የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በዘፈቀደ ክስተቶች ላይ ንድፎችን የሚያጠና የሂሳብ ሳይንስ ነው። የንድፈ ሃሳቡ ብቅ ማለት በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን አጋማሽ ላይ እና ከ Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli ስሞች ጋር የተያያዘ ነው.

የማይበሰብሱ ውጤቶችን፣...፣ የአንዳንድ የሙከራ የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች እና አጠቃላይ ድምር እንላቸዋለን

(የተወሰነ) የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ፣ ወይም የውጤቶች ቦታ።

ምሳሌ 21. ሀ) ዳይ ሲጥሉ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ቦታ ስድስት ነጥቦችን ያቀፈ ነው፡-

ለ) አንድ ሳንቲም በተከታታይ ሁለት ጊዜ መጣል, ከዚያም

G "የጦር መሣሪያ" ሲሆን, ፒ "ላቲስ" እና አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት ነው

ሐ) የ "ክንድ ኮት" መጀመሪያ እስኪታይ ድረስ አንድ ሳንቲም ይጣሉት, ከዚያ

በዚህ ሁኔታ የአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ልዩ ቦታ ተብሎ ይጠራል.

ብዙውን ጊዜ አንድ ሰው የሚፈልገው በሙከራ ምክንያት ምን የተለየ ውጤት እንደሚመጣ ሳይሆን ውጤቱ የአንድ ወይም የሌላ የውጤቶች ንዑስ ክፍል መሆን አለመሆኑን ለማወቅ ነው። በሙከራ ሁኔታዎች መሠረት ፣ ከሁለት ዓይነቶች የአንዱ ምላሽ ሊሆን የሚችልባቸው ሁሉም ንዑስ ስብስቦች “ውጤት” ወይም “ውጤት” ፣ ክስተቶችን እንጠራዋለን ።

ለምሳሌ 21 ለ) ስብስብ = (GG, GR, RG) ቢያንስ አንድ "የእጆች ቀሚስ" የሚታይ ክስተት ነው. ክስተቱ ሶስት አንደኛ ደረጃ የቦታ ውጤቶችን ያካትታል, ስለዚህ

የሁለት ክስተቶች ድምር የአንድ ክስተት ወይም ክስተት መሟላት ያቀፈ ክስተት ነው።

የክስተቶች ማምረት የአንድን ክስተት እና ክስተት የጋራ አፈፃፀም ያካተተ ክስተት ነው.

የክስተት ተቃራኒው አለመታየትን ያቀፈ እና፣ስለዚህም እሱን የሚያሟላ ክስተት ነው።

ስብስብ አስተማማኝ ክስተት ይባላል, ባዶ ስብስብ የማይቻል ይባላል.

እያንዳንዱ ክስተት ከክስተቱ ጋር አብሮ የሚሄድ ከሆነ የሚቀድመውን ወይም የሚይዘውን ይጽፋሉ።

ክንውኖች እና ከሆነ እና እኩል ናቸው ይባላል።

ፍቺ የዝግጅቱ ዕድል ከአንደኛ ደረጃ ውጤቶች ብዛት ጥምርታ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው ሁሉንም የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች

እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ጉዳይ ("ክላሲካል" ተብሎ የሚጠራው, ስለዚህ እድሉ

"ክላሲካል" ተብሎ ይጠራል.

በዝግጅቱ ውስጥ የተካተቱት የመጀመሪያ ደረጃ ዝግጅቶች (የልምድ ውጤቶች) "ተወዳጅ" ይባላሉ.

የጥንታዊ ዕድል ባህሪዎች

ከሆነ (እና የማይጣጣሙ ክስተቶች)።

ምሳሌ 22 (የHuygens ችግር)። በሽንት ውስጥ 2 ነጭ እና 4 ጥቁር ኳሶች አሉ። አንድ ቁማርተኛ ከሌላው ጋር ሲወራረድ ከ3ቱ የተሳሉ ኳሶች መካከል በትክክል አንድ ነጭ ይሆናል። የተከራካሪዎቹ እድሎች ከየትኛው አንፃር ነው?

መፍትሄ 1 (ባህላዊ). በዚህ ሁኔታ ፈተናው = (3 ኳሶችን ማውጣት) እና ክስተቱ ከተከራካሪዎቹ ለአንዱ ተስማሚ ነው፡

= (በትክክል አንድ ነጭ ኳስ ያግኙ).

የሶስቱ ኳሶች ቅደም ተከተል አስፈላጊ ስላልሆነ, ከዚያ

አንድ ነጭ ኳስ በጉዳዮች ውስጥ ሊገኝ ይችላል, እና ሁለት ጥቁር - እና ከዚያም በመሠረታዊ የመዋሃድ ህግ መሰረት. ስለዚህ እና በአምስተኛው የይሆናልነት ንብረት ስለዚህ,

መፍትሄ 2. የውጤቶች ሊሆን የሚችል ዛፍ እንፍጠር፡-

ምሳሌ 23. አራት ሳንቲሞች የሚቀሩበትን የአሳማ ባንክ አስቡበት - እያንዳንዳቸው ከ 2 ሩብልስ ውስጥ ሶስት። እና አንድ ለ 5 ሩብልስ. ሁለት ሳንቲሞችን እናወጣለን.

መፍትሄ። ሀ) ሁለት ተከታታይ ማስወገጃዎች (ከመመለስ ጋር) ወደሚከተለው ውጤት ሊመሩ ይችላሉ፡

የእያንዳንዳቸው የእነዚህ ውጤቶች ዕድል ምን ያህል ነው?

ሠንጠረዡ ሁሉንም አሥራ ስድስት ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮችን ያሳያል.

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

የሚከተለው ዛፍ ወደ ተመሳሳይ ውጤቶች ይመራል.

