በመጀመሪያ ደረጃ, የቬክተርን ጽንሰ-ሐሳብ ራሱ መረዳት አለብን. ትርጉሙን ለማስተዋወቅ ጂኦሜትሪክ ቬክተርአንድ ክፍል ምን እንደሆነ እናስታውስ. የሚከተለውን ፍቺ እናስተዋውቅ።

ፍቺ 1

ክፍል በነጥብ መልክ ሁለት ድንበሮች ያሉት የመስመር አካል ነው።

አንድ ክፍል 2 አቅጣጫዎች ሊኖሩት ይችላል. አቅጣጫውን ለማመልከት ከክፍሉ ድንበሮች አንዱን ጅማሬውን እና ሌላኛውን ወሰን መጨረሻውን እንጠራዋለን. መመሪያው ከመጀመሪያው እስከ ክፍል መጨረሻ ድረስ ይጠቁማል.

ፍቺ 2

ቬክተር ወይም የተመራው ክፍል የትኛው ክፍል ወሰኖች እንደ መጀመሪያ እና የትኛው መጨረሻ እንደሆነ የሚታወቅበት ክፍል ይሆናል.

ስያሜ፡ በሁለት ፊደላት፡ $\overline(AB)$ – ($A$ መነሻው ሲሆን $B$ መጨረሻው በሆነበት)።

በአንድ ትንሽ ፊደል፡ $\overline(a)$ (ምስል 1)።

አሁን የቬክተር ርዝመት ጽንሰ-ሐሳብን በቀጥታ እናስተዋውቅ.

ፍቺ 3

የቬክተር $\overline(a)$ የክፍሉ ርዝመት $a$ ይሆናል።

ማስታወሻ፡ $|\overline(a)|$

የቬክተር ርዝመት ጽንሰ-ሐሳብ ለምሳሌ እንደ ሁለት ቬክተሮች እኩልነት ካለው ጽንሰ-ሐሳብ ጋር የተያያዘ ነው.

ፍቺ 4

ሁለት ሁኔታዎችን ካሟሉ ሁለት ቬክተሮች እኩል እንላለን፡ 1. ኮዲሬክሽናል ናቸው; 1. ርዝመታቸው እኩል ነው (ምስል 2).

ቬክተሮችን ለመወሰን, የማስተባበር ስርዓት ያስገቡ እና በገባው ስርዓት ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎችን ይወስኑ. እንደምናውቀው ማንኛውም ቬክተር በ$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$፣$m$ እና $n$ እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ እና በ$\overline መልክ ሊበሰብሱ ይችላሉ። (i )$ እና $\overline(j)$ በ$Ox$ እና $Oy$ ዘንግ ላይ እንደቅደም ተከተላቸው አሃዶች ናቸው።

ፍቺ 5

የቬክተሩን የማስፋፊያ ቅንጅቶች $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ የዚህ ቬክተር መጋጠሚያዎች በተዋወቀው የማስተባበሪያ ሲስተም እንላቸዋለን። በሒሳብ፡-

$\overline(c)=(m,n)$

የቬክተርን ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?

የዘፈቀደ ቬክተር ርዝመትን ለማስላት መጋጠሚያዎቹን ለመስጠት ቀመር ለማግኘት የሚከተለውን ችግር ያስቡበት።

ምሳሌ 1

የተሰጠው፡ vector $\overline(α)$ ከመጋጠሚያዎች $(x፣y)$ ጋር። አግኝ: የዚህ ቬክተር ርዝመት.

በአውሮፕላኑ ላይ የካርቴዥያን መጋጠሚያ ስርዓት $ xOy$ እናስተዋውቅ። $\overline(OA)=\overline(a)$ ከተዋወቀው የማስተባበሪያ ስርዓት መነሻዎች ወደ ጎን እናስቀምጥ። በተሰራው ቬክተር $OA_1$ እና $OA_2$ በቅደም ተከተል በ$Ox$ እና $Oy$ መጥረቢያ ላይ እንስራ (ምስል 3)።

እኛ የገነባነው ቬክተር $\overline(OA)$ ለነጥብ $A$ ራዲየስ ቬክተር ይሆናል፣ስለዚህ፣መጋጠሚያዎች $(x፣y)$ ይኖረዋል፣ይህም ማለት ነው።

$=x$፣ $[OA_2]=y$

አሁን የፒታጎሪያን ቲዎሪ በመጠቀም አስፈላጊውን ርዝመት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን, እናገኛለን

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

መልስ፡$\sqrt(x^2+y^2)$

ማጠቃለያ፡-መጋጠሚያዎቹ የተሰጡትን የቬክተር ርዝመት ለማግኘት የእነዚህን መጋጠሚያዎች ድምር የካሬውን ሥር ማግኘት አስፈላጊ ነው.

ምሳሌዎች ተግባራት

ምሳሌ 2

የሚከተሉት መጋጠሚያዎች ባላቸው በ$(-1.5)$ እና በ$(7.3)$፣ በቅደም ተከተል በ$ X$ እና $Y$ መካከል ያለውን ርቀት ያግኙ።

ማንኛቸውም ሁለት ነጥቦች ከቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ ጋር በቀላሉ ሊገናኙ ይችላሉ. ለምሳሌ ቬክተር $\overline(XY)$ን አስብ። ቀደም ሲል እንደምናውቀው, የእንደዚህ አይነት ቬክተር መጋጠሚያዎች የመነሻ ነጥብ ($ X$) ተጓዳኝ መጋጠሚያዎችን ከመጨረሻው ነጥብ ($ Y$) በመቀነስ ሊገኙ ይችላሉ. ያንን እናገኛለን

Yandex.RTB R-A-339285-1

የቬክተር a → ርዝመት በ → ይገለጻል። ይህ ምልክት ከቁጥር ሞጁል ጋር ተመሳሳይ ነው, ስለዚህ የቬክተር ርዝመት የቬክተር ሞዱል ተብሎም ይጠራል.

በአውሮፕላኑ ላይ ያለውን የቬክተር ርዝመት ከመጋጠሚያዎቹ ለማግኘት፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት O x yን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል። አንዳንድ ቬክተር a → ከመጋጠሚያዎች ጋር x በውስጡ ይገለጽ። አይ. የቬክተርን a → በ x እና a y መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን ርዝመት (ሞዱሉስ) ለማግኘት ቀመር እናስተዋውቅ።

ቬክተር O A → = a → ከመነሻው እንይ. በተጋጠሙትም ዘንጎች ላይ ያለውን ነጥብ A ተዛማጅ ትንበያዎች A x እና A ብለን እንገልጻቸው። አሁን O A x A A y ዲያግናል ኦኤ ያለው አራት ማዕዘን ያስቡበት።

ከ Pythagorean ቲዎሬም እኩልነት O A 2 = O A x 2 + O A y 2 ይከተላል, ከዚያ O A = O A x 2 + O A y 2 . ከወዲሁ የሚታወቅ ትርጉምየቬክተር መጋጠሚያዎች በአራት ማዕዘን የካርቴሲያን ስርዓትመጋጠሚያዎች O A x 2 = a x 2 እና O A y 2 = a y 2 እና በግንባታ የ O A ርዝመት ከቬክተር O A → ርዝመት ጋር እኩል ነው, እሱም O A → = O A x 2 + O A y 2 ማለት ነው.

ከዚህ በመነሳት ነው የቬክተር ርዝመት ለማግኘት ቀመር a → = a x; a y ተዛማጅ ቅጽ አለው: a → = a x 2 + a y 2 .

ቬክተሩ a → በተቀናጀ ቬክተር a → = a x i → + a y j → በማስፋፊያ መልክ ከተሰጠ ርዝመቱ ተመሳሳይ ቀመር a → = a x 2 + a y 2 በመጠቀም ሊሰላ ይችላል, በዚህ ሁኔታ የቁጥር አሃዞች a x. እና a y እንደ የቬክተር መጋጠሚያዎች a → in የተሰጠው ሥርዓትመጋጠሚያዎች

ምሳሌ 1

የቬክተሩን ርዝመት አስሉ a → = 7; ሠ፣ በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ ተገልጿል።

መፍትሄ

የቬክተርን ርዝመት ለማግኘት የቬክተርን ርዝመት ለመፈለግ ቀመርን እንጠቀማለን a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

መልስ፡- a → = 49 + ሠ.

የቬክተርን ርዝመት ለማግኘት ቀመር a → = a x; አ y; a z በካርቴሲያን አስተባባሪ ስርዓት ኦክሲዝ በጠፈር ውስጥ ካለው መጋጠሚያዎች፣ በአውሮፕላን ላይ ካለው የጉዳዩ ቀመር ጋር ተመሳሳይ ነው (ከዚህ በታች ያለውን ምስል ይመልከቱ)

በዚህ ሁኔታ O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (OA አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ዲያግናል ስለሆነ) ስለዚህ O A = O A x 2 + O A y 2 + O Az 2 . ከቬክተር መጋጠሚያዎች ትርጓሜ የሚከተሉትን እኩልነቶች O A x = a x መጻፍ እንችላለን; O A y = a y; O A z = a z; , እና ርዝመቱ OA ከምንፈልገው የቬክተር ርዝመት ጋር እኩል ነው, ስለዚህ, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

የሚከተለው የቬክተር ርዝመት a → = a x; አ y; a z ከ → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2

የቬክተሩን ርዝመት አስሉ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , የት i → , j → , k → የአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት አሃድ ቬክተሮች ናቸው.

መፍትሄ

የቬክተር መበስበስ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → ተሰጥቷል ፣ መጋጠሚያዎቹ a → = 4 ፣ - 3 ፣ 5 ናቸው። ከላይ ያለውን ቀመር በመጠቀም → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 እናገኛለን።

መልስ፡- ሀ → = 5 2 .

የቬክተር ርዝመት በመነሻ እና የመጨረሻ ነጥቦቹ መጋጠሚያዎች በኩል

የቬክተርን ርዝማኔ ከመጋጠሚያዎቹ እንዲያገኙ የሚያስችልዎ ቀመሮች ከዚህ በላይ ተወስደዋል። ጉዳዮችን በአውሮፕላን እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ተመልክተናል። የቬክተርን መጋጠሚያዎች ከመነሻ እና የመጨረሻ ነጥቦቹ መጋጠሚያዎች ለማግኘት እንጠቀምባቸው።

ስለዚህ፣ ከተሰጡት መጋጠሚያዎች A (a x; a y) እና B (b x; b y) ጋር ነጥቦች ተሰጥተዋል፣ ስለዚህም ቬክተር A B → መጋጠሚያዎች አሉት ( b x - a x; b y - a y) ይህም ማለት ርዝመቱ በቀመር ሊወሰን ይችላል: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

እና ከተሰጡት መጋጠሚያዎች A (a x; a y; a z) እና B (b x; by; b z) ጋር በሶስት-ልኬት ቦታ ላይ ከተሰጡ የቬክተር A B → ርዝመት በቀመርው ሊሰላ ይችላል.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

ምሳሌ 3

በአራት ማዕዘን ቅንጅት ስርዓት A 1, 3, B - 3, 1 ውስጥ ከሆነ የቬክተሩን A B → ይፈልጉ.

መፍትሄ

በአውሮፕላኑ ላይ ካሉት የመጀመሪያ እና የመጨረሻ ነጥቦች መጋጠሚያዎች የቬክተርን ርዝመት ለማግኘት ቀመርን በመጠቀም A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) እናገኛለን ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

ሁለተኛው መፍትሄ በተራው እነዚህን ቀመሮች መተግበርን ያካትታል: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

መልስ፡- ሀ ለ → = 20 - 2 3 .

ምሳሌ 4

የቬክተር A B → A (0, 1, 2) ከሆነ ከ 30 ጋር እኩል የሚሆነውን ምን ያህል ዋጋዎች ይወስኑ; ለ (5፣ 2፣ λ 2)

መፍትሄ

በመጀመሪያ የቬክተሩን A B → ቀመሩን በመጠቀም እንፃፍ፡- A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

ከዚያ የተገኘውን አገላለጽ ከ 30 ጋር እናመሳሰለዋለን፣ ከዚህ የምንፈልገውን λ እናገኛለን፡-

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 እና λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 ፣ λ 2 = 2፣ λ 3 = 0።

መልስ፡- λ 1 = - 2፣ λ 2 = 2፣ λ 3 = 0።

የኮሳይን ቲዎሬምን በመጠቀም የቬክተርን ርዝመት ማግኘት

ወዮ, በችግሮች ውስጥ የቬክተሩ መጋጠሚያዎች ሁልጊዜ አይታወቁም, ስለዚህ የቬክተሩን ርዝመት ለማግኘት ሌሎች መንገዶችን እንመለከታለን.

የሁለት ቬክተር ርዝማኔዎች A B →, A C → እና በመካከላቸው ያለው አንግል (ወይም የማዕዘን ኮሳይን) ይስጥ እና የቬክተር B C → ወይም C B → ርዝመትን ማግኘት ያስፈልግዎታል. በዚህ ሁኔታ የኮሳይን ቲዎረም በሶስት ማዕዘን △ A B C ውስጥ መጠቀም እና የጎን B C ርዝመትን ማስላት አለብዎት, ይህም ከሚፈለገው የቬክተር ርዝመት ጋር እኩል ነው.

የሚከተለውን ምሳሌ ተጠቅመን ይህንን ጉዳይ እንመልከተው።

ምሳሌ 5

የቬክተሮች A B → እና A C → በቅደም ተከተል 3 እና 7 ሲሆኑ በመካከላቸው ያለው አንግል π 3 ነው። የቬክተር B C → ርዝመትን አስሉ.

መፍትሄ

የቬክተር B C → በዚህ ጉዳይ ላይ የሶስት ማዕዘን ጎን B C ርዝመት ጋር እኩል ነው △ A B C . የሶስት ማዕዘን ጎኖች A B እና A C ርዝማኔዎች ከሁኔታዎች ይታወቃሉ (እነሱ ከተዛማጅ ቬክተሮች ርዝመቶች ጋር እኩል ናቸው), በመካከላቸው ያለው አንግልም ይታወቃል, ስለዚህ የኮሳይን ንድፈ ሃሳብን መጠቀም እንችላለን: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 ስለዚህም B C → = 37 .

መልስ፡- B C → = 37 .

ስለዚህ, ከመጋጠሚያዎች የቬክተር ርዝመትን ለማግኘት, አሉ የሚከተሉት ቀመሮች a → = a x 2 + a y 2 or a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, በቬክተር A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 መጋጠሚያዎች መሠረት. ወይም A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, በአንዳንድ ሁኔታዎች የኮሳይን ቲዎረም ጥቅም ላይ መዋል አለበት.

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

በመጨረሻም፣ በዚህ ሰፊ እና በጉጉት በጠበቅኩት ርዕስ ላይ እጄን አገኘሁ። የትንታኔ ጂኦሜትሪ . በመጀመሪያ ስለ ትንሽ ይህ ክፍልከፍተኛ የሂሳብ... በርግጥ አሁን ብዙ ቲዎሬሞችን፣ ማስረጃዎቻቸውን፣ ሥዕሎቻቸውን፣ ወዘተ ያሉትን የት/ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ታስታውሳላችሁ። ምን መደበቅ እንዳለበት፣ ያልተወደደ እና ብዙ ጊዜ ግልጽ ያልሆነ ርዕሰ ጉዳይ ለብዙ ተማሪዎች ክፍል። የትንታኔ ጂኦሜትሪ፣ በሚያስገርም ሁኔታ፣ የበለጠ ሳቢ እና ተደራሽ ሊመስል ይችላል። “ትንታኔ” የሚለው ቅጽል ምን ማለት ነው? ሁለት የተጣበቁ የሂሳብ ሀረጎች ወዲያውኑ ወደ አእምሯቸው ይመጣሉ፡ “ግራፊክ የመፍትሄ ዘዴ” እና “የመተንተን የመፍትሄ ዘዴ። ስዕላዊ ዘዴእርግጥ ነው, ከግራፎች እና ስዕሎች ግንባታ ጋር የተያያዘ ነው. ትንተናዊተመሳሳይ ዘዴችግሮችን መፍታትን ያካትታል በዋናነትበኩል የአልጀብራ ስራዎች. በዚህ ረገድ ፣ ሁሉንም ማለት ይቻላል የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመር ቀላል እና ግልፅ ነው ፣ ብዙውን ጊዜ አስፈላጊዎቹን ቀመሮች በጥንቃቄ መተግበር በቂ ነው - እና መልሱ ዝግጁ ነው! አይ ፣ በእርግጥ ፣ ያለ ስዕሎች ይህንን ማድረግ አንችልም ፣ እና በተጨማሪ ፣ ስለ ቁሳቁሱ የበለጠ ለመረዳት ፣ ከአስፈላጊነቱ በላይ እነሱን ለመጥቀስ እሞክራለሁ።

በጂኦሜትሪ ላይ አዲስ የተከፈተው የትምህርት ኮርስ በንድፈ ሀሳብ የተሟላ አስመስሎ ሳይሆን ተግባራዊ ችግሮችን በመፍታት ላይ ያተኮረ ነው። በትምህርቶቼ ውስጥ ከኔ እይታ አንፃር ተግባራዊ በሆነ መልኩ አስፈላጊ የሆነውን ብቻ አካትታለሁ። በማንኛውም ንዑስ ክፍል ላይ የበለጠ የተሟላ እርዳታ ከፈለጉ የሚከተሉትን በጣም ተደራሽ ጽሑፎች እመክራለሁ፡

1) ብዙ ትውልዶች የሚያውቁት ቀልድ አይደለም፡- የትምህርት ቤት መማሪያ መጽሐፍ በጂኦሜትሪደራሲያን - ኤል.ኤስ. አታናስያን እና ኩባንያ. ይህ የትምህርት ቤት መቆለፊያ ክፍል መስቀያ ቀድሞውንም በ20 (!) ድጋሚ ህትመቶች ውስጥ አልፏል፣ ይህም በእርግጥ ገደብ አይደለም።

2) ጂኦሜትሪ በ 2 ጥራዞች. ደራሲያን ኤል.ኤስ. አታናስያን፣ ባዚሌቭ ቪ.ቲ.. ይህ ለሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ሥነ ጽሑፍ ነው, ያስፈልግዎታል የመጀመሪያ ድምጽ. አልፎ አልፎ ያጋጠሙ ተግባራት ከዓይኔ ሊወድቁ ይችላሉ፣ እና አጋዥ ስልጠናበዋጋ ሊተመን የማይችል እርዳታ ይሰጣል።

ሁለቱም መጽሃፎች በመስመር ላይ በነፃ ማውረድ ይችላሉ። በተጨማሪም, የእኔን ማህደር በገጹ ላይ ሊገኙ በሚችሉ ዝግጁ መፍትሄዎች መጠቀም ይችላሉ በከፍተኛ ሂሳብ ውስጥ ምሳሌዎችን ያውርዱ.

ከመሳሪያዎቹ መካከል የራሴን እድገት እንደገና ሀሳብ አቀርባለሁ - የሶፍትዌር ጥቅልበመተንተን ጂኦሜትሪ, ይህም ህይወትን በእጅጉ ያቃልላል እና ብዙ ጊዜ ይቆጥባል.

አንባቢው መሠረታዊውን ጠንቅቆ ያውቃል ተብሎ ይታሰባል። የጂኦሜትሪክ ጽንሰ-ሐሳቦችእና አኃዞች፡ ነጥብ፣ መስመር፣ አውሮፕላን፣ ትሪያንግል፣ ትይዩ፣ ትይዩ፣ ኪዩብ፣ ወዘተ. አንዳንድ ንድፈ ሃሳቦችን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, ቢያንስ የፓይታጎሪያን ቲዎረም, ሰላም ለተደጋጋሚዎች)

እና አሁን በቅደም ተከተል እንመረምራለን-የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ, ከቬክተሮች ጋር የተደረጉ ድርጊቶች, የቬክተር መጋጠሚያዎች. የበለጠ ለማንበብ እመክራለሁ በጣም አስፈላጊው ጽሑፍ የቬክተሮች ነጥብ ውጤት, እና እንዲሁም የቬክተር እና የተደባለቀ የቬክተሮች ምርት. ከመጠን በላይ አይሆንም የአካባቢ ችግር- በተሰጠው ሬሾ ውስጥ የአንድ ክፍል ክፍፍል. ከላይ ባለው መረጃ ላይ በመመስረት, ማስተር ይችላሉ በአውሮፕላን ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታጋር በጣም ቀላል የመፍትሄ ምሳሌዎች, ይህም ይፈቅዳል የጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ይማሩ. የሚከተሉት መጣጥፎችም ጠቃሚ ናቸው። በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት, በጠፈር ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታዎች, ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን ላይ ያሉ መሰረታዊ ችግሮች, ሌሎች የትንታኔ ጂኦሜትሪ ክፍሎች. በተፈጥሮ, መደበኛ ስራዎች በመንገድ ላይ ግምት ውስጥ ይገባሉ.

የቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ. ነፃ ቬክተር

በመጀመሪያ፣ የቬክተርን የትምህርት ቤት ትርጉም እንድገመው። ቬክተርተብሎ ይጠራል ተመርቷልመጀመሪያ እና መጨረሻው የተገለፀበት ክፍል፡-

በዚህ ሁኔታ, የክፍሉ መጀመሪያ ነጥቡ ነው, የክፍሉ መጨረሻ ነጥብ ነው. ቬክተሩ ራሱ በ. አቅጣጫአስፈላጊ ነው፣ ቀስቱን ወደ ሌላኛው ክፍል ጫፍ ካዘዋወሩ፣ ቬክተር ያገኛሉ፣ እና ይሄ አስቀድሞ ነው ሙሉ ለሙሉ የተለየ ቬክተር. የቬክተር ፅንሰ-ሀሳብ በሚመች ሁኔታ በእንቅስቃሴ ተለይቷል አካላዊ አካል: እስማማለሁ ወደ ተቋሙ በሮች መግባት ወይም የተቋሙን በሮች መልቀቅ ፍፁም የተለያዩ ነገሮች ናቸው።

የአውሮፕላኑን ወይም የቦታውን ግለሰባዊ ነጥቦች እንደ ሚጠራው ግምት ውስጥ ማስገባት ምቹ ነው። ዜሮ ቬክተር. ለእንዲህ ዓይነቱ ቬክተር መጨረሻው እና መጀመሪያው ይጣጣማሉ.

!!! ማስታወሻ: እዚህ እና በተጨማሪ, ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ እንደሚተኛ መገመት ይችላሉ ወይም በጠፈር ውስጥ እንደሚገኙ መገመት ይችላሉ - የቀረቡት ቁሳቁሶች ይዘት ለአውሮፕላን እና ለቦታ ተስማሚ ነው.

