በትምህርት ቤት ስለ እኩልነት ተምረናል፣ የቁጥር አለመመጣጠን በምንጠቀምበት። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያትን እንመለከታለን, ከእነሱ ጋር አብሮ የመስራት መርሆዎች የተገነቡበት.
የእኩልነት ባህሪያት ከቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያት ጋር ተመሳሳይ ናቸው. ንብረቶቹ፣ ፅድቁ ይታሰባል፣ ምሳሌዎችም ይሰጣሉ።
Yandex.RTB R-A-339285-1
የቁጥር አለመመጣጠን: ትርጓሜ, ምሳሌዎች
የእኩልነት ፅንሰ-ሀሳብን ስናስተዋውቅ, የእነሱ ፍቺ በመዝገብ አይነት የተሰራ ነው. ምልክቶች ≠ ያላቸው የአልጀብራ መግለጫዎች አሉ፣< , >, ≤, ≥. ፍቺ እንስጥ።
ፍቺ 1
የቁጥር አለመመጣጠንሁለቱም ወገኖች ቁጥሮች እና አሃዛዊ መግለጫዎች ያሉበት አለመመጣጠን ይባላል።
የተፈጥሮ ቁጥሮችን ካጠናን በኋላ በትምህርት ቤት ውስጥ የቁጥር አለመመጣጠንን እንመለከታለን። እንደነዚህ ያሉ የንፅፅር ስራዎች ደረጃ በደረጃ ይጠናሉ. የመጀመሪያዎቹ 1 ይመስላሉ< 5 , 5 + 7 >3. ከዚያ በኋላ ህጎቹ ተጨምረዋል ፣ እና አለመመጣጠኑ የበለጠ የተወሳሰበ ይሆናል ፣ ከዚያ የቅጽ 5 2 3> 5 ፣ 1 (2) ፣ ln 0 እኩልነቶችን እናገኛለን። 73 - 17 2< 0 .
የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያት
ከእኩልነት ጋር በትክክል ለመስራት የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያትን መጠቀም አለብዎት። ከእኩልነት ጽንሰ-ሐሳብ የመጡ ናቸው. ይህ ጽንሰ-ሐሳብ መግለጫን በመጠቀም ይገለጻል፣ እሱም “የበለጠ” ወይም “ያነሰ” ተብሎ የተሰየመ።
ፍቺ 2
- ልዩነቱ a - b አዎንታዊ ቁጥር ሲሆን ቁጥር a ከ b ይበልጣል;
- ልዩነቱ a - b አሉታዊ ቁጥር ሲሆን ቁጥር a ከ b ያነሰ ነው;
- ልዩነቱ a - b ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ ቁጥር a ከ b ጋር እኩል ነው።
ትርጉሙ ጥቅም ላይ የሚውለው ከግንኙነቶቹ ጋር አለመመጣጠን ሲፈታ ነው "ከዚያ ያነሰ ወይም እኩል," "ከሚበልጥ ወይም እኩል" ጋር. ያንን እናገኛለን
ፍቺ 3
- a - b አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ሲሆን ከ b ይበልጣል ወይም እኩል ነው;
- a - b አዎንታዊ ያልሆነ ቁጥር ሲሆን ከቢ ያነሰ ወይም እኩል ነው።
ትርጉሞቹ የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያትን ለማረጋገጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
መሰረታዊ ባህሪያት
3 ዋና ዋና አለመመጣጠንን እንመልከት። ምልክቶችን መጠቀም< и >የሚከተሉት ንብረቶች ባህሪ:
ፍቺ 4
- ፀረ-ነጸብራቅየትኛውም ቁጥር ሀ ከኢፍትሃዊነት ሀ< a и a >a ልክ እንዳልሆነ ይቆጠራል. ለማንኛውም አ እኩልነት a - a = 0 እንደሚይዝ ይታወቃል፣ ስለዚህም ያንን a = a እናገኛለን። ስለዚህ ሀ< a и a >a ትክክል አይደለም። ለምሳሌ 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 የተሳሳቱ ናቸው።
- ተመጣጣኝ ያልሆነ. ቁጥሮች a እና b ሲሆኑ ሀ< b , то b >a, እና a > b ከሆነ, ከዚያም ለ< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ሀ. የእሱ ሁለተኛ ክፍል በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል.
ምሳሌ 1
ለምሳሌ፣ እኩልነት ከሌለው 5< 11 имеем, что 11 >5፣ ይህም ማለት የቁጥር አለመመጣጠን - 0፣ 27 > - 1፣ 3 እንደ - 1፣ 3 እንደገና ይጻፋል።< − 0 , 27 .
ወደ ቀጣዩ ንብረት ከመሄድዎ በፊት, በ asymmetry እርዳታ ከቀኝ ወደ ግራ እና በተቃራኒው ያለውን አለመመጣጠን ማንበብ እንደሚችሉ ያስተውሉ. በዚህ መንገድ የቁጥር አለመመጣጠን ሊስተካከል እና ሊለዋወጥ ይችላል።
ፍቺ 5
- መሸጋገሪያ. ቁጥሮች a, b, c ሁኔታውን ሲያሟሉ ሀ< b и b < c , тогда a < c , и если a >ለ እና ለ > ሐ፣ ከዚያም ሀ > ሐ .
ማስረጃ 1
የመጀመሪያው መግለጫ ሊረጋገጥ ይችላል. ሁኔታ ሀ< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
የመሸጋገሪያው ንብረት ያለው ሁለተኛው ክፍል በተመሳሳይ መንገድ የተረጋገጠ ነው.
ምሳሌ 2
የተተነተነውን ንብረት የእኩልነት ምሳሌን በመጠቀም እንመለከታለን - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 እና 1 8 > 1 32 እንደሚከተለው 1 2 > 1 32 ነው።
የደካማ እኩልነት ምልክቶችን በመጠቀም የተፃፉ የቁጥር አለመመጣጠን ፣ የመተጣጠፍ ባህሪ አላቸው ፣ ምክንያቱም a ≤ a እና a ≥ ሀ የእኩልነት ጉዳይ a = ሀ. በ asymmetry እና transitivity ተለይተው ይታወቃሉ.