ለ) ሁለት ተከታታይ ማስወገጃዎች (ሳይደጋገሙ) ወደሚከተሉት ሶስት ውጤቶች ሊመራ ይችላል.

ሠንጠረዡ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ያሳያል-

ስለዚህም እ.ኤ.አ.

ተጓዳኝ ዛፍ ወደ ተመሳሳይ ውጤቶች ይመራል.

ምሳሌ 24 (de Mere problem)። ሁለት ሰዎች እስከ አምስት ያሸነፉ የመወርወር ጨዋታ ይጫወታሉ። ጨዋታው የሚቆመው አንደኛው አራት ጨዋታዎችን ሲያሸንፍ ሁለተኛው ደግሞ ሶስት ሲያሸንፍ ነው። በዚህ ጉዳይ ላይ የመጀመሪያ ውርርድ እንዴት መከፋፈል አለበት?

መፍትሄ። ክስተት = (ሽልማት በማሸነፍ የመጀመሪያው ተጫዋች ይሁኑ)። ከዚያ ለመጀመሪያው ተጫዋች የይሆናል ክፍያ ዛፍ እንደሚከተለው ነው።

ስለዚህ የውርርድ ሶስት ክፍሎች ለመጀመሪያው ተጫዋች እና አንድ ክፍል ለሁለተኛው መሰጠት አለባቸው።

በ§1 (ምሳሌ 2) የተመለከትነውን የሚከተለውን ምሳሌ በመጠቀም ግራፎችን በመጠቀም ፕሮባቢሊቲካል ችግሮችን የመፍታትን ውጤታማነት እናሳይ።

ምሳሌ 25. "የመቁጠሪያ ጠረጴዛ" በመጠቀም ምርጫው ፍትሃዊ ነው?

መፍትሄ። ሊፈጠር የሚችል የውጤት ዛፍ እንፍጠር፡-

እና, ስለዚህ, "ጨዋታዎችን በመቁጠር" ሲጫወቱ በሁለተኛ ደረጃ መቆም የበለጠ ትርፋማ ነው.

የመጨረሻው መፍትሔ የመደመር እና የማባዛት ፕሮባቢሊቲ ጽንሰ-ሀሳቦችን የግራፍ ትርጓሜዎችን ይጠቀማል።

እና በተለይም

የማይጣጣሙ ክስተቶች ከሆኑ እና ከሆኑ

እና, ከሆነ እና - ገለልተኛ ክስተቶች.

የማይንቀሳቀስ ዕድል

የጥንታዊው ፍቺ ፣ ውስብስብ ችግሮችን ከግምት ውስጥ ሲያስገባ ፣ ሊታለፍ የማይችል ተፈጥሮ ችግሮች ያጋጥሙታል። በተለይም በአንዳንድ ሁኔታዎች እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮችን መለየት አይቻልም። በሳንቲም ውስጥ እንኳን ፣ እኛ እንደምናውቀው ፣ የ “ጠርዙ” ውድቀት በግልጽ እኩል ያልሆነ ዕድል አለ ፣ ከንድፈ-ሀሳባዊ አመለካከቶች ሊገመገሙ አይችሉም (አንድ ሰው ይህ የማይመስል ነገር ነው እና ይህ ግምት ይልቁንስ ነው ሊባል ይችላል) ተግባራዊ)። ስለዚህ፣ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ምስረታ መጀመሪያ ላይ እንኳን፣ አማራጭ የ“ድግግሞሽ” ፍቺ ቀርቦ ነበር። ማለትም ፣በመደበኛነት ፣ይሁንታ የክስተት ሀ ምልከታ ተደጋጋሚነት ገደብ ተብሎ ሊገለጽ ይችላል ፣ይህም የምልከታዎች ተመሳሳይነት (ይህም የሁሉም ምልከታ ሁኔታዎች ተመሳሳይነት) እና አንዳቸው ከሌላው ነፃ መሆናቸው ነው።

የትዝታዎች ብዛት የት ነው, እና የክስተቱ ክስተቶች ብዛት ነው.

ምንም እንኳን ይህ ፍቺ የማይታወቅ እድልን ለመገመት መንገድን የሚያመለክት ቢሆንም - በብዙ ተመሳሳይ እና ገለልተኛ ምልከታዎች - ቢሆንም ፣ ይህ ፍቺ የእድላቸውን ጽንሰ-ሀሳብ ይዘት ያንፀባርቃል። ማለትም ፣ አንድ የተወሰነ ዕድል ለክስተቱ እንደ የችሎታው ተጨባጭ መለኪያ ከተመደበ ፣ ይህ ማለት በቋሚ ሁኔታዎች እና ተደጋጋሚ ድግግሞሾች ወደ ቅርብ (የበለጠ ምልከታዎች ባሉበት መጠን) ድግግሞሽ ማግኘት አለብን ማለት ነው። በእውነቱ፣ ይህ የፕሮባቢሊቲ ጽንሰ-ሀሳብ የመጀመሪያ ትርጉም ነው። በተፈጥሮ ክስተቶች ላይ በተጨባጭ እይታ ላይ የተመሰረተ ነው. ከዚህ በታች ብዙ ቁጥር ያላቸውን ህጎች የሚባሉትን እናያለን ፣ ይህም በንድፈ-ሀሳባዊ መሠረት (ከዚህ በታች በተዘረዘረው በዘመናዊው የአክሲዮማቲክ አቀራረብ ማዕቀፍ ውስጥ) ፣ የፍጻሜ እድል ግምትን ጨምሮ።

የማዘጋጃ ቤት ትምህርት ተቋም

ጂምናዚየም ቁጥር 6

“የይቻላል ክላሲካል ፍቺ” በሚለው ርዕስ ላይ።

የተጠናቀቀው በ8ኛ ክፍል ተማሪ "ለ"

ክሊማንቶቫ አሌክሳንድራ.

