የእውቀት ሃይፐር ማርኬት >> ሒሳብ >> ሒሳብ 10ኛ ክፍል >>
ገላጭ ተግባር, ባህሪያቱ እና ግራፍ
2x የሚለውን አገላለጽ እንመርምር እና እሴቶቹን ለተለያዩ የተለዋዋጭ እሴት x ለምሳሌ ለ x = 2;
በአጠቃላይ፣ ለተለዋዋጭ x ምንም አይነት ምክንያታዊ ትርጉም ብንሰጥ ሁልጊዜ የ2 x አገላለጽ ተጓዳኝ የቁጥር እሴትን ማስላት እንችላለን። ስለዚህ, ስለ ገላጭነት መነጋገር እንችላለን ተግባራት y=2 x፣ በምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ Q ላይ የተገለጸ፡
የዚህን ተግባር አንዳንድ ባህሪያት እንመልከት.
ንብረት 1.- እየጨመረ ተግባር. ማስረጃውን በሁለት ደረጃዎች እናከናውናለን.
የመጀመሪያ ደረጃ. r አዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር ከሆነ 2 r>1 መሆኑን እናረጋግጥ።
ሁለት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ: 1) r የተፈጥሮ ቁጥር ነው, r = n; 2) ተራ የማይቀንስ ክፍልፋይ,
በመጨረሻው እኩልነት በግራ በኩል እና በቀኝ በኩል 1. ይህ ማለት የመጨረሻው እኩልነት በቅጹ ውስጥ እንደገና ሊፃፍ ይችላል.
ስለዚህ, በማንኛውም ሁኔታ, እኩልነት 2 r> 1 ይይዛል, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.
ሁለተኛ ደረጃ. x 1 እና x 2 ቁጥሮች፣ እና x 1 እና x 2 ይሁኑ< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(ልዩነቱን x 2 - x 1 ከደብዳቤ r ጋር አመልክተናል)።
r አዎንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር ስለሆነ በመጀመሪያ ደረጃ በተረጋገጠው 2 r> 1, i.e. 2r -1 >0። ቁጥሩ 2x" ደግሞ አዎንታዊ ነው ይህም ማለት ምርቱ 2 x-1 (2 ጂ -1) እንዲሁ አዎንታዊ ነው ማለት ነው. ስለዚህ ያንን አረጋግጠናል. አለመመጣጠን 2 Xg -2x" > 0።
ስለዚህ፣ ከእኩልነት x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
ንብረት 2.ከታች የተገደበ እና ከላይ ያልተገደበ.
ከዚህ በታች ያለው የተግባሩ ወሰን ከ2 x>0 እኩልነት አለመመጣጠን ይከተላል፣ ይህም ከተግባሩ ፍቺ ጎራ ለማንኛውም የ x እሴቶች የሚሰራ ነው። በተመሳሳይ ጊዜ, ምንም አይነት አዎንታዊ ቁጥር M ቢወስዱ, ሁልጊዜም ኤክስፖንትን መምረጥ ይችላሉ, ይህም እኩልነት 2 x>ኤም ይረካዋል - ይህም የተግባርን ያልተገደበ መሆኑን ከላይ ያሳያል. በርካታ ምሳሌዎችን እንስጥ።
ንብረት 3.ትንሹም ትልቁም ዋጋ የለውም።
ይህ ተግባር በጣም ትልቅ ጠቀሜታ እንደሌለው ግልጽ ነው, ምክንያቱም ልክ እንደተመለከትነው, ከላይ ያልተገደበ ነው. ግን ከታች የተገደበ ነው, ለምን ዝቅተኛ ዋጋ የለውም?
2 r የተግባሩ ትንሹ እሴት እንደሆነ እናስብ (r አንዳንድ ምክንያታዊ አመልካች ነው). ምክንያታዊ ቁጥር እንውሰድ q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
ይህ ሁሉ ጥሩ ነው ትላላችሁ፡ ግን ለምን y-2 x ተግባሩን በምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ብቻ እናስባለን ለምንድነው እንደሌሎች የታወቁ ተግባራት በመላው የቁጥር መስመር ላይ ወይም በተወሰነ ተከታታይ የጊዜ ክፍተት ላይ አንቆጥረውም። የቁጥር መስመር? ምን አግዶናል? እስቲ ስለ ሁኔታው እናስብ.
የቁጥሩ መስመር ምክንያታዊ ብቻ ሳይሆን ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችም ይዟል. ቀደም ሲል ለተጠኑ ተግባራት ይህ አላስቸገረንም. ለምሳሌ ፣ የተግባር y = x2 እሴቶችን በቀላሉ ለሁለቱም ምክንያታዊ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ የ x እሴቶች አግኝተናል። የተሰጠውን የ x እሴት ካሬ ማድረግ በቂ ነበር።
ግን በተግባሩ y=2 x ሁኔታው ይበልጥ የተወሳሰበ ነው። የክርክሩ x ምክንያታዊ ትርጉም ከተሰጠ, በመርህ ደረጃ x ሊሰላ ይችላል (ወደ አንቀጹ መጀመሪያ እንደገና ይመለሱ, በትክክል ይህን ያደረግንበት). ክርክር x ምክንያታዊ ያልሆነ ትርጉም ቢሰጠውስ? ለምሳሌ እንዴት ማስላት ይቻላል? ይህንን እስካሁን አናውቅም።
የሂሳብ ሊቃውንት መውጫ መንገድ አግኝተዋል; ብለው ያሰቡት።
መሆኑ ይታወቃል 
የምክንያታዊ ቁጥሮችን ቅደም ተከተል አስቡ - የቁጥር አስርዮሽ ግምቶች በኪሳራ፡
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
ግልጽ ነው 1.732 = 1.7320, እና 1.732050 = 1.73205. እንደዚህ አይነት ድግግሞሾችን ለማስቀረት፣ በቁጥር 0 የሚያልቁትን የተከታታይ አባላትን እናስወግዳለን።
ከዚያም እየጨመረ የሚሄድ ቅደም ተከተል እናገኛለን:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
በዚህ መሠረት ቅደም ተከተል ይጨምራል
ሁሉም የዚህ ቅደም ተከተል ውሎች ከ 22 ያነሱ አዎንታዊ ቁጥሮች ናቸው, ማለትም. ይህ ቅደም ተከተል የተወሰነ ነው. በWeierstrass ቲዎሬም (§ 30 ን ይመልከቱ) አንድ ቅደም ተከተል እየጨመረ እና ከታሰረ፣ ከዚያም ይሰበሰባል። በተጨማሪም ፣ ከ § 30 እኛ አንድ ቅደም ተከተል ከተጣመረ ፣ የሚያደርገው ለአንድ ገደብ ብቻ እንደሆነ እናውቃለን። ይህ ነጠላ ገደብ የቁጥር አገላለጽ ዋጋ ተደርጎ ሊወሰድ እንደሚገባ መግባባት ላይ ተደርሷል። እና የቁጥር አገላለጽ 2 ግምታዊ ዋጋ እንኳን ማግኘት በጣም አስቸጋሪ መሆኑ ምንም አይደለም; ይህ የተወሰነ ቁጥር መሆኑ አስፈላጊ ነው (ከሁሉም በኋላ ፣ ለማለት አልፈራንም ፣ ለምሳሌ ፣ እሱ የምክንያታዊ እኩልታ ሥር ነው ፣ 
እነዚህ ቁጥሮች በትክክል ምን እንደሆኑ በትክክል ሳያስቡ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ሥር 
ስለዚህ፣ የሒሳብ ሊቃውንት በምልክቱ 2 ውስጥ ምን ትርጉም እንዳስቀመጡ አውቀናል:: በተመሳሳይ፣ ምን እና በአጠቃላይ ሀ ምን እንደሆነ፣ ሀ ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር እና > 1 እንደሆነ መወሰን ይችላሉ።
ግን 0 ቢሆንስ?<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
አሁን ስለ ስልጣኖች በዘፈቀደ ምክንያታዊ ገላጮች ብቻ ሳይሆን በዘፈቀደ እውነተኛ ገላጭ ሥልጣኖችም መነጋገር እንችላለን። ከየትኛውም እውነተኛ አርቢዎች ጋር ዲግሪዎች ሁሉም የተለመዱ የዲግሪ ባህሪያት እንዳላቸው ተረጋግጧል፡ ሃይሎችን በተመሳሳይ መሰረት ሲያባዙ፣ አርቢዎቹ ሲጨመሩ፣ ሲከፋፈሉ፣ ሲቀነሱ፣ ዲግሪ ወደ ሃይል ሲያሳድጉ ይባዛሉ። ወዘተ. ግን በጣም አስፈላጊው ነገር አሁን በሁሉም የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ላይ ስለተገለጸው ተግባር y-ax ማውራት እንችላለን።
ወደ ተግባር y = 2 x እንመለስና ግራፉን እንገንባ። ይህንን ለማድረግ የተግባር እሴቶችን ሰንጠረዥ እንፍጠር y=2x:
ነጥቦቹን በአስተባባሪ አውሮፕላን (ምስል 194) ላይ ምልክት እናድርገው, የተወሰነ መስመር ላይ ምልክት ያደርጉበታል, እንሳበው (ምሥል 195).