ትርጉም 6
በጽሑፎቻቸው ውስጥ ምልክቶች ≤ እና ≥ ያላቸው አለመመጣጠን የሚከተሉት ባህሪዎች አሏቸው።
- መነቃቃት a ≥ a እና a ≤ a እንደ እውነተኛ አለመመጣጠን ይቆጠራሉ።
- antisymmetry, መቼ a ≤ b, ከዚያም b ≥ a, እና a ≥ ለ ከሆነ, ከዚያም b ≤ a.
- መሸጋገሪያ፣ መቼ a ≤ b እና b ≤ c፣ ከዚያ a ≤ c፣ እና እንዲሁም፣ a ≥ b እና b ≥ c ከሆነ፣ ከዚያም a ≥ c.
ማረጋገጫው በተመሳሳይ መንገድ ይከናወናል.
የቁጥር አለመመጣጠን ሌሎች ጠቃሚ ባህሪዎች
የእኩልነት መሰረታዊ ባህሪያትን ለማሟላት, ተግባራዊ ጠቀሜታ ያላቸው ውጤቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ. የአቀራረብ እሴቶችን ለመገመት የስልቱ መርህ ጥቅም ላይ ይውላል, ይህም እኩል ያልሆኑትን የመፍታት መርሆዎች የተመሰረቱ ናቸው.
ይህ አንቀጽ ለአንድ ጥብቅ አለመመጣጠን የእኩልነት ባህሪያትን ያሳያል። ጥብቅ ባልሆኑ ሰዎች ላይም ተመሳሳይ ነው. አንድ ምሳሌ እንይ፣ እኩልነትን በመቅረጽ ሀ< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- a > b ከሆነ፣ ከዚያም a + c > b + c;
- a ≤ b ከሆነ፣ ከዚያም a + c ≤ b + c;
- a ≥ b ከሆነ፣ ከዚያ a + c ≥ b + c።
ለአመቺ የዝግጅት አቀራረብ ተጓዳኝ መግለጫ እንሰጣለን, ተጽፎ እና ማስረጃ ተሰጥቷል, የአጠቃቀም ምሳሌዎች ይታያሉ.
ፍቺ 7
ቁጥርን ወደ ሁለቱም ወገኖች ማከል ወይም ማስላት። በሌላ አነጋገር ሀ እና b ከእኩልነት ጋር ሲዛመዱ ሀ< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
ማስረጃ 2
ይህንን ለማረጋገጥ, እኩልታው ሁኔታውን ማሟላት አለበት ሀ< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
ምሳሌ 3
ለምሳሌ ፣የእኩልነት ሁለቱንም ጎኖች 7> 3 በ 15 ከጨመርን ያ 7 + 15 > 3 + 15 እናገኛለን። ይህ ከ22> 18 ጋር እኩል ነው።
ትርጉም 8
የእኩልነት ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ ቁጥር ሲ ሲባዙ ወይም ሲከፋፈሉ እውነተኛ እኩልነት እናገኛለን። አሉታዊ ቁጥር ከወሰዱ ምልክቱ ወደ ተቃራኒው ይለወጣል. ያለበለዚያ እንደዚህ ይመስላል፡- ለ ሀ እና ለ እኩልነት ሲኖረው ሀ< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >ለ.c.
ማስረጃ 3
ጉዳይ ሲ > 0 ሲኖር በግራ እና በቀኝ መካከል ያለውን ልዩነት መገንባት አስፈላጊ ነው. ከዚያም ያንን እናገኛለን a · c - b · c = (a - b) · c . ከሁኔታ ሀ< b , то a − b < 0 , а c >0, ከዚያም ምርቱ (a - b) · c አሉታዊ ይሆናል. የሚከተለው ሀ · ሐ - ለ · ሐ< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
በማረጋገጥ ጊዜ፣ በኢንቲጀር መከፋፈል በተሰጠው ተገላቢጦሽ በማባዛት ሊተካ ይችላል፣ ማለትም፣ 1 ሐ. በተወሰኑ ቁጥሮች ላይ የንብረት ምሳሌን እንመልከት.
ምሳሌ 4
ሁለቱም እኩልነት 4 ጎኖች ይፈቀዳሉ< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
አሁን የሚከተሉትን ሁለት ውጤቶች እንቀርፃለን ፣ እነዚህም ልዩነቶችን ለመፍታት ያገለግላሉ ።
- ማብራሪያ 1. የቁጥር አለመመጣጠን ምልክቶችን በሚቀይሩበት ጊዜ የእኩልነት ምልክት ራሱ ወደ ተቃራኒው ይለወጣል ፣< b , как − a >- ለ. ይህ ሁለቱንም ወገኖች በ - 1 የማባዛት ደንብ ይከተላል. ለሽግግር ተግባራዊ ይሆናል. ለምሳሌ፡- 6< − 2 , то 6 > 2 .
- ማብራሪያ 2. የቁጥር አለመመጣጠን ክፍሎችን በተቃራኒ ቁጥሮች ሲተካ ምልክቱም ይለወጣል፣ እና አለመመጣጠኑ እውነት ነው። ስለዚህም ሀ እና b አዎንታዊ ቁጥሮች ናቸው፣ ሀ< b , 1 a >1 ለ.
ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች ሲከፋፈሉ ሀ< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 እኛ 1 5 አለን።< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b ትክክል ላይሆን ይችላል።
ምሳሌ 5
ለምሳሌ፡- 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ትክክል ያልሆነ እኩልታ ናቸው።
በእኩልነት ክፍሎች ላይ ያሉ ድርጊቶች በውጤቱ ላይ ትክክለኛውን እኩልነት ስለሚሰጡ ሁሉም ነጥቦች አንድ ሆነዋል። መጀመሪያ ላይ በርካታ የቁጥር አለመመጣጠን ያሉባቸውን ንብረቶችን እናስብ ውጤቱ የሚገኘው ክፍሎቹን በመጨመር ወይም በማባዛት ነው።
ትርጉም 9
ቁጥሮች a, b, c, d ለ እኩልነት ዋጋ ያላቸው ሲሆኑ ሀ< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
ማስረጃ 4
(a + c) − (b +d) አሉታዊ ቁጥር መሆኑን እናረጋግጥ፣ ከዚያ አንድ + c እናገኛለን።< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
ንብረቱ የሶስት፣ አራት ወይም ከዚያ በላይ የቁጥር አለመመጣጠንን በጊዜ-በጊዜ ለመጨመር ያገለግላል። ቁጥሮች ሀ 1 ፣ ሀ 2 ፣… ፣ a n እና b 1 ፣ b 2 ፣… ፣ b n እኩልነትን ያረካሉ ሀ 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
ምሳሌ 6
ለምሳሌ፣ የተመሳሳዩ ምልክት ሶስት የቁጥር አለመመጣጠን - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
ፍቺ 10
የሁለቱም ወገኖች በጊዜያዊነት ማባዛት አወንታዊ ቁጥርን ያስከትላል። መቼ ሀ< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
ማስረጃ 5
ይህንን ለማረጋገጥ፣ የሁለቱም እኩልነት አለመመጣጠን እንፈልጋለን ሀ< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
ይህ ንብረት እኩልነት የሌላቸው ሁለቱም ወገኖች መብዛት ያለባቸው የቁጥሮች ብዛት ልክ እንደሆነ ይቆጠራል። ከዚያም a 1, a 2, …, a nእና b 1፣ b 2፣ …፣ b nአዎንታዊ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
አለመመጣጠኖችን በሚጽፉበት ጊዜ አወንታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች እንዳሉ ልብ ይበሉ፣ ከዚያ የእነርሱ የቃል-ጊዜ ማባዛት ወደ የተሳሳተ እኩልነት ያመራል።
ምሳሌ 7
ለምሳሌ እኩልነት 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
ውጤት፡ በጊዜያዊነት የእኩልነት ማባዛት ሀ< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያት
የሚከተሉትን የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያትን እንመልከት።
- ሀ< a , a >ሀ - ትክክል ያልሆነ እኩልነት;
a ≤ a፣ a ≥ ሀ እውነተኛ እኩልነት ናቸው። - ከሆነ< b , то b >a - አንቲሜትሜትሪ.
- ከሆነ< b и b < c то a < c - транзитивность.
- ከሆነ< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- ከሆነ< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
ከሆነ< b и c - отрицательное число, то a · c >ለ.c.
ማብራሪያ 1፡ ከሆነ< b , то - a >- ለ.
ማብራሪያ 2፡ a እና b አዎንታዊ ቁጥሮች ከሆኑ እና a< b , то 1 a >1 ለ.
- ከሆነ 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- 1፣ ሀ 2፣ ከሆነ። . . , a n , b 1 , b 2 , . . . ፣ b n አዎንታዊ ቁጥሮች እና 1 ናቸው።< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
ማብራሪያ 1፡ ከሆነ ሀ< b , a እና ለ አዎንታዊ ቁጥሮች ናቸው, ከዚያም a n< b n .
በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን
የቁጥር አለመመጣጠን እና ባህሪያቸው
የዝግጅት አቀራረቡ የርዕሶቹን ይዘት የቁጥር ኢ-ፍትሃዊነት እና የቁጥር ኢ-ፍትሃዊነት ባህሪያትን ይዘረዝራል፣ እና የቁጥር አለመመጣጠንን የሚያረጋግጡ ምሳሌዎችን ይሰጣል። (አልጀብራ 8ኛ ክፍል፣ ደራሲ ማካሪቼቭ ዩ.ኤን.)
የሰነድ ይዘቶችን ይመልከቱ
"የቁጥር አለመመጣጠን እና ባህሪያቸው"
የቁጥር አለመመጣጠን
እና ንብረቶቻቸው
በማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም የሂሳብ መምህር "Upshinskaya ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት"
የማሪ ኤል ሪፐብሊክ ኦርሻ ወረዳ
(ወደ ዩ.ኤ ማካሪቼቭ አልጀብራ 8 የመማሪያ መጽሐፍ
የቁጥር አለመመጣጠን
ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ቁጥሮችን የማነፃፀር ውጤት ምልክቶቹን በመጠቀም በእኩልነት መልክ ይፃፋል , , =
በመጠቀም ቁጥሮችን እናነፃፅራለን የተለያዩደንቦች (ዘዴዎች). አጠቃላዩን ለማግኘት ምቹ ነውሁሉንም ጉዳዮች የሚሸፍን የንፅፅር ዘዴ.
ፍቺ፡
ቁጥር ሀ ልዩነቱ ከ B ይበልጣል ሀ ለ) አዎንታዊ ቁጥር ነው.
ቁጥር ሀ ልዩነቱ ከ b ያነሰ ነው ( ሀ ለ) አሉታዊ ቁጥር ነው.
ቁጥር ሀ ልዩነቱ ከሆነ ከ ቁጥር b ጋር እኩል ነው ( ሀ - ለ) - ከዜሮ ጋር እኩል ነው
ቁጥሮችን ለማነፃፀር አጠቃላይ መንገድ
ምሳሌ 1.
እኩልነትን ለማረጋገጥ ቁጥሮችን የማነፃፀር አጠቃላይ ዘዴን መተግበር
ምሳሌ 2. የሁለት አወንታዊ ቁጥሮች አርቲሜቲክ አማካኝ ከነዚህ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ አማካኝ ያላነሰ መሆኑን ያረጋግጡ።
የእውነተኛ እኩልነት ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ አወንታዊ ቁጥር ቢባዙ ወይም ከተከፋፈሉ እውነተኛ እኩልነት ያገኛሉ።
የእውነተኛ እኩልነት ሁለቱም ወገኖች በተመሳሳይ አሉታዊ ቁጥር ቢባዙ ወይም ከተከፋፈሉ እና የእኩልነት ምልክቱ ከተገለበጠ እውነተኛ እኩልነት ያገኛሉ።
P = 3a
የእያንዳንዳቸው አለመመጣጠን በ 3 በሁለቱም በኩል ማባዛት።
54.2 ∙ 3 a∙ 3
162,6
የቁጥር አለመመጣጠን ባህሪያትን መተግበር
ዋናዎቹ የእኩልነት ዓይነቶች ይቀርባሉ, ቤርኖሊ, ካውቺ - ቡኒያኮቭስኪ, ሚንኮቭስኪ, ቼቢሼቭ እኩል ያልሆኑትን ጨምሮ. በእነሱ ላይ የእኩልነት ባህሪያት እና ድርጊቶች ግምት ውስጥ ይገባሉ. እኩልነትን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች ተሰጥተዋል.