የሂሳብ መምህር፡ ቪደንኪና ቪ.ኤ.

ቮሮኔዝ, 2008

ብዙ ጨዋታዎች ዳይስ ይጠቀማሉ. ኪዩብ 6 ጎኖች ያሉት ሲሆን እያንዳንዱ ጎን ከ 1 እስከ 6 ላይ የተለያየ የነጥቦች ቁጥር ተለይቷል. ተጫዋቹ ዳይቹን ያንከባልልልናል እና በተጣለው ጎን (ከላይ ባለው ጎን ላይ) ስንት ነጥቦች እንዳሉ ይመለከታል. . ብዙውን ጊዜ በኩብ ፊት ላይ ያሉት ነጥቦች በተዛማጅ ቁጥር ይተካሉ ከዚያም 1, 2 ወይም 6 ን ስለማስወጣት ይነጋገራሉ. ዳይ መወርወር እንደ ልምድ, ሙከራ, ሙከራ, እና የተገኘው ውጤት ነው. የፈተና ወይም የአንደኛ ደረጃ ክስተት ውጤት. ሰዎች የዚህን ወይም የዚያ ክስተት ክስተት ለመገመት እና ውጤቱን ለመተንበይ ፍላጎት አላቸው. ዳይቹን በሚሽከረከሩበት ጊዜ ምን ትንበያ ሊሰጡ ይችላሉ? ለምሳሌ እነዚህ፡-

1) ክስተት A - ቁጥር 1, 2, 3, 4, 5 ወይም 6 ተንከባሎ;

2) ክስተት B - ቁጥር 7, 8 ወይም 9 ይታያል;

3) ክስተት C - ቁጥር 1 ይታያል.

በመጀመሪያው ጉዳይ ላይ የተተነበየው ክስተት A, በእርግጠኝነት ይከሰታል. በአጠቃላይ, በተሰጠው ልምድ ውስጥ በእርግጠኝነት የሚከሰት ክስተት ይባላል አስተማማኝ ክስተት .

ክስተት B, በሁለተኛው ጉዳይ ላይ የተተነበየ, በጭራሽ አይከሰትም, በቀላሉ የማይቻል ነው. በአጠቃላይ, በተሰጠው ልምድ ውስጥ ሊከሰት የማይችል ክስተት ይባላል የማይቻል ክስተት .

እና በሶስተኛው ጉዳይ ላይ የተተነበየው ክስተት C ይከሰታል ወይስ አይከሰትም? 1 ሊወድቅ ወይም ላይወድቅ ስለሚችል ይህንን ጥያቄ ሙሉ በሙሉ በእርግጠኝነት መመለስ አልቻልንም። በተሰጠው ልምድ ውስጥ ሊከሰት ወይም ላይሆን የሚችል ክስተት ይባላል የዘፈቀደ ክስተት .

ስለ አስተማማኝ ክስተት ስናስብ ምናልባት “ምናልባት” የሚለውን ቃል አንጠቀምም። ለምሳሌ ዛሬ ረቡዕ ከሆነ ነገ ሐሙስ ከሆነ ይህ አስተማማኝ ክስተት ነው። ረቡዕ “ምናልባት ነገ ሐሙስ ነው” አንልም፣ ባጭሩ እና በግልፅ “ነገ ሀሙስ ነው” እንላለን። እውነት ነው፣ ለሚያምሩ ሀረጎች ከተጋለጥን እንዲህ ማለት እንችላለን፡- “በመቶ በመቶ እድሉ ነገ ሀሙስ ነው እላለሁ። በተቃራኒው ዛሬ ረቡዕ ከሆነ ነገ አርብ መግባት የማይቻል ክስተት ነው። እሮብ ላይ ይህንን ክስተት ስንገመግም “ነገ አርብ እንዳልሆነ እርግጠኛ ነኝ” ማለት እንችላለን። ወይም ይህ፡- “ነገ አርብ መሆኑ የሚገርም ነው።” ደህና፣ ለሚያምሩ ሀረጎች ከተጋለጥን፣ እንዲህ ማለት እንችላለን፡- “ነገ አርብ የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።” ስለዚህ, አስተማማኝ ክስተት በተሰጡት ሁኔታዎች ውስጥ የሚከሰት ክስተት ነው ከመቶ በመቶ ዕድል ጋር(ማለትም በ 10 ጉዳዮች ከ 10, በ 100 ጉዳዮች ከ 100, ወዘተ.). የማይቻል ክስተት በተሰጡት ሁኔታዎች ውስጥ ፈጽሞ የማይከሰት ክስተት ነው, ክስተት ከዜሮ ዕድል ጋር .

ግን, በሚያሳዝን ሁኔታ (እና እንደ እድል ሆኖ), በህይወት ውስጥ ሁሉም ነገር በጣም ግልጽ እና ትክክለኛ አይደለም: ሁልጊዜም ይሆናል (የተወሰነ ክስተት), በጭራሽ አይሆንም (የማይቻል ክስተት). ብዙ ጊዜ የዘፈቀደ ክስተቶች ያጋጥሙናል፣ አንዳንዶቹ የበለጠ ሊሆኑ የሚችሉ፣ ሌሎች ደግሞ እምብዛም የማይሆኑ ናቸው። ብዙውን ጊዜ ሰዎች "የበለጠ" ወይም "ያነሰ" የሚሉትን ቃላት ይጠቀማሉ, እነሱ እንደሚሉት, በፍላጎት, በተለመደ አስተሳሰብ ላይ በመተማመን. ግን ማወቅ አስፈላጊ ስለሆነ ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ያሉ ግምቶች በቂ አይደሉም ለምን ያህል ጊዜበመቶ ምናልባት የዘፈቀደ ክስተት ወይም ምን ያህል ጊዜአንድ የዘፈቀደ ክስተት ከሌላው የበለጠ ዕድል አለው። በሌላ አነጋገር ትክክለኛ ያስፈልገናል በቁጥርባህሪያት፣ ዕድልን በቁጥር መለየት መቻል አለብዎት።