የተግባሩ ባህሪያት y - 2 x:
1)
2) ያልተለመደ ወይም ያልተለመደ አይደለም; 248
3) ይጨምራል;
5) ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች የሉትም;
6) ቀጣይነት ያለው;
7)
8) ወደታች ማዞር.
የተግባር y-2 x የተዘረዘሩ ንብረቶች ጥብቅ ማረጋገጫዎች በከፍተኛ የሂሳብ ሂደት ውስጥ ተሰጥተዋል። ከእነዚህ ንብረቶች ውስጥ አንዳንዶቹን በአንድ ዲግሪ ወይም በሌላ ቀደም ብለን ተወያይተናል, አንዳንዶቹም በተሰራው ግራፍ (ምስል 195 ይመልከቱ) በግልጽ ይታያሉ. ለምሳሌ፣ የአንድ ተግባር እኩልነት ወይም እንግዳ አለመሆን በጂኦሜትሪ ደረጃ ከ y-ዘንግ አንጻራዊ ወይም ከመነሻው አንጻር የግራፍ ሲሜትሪ እጥረት ጋር የተያያዘ ነው።
ማንኛውም የቅጹ y = a x ተግባር፣ a > 1፣ ተመሳሳይ ባህሪ አለው። በስእል. 196 በአንድ ቅንጅት ሲስተም ተገንብተዋል፣ የተግባር ግራፎች y=2 x፣ y=3 x፣ y=5 x።
አሁን ተግባሩን እናስብ እና ለእሱ የእሴቶችን ሰንጠረዥ እንፍጠር-
ነጥቦቹን በአስተባባሪ አውሮፕላን (ምስል 197) ላይ ምልክት እናድርገው, የተወሰነ መስመርን ምልክት ያደርጉበታል, እንሳበው (ምሥል 198).
የተግባር ባህሪያት
1)
2) ያልተለመደ ወይም ያልተለመደ አይደለም;
3) ይቀንሳል;
4) ከላይ ያልተገደበ, ከታች የተገደበ;
5) ትልቁ እና ትንሹ እሴት የለም;
6) ቀጣይነት ያለው;
7)
8) ወደታች ማዞር.
የቅጹ y = a x ማንኛውም ተግባር ተመሳሳይ ባህሪ አለው፣ ኦ<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
እባክዎን ያስተውሉ፡ የተግባር ግራፎች 
እነዚያ። y=2 x፣ ስለ y-ዘንጉ የተመጣጠነ (ምስል 201)። ይህ የአጠቃላይ መግለጫው ውጤት ነው (§ 13 ይመልከቱ)፡ የተግባሮቹ ግራፎች y = f(x) እና y = f(-x) ስለ y-ዘንግ የተመጣጠነ ነው። በተመሳሳይም የተግባሮቹ ግራፎች y = 3 x እና
የተነገረውን ለማጠቃለል, የአርቢ ተግባሩን ፍቺ እንሰጣለን እና በጣም አስፈላጊ ባህሪያቱን እናሳያለን.
ፍቺየቅጹ ተግባር ገላጭ ተግባር ይባላል።
የአርቢ ተግባር መሰረታዊ ባህሪያት y = a x
የተግባሩ ግራፍ y=a x ለ a> 1 በስእል ውስጥ ይታያል። 201 እና ለ 0<а < 1 - на рис. 202.
በስእል ላይ የሚታየው ኩርባ. 201 ወይም 202 አርቢ ይባላል። እንደ እውነቱ ከሆነ፣ የሂሳብ ሊቃውንት አብዛኛውን ጊዜ ገላጭ ተግባርን y = a x ብለው ይጠሩታል። ስለዚህ "አራቢ" የሚለው ቃል በሁለት መልኩ ጥቅም ላይ ይውላል፡ ሁለቱም የአርቢ ተግባርን ለመሰየም እና የገለጻውን ግራፍ ለመሰየም። ስለ አንድ ገላጭ ተግባር ወይም ስለ ግራፉ እየተነጋገርን ከሆነ ትርጉሙ ብዙውን ጊዜ ግልጽ ነው።
የአርቢው ተግባር ግራፍ ጂኦሜትሪክ ባህሪን ትኩረት ይስጡ y=ax: የ x-ዘንግ የግራፉ አግድም አሲምፕቶት ነው. እውነት ነው, ይህ መግለጫ ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይብራራል.
የ x-ዘንግ የተግባሩ ግራፍ አግድም አሲምፕቶት ነው።
በሌላ ቃል
የመጀመሪያው ጠቃሚ ማስታወሻ. የትምህርት ቤት ልጆች ብዙውን ጊዜ ቃላቱን ያደናቅፋሉ-የኃይል ተግባር ፣ ገላጭ ተግባር። አወዳድር፡
እነዚህ የኃይል ተግባራት ምሳሌዎች ናቸው; 
እነዚህ የአርቢ ተግባራት ምሳሌዎች ናቸው።
በአጠቃላይ, y = x r, r የተወሰነ ቁጥር ሲሆን, የኃይል ተግባር ነው (ግጭቱ x በዲግሪው መሠረት ውስጥ ይገኛል);
y = a", a የተወሰነ ቁጥር (አዎንታዊ እና ከ 1 የተለየ) ሲሆን, አርቢ ተግባር ነው (አከራካሪው x በአርበኛው ውስጥ ይገኛል)።
እንደ y = x ያለ “exotic” ተግባር ገላጭም ኃይልም ተብሎ አይቆጠርም (አንዳንዴ ገላጭ ይባላል)።
ሁለተኛ ጠቃሚ ማስታወሻ. ብዙውን ጊዜ አንድ ሰው ከመሠረት a = 1 ጋር ያለውን ገላጭ ተግባር ወይም ከመሠረቱ ጋር እኩልነትን እንደሚያረካ አይቆጥረውም።<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 እና ሀ እውነታው ግን a = 1 ከሆነ ፣ ለማንኛውም የ x እኩልነት Ix = 1 ይይዛል ። ስለዚህ ፣ አርቢ ተግባር y = a" ከ = 1 ጋር ወደ ቋሚ ተግባር y = 1 - ይህ አስደሳች አይደለም ሀ = 0 ከሆነ 0x = 0 ለማንኛውም የ x አወንታዊ እሴት ማለትም y = 0 የሚለውን ተግባር እናገኛለን ለ x > 0 - ይህ ደግሞ የማይስብ ነው ። በመጨረሻ ፣ ሀ ከሆነ<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
ምሳሌዎችን ለመፍታት ከመቀጠልዎ በፊት ፣ የገለፃው ተግባር እስካሁን ካጠኗቸው ተግባራት ሁሉ በእጅጉ የተለየ መሆኑን ልብ ይበሉ። አዲስ ነገርን በደንብ ለማጥናት, ከተለያዩ አቅጣጫዎች, በተለያዩ ሁኔታዎች ውስጥ ግምት ውስጥ ማስገባት አለብዎት, ስለዚህ ብዙ ምሳሌዎች ይኖራሉ.
