ውስብስብ ተዋጽኦዎች. የሎጋሪዝም መነሻ።
የኃይል-ገላጭ ተግባር የመነጨ

የልዩነት ዘዴያችንን ማሻሻል እንቀጥላለን. በዚህ ትምህርት፣ የሸፈንነውን ቁሳቁስ እናጠናክራለን፣ ይበልጥ የተወሳሰቡ ተዋጽኦዎችን እንመለከታለን፣ እና እንዲሁም ከሎጋሪትሚክ ውፅዓት ጋር ተዋጽኦን ለማግኘት ከአዳዲስ ቴክኒኮች እና ዘዴዎች ጋር እንተዋወቅ።

ላላቸው አንባቢዎች ዝቅተኛ ደረጃዝግጅት, ጽሑፉን መመልከት አለብዎት ተዋጽኦውን እንዴት ማግኘት ይቻላል? የመፍትሄዎች ምሳሌዎች, ይህም ችሎታዎን ከሞላ ጎደል ከባዶ እንዲያሳድጉ ያስችልዎታል. በመቀጠል ገጹን በጥንቃቄ ማጥናት ያስፈልግዎታል ውስብስብ ተግባር የመነጨ፣ ተረድተው መፍታት ሁሉምየሰጠኋቸውን ምሳሌዎች. ይህ ትምህርት በምክንያታዊነት በተከታታይ ሶስተኛው ነው ፣ እና እሱን ከተረዱ በኋላ በትክክል የተወሳሰቡ ተግባራትን በራስ መተማመን ይለያሉ። “ሌላ የት ነው?” የሚለውን አቋም መውሰድ የማይፈለግ ነው። አዎ በቂ ነው! ”፣ ሁሉም ምሳሌዎች እና መፍትሄዎች የተወሰዱት ከእውነት ነው። ፈተናዎችእና ብዙ ጊዜ በተግባር ይገናኛሉ.

በመድገም እንጀምር። በትምህርቱ ላይ ውስብስብ ተግባር የመነጨበዝርዝር አስተያየቶች በርካታ ምሳሌዎችን ተመልክተናል. ልዩነት ካልኩለስ እና ሌሎች ክፍሎችን በማጥናት ወቅት የሂሳብ ትንተና- በጣም ብዙ ጊዜ መለየት አለብዎት, እና ምሳሌዎችን በዝርዝር ለመግለጽ ሁልጊዜ ምቹ አይደለም (እና ሁልጊዜ አስፈላጊ አይደለም). ስለዚህ፣ ተዋጽኦዎችን በአፍ መፈለግን እንለማመዳለን። ለዚህ በጣም ተስማሚ የሆኑት “እጩዎች” በጣም ቀላሉ ውስብስብ ተግባራት መነሻዎች ናቸው ፣ ለምሳሌ-

እንደ ልዩነት ደንብ ውስብስብ ተግባር :

ወደፊት ሌሎች የማታን ርዕሶችን በምታጠናበት ጊዜ፣ እንዲህ ዓይነቱን ዝርዝር መዝገብ ብዙውን ጊዜ አያስፈልግም፣ ተማሪው በአውቶ ፓይለት ላይ እንዲህ ያሉ ተዋጽኦዎችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ያውቃል ተብሎ ይታሰባል። ከሌሊቱ 3 ሰዓት ላይ አንድ ነገር እንዳለ እናስብ የስልክ ጥሪ, እና ደስ የሚል ድምጽጠየቀ፡- “የሁለት ኤክስ ታንጀንት መነሻው ምንድን ነው?” ይህን ተከትሎ ከሞላ ጎደል ፈጣን እና ጨዋነት ያለው ምላሽ መከተል አለበት፡- .

የመጀመሪያው ምሳሌ ወዲያውኑ የታሰበ ይሆናል ገለልተኛ ውሳኔ.

ምሳሌ 1

የሚከተሉትን ተዋጽኦዎች በቃል ያግኙ፣ በአንድ ድርጊት፣ ለምሳሌ፡. ስራውን ለማጠናቀቅ እርስዎ ብቻ መጠቀም ያስፈልግዎታል የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ(እስካሁን ካላስታወሱት). ማንኛውም ችግሮች ካጋጠሙዎት, ትምህርቱን እንደገና እንዲያነቡ እመክራለሁ ውስብስብ ተግባር የመነጨ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልሶች

ውስብስብ ተዋጽኦዎች

ከቅድመ መድፍ ዝግጅት በኋላ፣ ከ3-4-5 የተግባር ጎጆዎች ያሉት ምሳሌዎች ብዙም አስፈሪ ይሆናሉ። ምናልባት የሚከተሉት ሁለት ምሳሌዎች ለአንዳንዶች ውስብስብ ሊመስሉ ይችላሉ ፣ ግን እርስዎ ከተረዱት (አንድ ሰው ይሠቃያል) ፣ ከዚያ ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል ልዩነት ስሌትየልጅ ቀልድ ይመስላል።

ምሳሌ 2

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ቀደም ሲል እንደተገለፀው, ውስብስብ ተግባርን አመጣጥ ሲፈልጉ, በመጀመሪያ, አስፈላጊ ነው ቀኝየእርስዎን ኢንቨስትመንቶች ይረዱ። ጥርጣሬዎች ባሉበት ሁኔታ, አስታውሳችኋለሁ ጠቃሚ ዘዴለምሳሌ የ"x" የሙከራ ዋጋን እንወስዳለን እና ለመተካት (በአእምሯዊ ወይም በረቂቅ) እንሞክራለን የተሰጠው ዋጋወደ "አስፈሪ አገላለጽ".

1) በመጀመሪያ አገላለጹን ማስላት ያስፈልገናል, ይህም ማለት ድምር በጣም ጥልቅ መክተት ነው.

2) ከዚያ ሎጋሪዝምን ማስላት ያስፈልግዎታል:

4) ከዚያም ኮሳይኑን ኩብ ያድርጉ:

5) በአምስተኛው ደረጃ ልዩነቱ;

6) እና በመጨረሻም ፣ የውጪው ተግባር የካሬ ሥር ነው-

ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ቀመር ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል የተገላቢጦሽ ቅደም ተከተል, ከውጫዊው ተግባር እስከ ውስጣዊው. እኛ እንወስናለን፡-

ምንም ስህተቶች ያለ አይመስልም ...