በዚህ አቅጣጫ የመጀመሪያውን እርምጃ ወስደናል. አንድ የተወሰነ ክስተት የመከሰቱ ዕድል ተለይቶ የሚታወቅ ነው ብለናል። መቶ በመቶ, እና የማይቻል ክስተት የመከሰቱ ዕድል እንደ ነው ዜሮ. 100% ከ 1 ጋር እኩል በመሆኑ ሰዎች በሚከተለው ተስማምተዋል፡

1) የአስተማማኝ ክስተት ዕድል እኩል እንደሆነ ይቆጠራል 1;

2) የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ እኩል እንደሆነ ይቆጠራል 0.

የዘፈቀደ ክስተት የመሆን እድልን እንዴት ማስላት ይቻላል? ከሁሉም በኋላ, ተከሰተ በአጋጣሚይህም ማለት ሕጎችን፣ አልጎሪዝምን ወይም ቀመሮችን አይታዘዝም ማለት ነው። በዘፈቀደ ዓለም ውስጥ አንድ ሰው ዕድሎችን ለማስላት የሚያስችሉ አንዳንድ ህጎች ተፈጻሚ ይሆናሉ። ይህ ተብሎ የሚጠራው የሂሳብ ክፍል ነው - ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ .

ሒሳብ ያስተናግዳል። ሞዴልበዙሪያችን ያለው እውነታ አንዳንድ ክስተቶች. በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ጥቅም ላይ ከሚውሉት ሁሉም ሞዴሎች ውስጥ እራሳችንን በጣም ቀላሉን እንገድባለን።

ክላሲካል ፕሮባቢሊቲካል እቅድ

አንዳንድ ሙከራዎችን በሚያካሂዱበት ጊዜ የክስተት ሀ እድልን ለማግኘት የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

1) የዚህ ሙከራ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ቁጥር N ያግኙ;

2) የእነዚህ ሁሉ ውጤቶች እኩል ዕድል (እኩል ዕድል) ግምትን መቀበል;

3) ክስተት A የሚከሰትባቸው የሙከራ ውጤቶች ቁጥር N (A) ያግኙ;

4) ጥቅሱን ይፈልጉ ; ከክስተት ሀ ዕድል ጋር እኩል ይሆናል።

የክስተት A፡ P(A) የመሆን እድልን ማመላከት የተለመደ ነው። የዚህ ስያሜ ማብራሪያ በጣም ቀላል ነው-በፈረንሳይኛ "መቻል" የሚለው ቃል ነው ፕሮባቢላይት፣ በእንግሊዝኛ - የመሆን እድልስያሜው የቃሉን የመጀመሪያ ፊደል ይጠቀማል።

ይህንን ማስታወሻ በመጠቀም በክላሲካል እቅድ መሰረት የክስተት A ዕድል ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል

P(A)=

ብዙውን ጊዜ ሁሉም ከላይ ያለው የጥንታዊ ፕሮባቢሊቲ እቅድ ነጥቦች በአንድ ረዥም ሐረግ ተገልጸዋል።

ክላሲክ የአቅም ፍቺ

በአንድ የተወሰነ ፈተና ወቅት የክስተት ሀ ዕድል የውጤቶች ብዛት ጥምርታ ነው ፣ በዚህ ምክንያት ይህ ክስተት A ከጠቅላላው የዚህ ፈተና ውጤቶች እኩል ሊሆኑ ከሚችሉት አጠቃላይ ቁጥሮች ጋር ነው።

ምሳሌ 1. በአንድ የሞት መወርወር ውጤቱ ሊሆን የሚችልበትን ዕድል ይፈልጉ፡- a) 4; ለ) 5; ሐ) እኩል ቁጥር ያላቸው ነጥቦች; መ) ከ 4 በላይ የሆኑ ነጥቦች ብዛት; ሠ) በሦስት የማይከፋፈሉ የነጥቦች ብዛት።

መፍትሄ. በአጠቃላይ N=6 ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች፡ ከ1፣ 2፣ 3፣ 4፣ 5 ወይም 6 ጋር እኩል የሆኑ ነጥቦች ካሉት ከኩብ ፊት መውደቅ አንዳቸውም ቢሆኑ ከሌሎቹ ምንም አይነት ጥቅም እንደሌለው እናምናለን፣ ማለትም እኛ የእነዚህን ውጤቶች ተመጣጣኝነት ግምት ይቀበሉ.

ሀ) በትክክል ከውጤቶቹ በአንዱ ውስጥ እኛን የሚስብ ክስተት ሀ ይከሰታል - ቁጥሩ 4 ይታያል ይህ ማለት N (A) = 1 እና

ፒ ( ሀ )= =.

ለ) መፍትሄው እና መልሱ ካለፈው አንቀጽ ጋር ተመሳሳይ ነው.

ሐ) የምንፈልገው ክስተት ለ 2 ፣ 4 ወይም 6 የነጥብ ብዛት በሚሆንበት ጊዜ በትክክል በሦስት ጉዳዮች ላይ ይከሰታል ።

ኤን ( ለ =3 እና ፒ ( ለ )==.

መ) እኛ የምንፈልገው ክስተት C የነጥብ ቁጥር 5 ወይም 6 በሚሆንበት ጊዜ በትክክል በሁለት ሁኔታዎች ውስጥ ይከሰታል.