ስያሜዎች፡-ብዙዎች ወዲያውኑ በመሰየም ውስጥ ያለ ቀስት ዱላውን አስተውለዋል እና ከላይ አንድ ቀስት አለ! እውነት ነው, በቀስት ሊጽፉት ይችላሉ: , ግን ደግሞ ይቻላል ወደፊት የምጠቀምበት መግቢያ. ለምን? በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ልማድ የተገነባው በተጨባጭ ምክንያቶች ነው, በትምህርት ቤት እና በዩኒቨርሲቲ ውስጥ የእኔ ተኳሾች በጣም የተለያየ መጠን ያላቸው እና ሻካራዎች ሆኑ. ውስጥ ትምህርታዊ ሥነ ጽሑፍአንዳንድ ጊዜ በኩኒፎርም መጻፍ አይጨነቁም ፣ ግን ፊደላቱን በደማቅ ያደምቁ ፣ በዚህም ይህ ቬክተር መሆኑን ያሳያል።

ያ ስታሊስቲክስ ነበር፣ እና አሁን ቬክተርን ስለመፃፍ መንገዶች፡-

1) ቬክተሮች በሁለት ትላልቅ የላቲን ፊደላት ሊጻፉ ይችላሉ፡-
እናም ይቀጥላል. በዚህ ጉዳይ ላይ, የመጀመሪያው ደብዳቤ የግድየቬክተሩን መጀመሪያ ነጥብ የሚያመለክት ሲሆን ሁለተኛው ፊደል ደግሞ የቬክተሩን የመጨረሻ ነጥብ ያመለክታል.

2) ቬክተሮች በትናንሽ የላቲን ፊደላት ተጽፈዋል፡-
በተለይም በአጭሩ የእኛ ቬክተር እንደ ትንሽ ሊገለበጥ ይችላል የላቲን ፊደል.

ርዝመትወይም ሞጁልዜሮ ያልሆነ ቬክተር የክፍሉ ርዝመት ይባላል. የዜሮ ቬክተር ርዝመት ዜሮ ነው. ምክንያታዊ።

የቬክተሩ ርዝመት በሞጁል ምልክት ይገለጻል:,

የቬክተርን ርዝመት እንዴት ማግኘት እንደምንችል እንማራለን (ወይንም እንደማን እንደግመዋለን) ትንሽ ቆይቶ።

ነበሩ። መሰረታዊ መረጃስለ ቬክተር ፣ ለሁሉም የትምህርት ቤት ልጆች የታወቀ። በመተንተን ጂኦሜትሪ, የሚባሉት ነፃ ቬክተር.

በቀላሉ ለማስቀመጥ፡- ቬክተሩ ከየትኛውም ነጥብ ሊቀረጽ ይችላል:

እነዚህን ቬክተሮች እኩል መጥራት ለምደናል (የእኩል ቬክተር ፍቺ ከዚህ በታች ይገለጻል) ነገር ግን ከሒሳብ አንጻር ሲታይ እነሱ ተመሳሳይ VECTOR ወይም ነፃ ቬክተር. ለምን ነፃ? ምክንያቱም ችግሮችን በመፍታት ሂደት ይህንን ወይም ያንን ቬክተር ከሚፈልጉት የአውሮፕላኑ ወይም የቦታ ነጥብ ጋር "ማያያዝ" ይችላሉ። ይህ በጣም ጥሩ ባህሪ ነው! የዘፈቀደ ርዝመት እና አቅጣጫ ያለው ቬክተር ያስቡ - “የተዘጋ” ሊሆን ይችላል ማለቂያ የሌለው ቁጥርጊዜ እና በጠፈር ውስጥ በማንኛውም ጊዜ፣ በእውነቱ፣ በሁሉም ቦታ አለ። እንደዚህ ያለ ተማሪ አለ፡- እያንዳንዱ አስተማሪ ስለ ቬክተሩ እርግማን ይሰጣል። ደግሞም ፣ እሱ አስቂኝ ግጥም ብቻ አይደለም ፣ ሁሉም ነገር በሂሳብ ትክክለኛ ነው - ቬክተሩ እዚያም ሊያያዝ ይችላል። ነገር ግን ለመደሰት አትቸኩል፣ ብዙ ጊዜ የሚሰቃዩት ተማሪዎቹ እራሳቸው ናቸው =)

ስለዚህ፣ ነፃ ቬክተር- ይህ ስብስብ ተመሳሳይ የሚመሩ ክፍሎች. የትምህርት ቤት ትርጉምበአንቀጹ መጀመሪያ ላይ የተሰጠው ቬክተር፡- “የተመራ ክፍል ቬክተር ይባላል…” የሚያመለክተው። የተወሰነበአውሮፕላኑ ወይም በቦታ ውስጥ ካለው የተወሰነ ነጥብ ጋር የተሳሰረ ከተሰጠው ስብስብ የተወሰደ ቀጥተኛ ክፍል።

ከፊዚክስ እይታ አንጻር የነጻ ቬክተር ጽንሰ-ሀሳብ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል አጠቃላይ ጉዳይትክክል አይደለም, እና የቬክተሩ አተገባበር ነጥብ አስፈላጊ ነው. በእርግጥም, የእኔን ሞኝ ምሳሌ ለማዳበር በቂ የሆነ በአፍንጫ ወይም በግንባሩ ላይ ተመሳሳይ ኃይል ያለው ቀጥተኛ ምት የተለያዩ ውጤቶችን ያስከትላል. ሆኖም፣ ነፃ ያልሆነቬክተሮችም በ vyshmat አካሄድ ውስጥ ይገኛሉ (ወደዚያ አይሂዱ :)).

ከቬክተሮች ጋር ያሉ ድርጊቶች. የቬክተሮች አጠቃላይነት

ውስጥ የትምህርት ቤት ኮርስጂኦሜትሪ ፣ በርካታ እርምጃዎች እና ህጎች ከ vectors ጋር ይቆጠራሉ መደመር በሦስት ማዕዘኑ ደንብ፣ መደመር እንደ በትይዩሎግራም ደንብ፣ የቬክተር ልዩነት ደንብ፣ የቬክተርን በቁጥር ማባዛት፣ የቬክተር ስክላር ምርት፣ ወዘተ.እንደ መነሻ፣ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት በተለይ ጠቃሚ የሆኑ ሁለት ሕጎችን እንድገም።

የሶስት ማዕዘን ህግን በመጠቀም ቬክተሮችን ለመጨመር ደንቡ

ሁለት የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮችን ተመልከት እና፡-

የእነዚህን ቬክተሮች ድምር ማግኘት ያስፈልግዎታል. ሁሉም ቬክተሮች ነፃ ናቸው ተብሎ ስለሚታሰብ ቬክተሩን ወደ ጎን እንተዋለን መጨረሻቬክተር፡

የቬክተር ድምር ቬክተር ነው። ስለ ደንቡ የተሻለ ግንዛቤ, ማካተት ተገቢ ነው አካላዊ ትርጉም፦ አንዳንድ አካል በቬክተር፣ ከዚያም በቬክተር ይጓዝ። ከዚያም የቬክተሮች ድምር የውጤቱ መንገድ ቬክተር ነው መነሻው በመነሻ ነጥብ እና መጨረሻው በመድረሻ ነጥብ ላይ. ለማንኛውም የቬክተር ብዛት ድምር ተመሳሳይ ህግ ተዘጋጅቷል። እነሱ እንደሚሉት ፣ ሰውነት በዚግዛግ ፣ ወይም ምናልባት በአውቶፒሎት ላይ በጣም ዘንበል ብሎ መሄድ ይችላል - በተፈጠረው ድምር ውጤት።

በነገራችን ላይ ቬክተሩ ከዘገየ ጀመረቬክተር, ከዚያም ተመጣጣኝውን እናገኛለን parallelogram ደንብየቬክተሮች መጨመር.

በመጀመሪያ ፣ ስለ ቬክተሮች አጠቃላይነት። ሁለቱ ቬክተሮች ተጠርተዋል ኮላይኔር, በተመሳሳይ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ ቢዋሹ. በግምት፣ ስለ ትይዩ ቬክተሮች ነው እየተነጋገርን ያለነው። ነገር ግን ከነሱ ጋር በተገናኘ, "collinear" የሚለው ቅፅል ሁልጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

እስቲ አስቡት ሁለት ኮላይኔር ቬክተሮች። የእነዚህ ቬክተሮች ቀስቶች ወደ አንድ አቅጣጫ ከተመሩ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች ይባላሉ በጋራ ተመርቷል. ቀስቶቹ ወደ አቅጣጫ የሚያመለክቱ ከሆነ የተለያዩ ጎኖች, ከዚያም ቬክተሮች ይሆናሉ በተቃራኒ አቅጣጫዎች.

ስያሜዎች፡-የቬክተሮች ኮሊኔሪቲ ከተለመደው ትይዩ ምልክት ጋር ይፃፋል፡ ዝርዝር መዘርዘር ሲቻል፡ (ቬክተሮች በጋራ ይመራሉ) ወይም (ቬክተሮች በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራሉ)።

ስራውበቁጥር ላይ ያለው ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ርዝመቱ እኩል የሆነ ቬክተር እና ቬክተሮች እና በጋራ እና በተቃራኒ አቅጣጫ የሚመሩ ናቸው.

ቬክተርን በቁጥር ለማባዛት ደንቡ በሥዕል እገዛ ለመረዳት ቀላል ነው-

በዝርዝር እንመልከተው፡-

1) አቅጣጫ. ማባዛቱ አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ቬክተር አቅጣጫ ይለውጣልወደ ተቃራኒው.

2) ርዝመት. ማባዣው በውስጡ ካለ ወይም , ከዚያም የቬክተሩ ርዝመት ይቀንሳል. ስለዚህ, የቬክተሩ ርዝመት የቬክተሩ ግማሽ ርዝመት ነው. ሞዱሎ ማባዣው ከሆነ ከአንድ በላይ, ከዚያም የቬክተር ርዝመት ይጨምራልበጊዜው.

3) እባክዎን ያስተውሉ ሁሉም ቬክተሮች ኮላይኔር ናቸውአንዱ ቬክተር በሌላ በኩል ሲገለጽ ለምሳሌ . የተገላቢጦሹም እውነት ነው።: አንድ ቬክተር በሌላ በኩል ሊገለጽ የሚችል ከሆነ, እንደዚህ ያሉ ቬክተሮች የግድ ኮላይነር ናቸው. ስለዚህም፡- አንድን ቬክተር በቁጥር ብናባዛው ኮሊነር እናገኛለን(ከዋናው አንፃር) ቬክተር.

4) ቬክተሮች በጋራ ይመራሉ. ቬክተሮች እና እንዲሁም በጋራ ይመራሉ. የሁለተኛው ቡድን ማንኛውም ቬክተር በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራል።

የትኞቹ ቬክተሮች እኩል ናቸው?

ሁለት ቬክተሮች በአንድ አቅጣጫ ካሉ እና ካላቸው እኩል ናቸው ተመሳሳይ ርዝመት . አስተውል ኮዴሬክተራሊቲ የቬክተሮችን ውህድነት እንደሚያመለክት ነው። “ሁለት ቬክተሮች ኮላይነር፣ ኮዲሬክሽናል እና ተመሳሳይ ርዝመት ካላቸው እኩል ናቸው” ካልን ትርጉሙ ትክክል አይደለም (የተደጋገመ) ነው።

ከነፃ ቬክተር ጽንሰ-ሐሳብ አንጻር እኩል ቬክተሮች- ይህ በቀደመው አንቀፅ ውስጥ አስቀድሞ የተብራራበት ተመሳሳይ ቬክተር ነው።

ቬክተር በአውሮፕላኑ ላይ እና በጠፈር ላይ ያስተባብራል

የመጀመሪያው ነጥብ በአውሮፕላኑ ላይ ያሉትን ቬክተሮች ግምት ውስጥ ማስገባት ነው. የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓትን እናሳይ እና ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ እንቀዳው። ነጠላቬክተሮች እና:

ቬክተሮች እና orthogonal. Orthogonal = በቋሚ. ቃላቶቹን ቀስ በቀስ እንድትለማመዱ እመክራለሁ፡ ትይዩ እና ቀጥተኛነት ሳይሆን ቃላቱን በቅደም ተከተል እንጠቀማለን። አብሮነትእና ኦርቶዶክሳዊነት.

ስያሜ፡የቬክተሮች ኦርቶጎናዊነት በተለመደው የቋሚነት ምልክት ተጽፏል, ለምሳሌ:.

ከግምት ውስጥ ያሉ ቬክተሮች ይባላሉ ቬክተሮችን ማስተባበርወይም ኦርትስ. እነዚህ ቬክተሮች ይሠራሉ መሠረትላይ ላዩን። እኔ እንደማስበው ፣ ምን መሠረት ነው ፣ ለብዙዎች ፣ ለብዙዎች በማስተዋል ግልፅ ነው። ዝርዝር መረጃበጽሁፉ ውስጥ ሊገኝ ይችላል የቬክተሮች ቀጥተኛ (ያልሆኑ) ጥገኛ። የቬክተሮች መሠረትበቀላል ቃላት ፣ የመጋጠሚያዎች መሠረት እና አመጣጥ አጠቃላይ ስርዓቱን ይገልፃሉ - ይህ ሙሉ እና የበለፀገ የጂኦሜትሪክ ሕይወት የሚፈላበት መሠረት ዓይነት ነው።

አንዳንድ ጊዜ የተገነባው መሠረት ይባላል ኦርቶዶክሳዊየአውሮፕላኑ መሠረት: “ኦርቶ” - ምክንያቱም አስተባባሪ ቬክተሮች ኦርቶጎን ናቸው ፣ “መደበኛ” የሚለው ቅጽል አሃድ ማለት ነው ፣ ማለትም ። የመሠረት ቬክተሮች ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው.

ስያሜ፡መሰረቱ ብዙውን ጊዜ በቅንፍ ውስጥ ይጻፋል, በውስጡም በጥብቅ ቅደም ተከተልመሠረት ቬክተሮች ተዘርዝረዋል, ለምሳሌ:. ቬክተሮችን ያስተባብሩ ክልክል ነው።እንደገና ማስተካከል.

ማንኛውምየአውሮፕላን ቬክተር ብቸኛው መንገድእንደሚከተለው ተገልጿል፡-
የት - ቁጥሮችየሚባሉት የቬክተር መጋጠሚያዎችቪ በዚህ መሠረት. እና አገላለጹ ራሱ ተብሎ ይጠራል የቬክተር መበስበስበመሠረት .

የቀረበ እራት፡-

በፊደል የመጀመሪያ ፊደል እንጀምር፡. ስዕሉ በግልጽ እንደሚያሳየው ቬክተርን ወደ መሠረት ሲበሰብስ አሁን የተብራሩት ጥቅም ላይ ይውላሉ.
1) ቬክተርን በቁጥር የማባዛት ደንብ: እና;
2) በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት የቬክተሮች መጨመር:.

አሁን በአውሮፕላኑ ውስጥ ካለው ከማንኛውም ሌላ ነጥብ ቬክተሩን በአእምሮ ያቅዱ። መበስበሱ “ያለማቋረጥ እንደሚከተለው” ግልጽ ነው። እዚህ ነው የቬክተር ነፃነት - ቬክተሩ "ሁሉንም ነገር በራሱ ይይዛል." ይህ ንብረት, ለማንኛውም ቬክተር እውነት ነው. መሰረቱ (ነፃ) ቬክተሮች እራሳቸው ከመነሻው መቀረፅ አለማለታቸው የሚያስቅ ነው፤ አንዱ ለምሳሌ ከታች በግራ በኩል ሌላው ደግሞ በቀኝ በኩል መሳል ይቻላል ምንም አይለወጥም! እውነት ነው, ይህን ማድረግ አያስፈልግዎትም, ምክንያቱም መምህሩ ኦርጅናሉን ስለሚያሳይ እና ባልተጠበቀ ቦታ ላይ "ክሬዲት" ይስልዎታል.

ቬክተሮች አንድን ቬክተር በቁጥር የማባዛት ደንቡን በትክክል ይገልፃሉ፣ ቬክተሩ ከመሠረታዊ ቬክተር ጋር ኮዲሬክሽናል ነው፣ ቬክተሩ ከመሠረታዊ ቬክተር ጋር ተቃራኒ ነው የሚመራው። ለእነዚህ ቬክተሮች፣ ከመጋጠሚያዎቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ በጥንቃቄ እንደሚከተለው ይፃፉ።


እና መሰረታዊ ቬክተሮች, በነገራችን ላይ, እንደዚህ ናቸው: (በእርግጥ, በራሳቸው ይገለጣሉ).

እና በመጨረሻም:,. በነገራችን ላይ የቬክተር መቀነስ ምንድን ነው, እና ለምን ስለ ቅነሳ ደንቡ አልተናገርኩም? የሆነ ቦታ ውስጥ መስመራዊ አልጀብራ፣ የት እንደሆነ አላስታውስም ፣ መቀነስ እንደሆነ አስተውያለሁ ልዩ ጉዳይመደመር. ስለዚህ የቬክተር “ደ” እና “e” መስፋፋት በቀላሉ እንደ ድምር ይጻፋል፡ . ውሎችን እንደገና አስተካክል እና በሦስት ማዕዘኑ ደንብ መሠረት ጥሩ የቆዩ የቬክተሮች መጨመር በእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ ምን ያህል እንደሚሰራ በሥዕሉ ላይ ይመልከቱ።

የታሰበው የቅጹ መበስበስ አንዳንድ ጊዜ የቬክተር መበስበስ ይባላል በኦርት ሲስተም ውስጥ(ማለትም በዩኒት ቬክተሮች ስርዓት). ነገር ግን ቬክተርን ለመጻፍ ብቸኛው መንገድ ይህ አይደለም, የሚከተለው አማራጭ የተለመደ ነው.

ወይም በእኩል ምልክት፡-

የመሠረቱ ቬክተሮች እራሳቸው እንደሚከተለው ተጽፈዋል: እና

ያም ማለት የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በቅንፍ ውስጥ ይገለጣሉ. ውስጥ ተግባራዊ ችግሮችሶስቱም የመቅዳት አማራጮች ጥቅም ላይ ይውላሉ።

ለመናገር ተጠራጠርኩ፣ ግን ለማንኛውም እናገራለሁ፡- የቬክተር መጋጠሚያዎች እንደገና ሊደራጁ አይችሉም. በመጀመሪያ ደረጃ በትክክልከአሃዱ ቬክተር ጋር የሚዛመደውን መጋጠሚያ እንጽፋለን ፣ በጥብቅ በሁለተኛ ደረጃከዩኒት ቬክተር ጋር የሚዛመደውን መጋጠሚያ እንጽፋለን. በእርግጥ, እና ሁለት የተለያዩ ቬክተሮች ናቸው.

በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉትን መጋጠሚያዎች አወቅን. አሁን ቬክተሮችን በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ እንይ, እዚህ ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል አንድ ነው! አንድ ተጨማሪ መጋጠሚያ ብቻ ይጨምራል። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ስዕሎችን ለመስራት ከባድ ነው ፣ ስለሆነም እራሴን በአንድ ቬክተር ብቻ እገድባለሁ ፣ ይህም ለቀላልነት ከመነሻው ወደ ጎን እተወዋለሁ-

ማንኛውምቬክተር ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታይችላል ብቸኛው መንገድ በኦርቶዶክስ መሠረት መስፋፋት;
, በዚህ መሠረት የቬክተር (ቁጥር) መጋጠሚያዎች የት አሉ.

ምሳሌ ከሥዕሉ፡- . የቬክተር ደንቦች እዚህ እንዴት እንደሚሠሩ እንይ. በመጀመሪያ ቬክተሩን በቁጥር ማባዛት: (ቀይ ቀስት), (አረንጓዴ ቀስት) እና (የራስቤሪ ቀስት). በሁለተኛ ደረጃ፣ ብዙ የመደመር ምሳሌ እዚህ አለ፣ በዚህ ሁኔታ ሶስት፣ ቬክተር፡. ድምር ቬክተር የሚጀምረው በ መነሻ ነጥብመነሳት (የቬክተሩ መጀመሪያ) እና በመጨረሻው መድረሻ (የቬክተሩ መጨረሻ) ላይ ያበቃል.

ሁሉም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ቬክተር በተፈጥሮም እንዲሁ ነፃ ናቸው፡ ቬክተሩን ከየትኛውም ነጥብ ወደ ጎን በአእምሮ ለመተው ይሞክሩ እና መበስበሱ “ከእሱ ጋር እንደሚቆይ” ይገባዎታል።

ከጠፍጣፋው መያዣ ጋር ተመሳሳይ, ከመጻፍ በተጨማሪ በቅንፍ ያላቸው ስሪቶች በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ: ወይ.

በማስፋፊያው ውስጥ አንድ (ወይም ሁለት) አስተባባሪ ቬክተሮች ከጠፉ ዜሮዎች በቦታቸው ይቀመጣሉ። ምሳሌዎች፡-
ቬክተር (በተለይ ) - እንፃፍ;
ቬክተር (በተለይ ) - እንፃፍ;
ቬክተር (በተለይ ) - እንፃፍ።

የመሠረት ቬክተሮች እንደሚከተለው ተጽፈዋል.

ያ ሁሉ ዝቅተኛው ሳይሆን አይቀርም የንድፈ ሃሳብ እውቀት, የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት አስፈላጊ ነው. ብዙ ቃላቶች እና ትርጓሜዎች ሊኖሩ ይችላሉ፣ስለዚህ የሻይ ማስቀመጫዎች ይህንን መረጃ እንደገና እንዲያነቡ እና እንዲረዱት እመክራለሁ። እና ለማንኛውም አንባቢ ለማመልከት ጠቃሚ ይሆናል መሰረታዊ ትምህርትለ የተሻለ መምጠጥቁሳቁስ. ኮላይኔሪቲ, ኦርቶጎናዊነት, ኦርቶማላዊ መሠረት, የቬክተር መበስበስ - እነዚህ እና ሌሎች ጽንሰ-ሐሳቦች ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ሁሉንም ንድፈ ሃሳቦች (እና ያለማስረጃዎች) በጥንቃቄ ስለማመሰጥር በጣቢያው ላይ ያሉት ቁሳቁሶች የቲዎሪቲካል ፈተናን ወይም ኮሎኪዩምን በጂኦሜትሪ ለማለፍ በቂ እንዳልሆኑ ማስተዋል እፈልጋለሁ - ለጉዳት ። ሳይንሳዊ ዘይቤየዝግጅት አቀራረብ ፣ ግን ለርዕሰ-ጉዳዩ ያለዎት ግንዛቤ ተጨማሪ። ዝርዝር የንድፈ ሃሳባዊ መረጃ ለማግኘት፣ እባክዎን ለፕሮፌሰር አታናስያን ስገዱ።

ወደ ተግባራዊ ክፍል እንሸጋገራለን፡-

የትንታኔ ጂኦሜትሪ ቀላሉ ችግሮች።
በመጋጠሚያዎች ውስጥ ከቬክተሮች ጋር እርምጃዎች

ሙሉ በሙሉ በራስ-ሰር የሚታሰቡትን ስራዎች እና ቀመሮቹን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ለመማር በጣም ይመከራል ማስታወስ, በተለየ ሁኔታ እንኳን አያስታውሱም, እራሳቸውን ያስታውሳሉ =) ይህ በጣም አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም በቀላል የመጀመሪያ ደረጃ ምሳሌዎችሌሎች የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች የተመሰረቱ ናቸው፣ እና ተጨማሪ ጊዜ ማሳለፍ አሳፋሪ ነው። በሸሚዝዎ ላይ ከላይ ያሉትን ቁልፎች ማሰር አያስፈልግም፤ ከትምህርት ቤት ብዙ ነገሮች ያውቃሉ።

የቁሱ አቀራረብ ትይዩ ኮርስ ይከተላል - ለአውሮፕላንም ሆነ ለቦታ። በዚህ ምክንያት ሁሉም ቀመሮች ... እራስዎ ያያሉ.

