ትሪግኖሜትሪክ ክበብ ከአሉታዊ እሴቶች ጋር። የቁጥር ክበብ

ከክርስቶስ ልደት በፊት በአምስተኛው ክፍለ ዘመን የጥንት ግሪክ ፈላስፋ ዜኖ ኦቭ ኤሊያ ታዋቂውን አፖሪያዎችን አዘጋጀ, ከእነዚህም ውስጥ በጣም ታዋቂው "አቺልስ እና ኤሊ" አፖሪያ ነው. ምን እንደሚመስል እነሆ፡-

አኪልስ ከኤሊ አሥር እጥፍ በፍጥነት ይሮጣል እና ከኋላው አንድ ሺህ እርምጃ ነው እንበል። ይህን ርቀት ለመሮጥ አቺልስ በሚፈጅበት ጊዜ ኤሊው ወደ አንድ መቶ እርምጃዎች ይሳባል። አኪልስ መቶ እርምጃዎችን ሲሮጥ ኤሊው ሌላ አስር እርምጃዎችን ይሳባል እና ወዘተ. ሂደቱ በማስታወቂያ ኢንፊኒተም ይቀጥላል፣ አኪልስ ከኤሊ ጋር በጭራሽ አይደርስም።

ይህ ምክንያት ለሁሉም ተከታይ ትውልዶች አመክንዮአዊ አስደንጋጭ ሆነ። አርስቶትል፣ ዲዮገንስ፣ ካንት፣ ሄግል፣ ሂልበርት... ሁሉም የዜኖን አፖሪያ በአንድም ሆነ በሌላ መንገድ ይመለከቱ ነበር። ድንጋጤው በጣም ጠንካራ ነበር" ... ውይይቶች እስከ ዛሬ ቀጥለዋል፤ የሳይንሳዊ ማህበረሰቡ ስለ ፓራዶክስ ምንነት ገና ወደ አንድ የጋራ አስተያየት ሊመጣ አልቻለም ... የሂሳብ ትንተና፣ ሴቲንግ ቲዎሪ፣ አዲስ አካላዊ እና ፍልስፍናዊ አካሄዶች በጉዳዩ ጥናት ውስጥ ተሳትፈዋል። ; አንዳቸውም ቢሆኑ በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው ለችግሩ መፍትሄ አልሆኑም ..."[ዊኪፔዲያ, "የዜኖ አፖሪያ" ሁሉም ሰው እየተታለሉ እንደሆነ ይረዳል, ነገር ግን ማታለል ምን እንደያዘ ማንም አይረዳም.

ከሂሳብ እይታ አንፃር፣ ዜኖ በአፖሪያው ውስጥ ከብዛት ወደ ሽግግር በግልፅ አሳይቷል። ይህ ሽግግር ከቋሚዎች ይልቅ መተግበርን ያመለክታል. እኔ እስከገባኝ ድረስ፣ ተለዋዋጭ የመለኪያ አሃዶችን ለመጠቀም የሒሳብ መሣሪያ ወይ ገና አልተሠራም ወይም በዜኖ አፖሪያ ላይ አልተተገበረም። የተለመደውን አመክንዮ መተግበር ወደ ወጥመድ ይመራናል። እኛ፣ በአስተሳሰብ ቅልጥፍና ምክንያት፣ ቋሚ አሃዶችን ለተገላቢጦሽ እሴት እንተገብራለን። ከአካላዊ እይታ አንፃር፣ አቺሌስ ኤሊውን በሚይዝበት ቅጽበት ሙሉ በሙሉ እስኪቆም ድረስ ጊዜ እየቀዘቀዘ ይሄዳል። ጊዜው ከተቋረጠ፣ አኪሌስ ከኤሊው ሊያልፍ አይችልም።

የተለመደውን አመክንዮአችንን ካዞርን ሁሉም ነገር ወደ ቦታው ይደርሳል። አኪልስ በቋሚ ፍጥነት ይሰራል። እያንዳንዱ ቀጣይ የመንገዱ ክፍል ከቀዳሚው አሥር እጥፍ ያነሰ ነው። በዚህ መሠረት, ለማሸነፍ የሚወጣው ጊዜ ከቀዳሚው አሥር እጥፍ ያነሰ ነው. በዚህ ሁኔታ ውስጥ የ“ኢንፊኒቲ” ጽንሰ-ሀሳብን ተግባራዊ ካደረግን “አቺሌስ ዔሊውን ያለገደብ በፍጥነት ይይዛል” ማለት ትክክል ነው።

ይህን ምክንያታዊ ወጥመድ እንዴት ማስወገድ ይቻላል? በቋሚ የጊዜ አሃዶች ውስጥ ይቆዩ እና ወደ ተገላቢጦሽ ክፍሎች አይቀይሩ። በዜኖ ቋንቋ ይህን ይመስላል፡-

አኪልስ አንድ ሺህ እርምጃዎችን ለመሮጥ በሚፈጅበት ጊዜ ውስጥ, ኤሊው ወደ አንድ አቅጣጫ መቶ እርምጃዎችን ይሳባል. በሚቀጥለው የጊዜ ልዩነት ከመጀመሪያው ጋር እኩል በሆነ ጊዜ, አኪልስ ሌላ ሺህ ደረጃዎችን ያካሂዳል, እና ኤሊው መቶ ደረጃዎችን ይሳባል. አሁን አኪልስ ከኤሊው ስምንት መቶ እርከኖች ይቀድማል።

ይህ አካሄድ ምንም ዓይነት አመክንዮአዊ አያዎ (ፓራዶክስ) ሳይኖር እውነታውን በበቂ ሁኔታ ይገልፃል። ግን ይህ ለችግሩ ሙሉ በሙሉ መፍትሄ አይደለም. የአንስታይን የብርሃን ፍጥነት መቋቋም አለመቻልን አስመልክቶ የሰጠው መግለጫ ከዜኖ አፖሪያ "አቺሌስ እና ኤሊ" ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው. አሁንም ይህንን ችግር ማጥናት, እንደገና ማሰብ እና መፍታት አለብን. እና መፍትሄው እጅግ በጣም ብዙ በሆነ ቁጥር ሳይሆን በመለኪያ አሃዶች መፈለግ አለበት.