ምሳሌ 1.
መፍትሄ, ሀ) የተግባርን ግራፍ ገንብተናል y = 2 x እና y = 1 በአንድ ቅንጅት ስርዓት, (ምስል 203) አንድ የጋራ ነጥብ እንዳላቸው እናስተውላለን (0; 1). ይህ ማለት እኩልታ 2x = 1 ነጠላ ስር x = 0 አለው ማለት ነው።
ስለዚህ፣ ከሒሳብ 2x = 2° x = 0 እናገኛለን።
ለ) y = 2 x እና y = 4 ተግባራትን በአንድ ቅንጅት ሥርዓት ውስጥ ግራፍ ገንብተናል (ምስል 203) አንድ የጋራ ነጥብ እንዳላቸው እናስተውላለን (2; 4)። ይህ ማለት ቀመር 2x = 4 አንድ ሥር x = 2 አለው ማለት ነው።
ስለዚህ፣ ከሒሳብ 2 x = 2 2 x = 2 እናገኛለን።
ሐ) እና መ) በተመሳሳዩ ግምቶች ላይ በመመስረት, እኩልታ 2 x = 8 አንድ ሥር አለው ብለን መደምደም, እና እሱን ለማግኘት, ተዛማጅ ተግባራትን ግራፎች መገንባት አያስፈልግም;
ከ 2 3 = 8 ጀምሮ x = 3 እንደሆነ ግልጽ ነው። በተመሳሳይ, የእኩልታውን ብቸኛ ሥር እናገኛለን
ስለዚህ፣ ከሒሳብ 2x = 2 3 x = 3 አግኝተናል፣ እና ከቁጥር 2 x = 2 x x = -4 አግኝተናል።
ሠ) የተግባሩ ግራፍ y = 2 x ከተግባሩ ግራፍ በላይ ይገኛል y = 1 ለ x > 0 - ይህ በስእል ውስጥ በግልጽ ይነበባል. 203. ይህ ማለት ለእኩልነት 2x> 1 መፍትሄው ክፍተት ነው
ረ) የተግባሩ ግራፍ y = 2 x ከተግባሩ ግራፍ በታች ይገኛል y = 4 በ x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
ምሳሌ 1ን በሚፈታበት ጊዜ ለተደረጉት ሁሉም መደምደሚያዎች መሰረት የሆነው የተግባር y = 2 x ነጠላነት (መጨመር) ንብረት እንደሆነ አስተውለህ ይሆናል። ተመሳሳይ ምክንያት የሚከተሉትን ሁለት ጽንሰ-ሐሳቦች ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ያስችለናል.
መፍትሄ።በዚህ መንገድ መቀጠል ይችላሉ-የy-3 x ተግባርን ግራፍ ይገንቡ ፣ ከዚያ ከ x ዘንግ በ 3 እጥፍ ያራዝሙ እና ከዚያ የተገኘውን ግራፍ በ 2 ሚዛን ክፍሎች ከፍ ያድርጉት። ነገር ግን 3- 3 * = 3 * + 1, እና, ስለዚህ, የተግባር ግራፍ መገንባት y = 3 x * 1 + 2 የሚለውን እውነታ ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው.
በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ብዙ ጊዜ እንዳደረግነው, ከመነሻው ጋር ወደ ረዳት ቅንጅት ስርዓት (-1; 2) - ነጠብጣብ መስመሮች x = - 1 እና 1x = 2 በስእል ውስጥ እንቀጥል. 207. ተግባሩን y = 3 * ከአዲሱ የማስተባበሪያ ስርዓት ጋር "እናገናኝ". ይህንን ለማድረግ ለተግባሩ የመቆጣጠሪያ ነጥቦችን ይምረጡ 
, ነገር ግን በአሮጌው ውስጥ እንገነባቸዋለን, ነገር ግን በአዲሱ የማስተባበር ስርዓት (እነዚህ ነጥቦች በስእል 207 ውስጥ ምልክት ይደረግባቸዋል). ከዚያም ከነጥቦቹ ውስጥ ገላጭ እንሰራለን - ይህ አስፈላጊው ግራፍ ይሆናል (ምሥል 207 ይመልከቱ).
በክፍል [-2, 2] ላይ የአንድ የተወሰነ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት ፣ የተሰጠው ተግባር እየጨመረ በመምጣቱ እንጠቀማለን ፣ ስለሆነም ትንሹን እና ትልቁን እሴቶቹን በቅደም ተከተል ይወስዳል ። የክፍሉ ግራ እና ቀኝ ጫፎች.
ስለዚህ፡-
ምሳሌ 4.እኩልነትን እና አለመመጣጠንን መፍታት፡-
መፍትሄ, ሀ) የተግባሮቹን ግራፎች እንገንባ y = 5 * እና y = 6-x በአንድ የማስተባበር ስርዓት (ምስል 208). በአንድ ነጥብ ላይ ይገናኛሉ; በሥዕሉ ላይ በመመዘን, ይህ ነጥብ ነው (1; 5). ቼኩ እንደሚያሳየው ነጥቡ (1፤ 5) ሁለቱንም እኩልታ y = 5* እና y = 6-x ያሟላል። የዚህ ነጥብ abcissa የተሰጠው እኩልታ ሥር ብቻ ሆኖ ያገለግላል።
ስለዚህ፣ ቀመር 5 x = 6 - x አንድ ሥር x = 1 አለው።
ለ) እና ሐ) አርቢው y-5x ከቀጥታ መስመር y=6-x በላይ ይተኛል፣ x>1 ከሆነ፣ ይህ በምስል ላይ በግልፅ ይታያል። 208. ይህ ማለት የ 5 *> 6 እኩል አለመመጣጠን መፍትሄው እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-x>1. እና ለእኩልነት 5x መፍትሄ<6 - х можно записать так: х < 1.
መልስ፡ ሀ) x = 1; ለ) x>1; ሐ) x<1.
ምሳሌ 5.ተግባር ተሰጥቷል። 
ያንን አረጋግጡ 
መፍትሄ።እንደሁኔታው አለን።
ገላጭ ተግባር
የቅጹ ተግባር y = a x , a ከዜሮ የሚበልጥ እና ሀ ከአንዱ ጋር እኩል ያልሆነበት ገላጭ ተግባር ይባላል. የአርቢ ተግባር መሰረታዊ ባህሪዎች
1. የአርቢ ተግባር ፍቺው ጎራ የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ይሆናል።
2. የአርቢ ተግባር የእሴቶች ክልል የሁሉም አዎንታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ይሆናል። አንዳንድ ጊዜ ይህ ስብስብ ለአጭር ጊዜ R+ ተብሎ ይገለጻል።
3. በገለፃ ተግባር ውስጥ መሰረቱ a ከአንድ በላይ ከሆነ ፣ ከዚያ ተግባሩ በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ላይ እየጨመረ ይሄዳል። ለመሠረቱ ገላጭ ተግባር ከሆነ የሚከተለው ሁኔታ ከተጠናቀቀ 0
4. ሁሉም የዲግሪዎች መሰረታዊ ባህሪያት ትክክለኛ ይሆናሉ. የዲግሪዎች ዋና ባህሪያት በሚከተሉት እኩልነቶች ይወከላሉ.
ሀ x *ሀ y = ሀ (x+y) ;
(ሀ x )/(ሀ y ) = ሀ (x-y) ;
(ሀ* ለ) x = (ሀ x )*(ሀ y );
(ሀ/ለ) x = ሀ x /ለ x ;
(ሀ x ) y = ሀ (x * y) .