ከሁለት ነጥቦች ቬክተር እንዴት ማግኘት ይቻላል?

የአውሮፕላኑ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና ከተሰጡ, ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት.

በጠፈር ውስጥ ሁለት ነጥቦች ካሉ እና ከተሰጡ ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት።

ያውና, ከቬክተሩ መጨረሻ መጋጠሚያዎችተጓዳኝ መጋጠሚያዎችን መቀነስ ያስፈልግዎታል የቬክተር መጀመሪያ.

የአካል ብቃት እንቅስቃሴለተመሳሳይ ነጥቦች የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ቀመሮችን ይጻፉ. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ቀመሮች.

ምሳሌ 1

የአውሮፕላኑን ሁለት ነጥቦች እና . የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ

መፍትሄ፡-በተገቢው ቀመር መሠረት-

በአማራጭ፣ የሚከተለውን ግቤት መጠቀም ይቻላል፡-

Aesthetes ይህንን ይወስናል:

በግሌ የቀረጻውን የመጀመሪያ ስሪት ለምጃለሁ።

መልስ፡-

እንደ ሁኔታው ​​​​ስዕል መገንባት አስፈላጊ አልነበረም (ይህም ለትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮች የተለመደ ነው) ፣ ግን ለዳሚዎች አንዳንድ ነጥቦችን ለማብራራት ሰነፍ አይደለሁም ።

በእርግጠኝነት መረዳት አለብህ በነጥብ መጋጠሚያዎች እና በቬክተር መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት:

የነጥብ መጋጠሚያዎች- እነዚህ አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የማስተባበሪያ ስርዓት ውስጥ ያሉ ተራ መጋጠሚያዎች ናቸው. ነጥቦችን አስቀምጡ አውሮፕላን አስተባባሪከ 5 ኛ - 6 ኛ ክፍል ሁሉም ሰው ማድረግ ይችላል ብዬ አስባለሁ. እያንዳንዱ ነጥብ በአውሮፕላኑ ላይ ጥብቅ ቦታ አለው, እና ወደ የትኛውም ቦታ ሊንቀሳቀሱ አይችሉም.

የቬክተር መጋጠሚያዎች- ይህ በመሠረቱ መሠረት መስፋፋቱ ነው, በዚህ ጉዳይ ላይ. ማንኛውም ቬክተር ነፃ ነው, ስለዚህ አስፈላጊ ከሆነ, በአውሮፕላኑ ውስጥ ካለው ሌላ ቦታ በቀላሉ ልናንቀሳቅሰው እንችላለን. በጣም የሚገርመው ለቬክተሮች መጥረቢያ ወይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት መገንባት አያስፈልግም, መሰረት ብቻ ያስፈልግዎታል, በዚህ ሁኔታ የአውሮፕላኑ መደበኛ መሠረት ነው.

የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ተመሳሳይነት ያላቸው ይመስላሉ፡ እና የመጋጠሚያዎች ትርጉምበፍጹም የተለየ, እና ይህን ልዩነት በደንብ ማወቅ አለብዎት. ይህ ልዩነት, በእርግጥ, በጠፈር ላይም ይሠራል.

ክቡራትና ክቡራን እጃችንን እንሙላ፡-

ምሳሌ 2

ሀ) ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
ለ) ነጥቦች ተሰጥተዋል እና. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
ሐ) ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ እና.
መ) ነጥቦች ተሰጥተዋል. ቬክተሮችን ያግኙ .

ምናልባት ያ በቂ ነው። እነዚህ ምሳሌዎች ናቸው ገለልተኛ ውሳኔ, እነሱን ችላ ላለማለት ይሞክሩ, ይከፈላል ;-). ስዕሎችን መስራት አያስፈልግም. በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄዎች እና መልሶች.

የትንታኔ ጂኦሜትሪ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ምን አስፈላጊ ነው?የተዋጣለት "ሁለት ሲደመር ሁለት እኩል ዜሮ" ስህተት ላለመፍጠር በጣም ጥንቃቄ ማድረግ አስፈላጊ ነው. የሆነ ቦታ ላይ ስህተት ከሰራሁ ወዲያውኑ ይቅርታ እጠይቃለሁ =)

የአንድን ክፍል ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ርዝመቱ, ቀደም ሲል እንደተገለፀው, በሞጁል ምልክት ይገለጻል.

የአውሮፕላኑ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና , ከዚያም የክፍሉ ርዝመት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል

በጠፈር ውስጥ ሁለት ነጥቦች ከተሰጡ እና ከተሰጡ, የክፍሉ ርዝመት ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል

ማስታወሻ: ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ከተቀያየሩ ቀመሮቹ ትክክል እንደሆኑ ይቆያሉ፡ እና፣ ግን የመጀመሪያው አማራጭ የበለጠ መደበኛ ነው።

ምሳሌ 3

መፍትሄ፡-በተገቢው ቀመር መሠረት-

መልስ፡-

ግልጽ ለማድረግ, ስዕል እሰራለሁ

የመስመር ክፍል - ይህ ቬክተር አይደለም, እና በእርግጥ, ወደ የትኛውም ቦታ ማንቀሳቀስ አይችሉም. በተጨማሪም, ወደ ሚዛን ከሳሉ: 1 አሃድ. = 1 ሴ.ሜ (ሁለት የማስታወሻ ደብተር ሴሎች), ከዚያም የተገኘው መልስ የክፍሉን ርዝመት በቀጥታ በመለካት በመደበኛ ገዢ ሊረጋገጥ ይችላል.

አዎ፣ መፍትሄው አጭር ነው፣ ነገር ግን በዚህ ውስጥ ግልጽ ለማድረግ የምፈልጋቸው ሁለት ተጨማሪ ጠቃሚ ነጥቦች አሉ፡-

በመጀመሪያ ፣ በመልሱ ውስጥ ልኬቱን እናስቀምጣለን-“አሃዶች”። ሁኔታው ምን እንደሆነ, ሚሊሜትር, ሴንቲሜትር, ሜትሮች ወይም ኪሎሜትሮች አይናገርም. ስለዚህ፣ በሒሳብ ደረጃ ትክክለኛ መፍትሔው አጠቃላይ አጻጻፍ ይሆናል፡- “ዩኒቶች” - “አሃዶች” በሚል ምህጻረ ቃል።

በሁለተኛ ደረጃ, እንድገመው የትምህርት ቤት ቁሳቁስለተገመተው ችግር ብቻ ሳይሆን ጠቃሚ ነው-

ትኩረት ይስጡ አስፈላጊ የቴክኒክ ቴክኒክ – ማባዣውን ከሥሩ ስር ማስወገድ. በስሌቶቹ ምክንያት, ውጤት አለን እና ጥሩ የሒሳብ ዘይቤ ከሥሩ ስር (ከተቻለ) መንስኤውን ማስወገድን ያካትታል. በበለጠ ዝርዝር ሂደቱ ይህን ይመስላል: . በእርግጥ መልሱን እንደዚያው መተው ስህተት አይሆንም - ነገር ግን በእርግጠኝነት በመምህሩ ላይ ለመጨቃጨቅ ጉድለት እና ከባድ ክርክር ነው.

ሌሎች የተለመዱ ጉዳዮች እነኚሁና፡

ብዙውን ጊዜ ሥሩ ላይ በቂ ነው ትልቅ ቁጥር, ለምሳሌ . እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ምን ማድረግ? ካልኩሌተሩን በመጠቀም ቁጥሩ በ4፡ መከፋፈል አለመሆኑን እናረጋግጣለን። አዎ፣ ሙሉ በሙሉ ተከፍሎ ነበር፣ ስለዚህም፡- . ወይም ቁጥሩ እንደገና በ 4 ሊከፋፈል ይችላል? . ስለዚህም፡- . የቁጥሩ የመጨረሻ አሃዝ ያልተለመደ ነው ፣ ስለሆነም ለሶስተኛ ጊዜ በ 4 መከፋፈል አይሰራም። ለዘጠኝ ለመከፋፈል እንሞክር፡. ከዚህ የተነሳ:
ዝግጁ።

ማጠቃለያ፡-ከሥሩ ስር በአጠቃላይ ሊወጣ የማይችል ቁጥር ካገኘን ነገሩን ከሥሩ ስር ለማስወገድ እንሞክራለን - ካልኩሌተር በመጠቀም ቁጥሩ የሚከፋፈል መሆኑን በ 4 ፣ 9 ፣ 16 ፣ 25 ፣ 36 ፣ 49, ወዘተ.

የተለያዩ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ሥረ-ሥሮች ብዙ ጊዜ ይገናኛሉ፤ ሁልጊዜም ከመምህሩ አስተያየት በመነሳት የመፍትሔ ሃሳቦችን በማጠናቀቅ ዝቅተኛ ደረጃን እና አላስፈላጊ ችግሮችን ለማስወገድ ከሥሩ ስር ያሉትን ምክንያቶች ለማውጣት ይሞክሩ።

እንዲሁም ስኩዌር ስሮች እና ሌሎች ሀይሎችን እንድገማቸው፡-

በዲግሪዎች ውስጥ የእርምጃዎች ህጎች አጠቃላይ እይታበአልጀብራ ላይ ባለው የትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ሊገኝ ይችላል, ነገር ግን ከተሰጡት ምሳሌዎች ሁሉም ነገር ወይም ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል ግልጽ ነው ብዬ አስባለሁ.

በጠፈር ውስጥ ካለው ክፍል ጋር ገለልተኛ መፍትሄ የማግኘት ተግባር፡-

ምሳሌ 4

ነጥቦች እና ተሰጥተዋል. የክፍሉን ርዝመት ይፈልጉ።

መፍትሄው እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

የቬክተርን ርዝመት እንዴት ማግኘት ይቻላል?

የአውሮፕላን ቬክተር ከተሰጠ, ርዝመቱ በቀመርው ይሰላል.

የቦታ ቬክተር ከተሰጠ, ርዝመቱ በቀመር ይሰላል .

ኦክሲ

ስለ ሀ ኦ.ኤ.

፣ የት ኦ.ኤ .

ስለዚህም .

አንድ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

መፍትሄ።

:

መልስ፡-

ኦክሲዝበጠፈር ውስጥ.

ሀ ኦ.ኤሰያፍ ይሆናል.

በዚህ ሁኔታ (ከ ኦ.ኤ ኦ.ኤ .

ስለዚህም የቬክተር ርዝመት .

ለምሳሌ.

የቬክተር ርዝመትን አስላ

መፍትሄ።

ስለዚህም

መልስ፡-

በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር

አጠቃላይ እኩልታ

አክስ + በ + ሲ ( > 0)።

ቬክተር = (A; B)መደበኛ ቬክተር ነው.

በቬክተር መልክ፡- + ሲ = 0ራዲየስ ቬክተር የት አለ የዘፈቀደ ነጥብቀጥታ መስመር ላይ (ምስል 4.11).

ልዩ ጉዳዮች፡-

1) በ + C = 0- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦክስ;

2) አክስ + ሲ = 0- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ወይ;

3) አክስ + በ = 0- ቀጥታ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል;

4) y = 0- ዘንግ ኦክስ;

5) x = 0- ዘንግ ወይ.

በክፍሎች ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ

የት ሀ፣ ለ- የክፍሎቹ ዋጋዎች በተጋጠሙትም ዘንጎች ላይ ባለው ቀጥታ መስመር የተቆራረጡ ናቸው.

መደበኛ እኩልታቀጥታ(ምስል 4.11)

ወደ መስመሩ እና ዘንግ መደበኛው የተፈጠረ አንግል የት ነው ኦክስ; ገጽ- ከመነሻው እስከ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት.

በማምጣት ላይ አጠቃላይ እኩልታበቀጥታ ወደ መደበኛው ቅጽ;

የመስመሩ መደበኛ ሁኔታ እዚህ አለ; ምልክት ተመርጧል ተቃራኒ ምልክት ሲ፣ ከሆነ እና በዘፈቀደ ፣ ከሆነ ሲ=0.

የቬክተርን ርዝመት ከመጋጠሚያዎች ማግኘት.

የቬክተሩን ርዝመት በ . በዚህ ምልክት ምክንያት የቬክተር ርዝመት ብዙውን ጊዜ የቬክተር ሞጁል ተብሎ ይጠራል.

መጋጠሚያዎችን በመጠቀም በአውሮፕላን ላይ የቬክተርን ርዝመት በማግኘት እንጀምር።

በአውሮፕላኑ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓትን እናስተዋውቅ ኦክሲ. በውስጡ ቬክተር ይገለጽ እና መጋጠሚያዎች ይኑርዎት. የቬክተርን ርዝመት በመጋጠሚያዎች እና .

ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ (ከነጥብ ስለ) ቬክተር . የነጥቡን ትንበያዎች እንጠቁም ሀእንደ እና በቅደም ተከተል በማስተባበር ዘንጎች ላይ እና አንድ ዲያግናል ያለው አራት ማዕዘን ግምት ውስጥ ያስገቡ ኦ.ኤ.

በፒታጎሪያን ቲዎሬም, እኩልነት ፣ የት . በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ካለው የቬክተር መጋጠሚያዎች ፍቺ ፣ ያንን እና ፣ እና ርዝመቱን በመገንባት መግለፅ እንችላለን ኦ.ኤከቬክተሩ ርዝመት ጋር እኩል ነው, ስለዚህ, .

ስለዚህም የቬክተር ርዝመት ለማግኘት ቀመርበአውሮፕላኑ ላይ ባለው መጋጠሚያዎች መሠረት ቅጹ አለው። .

ቬክተሩ በአስተባባሪ ቬክተሮች ውስጥ እንደ መበስበስ ከተወከለ , ከዚያም ርዝመቱ ተመሳሳይ ቀመር በመጠቀም ይሰላል , በዚህ ሁኔታ ውስጥ ያሉ ቅንጅቶች እና በተሰጠው የቅንጅት ስርዓት ውስጥ የቬክተር መጋጠሚያዎች ናቸው.

አንድ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

በካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የተሰጠውን የቬክተር ርዝመት ያግኙ.

መፍትሄ።

የቬክተሩን ርዝመት ከመጋጠሚያዎች ለማግኘት ወዲያውኑ ቀመሩን እንተገብራለን :

መልስ፡-

አሁን የቬክተሩን ርዝመት ለማግኘት ቀመር እናገኛለን በአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የመጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በመጋጠሚያዎቹ ኦክሲዝበጠፈር ውስጥ.

ቬክተሩን ከመነሻው እናስቀድመው እና የነጥቡን ትንበያዎች እንጠቁም ሀበማስተባበር መጥረቢያዎች ላይ እንደ እና . ከዚያም በጎኖቹ ላይ መገንባት እንችላለን እና cuboid, የትኛው ውስጥ ኦ.ኤሰያፍ ይሆናል.

በዚህ ሁኔታ (ከ ኦ.ኤ- አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ዲያግናል), ከየት . የቬክተር መጋጠሚያዎችን መወሰን እኩልነትን, እና ርዝመቱን እንድንጽፍ ያስችለናል ኦ.ኤከሚፈለገው የቬክተር ርዝመት ጋር እኩል ነው, ስለዚህ, .

ስለዚህም የቬክተር ርዝመት በቦታ ውስጥ ከመጋጠሚያዎቹ ካሬዎች ድምር ካሬ ሥር ጋር እኩል ነው።ማለትም በቀመር የተገኘ ነው። .

ለምሳሌ.

የቬክተር ርዝመትን አስላ , የአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት አሃድ ቬክተሮች የት ይገኛሉ.

መፍትሄ።

የቅጹን አስተባባሪ ቬክተር ወደ የቬክተር መበስበስ ተሰጥቶናል። ስለዚህም . ከዚያም የቬክተርን ርዝመት ከመጋጠሚያዎች ለማግኘት ቀመሩን በመጠቀም, እኛ አለን.

የመጀመሪያ ደረጃ

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. አጠቃላይ መመሪያ (2019)

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ብዙ የጂኦሜትሪ ችግሮችን ወደ ቀላል አርቲሜቲክ እንዲቀንሱ የሚያስችልዎትን አንድ "አስማት ዋንድ" መወያየት እንጀምራለን. ይህ "ዱላ" ህይወትዎን በጣም ቀላል ያደርገዋል, በተለይም የቦታ ምስሎችን, ክፍሎችን, ወዘተ መገንባት ላይ እርግጠኛ ካልሆኑ ይህ ሁሉ የተወሰነ ምናባዊ እና ተግባራዊ ክህሎቶችን ይጠይቃል. እዚህ ልንመረምረው የምንጀምረው ዘዴ ከማንኛውም አይነት ሙሉ በሙሉ ማለት ይቻላል ሙሉ በሙሉ እንዲገለሉ ያስችልዎታል የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችእና ምክንያታዊነት. ዘዴው ይባላል "የማስተባበር ዘዴ". በዚህ ርዕስ ውስጥ የሚከተሉትን ጥያቄዎች እንመለከታለን.

1. አውሮፕላን አስተባባሪ
2. በአውሮፕላኑ ላይ ነጥቦች እና ቬክተሮች
3. ከሁለት ነጥቦች ቬክተር መገንባት
4. የቬክተር ርዝመት (በሁለት ነጥብ መካከል ያለው ርቀት)
5. የክፍሉ መካከለኛ መጋጠሚያዎች
6. የቬክተሮች ነጥብ ውጤት
7. በሁለት ቬክተሮች መካከል አንግል

የማስተባበሪያ ዘዴው ለምን ተብሎ እንደተጠራ አስቀድመው የገመቱት ይመስለኛል? ልክ ነው፣ ያንን ስም ያገኘው በጂኦሜትሪክ ነገሮች ሳይሆን በእነሱ ስለሚሰራ ነው። የቁጥር ባህሪያት(መጋጠሚያዎች). ከጂኦሜትሪ ወደ አልጀብራ እንድንሸጋገር የሚያስችለን ትራንስፎርሜሽኑ ራሱ የተቀናጀ ሥርዓትን ማስተዋወቅን ያካትታል። የመጀመሪያው አኃዝ ጠፍጣፋ ከሆነ፣ መጋጠሚያዎቹ ባለ ሁለት ገጽታ ናቸው፣ እና ምስሉ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ከሆነ፣ መጋጠሚያዎቹ ሶስት አቅጣጫዊ ናቸው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ባለ ሁለት ገጽታ ጉዳይን ብቻ እንመለከታለን. እና የጽሁፉ ዋና ግብ የተወሰኑትን እንዴት መጠቀም እንዳለቦት ማስተማር ነው። መሰረታዊ ቴክኒኮችየማስተባበር ዘዴ (አንዳንድ ጊዜ በፕላኒሜትሪ ላይ በተዋሃደ የግዛት ፈተና ክፍል B ላይ ችግሮችን ሲፈቱ ጠቃሚ ይሆናሉ)። በዚህ ርዕስ ላይ የሚቀጥሉት ሁለት ክፍሎች ለችግሮች መፍትሄ C2 (የስቲሪዮሜትሪ ችግር) ዘዴዎች ውይይት ያደሩ ናቸው.

የማስተባበር ዘዴን መወያየት መጀመር የት ምክንያታዊ ይሆናል? ምናልባት ከተቀናጀ ስርዓት ጽንሰ-ሐሳብ ሊሆን ይችላል. ለመጀመሪያ ጊዜ እንዳገኛት አስታውስ. በ 7 ኛ ክፍል ውስጥ, ስለ ሕልውና ሲያውቁ ይመስለኛል መስመራዊ ተግባር, ለምሳሌ. ነጥብ በነጥብ እንደገነባህ ላስታውስህ። ያስታዉሳሉ? አንተ መረጥክ የዘፈቀደ ቁጥር, በቀመር ውስጥ ተክቷል እና በዚህ መንገድ አስላ. ለምሳሌ፣ ከሆነ፣ ከዚያ፣ ከሆነ፣ ከዚያ ወዘተ. በመጨረሻ ምን አገኛችሁ? እና ከመጋጠሚያዎች ጋር ነጥቦችን ተቀብለዋል: እና. በመቀጠል “መስቀል” (የአስተባባሪ ስርዓት) ሳሉ ፣ በላዩ ላይ ሚዛን መርጠዋል (ምን ያህል ሴሎች እንደ አንድ ክፍል ይኖሩዎታል) እና ያገኙትን ነጥቦች በላዩ ላይ ምልክት ያድርጉበት ፣ ከዚያ በቀጥታ መስመር ያገናኙት ፣ ውጤቱም መስመር የተግባሩ ግራፍ ነው.

በጥቂቱ በዝርዝር ሊገለጽልዎ የሚገቡ ጥቂት ነጥቦች እዚህ አሉ።

1. ለአመቺነት ምክንያቶች አንድ ነጠላ ክፍልን ይመርጣሉ, ስለዚህ ሁሉም ነገር በስዕሉ ውስጥ በሚያምር እና በተመጣጣኝ ሁኔታ ይጣጣማል.

2. ዘንጉ ከግራ ወደ ቀኝ, እና ዘንግ ከታች ወደ ላይ እንደሚሄድ ተቀባይነት አለው

3. እነሱ በትክክለኛ ማዕዘኖች ይገናኛሉ, እና የመገናኛቸው ነጥብ መነሻው ይባላል. በደብዳቤ ይገለጻል።

4. የነጥብ መጋጠሚያዎችን በመጻፍ ለምሳሌ በግራ በኩል በቅንፍ ውስጥ የነጥቡ መጋጠሚያ በዘንጉ በኩል እና በቀኝ በኩል, በዘንግ በኩል. በተለይም በቃ ነጥብ ላይ ማለት ነው

5. በመጋጠሚያው ዘንግ ላይ ማንኛውንም ነጥብ ለመለየት, መጋጠሚያዎቹን (2 ቁጥሮች) ማመልከት ያስፈልግዎታል.

6. በዘንጉ ላይ ለሚተኛ ለማንኛውም ነጥብ,

7. በዘንጉ ላይ ለሚተኛ ለማንኛውም ነጥብ,

8. ዘንግ x-ዘንግ ተብሎ ይጠራል

9. ዘንግ y-ዘንግ ተብሎ ይጠራል

አሁን ቀጣዩን እርምጃ እንውሰድ፡ ሁለት ነጥቦችን ምልክት አድርግ። እነዚህን ሁለት ነጥቦች ከክፍል ጋር እናያይዛቸው። እና ከነጥብ ወደ ነጥብ አንድ ክፍል እየሳበን ያህል ቀስቱን እናስቀምጠዋለን: ማለትም, ክፍላችንን እንዲመራ እናደርጋለን!