ለመሠረታዊ እኩልነት ቀመሮች
ለአለም አቀፍ እኩልነት ቀመሮች
ሁለንተናዊ አለመመጣጠን በእነሱ ውስጥ ለተካተቱት መጠኖች ለማንኛውም እሴቶች ይረካሉ። ዋናዎቹ ሁለንተናዊ አለመመጣጠን ዓይነቶች ከዚህ በታች ተዘርዝረዋል።
1) | አ ለ | ≤ |አ| + |ለ| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |አ 1 | + |አ 2 | + ... + |a n |
2) |አ| + |ለ| ≥ | ሀ - ለ | ≥ | |አ| - |ለ| |
3)
እኩልነት የሚከሰተው 1 = a 2 = ... = a n ሲሆን ብቻ ነው.
4)
የካውቺ-ቡኒያኮቭስኪ እኩልነት
እኩልነት የሚይዘው α a k = β b k ለሁሉም k = 1, 2, ..., n እና አንዳንድ α, β, |α| ከሆነ ብቻ ነው. + |β| > 0 .
5)
የሚንኮቭስኪ እኩልነት፣ ለ p≥ 1
አጥጋቢ አለመመጣጠን ቀመሮች
በእነሱ ውስጥ ለተካተቱት መጠኖች የተወሰኑ እሴቶች አጥጋቢ አለመመጣጠን ይረካሉ።
1)
የቤርኑሊ እኩልነት;
.
በአጠቃላይ፡-
,
የት ፣ ተመሳሳይ ምልክት ቁጥሮች እና ከዚያ በላይ -1
:
.
የበርኑሊ ለማ፡
.
"የእኩልነት ማረጋገጫዎች እና የበርኑሊ ሌማ" ይመልከቱ።
2)
ለ i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .
3)
የ Chebyshev እኩልነት
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
እና 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
እና b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
አጠቃላይ የ Chebyshev አለመመጣጠን
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
እና 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
እና k ተፈጥሯዊ
.
በ 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
እና b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
የእኩልነት ባህሪያት
የእኩልነት ባህሪያት እነሱን በሚቀይሩበት ጊዜ የሚረኩ ህጎች ስብስብ ናቸው። ከታች ያሉት የእኩልነት ባህሪያት ናቸው. ቀደም ሲል የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ንብረት በሆነው x i (i = 1, 2, 3, 4) ዋጋዎች ውስጥ የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠኖች ረክተዋል.
1) የጎኖቹ ቅደም ተከተል ሲቀየር, የእኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.
x 1 ከሆነ< x 2
,
то x 2 >x 1 .
x 1≤ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 2 ≥ x 1።
x 1≥ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 2≤ x 1።
x 1 > x 2 ከሆነ x 2< x 1
.
2) አንድ እኩልነት ከተለያዩ ምልክቶች ሁለት ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ጋር እኩል ነው.
x 1 = x 2 ከሆነ x 1 ≤ x 2 እና x 1 ≥ x 2።
x 1 ≤ x 2 እና x 1 ≥ x 2 ከሆነ x 1 = x 2።
3) የመሸጋገሪያ ባህሪ
x 1 ከሆነ< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
x 1 ከሆነ< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
x 1≤ x 2 እና x 2 ከሆኑ< x 3
,
то x 1 < x 3
.
x 1≤ x 2 እና x 2 ≤ x 3 ከሆነ x 1≤ x 3።
4) ተመሳሳይ ቁጥር ወደ አለመመጣጠን በሁለቱም በኩል ሊጨመር ይችላል (መቀነስ)።
x 1 ከሆነ< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
x 1 ≤ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A ≤ x 2+ A።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A ≥ x 2+ A።
x 1 > x 2 ከሆነ፣ ከዚያ x 1 + A > x 2 + A።
5) ከተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ጋር ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ልዩነቶች ካሉ ግራ እና ቀኝ ጎኖቻቸው ሊጨመሩ ይችላሉ.
x 1 ከሆነ< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
x 1 ከሆነ< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
x 1≤ x 2፣ x 3 ከሆነ< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
x 1≤ x 2፣ x 3 ≤ x 4፣ ከዚያ x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4።
ተመሳሳይ መግለጫዎች በምልክቶቹ ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ ≥, >.
የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠኖች ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ምልክቶች እና ቢያንስ አንድ ጥብቅ እኩልነት ምልክቶች ከያዙ (ነገር ግን ሁሉም ምልክቶች አንድ አቅጣጫ አላቸው) ከዚያም ተጨማሪው ጥብቅ አለመመጣጠን ያስከትላል.
6) ሁለቱም የእኩልነት ጎኖች በአዎንታዊ ቁጥር ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ።
x 1 ከሆነ< x 2
и A >0፣ ከዚያ A x 1< A · x 2
.
x 1≤ x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A x 1≤ A x 2።
x 1≥ x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A x 1 ≥ A x 2።
x 1 > x 2 እና A > 0 ከሆነ፣ ከዚያ A · x 1 > A · x 2።
7) የእኩልነት ሁለቱም ጎኖች በአሉታዊ ቁጥር ሊባዙ (መከፋፈል) ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ, የእኩልነት ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.
x 1 ከሆነ< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >አ x 2.
x 1≤ x 2 እና ኤ ከሆነ< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
x 1≥ x 2 እና ኤ ከሆነ< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
x 1> x 2 እና ኤ ከሆነ< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) ከአዎንታዊ ቃላት ጋር ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ልዩነቶች ካሉ ፣ ከተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ጋር ፣ ከዚያ ግራ እና ቀኝ ጎኖቻቸው እርስ በእርስ ሊባዙ ይችላሉ።
x 1 ከሆነ< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
x 1 ከሆነ< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
x 1≤ x 2፣ x 3 ከሆነ< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ከዚያ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
x 1≤ x 2፣ x 3 ≤ x 4፣ x 1፣ x 2፣ x 3፣ x 4> 0 ከሆነ x 1 x 3 ≤ x 2 x 4።
ተመሳሳይ መግለጫዎች በምልክቶቹ ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ ≥, >.