ሌላው አስደሳች የዜኖ አፖሪያ ስለ የሚበር ቀስት ይናገራል፡-

የሚበር ቀስት እንቅስቃሴ አልባ ነው ፣ ምክንያቱም በእያንዳንዱ ጊዜ እረፍት ላይ ነው ፣ እና በእያንዳንዱ ጊዜ እረፍት ላይ ስለሆነ ፣ ሁል ጊዜ በእረፍት ላይ ነው።

በዚህ አፖሪያ ውስጥ ፣ ሎጂካዊ አያዎ (ፓራዶክስ) በጣም ቀላል በሆነ መንገድ ይሸነፋል - በእያንዳንዱ ቅጽበት አንድ የሚበር ቀስት በጠፈር ውስጥ በተለያዩ ቦታዎች ላይ እረፍት ላይ እንደሚገኝ ግልፅ ማድረግ በቂ ነው ፣ በእውነቱ ፣ እንቅስቃሴ ነው። እዚህ ላይ ሌላ ነጥብ መታወቅ አለበት. በመንገዱ ላይ ካለው አንድ መኪና ፎቶግራፍ የእንቅስቃሴውን እውነታ ወይም ወደ እሱ ያለውን ርቀት ለማወቅ አይቻልም። መኪና እየተንቀሳቀሰ መሆኑን ለማወቅ፣ ከተመሳሳይ ቦታ የተነሱ ሁለት ፎቶግራፎች በተለያዩ ቦታዎች በጊዜ ያስፈልጋሉ፣ ነገር ግን ከእነሱ ያለውን ርቀት ማወቅ አይችሉም። የመኪናውን ርቀት ለመወሰን በአንድ ጊዜ በጠፈር ውስጥ ከተለያዩ ቦታዎች የተነሱ ሁለት ፎቶግራፎች ያስፈልጉዎታል ነገር ግን ከነሱ የመንቀሳቀስ እውነታን ማወቅ አይችሉም (በእርግጥ አሁንም ለስሌቶች ተጨማሪ መረጃ ያስፈልግዎታል, ትሪግኖሜትሪ ይረዳዎታል). ). ልዩ ትኩረት ልስጥበት የምፈልገው በጊዜ ውስጥ ሁለት ነጥቦች እና በህዋ ላይ ያሉ ሁለት ነጥቦች ግራ ሊጋቡ የማይገባቸው የተለያዩ ነገሮች ናቸው, ምክንያቱም ለምርምር የተለያዩ እድሎችን ይሰጣሉ.

ረቡዕ ሐምሌ 4 ቀን 2018 ዓ.ም

በሴቲንግ እና በባለብዙ ስብስብ መካከል ያለው ልዩነት በዊኪፔዲያ ላይ በደንብ ተብራርቷል። እስኪ እናያለን.

እንደምታየው “በስብስብ ውስጥ ሁለት ተመሳሳይ ንጥረ ነገሮች ሊኖሩ አይችሉም” ፣ ግን በስብስብ ውስጥ ተመሳሳይ አካላት ካሉ ፣ እንዲህ ዓይነቱ ስብስብ “ብዙ ስብስብ” ተብሎ ይጠራል። ምክንያታዊ የሆኑ ፍጡራን እንደዚህ አይነት የማይረባ አመክንዮ በፍጹም አይረዱም። ይህ "ሙሉ በሙሉ" ከሚለው ቃል ምንም የማሰብ ችሎታ የሌላቸው በቀቀኖች እና የሰለጠኑ ጦጣዎች የንግግር ደረጃ ነው. የሂሳብ ሊቃውንት እንደ ተራ አሠልጣኞች ይሠራሉ፣ የማይረባ ሀሳባቸውን ይሰብኩናል።

በአንድ ወቅት ድልድዩን የገነቡት መሐንዲሶች ድልድዩን ሲሞክሩ በድልድዩ ስር በጀልባ ውስጥ ነበሩ። ድልድዩ ከተደመሰሰ, መካከለኛው መሐንዲስ በፈጠረው ፍርስራሽ ውስጥ ሞተ. ድልድዩ ሸክሙን መቋቋም ከቻለ ጎበዝ መሐንዲሱ ሌሎች ድልድዮችን ሠራ።

ምንም ያህል የሂሳብ ሊቃውንት "አስቡኝ፣ እኔ ቤት ውስጥ ነኝ" ከሚለው ሀረግ በስተጀርባ ቢደብቁ ወይም ይልቁንስ "ሂሳብ ረቂቅ ፅንሰ-ሀሳቦችን ያጠናል" ከሚለው ሀረግ ጋር ምንም ይሁን ምን እነሱን ከእውነታው ጋር የሚያገናኝ አንድ እምብርት አለ። ይህ እምብርት ገንዘብ ነው. የሒሳብ ስብስብ ንድፈ ሐሳብን ለራሳቸው የሒሳብ ሊቃውንት እንተገብረው።

ሒሳብን በደንብ ተምረን አሁን ካሽ ሬጅስተር ተቀምጠን ደመወዝ እየሰጠን ነው። ስለዚህ አንድ የሂሳብ ሊቅ ለገንዘቡ ወደ እኛ ይመጣል። ሙሉውን መጠን ለእሱ እንቆጥራለን እና በተለያዩ ምሰሶዎች ውስጥ በጠረጴዛችን ላይ እናስቀምጣለን, እዚያም ተመሳሳይ ቤተ እምነት ሂሳቦችን እናስቀምጣለን. ከዚያም ከእያንዳንዱ ክምር አንድ ሂሳብ ወስደን ለሂሳብ ባለሙያው “የሂሣብ ደመወዙን” እንሰጠዋለን። ለሂሳብ ሊቃውንት የቀሩትን ሂሳቦች የሚቀበለው ተመሳሳይ ንጥረ ነገሮች የሌሉበት ስብስብ ተመሳሳይ አካላት ካለው ስብስብ ጋር እኩል አለመሆኑን ሲያረጋግጥ ብቻ እንደሆነ እናስረዳው። መዝናናት የሚጀምረው እዚህ ላይ ነው።

በመጀመሪያ ደረጃ የተወካዮቹ አመክንዮ ይሠራል: "ይህ በሌሎች ላይ ሊተገበር ይችላል, ግን በእኔ ላይ አይደለም!" ያኔ የአንድ ቤተ እምነት ሂሳቦች የተለያዩ የሂሳብ መጠየቂያ ቁጥሮች እንዳሏቸው ያረጋግጥልናል፣ ይህ ማለት እንደ አንድ አካል ሊቆጠሩ አይችሉም። እሺ ደሞዞችን በሳንቲሞች እንቆጥር - በሳንቲሞቹ ላይ ምንም ቁጥሮች የሉም። እዚህ የሂሳብ ሊቅ ፊዚክስን በንዴት ማስታወስ ይጀምራል፡ የተለያዩ ሳንቲሞች የተለያየ መጠን ያላቸው ቆሻሻዎች አሏቸው፣ የአተሞች ክሪስታል መዋቅር እና አደረጃጀት ለእያንዳንዱ ሳንቲም ልዩ ነው...