ሌላ የአቅጣጫ ክፍል ምን ተብሎ እንደሚጠራ አስታውስ? ልክ ነው፣ ቬክተር ይባላል!

ስለዚህ ነጥብን ከነጥብ ጋር ካገናኘን ፣ እና መጀመሪያው ነጥብ A ይሆናል ፣ እና መጨረሻው ነጥብ B ይሆናል ፣ከዚያም ቬክተር እናገኛለን. እርስዎም ይህንን ግንባታ በ8ኛ ክፍል ሠርተሃል፣ አስታውስ?

ቬክተሮች ልክ እንደ ነጥቦች በሁለት ቁጥሮች ሊገለጹ ይችላሉ እነዚህ ቁጥሮች የቬክተር መጋጠሚያዎች ይባላሉ. ጥያቄ፡- አስተባባሪዎቹን ለማግኘት የቬክተርን መጀመሪያ እና መጨረሻ መጋጠሚያዎችን ማወቁ በቂ ነው ብለው ያስባሉ? አዎ ሆኖ ተገኘ! እና ይህ በጣም በቀላል ይከናወናል-

ስለዚህ በቬክተር ውስጥ ነጥቡ መጀመሪያ እና ነጥቡ መጨረሻ ስለሆነ ቬክተሩ የሚከተሉት መጋጠሚያዎች አሉት።

ለምሳሌ, ከሆነ, ከዚያም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች

አሁን ተቃራኒውን እናድርግ, የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ. ለዚህ ምን መለወጥ አለብን? አዎን, መጀመሪያ እና መጨረሻውን መለዋወጥ ያስፈልግዎታል: አሁን የቬክተሩ መጀመሪያ ነጥቡ ላይ ይሆናል, እና መጨረሻው ነጥቡ ላይ ይሆናል. ከዚያም፡-

በጥንቃቄ ይመልከቱ፣ በቬክተር መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው? ልዩነታቸው በመጋጠሚያዎች ውስጥ ያሉት ምልክቶች ብቻ ናቸው. ተቃራኒዎች ናቸው። ይህ እውነታ በተለምዶ እንዲህ ተጽፏል፡-

አንዳንድ ጊዜ የትኛው ነጥብ የቬክተሩ መጀመሪያ እንደሆነ እና የትኛው መጨረሻ እንደሆነ ተለይቶ ካልተገለጸ ቬክተሮች ከሁለት በላይ ይገለጻሉ. በትላልቅ ፊደላት, እና አንድ ንዑስ ሆሄ, ለምሳሌ:, ወዘተ.

አሁን ትንሽ ልምምድእራስዎን እና የሚከተሉትን የቬክተሮች መጋጠሚያዎች ያግኙ:

ምርመራ፡-

አሁን ትንሽ የበለጠ ከባድ ችግርን መፍታት፡-

በአንድ ነጥብ ጅምር ያለው ቬክተር አብሮ ወይም-ዲ-ና-አንተ አለው። የ abs-cis-su ነጥቦችን ያግኙ።

ሁሉም አንድ አይነት ፕሮሴክ ነው፡ የነጥቡ መጋጠሚያዎች ይሁኑ። ከዚያም

የቬክተር መጋጠሚያዎች ምንድን ናቸው በሚለው ፍቺ ላይ በመመስረት ስርዓቱን አጠናቅሬያለሁ። ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት. በ abcissa ላይ ፍላጎት አለን. ከዚያም

መልስ፡-

በቬክተሮች ሌላ ምን ማድረግ ይችላሉ? አዎ, ሁሉም ነገር ማለት ይቻላል ከ ጋር ተመሳሳይ ነው ተራ ቁጥሮች(መከፋፈል ካልቻላችሁ በስተቀር ግን በሁለት መንገድ ማባዛት ትችላላችሁ፣ ከመካከላቸው አንዱ ትንሽ ቆይቶ እንነጋገራለን)

1. ቬክተሮች እርስ በርስ ሊጨመሩ ይችላሉ
2. ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው ሊቀነሱ ይችላሉ
3. ቬክተሮች በዘፈቀደ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሊባዙ (ወይም ሊከፋፈሉ ይችላሉ)
4. ቬክተሮች እርስ በርስ ሊባዙ ይችላሉ

እነዚህ ሁሉ ክዋኔዎች በጣም ግልጽ የሆነ የጂኦሜትሪክ ውክልና አላቸው. ለምሳሌ፣ ትሪያንግል (ወይም ትይዩ) የመደመር እና የመቀነስ ህግ፡-

አንድ ቬክተር በቁጥር ሲባዛ ወይም ሲካፈል አቅጣጫውን ይዘረጋል ወይም ይዋዋል ወይም ይለውጣል፡-

ሆኖም ግን, እዚህ መጋጠሚያዎች ላይ ምን እንደሚፈጠር ለሚለው ጥያቄ ፍላጎት እንሆናለን.

1. ሁለት ቬክተሮችን ስንጨምር (ሲቀንስ) መጋጠሚያዎቻቸውን በንጥረ ነገር እንጨምራለን (እንቀንሳለን)። ያውና:

2. ቬክተርን በቁጥር ሲባዙ (ሲካፍሉ) ሁሉም መጋጠሚያዎቹ በዚህ ቁጥር ይባዛሉ (የተከፋፈሉ)።

ለምሳሌ:

· የትብብር ወይም ዲ-ናት ክፍለ ዘመን-ወደ-ራ መጠን ያግኙ።

በመጀመሪያ የእያንዳንዱን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች እንፈልግ. ሁለቱም መነሻቸው አንድ ነው - መነሻ ነጥብ። መጨረሻቸው የተለያየ ነው። ከዚያም . አሁን የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እናሰላለን ከዚያም የተገኘው የቬክተር መጋጠሚያዎች ድምር እኩል ነው.

መልስ፡-

አሁን የሚከተለውን ችግር እራስዎ ይፍቱ።

· የቬክተር መጋጠሚያዎችን ድምር ያግኙ

እኛ እንፈትሻለን፡-

እስቲ አሁን የሚከተለውን ችግር እናስብ: በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ሁለት ነጥቦች አሉን. በመካከላቸው ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት ይቻላል? የመጀመሪያው ነጥብ ይሁን, እና ሁለተኛው. በመካከላቸው ያለውን ርቀት እንጠቁም. ግልፅ ለማድረግ የሚከተለውን ስዕል እንስራ።

አኔ ያደረግኩት? በመጀመሪያ ፣ ነጥቦቹን አገናኘሁ እና እንዲሁም ከነጥቡ መስመር ሳብኩ ፣ ዘንግ ጋር ትይዩ, እና ከነጥቡ ወደ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር አወጣሁ. አንድ ነጥብ ላይ ተገናኝተው አስደናቂ ምስል ፈጠሩ? ስለሷ ምን የተለየ ነገር አለች? አዎ፣ አንተ እና እኔ ሁሉንም ነገር ከሞላ ጎደል እናውቃለን የቀኝ ሶስት ማዕዘን. ደህና, የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በእርግጠኝነት. አስፈላጊው ክፍል የዚህ ትሪያንግል hypotenuse ነው, እና ክፍሎቹ እግሮች ናቸው. የነጥቡ መጋጠሚያዎች ምንድን ናቸው? አዎን, ከሥዕሉ ላይ በቀላሉ ማግኘት ቀላል ነው: ክፍሎቹ ከመጥረቢያዎቹ ጋር ትይዩ ስለሆኑ እና እንደ ቅደም ተከተላቸው, ርዝመታቸው በቀላሉ ማግኘት ቀላል ነው: የክፍሎቹን ርዝማኔዎች በቅደም ተከተል ከገለፅን, ከዚያም

አሁን የፓይታጎሪያን ቲዎረምን እንጠቀም። የእግሮቹን ርዝመት እናውቃለን ፣ hypotenuse ን እናገኛለን-

ስለዚህ, በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ከመጋጠሚያዎች የካሬው ልዩነት ድምር ስር ነው. ወይም - በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት እነሱን የሚያገናኘው ክፍል ርዝመት ነው. በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት በአቅጣጫው ላይ የተመካ አለመሆኑን ለመረዳት ቀላል ነው. ከዚያም፡-

ከዚህ በመነሳት ሶስት መደምደሚያዎችን እናቀርባለን.

በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ስለማስላት ትንሽ እንለማመድ፡-

ለምሳሌ, ከሆነ, ከዚያም መካከል ያለው ርቀት እና እኩል ነው

ወይም በሌላ መንገድ እንሂድ፡ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ፈልግ

እና የቬክተሩን ርዝመት ይፈልጉ:

እንደምታየው, ተመሳሳይ ነገር ነው!

አሁን እራስዎ ትንሽ ይለማመዱ:

ተግባር፡ በተጠቀሱት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ፡-

እኛ እንፈትሻለን፡-

ተመሳሳዩን ቀመር በመጠቀም ጥቂት ተጨማሪ ችግሮች እዚህ አሉ ፣ ምንም እንኳን ትንሽ የተለየ ቢመስሉም።

1. የዐይን ሽፋኑን ርዝመት ካሬውን ያግኙ.

2. የዐይን ሽፋኑን ርዝመት ካሬውን ያግኙ

ያለችግር ያጋጠሟቸው ይመስለኛል? እኛ እንፈትሻለን፡-

1. እና ይህ በትኩረት ነው) ቀደም ሲል የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን አግኝተናል. ከዚያም ቬክተሩ መጋጠሚያዎች አሉት. የርዝመቱ ካሬ ከዚህ ጋር እኩል ይሆናል፡-

2. የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ

ከዚያም የርዝመቱ ካሬ ነው

ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ትክክል? ቀላል ሂሳብ፣ ምንም ተጨማሪ ነገር የለም።

የሚከተሉት ችግሮች በማያሻማ ሁኔታ ሊመደቡ አይችሉም፤ እነሱ ስለ አጠቃላይ እውቀት እና ቀላል ስዕሎችን የመሳል ችሎታ ላይ ናቸው።

1. ነጥቡን በማገናኘት, ከአብሲሳ ዘንግ ጋር, ከተቆረጠው የማዕዘን ኃጢያትን ያግኙ.

እና

ወደዚህ እንዴት እንቀጥላለን? በመካከል እና በዘንጉ መካከል ያለውን አንግል ኃጢአት መፈለግ አለብን። ሳይን የት መፈለግ እንችላለን? ልክ ነው፣ በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ። ስለዚህ ምን ማድረግ አለብን? ይህንን ሶስት ማዕዘን ይገንቡ!

የነጥቡ መጋጠሚያዎች እና, ከዚያም ክፍሉ እኩል ነው, እና ክፍል. የማዕዘን ኃጢያትን መፈለግ አለብን. ሳይን ሬሾ መሆኑን ላስታውስህ ተቃራኒ እግርወደ hypotenuse, ከዚያም

ምን ቀረን? hypotenuse ን ያግኙ። ይህንን በሁለት መንገድ ማድረግ ይችላሉ-የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም (እግሮቹ ይታወቃሉ!) ወይም በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ቀመር በመጠቀም (በእውነቱ, ከመጀመሪያው ዘዴ ጋር ተመሳሳይ ነው!). በሁለተኛው መንገድ እሄዳለሁ-

መልስ፡-

የሚቀጥለው ተግባር ለእርስዎ የበለጠ ቀላል ይመስላል። በነጥቡ መጋጠሚያዎች ላይ ትገኛለች።

ተግባር 2.ከነጥቡ ፐር-ፔን-ዲ-ኩ-ላይር ወደ ab-ciss ዘንግ ላይ ይወርዳል. ናይ-ዲ-ቴ አብ-ሲስ-ሱ ኦስ-ኖ-ቫ-ኒያ በፔን-ዲ-ኩ-ላ-ራ።

ስዕል እንስራ፡-

የፔንዲኩላር መሠረት የ x-ዘንግ (ዘንግ) የሚያቋርጥበት ነጥብ ነው, ለእኔ ይህ ነጥብ ነው. አሃዙ እንደሚያሳየው መጋጠሚያዎች አሉት፡. በ abscissa ላይ ፍላጎት አለን - ማለትም ፣ “x” ክፍል። እኩል ነች።

መልስ፡- .

ተግባር 3.በቀድሞው ችግር ሁኔታዎች ውስጥ ከነጥቡ እስከ አስተባባሪ መጥረቢያዎች ድረስ ያሉትን ርቀቶች ድምር ያግኙ።

ከአንድ ነጥብ እስከ መጥረቢያዎች ያለው ርቀት ምን እንደሆነ ካወቁ ስራው በአጠቃላይ አንደኛ ደረጃ ነው. ታውቃለህ? ተስፋ አደርጋለሁ፣ ግን አሁንም አስታውሳችኋለሁ፡-

ስለዚህ፣ ከዚህ በላይ ባለው ሥዕሌ ውስጥ፣ እንደዚህ ያለ ቀጥ ያለ ስእል ቀድቻለሁ? በየትኛው ዘንግ ላይ ነው? ወደ ዘንግ. እና ርዝመቱ ስንት ነው? እኩል ነች። አሁን ወደ ዘንግ እራስዎ አንድ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ እና ርዝመቱን ይፈልጉ። እኩል ይሆናል አይደል? ከዚያም ድምራቸው እኩል ነው.

መልስ፡- .

ተግባር 4.በተግባሩ 2 ሁኔታዎች ውስጥ የነጥቡን አቀማመጥ ይፈልጉ ፣ የተመጣጠነ ነጥብከ abscissa ዘንግ አንጻር.

ሲምሜትሪ ምን ማለት እንደሆነ በማስተዋል ግልጽ የሆነላችሁ ይመስለኛል? ብዙ እቃዎች አሏቸው፡ ብዙ ህንፃዎች፣ ጠረጴዛዎች፣ አውሮፕላኖች፣ ብዙ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች፡ ኳስ፣ ሲሊንደር፣ ካሬ፣ ሮምብስ፣ ወዘተ... በግምት አነጋገር ሲምሜትሪ በሚከተለው መልኩ ሊረዳ ይችላል፡ አንድ ምስል ሁለት (ወይም ከዚያ በላይ) ተመሳሳይ ግማሾችን ያቀፈ ነው። ይህ ሲሜትሪ አክሲያል ሲምሜትሪ ይባላል። ታዲያ ዘንግ ምንድን ነው? በአንፃራዊነት አኃዙ ወደ እኩል ግማሽ ሊቆረጥ የሚችልበት መስመር ይህ ነው (በዚህ ሥዕል ውስጥ የሲሜትሪ ዘንግ ቀጥ ያለ ነው)

አሁን ወደ ተግባራችን እንመለስ። ስለ ዘንግ የተመጣጠነ ነጥብ እየፈለግን እንደሆነ እናውቃለን። ከዚያም ይህ ዘንግ የሲሜትሪ ዘንግ ነው. ይህ ማለት ዘንግ ክፍሉን ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን እንዲቆርጥ አንድ ነጥብ ምልክት ማድረግ አለብን. እንደዚህ ያለ ነጥብ እራስዎ ምልክት ለማድረግ ይሞክሩ. አሁን ከመፍትሄዬ ጋር አወዳድር፡-

ለእርስዎ በተመሳሳይ መንገድ ሠርቷል? ጥሩ! የተገኘውን ነጥብ ለማስተላለፍ ፍላጎት አለን። እኩል ነው።

መልስ፡-

አሁን ንገረኝ፣ ለጥቂት ሰኮንዶች ካሰብኩ በኋላ፣ የነጥብ ሲሜትሪክ እና ነጥብ ከ ordinate አንፃር ያለው አቢሲሳ ምን ይሆን? መልስህ ምንድን ነው? ትክክለኛ መልስ: .

በአጠቃላይ ደንቡ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

ከአብሲሳ ዘንግ አንጻራዊ ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት፡-

ከተሰነጠቀው ዘንግ አንጻራዊ ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት፡-

ደህና, አሁን ሙሉ በሙሉ አስፈሪ ነው ተግባር፦ የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ከመነሻው አንጻር ካለው ነጥብ ጋር የሚመሳሰል ያግኙ። በመጀመሪያ ለራስዎ ያስባሉ, እና ከዚያም የእኔን ስዕል ይመልከቱ!

መልስ፡-

አሁን የፓራሎግራም ችግር;

ተግባር 5፡ ነጥቦቹ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ይታያሉ። ያንን ነጥብ ይፈልጉ ወይም-di-on.

ይህንን ችግር በሁለት መንገዶች መፍታት ይችላሉ-ሎጂክ እና የማስተባበር ዘዴ. በመጀመሪያ የማስተባበር ዘዴን እጠቀማለሁ, ከዚያም እንዴት በተለየ መንገድ መፍታት እንደሚችሉ እነግርዎታለሁ.

የነጥቡ አቢሲሳ እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው። (ከነጥቡ እስከ አቢሲሳ ዘንግ ድረስ በተሰየመው ቋሚው ላይ ይተኛል). ማዘዣውን መፈለግ አለብን። የእኛ አሃዝ ትይዩ ነው የሚለውን እውነታ እንጠቀም, ይህ ማለት ነው. በሁለት ነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ቀመሩን በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት እንፈልግ፡-

ነጥቡን ወደ ዘንግ የሚያገናኘውን ቋሚውን ዝቅ እናደርጋለን. የማቋረጫ ነጥቡን በደብዳቤ እጠቁማለሁ።

የክፍሉ ርዝመት እኩል ነው. (በዚህ ነጥብ ላይ በተነጋገርንበት ቦታ ችግሩን እራስዎ ይፈልጉ) ፣ ከዚያ የፓይታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት እናገኛለን።

የአንድ ክፍል ርዝመት በትክክል ከሥርዓተ-ጉባዔው ጋር ይዛመዳል።

መልስ፡- .

ሌላ መፍትሄ (ይህን የሚያሳይ ምስል ብቻ እሰጣለሁ)

የመፍትሄ ሂደት;

1. ምግባር

2. የነጥቡን እና የርዝመቱን መጋጠሚያዎች ያግኙ

3. ያንን አረጋግጡ።

ሌላኛው የክፍል ርዝመት ችግር:

ነጥቦቹ በሶስት ማዕዘን አናት ላይ ይታያሉ. የመሃል መስመሩን ርዝመት ይፈልጉ ፣ ትይዩ።

ምን እንደሆነ ታስታውሳለህ? መካከለኛ መስመርትሪያንግል? ከዚያ ይህ ተግባር ለእርስዎ የመጀመሪያ ደረጃ ነው። ካላስታወሱ ፣ ከዚያ አስታውሳችኋለሁ-የሦስት ማዕዘኑ መካከለኛ መስመር መካከለኛ ነጥቦችን የሚያገናኝ መስመር ነው ። ተቃራኒ ጎኖች. ከመሠረቱ ጋር ትይዩ እና ከግማሽ ጋር እኩል ነው.

መሰረቱ አንድ ክፍል ነው. ርዝመቱን ቀደም ብለን መፈለግ ነበረብን, እኩል ነው. ከዚያም የመካከለኛው መስመር ርዝመት በግማሽ ትልቅ እና እኩል ነው.

መልስ፡- .

አስተያየት: ይህ ችግር በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል, ይህም ትንሽ ቆይቶ እንሸጋገራለን.

እስከዚያው ድረስ, ለእርስዎ ጥቂት ችግሮች እዚህ አሉ, በእነሱ ላይ ይለማመዱ, በጣም ቀላል ናቸው, ነገር ግን የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም የተሻለ ለመሆን ይረዳሉ!

1. ነጥቦቹ የ tra-pe-tions አናት ናቸው. የመሃል መስመሩን ርዝመት ይፈልጉ።

2. ነጥቦች እና መልክ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma። ያንን ነጥብ ይፈልጉ ወይም-di-on.

3. ነጥቡን በማገናኘት እና ከተቆረጠበት ርዝመት ይፈልጉ

4. በኮ-ኦርዲ-ናት አውሮፕላን ላይ ባለ ቀለም ምስል በስተጀርባ ያለውን ቦታ ያግኙ.

5. በ na-cha-le ko-or-di-nat ውስጥ ማእከል ያለው ክበብ በነጥቡ ውስጥ ያልፋል። እሷን ራ-ዲ-እኛን ያግኙ።

6. የክበቡን ፈልግ-ዲ-ቴ ራ-ዲ-እኛን ግለጽ፣ሳን-ኖይ ስለ ቀኝ-አንግል-ኖ-ካ ይግለፁ፣የአንድ ነገር ቁንጮዎች ተባባሪ ወይም -ዲ-ና-እርስዎ በጣም ሀላፊነት አለብዎት።

መፍትሄዎች፡-

1. የ trapezoid መካከለኛ መስመር ከመሠረቱ ድምር ግማሽ ጋር እኩል እንደሆነ ይታወቃል. መሰረቱ እኩል ነው, እና መሰረቱ. ከዚያም

መልስ፡-

2. ይህንን ችግር ለመፍታት ቀላሉ መንገድ (ፓራሎሎግራም ደንብ) ልብ ይበሉ. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ማስላት አስቸጋሪ አይደለም፡. ቬክተሮች ሲጨመሩ, መጋጠሚያዎቹ ይታከላሉ. ከዚያም መጋጠሚያዎች አሉት. የቬክተሩ አመጣጥ ከመጋጠሚያዎች ጋር ያለው ነጥብ ስለሆነ ነጥቡም እነዚህ መጋጠሚያዎች አሉት. እኛ በ ordinate ላይ ፍላጎት አለን. እኩል ነች።

መልስ፡-

3. ወዲያውኑ በሁለት ነጥቦች መካከል ባለው ርቀት ቀመር መሰረት እንሰራለን.

መልስ፡-

4. ምስሉን ተመልከት እና የጥላው ቦታ በመካከላቸው "ሳንድዊች" በየትኞቹ ሁለት አሃዞች ይንገሩኝ? በሁለት ካሬዎች መካከል ሳንድዊች ነው. ከዚያም የሚፈለገው ምስል ስፋት ከትልቁ ካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው, ከትንሽ ቦታው ይቀንሳል. ጎን ትንሽ ካሬነጥቦችን የሚያገናኝ ክፍል ነው እና ርዝመቱ ነው።

ከዚያም የትንሽ ካሬው ቦታ ነው

ከትልቅ ካሬ ጋር ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን: ጎኑ ነጥቦቹን የሚያገናኝ ክፍል እና ርዝመቱ ነው

ከዚያ የትልቅ ካሬው ቦታ ነው

ቀመሩን በመጠቀም የተፈለገውን ምስል አካባቢ እናገኛለን-

መልስ፡-

5. አንድ ክበብ መነሻው እንደ መሃል ከሆነ እና በአንድ ነጥብ ውስጥ ካለፈ, ራዲየስ በትክክል ይሆናል ከርዝመት ጋር እኩል ነውክፍል (ስእል ይስሩ እና ይህ ለምን ግልጽ እንደሆነ ይገባዎታል). የዚህን ክፍል ርዝመት እንፈልግ፡-

መልስ፡-

6. የክበብ ራዲየስ በአራት ማዕዘን ዙሪያ መከበቡ ይታወቃል ከግማሽ ጋር እኩል ነውየእሱ ሰያፍ. የሁለቱም ዲያግኖሎች የማንኛቸውንም ርዝመት እንፈልግ (ከሁሉም በኋላ ፣ በአራት ማዕዘን ውስጥ እነሱ እኩል ናቸው!)