እነዚህ እኩልነቶች ለሁሉም የ x እና y ትክክለኛ እሴቶች የሚሰሩ ይሆናሉ።
5. የአርቢ ተግባር ግራፍ ሁል ጊዜ ነጥቡን ከመጋጠሚያዎች ጋር ያልፋል (0;1)
6. የገለፃው ተግባር እየጨመረ ወይም እየቀነሰ እንደ ሆነ ፣ ግራፉ ከሁለት ቅጾች ውስጥ አንዱ ይኖረዋል።
የሚከተለው ምስል እየጨመረ ያለውን የአርቢ ተግባር ግራፍ ያሳያል፡ a>0።
የሚከተለው ምስል እየቀነሰ ያለውን የአርቢ ተግባር ግራፍ ያሳያል፡ 0
በአምስተኛው አንቀጽ ላይ በተገለጸው ንብረት መሠረት ሁለቱም እየጨመረ የሚሄደው ገላጭ ተግባር ግራፍ እና የሚቀንስ አርቢ ተግባር ግራፍ፣ በነጥቡ (0;1) ውስጥ ያልፋሉ።
7. ገላጭ ተግባር እጅግ በጣም ብዙ ነጥቦች የሉትም, ማለትም, በሌላ አነጋገር, የተግባሩ ዝቅተኛ እና ከፍተኛ ነጥቦች የሉትም. በማንኛውም የተወሰነ ክፍል ላይ አንድ ተግባርን ከግምት ውስጥ የምናስገባ ከሆነ በዚህ የጊዜ ክፍተት መጨረሻ ላይ ተግባሩ ዝቅተኛውን እና ከፍተኛውን እሴቶችን ይወስዳል።
8. ተግባሩ እንኳን ወይም ያልተለመደ አይደለም. ገላጭ ተግባር የአጠቃላይ ቅፅ ተግባር ነው። ይህ ከግራፎቹ ማየት ይቻላል፤ አንዳቸውም ቢሆኑ ከኦይ ዘንግ አንፃር ወይም ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር የተመጣጠኑ አይደሉም።
ሎጋሪዝም
ሎጋሪዝም ሁልጊዜ በትምህርት ቤት የሒሳብ ኮርሶች ውስጥ እንደ አስቸጋሪ ርዕስ ይቆጠራል። ብዙ የተለያዩ የሎጋሪዝም ፍቺዎች አሉ፣ ግን በሆነ ምክንያት አብዛኞቹ የመማሪያ መጽሀፍት በጣም ውስብስብ የሆነውን እና ያልተሳካላቸውን ይጠቀማሉ።
ሎጋሪዝምን በቀላሉ እና በግልፅ እንገልፃለን። ይህንን ለማድረግ ሠንጠረዥ እንፍጠር-
ስለዚህ የሁለት ሃይሎች አለን። ቁጥሩን ከታችኛው መስመር ላይ ከወሰዱ, ይህን ቁጥር ለማግኘት ሁለቱን ከፍ ማድረግ ያለብዎትን ኃይል በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ. ለምሳሌ, 16 ለማግኘት, ሁለቱን ወደ አራተኛው ኃይል ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል. እና 64 ለማግኘት, ሁለቱን ወደ ስድስተኛው ኃይል ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል. ይህ ከጠረጴዛው ላይ ሊታይ ይችላል.
እና አሁን - በእውነቱ ፣ የሎጋሪዝም ትርጉም-
ፍቺ
ሎጋሪዝምየክርክርን መሠረት ለማድረግ x ቁጥሩ መነሳት ያለበት ኃይል ነውሀ ቁጥሩን ለማግኘት x.
ስያሜ
log a x = b
ሀ መሰረቱ የት ነው፣ x ክርክሩ ነው፣ ለ - በእውነቱ ፣ ሎጋሪዝም ከምን ጋር እኩል ነው።
ለምሳሌ, 2 3 = 8 ⇒ ሎግ 2 8 = 3 (የ 8 መሠረት 2 ሎጋሪዝም ሦስት ነው ምክንያቱም 2 3 = 8). በተመሳሳይ ስኬት, ሎግ 2 64 = 6, ከ 2 6 = 64 ጀምሮ.
የቁጥር ሎጋሪዝምን ወደ አንድ የተወሰነ መሠረት የማግኘት ክዋኔ ይባላልሎጋሪዝም . ስለዚህ፣ ወደ ጠረጴዛችን አዲስ መስመር እንጨምር፡-
እንደ አለመታደል ሆኖ ሁሉም ሎጋሪዝም በቀላሉ የሚሰሉት አይደሉም። ለምሳሌ, ሎግያ 2 5 ን ለማግኘት ይሞክሩ. ቁጥሩ 5 በሠንጠረዡ ውስጥ የለም, ነገር ግን አመክንዮ ሎጋሪዝም በጊዜ ክፍተት ላይ አንድ ቦታ ላይ እንደሚተኛ ያዛል. ምክንያቱም 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች ምክንያታዊ ያልሆኑ ይባላሉ፡ ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ያሉት ቁጥሮች ማስታወቂያ ኢንፊኒተም ሊጻፉ ይችላሉ፣ እና በጭራሽ አይደገሙም። ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ከሆነ እሱን በዚህ መንገድ መተው ይሻላል-ሎግ 2 5 ፣ ሎግ 3 8 ፣ ሎግ 5 100።
ሎጋሪዝም ሁለት ተለዋዋጮች (መሰረታዊ እና ክርክር) ያሉት አገላለጽ መሆኑን መረዳት አስፈላጊ ነው። መጀመሪያ ላይ ብዙ ሰዎች መሰረቱ የት እንዳለ እና ክርክሩ የት እንዳለ ግራ ይጋባሉ። የሚያበሳጩ አለመግባባቶችን ለማስወገድ ምስሉን ብቻ ይመልከቱ፡-
ከኛ በፊት የሎጋሪዝም ትርጉም ከመሆን ያለፈ ነገር የለም። ያስታውሱ፡ ሎጋሪዝም ሃይል ነው። , ክርክር ለማግኘት መሰረቱን መገንባት ያለበት.ወደ ኃይል የሚነሳው መሠረት ነው - በሥዕሉ ላይ በቀይ ጎልቶ ይታያል. መሰረቱ ሁል ጊዜ ከታች ነው! በመጀመሪያ ትምህርት ለተማሪዎቼ ይህንን አስደናቂ ህግ እነግራቸዋለሁ - እና ምንም ግራ መጋባት አይፈጠርም።
ፍቺውን አውቀናል - የቀረው ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚቆጠር መማር ብቻ ነው, ማለትም. የ "ሎግ" ምልክትን ያስወግዱ. ለመጀመር, ያንን እናስተውላለን ከትርጉሙ ሁለት ጠቃሚ እውነታዎች ይከተላሉ፡-
ክርክሩ እና መሰረቱ ሁል ጊዜ ከዜሮ በላይ መሆን አለባቸው። ይህ የሎጋሪዝም ትርጉም በሚቀንስበት ምክንያታዊ ገላጭ የዲግሪ ፍቺ ይከተላል።
አንድ ወደ ማንኛውም ዲግሪ አሁንም አንድ ሆኖ ስለሚቆይ መሠረቱ ከአንድ የተለየ መሆን አለበት።በዚህ ምክንያት "አንድ ሰው ሁለት ለማግኘት ወደ የትኛው ኃይል መነሳት አለበት" የሚለው ጥያቄ ትርጉም የለሽ ነው. እንደዚህ አይነት ዲግሪ የለም!
እንደዚህ ያሉ ገደቦችተብለው ይጠራሉ ተቀባይነት ያላቸው እሴቶች ክልል(ODZ) የሎጋሪዝም ODZ ይህን ይመስላል: log a x = b ⇒ x > 0፣ a > 0፣ a ≠ 1።
እባክዎ ያንን ያስተውሉ በቁጥር ላይ ምንም ገደቦች የሉምለ (ሎጋሪዝም እሴት) አይደራረብም። ለምሳሌ, ሎጋሪዝም ጥሩ አሉታዊ ሊሆን ይችላል: ሎግ 2 0.5 = -1, ምክንያቱም 0.5 = 2 -1.