እና አሁን በጣም የሚያስደስት ጥያቄ አለኝ፡ የባለብዙ ስብስብ አካላት ወደ ስብስብ አካላት እና በተቃራኒው የሚቀየሩበት መስመር የት አለ? እንዲህ ዓይነቱ መስመር የለም - ሁሉም ነገር በሻማኖች ተወስኗል, ሳይንስ እዚህ ለመዋሸት እንኳን ቅርብ አይደለም.

እዚ እዩ። ተመሳሳይ ሜዳ ያላቸው የእግር ኳስ ስታዲየሞችን እንመርጣለን. የመስኮቹ ቦታዎች ተመሳሳይ ናቸው - ይህ ማለት ብዙ ስብስብ አለን ማለት ነው. ነገር ግን የእነዚህን ተመሳሳይ ስታዲየሞችን ስም ብንመለከት ብዙዎችን እናገኛለን ምክንያቱም ስሞቹ የተለያዩ ናቸው። እንደሚመለከቱት, ተመሳሳይ የንጥረ ነገሮች ስብስብ ሁለቱም ስብስብ እና ብዙ ስብስብ ናቸው. የትኛው ነው ትክክል? እና እዚህ የሒሳብ ሊቅ-ሻማን-ሹርፕስት ከእጅጌው ላይ የትርምፕስን አውጥቶ ስለ ስብስብ ወይም ባለ ብዙ ስብስብ ይነግረናል። ያም ሆነ ይህ እሱ ትክክል መሆኑን ያሳምነናል።

ዘመናዊ ሻማዎች በሴንት ንድፈ ሐሳብ እንዴት እንደሚሠሩ ለመረዳት, ከእውነታው ጋር በማያያዝ, አንድ ጥያቄን መመለስ በቂ ነው-የአንድ ስብስብ ንጥረ ነገሮች ከሌላ ስብስብ አካላት እንዴት ይለያሉ? ያለ ምንም "እንደ አንድ ሙሉ ሊታሰብ የሚችል" ወይም "እንደ አንድ ሙሉ የማይታሰብ" አሳይሃለሁ.

እሑድ መጋቢት 18 ቀን 2018 ዓ.ም

የቁጥር አሃዞች ድምር የሻማኖች ዳንስ ከበሮ ጋር ነው፣ ከሂሳብ ጋር ምንም ግንኙነት የለውም። አዎን, በሂሳብ ትምህርቶች ውስጥ የቁጥር አሃዞችን ድምርን ለማግኘት እና ለመጠቀም ተምረናል, ነገር ግን ለዛ ነው ሻማዎች የሆኑት, ለዘሮቻቸው ችሎታቸውን እና ጥበባቸውን ለማስተማር, አለበለዚያ ሻማዎች በቀላሉ ይሞታሉ.

ማስረጃ ያስፈልግዎታል? ዊኪፔዲያን ይክፈቱ እና "የቁጥሮች ድምር" ገጹን ለማግኘት ይሞክሩ። እሷ የለችም። በሂሳብ ውስጥ የማንኛውንም ቁጥር አሃዞች ድምር ለማግኘት የሚያገለግል ቀመር የለም። ደግሞም ቁጥሮች ቁጥሮችን የምንጽፍባቸው ስዕላዊ ምልክቶች ናቸው, እና በሂሳብ ቋንቋ ተግባሩ እንደዚህ ይመስላል: "ማንኛውንም ቁጥር የሚወክሉ የግራፊክ ምልክቶችን ድምርን ያግኙ." የሂሳብ ሊቃውንት ይህንን ችግር መፍታት አይችሉም, ነገር ግን ሻማዎች በቀላሉ ሊፈቱት ይችላሉ.

የአንድን ቁጥር አሃዞች ድምር ለማግኘት ምን እና እንዴት እንደምናደርግ እንወቅ። እናም ቁጥሩን 12345 .የዚህን ቁጥር ድምር ለማግኘት ምን መደረግ አለበት? ሁሉንም ደረጃዎች በቅደም ተከተል እንይ.

1. ቁጥሩን በወረቀት ላይ ይፃፉ. ምን አደረግን? ቁጥሩን ወደ ግራፊክ ቁጥር ምልክት ቀይረነዋል። ይህ የሂሳብ አሠራር አይደለም.

2. አንድ የውጤት ምስል ወደ ብዙ ስዕሎች የነጠላ ቁጥሮችን ቆርጠን ነበር. ስዕልን መቁረጥ የሂሳብ ስራ አይደለም.

3. የግለሰብ ግራፊክ ምልክቶችን ወደ ቁጥሮች ይለውጡ. ይህ የሂሳብ አሠራር አይደለም.