የመጀመሪያዎቹ አለመመጣጠኖች ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ምልክቶች እና ቢያንስ አንድ ጥብቅ እኩልነት ምልክቶች ከያዙ (ነገር ግን ሁሉም ምልክቶች አንድ አቅጣጫ አላቸው) ከዚያም ማባዛት ጥብቅ አለመመጣጠን ያስከትላል.
9) f(x) በብቸኝነት የሚጨምር ተግባር ይሁን። ማለትም ለማንኛውም x 1> x 2፣ f(x 1) > f(x 2)። ከዚያም ይህ ተግባር በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ላይ ሊተገበር ይችላል, ይህም የእኩልነት ምልክት አይለውጥም.
x 1 ከሆነ< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
x 1≤ x 2 ከሆነ f(x 1) ≤ f(x 2)።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ f(x 1) ≥ f(x 2)።
x 1 > x 2 ከሆነ፣ ከዚያም f(x 1) > f(x 2)።
10) f(x) በብቸኝነት የሚቀንስ ተግባር ይሁን፣ ያም ማለት ለማንኛውም x 1> x 2፣ f(x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
x 1 ከሆነ< x 2
,
то f(x 1) >ረ (x 2)
x 1 ≤ x 2 ከሆነ f(x 1) ≥ f(x 2)።
x 1 ≥ x 2 ከሆነ f(x 1) ≤ f(x 2)።
x 1> x 2 ከሆነ f(x 1)< f(x 2)
.
አለመመጣጠን የመፍታት ዘዴዎች
የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት
ክፍተቱ ዘዴ ተፈጻሚ የሚሆነው አለመመጣጠኑ አንድ ተለዋዋጭን የሚያካትት ከሆነ ነው፣ እሱም እንደ x የምንገልጸው፣ እና ቅጹ አለው፡-
ረ(x) > 0
የት f(x) የማቋረጫ ነጥቦች ብዛት ያለው ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው። የእኩልነት ምልክት ማንኛውም ሊሆን ይችላል: >, ≥,<, ≤
.
የጊዜ ክፍተት ዘዴው እንደሚከተለው ነው.
1) የ f(x) ተግባሩን ፍቺ ጎራ ይፈልጉ እና በቁጥር ዘንግ ላይ ባሉት ክፍተቶች ምልክት ያድርጉበት።
2) የ f(x) ተግባር መቋረጥ ነጥቦችን ያግኙ። ለምሳሌ፣ ይህ ክፍልፋይ ከሆነ፣ አካፋው ዜሮ የሚሆንባቸውን ነጥቦች እናገኛለን። እነዚህን ነጥቦች በቁጥር ዘንግ ላይ ምልክት እናደርጋለን.
3) እኩልታውን ይፍቱ
ረ(x) = 0
የዚህን እኩልታ ሥሮች በቁጥር ዘንግ ላይ ምልክት እናደርጋለን.
4) በውጤቱም, የቁጥር ዘንግ ወደ ክፍተቶች (ክፍልፋዮች) በነጥቦች ይከፈላል. በትርጉም ጎራ ውስጥ በተካተቱት በእያንዳንዱ ክፍተቶች ውስጥ ማንኛውንም ነጥብ እንመርጣለን እና በዚህ ጊዜ የተግባሩን ዋጋ እናሰላለን. ይህ ዋጋ ከዜሮ በላይ ከሆነ, ከክፍሉ በላይ የ "+" ምልክትን እናስቀምጣለን (ክፍተት). ይህ ዋጋ ከዜሮ ያነሰ ከሆነ, "-" የሚለውን ምልክት ከክፍሉ በላይ (ክፍተት) ላይ እናስቀምጣለን.
5) አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) > 0፣ ከዚያ በ"+" ምልክት ያለውን ክፍተቶች ይምረጡ። ለእኩልነት መፍትሄው እነዚህን ክፍተቶች በማጣመር ነው, ድንበሮቻቸውን አያካትቱም.
አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) ≥ 0፣ ከዚያም ወደ መፍትሄው በየትኛው f(x) = 0 ላይ ነጥቦችን እንጨምራለን ። ማለትም አንዳንድ ክፍተቶች የተዘጉ ድንበሮች ሊኖራቸው ይችላል (ድንበሩ የክፍለ ጊዜው ነው)። ሌላኛው ክፍል ክፍት ድንበሮች ሊኖሩት ይችላል (ድንበሩ የጊዜ ክፍተት አይደለም).
በተመሳሳይ፣ አለመመጣጠኑ ቅጽ ካለው፡ f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
አለመመጣጠኑ ቅፅ ካለው፡ f(x) ≤ 0፣ ከዚያም ወደ መፍትሄው በየትኛው f(x) = 0 ላይ ነጥቦችን እንጨምራለን ።
ንብረቶቻቸውን በመጠቀም አለመመጣጠን መፍታት
ይህ ዘዴ ለማንኛውም ውስብስብነት እኩልነት ተፈጻሚ ይሆናል. ንብረቶቹን መተግበርን ያካትታል (ከላይ የቀረበው) እኩልነትን ወደ ቀላል ቅፅ ለመቀነስ እና መፍትሄ ለማግኘት. ይህ አንድ ብቻ ሳይሆን የእኩልነት ስርዓትን ሊያስከትል ይችላል. ይህ ሁለንተናዊ ዘዴ ነው. ለማንኛውም እኩልነት ተፈጻሚ ይሆናል።
ዋቢዎች፡-
አይ.ኤን. ብሮንስታይን ፣ ኬ.ኤ. ሴመንድያቭ፣ የመሐንዲሶች እና የኮሌጅ ተማሪዎች የሂሳብ መጽሐፍ፣ “ላን”፣ 2009
በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ: "የቁጥር አለመመጣጠን መሰረታዊ ባህሪያት እና እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች."
ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.
ለ 8ኛ ክፍል በ Integral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የትምህርት መርጃዎች እና አስመሳይዎች
ጥምር እና ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን
የቁጥር አለመመጣጠን መግቢያ
ወንዶች, ቀደም ሲል እኩልነት አጋጥሞናል, ለምሳሌ, ከካሬ ሥር ጽንሰ-ሐሳብ ጋር መተዋወቅ ስንጀምር. በማስተዋል፣ አለመመጣጠኖችን በመጠቀም ከተሰጡት ቁጥሮች የትኛው ይበልጣል ወይም ያነሰ እንደሆነ መገመት ይችላሉ። ለሂሳብ ገለጻ፣ ብዙ ወይም ያነሰ ትርጉም ያለው ልዩ ምልክት ማከል በቂ ነው።በሒሳብ ቋንቋ $a>b$ የሚለውን አገላለጽ መፃፍ ማለት $a$ ከ$b$ ቁጥር ይበልጣል ማለት ነው። በተራው፣ ይህ ማለት $a-b$ አዎንታዊ ቁጥር ነው። ልክ እንደ ሁሉም የሂሳብ ዕቃዎች ማለት ይቻላል, አለመመጣጠን የተወሰኑ ባህሪያት አሏቸው. በዚህ ትምህርት ውስጥ እነዚህን ባህሪያት እናጠናለን. ንብረት 1. ማረጋገጫ። ይህ ንብረት የቁጥር መስመርን በመጠቀም የበለጠ በግልፅ ሊታይ ይችላል። $a>b$ ከሆነ፣ በቁጥር መስመር ላይ ያለው ቁጥር $a$ በ$b$ በስተቀኝ ይገኛል። በዚህ መሠረት $b>c$ ከሆነ ቁጥሩ $b$ በ$c$ ቁጥሩ በስተቀኝ ይተኛል። ንብረት 2. ንብረት 3. ንብረት 4. ማረጋገጫ። ንብረት 5. ማረጋገጫ። ፍቺ ከዚያም ንብረት 5 እንደገና ሊገለጽ ይችላል. የግራ እና የቀኝ ጎኖቻቸው አወንታዊ የሆኑ ተመሳሳይ ትርጉም ያላቸውን እኩልነት ሲባዙ ፣ ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት ተገኝቷል። ንብረት 6. ንብረት 7. ማረጋገጫ። $a-b$ አወንታዊ ቁጥር መሆኑን እናውቃለን፣ እና የሁለት አወንታዊ ቁጥሮች ውጤት ደግሞ አወንታዊ ቁጥር ነው፣ ማለትም $ab>0$ ንብረት 8. ማረጋገጫ። ንብረት 9.የካውቺ አለመመጣጠን (የሂሣብ አማካኙ ከጂኦሜትሪክ አማካኝ ይበልጣል ወይም እኩል ነው)። ማረጋገጫ። መፍትሄ። ለ) ንብረት እንጠቀም 3. በአሉታዊ ቁጥር ማባዛት, ይህም ማለት የእኩልነት ለውጥ ምልክት ማለት ነው. መ) ሁሉንም የእኩልነት ክፍሎችን 3.1 ዶላር ማባዛት። መ) ሁሉም የእኩልነት ክፍሎቹ አወንታዊ ናቸው, እያንኳኳቸው, ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት እናገኛለን. መ) የእኩልነት ደረጃው እንግዳ ነው፣ ከዚያ በደህና ወደ ሃይል ማሳደግ እና ምልክቱን አለመቀየር ይችላሉ። ሰ) ንብረት እንጠቀም 7. ምሳሌ 2. መፍትሄ። የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ እንደ ሶስት ስብስቦች አንድነት ሊወከል ይችላል-የአዎንታዊ ቁጥሮች ስብስብ ፣ የአሉታዊ ቁጥሮች ስብስብ እና አንድ ቁጥር ያለው ስብስብ - ቁጥር ዜሮ። ቁጥሩን ለማመልከት ሀአዎንታዊ, ቀረጻውን ይጠቀሙ ሀ > 0አሉታዊ ቁጥርን ለማመልከት ሌላ ምልክት ይጠቀሙ ሀ< 0
. የአዎንታዊ ቁጥሮች ድምር እና ውጤት እንዲሁ አዎንታዊ ቁጥሮች ናቸው። ቁጥር ከሆነ ሀአሉታዊ, ከዚያም ቁጥሩ - አአዎንታዊ (እና በተቃራኒው). ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥር አወንታዊ ምክንያታዊ ቁጥር አለ። አር, ምንድን አር< а
. እነዚህ እውነታዎች የእኩልነት ፅንሰ-ሀሳብን መሠረት ያደረጉ ናቸው። በትርጓሜ፣ አለመመጣጠን a > b (ወይም፣ ተመሳሳይ የሆነው፣ ለ< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ማለትም a - b ቁጥር አዎንታዊ ከሆነ. በተለይም አለመመጣጠንን አስቡበት ሀ< 0
. ይህ አለመመጣጠን ምን ማለት ነው? ከላይ ባለው ፍቺ መሰረት, እሱ ማለት ነው 0 - ሀ > 0፣ ማለትም እ.ኤ.አ. -ሀ > 0ወይም, በሌላ አነጋገር, ቁጥሩ ምንድን ነው - አበአዎንታዊ መልኩ. ግን ይህ የሚከናወነው ቁጥሩ ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው። ሀአሉታዊ. ስለዚህ አለመመጣጠን ሀ< 0