(1) የካሬውን ሥር አመጣጥ ውሰድ።

(2) ደንቡን በመጠቀም የልዩነቱን መነሻ እንወስዳለን

(3) የሶስትዮሽ አመጣጥ ዜሮ ነው። በሁለተኛው ቃል የዲግሪውን አመጣጥ (ኩብ) እንወስዳለን.

(4) የኮሳይኑን አመጣጥ ውሰድ።

(5) የሎጋሪዝም ተዋጽኦን ይውሰዱ።

(6) እና በመጨረሻም ፣ በጣም ጥልቅ የሆነውን የመክተት አመጣጥ እንወስዳለን።

በጣም አስቸጋሪ ሊመስል ይችላል, ግን ይህ በጣም ጨካኝ ምሳሌ አይደለም. ለምሳሌ የኩዝኔትሶቭን ስብስብ እንውሰድ እና ሁሉንም ውበት እና ቀላልነት የተተነተነውን አመጣጥ ያደንቃሉ. ተማሪው ውስብስብ ተግባርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ወይም አለመረዳቱን ለማረጋገጥ በፈተና ውስጥ ተመሳሳይ ነገር መስጠት እንደሚወዱ አስተውያለሁ።

የሚከተለው ምሳሌ እርስዎ እራስዎ እንዲፈቱ ነው.

ምሳሌ 3

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ፍንጭ፡ በመጀመሪያ የመስመር ህጎችን እና የምርት ልዩነት ህግን እንተገብራለን

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና መልስ.

ወደ ትንሽ እና ቆንጆ ነገር ለመቀጠል ጊዜው አሁን ነው።
አንድ ምሳሌ ሁለት ሳይሆን ምርትን ማሳየት የተለመደ አይደለም ሶስት ተግባራት. የመነጩን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሶስት ምርቶችአባዢዎች?

ምሳሌ 4

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

በመጀመሪያ እንመለከታለን, የሶስት ተግባራትን ምርት ወደ ሁለት ተግባራት ምርት መቀየር ይቻላል? ለምሳሌ, በምርቱ ውስጥ ሁለት ፖሊኖሚሎች ካሉን, ከዚያም ቅንፎችን መክፈት እንችላለን. ነገር ግን ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ, ሁሉም ተግባራት የተለያዩ ናቸው-ዲግሪ, ገላጭ እና ሎጋሪዝም.

በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ አስፈላጊ ነው በቅደም ተከተልየምርት ልዩነት ደንቡን ይተግብሩ ሁለት ግዜ

ዘዴው በ “y” የሁለት ተግባራትን ውጤት እናመልካለን፡ በ “ve” ደግሞ ሎጋሪዝምን እናመልካለን። ይህ ለምን ሊሆን ይችላል? እውነት ነው? - ይህ የሁለት ምክንያቶች ውጤት አይደለም እና ደንቡ አይሰራም?! ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም:

አሁን ደንቡን ለሁለተኛ ጊዜ መተግበር ይቀራል ወደ ቅንፍ:

አሁንም ጠማማ መሆን እና የሆነ ነገር ከቅንፍ ማውጣት ይችላሉ፣ ግን ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይመልሱን በዚህ ቅጽ ውስጥ መተው ይሻላል - ለመፈተሽ ቀላል ይሆናል.

የተመለከተው ምሳሌ በሁለተኛው መንገድ ሊፈታ ይችላል-

ሁለቱም መፍትሄዎች ፍጹም እኩል ናቸው.

ምሳሌ 5

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ ነው, በናሙናው ውስጥ የመጀመሪያውን ዘዴ በመጠቀም ይፈታል.

ተመሳሳይ ምሳሌዎችን ከክፍልፋዮች ጋር እንይ።

ምሳሌ 6

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

እዚህ መሄድ የምትችልባቸው ብዙ መንገዶች አሉ፡-

ወይም እንደዚህ፡-

ነገር ግን በመጀመሪያ የዋጋውን የመለየት ደንብ ከተጠቀምን መፍትሄው በበለጠ ሁኔታ ይፃፋል ለጠቅላላው አሃዛዊ እየወሰደ፡-

በመርህ ደረጃ, ምሳሌው ተፈትቷል, እና እንደተተወው ከሆነ, ስህተት አይሆንም. ነገር ግን ጊዜ ካሎት, መልሱን ማቅለል ይቻል እንደሆነ ለማየት ሁልጊዜ ረቂቅ ላይ መፈተሽ ተገቢ ነው? የቁጥሩን አገላለጽ እንቀንስ የጋራእና ባለ ሶስት ፎቅ ክፍልፋይን እናስወግድ:

የተጨማሪ ማቅለል ጉዳቱ መነሻውን ሲያገኝ ሳይሆን በ banal ትምህርት ቤት ለውጥ ወቅት ስህተት የመሥራት አደጋ መኖሩ ነው። በሌላ በኩል፣ አስተማሪዎች አብዛኛውን ጊዜ ምደባውን አይቀበሉም እና የመነጩን “አስታውስ” ብለው ይጠይቃሉ።

በእራስዎ ለመፍታት ቀላል ምሳሌ:

ምሳሌ 7

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ተዋጽኦውን የማግኘት ዘዴዎችን መቆጣጠሩን እንቀጥላለን ፣ እና አሁን “አስፈሪ” ሎጋሪዝም ለመለያየት በሚቀርብበት ጊዜ አንድ የተለመደ ጉዳይ እንመለከታለን።

ምሳሌ 8

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን በመጠቀም እዚህ ረጅም መንገድ መሄድ ይችላሉ-

ግን የመጀመሪያው እርምጃ ወዲያውኑ ወደ ተስፋ መቁረጥ ይወስደዎታል - ደስ የማይል ውጤትን መውሰድ ያስፈልግዎታል ክፍልፋይ ኃይል, እና ከዚያ ደግሞ ከክፍልፋይ.