4. የተገኙትን ቁጥሮች ይጨምሩ. አሁን ይህ ሂሳብ ነው።

የቁጥር 12345 አሃዞች ድምር 15 ነው። እነዚህ የሂሳብ ሊቃውንት የሚጠቀሙባቸው ሻማኖች የሚያስተምሩት “የመቁረጥ እና የስፌት ኮርሶች” ናቸው። ግን ያ ብቻ አይደለም።

ከሂሳብ እይታ አንጻር, በየትኛው የቁጥር ስርዓት ውስጥ አንድ ቁጥር እንጽፋለን. ስለዚህ, በተለያዩ የቁጥር ስርዓቶች ውስጥ የአንድ ቁጥር አሃዞች ድምር የተለየ ይሆናል. በሂሳብ ውስጥ, የቁጥር ስርዓቱ ከቁጥሩ በስተቀኝ እንደ ደንበኝነት ይገለጻል. በትልቅ ቁጥር 12345, ጭንቅላቴን ማታለል አልፈልግም, ስለ ጽሑፉ ቁጥር 26 ቁጥርን እናስብ. ይህንን ቁጥር በሁለትዮሽ፣ በስምንትዮሽ፣ በአስርዮሽ እና በሄክሳዴሲማል የቁጥር ስርዓቶች እንፃፍ። እያንዳንዱን እርምጃ በአጉሊ መነጽር አንመለከትም፤ ይህን ሠርተናል። ውጤቱን እንመልከት።

እንደሚመለከቱት, በተለያዩ የቁጥር ስርዓቶች ውስጥ የአንድ ቁጥር አሃዞች ድምር የተለየ ነው. ይህ ውጤት ከሂሳብ ጋር ምንም ግንኙነት የለውም. የአራት ማዕዘን ቦታን በሜትር እና በሴንቲሜትር ከወሰኑ ፍጹም የተለየ ውጤት እንደሚያገኙ ተመሳሳይ ነው.

ዜሮ በሁሉም የቁጥር ስርዓቶች አንድ አይነት ይመስላል እና ምንም የአሃዞች ድምር የለውም። ይህ እውነታ የሚደግፍ ሌላ መከራከሪያ ነው. ጥያቄ ለሂሳብ ሊቃውንት፡- ቁጥር ያልሆነ ነገር በሂሳብ ውስጥ እንዴት ይገለጻል? ለሂሳብ ሊቃውንት ከቁጥር በስተቀር ምንም የለም? ይህንን ለሻሚዎች መፍቀድ እችላለሁ, ግን ለሳይንቲስቶች አይደለም. እውነታው ስለ ቁጥሮች ብቻ አይደለም.

የተገኘው ውጤት የቁጥር ስርዓቶች ለቁጥሮች መለኪያ አሃዶች መሆናቸውን እንደ ማረጋገጫ ሊቆጠር ይገባል. ከሁሉም በላይ, ቁጥሮችን ከተለያዩ የመለኪያ አሃዶች ጋር ማወዳደር አንችልም. ተመሳሳይ መጠን ያላቸው የተለያዩ የመለኪያ አሃዶች ያላቸው ተመሳሳይ ድርጊቶች እነሱን ካነጻጸሩ በኋላ ወደተለያዩ ውጤቶች የሚመሩ ከሆነ ይህ ከሂሳብ ጋር ምንም ግንኙነት የለውም።

እውነተኛ ሂሳብ ምንድን ነው? በዚህ ጊዜ የሂሳብ ስራው ውጤት በቁጥር መጠን, ጥቅም ላይ የዋለው የመለኪያ አሃድ እና ይህን ድርጊት ማን እንደሚፈጽም ላይ የተመካ አይደለም.

በበሩ ላይ ይፈርሙ በሩን ከፍቶ እንዲህ ይላል።

ኦ! ይህ የሴቶች መጸዳጃ ቤት አይደለምን?
- ወጣት ሴት! ይህ የነፍሳት ቅድስና ወደ ሰማይ በሚያርፉበት ጊዜ የሚያጠና ላብራቶሪ ነው! ሃሎ ከላይ እና ቀስት ወደ ላይ። ሌላ ምን ሽንት ቤት?

ሴት... ላይ ያለው ሃሎ እና ታች ያለው ፍላጻ ወንድ ነው።

እንዲህ ዓይነቱ የንድፍ ጥበብ ሥራ በቀን ውስጥ ብዙ ጊዜ በዓይንዎ ላይ ብልጭ ድርግም የሚል ከሆነ ፣

ከዚያ በድንገት በመኪናዎ ውስጥ አንድ እንግዳ አዶ ማግኘቱ ምንም አያስደንቅም-

በግሌ፣ እኔ በግሌ፣ አራት ዲግሪ ሲቀነስ በጥባጭ ሰው (አንድ ሥዕል) ለማየት እጥራለሁ። እና ይህች ልጅ ፊዚክስ የማታውቅ ሞኝ አይመስለኝም። እሷ ብቻ ግራፊክ ምስሎችን የማስተዋል ጠንካራ stereotype አላት። እና የሂሳብ ሊቃውንት ይህንን ሁል ጊዜ ያስተምሩናል። አንድ ምሳሌ እዚህ አለ።

1A “አራት ዲግሪ ሲቀነስ” ወይም “አንድ ሀ” አይደለም። ይህ በሄክሳዴሲማል አጻጻፍ ውስጥ "የማቅለጫ ሰው" ወይም "ሃያ ስድስት" ቁጥር ነው. በዚህ የቁጥር ስርዓት ውስጥ በቋሚነት የሚሰሩ ሰዎች ቁጥር እና ፊደልን እንደ አንድ ግራፊክ ምልክት በራስ-ሰር ይገነዘባሉ።

አስቀድመው የሚያውቁት ከሆነ ትሪግኖሜትሪክ ክበብ , እና እርስዎ የአንዳንድ ንጥረ ነገሮችን ማህደረ ትውስታዎን ማደስ ብቻ ይፈልጋሉ, ወይም ሙሉ በሙሉ ትዕግስት የለዎትም, ከዚያ ይህ ነው:

እዚህ ሁሉንም ነገር ደረጃ በደረጃ በዝርዝር እንመረምራለን.

ትሪግኖሜትሪክ ክበብ የቅንጦት አይደለም, ነገር ግን አስፈላጊ ነው

ትሪጎኖሜትሪ ብዙ ሰዎች የማይበገር ጥቅጥቅ ካለው ቁጥቋጦ ጋር ያያይዙታል። በድንገት፣ በጣም ብዙ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶች፣ በጣም ብዙ ቀመሮች ተከማችተዋል… ግን ልክ እንደ መጀመሪያው ላይ አልሰራም እና… እንሄዳለን… ሙሉ አለመግባባት…

ተስፋ አለመቁረጥ በጣም አስፈላጊ ነው የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶች, - እነሱ እንደሚሉት, ሁልጊዜ በእሴቶች ሠንጠረዥ አማካኝነት ማበረታቻውን መመልከት ይችላሉ.

በትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች እሴቶች ላይ ያለማቋረጥ ጠረጴዛን የምትመለከቱ ከሆነ ፣ ይህንን ልማድ እናስወግድ!

እሱ ይረዳናል! ከእሱ ጋር ብዙ ጊዜ ትሰራለህ, ከዚያም በጭንቅላቱ ውስጥ ብቅ ይላል. ከጠረጴዛው እንዴት ይሻላል? አዎ ፣ በሰንጠረዡ ውስጥ የተወሰኑ እሴቶችን ያገኛሉ ፣ ግን በክበቡ ላይ - ሁሉም ነገር!

ለምሳሌ እየተመለከቱ ሳሉ ይናገሩ የትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች መደበኛ የእሴቶች ሰንጠረዥ 300 ዲግሪ ወይም -45 በላቸው, ሳይን ምን ጋር እኩል ነው.

የለም?...በእርግጥ መገናኘት ይችላሉ። የመቀነስ ቀመሮች... እና ትሪግኖሜትሪክ ክበብን በመመልከት, እንደዚህ አይነት ጥያቄዎችን በቀላሉ መመለስ ይችላሉ. እና እንዴት እንደሆነ በቅርቡ ያውቃሉ!

እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን ያለ ትሪግኖሜትሪክ ክበብ ሲፈታ፣ በፍጹም የትም አይደለም።

የትሪግኖሜትሪክ ክበብ መግቢያ

በቅደም ተከተል እንሂድ.

በመጀመሪያ፣ እነዚህን ተከታታይ ቁጥሮች እንጻፍ፡-

እና አሁን ይህ:

እና በመጨረሻም ይህ:

እርግጥ ነው, በእውነቱ, በመጀመሪያ ደረጃ, በሁለተኛ ደረጃ እና በመጨረሻው ቦታ ላይ እንደሚገኝ ግልጽ ነው. ማለትም, በሰንሰለቱ ላይ የበለጠ ፍላጎት እንሆናለን.

ግን እንዴት ቆንጆ ሆነ! የሆነ ነገር ከተፈጠረ፣ ይህንን “ተአምር መሰላል” እናስመልሳለን።

እና ለምን ያስፈልገናል?

ይህ ሰንሰለት በመጀመሪያ ሩብ ውስጥ የሳይን እና ኮሳይን ዋና ዋና እሴቶች ነው።

የንጥል ራዲየስ ክብ በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ እንሳል (ይህም ማለት ማንኛውንም ራዲየስ ርዝመቱን እንወስዳለን እና ርዝመቱን እንደ አሃድ እንገልፃለን)።

ከ "0-ጀምር" ጨረር ወደ ቀስቱ አቅጣጫ ማዕዘኖቹን እናስቀምጣለን (ሥዕሉን ይመልከቱ).

በክበቡ ላይ ተጓዳኝ ነጥቦችን እናገኛለን. እንግዲያው፣ ነጥቦቹን በእያንዳንዱ መጥረቢያ ላይ ካቀረብን፣ ከላይ ካለው ሰንሰለት በትክክል እሴቶቹን እናገኛለን።

ይህ ለምን ሆነ, ትጠይቃለህ?

ሁሉንም ነገር አንተነተን። እስቲ እናስብ መርህ, ይህም ሌሎች ተመሳሳይ ሁኔታዎችን ለመቋቋም ያስችልዎታል.

ትሪያንግል AOB አራት ማዕዘን እና ይዟል. እና ከማዕዘኑ በተቃራኒ ለ hypotenuse ግማሽ የሆነ እግር እንዳለ እናውቃለን (እኛ hypotenuse = የክበቡ ራዲየስ ፣ ማለትም ፣ 1)።

ይህ AB= (እና ስለዚህ OM=) ማለት ነው። እና በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት

የሆነ ነገር ቀድሞውኑ ግልጽ እየሆነ እንደሆነ ተስፋ አደርጋለሁ?

ስለዚህ ነጥብ B ከዋጋው ጋር ይዛመዳል, እና ነጥብ M ከዋጋው ጋር ይዛመዳል

ከሌሎቹ የመጀመሪያ ሩብ እሴቶች ጋር ተመሳሳይ።

እርስዎ እንደተረዱት, የተለመደው ዘንግ (ኦክስ) ይሆናል የኮሳይን ዘንግእና ዘንግ (ኦይ) - የሳይንስ ዘንግ . በኋላ።

ከዜሮ በስተግራ በኮሳይን ዘንግ በኩል (ከዜሮ በታች በሳይን ዘንግ በኩል) በእርግጥ አሉታዊ እሴቶች ይኖራሉ።

እንግዲያው፣ እዚህ አለ፣ ሁሉን ቻይ፣ ያለ እሱ በትሪግኖሜትሪ ውስጥ የትም የለም።

ግን የትሪግኖሜትሪክ ክበብን እንዴት መጠቀም እንደሚቻል እንነጋገራለን ።

ትሪጎኖሜትሪ ፣ እንደ ሳይንስ ፣ የመጣው ከጥንታዊ ምስራቅ ነው። ትክክለኛ የቀን መቁጠሪያ እና የከዋክብትን አቅጣጫ ለመፍጠር የመጀመሪያው ትሪግኖሜትሪክ ሬሾዎች በከዋክብት ተመራማሪዎች የተገኙ ናቸው። እነዚህ ስሌቶች ከሉላዊ ትሪጎኖሜትሪ ጋር የተገናኙ ሲሆኑ በትምህርት ቤት ኮርስ ውስጥ የአውሮፕላን ትሪያንግል ጎኖች እና ማዕዘኖች ጥምርታ ያጠናሉ።

ትሪጎኖሜትሪ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ባህሪያትን እና በሦስት ማዕዘናት ጎኖች እና ማዕዘኖች መካከል ያለውን ግንኙነት የሚመለከት የሂሳብ ቅርንጫፍ ነው።