መልስ፡-

ደህና ፣ ሁሉንም ነገር ተቋቁመሃል? እሱን ለማወቅ በጣም አስቸጋሪ አልነበረም፣ አይደል? እዚህ አንድ ህግ ብቻ ነው - ምስላዊ ምስል መስራት እና በቀላሉ ሁሉንም ውሂብ ከእሱ "ማንበብ" መቻል.

የቀረን በጣም ጥቂት ነው። ለመወያየት የምፈልጋቸው ሁለት ተጨማሪ ነጥቦች አሉ።

ይህን ቀላል ችግር ለመፍታት እንሞክር. ሁለት ነጥቦችን ይተው እና ይስጡ. የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ። የዚህ ችግር መፍትሔው እንደሚከተለው ነው፡ ነጥቡ የሚፈለገው መካከለኛ ይሁን፡ ከዚያም መጋጠሚያዎች አሉት።

ያውና: የክፍሉ መሃከል መጋጠሚያዎች = የክፍሉ ጫፎች ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች የሂሳብ አማካኝ.

ይህ ህግ በጣም ቀላል እና አብዛኛውን ጊዜ ለተማሪዎች ችግር አይፈጥርም. በየትኞቹ ችግሮች እና እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል እንይ.

1. ፈልግ-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny ከመቁረጥ፣ ነጥቡን ማገናኘት እና

2. ነጥቦቹ የአለም አናት ሆነው ይታያሉ. የሱ ዲያ-ጎ-ና-ሌይ ነጥቦችን በየሪ-ሴ-ቼ-ኒያ ፈልግ።

3. Find-di-te abs-cis-su የክበቡ መሃል፣ ይግለጹ-ሳን-ኖይ ስለ ሬክታንግል-ኖ-ካ፣ የአንድ ነገር ቁንጮዎች አብሮ-ወይም-ዲ-ና-አንተ-ሀላፊነት-ነገር ግን።

መፍትሄዎች፡-

1. የመጀመሪያው ችግር በቀላሉ ክላሲክ ነው. የክፍሉን መሃከል ለመወሰን ወዲያውኑ እንቀጥላለን. መጋጠሚያዎች አሉት። ሹመቱ እኩል ነው።

መልስ፡-

2. ይህ አራት ማዕዘን ትይዩ (ሮምቡስ እንኳን!) መሆኑን በቀላሉ መረዳት ይቻላል. የጎኖቹን ርዝማኔዎች በማስላት እና እርስ በርስ በማነፃፀር ይህንን እራስዎ ማረጋገጥ ይችላሉ. ስለ ትይዩዎች ምን አውቃለሁ? የእሱ ዲያግራኖች በመገናኛው ነጥብ በግማሽ ይከፈላሉ! አዎ! ስለዚህ የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ ምንድን ነው? ይህ የየትኛውም ዲያግናል መሃል ነው! እኔ እመርጣለሁ, በተለይም, ሰያፍ. ከዚያም ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት የነጥቡ ordinate እኩል ነው.

መልስ፡-

3. ስለ አራት ማዕዘኑ የተከበበው የክበብ መሃል ከምን ጋር ይጣጣማል? እሱ ከዲያግራኖቹ መገናኛ ነጥብ ጋር ይጣጣማል። ስለ አራት ማዕዘኑ ዲያግናልስ ምን ያውቃሉ? እነሱ እኩል ናቸው እና የመገናኛው ነጥብ በግማሽ ይከፍላቸዋል. ተግባሩ ወደ ቀዳሚው ቀንሷል። ለምሳሌ ዲያግናልን እንውሰድ። ከዚያም የዙሩ መሃል ከሆነ, መካከለኛው ነጥብ ነው. መጋጠሚያዎችን እየፈለግኩ ነው፡ አቢሲሳ እኩል ነው።

መልስ፡-

አሁን በእራስዎ ትንሽ ይለማመዱ, እራስዎን ለመፈተሽ ለእያንዳንዱ ችግር መልስ ብቻ እሰጣለሁ.

1. የክበቡን አግኝ-ዲ-ቴ ራ-ዲ-እኛን ግለጽ፣ሳን-ኖይን ስለ ባለሶስት ማዕዘን-ኖ-ካ ይግለጹ፣ የአንድ ነገር ቁንጮዎች ተባባሪ ወይም ዲ -ምንም እመቤት የላቸውም።

2. ፈልግ-ዲ-ቴ ወይም-ዲ-ኦን-ያ የክበቡ መሃል፣ ይግለጹ-san-noy ስለ ትሪያንግል-ኖ-ካ፣ ቁንጮቹ መጋጠሚያዎች አሏቸው።

3. የ ab-ciss ዘንግ እንዲነካ በአንድ ነጥብ ላይ አንድ ማዕከል ያለው ክበብ ምን ዓይነት ራ-ዲ-ኡ-ሳ መሆን አለበት?

4. ፈልግ-di-እነዚያን ወይም-ዲ-ላይ-የዛን ዘንግ ዳግም-ሴ-ቴሽን እና ከተቆረጠ፣-ነጥቡን ማገናኘት እና

መልሶች፡-

ሁሉም ነገር የተሳካ ነበር? በእውነት ተስፋ አደርጋለሁ! አሁን - የመጨረሻው ግፊት. አሁን በተለይ ጥንቃቄ ያድርጉ. አሁን የማብራራበት ቁሳቁስ በቀጥታ የተያያዘ ብቻ ሳይሆን ቀላል ተግባራትከክፍል B ወደ መጋጠሚያ ዘዴ, ነገር ግን በችግር C2 ውስጥ በሁሉም ቦታ ይገኛል.

ከቃሎቼ ውስጥ እስካሁን ያልጠበቅሁት የትኛውን ነው? ለማስተዋወቅ ቃል የገባሁትን በቬክተሮች ላይ ምን አይነት ኦፕሬሽኖችን እና በመጨረሻ አስተዋውቄያለሁ? እርግጠኛ ነህ ምንም ነገር አልረሳሁም? ረስተዋል! የቬክተር ማባዛት ምን ማለት እንደሆነ ማስረዳት ረሳሁ።

ቬክተርን በቬክተር ለማባዛት ሁለት መንገዶች አሉ። በተመረጠው ዘዴ ላይ በመመስረት የተለያየ ተፈጥሮ ያላቸውን እቃዎች እናገኛለን:

የመስቀል ምርት በጣም በጥበብ ነው የሚደረገው። እንዴት ማድረግ እንዳለብንና ለምን እንደሚያስፈልግ በሚቀጥለው ርዕስ ላይ እንነጋገራለን. እና በዚህ ውስጥ በ scalar ምርት ላይ እናተኩራለን.

እሱን ለማስላት የሚያስችሉን ሁለት መንገዶች አሉ።

እንደገመቱት ውጤቱ አንድ አይነት መሆን አለበት! ስለዚህ በመጀመሪያ የመጀመሪያውን ዘዴ እንይ.

የነጥብ ምርት በመጋጠሚያዎች በኩል

አግኝ: - በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው ስያሜ ነጥብ ምርት

የስሌቱ ቀመር እንደሚከተለው ነው.

ማለትም፣ ስካላር ምርት = የቬክተር መጋጠሚያዎች ምርቶች ድምር!

ለምሳሌ:

አግኝ-ዲ-ቴ

መፍትሄ፡-

የእያንዳንዱን ቬክተር መጋጠሚያዎች እንፈልግ፡-

ቀመሩን በመጠቀም ስካላር ምርቱን እናሰላለን-

መልስ፡-

ተመልከት ፣ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም!

ደህና ፣ አሁን እራስዎ ይሞክሩት

· የዘመናት scalar ፕሮ-iz-ve-de-nie ይፈልጉ እና

አስተዳድረዋል? ምናልባት ትንሽ መያዙን አስተውለው ይሆናል? እንፈትሽ፡

እንደ ውስጥ ቬክተር ያስተባብራል። የመጨረሻው ተግባር! መልስ፡.

ከማስተባበሪያው በተጨማሪ ፣ የመለኪያ ምርቱን ለማስላት ሌላ መንገድ አለ ፣ ማለትም ፣ በቪክቶሮች ርዝማኔ እና በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይን በኩል።

በቬክተሮች እና መካከል ያለውን አንግል ያመለክታል.

ያም ማለት ስካላር ምርቱ ከቬክተሮች ርዝማኔዎች እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኮሳይን ምርት ጋር እኩል ነው.

ይህ ሁለተኛው ቀመር ለምን ያስፈልገናል, የመጀመሪያው ካለን, በጣም ቀላል የሆነው, ቢያንስ በውስጡ ምንም ኮሳይኖች የሉም. እና ከመጀመሪያው እና ሁለተኛው ቀመሮች እርስዎ እና እኔ በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ መወሰን እንድንችል ያስፈልጋል!

ከዚያ የቬክተሩን ርዝመት ቀመር እናስታውስ!

ከዚያ ይህን ውሂብ ወደ scalar ምርት ቀመር ከተኩት፣ አገኛለሁ፡-

ግን በሌላ መንገድ፡-

ታዲያ እኔና አንተ ምን አገኘን? አሁን በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት የሚያስችል ቀመር አለን! አንዳንድ ጊዜ ደግሞ በአጭሩ እንዲህ ይጻፋል፡-

ማለትም በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው።

1. የስክላር ምርቱን በመጋጠሚያዎች ያሰሉት
2. የቬክተሮችን ርዝመት ይፈልጉ እና ያባዙዋቸው
3. የነጥብ 1ን ውጤት በነጥብ 2 ይከፋፍሉት

በምሳሌዎች እንለማመድ፡-

1. በዐይን ሽፋኖቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና. መልሱን በግራድ-ዱ-ሳህ ስጥ።

2. በቀድሞው ችግር ሁኔታዎች, በቬክተሮች መካከል ያለውን ኮሳይን ያግኙ

ይህን እናድርግ: የመጀመሪያውን ችግር ለመፍታት እረዳሃለሁ, እና ሁለተኛውን ራስህ ለማድረግ ሞክር! እስማማለሁ? ከዚያ እንጀምር!

1. እነዚህ ቬክተሮች የቀድሞ ጓደኞቻችን ናቸው. አስቀድመን ስኬር ምርታቸውን አስልተናል እና እኩል ነበር። አስተባባሪዎቻቸው፡,. ከዚያም ርዝመታቸውን እናገኛለን:

ከዚያም በቬክተሮች መካከል ያለውን ኮሳይን እንፈልጋለን፡-

የማዕዘን ኮሳይን ምንድን ነው? ይህ ጥግ ነው።

መልስ፡-

ደህና ፣ አሁን ሁለተኛውን ችግር እራስዎ ይፍቱ እና ከዚያ ያወዳድሩ! በጣም አጭር መፍትሄ ብቻ እሰጣለሁ-

2. መጋጠሚያዎች አሉት, መጋጠሚያዎች አሉት.

በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል እና ከዚያም

መልስ፡-

ችግሮቹ በቀጥታ በቬክተሮች ላይ እና በክፍል B ውስጥ ያለውን የማስተባበር ዘዴ መታወቅ አለበት የፈተና ወረቀትበጣም አልፎ አልፎ. ነገር ግን፣ አብዛኛዎቹ የC2 ችግሮች የተቀናጀ አሰራርን በማስተዋወቅ በቀላሉ መፍታት ይችላሉ። ስለዚህ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት የሚያስፈልጉንን በጣም ብልህ ግንባታዎችን በምንሠራበት መሠረት ይህንን ጽሑፍ ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ ።

አስተባባሪዎች እና ቬክቶሮች. አማካይ ደረጃ

እርስዎ እና እኔ የማስተባበር ዘዴን ማጥናታችንን እንቀጥላለን። በመጨረሻው ክፍል፣ የሚከተሉትን ለማድረግ የሚያስችሉዎትን በርካታ አስፈላጊ ቀመሮችን አግኝተናል፡-

1. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ
2. የቬክተርን ርዝመት ይፈልጉ (በአማራጭ፡ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት)
3. ቬክተሮችን ይጨምሩ እና ይቀንሱ. በእውነተኛ ቁጥር ያባዟቸው
4. የአንድን ክፍል መካከለኛ ነጥብ ያግኙ
5. የቬክተሮችን የነጥብ ምርት አስላ
6. በቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ

እርግጥ ነው, አጠቃላይ የማስተባበር ዘዴ በእነዚህ 6 ነጥቦች ውስጥ አይጣጣምም. እሱ በዩኒቨርሲቲ ውስጥ በደንብ የሚያውቁትን እንደ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ያለ ሳይንስን መሠረት ያደረገ ነው። በአንድ ግዛት ውስጥ ችግሮችን ለመፍታት የሚያስችል መሠረት መገንባት እፈልጋለሁ. ፈተና የክፍል B ተግባራትን አከናውነናል። ወደ ከፍተኛ ጥራት ለመሸጋገር ጊዜው አሁን ነው። አዲስ ደረጃ! ይህ መጣጥፍ ወደ ማስተባበሪያ ዘዴ መቀየር ምክንያታዊ በሆነበት እነዚያን የC2 ችግሮችን ለመፍታት ዘዴ ላይ ይውላል። ይህ ምክንያታዊነት የሚወሰነው በችግሩ ውስጥ ምን እንደሚፈለግ እና በምን ዓይነት አሃዝ እንደተሰጠ ነው. ስለዚህ ጥያቄዎቹ የሚከተሉት ከሆኑ የማስተባበሪያ ዘዴውን እጠቀማለሁ፡-

1. በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ
2. ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ያግኙ
3. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ
4. ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ
5. ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ
6. ከቀጥታ መስመር ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ
7. በሁለት መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ

በችግር መግለጫው ላይ የተሰጠው አኃዝ የመዞሪያ አካል ከሆነ (ኳስ፣ ሲሊንደር፣ ኮን...)

ለማቀናጀት ዘዴ ተስማሚ አሃዞች የሚከተሉት ናቸው

1. አራት ማዕዘን ትይዩ
2. ፒራሚድ (ሦስት ማዕዘን፣ አራት ማዕዘን፣ ባለ ስድስት ጎን)

እንዲሁም ከኔ ልምድ የማስተባበር ዘዴን መጠቀም ተገቢ አይደለም:

1. ተሻጋሪ ቦታዎችን ማግኘት
2. የአካል ክፍሎች ብዛት ስሌት

ሆኖም ግን, ለመጋጠሚያ ዘዴ ሦስቱ "የማይመቹ" ሁኔታዎች በተግባር በጣም ጥቂት መሆናቸውን ወዲያውኑ ልብ ሊባል ይገባል. በአብዛኛዎቹ ተግባራት, አዳኝዎ ሊሆን ይችላል, በተለይም በባለ ሶስት አቅጣጫዊ ግንባታዎች ላይ በጣም ጥሩ ካልሆኑ (አንዳንድ ጊዜ በጣም ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ).

ከላይ የዘረዘርኳቸው አሃዞች በሙሉ ምንድናቸው? እነሱ ከአሁን በኋላ ጠፍጣፋ አይደሉም ፣ ለምሳሌ ፣ ካሬ ፣ ትሪያንግል ፣ ክብ ፣ ግን ብዙ! በዚህ መሠረት ባለ ሁለት አቅጣጫ ሳይሆን ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቅንጅት ስርዓትን ማጤን አለብን። መገንባት በጣም ቀላል ነው-ከ abcissa እና ordinate axis በተጨማሪ ሌላ ዘንግ ማለትም የአፕሊኬቱ ዘንግ እናስተዋውቃለን። ምስሉ አንጻራዊ አቋማቸውን ያሳያል፡-

ሁሉም እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ እና በአንድ ነጥብ ላይ የተቆራረጡ ናቸው, ይህም የመጋጠሚያዎች አመጣጥ ብለን እንጠራዋለን. እንደበፊቱ ሁሉ፣ የ abscissa ዘንግ፣ ordinate axis - እና የተዋወቀውን አፕሊኬት ዘንግ - እንጠቁማለን።

ቀደም ሲል በአውሮፕላኑ ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ በሁለት ቁጥሮች ተለይቷል - abcissa እና ordinate ፣ ከዚያ እያንዳንዱ የቦታ ነጥብ በሦስት ቁጥሮች ይገለጻል - አቢሲሳ ፣ ordinate እና አፕሊኬቱ። ለምሳሌ:

በዚህ መሠረት, የነጥብ አቢሲሳ እኩል ነው, አስተላላፊው እና አፕሊኬሽኑ ነው.

አንዳንድ ጊዜ abscissa ነጥብ ደግሞ abscissa ዘንግ ላይ አንድ ነጥብ ትንበያ ይባላል, ordinate - አንድ ነጥብ ወደ ordinate ዘንግ ላይ ያለውን ትንበያ, እና applicate - ወደ applicate ዘንግ ላይ አንድ ነጥብ ትንበያ. በዚህ መሠረት አንድ ነጥብ ከተሰጠ፣ ከዚያም አንድ ነጥብ ከመጋጠሚያዎች ጋር፡-

በአውሮፕላን ላይ የነጥብ ትንበያ ይባላል

በአውሮፕላን ላይ የነጥብ ትንበያ ይባላል

ተፈጥሯዊ ጥያቄ የሚነሳው-ሁሉም ቀመሮች ለሁለት-ልኬት ጉዳይ የተወሰዱት በጠፈር ውስጥ ነው? መልሱ አዎ ነው, እነሱ ፍትሃዊ እና ተመሳሳይ መልክ አላቸው. ለትንሽ ዝርዝር. የትኛው እንደሆነ አስቀድመው የገመቱት ይመስለኛል። በሁሉም ቀመሮች ውስጥ ለመተግበሪያው ዘንግ ኃላፊነት ያለው አንድ ተጨማሪ ቃል ማከል አለብን። ይኸውም.

1. ሁለት ነጥብ ከተሰጠ፡.

• የቬክተር መጋጠሚያዎች፡-
• በሁለት ነጥቦች (ወይም በቬክተር ርዝመት) መካከል ያለው ርቀት
• የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት

2. ሁለት ቬክተሮች ከተሰጡ: እና, ከዚያም:

• ስካላር ምርታቸው ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው።
• በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን እኩል ነው፡-

ይሁን እንጂ ቦታ በጣም ቀላል አይደለም. እንደተረዱት፣ አንድ ተጨማሪ መጋጠሚያ ማከል እዚህ ቦታ ላይ “በሚኖሩ” አኃዞች ስፔክትረም ውስጥ ጉልህ ልዩነትን ያስተዋውቃል። እና ለተጨማሪ ትረካ የተወሰኑትን፣በግምት አነጋገር፣የቀጥታ መስመርን “አጠቃላይነት” ማስተዋወቅ አለብኝ። ይህ "አጠቃላይ" አውሮፕላን ይሆናል. ስለ አውሮፕላን ምን ያውቃሉ? ጥያቄውን ለመመለስ ሞክር, አውሮፕላን ምንድን ነው? ለማለት በጣም ከባድ ነው። ሆኖም ፣ ሁላችንም ምን እንደሚመስል በማስተዋል እናስባለን-

በግምት፣ ይህ በህዋ ላይ የተጣበቀ ማለቂያ የሌለው “ሉህ” ነው። "Infinity" አውሮፕላኑ በሁሉም አቅጣጫዎች እንደሚዘረጋ መረዳት አለበት, ማለትም, አካባቢው ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው. ይሁን እንጂ ይህ "የእጅ" ማብራሪያ ስለ አውሮፕላኑ መዋቅር ትንሽ ሀሳብ አይሰጥም. እኛንም የምትፈልገው እሷ ነች።

ከጂኦሜትሪ መሰረታዊ አክሲሞች አንዱን እናስታውስ፡-

• በሁለት የተለያዩ ነጥቦችበአውሮፕላኑ ላይ ቀጥተኛ መስመር አለ ፣ እና አንድ ብቻ

ወይም በህዋ ውስጥ ያለው አናሎግ፡-

በእርግጥ ፣ የመስመሩን እኩልነት ከሁለት ነጥቦች እንዴት እንደሚያገኙ ያስታውሳሉ ፣ በጭራሽ አስቸጋሪ አይደለም-የመጀመሪያው ነጥብ መጋጠሚያዎች ካሉት እና ሁለተኛው ፣ ከዚያ የመስመሩ እኩልታ እንደሚከተለው ይሆናል ።

ይህንን የወሰድከው በ7ኛ ክፍል ነው። በጠፈር ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ ይህን ይመስላል፡ ሁለት ነጥቦችን ከመጋጠሚያዎች ጋር እንስጥ፡ ከዚያም በእነሱ ውስጥ የሚያልፍ የመስመሩ እኩልነት ቅጹ አለው፡-

ለምሳሌ አንድ መስመር በነጥቦች ውስጥ ያልፋል፡-

ይህንን እንዴት መረዳት ይገባል? ይህ እንደሚከተለው ሊረዳው ይገባል፡- አንድ ነጥብ በመስመሩ ላይ የሚኖረው መጋጠሚያዎቹ የሚከተለውን ስርዓት ካሟሉ ነው።

በመስመሩ እኩልነት ላይ ብዙ ፍላጎት አይኖረንም፣ ነገር ግን ለእሱ ትኩረት መስጠት አለብን ጠቃሚ ጽንሰ-ሐሳብየቬክተር ቀጥታ መስመርን መምራት. - ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር በተወሰነ መስመር ላይ የሚተኛ ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ ነው።

ለምሳሌ, ሁለቱም ቬክተሮች የቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ጠቋሚዎች ናቸው. በአንድ መስመር ላይ የተኛ ነጥብ ይሁን እና አቅጣጫው ቬክተር ይሁን። ከዚያ የመስመሩ እኩልታ በሚከተለው ቅጽ ሊፃፍ ይችላል-

አንዴ እንደገና ፣ በቀጥታ መስመር እኩልታ ላይ በጣም ፍላጎት አይኖረኝም ፣ ግን በእርግጥ አቅጣጫ ቬክተር ምን እንደሆነ እንድታስታውሱ እፈልጋለሁ! እንደገና፡- ይህ በመስመር ላይ የሚተኛ ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ የሆነ ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ነው።