ለዛ ነው ከዚህ በፊት“የተራቀቀ” ሎጋሪዝምን እንዴት መውሰድ እንደሚቻል ፣ በመጀመሪያ የታወቁ የትምህርት ቤት ንብረቶችን በመጠቀም ቀለል ይላል-

! የልምምድ ማስታወሻ ደብተር በእጅህ ካለህ እነዚህን ቀመሮች እዚያው ገልብጣ። የትምህርቱ ቀሪ ምሳሌዎች በእነዚህ ቀመሮች ዙሪያ ስለሚሽከረከሩ ማስታወሻ ደብተር ከሌለዎት ወደ ወረቀት ይቅዱዋቸው።

መፍትሄው ራሱ እንደዚህ ያለ ነገር ሊፃፍ ይችላል-

ተግባሩን እንለውጥ፡-

ተዋጽኦውን በማግኘት ላይ፡-

ተግባሩን አስቀድሞ መለወጥ መፍትሄውን በእጅጉ አቅልሏል። ስለዚህ, ተመሳሳይ የሆነ ሎጋሪዝም ለመለያየት በሚቀርብበት ጊዜ, ሁልጊዜ "ማፍረስ" ይመረጣል.

እና አሁን በእራስዎ ለመፍታት ጥቂት ቀላል ምሳሌዎች-

ምሳሌ 9

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ምሳሌ 10

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ሁሉም ለውጦች እና መልሶች በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ናቸው።

የሎጋሪዝም መነሻ

የሎጋሪዝም አመጣጥ እንደዚህ አይነት ጣፋጭ ሙዚቃ ከሆነ ጥያቄው ይነሳል-በአንዳንድ ሁኔታዎች ሎጋሪዝምን በአርቴፊሻል መንገድ ማደራጀት ይቻላል? ይችላል! እና እንዲያውም አስፈላጊ.

ምሳሌ 11

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

በቅርቡ ተመሳሳይ ምሳሌዎችን ተመልክተናል. ምን ለማድረግ? በቅደም ተከተል የቁጥሩን ልዩነት ህግን, እና ከዚያም የምርቱን ልዩነት ህግን መተግበር ይችላሉ. የዚህ ዘዴ ጉዳቱ እርስዎ ጨርሶ ለመቋቋም የማይፈልጉትን ግዙፍ ባለ ሶስት ፎቅ ክፍልፋይ ማጠናቀቅዎ ነው.

ነገር ግን በንድፈ ሀሳብ እና በተግባር እንደ ሎጋሪትሚክ ዲሪቭቲቭ ያለ አስደናቂ ነገር አለ። ሎጋሪዝም በሁለቱም በኩል “በመስቀል” ሰው ሰራሽ በሆነ መንገድ ሊደራጅ ይችላል፡-

አሁን በተቻለ መጠን በቀኝ በኩል ያለውን ሎጋሪዝም "መበታተን" ያስፈልግዎታል (ከዓይኖችዎ በፊት ቀመሮች?). ይህንን ሂደት በዝርዝር እገልጻለሁ-

በመለየት እንጀምር።
ሁለቱንም ክፍሎች በዋናው ስር እንጨርሳለን-

የቀኝ እጅ አመጣጥ በጣም ቀላል ነው ፣ በእሱ ላይ አስተያየት አልሰጥም ፣ ምክንያቱም ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ በልበ ሙሉነት መያዝ አለብህ።

በግራ በኩልስ?

በግራ በኩል እኛ አለን ውስብስብ ተግባር. ጥያቄውን አስቀድሜ አይቻለሁ፡ “ለምን በሎጋሪዝም ስር አንድ “Y” ፊደል አለ?”

እውነታው ይህ “አንድ ፊደል ጨዋታ” - እሱ ራሱ ተግባር ነው።(በጣም ግልጽ ካልሆነ፣ በተዘዋዋሪ የተገለጸውን ተግባር መነሻ መጣጥፉን ይመልከቱ)። ስለዚህ, ሎጋሪዝም ውጫዊ ተግባር ነው, እና "y" ነው የውስጥ ተግባር. እና ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን እንጠቀማለን :

በግራ በኩል, በአስማት እንደሚመስለው የአስማተኛ ዘንግተዋጽኦ አለን . በመቀጠል ፣ በተመጣጣኝ ደንብ መሠረት “y” ን ከግራ በኩል ካለው መለያ ወደ በቀኝ በኩል አናት እናስተላልፋለን-

እና አሁን በልዩነት ወቅት ስለ ምን ዓይነት "ተጫዋች" - ተግባር እንደተነጋገርን እናስታውስ? ሁኔታውን እንመልከት፡-

የመጨረሻ መልስ፡-

ምሳሌ 12

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው። የንድፍ ምሳሌ ምሳሌ የዚህ አይነትበትምህርቱ መጨረሻ.

የሎጋሪዝም ተዋጽኦን በመጠቀም ማናቸውንም ምሳሌዎች ቁጥር 4-7 መፍታት ተችሏል ፣ ሌላ ነገር እዚያ ያሉት ተግባራት ቀለል ያሉ ናቸው ፣ እና ምናልባትም ፣ የሎጋሪዝም አመጣጥ አጠቃቀም በጣም ትክክል አይደለም ።

የኃይል-ገላጭ ተግባር የመነጨ

ይህንን ተግባር እስካሁን አላጤንነውም። የኃይል ገላጭ ተግባር ለየትኛው ተግባር ነው ሁለቱም ዲግሪ እና መሰረቱ በ "x" ላይ ይወሰናሉ.. ክላሲክ ምሳሌበማንኛውም የመማሪያ መጽሐፍ ወይም በማንኛውም ትምህርት ላይ ይሰጥዎታል፡-

የኃይል ገላጭ ተግባርን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

አሁን የተነጋገርነውን ዘዴ መጠቀም አስፈላጊ ነው - የሎጋሪዝም አመጣጥ። በሁለቱም በኩል ሎጋሪዝምን እንሰቅላለን-

እንደ ደንቡ ፣ በቀኝ በኩል ፣ ዲግሪው ከሎጋሪዝም ስር ይወሰዳል ።

በውጤቱም, በቀኝ በኩል የሁለት ተግባራት ምርት አለን, ይህም የሚለየው በ መደበኛ ቀመር .