ቁጥር ማለት ነው። ግን አሉታዊ. ማስታወሻው ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።(ወይም ምን ተመሳሳይ ነው) ባ). (ሀ ለ) [(ሀ > ለ) V (a = b)] ምሳሌ 1. 5 0, 0 0 አለመመጣጠን እውነት ነው? እኩልነት 5 0 በሎጂካዊ ተያያዥ "ወይም" (መከፋፈል) የተገናኙ ሁለት ቀላል መግለጫዎችን የያዘ ውስብስብ መግለጫ ነው. ወይ 5> 0 ወይም 5 = 0. የመጀመሪያው አባባል 5> 0 እውነት ነው, ሁለተኛው አባባል 5 = 0 ውሸት ነው. በቃለ ምልልሱ ትርጓሜ, እንዲህ ዓይነቱ ውስብስብ መግለጫ እውነት ነው. የመግቢያ 00 በተመሳሳይ መልኩ ተብራርቷል. የቅጹ እኩልነት ሀ > ለ፣ አ< b
እኛ ጥብቅ እንላቸዋለን, እና የቅጹ እኩልነት አብ ፣አብ- ጥብቅ አይደለም. አለመመጣጠን ሀ > ለእና ሐ > መ(ወይም ሀ< b
እና ጋር< d
) ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት እና እኩልነት ይባላል ሀ > ለእና ሐ< d
- የተቃራኒ ትርጉም አለመመጣጠን። እነዚህ ሁለት ቃላት (ተመሳሳይ እና ተቃራኒ ትርጉም ያላቸው አለመመጣጠኖች) የሚያመለክቱት እኩል ያልሆኑትን የአጻጻፍ ስልቶች ብቻ ነው እንጂ በእነዚህ አለመመጣጠኖች የተገለጹትን እውነታዎች ራሳቸው አይደለም። ስለዚህ, ከእኩልነት ጋር በተያያዘ ሀ< b
አለመመጣጠን ጋር< d
ተመሳሳይ ትርጉም ያለው አለመመጣጠን ነው, እና በማስታወሻው ውስጥ መ > ሐ(ተመሳሳይ ነገር ማለት ነው) - የተቃራኒው ትርጉም እኩልነት. ከቅጹ እኩልነት አለመመጣጠን ጋር ሀ > ለ, ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።ድርብ አለመመጣጠን የሚባሉት ጥቅም ላይ ይውላሉ፣ ማለትም፣ የቅጹ እኩልነት ሀ< с < b
, ac< b
, ሀ< cb
, ሀ< с < b
(1) ሀ< с
እና ጋር< b.
አለመመጣጠኑ ተመሳሳይ ትርጉም አለው acb፣ ኤሲ< b, а < сb.
ድርብ አለመመጣጠን (1) እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል። (ሀ< c < b) [(a < c) & (c < b)] እና ድርብ አለመመጣጠን ሀ ≤ ሐ ≤ ለበሚከተለው ቅጽ መፃፍ ይቻላል፡- (ሀ ለ) [(ሀ< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] አሁን በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ፊደሎች እንዳሉ ተስማምተን, በእኩልነት ላይ ያሉትን መሠረታዊ ንብረቶች እና የድርጊት ደንቦች አቀራረብን እንቀጥል. a, b, cለትክክለኛ ቁጥሮች መቆም, እና nየተፈጥሮ ቁጥር ማለት ነው። 1) ሀ > ለ እና ለ > ሐ ከሆነ፣ ከዚያም ሀ > ሐ (መሸጋገሪያ)። ማረጋገጫ። ጀምሮ በሁኔታ ሀ > ለእና ለ > ሐ, ከዚያም ቁጥሮች ሀ - ለእና ለ - ሐአዎንታዊ ናቸው, እና ስለዚህ ቁጥሩ a - c = (a - b) + (b - c)እንደ አወንታዊ ቁጥሮች ድምር እንዲሁ አዎንታዊ ነው። ይህ ማለት በትርጉሙ ያ ማለት ነው። ሀ > ሐ. 2) a > b ከሆነ፣ ለማንኛውም ሐ እኩልነት a + c > b + c ይይዛል። ማረጋገጫ። ምክንያቱም ሀ > ለ, ከዚያም ቁጥሩ ሀ - ለበአዎንታዊ መልኩ. ስለዚህ, ቁጥሩ (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bበተጨማሪም አዎንታዊ ነው, ማለትም. 3) a + b > c ከሆነ፣ ከዚያ a > b - c፣ያም ማለት ማንኛውም ቃል የዚህን ቃል ምልክት ወደ ተቃራኒው በመቀየር ከአንዱ እኩልነት ወደ ሌላ ክፍል ሊተላለፍ ይችላል. ማስረጃው ከንብረት ይከተላል 2) ለሁለቱም እኩልነት በቂ ነው ሀ + ለ > ሐቁጥር ጨምር - ለ. 4) ሀ > ለ እና ሐ > መ ከሆነ፣ ከዚያም a + c > b + d፣ማለትም ሁለት ተመሳሳይ ትርጉም ያላቸውን አለመመጣጠን ሲጨምር ተመሳሳይ ትርጉም ያለው አለመመጣጠን ይገኛል። ማረጋገጫ። በእኩልነት ፍቺ ምክንያት, ልዩነቱን ለማሳየት በቂ ነው መዘዝ። ከህጎች 2) እና 4) የሚከተለው እኩልነትን የመቀነስ ህግ ይከተላል፡ ከሆነ ሀ > ለ፣ ሐ > መ፣ ያ ሀ - መ > ለ - ሐ(ለማረጋገጫ ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች መተግበሩ በቂ ነው ሀ + ሐ > ለ + መቁጥር ጨምር - ሐ - መ). 5) ሀ > ለ ከሆነ፣ ለ c > 0 እኛ ac > bc አለን፣ እና ለ ሐ< 0 имеем ас < bc.