ማውጣት በሶስት ነጥቦች ላይ የተመሰረተ የአውሮፕላን እኩልነትከአሁን በኋላ ያን ያህል ቀላል አይደለም፣ እና አብዛኛውን ጊዜ ይህ ጉዳይ በኮርሱ ውስጥ አይታይም። ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት. ግን በከንቱ! ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ወደ ቅንጅት ዘዴ ስንጠቀም ይህ ዘዴ በጣም አስፈላጊ ነው. ሆኖም፣ አዲስ ነገር ለመማር ጓጉተሃል ብዬ አስባለሁ? ከዚህም በላይ በአብዛኛው በአናቲቲካል ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ የሚጠናውን ዘዴ እንዴት እንደሚጠቀሙ አስቀድመው ማወቅ ሲችሉ አስተማሪዎን በዩኒቨርሲቲው ውስጥ ማስደሰት ይችላሉ. ስለዚህ እንጀምር።

የአውሮፕላኑ እኩልነት በአውሮፕላን ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር እኩልነት በጣም የተለየ አይደለም፣ ማለትም፣ ቅጹ አለው፡-

አንዳንድ ቁጥሮች (ሁሉም አይደሉም) ከዜሮ ጋር እኩል ነው።), እና ተለዋዋጮች, ለምሳሌ: ወዘተ. እንደሚመለከቱት, የአንድ አውሮፕላን እኩልነት ከቀጥታ መስመር (መስመራዊ ተግባር) እኩልነት በጣም የተለየ አይደለም. ሆኖም እኔና አንተ የተከራከርንበትን አስታውስ? እኛ በተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች ካሉን የአውሮፕላኑ እኩልነት ከነሱ በተለየ ሁኔታ እንደገና ሊገነባ ይችላል አልን። ግን እንዴት? ላብራራህ እሞክራለሁ።

የአውሮፕላኑ እኩልነት ስለሆነ፡-

እና ነጥቦቹ የዚህ አውሮፕላን ናቸው ፣ ከዚያ የእያንዳንዱን ነጥብ መጋጠሚያዎች ወደ አውሮፕላኑ እኩልነት ሲቀይሩ ትክክለኛውን ማንነት ማግኘት አለብን-

ስለዚህ, ከማያውቁት ጋር ሶስት እኩልታዎችን መፍታት ያስፈልጋል! አጣብቂኝ! ሆኖም ግን, ሁልጊዜ (ይህን ለማድረግ መከፋፈል ያስፈልግዎታል) ብለው ማሰብ ይችላሉ. ስለዚህ፣ ከሶስት የማይታወቁ ጋር ሶስት እኩልታዎችን እናገኛለን።

ሆኖም ፣ እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት አንፈታም ፣ ግን ከእሱ ቀጥሎ ያለውን ምስጢራዊ አገላለጽ እንጽፋለን-

በሶስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልነት

\[\ግራ| (\ጀምር(ድርድር)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((((y_1)) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(ዝ - (z_0))&(((ዝ_1) - (z_0))&((ዝ_2) - (z_0)) \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ| = 0\]

ተወ! ምንድነው ይሄ? አንዳንድ በጣም ያልተለመደ ሞጁል! ነገር ግን ከፊት ለፊትዎ የሚያዩት ነገር ከሞጁሉ ጋር ምንም ግንኙነት የለውም. ይህ ነገር የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ይባላል። ከአሁን ጀምሮ፣ በአውሮፕላን ላይ የመጋጠሚያ ዘዴን ስትፈታ፣ ብዙ ጊዜ እነዚህን ተመሳሳይ መወሰኛዎች ያጋጥሙሃል። የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ ምንድነው? በሚገርም ሁኔታ ቁጥር ብቻ ነው። የትኛውን የተወሰነ ቁጥር ከወሳኙ ጋር ማወዳደር እንደምንችል ለመረዳት ይቀራል።

በመጀመሪያ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛን በበለጠ አጠቃላይ መልኩ እንፃፍ፡-

አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ። ከዚህም በላይ, በመጀመሪያው ኢንዴክስ የረድፍ ቁጥር ማለት ነው, እና በመረጃ ጠቋሚው የአምድ ቁጥር ማለት ነው. ለምሳሌ, ይህ ቁጥር በሁለተኛው ረድፍ እና በሶስተኛው አምድ መገናኛ ላይ ነው ማለት ነው. እንለብሰው የሚቀጥለው ጥያቄእንደዚህ አይነት መወሰኛ በትክክል እንዴት እናሰላለን? ማለትም ከየትኛው የተለየ ቁጥር ጋር እናነፃፅራለን? ለሶስተኛ ደረጃ አመልካች ሂዩሪስቲክ (ምስላዊ) ትሪያንግል ህግ አለ፣ ይህን ይመስላል፡-

1. የዋናው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት (ከላይኛው ግራ ጥግ ወደ ታችኛው ቀኝ) የመጀመሪያውን ትሪያንግል “በቀጥታ” ወደ ዋናው ዲያግናል የሚመረቱ ንጥረ ነገሮች ምርት ሁለተኛውን ትሪያንግል “ቀጥታ” ወደ ዋና ሰያፍ
2. የሁለተኛው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት (ከላይኛው ቀኝ ጥግ እስከ ታችኛው ግራ) የመጀመሪያውን ትሪያንግል “በቀጥታ” ወደ ሁለተኛ ሰያፍ የሚሠሩ ንጥረ ነገሮች ምርት ሁለተኛውን ትሪያንግል “perpendicular” ይመሰረታል ። ሁለተኛ ሰያፍ
3. ከዚያም የሚወስነው በደረጃው ላይ በተገኙት እሴቶች መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው

ይህንን ሁሉ በቁጥር ከጻፍን የሚከተለውን አገላለጽ እናገኛለን።

ሆኖም ፣ በዚህ ቅፅ ውስጥ ያለውን የሂሳብ ዘዴን ማስታወስ አያስፈልግዎትም ፣ በራስዎ ውስጥ ሶስት ማዕዘኖችን እና ምን እንደሚጨምር እና ምን እንደሚቀንስ ሀሳብ ብቻ ማቆየት በቂ ነው ።

የሶስት ማዕዘን ዘዴን በምሳሌ እናሳይ።

1. ወሳኙን አስላ፡-

የምንጨምረውን እና የምንቀንሰውን እንወቅ፡-

ከመደመር ጋር አብረው የሚመጡ ውሎች፡-

ይህ ዋናው ሰያፍ ነው: የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው

የመጀመሪያው ትሪያንግል፣ “ከዋናው ዲያግናል ጋር ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሁለተኛ ትሪያንግል፣ “ወደ ዋናው ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሶስት ቁጥሮችን ጨምሩ።

ከመቀነስ ጋር የሚመጡ ውሎች

ይህ የጎን ሰያፍ ነው፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

የመጀመሪያው ትሪያንግል፣ “ወደ ሁለተኛ ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሁለተኛው ትሪያንግል፣ “ወደ ሁለተኛ ሰያፍ ቀጥ ያለ፡ የንጥረ ነገሮች ምርት እኩል ነው።

ሶስት ቁጥሮችን ጨምሩ።

የሚቀረው የ“ፕላስ” ቃላት ድምርን ከ“መቀነስ” ቃላቶች ድምር መቀነስ ነው።

ስለዚህም

እንደሚመለከቱት፣ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛዎችን በማስላት ውስጥ ምንም የተወሳሰበ ወይም ከተፈጥሮ በላይ የሆነ ነገር የለም። ስለ ትሪያንግሎች ማስታወስ እና የሂሳብ ስህተቶችን ላለማድረግ ብቻ አስፈላጊ ነው. አሁን እራስዎ ለማስላት ይሞክሩ:

እኛ እንፈትሻለን፡-

1. የመጀመሪያው ትሪያንግል ከዋናው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
2. ሁለተኛ ትሪያንግል ከዋናው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
3. የመደመር ውሎች ድምር፡-
4. የመጀመሪያው ትሪያንግል ከሁለተኛው ሰያፍ ጎን ለጎን፡
5. ሁለተኛ ትሪያንግል በጎን ሰያፍ ጎን ለጎን፡
6. የመቀነስ ውሎች ድምር፡-
7. የቃላቶቹ ድምር ከመደመር ጋር የቃላት ድምር ሲቀነስ፡-

ጥቂት ተጨማሪ ቆራጮች እዚህ አሉ ፣ እሴቶቻቸውን እራስዎ ያሰሉ እና ከመልሶቹ ጋር ያወዳድሩ።

መልሶች፡-

ደህና ፣ ሁሉም ነገር ተገናኝቷል? በጣም ጥሩ, ከዚያ መቀጠል ይችላሉ! ችግሮች ካሉ ታዲያ የእኔ ምክር ይህ ነው-በበይነመረብ ላይ ወሳኙን በመስመር ላይ ለማስላት ብዙ ፕሮግራሞች አሉ። የሚያስፈልግህ ነገር የራስህ መወሰኛ ጋር መምጣት፣ ራስህ አስላ እና ከዛ ፕሮግራሙ ከሚያሰላው ጋር ማወዳደር ነው። እና ውጤቶቹ መመሳሰል እስኪጀምሩ ድረስ። እርግጠኛ ነኝ ይህ ጊዜ ለመድረስ ብዙ ጊዜ እንደማይወስድ እርግጠኛ ነኝ!

አሁን በሦስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ ስላለፈው አውሮፕላን እኩልነት ሳወራ ወደ ጻፍኩት ቆራጥነት እንመለስ።

የሚያስፈልግህ ዋጋውን በቀጥታ (የሶስት ማዕዘን ዘዴን በመጠቀም) ማስላት እና ውጤቱን ወደ ዜሮ ማዘጋጀት ነው. በተፈጥሮ እነዚህ ተለዋዋጮች ስለሆኑ በእነሱ ላይ የሚወሰን አንዳንድ መግለጫዎችን ያገኛሉ። በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት የተሰጡ ነጥቦችን የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልነት የሚሆነው ይህ አገላለጽ ነው!

ይህንን በቀላል ምሳሌ እንግለጽ።

1. በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ ይገንቡ

ለነዚህ ሶስት ነጥቦች ወሳኙን አዘጋጅተናል፡-

ቀላል እናድርግ፡-

አሁን የሶስት ማዕዘን ደንቡን በመጠቀም በቀጥታ እናሰላለን-

\[(\ግራ| (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c)))(x+3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z +1)&5&0\መጨረሻ(ድርድር) ቀኝ| = \ግራ((x + 3) \ቀኝ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \ ግራ((z + 1) \ቀኝ) + \ግራ((y - 2) \ቀኝ) \cdot 5 \cdot 6 -)\]

ስለዚህ, በአውሮፕላኑ ውስጥ በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈው እኩልነት:

አሁን አንድ ችግር እራስዎ ለመፍታት ይሞክሩ እና ከዚያ እንወያይበታለን-

2. በነጥቦቹ ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ

ደህና፣ አሁን መፍትሄውን እንወያይበት፡-

ቆራጥ እንፍጠር፡-

እና ዋጋውን አስሉ:

ከዚያ የአውሮፕላኑ እኩልነት ቅጹ አለው:

ወይም፣ በመቀነስ፣ እናገኛለን፡-

አሁን ራስን የመግዛት ሁለት ተግባራት፡-

1. በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልታ ይገንቡ፡-

መልሶች፡-

ሁሉም ነገር ተገጣጠመ? እንደገና ፣ አንዳንድ ችግሮች ካሉ ፣ ምክሬ ይህ ነው-ከጭንቅላቱ ላይ ሶስት ነጥቦችን ይውሰዱ (ከ በከፍተኛ መጠንዕድላቸው በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይዋሹም), በእነሱ ላይ በመመስረት አውሮፕላን ይሠራሉ. እና ከዚያ እራስዎን በመስመር ላይ ይፈትሹ። ለምሳሌ በጣቢያው ላይ፡-

ሆኖም ፣ በወሳኞች እገዛ የአውሮፕላኑን እኩልነት ብቻ ሳይሆን እንገነባለን። አስታውስ፣ የነጥብ ምርት ብቻ ሳይሆን ለቬክተር እንደሚገለጽ ነግሬሃለሁ። በተጨማሪም የቬክተር ምርት, እንዲሁም የተደባለቀ ምርት አለ. እና የሁለት ቬክተሮች ስካላር ምርት ቁጥር ከሆነ፣ የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት ቬክተር ይሆናል፣ እናም ይህ ቬክተር ከተሰጡት ጋር ቀጥ ያለ ይሆናል።

ከዚህም በላይ የእሱ ሞጁል ይሆናል ከአካባቢው ጋር እኩል ነው።በቬክተሮች ላይ የተገነባ ትይዩ እና. ይህ ቬክተርከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት ለማስላት ያስፈልገናል. የቬክተሮችን የቬክተር ምርት እንዴት እናሰላለን እና መጋጠሚያዎቻቸው ከተሰጡ? የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ እንደገና ወደ እኛ እርዳታ ይመጣል። ነገር ግን የቬክተርን ምርት ለማስላት ወደ ስልተ ቀመር ከመቀጠሌ በፊት ትንሽ ዳይሬሽን ማድረግ አለብኝ።

ይህ መረበሽ የመሠረት ቬክተሮችን ይመለከታል።

እነሱ በሥዕሉ ላይ በሥርዓት ቀርበዋል-

ለምን መሰለህ መሰረታዊ ተብለው ይጠራሉ? እውነታው ግን፡-

ወይም በሥዕሉ ላይ፡-

የዚህ ቀመር ትክክለኛነት ግልጽ ነው፣ ምክንያቱም፡-

የቬክተር ጥበብ ስራ

አሁን የመስቀል ምርትን ማስተዋወቅ እችላለሁ፡-

የሁለት ቬክተር የቬክተር ምርት ቬክተር ነው, እሱም በሚከተለው ደንብ መሰረት ይሰላል.

አሁን የመስቀልን ምርት ለማስላት አንዳንድ ምሳሌዎችን እንስጥ፡-

ምሳሌ 1፡ የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርትን አግኝ፡

መፍትሄ፡ ወሳኙን አዘጋጃለሁ፡-

እና አስላዋለሁ፡-

አሁን በመሠረታዊ ቬክተሮች ከመጻፍ ወደ ተለመደው የቬክተር ማስታወሻ እመለሳለሁ፡-

ስለዚህም፡-

አሁን ይሞክሩት።

ዝግጁ? እኛ እንፈትሻለን፡-

እና በተለምዶ ሁለት የቁጥጥር ተግባራት;

1. የሚከተሉትን የቬክተሮች የቬክተር ምርት ያግኙ፡
2. የሚከተሉትን የቬክተሮች የቬክተር ምርት ያግኙ፡

መልሶች፡-

የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት

እኔ የሚያስፈልገኝ የመጨረሻው ግንባታ የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት ነው. እሱ፣ ልክ እንደ ስካላር፣ ቁጥር ነው። እሱን ለማስላት ሁለት መንገዶች አሉ። - በቆራጥነት, - በተቀላቀለ ምርት.

ይኸውም ሦስት ቬክተሮችን እንስጥ፡-

ከዚያም የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት፣ በ የተጠቆመው፣ እንደሚከተለው ሊሰላ ይችላል።

1. - ይኸውም የተቀላቀለው ምርት የቬክተር ስክላር ውጤት እና የሁለት ሌሎች ቬክተሮች የቬክተር ውጤት ነው።

ለምሳሌ፣ የሶስት ቬክተር ድብልቅ ምርት፡-

የቬክተር ምርቱን በመጠቀም እራስዎን ለማስላት ይሞክሩ እና ውጤቶቹ የሚዛመዱ መሆናቸውን ያረጋግጡ!

እና እንደገና ፣ ለገለልተኛ መፍትሄዎች ሁለት ምሳሌዎች

መልሶች፡-

የተቀናጀ ስርዓት መምረጥ

ደህና, አሁን ውስብስብ ስቴሪዮሜትሪክ ጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት ሁሉም አስፈላጊ የእውቀት መሰረት አለን. ሆኖም እነሱን ለመፍታት በቀጥታ ወደ ምሳሌዎች እና ስልተ ቀመሮች ከመቀጠልዎ በፊት በሚከተለው ጥያቄ ላይ መቆየቱ ጠቃሚ እንደሚሆን አምናለሁ-እንዴት በትክክል ለአንድ የተወሰነ ምስል የማስተባበር ስርዓት ይምረጡ።ከሁሉም በላይ, ምርጫው ነው አንጻራዊ አቀማመጥበህዋ ውስጥ ያሉ ስርዓቶችን እና ቅርጾችን ማስተባበር በመጨረሻ ስሌቶቹ ምን ያህል አስቸጋሪ እንደሚሆኑ ይወስናሉ።

በዚህ ክፍል ውስጥ የሚከተሉትን አሃዞች እንደምናስብ ላስታውስህ።

1. አራት ማዕዘን ትይዩ
2. ቀጥ ያለ ፕሪዝም (ባለሶስት ማዕዘን፣ ባለ ስድስት ጎን...)
3. ፒራሚድ (ባለሶስት ማዕዘን፣ አራት ማዕዘን)
4. Tetrahedron (ከሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ጋር ተመሳሳይ)

ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ወይም ኪዩብ፣ የሚከተለውን ግንባታ እመክርዎታለሁ።

ያም ማለት ስዕሉን "በማእዘኑ" ላይ አኖራለሁ. ኩብ እና ትይዩ በጣም ጥሩ አሃዞች ናቸው። ለእነሱ, ሁልጊዜ የእሱን ጫፎች መጋጠሚያዎች በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ. ለምሳሌ (በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው) ከሆነ

ከዚያም የመንገዶቹ መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው ናቸው.

እርግጥ ነው, ይህንን ማስታወስ አያስፈልግዎትም, ነገር ግን ኩብ ወይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ እንዴት እንደሚቀመጥ ማስታወስ ጠቃሚ ነው.

ቀጥ ያለ ፕሪዝም

ፕሪዝም የበለጠ ጎጂ ምስል ነው። በጠፈር ውስጥ በተለያየ መንገድ ሊቀመጥ ይችላል. ሆኖም፣ የሚከተለው አማራጭ ለእኔ በጣም ተቀባይነት ያለው መስሎ ይታየኛል።

ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝም;

ማለትም ፣ ከሦስት ማዕዘኑ ውስጥ አንዱን ሙሉ በሙሉ በዘንግ ላይ እናስቀምጠዋለን ፣ እና አንደኛው ጫፎች ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ይጣጣማሉ።

ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም;

ያም ማለት አንዱ ጫፎች ከመነሻው ጋር ይጣጣማሉ, እና አንዱ ጎኖቹ ዘንግ ላይ ይተኛል.

ባለአራት ማዕዘን እና ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ፡

ሁኔታው ከኩብ ጋር ተመሳሳይ ነው: የመሠረቱን ሁለት ጎኖች ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር እናስተካክላለን, እና አንዱን ጫፎች ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር እናስተካክላለን. ብቸኛው ትንሽ ችግር የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማስላት ነው።

ለባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ - በተመሳሳይ መልኩ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም. ዋናው ተግባር እንደገና የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች መፈለግ ይሆናል.

ቴትራሄድሮን (ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ)

ሁኔታው ለሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ከሰጠሁት ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው: አንድ ጫፍ ከመነሻው ጋር ይጣጣማል, አንድ ጎን በተጋጠመው ዘንግ ላይ ይተኛል.

ደህና፣ አሁን እኔ እና አንተ በመጨረሻ ችግሮችን መፍታት ለመጀመር ተቃርበናል። በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ ከተናገርኩት ፣ የሚከተለው መደምደሚያ ላይ መድረስ ይችላሉ-አብዛኞቹ የ C2 ችግሮች በ 2 ምድቦች ይከፈላሉ-የአንግል ችግሮች እና የርቀት ችግሮች። በመጀመሪያ, ማዕዘን የማግኘት ችግሮችን እንመለከታለን. እነሱ በተራው በሚከተሉት ምድቦች ይከፈላሉ (ውስብስብነት ሲጨምር)

ማዕዘኖችን ለማግኘት ችግሮች

1. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ
2. በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ

እነዚህን ችግሮች በቅደም ተከተል እንመልከታቸው፡ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል በማግኘት እንጀምር። ደህና ፣ አስታውስ ፣ እኔ እና አንተ አልወሰንንም? ተመሳሳይ ምሳሌዎችቀደም ብሎ? ታስታውሳለህ፣ ቀደም ሲል ተመሳሳይ ነገር ነበረን... በሁለት ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነበር። ላስታውስህ ፣ ሁለት ቬክተሮች ከተሰጡ እና ፣ ከዚያ በመካከላቸው ያለው አንግል ከግንኙነቱ ተገኝቷል ።

አሁን ግባችን በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ ነው. “ጠፍጣፋውን ሥዕል” እንመልከት፡-

ሁለት ቀጥታ መስመሮች ሲቆራረጡ ስንት ማእዘን አገኘን? ጥቂት ነገሮች ብቻ። እውነት ነው, ከመካከላቸው ሁለቱ ብቻ እኩል አይደሉም, ሌሎቹ ደግሞ ለእነሱ ቀጥ ያሉ ናቸው (እና ስለዚህ ከእነሱ ጋር ይጣጣማሉ). ስለዚህ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል የትኛውን አንግል ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን: ወይም? እዚህ ደንቡ፡- በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሁልጊዜ ከዲግሪዎች አይበልጥም. ማለትም ፣ ከሁለት ማዕዘኖች ሁል ጊዜ አንግሉን በትንሹ የዲግሪ መለኪያ እንመርጣለን ። ያም ማለት በዚህ ምስል ውስጥ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል እኩል ነው. የሁለት ማዕዘናት ትንሹን ለማግኘት በእያንዳንዱ ጊዜ ላለመጨነቅ ተንኮለኛ የሂሳብ ሊቃውንት ሞጁሉን ለመጠቀም ሐሳብ አቀረቡ። ስለዚህም በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል በቀመርው ይወሰናል፡-

እርስዎ፣ በትኩረት የሚከታተል አንባቢ፣ ጥያቄ ሊኖርዎት ይገባ ነበር፡ የማዕዘንን ኮሳይን ለማስላት የሚያስፈልገንን ተመሳሳይ ቁጥሮች ከየት እናገኛለን? መልስ፡ ከመስመሮቹ አቅጣጫ ቬክተር እንወስዳቸዋለን! ስለዚህ በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው-

1. ቀመር 1 እንተገብራለን.

ወይም በበለጠ ዝርዝር፡-

1. እኛ የመጀመሪያውን ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን
2. የሁለተኛው ቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን
3. የስኬላ ምርታቸውን ሞጁሎች እናሰላለን።
4. የመጀመሪያውን የቬክተር ርዝመት እየፈለግን ነው
5. የሁለተኛውን የቬክተር ርዝመት እየፈለግን ነው
6. የነጥብ 4ን ውጤት በነጥብ 5 ማባዛት።
7. የነጥቡን 3 ውጤት በነጥብ 6 እናካፍላለን. በመስመሮቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን እናገኛለን
8. ከሆነ ይህ ውጤትአንግልውን በትክክል ለማስላት ያስችልዎታል, ይፈልጉት
9. አለበለዚያ በአርክ ኮሳይን በኩል እንጽፋለን

ደህና ፣ አሁን ወደ ችግሮቹ ለመቀጠል ጊዜው አሁን ነው-መፍትሄውን ለመጀመሪያዎቹ ሁለቱ በዝርዝር አሳየዋለሁ ፣ መፍትሄውን ለሌላው አቀርባለሁ ። በአጭሩ, እና ላለፉት ሁለት ችግሮች መልስ ብቻ እሰጣለሁ, ሁሉንም ስሌቶች እራስዎ ማከናወን አለብዎት.