ተዋጽኦውን እናገኛለን፤ ይህንን ለማድረግ ሁለቱንም ክፍሎች በስትሮክ ስር እናያቸዋለን፡-

ተጨማሪ ድርጊቶች ቀላል ናቸው:

በመጨረሻም፡-

ማንኛውም ልወጣ ሙሉ በሙሉ ግልጽ ካልሆነ፣ እባክዎን የምሳሌ #11ን ማብራሪያ በጥንቃቄ ያንብቡ።

ውስጥ ተግባራዊ ተግባራትበንግግሩ ውስጥ ከተጠቀሰው ምሳሌ ይልቅ የኃይል-ገላጭ ተግባር ሁልጊዜ ውስብስብ ይሆናል.

ምሳሌ 13

የአንድ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ

የሎጋሪዝም መነሻን እንጠቀማለን።

በቀኝ በኩል ቋሚ እና የሁለት ምክንያቶች ውጤት አለን - “x” እና “Logarithm of Logarithm x” (ሌላ ሎጋሪዝም በሎጋሪዝም ስር ተዘርግቷል)። ልዩነት በሚፈጠርበት ጊዜ, እንደምናስታውሰው, ወደ መንገዱ እንዳይገባ ወዲያውኑ ቋሚውን ከመነሻ ምልክት መውጣት ይሻላል; እና በእርግጥ, የተለመደውን ደንብ እንተገብራለን :

እንደሚመለከቱት፣ የሎጋሪዝም ውፅዓትን ለመጠቀም ስልተ ቀመር ምንም ልዩ ብልሃቶችን ወይም ዘዴዎችን አልያዘም ፣ እና የኃይል ገላጭ ተግባርን አመጣጥ መፈለግ ብዙውን ጊዜ ከ “ስቃይ” ጋር አይገናኝም።

የውስብስብ ተግባር መገኛ ቀመርን በመጠቀም ተዋጽኦዎችን ለማስላት ምሳሌዎች ተሰጥተዋል።

ተዋጽኦዎችን የማስላት ምሳሌዎች እዚህ እንሰጣለን። የሚከተሉት ተግባራት:
; ; ; ; .

ውስጥ አንድ ተግባር እንደ ውስብስብ ተግባር መወከል ከተቻለ የሚከተለው ቅጽ:
,
ከዚያ የእሱ አመጣጥ በቀመር ይወሰናል፡-
.
ከዚህ በታች ባሉት ምሳሌዎች ይህንን ቀመር እንደሚከተለው እንጽፋለን-
.
የት .
እዚህ፣ የንዑስ ስክሪፕቶቹ ወይም፣ በመነሻ ምልክት ስር የሚገኙት፣ ልዩነቱ የሚከናወንባቸውን ተለዋዋጮች ያመለክታሉ።

ብዙውን ጊዜ፣ በተለዋዋጭ ሰንጠረዦች ውስጥ፣ ከተለዋዋጭ x የተግባር ተዋጽኦዎች ተሰጥተዋል። ሆኖም x መደበኛ መለኪያ ነው። ተለዋዋጭ x በማንኛውም ሌላ ተለዋዋጭ ሊተካ ይችላል. ስለዚህ፣ አንድን ተግባር ከተለዋዋጭ ስንለይ፣ በቀላሉ እንለውጣለን፣ በውጤቶቹ ሠንጠረዥ ውስጥ፣ ተለዋዋጭ x ወደ ተለዋዋጭ u.

ቀላል ምሳሌዎች

ምሳሌ 1

የአንድ ውስብስብ ተግባር ተዋጽኦን ያግኙ
.

መፍትሄ

እንጽፈው የተሰጠው ተግባርበተመጣጣኝ መልክ፡-
.
በተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ ውስጥ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
;
.

እንደ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ቀመር እኛ አለን-
.
እዚህ.

መልስ

ምሳሌ 2

ተዋጽኦውን ያግኙ
.

መፍትሄ

ቋሚውን 5 ከምንጩ ምልክት ውስጥ እናወጣለን እና ከተዋዋጮች ሠንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን፡-
.

.
እዚህ.

መልስ

ምሳሌ 3

ተዋጽኦውን ያግኙ
.

መፍትሄ

ቋሚ እናወጣለን -1 ለሥነ-ተዋፅኦው ምልክት እና ከተለዋዋጭ ሠንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን-
;
ከተዋዋጮች ሠንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን፡-
.

ለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ ቀመር እንተገብራለን፡-
.
እዚህ.

መልስ

ተጨማሪ ውስብስብ ምሳሌዎች

ተጨማሪ ውስጥ ውስብስብ ምሳሌዎችውስብስብ ተግባርን ብዙ ጊዜ ለመለየት ደንቡን እንተገብራለን. በዚህ ሁኔታ, ከመጨረሻው የመነጩን እናሰላለን. ማለትም ተግባሩን ወደ ክፍሎቹ ክፍሎች እንሰብራለን እና በጣም ቀላል የሆኑትን ክፍሎች በመጠቀም የተገኙትን እናገኛለን ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ. እኛ ደግሞ እንጠቀማለን ድምርን ለመለየት ደንቦች, ምርቶች እና ክፍልፋዮች. ከዚያ ምትክ እንሰራለን እና ለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ ቀመር እንተገብራለን።

ምሳሌ 4

ተዋጽኦውን ያግኙ
.

መፍትሄ

በጣም እናደምቀው ቀላል ክፍልቀመር እና የመነጩን ያግኙ. .

.
እዚህ ማስታወሻውን ተጠቅመንበታል
.

የተገኘውን ውጤት በመጠቀም የሚቀጥለውን የዋናው ተግባር ክፍል አመጣጥ እናገኛለን። ድምርን ለመለየት ደንቡን እንተገብራለን-
.

አንድ ጊዜ እንደገና ውስብስብ ተግባራትን የመለየት ደንብ እንተገብራለን.

.
እዚህ.