በ1ኛው ሺህ አመት የባህል እና የሳይንስ ከፍተኛ ዘመን እውቀት ከጥንታዊ ምስራቅ ወደ ግሪክ ተስፋፋ። ነገር ግን የትሪጎኖሜትሪ ዋና ግኝቶች የአረብ ካሊፌት ወንዶች ውለታዎች ናቸው። በተለይም የቱርክመን ሳይንቲስት አል-ማራዝዊ እንደ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት ያሉ ተግባራትን አስተዋውቋል እና የመጀመሪያዎቹን የሳይንስ ፣ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት የእሴት ሰንጠረዦችን አዘጋጅቷል። የሳይን እና ኮሳይን ጽንሰ-ሀሳቦች በህንድ ሳይንቲስቶች አስተዋውቀዋል። ትሪጎኖሜትሪ እንደ ዩክሊድ ፣ አርኪሜዲስ እና ኢራቶስቴንስ ባሉ የጥንት ዘመን ሰዎች ሥራዎች ውስጥ ብዙ ትኩረት አግኝቷል።

የትሪግኖሜትሪ መሰረታዊ መጠኖች

የቁጥር ነጋሪ እሴት መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና ኮንታንጀንት ናቸው። እያንዳንዳቸው የራሳቸው ግራፍ አላቸው: ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮንቴንት.

የእነዚህን መጠኖች ዋጋዎች ለማስላት ቀመሮች በፓይታጎሪያን ቲዎሬም ላይ የተመሰረቱ ናቸው። ማስረጃው የሚሰጠው የኢሶሴሌስ ቀኝ ትሪያንግል ምሳሌ ስለሆነ “የፓይታጎሪያን ሱሪዎች በሁሉም አቅጣጫዎች እኩል ናቸው” በሚለው አጻጻፍ ውስጥ ለት / ቤት ልጆች በተሻለ ሁኔታ ይታወቃል።

ሳይን ፣ ኮሳይን እና ሌሎች ግንኙነቶች በማንኛውም የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ ማዕዘኖች እና ጎኖች መካከል ያለውን ግንኙነት ይመሰርታሉ። እነዚህን መጠኖች ለአንግል A ለማስላት ቀመሮችን እናቅርብ እና በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት መካከል ያለውን ግንኙነት እንፈልግ፡-

እንደምታየው tg እና ctg የተገላቢጦሽ ተግባራት ናቸው። እግር ሀ የኃጢያት ሀ እና ሃይፖቴኑዝ ሐ፣ እና እግር b እንደ cos A * c፣ የሚከተሉትን ቀመሮች ለታንጀንት እና ለኮንቴንታን እናገኛለን።

ትሪግኖሜትሪክ ክበብ

በግራፊክ ፣ በተጠቀሱት መጠኖች መካከል ያለው ግንኙነት እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል ።

ክበቡ, በዚህ ሁኔታ, ሁሉንም የማዕዘን እሴቶችን ይወክላል α - ከ 0 ° እስከ 360 °. ከሥዕሉ ላይ እንደሚታየው, እያንዳንዱ ተግባር እንደ ማዕዘን ላይ በመመርኮዝ አሉታዊ ወይም አወንታዊ እሴት ይወስዳል. ለምሳሌ, sin α የ "+" ምልክት ይኖረዋል, α የክበቡ 1 ኛ እና 2 ኛ ሩብ ከሆነ, ማለትም ከ 0 ° እስከ 180 ° ባለው ክልል ውስጥ ነው. ለ α ከ 180 ° እስከ 360 ° (III እና IV ሩብ), ኃጢአት α አሉታዊ እሴት ብቻ ሊሆን ይችላል.

ለተወሰኑ ማዕዘኖች ትሪግኖሜትሪክ ሠንጠረዦችን ለመሥራት እንሞክር እና የመጠኖቹን ትርጉም ለማወቅ እንሞክር።

የ α ከ 30 ° ፣ 45 ° ፣ 60 ° ፣ 90 ° ፣ 180 ° እና የመሳሰሉት ጋር እኩል የሆነ ልዩ ጉዳዮች ይባላሉ። ለእነሱ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶች ይሰላሉ እና በልዩ ሰንጠረዦች መልክ ቀርበዋል ።

እነዚህ ማዕዘኖች በዘፈቀደ አልተመረጡም። በጠረጴዛዎች ውስጥ ያለው ስያሜ π ለራዲያን ነው። ራዲየስ የክበብ ቅስት ርዝማኔ ከራዲየስ ጋር የሚመሳሰልበት አንግል ነው። ይህ እሴት የተዋወቀው ሁለንተናዊ ጥገኝነትን ለመመስረት ነው፤ በራዲያን ውስጥ ሲሰላ ትክክለኛው የራዲየስ ርዝመት በሴሜ ምንም ለውጥ አያመጣም።

ለትሪግኖሜትሪክ ተግባራት በሰንጠረዥ ውስጥ ያሉ ማዕዘኖች ከራዲያን እሴቶች ጋር ይዛመዳሉ፡

ስለዚህ 2π ሙሉ ክብ ወይም 360° ነው ብሎ መገመት አያስቸግርም።

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ባህሪያት: ሳይን እና ኮሳይን

የሳይን እና ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት መሰረታዊ ባህሪያትን ለማገናዘብ እና ለማነፃፀር ተግባራቸውን መሳል ያስፈልጋል። ይህ በሁለት አቅጣጫዊ ቅንጅት ስርዓት ውስጥ በተቀመጠው ከርቭ መልክ ሊከናወን ይችላል.