ሆኖም ግን, አሁን የምንመረምረው የቁጥር መግለጫዎችን ብቻ ነው, የሎጋሪዝምን VA ማወቅ አያስፈልግም. ሁሉም እገዳዎች ቀደም ሲል በተግባሮቹ ደራሲዎች ተወስደዋል. ነገር ግን የሎጋሪዝም እኩልታዎች እና አለመመጣጠን ወደ ጨዋታ ሲገቡ፣ የዲኤል መስፈርቶች አስገዳጅ ይሆናሉ። ከሁሉም በላይ, መሰረቱ እና ክርክር ከላይ ከተጠቀሱት እገዳዎች ጋር የማይጣጣሙ በጣም ጠንካራ የሆኑ ግንባታዎችን ሊይዝ ይችላል.
አሁን አጠቃላይውን ግምት ውስጥ ያስገቡ ሎጋሪዝምን ለማስላት እቅድ. ሶስት እርከኖችን ያቀፈ ነው።
ምክንያት አቅርቡሀ እና ክርክር x በትንሹ በተቻለ መሠረት ከአንድ የሚበልጥ በኃይል መልክ። በመንገድ ላይ, አስርዮሽዎችን ማስወገድ የተሻለ ነው;
ከተለዋዋጭ ጋር ይፍቱ b እኩልታ፡ x = a b;
የተገኘው ቁጥርለ መልስ ይሆናል.
ይኼው ነው! ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ከሆነ ፣ ይህ በመጀመሪያ ደረጃ ላይ ቀድሞውኑ ይታያል። መሰረቱ ከአንድ በላይ መሆን ያለበት መስፈርት በጣም አስፈላጊ ነው-ይህ የስህተት እድልን ይቀንሳል እና ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል. ከአስርዮሽ ክፍልፋዮች ጋር ተመሳሳይ ነው-ወዲያውኑ ወደ ተራዎች ከቀየሩ ብዙ ያነሱ ስህተቶች ይኖራሉ።
የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ይህ እቅድ እንዴት እንደሚሰራ እንመልከት፡-
ሎጋሪዝምን አስሉ፡ ሎጋሪዝም 5 25
መሠረቱን እና መከራከሪያውን እንደ አምስት ኃይል እናስብ: 5 = 5 1; 25 = 5 2;
ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
መልሱን አግኝተናል፡ 2.
ሎጋሪዝምን አስሉ፡
መሰረቱን እና መከራከሪያውን እንደ ሶስት ሃይል እናስብ፡ 3 = 3 1; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;
ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
መልሱን ተቀብለናል፡-4.
−4
ሎጋሪዝምን አስሉ፡ ሎጋሪዝም 4 64
መሰረቱን እና መከራከሪያውን እንደ ሁለት ሃይል እናስብ፡ 4 = 2 2; 64 = 2 6;
ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
መልሱን አግኝተናል፡ 3.
ሎጋሪዝምን አስሉ፡ log 16 1
መሰረቱን እና መከራከሪያውን እንደ ሁለት ሃይል እናስብ፡ 16 = 2 4; 1 = 2 0;
ቀመርን እንፍጠር እና እንፍታ፡-
መዝገብ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
መልሱን አግኝተናል፡ 0.
ሎጋሪዝምን አስሉ፡ log 7 14
መሠረቱን እና መከራከሪያውን እንደ ሰባት ኃይል እናስብ፡ 7 = 7 1; 14 ከ 7 1 ጀምሮ በሰባት ኃይል ሊወከል አይችልም< 14 < 7 2 ;
ካለፈው አንቀጽ ጀምሮ ሎጋሪዝም አይቆጠርም;
መልሱ ምንም ለውጥ የለም፡ log 7 14.
መዝገብ 7 14
በመጨረሻው ምሳሌ ላይ ትንሽ ማስታወሻ. አንድ ቁጥር የሌላ ቁጥር ትክክለኛ ኃይል አለመሆኑን እንዴት እርግጠኛ መሆን ይችላሉ? በጣም ቀላል ነው - ወደ ዋና ዋና ምክንያቶች ብቻ ይስጡት። ማስፋፊያው ቢያንስ ሁለት የተለያዩ ምክንያቶች ካሉት ቁጥሩ ትክክለኛ ኃይል አይደለም.
ቁጥሮቹ ትክክለኛ ሃይሎች መሆናቸውን ይወቁ፡ 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ትክክለኛ ዲግሪ, ምክንያቱም አንድ ማባዣ ብቻ አለ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ትክክለኛ ኃይል አይደለም, ምክንያቱም ሁለት ምክንያቶች አሉ: 3 እና 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ትክክለኛ ዲግሪ;
35 = 7 · 5 - እንደገና ትክክለኛ ኃይል አይደለም;
14 = 7 · 2 - እንደገና ትክክለኛ ዲግሪ አይደለም;
8, 81 - ትክክለኛ ዲግሪ; 48, 35, 14 - አይ.
ዋና ቁጥሮች እራሳቸው ሁል ጊዜ ትክክለኛ የራሳቸው ሃይሎች መሆናቸውን ልብ ይበሉ።
የአስርዮሽ ሎጋሪዝም
አንዳንድ ሎጋሪዝም በጣም የተለመዱ ከመሆናቸው የተነሳ ልዩ ስም እና ምልክት አላቸው።
ፍቺ
የአስርዮሽ ሎጋሪዝምከክርክር x ሎጋሪዝም ወደ መሠረት 10 ነው፣ ማለትም ቁጥሩን ለማግኘት 10 ቁጥር መነሳት ያለበት ኃይል x.
ስያሜ
lg x
ለምሳሌ, ሎግ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - ወዘተ.
ከአሁን ጀምሮ፣ እንደ "Lg 0.01 ፈልግ" ያለ ሀረግ በመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ሲታይ፣ ይህ ትየባ እንዳልሆነ ይወቁ። ይህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ነው። ነገር ግን፣ ይህን ማስታወሻ የማታውቁት ከሆነ፣ ሁል ጊዜ እንደገና መፃፍ ይችላሉ፡-
log x = መዝገብ 10 x
ለተራ ሎጋሪዝም እውነት የሆነው ሁሉ ለአስርዮሽ ሎጋሪዝምም እውነት ነው።
ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም
የራሱ ስያሜ ያለው ሌላ ሎጋሪዝም አለ። በአንዳንድ መንገዶች፣ ከአስርዮሽ የበለጠ ጠቃሚ ነው። እየተነጋገርን ያለነው ስለ ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ነው።
ፍቺ
ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝምከክርክር x ለመሠረቱ ሎጋሪዝም ነውሠ ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. አንድ ቁጥር መነሳት ያለበት ኃይልሠ ቁጥሩን ለማግኘት x.
ስያሜ
ln x
ብዙ ሰዎች ይጠይቃሉ: e ቁጥሩ ስንት ነው? ይህ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ነው፣ ትክክለኛው ዋጋ ሊገኝ እና ሊፃፍ አይችልም። የመጀመሪያዎቹን ቁጥሮች ብቻ እሰጣለሁ-
ሠ = 2.718281828459...
ይህ ቁጥር ምን እንደሆነ እና ለምን እንደሚያስፈልግ በዝርዝር አንገልጽም. ያንን ብቻ አስታውሱ - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም መሠረት;
ln x = ሎግ e x
ስለዚህም ln e = 1; ln ሠ 2 = 2; እ 16 = 16 - ወዘተ. በሌላ በኩል፣ ln 2 ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው። በአጠቃላይ, የማንኛውም ምክንያታዊ ቁጥር ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም ምክንያታዊነት የጎደለው ነው. ካልሆነ በስተቀር፣ ለአንድ፡ ln 1 = 0።
ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም, ለተለመደው ሎጋሪዝም እውነት የሆኑ ሁሉም ደንቦች ትክክለኛ ናቸው.
የሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት
ሎጋሪዝም፣ ልክ እንደ ማንኛውም ቁጥሮች፣ በሁሉም መንገድ ሊጨመር፣ ሊቀንስ እና ሊለወጥ ይችላል። ነገር ግን ሎጋሪዝም በትክክል ተራ ቁጥሮች ስላልሆኑ የራሳቸው ደንቦች አሏቸው, እነሱም መሰረታዊ ባህሪያት ይባላሉ.