ተግባራት፡

1. በትክክለኛው tet-ra-ed-re, በ tet-ra-ed-ra ቁመት እና በመካከለኛው ጎን መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

2. በቀኝ-እጅ ስድስት-ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ, መቶ os-no-va-niyas እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና.

3. የቀኝ አራት የድንጋይ ከሰል ፒ-ራ-ሚ-ዳይ የሁሉም ጠርዞች ርዝመቶች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው. በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና ከተቆረጠው - እርስዎ ከተሰጠው ፒ-ራ-ሚ-ዳይ ጋር ነዎት ፣ ነጥቡ በቦ-ኮ-ሁለተኛ የጎድን አጥንቶች ላይ ሴ-ሪ-ዲ- ላይ ነው።

4. በኩቤው ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ ስለዚህም በቀጥተኛ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና

5. ነጥብ - በኪዩብ ጠርዝ ላይ ቀጥ ያሉ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ እና.

ተግባራቶቹን በዚህ ቅደም ተከተል ያዘጋጀሁት በአጋጣሚ አይደለም. የማስተባበር ዘዴን ገና ማሰስ ካልጀመሩ ፣ እኔ ራሴ በጣም “ችግር ያለባቸውን” ምስሎችን እመረምራለሁ ፣ እና በጣም ቀላል የሆነውን ኪዩብ እንዲቋቋሙ እተወዋለሁ! ቀስ በቀስ ከሁሉም አሃዞች ጋር እንዴት እንደሚሰሩ መማር አለቦት, የተግባሮቹን ውስብስብነት ከርዕስ ወደ ርዕስ እጨምራለሁ.

ችግሮችን መፍታት እንጀምር፡-

1. ቴትራሄድሮን ይሳሉ, ቀደም ብዬ እንደጠቆምኩት በማስተባበር ስርዓት ውስጥ ያስቀምጡት. ቴትራሄድሮን መደበኛ ስለሆነ ሁሉም ፊቶቹ (መሰረቱን ጨምሮ) ናቸው። መደበኛ ትሪያንግሎች. የጎን ርዝመት ስላልተሰጠን, እኩል እንዲሆን ልወስደው እችላለሁ. አንግል በእውነታው የኛ ቴትራሄድሮን “በተዘረጋ” ላይ የተመካ እንደማይሆን የተረዱ ይመስለኛል። እንዲሁም በቴትራሄድሮን ውስጥ ያለውን ቁመት እና መካከለኛ እሳለሁ. በመንገድ ላይ, መሰረቱን እሳለሁ (እሱም ለእኛ ጠቃሚ ይሆናል).

በ እና መካከል ያለውን አንግል ማግኘት አለብኝ። ምን እናውቃለን? እኛ የምናውቀው የነጥቡን ቅንጅት ብቻ ነው። ይህ ማለት የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች መፈለግ አለብን ማለት ነው. አሁን እኛ እናስባለን-አንድ ነጥብ የሶስት ማዕዘኑ ከፍታዎች (ወይም ቢሴክተሮች ወይም ሚዲያን) መገናኛ ነጥብ ነው። እና አንድ ነጥብ ከፍ ያለ ነጥብ ነው. ነጥቡ የክፍሉ መካከለኛ ነው. ከዚያም በመጨረሻ ማግኘት ያስፈልገናል: ነጥቦች መጋጠሚያዎች:.

በጣም ቀላል በሆነው ነገር እንጀምር፡ የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች። ስዕሉን ይመልከቱ: የአንድ ነጥብ አፕሊኬሽን ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው (ነጥቡ በአውሮፕላኑ ላይ ነው). ሹመቱ እኩል ነው (መካከለኛ ስለሆነ)። አቢሲሳውን ለማግኘት የበለጠ ከባድ ነው። ሆኖም፣ ይህ በፒታጎሪያን ቲዎሬም ላይ በመመስረት በቀላሉ ይከናወናል፡ ሶስት ማዕዘን አስቡ። ሃይፖቴኑዝ እኩል ነው፣ እና አንደኛው እግሮቹ እኩል ናቸው።

በመጨረሻም እኛ አለን:.

አሁን የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ. የእሱ አፕሊኬሽኑ እንደገና ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው, እና ዳይሬሽኑ ከአንድ ነጥብ ጋር ተመሳሳይ ነው, ማለትም. አቢሲሳን እንፈልግ። ያንን ካስታወሱ ይህ በጣም ቀላል በሆነ ሁኔታ ይከናወናል ከፍታዎች ተመጣጣኝ ትሪያንግልየመገናኛ ነጥብ በተመጣጣኝ ተከፍሏል, ከላይ በመቁጠር. ጀምሮ:, ከዚያም የነጥብ አስፈላጊ abscissa, ክፍል ርዝመት ጋር እኩል ነው, እኩል ነው:. ስለዚህም የነጥቡ መጋጠሚያዎች፡-

የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ። የእሱ abcissa እና ordinate ነጥቡን abcissa እና ordinate ጋር የሚገጣጠሙ ግልጽ ነው. እና አፕሊኬሽኑ ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ነው. - ይህ ከሶስት ማዕዘን እግሮች አንዱ ነው. የሶስት ማዕዘን hypotenuse ክፍል - እግር ነው. በምክንያት ነው የሚፈለገው በደማቅ ፅሁፌ ያደምኩት።

ነጥቡ የክፍሉ መካከለኛ ነው. ከዚያ የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች ቀመርን ማስታወስ አለብን-

ያ ብቻ ነው፣ አሁን የአቅጣጫ ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን መፈለግ እንችላለን፡-

ደህና ፣ ሁሉም ነገር ዝግጁ ነው - ሁሉንም ውሂብ ወደ ቀመር እንተካለን-

ስለዚህም

መልስ፡-

እንደዚህ ባሉ "አስፈሪ" መልሶች መፍራት የለብዎትም: ለ C2 ችግሮች ይህ የተለመደ አሰራር ነው. በዚህ ክፍል ውስጥ ያለው "ቆንጆ" መልስ ቢገርመኝ እመርጣለሁ. በተጨማሪም፣ እርስዎ እንዳስተዋሉት፣ እኔ በተግባር ከፓይታጎሪያን ቲዎረም እና ከተመጣጣኝ ትሪያንግል ከፍታ ንብረት ውጭ ወደ ሌላ ነገር አልተጠቀምኩም። ማለትም፣ የስቴሪዮሜትሪ ችግርን ለመፍታት፣ በጣም ትንሹን ስቴሪዮሜትሪ ተጠቀምኩ። በዚህ ውስጥ ያለው ትርፍ በአስቸጋሪ ስሌቶች በከፊል "መጥፋት" ነው. ግን እነሱ በጣም አልጎሪዝም ናቸው!

2. መደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ከአስተባባሪ ስርዓቱ እና ከመሠረቱ ጋር እናሳይ፡-

በመስመሮቹ እና መካከል ያለውን አንግል ማግኘት አለብን. ስለዚህ የእኛ ተግባር የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ነው. የመጨረሻዎቹን ሶስት መጋጠሚያዎች በትንሽ ስእል በመጠቀም እናገኛለን, እና በነጥቡ መጋጠሚያ በኩል የቬርቴክሱን መጋጠሚያ እናገኛለን. ብዙ የሚሠራው ሥራ አለ፣ ግን መጀመር አለብን!

ሀ) ማስተባበር፡- አፕሊኬሽኑ እና አስተባባሪው ከዜሮ ጋር እኩል መሆናቸውን ግልጽ ነው። አብሲሳን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን ግምት ውስጥ ያስገቡ. ወዮ, በእሱ ውስጥ የምናውቀው hypotenuse ብቻ ነው, እሱም እኩል ነው. እግሩን ለማግኘት እንሞክራለን (የእግሩ ሁለት እጥፍ ርዝመት የነጥቡን abscissa እንደሚሰጠን ግልጽ ነው). እንዴት ልንፈልገው እንችላለን? በፒራሚዱ መሠረት ላይ ምን ዓይነት ምስል እንዳለን እናስታውስ? ይህ መደበኛ ሄክሳጎን ነው። ምን ማለት ነው? ይህ ማለት ሁሉም ጎኖች እና ሁሉም ማዕዘኖች እኩል ናቸው. እንደዚህ አይነት ማዕዘን ማግኘት አለብን. ማንኛውም ሀሳብ? ብዙ ሃሳቦች አሉ, ግን ቀመር አለ:

የማዕዘን ድምር መደበኛ n-gonእኩል ይሆናል .

ስለዚህ, የማዕዘን ድምር መደበኛ ሄክሳጎንከዲግሪዎች ጋር እኩል ነው. ከዚያ እያንዳንዱ ማዕዘኖች እኩል ናቸው-

ምስሉን እንደገና እንመልከተው። ክፍሉ የማእዘኑ ባለ ሁለት ክፍል እንደሆነ ግልጽ ነው. ከዚያም አንግል ከዲግሪዎች ጋር እኩል ነው. ከዚያም፡-

ከዚያ ከየት።

ስለዚህ, መጋጠሚያዎች አሉት

ለ) አሁን የነጥቡን አስተባባሪነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡.

ሐ) የነጥቡን መጋጠሚያዎች ያግኙ. የእሱ abscissa ከክፍሉ ርዝመት ጋር ስለሚጣጣም, እኩል ነው. መስመሩን ማግኘቱም በጣም ከባድ አይደለም፡ ነጥቦቹን ካገናኘን እና የመስመሩን መገናኛ ነጥብ እንደ፡- እንበል። (ቀላል ግንባታ እራስዎ ያድርጉት). ስለዚህ ፣ የነጥብ B መጠን ከክፍሎቹ ርዝመቶች ድምር ጋር እኩል ነው። እንደገና ትሪያንግልን እንመልከተው። ከዚያም

ከዚያ ጀምሮ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት

መ) አሁን የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ. አራት ማዕዘኑን ያስቡ እና ያንን ያረጋግጡ ፣ ስለሆነም የነጥቡ መጋጠሚያዎች-

ሠ) የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች ለማግኘት ይቀራል. የእሱ abcissa እና ordinate ነጥቡን abcissa እና ordinate ጋር የሚገጣጠሙ ግልጽ ነው. አፕሊኬሽኑን እንፈልግ። ከዛን ጊዜ ጀምሮ. ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን አስቡበት. እንደ የችግሩ ሁኔታዎች, የጎን ጠርዝ. ይህ የእኔ ትሪያንግል hypotenuse ነው. ከዚያም የፒራሚዱ ቁመት እግር ነው.

ከዚያ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት-

ደህና ፣ ያ ነው ፣ እኔን የሚስቡኝ የሁሉም ነጥቦች መጋጠሚያዎች አሉኝ። የቀጥታ መስመሮችን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎችን እፈልጋለሁ፡-

በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነው፡-

መልስ፡-

እንደገና ይህንን ችግር ለመፍታት የመደበኛ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር ቀመር ፣ እንዲሁም የቀኝ ትሪያንግል ኮሳይን እና ሳይን ትርጓሜ ካልሆነ በስተቀር ማንኛውንም የተራቀቁ ቴክኒኮችን አልተጠቀምኩም።

3. በፒራሚድ ውስጥ የጠርዙን ርዝማኔዎች እንደገና ስላልተሰጠን, እኔ እቆጥራለሁ ከአንድ ጋር እኩል ነው።. ስለዚህ, ሁሉም ጠርዞች, እና የጎን ብቻ ሳይሆኑ, እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው, ከዚያም በፒራሚዱ እና በእኔ መሰረት አንድ ካሬ አለ, እና የጎን ፊቶች መደበኛ ትሪያንግሎች ናቸው. በችግሩ ጽሑፍ ውስጥ የተሰጡትን ሁሉንም መረጃዎች በመመልከት እንዲህ ዓይነቱን ፒራሚድ እና መሰረቱን በአውሮፕላን ላይ እንሳል ።

በ እና መካከል ያለውን አንግል እየፈለግን ነው. የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች ስፈልግ በጣም አጭር ስሌቶችን አደርጋለሁ። እነሱን “መፍታት” ያስፈልግዎታል

ለ) - የክፍሉ መካከለኛ. መጋጠሚያዎቹ፡-

ሐ) በሶስት ማዕዘን ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም የክፍሉን ርዝመት አገኛለሁ. በሶስት ማዕዘን ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም አገኛለሁ.

መጋጠሚያዎች፡-

መ) - የክፍሉ መካከለኛ. መጋጠሚያዎቹ ናቸው።

ሠ) የቬክተር መጋጠሚያዎች

ረ) የቬክተር መጋጠሚያዎች

ሰ) ማዕዘኑን መፈለግ;

ኩብ - ቀላሉ ምስል. እርግጠኛ ነኝ በራስህ ትረዳለህ። ለችግሮች 4 እና 5 መልሶች እንደሚከተለው ናቸው ።

በአንድ ቀጥተኛ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል መፈለግ

ደህና ፣ የቀላል እንቆቅልሾች ጊዜ አልቋል! አሁን ምሳሌዎች የበለጠ ውስብስብ ይሆናሉ. በአንድ ቀጥተኛ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት በሚከተለው መንገድ እንቀጥላለን።

1. ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት እንሰራለን
   ,
   የሶስተኛ ትዕዛዝ መወሰኛን በመጠቀም.
2. ሁለት ነጥቦችን በመጠቀም ፣የቀጥታ መስመርን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን።
3. ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ለማስላት ቀመሩን እንተገብራለን፡-

እንደሚመለከቱት, ይህ ቀመር በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ማዕዘኖችን ለማግኘት ከምንጠቀምበት ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው. በቀኝ በኩል ያለው መዋቅር በቀላሉ ተመሳሳይ ነው, እና በግራ በኩል አሁን እንደ ቀድሞው ኮሳይን ሳይሆን ሳይን እንፈልጋለን. ደህና፣ አንድ መጥፎ ድርጊት ተጨምሯል - የአውሮፕላኑን እኩልነት መፈለግ።

ነገ አንዘግይ የመፍትሄ ምሳሌዎች

1. ዋናው-ግን-ቫ-ኒ-ኤም ቀጥተኛ ፕሪዝም-እኛ እኩል-ወደ-ድሃ ትሪያንግል ነን። በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ

2. ከምዕራብ በአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው par-ral-le-le-pi-pe-de በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ

3. በቀኝ ባለ ስድስት ማዕዘን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው. በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

4. በቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ ከሚታወቀው የጎድን አጥንቶች os-no-va-ni-em ጋር አንድ ጥግ ይፈልጉ ob-ra-zo-van -ጠፍጣፋ በመሠረቱ እና ቀጥ ያለ ፣ በግራጫው ውስጥ የሚያልፍ። የጎድን አጥንት እና

5. የቀኝ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒ-ራ-ሚ-ዳይ ከጫፍ ጋር ያሉት ሁሉም ጠርዞች ርዝመቶች እርስ በርስ እኩል ናቸው. ነጥቡ በፒ-ራ-ሚ-ዳይ ጠርዝ ጎን ላይ ከሆነ በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ.

እንደገና፣ የመጀመሪያዎቹን ሁለት ችግሮች በዝርዝር፣ ሦስተኛውን በአጭሩ እፈታለሁ፣ እና የመጨረሻዎቹን ሁለቱን በራስዎ እንዲፈቱ እተወዋለሁ። በተጨማሪም፣ ከሦስት ማዕዘኑ እና ከቀድሞው ጋር መገናኘት ነበረብህ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያላቸው ፒራሚዶች, ግን ከፕሪዝም ጋር - ገና አይደለም.

መፍትሄዎች፡-

1. ፕሪዝምን እና መሰረቱን እናሳይ። ከማስተባበር ስርዓቱ ጋር እናጣምረው እና በችግር መግለጫው ውስጥ የተሰጡትን ሁሉንም መረጃዎች እናስተውል፡-

ለተመጣጣኝ መመዘኛ አለመጣጣም ይቅርታ እጠይቃለሁ ፣ ግን ለችግሩ መፍትሄ ይህ ፣ በእውነቱ ፣ ያን ያህል አስፈላጊ አይደለም ። አውሮፕላኑ በቀላሉ የኔ ፕሪዝም "የኋላ ግድግዳ" ነው። የእንደዚህ ዓይነቱ አውሮፕላን እኩልነት ቅጹ እንዳለው በቀላሉ መገመት በቂ ነው-

ሆኖም ፣ ይህ በቀጥታ ሊታይ ይችላል-

በዚህ አውሮፕላን ላይ የዘፈቀደ ሶስት ነጥቦችን እንምረጥ፡ ለምሳሌ፡ .

የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፍጠር፡-

ለእርስዎ የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ያድርጉ፡ ይህንን መወሰኛ እራስዎ ያሰሉት። ተሳክቶልሃል? ከዚያ የአውሮፕላኑ እኩልነት እንደሚከተለው ይመስላል-

ወይም በቀላሉ

ስለዚህም

ምሳሌውን ለመፍታት የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት አለብኝ. ነጥቡ ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር ስለሚጣጣም የቬክተሩ መጋጠሚያዎች በቀላሉ ከነጥቡ መጋጠሚያዎች ጋር ይጣጣማሉ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የነጥቡን መጋጠሚያዎች እናገኛለን.

ይህንን ለማድረግ, ሶስት ማዕዘን ያስቡ. ቁመቱን (ሚዲያን እና ቢሴክተር በመባልም ይታወቃል) ከጫፍ ላይ እንሳበው. ጀምሮ, ነጥብ ordinate ጋር እኩል ነው. የዚህን ነጥብ abcissa ለማግኘት, የክፍሉን ርዝመት ማስላት ያስፈልገናል. በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት እኛ አለን-

ከዚያ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት-

ነጥብ "ከፍ ያለ" ነጥብ ነው፡-

ከዚያ የቬክተር መጋጠሚያዎች የሚከተሉት ናቸው:

መልስ፡-

እንደሚመለከቱት, እንደዚህ አይነት ችግሮች ሲፈቱ በመሠረቱ ምንም አስቸጋሪ ነገር የለም. እንደ እውነቱ ከሆነ, እንደ ፕሪዝም ባለው ምስል "ቀጥታ" ሂደቱ ትንሽ ቀለል ይላል. አሁን ወደ ቀጣዩ ምሳሌ እንሂድ፡-

2. አንድ ትይዩ ይሳሉ ፣ አውሮፕላን እና ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ እና እንዲሁም የታችኛውን መሰረቱን ይሳሉ።

በመጀመሪያ ፣ የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን-የሶስቱ ነጥቦች መጋጠሚያዎች በውስጡ ተኝተዋል ።

(የመጀመሪያዎቹ ሁለት መጋጠሚያዎች ግልጽ በሆነ መንገድ የተገኙ ናቸው, እና የመጨረሻውን መጋጠሚያ ከሥዕሉ ላይ በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ). ከዚያ የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

እኛ እናሰላለን፡-

የመመሪያውን ቬክተር መጋጠሚያዎች እየፈለግን ነው፡ የእሱ መጋጠሚያዎች ከነጥቡ መጋጠሚያዎች ጋር እንደሚጣጣሙ ግልጽ ነው, አይደለም? መጋጠሚያዎችን እንዴት ማግኘት ይቻላል? እነዚህ የነጥቡ መጋጠሚያዎች ናቸው ፣ በአፕሌክኬት ዘንግ ላይ አንድ በአንድ ተነስተዋል! . ከዚያ የተፈለገውን ማዕዘን እንፈልጋለን-

መልስ፡-

3. መደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ይሳሉ እና ከዚያ አውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር ይሳሉ።

እዚህ አውሮፕላን መሳል እንኳን ችግር አለበት, ይህንን ችግር ለመፍታት ሳይጠቅሱ, ነገር ግን የማስተባበር ዘዴ ምንም ግድ የለውም! ሁለገብነቱ ዋነኛው ጠቀሜታው ነው!

አውሮፕላኑ በሦስት ነጥቦች ውስጥ ያልፋል: መጋጠሚያዎቻቸውን እየፈለግን ነው፡-

1) ላለፉት ሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎቹን እራስዎ ይፈልጉ። ለዚህ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ችግር መፍታት ያስፈልግዎታል!

2) የአውሮፕላኑን እኩልነት እንገነባለን-

የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እየፈለግን ነው:. (የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ችግርን እንደገና ይመልከቱ!)

3) አንግል መፈለግ;

መልስ፡-

እንደሚመለከቱት, በእነዚህ ተግባራት ውስጥ ከተፈጥሮ በላይ የሆነ አስቸጋሪ ነገር የለም. ከሥሮቹ ጋር በጣም ጥንቃቄ ማድረግ ብቻ ያስፈልግዎታል. ለመጨረሻዎቹ ሁለት ችግሮች ብቻ መልስ እሰጣለሁ-

እንደሚመለከቱት, ችግሮችን የመፍታት ዘዴ በሁሉም ቦታ ተመሳሳይ ነው-ዋናው ስራው የጫፎቹን መጋጠሚያዎች መፈለግ እና በተወሰኑ ቀመሮች ውስጥ መተካት ነው. ማዕዘኖችን ለማስላት አሁንም አንድ ተጨማሪ የችግሮችን ክፍል ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን ፣ እነሱም-

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ማስላት

የመፍትሄው ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል.

1. ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የመጀመሪያውን አውሮፕላን እኩልነት እንፈልጋለን-
2. የተቀሩትን ሶስት ነጥቦች በመጠቀም የሁለተኛውን አውሮፕላን እኩልነት እንፈልጋለን።
3. ቀመሩን እንተገብራለን፡-

እንደሚመለከቱት, ቀመሩ ከሁለቱ ቀዳሚዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው, በእሱ እርዳታ ቀጥታ መስመሮች እና ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ማዕዘኖችን ፈልገን ነበር. ስለዚህ ይህንን ማስታወስ ለእርስዎ አስቸጋሪ አይሆንም. ወደ ተግባሮቹ ትንተና እንሂድ፡-

1. የቀኝ ሦስት ማዕዘን ፕሪዝም መሠረት ጎን እኩል ነው, እና የጎን ፊት ዲያ-ጎ-ናል እኩል ነው. በአውሮፕላኑ እና በአውሮፕላኑ መካከል ባለው የፕሪዝም ዘንግ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ።

2. በቀኝ ባለ አራት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ, ሁሉም ጠርዞቹ እኩል ናቸው, በአውሮፕላኑ እና በአውሮፕላኑ አጥንት መካከል ያለውን አንግል ሳይን ያገኙታል, ነጥቡን በፔን-ዲ-ኩ- በኩል በማለፍ. lyar-ግን ቀጥ.