ለሳይን እና ኮሳይን የንጽጽር ሰንጠረዥን አስቡበት፡-

ሳይን ሞገድ	ኮሳይን
y = six	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0፣ ለ x = πk፣ የት k ϵ Z	cos x = 0፣ ለ x = π/2 + πk፣ የት k ϵ Z
sin x = 1፣ ለ x = π/2 + 2πk፣ የት k ϵ Z	cos x = 1፣ በ x = 2πk፣ በ k ϵ Z
sin x = - 1፣ በ x = 3π/2 + 2πk፣ በ k ϵ Z	cos x = - 1፣ ለ x = π + 2πk፣ የት k ϵ Z
ኃጢአት (-x) = - ኃጢአት x፣ ማለትም ተግባሩ እንግዳ ነው።	cos (-x) = cos x፣ ማለትም ተግባሩ እኩል ነው።
	ተግባሩ ወቅታዊ ነው, ትንሹ ጊዜ 2π ነው
sin x› 0፣ ከ1ኛ እና 2ኛ ሩብ ክፍል ጋር ወይም ከ0° እስከ 180° (2πk፣ π + 2πk)	cos x› 0፣ x የI እና IV ሩብ ወይም ከ270° እስከ 90° (- π/2 + 2πk፣ π/2 + 2πk)
ኃጢአት x ‹ 0፣ ከሦስተኛው እና አራተኛው ሩብ ክፍል x ጋር ወይም ከ180° እስከ 360° (π + 2πk፣ 2π + 2πk)	cos x ‹ 0፣ በ x የ2ኛ እና 3ኛ ሩብ አባል የሆነ ወይም ከ90° እስከ 270° (π/2 + 2πk፣ 3π/2 + 2πk)
በክፍተቱ ውስጥ ይጨምራል [- π/2 + 2πk፣ π/2 + 2πk]	በክፍተቱ ላይ ይጨምራል [-π + 2πk, 2πk]
በየእረፍቱ ይቀንሳል [π/2 + 2πk፣ 3π/2 + 2πk]	በየተወሰነ ጊዜ ይቀንሳል
መነሻ (ኃጢአት x)’ = cos x	ተዋጽኦ (cos x)’ = - ኃጢአት x

አንድ ተግባር እኩል መሆኑን ወይም አለመሆኑን መወሰን በጣም ቀላል ነው። የትሪግኖሜትሪክ መጠኖች ምልክቶች ያሉት ትሪግኖሜትሪክ ክበብ መገመት እና በአዕምሮአዊ መልኩ ግራፉን ከኦክስ ዘንግ ጋር በማነፃፀር "ማጠፍ" በቂ ነው። ምልክቶቹ ከተጣመሩ, ተግባሩ እኩል ነው, አለበለዚያ ግን ያልተለመደ ነው.

የራዲያን መግቢያ እና የሳይን እና ኮሳይን ሞገዶች መሰረታዊ ባህሪያት ዝርዝር የሚከተለውን ንድፍ ለማቅረብ ያስችለናል.

ቀመሩ ትክክለኛ መሆኑን ማረጋገጥ በጣም ቀላል ነው. ለምሳሌ, ለ x = π/2, ሳይን 1 ነው, ልክ እንደ x = 0 ኮሳይን ነው. ቼኩን በማማከር ጠረጴዛዎችን በማማከር ወይም ለተሰጡ እሴቶች የተግባር ኩርባዎችን በመፈለግ ሊከናወን ይችላል.

የታንጀንቶይድ እና ኮታንጀንትስይድ ባህሪያት

የታንጀንት እና የኮታንጀንት ተግባራት ግራፎች ከሳይን እና ኮሳይን ተግባራት በእጅጉ ይለያያሉ። እሴቶቹ tg እና ctg እርስ በርሳቸው የሚደጋገሙ ናቸው።

1. Y = ታን x.
2. ታንጀቱ የ y እሴቶችን በ x = π/2 + πk ያዘነብላል፣ ግን በጭራሽ አይደርስባቸውም።
3. የታንጀንቶይድ ትንሹ አዎንታዊ ጊዜ π ነው።
4. Tg (- x) = - tg x፣ ማለትም ተግባሩ ጎዶሎ ነው።
5. Tg x = 0፣ ለ x = πk።
6. ተግባሩ እየጨመረ ነው.
7. Tg x › 0፣ ለ x ϵ (πk፣ π/2 + πk)።
8. Tg x ‹ 0፣ ለ x ϵ (— π/2 + πk፣ πk)።
9. መነሻ (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x።

በጽሁፉ ውስጥ ከታች ያለውን የኮታንጀንቶይድ ስዕላዊ ምስል አስቡበት።

የኮታንጀንቶይድ ዋና ባህሪያት:

1. Y = አልጋ x.
2. እንደ ሳይን እና ኮሳይን ተግባራት በተለየ ታንጀንቶይድ Y የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ እሴቶችን ሊወስድ ይችላል።
3. ኮታንጀንቶይድ የ y እሴቶችን በ x = πk ያዘነብላል፣ ግን በጭራሽ አይደርስባቸውም።
4. የኮታንጀንቶይድ ትንሹ አዎንታዊ ጊዜ π ነው።
5. Ctg (- x) = - ctg x፣ ማለትም ተግባሩ ጎዶሎ ነው።
6. Ctg x = 0፣ ለ x = π/2 + πk።
7. ተግባሩ እየቀነሰ ነው።
8. Ctg x› 0፣ ለ x ϵ (πk፣ π/2 + πk)።
9. Ctg x ‹ 0፣ ለ x ϵ (π/2 + πk፣ πk)።
10. መነሻ (ctg x)’ = - 1/ኃጢአት 2 ⁡x ትክክል

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የቁጥሩን ክብ ፍቺ በጥልቀት እንመረምራለን, ዋናውን ንብረቱን ለማወቅ እና ቁጥሮችን 1,2,3, ወዘተ. በክበቡ ላይ ሌሎች ቁጥሮችን እንዴት ምልክት ማድረግ እንደሚቻል (ለምሳሌ \ (\ frac (π) (2) ፣ \ frac (π) (3) ፣ \ frac (7π) (4) ፣ 10π, - \ frac (29π) (6)\)) ይረዳል።

የቁጥር ክበብ ነጥቦቹ የሚዛመዱበት የዩኒት ራዲየስ ክበብ ይባላል , በሚከተሉት ደንቦች መሰረት ተዘጋጅቷል.

1) መነሻው በክበቡ ጽንፍ የቀኝ ነጥብ ላይ ነው;

2) በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ - አዎንታዊ አቅጣጫ; በሰዓት አቅጣጫ - አሉታዊ;

3) ርቀቱን \(t \) በክበቡ ላይ በአዎንታዊ አቅጣጫ ካቀረብን \(t \) ከሚለው እሴት ጋር አንድ ነጥብ ላይ እንደርሳለን ።

4) ርቀቱን \(t \) በክበቡ ላይ በአሉታዊ አቅጣጫ ካቀረብን ፣ ከዚያም \(-t \) ከሚለው እሴት ጋር አንድ ነጥብ ላይ እንደርሳለን ።

ለምን ክብ የቁጥር ክብ ተባለ?
ምክንያቱም በላዩ ላይ ቁጥሮች አሉት. በዚህ መንገድ, ክብ ከቁጥር ዘንግ ጋር ተመሳሳይ ነው - በክበቡ ላይ, እንደ ዘንግ ላይ, ለእያንዳንዱ ቁጥር የተወሰነ ነጥብ አለ.

