ያውና የግዴታ የገለጻ እኩልታዎች ስርዓት ሲፈታ? በእርግጠኝነት፣ ለውጥይህ ሥርዓት ወደ ቀላል እኩልታዎች ስርዓት.
ምሳሌዎች።
የእኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት
እንግለጽ በበኩል Xከ (2) የስርዓት እኩልታ እና ይህንን እሴት ወደ (1) የስርዓት እኩልታ ይተኩ።
እኛ (2) የውጤቱን ስርዓት እኩልታ እንፈታለን-
2 x +2 x +2 =10፣ ቀመሩን ተግብር፡- አንድ x + y=አንድ x∙ አ y.
2 x +2 x ∙2 2 =10፣ የጋራ ፋክተር 2 x ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡
2 x (1+2 2)=10 ወይም 2 x ∙5=10፣ ስለዚህም 2 x =2።
2 x = 2 1፣ ከዚህ x=1. ወደ የእኩልታዎች ስርዓት እንመለስ።
መልስ፡ (1፤ 2)
መፍትሄ።
እኛ የግራ እና ቀኝ ጎኖችን እንወክላለን (1) እኩልታ በስልጣን መልክ ከመሠረት ጋር 2 , እና የቀኝ ጎን (2) እኩልታ እንደ የቁጥሩ ዜሮ ኃይል 5 .
ተመሳሳይ መሰረቶች ያላቸው ሁለት ሃይሎች እኩል ከሆኑ, የእነዚህ ሃይሎች ገላጮች እኩል ናቸው - ገላጮችን ከመሠረቶቹ ጋር እናስተካክላለን. 2 እና መሰረቶች ያሉት ገላጭ 5 .
የመደመር ዘዴን በመጠቀም የተገኘውን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት በሁለት ተለዋዋጮች እንፈታዋለን።
እናገኛለን x=2እና በምትኩ ይህን እሴት እንተካለን። Xወደ ስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ.
እናገኛለን በ.
መልስ፡ (2፤ 1.5)
መፍትሄ።
በቀደሙት ሁለት ምሳሌዎች የሁለት ዲግሪ አመላካቾችን ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር በማመሳሰል ወደ ቀለል ስርዓት ከተንቀሳቀስን, በ 3 ኛ ምሳሌ ይህ ክዋኔ የማይቻል ነው. አዳዲስ ተለዋዋጭዎችን በማስተዋወቅ እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት ምቹ ነው. ተለዋዋጮችን እናስተዋውቃለን። ዩእና ቪ፣እና ከዚያ ተለዋዋጭውን ይግለጹ ዩበኩል ቁእና ለተለዋዋጭ እኩልታ እናገኛለን ቁ.
(2) የስርዓቱን እኩልነት እንፈታዋለን.
v 2 +63v-64=0። ያንን በማወቅ የቪዬታ ቲዎሪ በመጠቀም ሥሮቹን እንምረጥ፡- v 1 +v 2 = -63; ቁ 1 ∙v 2 = -64።
እናገኛለን፡- v 1 =-64፣ v 2 =1። ወደ ስርዓቱ ተመልሰን እናገኘዋለን.
የአርቢ ተግባር እሴቶች ሁል ጊዜ አዎንታዊ ስለሆኑ ፣ እኩልታዎች 4 x = -1 እና 4 y = -64 መፍትሔ የላቸውም።
በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ፡- "ገላጭ እኩልታዎች እና ገላጭ አለመመጣጠን"
ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.
ለ11ኛ ክፍል በIntegral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
ከ9-11ኛ ክፍል "ትሪጎኖሜትሪ" በይነተገናኝ መመሪያ
ከ10-11ኛ ክፍል "ሎጋሪዝም" በይነተገናኝ መመሪያ
ገላጭ እኩልታዎች ፍቺ
ጓዶች፣ ገላጭ ተግባራትን አጥንተናል፣ ንብረታቸውን ተማርን እና ግራፎችን ገንብተናል፣ አርቢ ተግባራት የተገኙባቸውን የእኩልታ ምሳሌዎችን ተንትነናል። ዛሬ ገላጭ እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን እናጠናለን።ፍቺ የቅጹ እኩልታዎች፡- $a^(f(x))=a^(g(x))$፣ $a>0$፣ $a≠1$ ገላጭ እኩልታዎች ይባላሉ።
በ"ኤግዚቢሽን ተግባር" ርዕስ ላይ ያጠናናቸውን ንድፈ ሐሳቦች በማስታወስ አዲስ ንድፈ ሐሳብ ማስተዋወቅ እንችላለን፡-
ቲዎረም. ገላጭ እኩልታ $a^(f(x))=a^(g(x))$፣በዚህም $a>0$፣$a≠1$ ከ $f(x)=g(x) ጋር እኩል ነው። $.