3. በመደበኛ አራት ማዕዘን ፕሪዝም, የመሠረቱ ጎኖቹ እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዝ እኩል ናቸው. ከ-ሜ-ቼ-ኦን ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ ስለዚህም. በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ እና

4. በትክክለኛው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም, የመሠረቱ ጎኖቹ እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዝ እኩል ናቸው. በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ፈልግ እና ከቦታው ጠርዝ ላይ አንድ ነጥብ አለ.

5. በኩብ ውስጥ, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል co-si-nus ያግኙ እና

የችግር መፍትሄዎች;

1. ትክክለኛውን እሳለሁ (በመሠረቱ ላይ እኩል የሆነ ትሪያንግል አለ) ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝምእና በችግር መግለጫው ላይ የሚታዩትን አውሮፕላኖች ምልክት ያድርጉበት፡-

የሁለት አውሮፕላኖችን እኩልታዎች መፈለግ አለብን-የመሠረቱ እኩልታ ቀላል ነው-ተዛማጁን መወሰኛ ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም መፃፍ ይችላሉ ፣ ግን እኔ እኩልታውን ወዲያውኑ እዘጋጃለሁ ።

አሁን እኩልታውን እናገኝ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት ነጥብ - የሶስት ማዕዘኑ መካከለኛ እና ከፍታ ስለሆነ በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የፒታጎሪያን ቲዎሬምን በመጠቀም በቀላሉ ይገኛል። ከዚያ ነጥቡ መጋጠሚያዎች አሉት፡ የነጥቡን አፕሊኬሽን እንፈልግ ይህንን ለማድረግ የቀኝ ትሪያንግልን አስቡበት።

ከዚያም የሚከተሉትን መጋጠሚያዎች እናገኛለን: የአውሮፕላኑን እኩልነት እናዘጋጃለን.

በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል እናሰላለን-

መልስ፡-

2. ሥዕል መሥራት;

በጣም አስቸጋሪው ነገር ይህ ምን አይነት ሚስጥራዊ አውሮፕላን እንደሆነ መረዳት ነው, በነጥቡ ውስጥ በቋሚነት ማለፍ. ደህና, ዋናው ነገር ምንድን ነው? ዋናው ነገር ትኩረት መስጠት ነው! እንደ እውነቱ ከሆነ, መስመሩ ቀጥ ያለ ነው. ቀጥተኛው መስመርም ቀጥ ያለ ነው. ከዚያም በእነዚህ ሁለት መስመሮች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላኑ ወደ መስመሩ ቀጥ ያለ ይሆናል, እና በነገራችን ላይ, ነጥቡን ያልፋል. ይህ አውሮፕላን በፒራሚዱ አናት በኩል ያልፋል። ከዚያም የሚፈለገው አውሮፕላን - እና አውሮፕላኑ አስቀድሞ ተሰጥቶናል. የነጥቦቹን መጋጠሚያዎች እንፈልጋለን.

የነጥቡን ቅንጅት በነጥቡ በኩል እናገኛለን። ከትንሽ ሥዕሉ ላይ የነጥቡ መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው እንደሚሆኑ መገመት ቀላል ነው-የፒራሚዱን የላይኛው ክፍል መጋጠሚያዎች ለማግኘት አሁን ምን ይቀራል? እንዲሁም ቁመቱን ማስላት ያስፈልግዎታል. ይህ የሚደረገው በተመሳሳይ የፓይታጎሪያን ንድፈ ሐሳብ በመጠቀም ነው፡ በመጀመሪያ ያንን ያረጋግጡ (በጥቃቅን ከትንሽ ትሪያንግሎች በመሠረት ላይ አንድ ካሬ ይመሰርታሉ)። በሁኔታዎች መሰረት፡- አለን።

አሁን ሁሉም ነገር ዝግጁ ነው: የ vertex መጋጠሚያዎች:

የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

አስቀድመው ቆራጮችን በማስላት ረገድ ባለሙያ ነዎት። ያለችግር የሚከተሉትን ያገኛሉ

አለበለዚያ (ሁለቱንም ወገኖች በሁለት ሥር ብናባዛው)

አሁን የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈልግ፡-

(የአውሮፕላንን እኩልነት እንዴት እንደምናገኝ አልረሳህም አይደል? ይህ ተቀንሶ ከየት እንደመጣ ካልተረዳህ ወደ አውሮፕላን እኩልነት ፍቺ ተመለስ! የእኔ አውሮፕላን የመጋጠሚያዎች መነሻ ነበር!)

መለያውን እናሰላለን-

(የአውሮፕላኑ እኩልነት ነጥቦቹን ከሚያልፈው መስመር እኩልታ ጋር እንደሚገጣጠም ልብ ይበሉ እና ለምን እንደሆነ ያስቡ!)

አሁን ማዕዘኑን እናሰላለን፡-

ሲን መፈለግ አለብን፡-

መልስ፡-

3. ተንኮለኛ ጥያቄ፡ ምንድን ነው? አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም፣ እንዴት ይመስላችኋል? ይህ እርስዎ በደንብ የሚያውቁት ትይዩ ነው! ወዲያውኑ ስዕል እንሥራ! መሰረቱን በተናጥል መግለጽ እንኳን አያስፈልግዎትም፤ እዚህ ብዙም ጥቅም የለውም፡

አውሮፕላኑ ቀደም ሲል እንዳየነው በቀመር መልክ ተጽፏል፡-

አሁን አውሮፕላን እንፍጠር

ወዲያውኑ የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈጥራለን-

ማዕዘን በመፈለግ ላይ፡-

አሁን የመጨረሻዎቹ ሁለት ችግሮች መልሶች:

ደህና፣ ትንሽ እረፍት የምንወስድበት ጊዜ አሁን ነው፣ ምክንያቱም እኔ እና አንቺ ታላቅ ነን እና ጥሩ ስራ ሰርተናል!

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. የላቀ ደረጃ

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ሊፈቱ የሚችሉትን ሌላ የችግሮች ክፍል እንነጋገራለን-የርቀት ስሌት ችግሮች ። ማለትም የሚከተሉትን ጉዳዮች እንመለከታለን።

1. በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት ስሌት.

በችግር መጨመር ቅደም ተከተል እነዚህን ስራዎች አዝዣለሁ። ለማግኘት በጣም ቀላል ሆኖ ተገኝቷል ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ርቀት, እና በጣም አስቸጋሪው ነገር ማግኘት ነው በማቋረጫ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት. ምንም እንኳን, በእርግጥ, የማይቻል ነገር የለም! ለሌላ ጊዜ አናዘግይ እና ወዲያውኑ የችግሮችን የመጀመሪያ ክፍል ወደ ማጤን እንቀጥላለን።

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

ይህንን ችግር ለመፍታት ምን ያስፈልገናል?

1. የነጥብ መጋጠሚያዎች

ስለዚህ ፣ ሁሉንም አስፈላጊ መረጃዎች እንደተቀበልን ፣ ቀመሩን እንተገብራለን-

በመጨረሻው ክፍል ላይ ከተነጋገርኳቸው ቀደምት ችግሮች የአውሮፕላንን እኩልነት እንዴት እንደምንገነባ አስቀድመው ማወቅ አለብዎት። በቀጥታ ወደ ተግባሮቹ እንሂድ። መርሃግብሩ እንደሚከተለው ነው-1, 2 - እርስዎ እንዲወስኑ እረዳዎታለሁ, እና በተወሰነ ዝርዝር ውስጥ, 3, 4 - መልሱ ብቻ ነው, እርስዎ እራስዎ መፍትሄውን ያካሂዳሉ እና ያወዳድሩ. እንጀምር!

ተግባራት፡

1. አንድ ኩብ ተሰጥቷል. የኩባው ጠርዝ ርዝመት እኩል ነው. ከሴ-ሬ-ዲ-ና ከተቆረጠው ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ይፈልጉ

2. ትክክለኛውን አራት የድንጋይ ከሰል ፒ-ራ-ሚ-አዎ ከተሰጠ, የጎን ጎን ከመሠረቱ ጋር እኩል ነው. ከቦታው እስከ አውሮፕላኑ ድረስ ያለውን ርቀት ይፈልጉ - ሴ-ሬ-ዲ-በጠርዙ ላይ።

3. በቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዲ ከ os-no-va-ni-em ጋር, የጎን ጠርዝ እኩል ነው, እና በ os-no-va-nia ላይ ያለው መቶ-ሮ-ኦን እኩል ነው. ከላይ ወደ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

4. በቀኝ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው. ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

መፍትሄዎች፡-

1. በነጠላ ጠርዞች አንድ ኩብ ይሳሉ ፣ አንድ ክፍል እና አውሮፕላን ይገንቡ ፣ የክፍሉን መሃል በደብዳቤ ያመልክቱ።

.

በመጀመሪያ፣ በቀላል እንጀምር፡ የነጥቡን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ። ከዚያን ጊዜ ጀምሮ (የክፍሉን መሃል መጋጠሚያዎች ያስታውሱ!)

አሁን ሶስት ነጥቦችን በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት እናዘጋጃለን

\[\ግራ| (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\መጨረሻ(ድርድር)) \ትክክል| = 0\]

አሁን ርቀቱን ማግኘት እችላለሁ፡-

2. ሁሉንም መረጃዎች ምልክት የምናደርግበት ስዕል እንደገና እንጀምራለን!

ለፒራሚድ, መሰረቱን በተናጠል መሳል ጠቃሚ ይሆናል.

እንደ ዶሮ በመዳፉ መሳል እንኳን ይህን ችግር በቀላሉ እንዳንፈታው አያግደንም።

አሁን የነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት ቀላል ነው።

የነጥብ መጋጠሚያዎች ጀምሮ, ከዚያም

2. የነጥብ a መጋጠሚያዎች የክፍሉ መካከለኛ ስለሆኑ, ከዚያ

ያለ ምንም ችግር ፣ በአውሮፕላኑ ላይ የሁለት ተጨማሪ ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ማግኘት እንችላለን ። ለአውሮፕላኑ እኩልነት እንፈጥራለን እና ቀላል እናደርጋለን-

\[\ግራ| (\ግራ|(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c)))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2)))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\መጨረሻ(ድርድር)) \ቀኝ|) \ቀኝ| = 0\]

ነጥቡ መጋጠሚያዎች ስላሉት:, ርቀቱን እናሰላለን:

መልስ (በጣም አልፎ አልፎ!):

ደህና፣ ታውቃለህ? እዚህ ያለው ነገር ሁሉ ልክ ባለፈው ክፍል ላይ እንደተመለከትናቸው ምሳሌዎች ቴክኒካል የሆነ ይመስላል። ስለዚህ ያንን ቁሳቁስ በደንብ ከተለማመዱ የቀሩትን ሁለት ችግሮች ለመፍታት ለእርስዎ ከባድ እንደማይሆን እርግጠኛ ነኝ። መልሱን ብቻ እሰጥሃለሁ፡-

ከቀጥታ መስመር ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

በእውነቱ, እዚህ ምንም አዲስ ነገር የለም. ቀጥ ያለ መስመር እና አውሮፕላን አንጻራዊ በሆነ መንገድ እንዴት ሊቀመጡ ይችላሉ? አንድ ዕድል ብቻ አላቸው: ለመቆራረጥ, ወይም ቀጥታ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው. ይህ ቀጥተኛ መስመር ወደሚያገናኝበት አውሮፕላን ከቀጥታ መስመር ያለው ርቀት ምን ይመስልሃል? እዚህ ላይ እንደዚህ ያለ ርቀት ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ሆኖ ይታየኛል. አስደሳች ጉዳይ አይደለም.

ሁለተኛው ጉዳይ በጣም አስቸጋሪ ነው: እዚህ ርቀቱ ቀድሞውኑ ዜሮ አይደለም. ነገር ግን መስመሩ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ስለሆነ እያንዳንዱ የመስመሩ ነጥብ ከዚህ አውሮፕላን ጋር እኩል ነው፡-

ስለዚህም፡-

ይህ ማለት የእኔ ተግባር ወደ ቀዳሚው ተቀንሷል ማለት ነው-በቀጥታ መስመር ላይ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን ፣ የአውሮፕላኑን እኩልነት እንፈልጋለን እና ከነጥቡ እስከ አውሮፕላኑ ያለውን ርቀት በማስላት ላይ። እንደ እውነቱ ከሆነ በተዋሃዱ የስቴት ፈተና ውስጥ እንደዚህ ያሉ ተግባራት እጅግ በጣም ጥቂት ናቸው. አንድ ችግር ብቻ ማግኘት ቻልኩ ፣ እና በውስጡ ያለው መረጃ የማስተባበር ዘዴው በእሱ ላይ በጣም የማይተገበር ነበር!

አሁን ወደ ሌላ በጣም አስፈላጊ የችግሮች ክፍል እንሂድ፡-

የነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

ምን ያስፈልገናል?

1. ርቀቱን የምንፈልግበት ነጥብ መጋጠሚያዎች፡-

2. በመስመር ላይ የተኛ ማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች

3. የቀጥታ መስመርን የመምራት ቬክተር መጋጠሚያዎች

ምን ዓይነት ቀመር ነው የምንጠቀመው?

የዚህ ክፍልፋይ መለያ ምን ማለት እንደሆነ ለእርስዎ ግልጽ መሆን አለበት፡ ይህ የቀጥታ መስመር የመምራት ቬክተር ርዝመት ነው። ይህ በጣም ተንኮለኛ አሃዛዊ ነው! አገላለጹ ማለት የቬክተር የቬክተር ምርት ሞጁል (ርዝመት) እና የቬክተርን ምርት እንዴት ማስላት እንደሚቻል, ባለፈው የስራ ክፍል ላይ አጥንተናል. እውቀትዎን ያድሱ፣ አሁን በጣም እንፈልጋለን!

ስለዚህ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ይሆናል

1. ርቀቱን የምንፈልግበትን ነጥብ መጋጠሚያዎች እንፈልጋለን.

2. ርቀቱን በምንፈልግበት መስመር ላይ የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎችን እንፈልጋለን.

3. ቬክተር ይገንቡ

4. ቀጥታ መስመር የሚመራ ቬክተር ይገንቡ

5. የቬክተር ምርቱን አስሉ

6. የውጤቱን የቬክተር ርዝመት እንፈልጋለን:

7. ርቀቱን አስሉ፡-

ብዙ መሥራት አለብን፣ እና ምሳሌዎቹ በጣም ውስብስብ ይሆናሉ! ስለዚህ አሁን ሁሉንም ትኩረት ይስጡ!

1. ከላይ ያለው የቀኝ ሶስት ማዕዘን ፒ-ራ-ሚ-ዳ ተሰጥቷል። በ pi-ra-mi-dy መሰረት ያለው መቶ-ሮ-እኩል ነው, እርስዎ እኩል ነዎት. ከግራጫው ጠርዝ እስከ ቀጥታ መስመር ድረስ ያለውን ርቀት ያግኙ, ነጥቦቹ እና ግራጫው ጠርዞች እና ከእንስሳት ህክምና.

2. የጎድን አጥንቶች ርዝማኔ እና ቀጥተኛ-አንግል-ኖ-ሂድ ፓር-ራል-ሌ-ሊ-ፒ-ፔ-ዳ እኩል ናቸው እና ከላይ ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ይፈልጉ.

3. በቀኝ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው, ከነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ያግኙ.

መፍትሄዎች፡-

1. ሁሉንም ውሂቦች ምልክት የምናደርግበት የተጣራ ስዕል እንሰራለን-

ብዙ ስራ አለብን! በመጀመሪያ፣ ምን እንደምንፈልግ እና በምን ቅደም ተከተል በቃላት መግለጽ እፈልጋለሁ።

1. የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና

2. የነጥብ መጋጠሚያዎች

3. የነጥቦች መጋጠሚያዎች እና

4. የቬክተሮች መጋጠሚያዎች እና

5. የመስቀል ምርታቸው

6. የቬክተር ርዝመት

7. የቬክተር ምርት ርዝመት

8. ርቀት ከ ወደ

እንግዲህ ብዙ ስራ ይጠብቀናል! እጃችን ተጠቅልሎ ወደ እሱ እንሂድ!

1. የፒራሚዱን ቁመት መጋጠሚያዎች ለማግኘት የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማወቅ አለብን የእሱ አፕሊኬሽኑ ዜሮ ነው ፣ እና የእሱ አቢሲሳ ከክፍሉ ርዝመት ጋር እኩል ነው። ተመጣጣኝ ትሪያንግል , በሬሾው ውስጥ ተከፋፍሏል, ከጫፍ መቁጠር, ከዚህ. በመጨረሻም መጋጠሚያዎቹን አግኝተናል፡-

የነጥብ መጋጠሚያዎች

2. - የክፍሉ መካከለኛ

3. - የክፍሉ መካከለኛ

የክፍሉ መካከለኛ ነጥብ

4.መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

5. የቬክተር ምርቱን አስሉ፡-

6. የቬክተር ርዝመት: ለመተካት ቀላሉ መንገድ ክፍሉ የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር ሲሆን ይህም ማለት ከመሠረቱ ከግማሽ ጋር እኩል ነው. ስለዚህ.

7. የቬክተር ምርቱን ርዝመት ያሰሉ፡-

8. በመጨረሻም, ርቀቱን እናገኛለን:

ኧረ በቃ! በሐቀኝነት እነግራችኋለሁ፡ ለዚህ ችግር መፍትሔው ነው። ባህላዊ ዘዴዎች(በግንባታ በኩል), በጣም ፈጣን ይሆናል. ግን እዚህ ሁሉንም ነገር ወደ ዝግጁ-የተሰራ ስልተ ቀመር ቀነስኩ! የመፍትሄው ስልተ ቀመር ለእርስዎ ግልጽ የሆነ ይመስለኛል? ስለዚህ, የቀሩትን ሁለት ችግሮች እራስዎ እንዲፈቱ እጠይቃለሁ. መልሱን እናወዳድር?

በድጋሚ, እደግማለሁ: እነዚህን ችግሮች ከመጠቀም ይልቅ በግንባታዎች መፍታት ቀላል (ፈጣን) ነው የማስተባበር ዘዴ. ይህንን መፍትሄ ያሳየሁት ላሳይህ ብቻ ነው። ሁለንተናዊ ዘዴ“ምንም ነገር ገንብቶ እንዳትጨርስ” ይፈቅድልሃል።

በመጨረሻ፣ የመጨረሻውን የችግሮች ክፍል አስቡበት፡-

በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት በማስላት ላይ

እዚህ ችግሮችን ለመፍታት አልጎሪዝም ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ይሆናል. ያለን ነገር፡-

3. የአንደኛውን እና የሁለተኛውን መስመር ነጥቦች የሚያገናኝ ማንኛውም ቬክተር፡-

በመስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት እናገኛለን?

ቀመሩ እንደሚከተለው ነው።

አሃዛዊው ሞጁል ነው የተደባለቀ ምርት(በቀደመው ክፍል ውስጥ አስተዋውቀናል) ፣ እና መለያው እንደ ቀድሞው ቀመር ነው (የቀጥታ መስመሮችን የመምራት የቬክተር ምርት ሞጁል ፣ የምንፈልገው በመካከላችን ያለው ርቀት)።

ያንን አስታውሳችኋለሁ

ከዚያም የርቀቱ ቀመር እንደ ሊጻፍ ይችላል:

ይህ በቆራጥነት የተከፋፈለ ቆራጥ ነው! ምንም እንኳን እውነት ለመናገር እዚህ ለቀልድ ጊዜ የለኝም! ይህ ቀመርበእውነቱ, በጣም አስቸጋሪ እና ወደ ሙሉ ይመራል ውስብስብ ስሌቶች. እኔ አንተ ብሆን ኖሮ እንደ የመጨረሻ አማራጭ ብቻ እጠቀምበት ነበር!

ከላይ ያለውን ዘዴ በመጠቀም ጥቂት ችግሮችን ለመፍታት እንሞክር.

1. በትክክለኛው አቅጣጫ ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝም, ሁሉም ጠርዞቹ እኩል ናቸው, ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት እና.

2. የቀኝ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ከተሰጠ, ሁሉም የመሠረቱ ጠርዞች በሰውነት የጎድን አጥንት ውስጥ ከሚያልፈው ክፍል ጋር እኩል ናቸው እና የሴ-ሪ-ዲ-ዌል ሪምስ አራት ማዕዘን ናቸው. በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ እና

የመጀመሪያውን እወስናለሁ, እና በእሱ ላይ በመመስረት, ሁለተኛውን ትወስናለህ!

1. ፕሪዝምን እሳለሁ እና ቀጥታ መስመሮችን ምልክት አደርጋለሁ እና

የነጥብ C መጋጠሚያዎች: ከዚያም

የነጥብ መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

የነጥብ መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

የቬክተር መጋጠሚያዎች

\[\ግራ ((B,\overቀኝ ቀስት (A(A_1)) (\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(l))(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))0&1&0\መጨረሻ(ድርድር))\\(\ጀምር(ድርድር)(*(20)) (ሐ))0&0&1\መጨረሻ(ድርድር))\\(\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&(- \ frac(1) (2))&1\መጨረሻ(ድርድር))\መጨረሻ(ድርድር)) \ቀኝ| = \ frac ((\sqrt 3)) (2)\]

በቬክተሮች መካከል ያለውን የቬክተር ምርት እናሰላለን

\[\የቀጥታ ቀስት (A(A_1)) \cdot \የቀጥታ ቀስት (B(C_1)) = \ግራ| \ጀማሪ(ድርድር)(l)\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overright arrow k)\መጨረሻ(ድርድር)\\\ጀማሪ(ድርድር) (*(20)(ሐ))0&0&1\መጨረሻ(ድርድር)\\\ጀማሪ(ድርድር)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&(-- frac(1)(2))&1\መጨረሻ(ድርድር)\መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ| - \frac((\sqrt 3))(2)\ቀጥታ ቀስት k + \frac(1)(2)\ቀጥታ ቀስት i \]

አሁን ርዝመቱን እናሰላለን-

መልስ፡-

አሁን ሁለተኛውን ስራ በጥንቃቄ ለማጠናቀቅ ይሞክሩ. ለእሱ መልሱ ይሆናል:.

መጋጠሚያዎች እና ቬክተሮች. አጭር መግለጫ እና መሰረታዊ ቀመሮች

ቬክተር የሚመራ ክፍል ነው። - የቬክተር መጀመሪያ, - የቬክተር መጨረሻ.
ቬክተር በ ወይም.

ፍጹም ዋጋቬክተር - ቬክተሩን የሚወክል ክፍል ርዝመት. ተብሎ ተወስኗል።

የቬክተር መጋጠሚያዎች፡-

,
የቬክተር ጫፎች የት አሉ \ displaystyle a .

የቬክተር ድምር፡.

የቬክተሮች ምርት;

የቬክተሮች ነጥብ ውጤት;