እነዚህን ህጎች በእርግጠኝነት ማወቅ ያስፈልግዎታል - ያለ እነሱ አንድ ከባድ የሎጋሪዝም ችግር ሊፈታ አይችልም። በተጨማሪም, በጣም ጥቂቶቹ ናቸው - ሁሉንም ነገር በአንድ ቀን ውስጥ መማር ይችላሉ. ስለዚህ እንጀምር።
ሎጋሪዝም መጨመር እና መቀነስ
ተመሳሳይ መሠረት ያላቸውን ሁለት ሎጋሪዝም አስቡባቸው-ሎግ a x እና log a y . ከዚያም ሊጨመሩ እና ሊቀነሱ ይችላሉ, እና:
መዝገብአንድ x + መዝገብአ y = መዝገብሀ ( x · y );
መዝገብአንድ x - መዝገብአ y = መዝገብሀ ( x : y ).
ስለዚህ፣ የሎጋሪዝም ድምር ከምርቱ ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው, እና ልዩነቱ ከዋጋው ሎጋሪዝም ጋር እኩል ነው.እባክዎን ያስተውሉ፡ እዚህ ያለው ቁልፍ ነጥብ ተመሳሳይ ምክንያቶች ነው። ምክንያቶቹ የተለያዩ ከሆኑ እነዚህ ደንቦች አይሰሩም!
እነዚህ ቀመሮች የሎጋሪዝም አገላለፅን ለማስላት ይረዱዎታል ግለሰባዊ ክፍሎቹ ከግምት ውስጥ ባይገቡም (ትምህርቱን ይመልከቱ) ") ምሳሌዎችን ተመልከት እና ተመልከት:
የገለጻውን ዋጋ ይፈልጉ፡ ሎግ 6 4 + log 6 9።
ሎጋሪዝም ተመሳሳይ መሠረቶች ስላላቸው፣የድምር ቀመር እንጠቀማለን።
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2።
የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 2 48 - ሎግ 2 3።
መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው ፣ የልዩነት ቀመር እንጠቀማለን-
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 3 135 - ሎግ 3 5።
እንደገና መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህ እኛ አለን:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135፡ 5) = መዝገብ 3 27 = 3።
እንደሚመለከቱት, የመጀመሪያዎቹ አገላለጾች "መጥፎ" ሎጋሪዝም የተሰሩ ናቸው, እነሱም በተናጥል የማይቆጠሩ ናቸው. ነገር ግን ከለውጦቹ በኋላ ሙሉ ለሙሉ መደበኛ ቁጥሮች ይገኛሉ. ብዙ ፈተናዎች በዚህ እውነታ ላይ የተመሰረቱ ናቸው. አዎ፣ የፈተና መሰል አገላለጾች የሚቀርቡት በቁም ነገር ነው (አንዳንድ ጊዜ ምንም ለውጥ ሳይኖር) በተዋሃደ የግዛት ፈተና ላይ።
አርቢውን ከሎጋሪዝም ማውጣት
አሁን ስራውን ትንሽ እናወሳስበው። የሎጋሪዝም መሠረት ወይም ክርክር ኃይል ከሆነስ? ከዚያም የዚህ ዲግሪ ገላጭ በሚከተሉት ህጎች መሠረት ከሎጋሪዝም ምልክት ሊወጣ ይችላል-
የመጨረሻው ህግ የመጀመሪያዎቹን ሁለት እንደሚከተል ለመረዳት ቀላል ነው. ግን ለማንኛውም ማስታወስ የተሻለ ነው - በአንዳንድ ሁኔታዎች የስሌቶችን መጠን በእጅጉ ይቀንሳል.
እርግጥ ነው የሎጋሪዝም ODZ ከታየ እነዚህ ሁሉ ህጎች ትርጉም ይሰጣሉ- a > 0, a ≠ 1, x> 0. እና አንድ ተጨማሪ ነገር: ሁሉንም ቀመሮች ከግራ ወደ ቀኝ ብቻ ሳይሆን በተቃራኒው መተግበርን ይማሩ, ማለትም. ሎጋሪዝም በራሱ ወደ ሎጋሪዝም ከመመዝገቡ በፊት ቁጥሮቹን ማስገባት ይችላሉ. ብዙውን ጊዜ የሚፈለገው ይህ ነው.
የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 7 49 6 .
የመጀመሪያውን ቀመር በመጠቀም በክርክሩ ውስጥ ያለውን ዲግሪ እናስወግድ፡-
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
የቃሉን ትርጉም ይፈልጉ፡-
መለያው ሎጋሪዝምን እንደያዘ ልብ ይበሉ, መሰረቱ እና ክርክር ትክክለኛ ስልጣኖች ናቸው: 16 = 2 4; 49 = 7 2 እና አለነ:
የመጨረሻው ምሳሌ አንዳንድ ማብራሪያ የሚፈልግ ይመስለኛል። ሎጋሪዝም የት ጠፋ? እስከ መጨረሻው ቅጽበት ድረስ የምንሰራው ከተከፋፈለው ጋር ብቻ ነው። የሎጋሪዝምን መሠረት እና ክርክር በስልጣን መልክ አቅርበን ገላጭዎቹን አውጥተናል - “ባለ ሶስት ፎቅ” ክፍልፋይ አግኝተናል።
አሁን ዋናውን ክፍልፋይ እንይ. አሃዛዊው እና መለያው ተመሳሳይ ቁጥር ይይዛሉ: ሎግ 2 7. ከሎግ 2 7 ≠ 0 ጀምሮ, ክፍልፋዩን መቀነስ እንችላለን - 2/4 በዲኖሚነተር ውስጥ ይቀራል. እንደ የሂሳብ ደንቦች, አራቱ ወደ አሃዛዊው ሊተላለፉ ይችላሉ, ይህም የተደረገው ነው. ውጤቱም መልሱ ነበር፡ 2.
ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር
ሎጋሪዝምን የመጨመር እና የመቀነስ ደንቦችን በመናገር, በተለይም ከተመሳሳይ መሰረቶች ጋር ብቻ እንደሚሰሩ አፅንዖት ሰጥቻለሁ. ምክንያቶቹ የተለያዩ ከሆኑስ? ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ትክክለኛ ኃይሎች ካልሆኑስ?
ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ቀመሮች ወደ ማዳን ይመጣሉ. በቲዎሬም መልክ እንቀርጻቸው፡-
ቲዎረም
የሎጋሪዝም ሎጋሪዝም ይሰጥአንድ x . ከዚያ ለማንኛውም ቁጥርሐ እንደ ሐ > 0 እና ሐ ≠ 1፣ እኩልነቱ እውነት ነው፡-
በተለይም, ካስቀመጥን c = x፣ እናገኛለን፡-
ከሁለተኛው ቀመር የሎጋሪዝም መሰረት እና ክርክር ሊለዋወጥ ይችላል, ነገር ግን በዚህ ጉዳይ ላይ ሙሉው አገላለጽ "የተገለበጠ" ነው, ማለትም. ሎጋሪዝም በዲኖሚነተር ውስጥ ይታያል.
እነዚህ ቀመሮች በተለመደው የቁጥር መግለጫዎች ውስጥ እምብዛም አይገኙም። የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እና እኩልነትን ሲፈቱ ብቻ ምን ያህል ምቹ እንደሆኑ መገምገም ይቻላል.
ይሁን እንጂ ወደ አዲስ መሠረት ከመሄድ በስተቀር ምንም ሊፈቱ የማይችሉ ችግሮች አሉ. ከእነዚህ መካከል ጥቂቶቹን እንመልከት፡-
የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 5 16 ሎግ 2 25።
የሁለቱም ሎጋሪዝም ክርክሮች ትክክለኛ ኃይሎችን እንደያዙ ልብ ይበሉ። አመልካቾችን እናውጣ፡ ሎግ 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; መዝገብ 2 25 = መዝገብ 2 5 2 = 2log 2 5;
አሁን ሁለተኛውን ሎጋሪዝምን "እንደገና እንቀልብሰው"
ሁኔታዎችን በሚያስተካክልበት ጊዜ ምርቱ የማይለወጥ በመሆኑ በእርጋታ አራት እና ሁለት አባዛ እና ከዚያ ሎጋሪዝምን እንይዛለን።
የገለጻውን ዋጋ ያግኙ፡ ሎግ 9 100 lg 3.