መልስ

ምሳሌ 5

የተግባሩን አመጣጥ ይፈልጉ
.

መፍትሄ

የቀመርውን በጣም ቀላሉን ክፍል እንመርጥ እና ከመነሻዎች ሰንጠረዥ የተገኘውን እንፈልግ። .

ውስብስብ ተግባራትን የመለየት ደንብ እንተገብራለን.
.
እዚህ
.

ይወስኑ አካላዊ ተግባራትወይም በሂሳብ ውስጥ ምሳሌዎች ስለ ተዋጽኦው እና እሱን ለማስላት ዘዴዎች ሳያውቁ ሙሉ በሙሉ የማይቻል ነው። መነሻው አንዱ ነው። በጣም አስፈላጊ ጽንሰ-ሐሳቦችየሂሳብ ትንተና. ይህ መሠረታዊ ርዕስየዛሬውን ጽሑፍ ለመወሰን ወሰንን. ተዋጽኦ ምንድን ነው፣ ምን አካላዊ ነው እና ጂኦሜትሪክ ትርጉምየአንድን ተግባር አመጣጥ እንዴት ማስላት ይቻላል? እነዚህ ሁሉ ጥያቄዎች ወደ አንድ ሊጣመሩ ይችላሉ-የመነሻውን እንዴት መረዳት ይቻላል?

የመነጩ ጂኦሜትሪክ እና አካላዊ ትርጉም

ተግባር ይኑር ረ(x) , በተወሰነ ክፍተት ውስጥ ተገልጿል (ሀ, ለ) . ነጥቦች x እና x0 የዚህ ክፍተት ናቸው። x ሲቀየር ተግባሩ ራሱ ይለወጣል። ክርክሩን መለወጥ - በእሴቶቹ ውስጥ ያለው ልዩነት x-x0 . ይህ ልዩነት እንደ ተጽፏል ዴልታ x እና የክርክር መጨመር ይባላል. የአንድ ተግባር ለውጥ ወይም መጨመር በሁለት ነጥቦች መካከል ባለው የተግባር እሴት መካከል ያለው ልዩነት ነው። የመነጩ ፍቺ፡-

በአንድ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር አመጣጥ በተወሰነ ነጥብ ላይ የተግባር መጨመር ጥምርታ ገደብ ሲሆን የኋለኛው ደግሞ ወደ ዜሮ ሲሄድ ክርክሩን ለመጨመር ነው።

ያለበለዚያ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።

እንደዚህ ያለ ገደብ ማግኘት ምን ጥቅም አለው? እና ምን እንደሆነ እነሆ፡-

በአንድ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር አመጣጥ በኦክስ ዘንግ እና በታንጀንት መካከል ካለው የማእዘን ታንጀንት በተወሰነ ነጥብ ላይ ካለው የተግባር ግራፍ ጋር እኩል ነው።

አካላዊ ትርጉምመነሻ፡ የመንገዱን አመጣጥ ከግዜ ጋር በማነፃፀር ከ rectilinear እንቅስቃሴ ፍጥነት ጋር እኩል ነው.

በእርግጥ ከትምህርት ቀናት ጀምሮ ሁሉም ሰው ፍጥነት የተለየ መንገድ እንደሆነ ያውቃል x=f(t) እና ጊዜ ቲ . አማካይ ፍጥነትለተወሰነ ጊዜ;

የእንቅስቃሴውን ፍጥነት በጊዜ ውስጥ ለማወቅ t0 ገደቡን ማስላት ያስፈልግዎታል:

ደንብ አንድ: ቋሚ ያዘጋጁ

ቋሚው ከመነሻ ምልክት ሊወጣ ይችላል. ከዚህም በላይ ይህ መደረግ አለበት. ምሳሌዎችን በሂሳብ ሲፈቱ እንደ አንድ ደንብ ይውሰዱት - አገላለፅን ማቃለል ከቻሉ ማቃለልዎን እርግጠኛ ይሁኑ .

ለምሳሌ. የመነጩን እናሰላለን፡-

ደንብ ሁለት፡ የተግባር ድምር ውጤት

የሁለት ተግባራት ድምር ውጤት የእነዚህ ተግባራት ተዋጽኦዎች ድምር እኩል ነው። ለተግባሮች ልዩነት አመጣጥ ተመሳሳይ ነው.

ለዚህ ጽንሰ-ሐሳብ ማረጋገጫ አንሰጥም ፣ ይልቁንም ተግባራዊ ምሳሌን እንመልከት።

የተግባሩን መነሻ ያግኙ፡-

ህግ ሶስት፡ የተግባር ውጤት

የሁለት የተለያዩ ተግባራት ምርት አመጣጥ በቀመር ይሰላል፡-

ምሳሌ፡ የተግባርን መነሻ ይፈልጉ፡-

መፍትሄ፡-

ውስብስብ ተግባራትን ተዋጽኦዎችን ስለማስላት ማውራት አስፈላጊ ነው. የአንድ ውስብስብ ተግባር ተወላጅ ከመካከለኛው ክርክር እና ከገለልተኛ ተለዋዋጭ ጋር ካለው የመካከለኛው ክርክር አመጣጥ ጋር እኩል ነው።

ከላይ ባለው ምሳሌ ውስጥ የሚከተለውን መግለጫ እናገኛለን-

በዚህ ሁኔታ, መካከለኛው ክርክር 8x ወደ አምስተኛው ኃይል ነው. የእንደዚህ አይነት አገላለጽ ተዋጽኦን ለማስላት በመጀመሪያ የውጫዊውን ተግባር አመጣጥ ከመካከለኛው ክርክር አንፃር እናሰላለን እና ከዚያ እራሱን ከገለልተኛ ተለዋዋጭ ጋር በማባዛት።

ህግ አራት፡ የሁለት ተግባራት ጥቅስ የመነጨ

የሁለት ተግባራትን ብዛት አመጣጥ ለመወሰን ቀመር፡-

ስለ ዱሚዎች ከባዶ ስለ ተዋጽኦዎች ለመነጋገር ሞከርን። ይህ ርዕስ የሚመስለውን ያህል ቀላል አይደለም, ስለዚህ ማስጠንቀቂያ ይስጡ: በምሳሌዎቹ ውስጥ ብዙ ጊዜ ወጥመዶች አሉ, ስለዚህ ተዋጽኦዎችን ሲያሰሉ ይጠንቀቁ.