የቁጥር ክበብ ምን እንደሆነ ለምን ያውቃሉ?
የቁጥሩን ክበብ በመጠቀም የሳይንስ ፣ ኮሳይኖች ፣ ታንጀንቶች እና ንጥረ ነገሮች እሴቶች ይወሰናሉ። ስለዚህ፣ ትሪጎኖሜትሪ ለማወቅ እና የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በ60+ ነጥብ ለማለፍ፣ የቁጥር ክበብ ምን እንደሆነ እና በእሱ ላይ ነጥቦችን እንዴት እንደሚያስቀምጡ መረዳት አለብዎት።

"...የዩኒት ራዲየስ..." የሚሉት ቃላት በትርጉሙ ውስጥ ምን ማለት ናቸው?
ይህ ማለት የዚህ ክበብ ራዲየስ ከ \(1 \) ጋር እኩል ነው. እና በመነሻው ላይ ከመሃል ጋር እንዲህ አይነት ክበብ ከሠራን, ከዚያም በ \ (1 \) እና \ (-1 \) ነጥቦች ላይ ከመጥረቢያዎች ጋር ይገናኛል.

ትንሽ መሳል የለበትም, በመጥረቢያዎቹ ላይ ያሉትን ክፍፍሎች "መጠን" መቀየር ይችላሉ, ከዚያም ስዕሉ ትልቅ ይሆናል (ከዚህ በታች ይመልከቱ).

ራዲየስ በትክክል አንድ የሆነው ለምንድነው? ይህ የበለጠ ምቹ ነው ፣ ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ፣ ቀመሩን \(l=2πR \) በመጠቀም ዙሪያውን ሲያሰሉ የሚከተሉትን እናገኛለን

የቁጥሩ ክብ ርዝመት \(2π\) ወይም በግምት \(6.28\) ነው።

"... ከእውነተኛ ቁጥሮች ጋር የሚዛመዱ ነጥቦቹ" ማለት ምን ማለት ነው?
ከላይ እንደተናገርነው በቁጥር ክበብ ላይ ለማንኛውም እውነተኛ ቁጥር በእርግጠኝነት “ቦታ” ይኖራል - ከዚህ ቁጥር ጋር የሚዛመድ ነጥብ።

በቁጥር ክበብ ላይ መነሻውን እና አቅጣጫውን ለምን ይወስኑ?
የቁጥሩ ክብ ዋና ዓላማ ለእያንዳንዱ ቁጥር ነጥቡን በልዩ ሁኔታ መወሰን ነው። ነገር ግን ከየት መቁጠር እንዳለቦት እና የት እንደሚንቀሳቀስ ካላወቁ ነጥቡን የት እንደሚያስቀምጡ እንዴት መወሰን ይችላሉ?

እዚህ ላይ መነሻውን በአስተባባሪ መስመር እና በቁጥር ክብ ላይ ላለማሳሳት አስፈላጊ ነው - እነዚህ ሁለት የተለያዩ የማጣቀሻ ስርዓቶች ናቸው! እና ደግሞ \ (1 \) በ \ (x \) ዘንግ እና \ (0 \) በክበብ ላይ ግራ አትጋቡ - እነዚህ በተለያዩ ነገሮች ላይ ያሉ ነጥቦች ናቸው.

ከቁጥሮች \(1\) \(2\) ወዘተ ጋር የሚዛመዱት ነጥቦች የትኞቹ ናቸው?

አስታውስ፣ የቁጥር ክበብ የ \(1\) ራዲየስ አለው ብለን ገምተናል? ይህ የኛ ክፍል ክፍል (ከቁጥር ዘንግ ጋር በማመሳሰል) በክበቡ ላይ እናስቀምጣለን።

ከቁጥር 1 ጋር በተዛመደ የቁጥር ክበብ ላይ አንድ ነጥብ ምልክት ለማድረግ, በአዎንታዊ አቅጣጫ ካለው ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ ርቀት ከ 0 ወደ ርቀት መሄድ ያስፈልግዎታል.

ከ \(2\) ቁጥር ​​ጋር በሚዛመደው ክበብ ላይ አንድ ነጥብ ምልክት ለማድረግ ከመነሻው ሁለት ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ ርቀት መጓዝ ያስፈልግዎታል, ስለዚህም \ (3 \) ከሶስት ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ ርቀት, ወዘተ.

ይህንን ምስል ሲመለከቱ 2 ጥያቄዎች ሊኖሩዎት ይችላሉ፡-
1. ክበቡ "ሲጨርስ" (ማለትም ሙሉ አብዮት እናደርጋለን) ምን ይሆናል?
መልስ፡- ለሁለተኛው ዙር እንሂድ! እና ሁለተኛው ሲያልቅ, ወደ ሶስተኛው እና ወዘተ እንሄዳለን. ስለዚህ, ቁጥር የሌላቸው ቁጥሮች በክበብ ላይ ሊቀመጡ ይችላሉ.

2. አሉታዊ ቁጥሮች የት ይሆናሉ?
መልስ: እዚያው! እንዲሁም የሚፈለጉትን የራዲዎች ብዛት ከዜሮ በመቁጠር ሊደረደሩ ይችላሉ, አሁን ግን በአሉታዊ አቅጣጫ.

እንደ አለመታደል ሆኖ በቁጥር ክበብ ላይ ኢንቲጀሮችን ለማመልከት አስቸጋሪ ነው። ይህ የሆነበት ምክንያት የቁጥሩ ክብ ርዝመት ከአንድ ኢንቲጀር ጋር እኩል አይሆንም: \(2π \)። እና በጣም ምቹ በሆኑ ቦታዎች (ከመጥረቢያዎች ጋር በሚገናኙበት ቦታ) እንዲሁም ኢንቲጀሮች ሳይሆኑ ክፍልፋዮች ይኖራሉ ።