ኤን ( ሲ ) = 2 እና Р (С) =.

ሠ) ከተመረጡት ስድስት ቁጥሮች ውስጥ አራቱ (1 ፣ 2 ፣ 4 እና 5) የሶስት ብዜት አይደሉም ፣ የተቀሩት ሁለቱ (3 እና 6) በሦስት ይከፈላሉ። ይህ ማለት ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት በትክክል ከስድስት ሊሆኑ ከሚችሉት በአራቱ ውስጥ ይከሰታል እና በተመሳሳይ ሁኔታ እና በተመሳሳይ ሁኔታ የሙከራ ውጤቶች። ስለዚህ መልሱ ይሆናል

. ; ለ) ; ቪ) ; ሰ) ; መ)

እውነተኛ ዳይስ ከሃሳባዊ (ሞዴል) ኪዩብ ሊለያይ ይችላል, ስለዚህ, ባህሪውን ለመግለጽ, የአንድን ፊት ጥቅሞች, የማግኔቶችን መኖር, ወዘተ ግምት ውስጥ በማስገባት የበለጠ ትክክለኛ እና ዝርዝር ሞዴል ያስፈልጋል. "ዲያቢሎስ በዝርዝሮች ውስጥ ነው" እና የበለጠ ትክክለኛነት ወደ ከፍተኛ ውስብስብነት ይመራል እና መልስ ማግኘት ችግር ይሆናል. ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች እኩል ሊሆኑ የሚችሉበት ቀላሉን የፕሮባቢሊቲ ሞዴልን ግምት ውስጥ በማስገባት እራሳችንን እንገድባለን።

ማስታወሻ 1. ሌላ ምሳሌ እንመልከት። ጥያቄው ተጠይቆ ነበር፡ “በአንድ ዳይ ጥቅል ላይ ሶስት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?” ተማሪው “የመሆኑ እድሉ 0.5 ነው” ሲል መለሰ። እናም መልሱን ገለጸ፡- “ሦስቱ ይመጣሉ ወይ አይመጡም። ይህ ማለት በአጠቃላይ ሁለት ውጤቶች አሉ እና በትክክል ከመካከላቸው አንዱ ለእኛ ፍላጎት ያለው ክስተት ይከሰታል. ክላሲካል ፕሮባቢሊስቲክ ዕቅድን በመጠቀም መልሱን 0.5 እናገኛለን። በዚህ ምክንያት ስህተት አለ? በመጀመሪያ እይታ, አይደለም. ሆኖም ግን, አሁንም አለ, እና በመሠረታዊ መንገድ. አዎን፣ በእርግጥ፣ አንድ ሶስት ይመጣሉ ወይም አይመጡም፣ ማለትም፣ በዚህ የመጣል N=2 ውጤት ፍቺ። በተጨማሪም N (A) = 1 እና በእርግጥ ይህ እውነት ነው

=0.5, ማለትም የፕሮባቢሊስት እቅድ ሶስት ነጥቦች ግምት ውስጥ ይገባሉ, ነገር ግን የነጥብ 2 ትግበራ ጥርጣሬ ውስጥ ነው. እርግጥ ነው፣ ከህግ አንፃር ሲታይ፣ ሶስቱን ማንከባለል አለመፍረስ እኩል ነው ብለን የማመን መብት አለን። ግን ስለ ጫፎቹ "ተመሳሳይነት" የራሳችንን የተፈጥሮ ግምቶች ሳንጣስ እንደዚያ ማሰብ እንችላለን? በጭራሽ! እዚህ በተወሰነ ሞዴል ውስጥ ትክክለኛውን ምክንያት እያስተናገድን ነው. ግን ይህ ሞዴል ራሱ "ስህተት" ነው, ከእውነተኛው ክስተት ጋር አይዛመድም.

ማስታወሻ 2. ስለ ፕሮባቢሊቲ ሲወያዩ የሚከተሉትን አስፈላጊ ሁኔታዎች አይዘንጉ። ዳይ ሲወረውር ብንል አንድ ነጥብ የማግኘት እድሉ ነው።

ይህ ማለት ግን ዳይሱን 6 ጊዜ በማንከባለል አንድ ነጥብ በትክክል አንድ ጊዜ ያገኛሉ ማለት አይደለም ፣ ዳይሱን 12 ጊዜ በመወርወር አንድ ነጥብ በትክክል ሁለት ጊዜ ያገኛሉ ፣ ዳይሱን 18 ጊዜ በመወርወር አንድ ነጥብ በትክክል ሶስት ያገኛሉ ማለት አይደለም ። ጊዜ, ወዘተ. ቃሉ ምናልባት ግምታዊ ሊሆን ይችላል. በጣም ሊከሰት የሚችለውን እንገምታለን። ምን አልባትም ዳይሱን 600 ጊዜ ብንጠቀልልስ አንድ ነጥብ 100 ጊዜ ወይም ወደ 100 ገደማ ይደርሳል።

ክስተቶችን እንደየችሎታቸው መጠን በቁጥር ለማነፃፀር ፣በግልፅ ፣ ከእያንዳንዱ ክስተት ጋር የተወሰነ ቁጥር ማገናኘት አስፈላጊ ነው ፣ይህም ትልቅ ነው ፣ክስተቱ በተቻለ መጠን። ይህንን ቁጥር የክስተቱ ዕድል ብለን እንጠራዋለን። ስለዚህም የአንድ ክስተት ዕድልየዚህ ክስተት ተጨባጭ ሁኔታ ደረጃ የቁጥር መለኪያ ነው።

የመጀመሪያው የይሆናልነት ፍቺ እንደ ክላሲካል ሊቆጠር ይገባል፣ እሱም ከቁማር ትንተና የተነሳው እና መጀመሪያ ላይ በማስተዋል የተተገበረው።

ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ የመወሰን ዘዴ በእኩል ሊቻሉ የሚችሉ እና የማይጣጣሙ ክስተቶች ጽንሰ-ሀሳብ ላይ የተመሰረተ ነው, እነዚህም የአንድ ልምድ ውጤቶች ናቸው እና ሙሉ ለሙሉ የማይጣጣሙ ክስተቶች ስብስብ.