በዚህ እና በሌሎች ርዕሰ ጉዳዮች ላይ ካሉ ማናቸውም ጥያቄዎች የተማሪ አገልግሎትን ማግኘት ይችላሉ። ከኋላ የአጭር ጊዜበጣም አስቸጋሪ የሆኑትን ፈተናዎች እንዲፈቱ እና ችግሮችን እንዲፈቱ እንረዳዎታለን, ምንም እንኳን ከዚህ በፊት የመነሻ ስሌት ሰርተው የማያውቁ ቢሆንም.

ፍቺተግባሩ \(y = f(x) \) በራሱ ውስጥ ነጥቡን \(x_0\) በያዘ የተወሰነ ክፍተት ውስጥ ይገለጽ። ይህንን ክፍተት እንዳይተወው ለክርክሩ ተጨማሪ \(\ ዴልታ x \) እንስጠው። የተግባሩን ተጓዳኝ ጭማሪ እንፈልግ \(\ ዴልታ y \) (ከነጥብ \(x_0 \) ወደ ነጥቡ \(x_0 + \ ዴልታ x \) ስንሸጋገር እና \ (\ frac (\ ዴልታ) ግንኙነቱን እንፃፍ። y) (\ ዴልታ x) \). በ \(\ ዴልታ x \ ቀኝ ቀስት 0 \) ላይ የዚህ ሬሾ ገደብ ካለ ፣ የተገለጸው ገደብ ይባላል። የአንድ ተግባር ተወላጅ\(y=f(x) \) ነጥብ \(x_0 \) እና \(f"(x_0) \)ን አመልክት።

$$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) = f"(x_0) $$

ምልክቱ y ብዙውን ጊዜ ተዋጽኦውን ለማመልከት ጥቅም ላይ ይውላል።" y" = f(x) መሆኑን ልብ ይበሉ። አዲስ ባህሪ, ነገር ግን በተፈጥሮ ከ ተግባር y = f (x) ጋር የተቆራኘ, ከላይ ያለው ገደብ ባለባቸው በሁሉም ነጥቦች x ላይ ይገለጻል. ይህ ተግባር እንደሚከተለው ይባላል- የተግባሩ መነሻ y = f(x).

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉምእንደሚከተለው ነው። ታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ መሳል ከተቻለ y = f (x) ከ abscissa x=a ጋር በነጥብ ከ y ዘንግ ጋር ትይዩ ካልሆነ f(a) የታንጀሉን ቁልቁል ይገልጻል። :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) ስለሆነ፣ እኩልነት \(f"(a) = tan(a) \) እውነት ነው።

አሁን የመነጩን ፍቺ ከግምታዊ እኩልነት እይታ አንጻር እንተረጉማለን. ተግባር \(y = f(x)\) በአንድ የተወሰነ ነጥብ ላይ ተዋፅኦ ይኑርህ \(x \):
$$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) = f"(x) $$
ይህ ማለት ከ x ነጥቡ አጠገብ ያለው ግምታዊ እኩልነት \(\ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) \u003e f"(x) \) ፣ ማለትም \(\ ዴልታ y \u003e f"(x) \cdot \\ ዴልታ x \)። የውጤቱ ግምታዊ እኩልነት ትርጉም ያለው ትርጉም እንደሚከተለው ነው፡ የተግባሩ መጨመር ከክርክሩ መጨመር ጋር "የተመጣጠነ ነው" እና የተመጣጠነ ተመጣጣኝነት በ ውስጥ የመነጩ ዋጋ ነው. የተሰጠው ነጥብ X. ለምሳሌ፣ ለተግባሩ \(y = x^2 \) ግምታዊ እኩልነት \(\ ዴልታ y \ ገደማ 2x \cdot \ ዴልታ x \) ልክ ነው። የመነጩን ፍቺ በጥንቃቄ ከተመለከትን እሱን ለማግኘት አልጎሪዝም ይዟል።

እንቅረፅለት።

የተግባር y = f(x) አመጣጥ እንዴት ማግኘት ይቻላል?

1. የ \(x \) እሴትን አስተካክል ፣ \(f(x)\) ፈልግ
2. ክርክሩን ይስጡ \(x \) ጭማሪ \(\ ዴልታ x \) ፣ ወደ ይሂዱ አዲስ ነጥብ\(x+ \ ዴልታ x \) ፣ \ (f(x+ \ ዴልታ x) \) ፈልግ
3. የተግባሩን መጨመር ይፈልጉ: \ (\ ዴልታ y = f (x + \ ዴልታ x) - f (x) \)
4. ግንኙነቱን ይፍጠሩ \ (\ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) \)
5. አስላ $$ \lim_(\ ዴልታ x \ ወደ 0) \ frac (\ ዴልታ y) (\ ዴልታ x) $$
ይህ ገደብ በ x ነጥብ ላይ ያለው የተግባር መነሻ ነው።

ተግባር y = f(x) በነጥብ x ላይ ተወላጅ ካለው፣ በነጥብ x ላይ ልዩነት ይባላል። የተግባር y = f(x) አመጣጥን የማግኘት ሂደት ይባላል ልዩነትተግባራት y = f (x)።

እስቲ የሚከተለውን ጥያቄ እንወያይ፡ የአንድ ተግባር ቀጣይነት እና ልዩነት እርስ በርስ የሚዛመደው እንዴት ነው?

ተግባር y = f(x) በነጥብ x ሊለያይ ይችላል። ከዚያም ታንጀንት በ M (x; f (x)) ላይ ባለው የሥራው ግራፍ ላይ መሳል ይቻላል, እና ያስታውሱ, የታንጀኑ የማዕዘን መጠን ከ f "(x) ጋር እኩል ነው. እንዲህ ዓይነቱ ግራፍ "መስበር" አይችልም. ነጥብ M ላይ ማለትም ተግባሩ በ x ነጥብ ላይ ቀጣይ መሆን አለበት.