የመጀመሪያው ሎጋሪዝም መሠረት እና ክርክር ትክክለኛ ኃይሎች ናቸው። ይህንን እንፃፍ እና አመላካቾችን እናስወግድ፡-
አሁን ወደ አዲስ መሠረት በመሄድ የአስርዮሽ ሎጋሪዝምን እናስወግድ፡-
መሰረታዊ የሎጋሪዝም መለያ
ብዙውን ጊዜ በመፍትሔው ሂደት ውስጥ ቁጥርን እንደ ሎጋሪዝም ወደ አንድ መሠረት መወከል አስፈላጊ ነው. በዚህ ሁኔታ, የሚከተሉት ቀመሮች ይረዱናል:
በመጀመሪያው ሁኔታ ቁጥሩ n በክርክሩ ውስጥ ያለው የዲግሪ ደረጃ አመላካች ይሆናል. ቁጥር n ምንም ነገር ሊሆን ይችላል ፣ ምክንያቱም እሱ የሎጋሪዝም እሴት ብቻ ነው።
ሁለተኛው ቀመር በትክክል የተተረጎመ ፍቺ ነው። ይህ ነው የሚባለው፡-መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት.
በእርግጥ፣ ቁጥሩ ቢ ወደዚህ ሃይል ቢነሳ ምን ይሆናል ለዚህ ሃይል ቁጥር ለ ቁጥሩን ሀ ይሰጣል? ትክክል ነው፡ ውጤቱም ተመሳሳይ ቁጥር ነው ሀ. ይህንን አንቀጽ እንደገና በጥንቃቄ ያንብቡ - ብዙ ሰዎች በእሱ ላይ ተጣብቀዋል።
ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር እንደ ቀመሮች፣ መሠረታዊው የሎጋሪዝም ማንነት አንዳንድ ጊዜ ብቸኛው መፍትሔ ነው።
ተግባር
የቃሉን ትርጉም ይፈልጉ፡-
መፍትሄ
ማስታወሻ 25 64 = log 5 መሆኑን ልብ ይበሉ 8 - በቀላሉ ካሬውን ከመሠረቱ እና የሎጋሪዝም ክርክር ወሰደ. በተመሳሳዩ መሠረት ኃይልን የማባዛት ሕጎችን ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተሉትን እናገኛለን-
200
ማንም የማያውቅ ከሆነ፣ ይህ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና እውነተኛ ተግባር ነበር :)
የሎጋሪዝም ክፍል እና ሎጋሪዝም ዜሮ
በማጠቃለያው፣ ንብረቶች ተብለው ሊጠሩ የማይችሉ ሁለት ማንነቶችን እሰጣለሁ - ይልቁንም የሎጋሪዝም ፍቺ ውጤቶች ናቸው። እነሱ በችግሮች ውስጥ ያለማቋረጥ ይታያሉ እና በሚያስደንቅ ሁኔታ "ከፍተኛ" ተማሪዎችን እንኳን ሳይቀር ችግሮችን ይፈጥራሉ.
log a a = 1 ነው። ሎጋሪዝም ክፍል. ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ አስታውስ: ሎጋሪዝም ወደ ማንኛውም መሠረትሀ ከዚህ መሠረት ከአንድ ጋር እኩል ነው።
log a 1 = 0 ነው። ሎጋሪዝም ዜሮ. መሠረት ሀ ማንኛውም ነገር ሊሆን ይችላል, ነገር ግን ክርክሩ አንድ ከሆነ, ሎጋሪዝም ከዜሮ ጋር እኩል ነው! ምክንያቱምሀ 0 = 1 የትርጓሜው ቀጥተኛ ውጤት ነው።
ያ ሁሉም ንብረቶች ናቸው። እነሱን ወደ ተግባር መለማመድዎን እርግጠኛ ይሁኑ!
ትኩረትን መሰብሰብ;
ፍቺ ተግባር ዝርያ ይባላል ገላጭ ተግባር .
አስተያየት። ከመሠረታዊ እሴቶች ማግለል ሀቁጥሮች 0; 1 እና አሉታዊ እሴቶች ሀበሚከተሉት ሁኔታዎች ተብራርቷል.
የትንታኔ አገላለጽ ራሱ አንድ xበእነዚህ አጋጣሚዎች ትርጉሙን ይይዛል እና ችግሮችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. ለምሳሌ, ለአገላለጽ x yነጥብ x = 1; y = 1 ተቀባይነት ባለው የእሴቶች ክልል ውስጥ ነው።
የተግባሮች ግራፎችን ይገንቡ: እና.
 |
 |
| የኤግዚቢሽን ተግባር ግራፍ | |
| y =ሀ x፣ ሀ > 1 | y =ሀ x , 0< a < 1 |
 |
 |
የማራዘሚያው ተግባር ባህሪያት
| የማራዘሚያው ተግባር ባህሪያት | y =ሀ x፣ ሀ > 1 | y =ሀ x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. የተግባር ክልል | ||
| 3. ከክፍል ጋር የማነፃፀር ክፍተቶች | በ x> 0፣ አ x > 1 | በ x > 0, 0< a x < 1 |
| በ x < 0, 0< a x < 1 | በ x < 0, a x > 1 | |
| 4. እንኳን, ያልተለመደ. | ተግባሩ እኩል ወይም እንግዳ አይደለም (የአጠቃላይ ቅፅ ተግባር)። | |
| 5. ሞኖቶኒ. | በብቸኝነት ይጨምራል አር | በብቸኝነት ይቀንሳል አር |
| 6. ጽንፍ. | ገላጭ ተግባሩ ምንም ጽንፍ የለውም. | |
| 7.Asymptote | ኦ-ዘንግ xአግድም አሲምፕቶት ነው. | |
| 8. ለማንኛውም እውነተኛ እሴቶች xእና y; |  |
|
ሠንጠረዡ ሲሞላ, ስራዎች ከመሙላት ጋር በትይዩ ይፈታሉ.
ተግባር ቁጥር 1. (የአንድ ተግባር ፍቺ ጎራ ለማግኘት).
የትኞቹ ነጋሪ እሴቶች ለተግባሮች ትክክለኛ ናቸው
ተግባር ቁጥር 2. (የአንድ ተግባር እሴቶችን ክልል ለማግኘት).
ስዕሉ የተግባሩን ግራፍ ያሳያል. የተግባሩ ትርጉም እና የእሴቶች ክልል ይግለጹ፡
 |
 |
 |
 |
ተግባር ቁጥር 3. (ከአንድ ጋር ያለውን የንፅፅር ክፍተቶችን ለማመልከት).
እያንዳንዱን የሚከተሉትን ኃይላት ከአንድ ጋር ያወዳድሩ።
ተግባር ቁጥር 4. (ለአንድ ነጠላነት ተግባር ለማጥናት).
እውነተኛ ቁጥሮችን በመጠን ያወዳድሩ ኤምእና nከሆነ፡-
ተግባር ቁጥር 5. (ለሞኖቶኒዝም ተግባሩን ለማጥናት).
መሰረቱን በተመለከተ አንድ መደምደሚያ ይሳሉ ሀከሆነ፡-
y (x) = 10 x; ረ (x) = 6 x; z (x) - 4x
ለ x> 0፣ x = 0፣ x እንዴት የአርቢ ተግባራት ግራፎች አንጻራዊ ናቸው< 0?
የሚከተሉት የተግባር ግራፎች በአንድ መጋጠሚያ አውሮፕላን ውስጥ ተቀርፀዋል፡-
y (x) = (0,1) x; ረ (x) = (0.5) x; z (x) = (0.8) x.