በጣም ቀላል የሆነው እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች የተሟላ ቡድን በመፍጠር አንድ ወይም ሌላ ኳስ ተመሳሳይ መጠን ፣ ክብደት እና ሌሎች ተመሳሳይ ኳሶችን የያዙ ፣ በቀለም ብቻ የሚለያዩ ፣ ከመውረዱ በፊት በደንብ የተደባለቀ አንድ ወይም ሌላ ኳስ ከሽንት ውስጥ ብቅ ማለት ነው።

ስለዚህ፣ ውጤቶቹ ሙሉ በሙሉ የማይጣጣሙ እና እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶችን የሚመሰርቱት ፈተና ለሽንት ጥለት፣ ወይም ለጉዳይ ስርዓተ-ጥለት፣ ወይም ከጥንታዊው ስርዓተ-ጥለት ጋር የሚጣጣም ነው ተብሏል።

የተሟላ ቡድንን የሚያካትት እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና የማይጣጣሙ ክስተቶች በቀላሉ ጉዳዮች ወይም እድሎች ይባላሉ። ከዚህም በላይ በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ, ከጉዳዮች ጋር, የበለጠ ውስብስብ ክስተቶች ሊከሰቱ ይችላሉ.

ምሳሌ: ዳይስ ሲጣሉ, ከጉዳዮቹ A i ጋር - በላይኛው በኩል የ i-ነጥብ መጥፋት, እንደ B ያሉ ክስተቶችን ግምት ውስጥ ማስገባት እንችላለን - እኩል ነጥቦችን ማጣት, C - የቁጥር ብዛት ማጣት. የሶስት ብዜት የሆኑ ነጥቦች...

በሙከራው ወቅት ሊከሰት ከሚችለው እያንዳንዱ ክስተት ጋር በተያያዘ ጉዳዮች ተከፋፍለዋል ተስማሚ, ይህ ክስተት የሚከሰትበት, እና የማይመች, ክስተቱ የማይከሰትበት. በቀደመው ምሳሌ, ክስተት B በጉዳዮች A 2, A 4, A 6 ይመረጣል. ክስተት ሐ - ጉዳዮች A 3 ፣ A 6።

ክላሲካል ፕሮባቢሊቲየአንድ የተወሰነ ክስተት መከሰት ለዚህ ክስተት ተስማሚ የሆኑ የጉዳይ ብዛት ጥምርታ እና በተጠቀሰው ሙከራ ውስጥ የተሟላ ቡድንን የሚያካትት እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና የማይጣጣሙ ጉዳዮች ብዛት ይባላል።

የት ፒ(ኤ)- ክስተት A የመከሰት እድል; ኤም- ለክስተት A ተስማሚ የሆኑ ጉዳዮች ብዛት; n- አጠቃላይ ጉዳዮች ብዛት.

ምሳሌዎች፡-

1) (ከላይ ያለውን ምሳሌ ይመልከቱ) ፒ(ለ)= , ፒ (ሲ) =.

2) ሽንት 9 ቀይ እና 6 ሰማያዊ ኳሶችን ይይዛል። በዘፈቀደ የተሳሉ አንድ ወይም ሁለት ኳሶች ወደ ቀይ የመሆን እድል ይፈልጉ።

ሀ- በዘፈቀደ የተሳለ ቀይ ኳስ;

ኤም= 9, n= 9 + 6 = 15, ፒ(ኤ)=

ለ- በዘፈቀደ የተሳሉ ሁለት ቀይ ኳሶች;

የሚከተሉት ባህሪያት ከጥንታዊው የይሁንታ ፍቺ ይከተላሉ (እራስዎን ያሳዩ)

1) የማይቻል ክስተት ዕድል 0 ነው;

2) አስተማማኝ ክስተት የመሆን እድሉ 1;

3) የማንኛውም ክስተት ዕድል በ0 እና 1 መካከል ነው።

4) ከክስተት ሀ ተቃራኒ የሆነ ክስተት የመሆን እድሉ ፣

ክላሲክ የይቻላል ፍቺ የሙከራ ውጤቶች ብዛት ያለቀ ነው ብሎ ያስባል። በተግባር ፣ ብዙ ጊዜ ፈተናዎች አሉ ፣ ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮች ብዛት ማለቂያ የለውም። በተጨማሪም ፣ የጥንታዊው ትርጓሜ ድክመት ብዙውን ጊዜ የፈተናውን ውጤት በአንደኛ ደረጃ ክስተቶች ስብስብ መወከል የማይቻል መሆኑ ነው። የፈተናውን የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች በእኩል ደረጃ ለማጤን ምክንያቶችን ማመላከት የበለጠ ከባድ ነው። አብዛኛውን ጊዜ የአንደኛ ደረጃ የፈተና ውጤቶች ተመጣጣኝነት ከሲሜትሪ ግምት ውስጥ ይደመደማል። ይሁን እንጂ እንዲህ ያሉ ሥራዎች በተግባር በጣም ጥቂት ናቸው. በነዚህ ምክንያቶች፣ ከጥንታዊው ፕሮባቢሊቲ ፍቺ ጋር፣ ሌሎች የፍቺ ፍቺዎችም ጥቅም ላይ ይውላሉ።