እነዚህ "በእጅ ላይ" ክርክሮች ነበሩ. የበለጠ ጠንከር ያለ ምክንያት እንስጥ። ተግባር y = f(x) በነጥብ x ሊለያይ የሚችል ከሆነ፣ ግምታዊ እኩልነት \(\ ዴልታ y \ approx f"(x) \cdot \ ዴልታ x \) ይይዛል። በዚህ እኩልነት \(\ ዴልታ x) ከሆነ። \) ወደ ዜሮ ይቀየራል ፣ ከዚያ \(\ ዴልታ y \) ወደ ዜሮ ይቀየራል ፣ እና ይህ በአንድ ነጥብ ላይ ለተግባሩ ቀጣይነት ሁኔታ ነው።

ስለዚህ፣ አንድ ተግባር በአንድ ነጥብ x ላይ የሚለይ ከሆነ፣ በዚያ ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው።.

የተገላቢጦሽ መግለጫው እውነት አይደለም። ለምሳሌ፡ ተግባር y = |x| በሁሉም ቦታ ቀጣይ ነው, በተለይም በ x = 0, ነገር ግን በ "መገናኛ ነጥብ" (0; 0) ላይ ያለው የተግባር ግራፍ ታንጀንት የለም. በአንድ ወቅት ታንጀንት ወደ የተግባር ግራፍ መሳል ካልተቻለ ተዋጽኦው በዚያ ነጥብ ላይ የለም።

አንድ ተጨማሪ ምሳሌ። ተግባር \(y=\sqrt(x)\) በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ቀጣይነት ያለው ሲሆን በ x = 0 ላይ ጨምሮ። ነገር ግን በዚህ ጊዜ ታንጀንት ከ y-ዘንግ ጋር ይጣጣማል, ማለትም, ከ abscissa ዘንግ ጋር ቀጥ ያለ ነው, የእሱ እኩልታ x = 0 መልክ አለው. ተዳፋት Coefficientእንደዚህ አይነት መስመር የለውም፣ ይህም ማለት \(f"(0) \) የለም ማለት ነው።

ስለዚህ ፣ ከተግባር አዲስ ንብረት ጋር ተዋወቅን - ልዩነት። አንድ ሰው ከተግባሩ ግራፍ እንዴት ሊለያይ ይችላል ብሎ መደምደም ይችላል?

መልሱ በትክክል ከላይ ተሰጥቷል. በአንድ ወቅት ታንጀንት ወደ abscissa ዘንግ ወደማይቀረው ተግባር ግራፍ መሳል የሚቻል ከሆነ በዚህ ጊዜ ተግባሩ የተለየ ነው። በአንድ ወቅት የአንድ ተግባር ግራፍ ታንጀንት ከሌለ ወይም ወደ abscissa ዘንግ ቀጥ ያለ ከሆነ ፣ በዚህ ጊዜ ተግባሩ ሊለያይ አይችልም።

የልዩነት ህጎች

የመነጩን የማግኘት ክዋኔ ይባላል ልዩነት. ይህንን ክዋኔ በሚፈጽሙበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ ከጥቅሶች, ድምር, የተግባር ምርቶች, እንዲሁም "የተግባር ተግባራት" ማለትም ውስብስብ ተግባራት ጋር መስራት አለብዎት. የመነጩን ትርጉም መሰረት በማድረግ ይህን ስራ ቀላል የሚያደርጉ የልዩነት ህጎችን ማውጣት እንችላለን። ሲ ከሆነ - ቋሚ ቁጥርእና f=f(x)፣ g=g(x) አንዳንድ ሊለያዩ የሚችሉ ተግባራት ናቸው፣ ከዚያ የሚከተሉት እውነት ናቸው። ልዩነት ደንቦች:

$$ C"=0$$$$ x"=1$$$$ (f+g)"=f"+g" $$$$ (fg)"=f"g + fg" $$$$ ( Cf)"=Cf" $$$$ \ግራ(\frac(f)(g) \ቀኝ)" = \frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \ግራ(\frac) (C)(g) \ቀኝ) " = -\frac(Cg")(g^2)$$ ውስብስብ ተግባር የተገኘ፡
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

የአንዳንድ ተግባራት ተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ

$$ \ግራ(\frac(1)(x) \ቀኝ)" = -\frac(1)(x^2) $$$$ (\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$$$ \ግራ(x^a \ቀኝ)" = a x^(a-1) $$$$ \ግራ(a^x \ቀኝ) " = a^x \cdot \ln a $$$$ \ግራ(e^x \ቀኝ) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ሀ) $$$$ (\ sin x)" = \cos x $$$$ (\cos x)" = -\sin x $$$$ (\text(tg) x) " = \ frac (1) (\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\ sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \ frac (1) (\sqrt (1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \ frac (-1) (\sqrt (1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$$$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

የአንድ ውስብስብ ተግባር አመጣጥ ቀመር ማረጋገጫ ተሰጥቷል። ውስብስብ ተግባር በአንድ ወይም በሁለት ተለዋዋጮች ላይ የሚመረኮዝባቸው ጉዳዮች በዝርዝር ተወስደዋል። ለጉዳዩ አጠቃላይ መግለጫ ተሰጥቷል ማንኛውም ቁጥርተለዋዋጮች.

እዚህ መደምደሚያውን እናቀርባለን የሚከተሉት ቀመሮችለተወሳሰበ ተግባር አመጣጥ።
ከሆነ ታዲያ
.
ከሆነ ታዲያ
.
ከሆነ ታዲያ
.

ውስብስብ ተግባር ከአንድ ተለዋዋጭ የተገኘ

የተለዋዋጭ x ተግባር እንደ ውስብስብ ተግባር በሚከተለው ቅፅ ይወከል፡
,
አንዳንድ ተግባራት ባሉበት. ተግባሩ ለተወሰኑ ተለዋዋጭ x እሴት ይለያያል። ተግባሩ በተለዋዋጭ ዋጋ ሊለያይ ይችላል።
ከዚያም ውስብስብ (ውህድ) ተግባር በነጥብ x ላይ ይለያል እና ውፅዋቱ በቀመርው ይወሰናል፡-
(1) .