ለ x> 0፣ x = 0፣ x እንዴት የአርቢ ተግባራት ግራፎች አንጻራዊ ናቸው< 0?
| ቁጥር
በሂሳብ ውስጥ በጣም አስፈላጊ ከሆኑት ቋሚዎች አንዱ። በትርጉም ፣ እሱ ከቅደም ተከተል ገደብ ጋር እኩል ነው
ያልተገደበ ጋር
እየጨመረ n
. ስያሜ ሠገብቷል ሊዮናርድ ኡለር
በ 1736 የዚህን ቁጥር የመጀመሪያዎቹን 23 አሃዞች በአስርዮሽ ኖት ያሰላል እና ቁጥሩ ራሱ ለናፒየር ክብር “የፒየር ቁጥር” የሚል ስም ተሰጥቶታል።
ቁጥር ሠበሂሳብ ትንተና ውስጥ ልዩ ሚና ይጫወታል. ገላጭ ተግባር ከመሠረት ጋር ሠ, ገላጭ ይባላል እና የተሰየመ ነው y = ሠ x. የመጀመሪያ ምልክቶች ቁጥሮች ሠለማስታወስ ቀላል: ሁለት ፣ ኮማ ፣ ሰባት ፣ የሊዮ ቶልስቶይ የትውልድ ዓመት - ሁለት ጊዜ ፣ አርባ አምስት ፣ ዘጠና ፣ አርባ አምስት። |
 |
የቤት ስራ:
ኮልሞጎሮቭ አንቀጽ 35; ቁጥር 445-447; 451; 453.
በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጭ የያዙ የተግባር ግራፎችን ለመገንባት አልጎሪዝምን ይድገሙ።
1. አርቢ ተግባር የy(x) = a x ቅጽ ተግባር ሲሆን እንደ አርቢው x መሠረት ቋሚ እሴት ያለው የዲግሪው መሠረት ሀ > 0፣ a ≠ 0፣ xϵR (R ነው የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ).
እስቲ እናስብ መሰረቱ ሁኔታውን ካላሟላ የስራው ግራፍ፡ a> 0
ሀ) ሀ< 0
ከሆነ< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
ሀ = -2
a = 0 ከሆነ፣ ተግባሩ y = ይገለጻል እና ቋሚ እሴት 0 አለው።
ሐ) ሀ = 1
a = 1 ከሆነ፣ ተግባሩ y = ይገለጻል እና ቋሚ ዋጋ ያለው 1 ነው።
የተግባር ጎራ (DOF) የሚፈቀዱ የተግባር እሴቶች ክልል (APV) 3. የተግባሩ ዜሮዎች (y = 0) 4. የመገናኛ ነጥቦች ከ ordinate axis oy (x = 0) ጋር 5. መጨመር, መቀነስ ተግባራት ከሆነ፣ f(x) ተግባር ይጨምራል 6. እንኳን, ያልተለመደ ተግባር ተግባር y = ከ 0y ዘንግ አንጻር እና ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ አንጻር የተመጣጠነ አይደለም, ስለዚህ እንኳን ወይም እንግዳ አይደለም. (አጠቃላይ ተግባር) 7. ተግባር y = ምንም ጽንፍ የለውም 8. የዲግሪ ባህሪያት ከእውነተኛ አርቢ ጋር፡- እናድርግ > 0; a≠1 ከዚያም ለ xϵR; yϵR የዲግሪ ነጠላነት ባህሪዎች ከሆነ፣ እንግዲህ ሀ> 0 ከሆነ . 9. የተግባሩ አንጻራዊ አቀማመጥ ትልቁ መሠረት ሀ፣ ወደ መጥረቢያዎቹ x እና oy ይጠጋል a > 1፣ a = 20 ምሳሌ 1. በመጀመሪያ የአርቢ ተግባርን ፍቺ እናስተዋውቅ። ገላጭ ተግባር $f\ግራ(x\ቀኝ)=a^x$፣ የት $a >1$። ለ$a >1$ የአርቢ ተግባሩን ባህሪያት እናስተዋውቅ። \\[ሥሮች የሉም\] ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር መጋጠሚያ። ተግባሩ የ$Ox$ን ዘንግ አያቋርጥም፣ ነገር ግን የ$ Oy$ ዘንግ በ$(0፣1)$ ላይ ያቋርጣል። $f""\ግራ(x\ቀኝ)=(\ግራ(a^xlna\ቀኝ))"=a^x(ln)^2a$ \\[ሥሮች የሉም\] ግራፍ (ምስል 1). ምስል 1. የተግባሩ ግራፍ $ f\ግራ(x\right)=a^x፣\ for\ a >1$። የአርቢ ተግባሩን ባህሪያት እናስተዋውቅ፣ በ$0 የትርጉም ጎራ ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ነው። $f\ግራ(-x\ቀኝ)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- ተግባሩ እኩልም እንግዳም አይደለም። $f(x)$ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ቀጣይነት ያለው ነው። የእሴቶቹ ክልል የጊዜ ክፍተት $(0+\infty)$ ነው። $f"(x)=\ግራ(a^x\ቀኝ)"=a^xlna$ \ [ሥር የለም\] \\ [ሥር የለም\] ተግባሩ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ሾጣጣ ነው። በጎራው ጫፍ ላይ ያለ ባህሪ፡- \[(\mathop(ሊም)_(x\to -\infty) a^x\)=+\infty \] \[(\mathop(ሊም)_(x\to +\infty) a^x\) =0\] ግራፍ (ምስል 2). $y=2^x+3$ን ይመርምሩ እና ያቅዱ። መፍትሄ። ከላይ ያለውን ምሳሌ በመጠቀም ጥናት እናድርግ፡- የትርጉም ጎራ ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ነው። $f\ግራ(-x\ቀኝ)=2^(-x)+3$ -- ተግባሩ እንኳን እንግዳም አይደለም። $f(x)$ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ቀጣይነት ያለው ነው። የእሴቶቹ ክልል የጊዜ ክፍተት $(3+\infty)$ ነው። $f"\ግራ(x\ቀኝ)=(\ግራ(2^x+3\ቀኝ))"=2^xln2>0$ ተግባሩ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ይጨምራል። $f(x)\ge 0$ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ። ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር መጋጠሚያ። ተግባሩ የ$Ox$ን ዘንግ አያቋርጥም፣ ነገር ግን የ$Oy$ን ዘንግ ነጥቡ ($0,4)$ ያገናኛል $f""\ግራ(x\ቀኝ)=(\ግራ(2^xln2\ቀኝ))"=2^x(ln)^22>0$ ተግባሩ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ሾጣጣ ነው። በጎራው ጫፍ ላይ ያለ ባህሪ፡- \[(\mathop(ሊም)_(x\to -\infty) a^x\)=0\] \[(\mathop(ሊም)_(x\to +\infty) a^x\)=+ \infty\] ግራፍ (ምስል 3). ምስል 3. የተግባሩ ግራፍ $ f \ ግራ (x \ ቀኝ) = 2 ^ x + 3 $
2. ገለ ገለ ገለ ውልቀ-ሰባት እንታይ እዩ?
0
ከሆነ፣ f(x) ተግባሩ ይቀንሳል
ተግባር y=፣ በ0
ይህ ከእውነተኛ ገላጭ ጋር ካለው ኃይል ነጠላነት ባህሪያት ይከተላል።
ለ> 0; b≠1
ለምሳሌ:
ገላጭ ተግባሩ በማንኛውም ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው ϵ R.
a0 ከሆነ፣ የአርቢ ተግባሩ ወደ y = 0 የቀረበ ቅጽ ይወስዳል።
a1 ከሆነ፣ ከበሬ እና ኦይ መጥረቢያዎች የበለጠ እና ግራፉ ወደ ተግባር y = 1 ቅርበት ያለው ቅጽ ይወስዳል።
የy = ግራፍ ይገንቡ
ገላጭ ተግባር $f ግራ(x\ቀኝ)=a^x$፣ የት $0
ገላጭ ተግባርን ለመገንባት የችግር ምሳሌ