የስታቲስቲክስ ዕድልክስተት ሀ በተደረጉት ሙከራዎች ውስጥ የዚህ ክስተት ክስተት አንጻራዊ ድግግሞሽ ነው፡-

የ A ክስተት የመከሰት ዕድል የት ነው;

የክስተት ክስተት አንጻራዊ ድግግሞሽ;

ክስተት A የታየባቸው የሙከራዎች ብዛት;

አጠቃላይ የሙከራዎች ብዛት።

እንደ ክላሲካል ፕሮባቢሊቲ ሳይሆን፣ ስታቲስቲካዊ ፕሮባቢሊቲ የሙከራ ባህሪ ነው።

ምሳሌ፡- የምርቶችን ጥራት ከአንድ ባች ለመቆጣጠር 100 ምርቶች በዘፈቀደ ተመርጠዋል ከነዚህም መካከል 3 ምርቶች ጉድለት አለባቸው። የጋብቻ እድልን ይወስኑ.

.

ፕሮባቢሊቲውን የመወሰን እስታቲስቲካዊ ዘዴ የሚተገበረው የሚከተሉት ባህሪያት ላላቸው ክስተቶች ብቻ ነው፡

ከግምት ውስጥ የሚገቡት ክንውኖች በተመሳሳዩ የሁኔታዎች ስብስብ ውስጥ ያልተገደበ ቁጥር ሊባዙ የሚችሉት የእነዚያ ፈተናዎች ብቻ ውጤቶች መሆን አለባቸው።

ክስተቶች እስታቲስቲካዊ መረጋጋት (ወይም አንጻራዊ ድግግሞሽ መረጋጋት) ሊኖራቸው ይገባል። ይህ ማለት በተለያዩ ተከታታይ ሙከራዎች የዝግጅቱ አንጻራዊ ድግግሞሽ ትንሽ ይቀየራል።

ክስተት A የሚያስከትሉት የሙከራዎች ብዛት በጣም ትልቅ መሆን አለበት።

ከጥንታዊው ፍቺ የሚነሱ የይሆናልነት ባህሪያት በስታቲስቲካዊ የይሆናልነት ፍቺ ውስጥ እንደተጠበቁ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

ክላሲክ የአቅም ፍቺ።

ከላይ እንደተጠቀሰው, ከትልቅ ቁጥር ጋር n የሙከራ ድግግሞሽ P*(A)=ሜ/ nየአንድ ክስተት ክስተት ሀ የተረጋጋ ነው እና የአንድ ክስተት እድል ግምታዊ ዋጋ ይሰጣል ሀ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. .

ይህ ሁኔታ የአንድ ክስተትን ግምታዊ እድል በሙከራ እንድናገኝ ያስችለናል። በተግባር ይህ የክስተቱን እድል የማግኘት ዘዴ ሁልጊዜ ምቹ አይደለም. ከሁሉም በላይ, ከሙከራው በፊት እንኳን, የአንዳንድ ክስተቶችን ዕድል አስቀድመን ማወቅ አለብን. ይህ የሳይንስ ሂዩሪስቲክ ፣ ትንበያ ሚና ነው። በበርካታ አጋጣሚዎች የክስተቶች ተመጣጣኝነት (ወይም ተመጣጣኝነት) ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም የዝግጅቱ እድል ከመሞከር በፊት ሊታወቅ ይችላል.

ሁለቱ ክስተቶች ተጠርተዋል እኩል ሊሆን ይችላል። (ወይም እኩል ይቻላል ), ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው በበለጠ ብዙ ጊዜ ሊከሰት እንደሚችል ለማመን ምንም ተጨባጭ ምክንያቶች ከሌሉ.

ስለዚህ ፣ ለምሳሌ ፣ ሳንቲም በሚወረውርበት ጊዜ የጦር ቀሚስ ወይም ጽሑፍ ላይ መታየት እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ናቸው።

ሌላ ምሳሌ እንመልከት። ዳይቹን ይጣሉት. በኪዩብ ሲምሜትሪ ምክንያት, የየትኛውም ቁጥሮች ገጽታ እንደሆነ መገመት እንችላለን 1, 2, 3, 4, 5 ወይም 6 በተቻለ መጠን (በተመሳሳይ ሁኔታ)።

ክስተቶች በዚህ ሙከራ ውስጥ ይመሰረታሉ ሙሉ ቡድን , ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ በሙከራው ምክንያት መከሰት ካለበት. ስለዚህ, በመጨረሻው ምሳሌ, የተሟላ የክስተቶች ቡድን ስድስት ክስተቶችን ያካትታል - የቁጥሮች ገጽታ 1, 2, 3, 4, 5 እና 6.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ማንኛውም ክስተት ሀ እና የእሱ ተቃራኒ ክስተት ሙሉ ቡድን ይመሰርታል.

ክስተት ለ ተብሎ ይጠራል ተስማሚ ክስተት ሀ , የአንድ ክስተት ክስተት ከሆነ ለ የአንድ ክስተት መከሰትን ይጨምራል ሀ . ስለዚህ, ከሆነ ሀ - ዳይስ በሚጥሉበት ጊዜ እኩል የነጥቦች ብዛት ፣ ከዚያ የቁጥሩ ገጽታ 4 አንድን ክስተት የሚደግፍ ክስተት ይወክላል ሀ.

ክስተቶች ይሁን በዚህ ሙከራ ውስጥ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና ጥንድ ያልሆኑ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ሙሉ ቡድን ይመሰርታሉ። እንጥራላቸው ውጤቶች ፈተናዎች. ዝግጅቱ እንደሆነ እናስብ ሀ የሙከራ ውጤቶችን ሞገስ. ከዚያ የዝግጅቱ ዕድል ሀ በዚህ ሙከራ ውስጥ አመለካከት ይባላል. ስለዚህ ወደሚከተለው ፍቺ ደርሰናል።

በአንድ የተወሰነ ሙከራ ውስጥ ያለው የክስተት ዕድል P(A) ለክስተቱ ሀ ተስማሚ የሆኑ የሙከራ ውጤቶች ብዛት ከጠቅላላው ሊሆኑ ከሚችሉ የሙከራ ውጤቶች ብዛት ጋር እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ጥንዶች ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች የተሟላ ቡድን ይመሰርታሉ። .