ፎርሙላ (1) እንዲሁ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።
;
.

ማረጋገጫ

የሚከተለውን ማስታወሻ እናስተዋውቅ።
;
.
እዚ ተግባር እዚ ተለዋዋጮች እና ተለዋዋጮች እና . ነገር ግን ስሌቶቹን ላለማሳሳት የእነዚህን ተግባራት ክርክሮች እንተዋለን.

ተግባራቶቹ እና በነጥብ x እና በቅደም ተከተል የሚለያዩ ስለሆኑ በእነዚህ ነጥቦች ላይ የእነዚህ ተግባራት መነሻዎች አሉ ፣ እነሱም የሚከተሉት ገደቦች ናቸው ።
;
.

የሚከተለውን ተግባር አስቡበት፡-
.
ለተለዋዋጭ ዩ ቋሚ እሴት የ . እንደሆነ ግልጽ ነው።
.
ከዚያም
.

ተግባሩ በነጥቡ ላይ ልዩነት ያለው ተግባር ስለሆነ በዚያ ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው. ለዛ ነው
.
ከዚያም
.

አሁን ተዋጽኦውን እናገኛለን።

.

ቀመሩ ተረጋግጧል.

መዘዝ

የተለዋዋጭ x ተግባር እንደ ውስብስብ ተግባር እንደ ውስብስብ ተግባር ሊወከል የሚችል ከሆነ
,
ከዚያ የእሱ አመጣጥ በቀመር ይወሰናል
.
እዚህ ፣ እና አንዳንድ ሊለያዩ የሚችሉ ተግባራት አሉ።

ይህንን ቀመር ለማረጋገጥ ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን በመጠቀም ተዋጽኦውን በቅደም ተከተል እናሰላለን።
ውስብስብ የሆነውን ተግባር ግምት ውስጥ ያስገቡ
.
የመነጨው
.
ዋናውን ተግባር አስቡበት
.
የመነጨው
.

ውስብስብ ተግባር ከሁለት ተለዋዋጮች የተገኘ

አሁን ውስብስብ ተግባሩ በበርካታ ተለዋዋጮች ላይ እንዲወሰን ያድርጉ. በመጀመሪያ እንይ የሁለት ተለዋዋጮች ውስብስብ ተግባር ጉዳይ.

በተለዋዋጭ x ላይ የሚመረኮዝ ተግባር በሚከተለው ቅፅ የሁለት ተለዋዋጮች ውስብስብ ተግባር ሆኖ ይውከል።
,
የት
እና ለተለዋዋጭ x አንዳንድ እሴት የሚለያዩ ተግባራት አሉ;
- የሁለት ተለዋዋጮች ተግባር ፣ በነጥቡ ሊለያይ የሚችል ፣ ከዚያም ውስብስብ ተግባሩ በተወሰነው የነጥብ ሰፈር ውስጥ ይገለጻል እና አመጣጥ አለው፣ እሱም በቀመርው ይወሰናል፡
(2) .

ማረጋገጫ

ተግባራቶቹ እና በነጥቡ ላይ ስለሚለያዩ ፣ በዚህ ነጥብ የተወሰነ ሰፈር ውስጥ ተገልጸዋል ፣ ነጥቡ ላይ ቀጣይ ናቸው ፣ እና ውጤቶቻቸው በነጥቡ ላይ ይገኛሉ ፣ እነሱም የሚከተሉት ገደቦች ናቸው ።
;
.
እዚህ
;
.
የእነዚህ ተግባራት ቀጣይነት በአንድ ነጥብ ላይ፣ እኛ አለን።
;
.

ተግባራቱ በነጥቡ ላይ ሊለያይ የሚችል ስለሆነ ፣ በዚህ ነጥብ የተወሰነ ሰፈር ውስጥ ይገለጻል ፣ በዚህ ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው ፣ እና ጭማሪው በሚከተለው ቅጽ ሊፃፍ ይችላል።
(3) .
እዚህ

- ክርክሮቹ በእሴቶች ሲጨመሩ የአንድ ተግባር መጨመር እና;
;

- ከተለዋዋጮች እና ከፊል የተግባር ተዋጽኦዎች።
ለቋሚ እሴቶች እና፣ እና የተለዋዋጮች እና ተግባራት ናቸው። እነሱ ወደ ዜሮ ይቀናበራሉ እና:
;
.
ጀምሮ እና ከዚያ
;
.

የተግባር መጨመር፡-

. :
.
እንተካ (3):



.

ቀመሩ ተረጋግጧል.

ከበርካታ ተለዋዋጮች የተገኘ ውስብስብ ተግባር

የተወሳሰቡ ተግባራት ተለዋዋጮች ቁጥር ከሁለት በላይ በሚሆንበት ጊዜ ከላይ ያለው መደምደሚያ ለጉዳዩ በቀላሉ ሊጠቃለል ይችላል።

ለምሳሌ, f ከሆነ የሶስት ተለዋዋጮች ተግባር፣ ያ
,
የት
, እና ለተለዋዋጭ x አንዳንድ እሴት የሚለያዩ ተግባራት አሉ;
- በነጥብ ላይ የሶስት ተለዋዋጮች ሊለያይ የሚችል ተግባር , .
ከዚያ ፣ ከተግባሩ ልዩነት ትርጓሜ ፣ እኛ አለን-
(4)
.
ምክንያቱም ቀጣይነት ስላለው
; ; ,
ያ
;
;
.

(4) በማካፈል እና ወደ ገደቡ በማለፍ፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
.

እና በመጨረሻም, እስቲ እናስብ አብዛኛው አጠቃላይ ጉዳይ .
የተለዋዋጭ x ተግባር እንደ n ተለዋዋጮች ውስብስብ ተግባር በሚከተለው መልክ ይውከል።
,
የት
ለተለዋዋጭ x አንዳንድ እሴት የሚለያዩ ተግባራት አሉ;
- በአንድ ነጥብ ላይ n ተለዋዋጮች መካከል ልዩነት ተግባር
, , ... , .
ከዚያም
.