የገለጻ እኩልታዎች ምሳሌዎች
ለምሳሌ.እኩልታዎችን ፍታ
ሀ) $3^(3x-3)=27$።
ለ) $ ((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$።
ሐ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$።
መፍትሄ።
ሀ) $27=3^3$ መሆኑን በደንብ እናውቃለን።
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡ $3^(3x-3)=3^3$።
ከላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ በመጠቀም የኛ እኩልታ ወደ $3x-3=3$ ሲቀንስ እናገኘዋለን።ይህን እኩልነት በመፍታት $x=2$ እናገኛለን።
መልስ፡- $x=2$
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$)።
ከዚያ የእኛ እኩልነት እንደገና ሊፃፍ ይችላል: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x+0.2) = ((\frac (2) (3))) ^ (\frac (1) (5) ) == ((\ frac (2) (3)))^ (0.2)$.
$2х+0.2=0.2$
$x=0$
መልስ፡$x=0$
ሐ) የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡ $x^2-6x=-3x+18$።
$x^2-3x-18=0$።
$(x-6)(x+3)=0$።
$x_1=6$ እና $x_2=-3$።
መልስ፡- $x_1=6$ እና $x_2=-3$።
ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\sqrt (4) = 16* ((0.0625)) ^ (x+1) $.
መፍትሄ፡-
ተከታታይ ድርጊቶችን በቅደም ተከተል እንፈጽም እና ሁለቱንም የእኩልታዎቻችንን ጎኖች ወደ ተመሳሳይ መሰረት እናምጣ።
በግራ በኩል ብዙ ስራዎችን እናከናውን-
1) $ ((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$።
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$።
3) $\frac (((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4)=\frac((\frac(1)(4))))^(x-0፣5)) (4^(\frac(1)(2))))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
ወደ ቀኝ በኩል እንሂድ፡-
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$።
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
የመጀመሪያው እኩልታ ከሒሳብ ጋር እኩል ነው፡-
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$።
$x=2x$
$x=0$
መልስ፡$x=0$
ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $9^x+3^(x+2)-36=0$።
መፍትሄ፡-
የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡- $((3^2))^x+9*3^x-36=0$።
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$።
ተለዋዋጮችን እንቀይር፣ $a=3^x$ እናድርግ።
በአዲሶቹ ተለዋዋጮች ውስጥ፣ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል፡$a^2+9a-36=0$።
$(a+12)(a-3)=0$።
$a_1=-12$ እና $a_2=3$።
የተለዋዋጮችን ተገላቢጦሽ ለውጥ እናድርግ፡$3^x=-12$ እና $3^x=3$።
በመጨረሻው ትምህርት ውስጥ ገላጭ መግለጫዎች አዎንታዊ እሴቶችን ብቻ እንደሚወስዱ ተምረናል, ግራፉን አስታውሱ. ይህ ማለት የመጀመሪያው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ሁለተኛው እኩልታ አንድ መፍትሄ አለው: $ x=1$.
መልስ፡- $x=1$
ገላጭ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደምንችል አስታዋሽ እናድርግ፡-
1. የግራፊክ ዘዴ.የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በተግባሮች መልክ እንወክላለን እና ግራፎችን እንገነባለን ፣ የግራፎቹን መገናኛ ነጥቦችን ይፈልጉ። (ይህን ዘዴ ባለፈው ትምህርት ውስጥ ተጠቅመንበታል).
2. የአመላካቾች እኩልነት መርህ.መርሆው የተመሰረተው የእነዚህ መሰረቶች ዲግሪዎች (ኤክስፖነሮች) እኩል ከሆኑ እና ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው ሁለት መግለጫዎች እኩል ናቸው. $a^(f(x))=a^(g(x))$$f(x)=g(x)$።
3. ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ.ይህ ዘዴ ተለዋዋጮችን በሚተካበት ጊዜ, ቅጹን ቀላል ካደረገ እና ለመፍታት በጣም ቀላል ከሆነ ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ መዋል አለበት.
ለምሳሌ.
የእኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡ $\ጀማሪ (ጉዳይ) (27)^y*3^x=1፣ \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12። መጨረሻ (ጉዳይ)$
መፍትሄ።
ሁለቱንም የስርዓቱን እኩልታዎች ለየብቻ እንመልከታቸው፡-
$27^y*3^x=1$።
$3^(3ይ)*3^x=3^0$።
$3^(3ይ+x)=3^0$።
$x+3y=0$
ሁለተኛውን እኩልታ አስቡበት፡-
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$።
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$።
የተለዋዋጮችን ለውጥ ዘዴ እንጠቀም፣ $y=2^(x+y)$ ይሁን።
ከዚያ ቀመር ቅጹን ይወስዳል-
$y^2-y-12=0$።
$(y-4)(y+3)=0$።
$y_1=4$ እና $y_2=-3$።
ወደ መጀመሪያዎቹ ተለዋዋጮች እንሂድ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ $x+y=2$ እናገኛለን። ሁለተኛው እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የሉትም. ከዚያ የእኛ የመጀመርያ የእኩልታ ስርዓታችን ከስርአቱ ጋር እኩል ነው፡ $\ጀማሪ (cases) x+3y=0፣ \\ x+y=2። መጨረሻ (ጉዳይ)$
ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ስሌት ቀንስ: $\ጀምር (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 እናገኛለን. መጨረሻ (ጉዳይ)$
$\ጀማሪ (ጉዳይ) y=-1፣ \\ x=3። መጨረሻ (ጉዳይ)$
መልስ፡- $(3;-1)$
ገላጭ አለመመጣጠን
ወደ እኩልነት እንሂድ። እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ ለዲግሪው መሠረት ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. አለመመጣጠን በሚፈታበት ጊዜ ለክስተቶች እድገት ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ሁኔታዎች አሉ።ቲዎረም. $a>1$ ከሆነ፣ የገለጻው አለመመጣጠን $a^(f(x))>a^(g(x))$ ከ$f(x)>g(x)$ እኩልነት ጋር እኩል ነው።
$0 ከሆነ
ለምሳሌ.
አለመመጣጠን መፍታት፡-
ሀ) $3^(2x+3)>81$።
ለ) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) ሐ) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$
መፍትሄ።
ሀ) $3^(2x+3)>81$።
$3^(2x+3)>3^4$።
የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው፡-
$2x+3>4$
$2x>1$
$x>0.5$
B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\frac (1) (4))) ^ (2x-4) በእኛ እኩልታ ፣ መሰረቱ ዲግሪው ሲሆን ነው ከ 1 ያነሰ ነው, ከዚያም እኩልነትን በተመጣጣኝ ሲተካ ምልክቱን መቀየር አስፈላጊ ነው.
$2x-4>2$
$x>3$
ሐ) የእኛ አለመመጣጠን ከእኩልነት ጋር እኩል ነው።
$x^2+6x≥4x+15$።
$x^2+2x-15≥0$።
$(x-3)(x+5)≥0$።
የጊዜ ክፍተት የመፍትሄ ዘዴን እንጠቀም፡-
መልስ፡- $(-∞;-5]U \\
መልስ፡- $(-4,6)$.
ምሳሌ 2
የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት
ምስል 3.
መፍትሄ።
ይህ ስርዓት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው
ምስል 4.
አራተኛውን እኩልታዎች የመፍታት ዘዴ እንተገብረው። $2^x=u\ (u >0)$፣ እና $3^y=v\ (v >0)$፣ እናገኛለን፡-
ምስል 5.
የመደመር ዘዴን በመጠቀም የተገኘውን ስርዓት እንፍታ. እኩልታዎቹን እንጨምር፡-
\ \
ከዚያ ከሁለተኛው እኩልታ, ያንን እናገኛለን
ወደ መተኪያው ስመለስ፣ አዲስ የአርቢ እኩልታዎች ስርዓት ደረሰኝ፡-
ምስል 6.
እናገኛለን፡-
ምስል 7.
መልስ፡- $(0,1)$.
የአርቢ እኩልነት ስርዓቶች
ፍቺ 2
ገላጭ እኩልታዎችን ያካተቱ የእኩልነት ስርዓቶች የአርቢ ኢ-equalities ስርዓቶች ይባላሉ።
ምሳሌዎችን በመጠቀም የአርቢ እኩልነት ስርዓቶችን መፍታት እንመለከታለን።
ምሳሌ 3
የእኩልነት ስርዓትን ይፍቱ
ምስል 8.
መፍትሄ፡-
ይህ የእኩልነት ስርዓት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው።
ምስል 9.
የመጀመሪያውን ኢ-እኩልነት ለመፍታት፣ በገለፃ እኩልነት እኩልነት ላይ የሚከተለውን ንድፈ ሃሳብ አስታውስ።
ቲዎሪ 1.እኩልነት $a^(f(x)) >a^(\varphi (x))$፣ $a >0፣a\ne 1$ ከሁለት ስርዓቶች ስብስብ ጋር እኩል ነው።
\}