ይህ የአቅም ፍቺ ብዙ ጊዜ ይባላል ክላሲክ. ክላሲካል ፍቺው የመቻልን አክሲሞች እንደሚያረካ ማሳየት ይቻላል።

ምሳሌ 1.1.አንድ ስብስብ ከ 1000 ተሸካሚዎች. ወደዚህ ስብስብ የገባሁት በአጋጣሚ ነው። 30 መስፈርቱን የማያሟሉ ተሸካሚዎች. የመሆን እድልን ይወስኑ ፒ(ኤ) በዘፈቀደ የተወሰደ ቁርኝት ወደ መደበኛነት እንደሚቀየር።

መፍትሄ፡-የመደበኛ መሸጫዎች ብዛት ነው 1000-30=970 . እያንዳንዱ ተሸካሚ የመመረጥ እድሉ ተመሳሳይ ነው ብለን እንገምታለን። ከዚያ የተሟላ የክስተቶች ቡድን እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ያቀፈ ነው ፣ ከእነዚህም ውስጥ ክስተቱ ሀ ሞገስ ውጤቶች. ለዛ ነው .

ምሳሌ 1.2.በሽንት ውስጥ 10 ኳሶች፡- 3 ነጭ እና 7 ጥቁር. ሁለት ኳሶች በአንድ ጊዜ ከሽንት ውስጥ ይወሰዳሉ. ምን ሊሆን ይችላል አር ሁለቱም ኳሶች ወደ ነጭነት ይለወጣሉ?

መፍትሄ፡-የሁሉም እኩል ሊሆኑ የሚችሉ የፈተና ውጤቶች ቁጥር ከየትኞቹ መንገዶች ብዛት ጋር እኩል ነው። 10 ሁለት ኳሶችን ያውጡ, ማለትም የጥምረቶች ብዛት ከ 10 ንጥረ ነገሮች በ 2 (ሙሉ የዝግጅት ቡድን)

ምቹ ውጤቶች ብዛት (አንድ ሰው በምን ያህል መንገዶች መምረጥ ይችላል) 3 ኳሶችን ይምረጡ 2) : . ስለዚህ, አስፈላጊው ዕድል .

ወደ ፊት ስንመለከት, ይህ ችግር በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል.

መፍትሄ፡-በመጀመሪያው ሙከራ (ኳስ ማውጣት) ነጭ ኳስ የመሳብ እድሉ ከጠቅላላ ኳሶች ጋር እኩል ነው። 10 , ከእነርሱ 3 ነጭ). በሁለተኛው ሙከራ ወቅት ነጭ ኳስ እንደገና የመሳብ እድሉ እኩል ነው (የኳሶች አጠቃላይ ቁጥር አሁን ነው) 9, ምክንያቱም አንዱን አውጥተው ነጭ ሆነ 2, ምክንያቱም ነጩን አወጡ)። በዚህም ምክንያት ክስተቶችን የማጣመር እድሉ ከምርታቸው ውጤት ጋር እኩል ነው, ማለትም. .

ምሳሌ 1.3.በሽንት ውስጥ 2 አረንጓዴ, 7 ቀይ, 5 ቡናማ እና 10 ነጭ ኳሶች. ባለቀለም ኳስ የመታየት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡- እንደ ቅደም ተከተላቸው, አረንጓዴ, ቀይ እና ቡናማ ኳሶች የመታየት እድሎችን እናገኛለን:; ; . እየተገመቱ ያሉት ክስተቶች በግልጽ የማይጣጣሙ በመሆናቸው የመደመር አክሱምን በመጠቀም ባለቀለም ኳስ የመታየት እድሉን እናገኛለን።

ወይም በሌላ መንገድ። ነጭ ኳስ የመታየት እድሉ ነው። ከዚያም ነጭ ያልሆነ ኳስ (ማለትም ባለቀለም) የመታየት እድሉ, ማለትም. የተቃራኒው ክስተት ዕድል እኩል ነው .

የፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺ. ክላሲካል ትርጓሜ ፕሮባቢሊቲ ያለውን ኪሳራ ለማሸነፍ (ውጤቶች ማለቂያ በሌለው ቁጥር ጋር ፈተናዎች ላይ ተፈፃሚ አይሆንም), ፕሮባቢሊቲ ጂኦሜትሪክ ፍቺ አስተዋወቀ - አንድ ነጥብ ክልል ውስጥ መውደቅ እድል (ክፍል, የአውሮፕላን አካል,) ወዘተ)።

ክፍሉ የክፍሉ አካል ይሁን። አንድ ነጥብ በዘፈቀደ በአንድ ክፍል ላይ ተቀምጧል, ይህም ማለት የሚከተሉት ግምቶች ተሟልተዋል-የተቀመጠው ነጥብ በክፍሉ ላይ በማንኛውም ቦታ ላይ ሊሆን ይችላል, በክፍሉ ላይ የመውደቅ ዕድሉ ከክፍሉ ርዝመት ጋር ተመጣጣኝ ነው እና አይደለም. ከክፍሉ አንጻር ባለው ቦታ ላይ ይወሰናል. በእነዚህ ግምቶች ስር አንድ ነጥብ በአንድ ክፍል ላይ የመውደቅ እድሉ የሚወሰነው በእኩልነት ነው።