዝር እንቀመጥ።
1. ከአንዳንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ጋር ወደ ኳድራቲክ እኩልታ መለወጥ።
2. የፋክተሪንግ ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት.
3. ተመሳሳይነት ያላቸውን እኩልታዎች መፍታት.
የአንደኛ እና ሁለተኛ ዲግሪዎች ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች የቅጹ እኩልታዎች ናቸው፡-
በቅደም ተከተል (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
ተመሳሳይ እኩልታዎችን በሚፈቱበት ጊዜ ሁለቱንም የእኩልታ ቃላትን በ cosx ለ (1) እኩልታ እና በ cos 2 x ለ (2) ይከፋፍሏቸው። ይህ ክፍፍል ሊሆን የቻለው six እና cosx በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆኑ - በተለያዩ ነጥቦች ላይ ዜሮ ይሆናሉ. የመጀመሪያዎቹን እና የሁለተኛ ዲግሪዎችን ተመሳሳይነት ያላቸውን እኩልታዎች የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።
ይህንን እኩልነት እናስታውስ: የሚቀጥለውን ዘዴ ግምት ውስጥ በማስገባት - ረዳት ክርክርን በማስተዋወቅ, በተለየ መንገድ እንፍታው.
4. የረዳት ክርክር መግቢያ.
ቀደም ሲል በቀድሞው ዘዴ የተፈታውን እኩልነት እንመልከት፡-
እንደሚመለከቱት, ተመሳሳይ ውጤት ተገኝቷል.
ሌላ ምሳሌ እንመልከት፡-
በተጠቀሱት ምሳሌዎች ውስጥ ረዳት መከራከሪያን ለማስተዋወቅ ወደ ዋናው እኩልታ ምን መከፋፈል እንዳለበት በአጠቃላይ ግልጽ ነበር። ነገር ግን የትኛውን አካፋይ እንደሚመርጥ ግልጽ አለመሆኑ ሊከሰት ይችላል። ለእዚህ ልዩ ዘዴ አለ, አሁን በአጠቃላይ ሁኔታዎች እንመለከታለን. እኩልነት ይስጠን።