በሌላ አገላለጽ የሁለቱንም ወገኖች እኩልነት በአዎንታዊ ቁጥር ሲባዛ የእኩልነት ምልክቱ ተጠብቆ ይቆያል (ማለትም ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት ተገኝቷል) ነገር ግን በአሉታዊ ቁጥር ሲባዛ የእኩልነት ምልክቱ ወደ ተቃራኒው ይለወጣል. (ማለትም, የተቃራኒው ትርጉም አለመመጣጠን ተገኝቷል. ማረጋገጫ። ከሆነ ሀ > ለ፣ ያ ሀ - ለአዎንታዊ ቁጥር ነው. ስለዚህ, የልዩነት ምልክት ac-bc = ታክሲ)ከቁጥሩ ምልክት ጋር ይዛመዳል ጋር: ከሆነ ጋርአዎንታዊ ቁጥር ነው, ከዚያም ልዩነቱ ac - ቢሲአዎንታዊ እና ስለዚህ ac > bc, እና ከሆነ ጋር< 0
, ከዚያ ይህ ልዩነት አሉታዊ እና ስለዚህ bc - acአዎንታዊ, ማለትም. bc > ac. 6) a > b > 0 እና c > d > 0 ከሆነ፣ ከዚያም ac > bd፣ማለትም፣ ሁሉም ተመሳሳይ ትርጉም ያላቸው የሁለት እኩልነት ቃላቶች አወንታዊ ከሆኑ፣ እነዚህን አለመመጣጠኖች በቃላት ሲባዙ፣ ተመሳሳይ ትርጉም ያለው አለመመጣጠን ይገኛል። ማረጋገጫ። እና አለነ ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c -d). ምክንያቱም ሐ > 0፣ ለ > 0፣ a - b> 0፣ c -d > 0፣ ከዚያ ac - bd > 0፣ ማለትም ac > bd። አስተያየት።ከማስረጃው መረዳት እንደሚቻለው ሁኔታው ግልጽ ነው። መ > 0በንብረት አጻጻፍ 6) አስፈላጊ አይደለም: ይህ ንብረት ትክክለኛ እንዲሆን, ቅድመ ሁኔታዎችን ማሟላት በቂ ነው. ሀ > ለ > 0፣ ሐ > ዲ፣ ሐ > 0. ከሆነ (የእኩልነት አለመመጣጠን ከተሟሉ) ሀ > ለ፣ ሐ > መ) ቁጥሮች a, b, cሁሉም አዎንታዊ አይሆንም, ከዚያም አለመመጣጠን ac > bdላይሟላ ይችላል. ለምሳሌ, መቼ ሀ = 2, ለ =1, ሐ= -2, መ= -3 አለን። ሀ > ለ፣ ሐ > መ, ግን አለመመጣጠን ac > bd(ማለት -4 > -3) አልተሳካም። ስለዚህ በንብረት አጻጻፍ 6) ቁጥሮች a, b, c አዎንታዊ እንዲሆኑ መሟላት አስፈላጊ ነው. 7) ≥ b > 0 እና c > d > 0 ከሆነ (የኢኩልነት ክፍፍል)። ማረጋገጫ። እና አለነ አስተያየት።ለ a = b = 1: c > d > 0 ከሆነ, ከዚያም የተገኘን ደንብ 7 አንድ አስፈላጊ ልዩ ጉዳይ እናስተውል. ስለዚህ ፣ የእኩልነት ቃላቶቹ አወንታዊ ከሆኑ ፣ ከዚያ ወደ ተገላቢጦቹ ሲተላለፉ የተቃራኒው ትርጉም እኩልነት እናገኛለን። አንባቢዎች ይህ ደንብ በ 7 ውስጥ እንደሚይዝ እንጋብዛለን ab > 0 እና c > d > 0 ከሆነ፣ ከዚያ (የኢኩልነት ክፍፍል)። ማረጋገጫ። ያ። ምልክቱን ተጠቅመን የተጻፉትን የእኩልነት አለመመጣጠን ባህሪያትን ከዚህ በላይ አረጋግጠናል። >
(ተጨማሪ) ሆኖም ፣ እነዚህ ሁሉ ባህሪዎች ምልክቱን በመጠቀም ሊፈጠሩ ይችላሉ። <
(ያነሰ)፣ ስለ አለመመጣጠን ለ< а
በትርጉም, እኩልነት ጋር ተመሳሳይ ነው ሀ > ለ. በተጨማሪም, በቀላሉ ለማጣራት, ከላይ የተረጋገጡት ንብረቶች ጥብቅ ላልሆኑ እኩልነት ተጠብቀዋል. ለምሳሌ፣ ንብረት 1) ጥብቅ ላልሆኑ እኩልነቶች የሚከተለው ቅጽ ይኖረዋል፡ ከሆነ ab እና bc፣ ያ ac. እርግጥ ነው, ከላይ ያለው የእኩልነት አጠቃላይ ባህሪያትን አይገድበውም. እንዲሁም ከኃይል, ገላጭ, ሎጋሪዝም እና ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ግምት ጋር የተያያዙ አጠቃላይ አጠቃላይ እኩልነቶች አሉ. የዚህ ዓይነቱን አለመመጣጠን ለመጻፍ አጠቃላይ አቀራረብ እንደሚከተለው ነው. አንዳንድ ተግባር ከሆነ y = f(x)በክፍል ላይ በብቸኝነት ይጨምራል [ሀ, ለ]ከዚያም ለ x 1 > x 2 (x 1 እና x 2 የዚህ ክፍል የሆኑበት) f አለን። (x 1) > f(x 2) በተመሳሳይ ሁኔታ, ተግባሩ ከሆነ y = f(x)በክፍለ-ጊዜው ላይ monotonically ይቀንሳል [ሀ, ለ]፣ ከዚያ መቼ x 1 > x 2 (የት x 1እና X 2 የዚህ ክፍል አባል ናቸው) አለን። ረ(x 1)< f(x 2
). እርግጥ ነው, የተነገረው ከ monotonicity ፍቺ የተለየ አይደለም, ነገር ግን ይህ ዘዴ እኩልነትን ለማስታወስ እና ለመጻፍ በጣም ምቹ ነው. ስለዚህ, ለምሳሌ, ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n ተግባሩ y = x nከጨረር ጋር በአንድነት እየጨመረ ነው። }
$a የሚለውን አገላለጽ በመጻፍ ላይ
$a>b$ እና $b>c$ ከሆኑ፣ ከዚያ $a>c$።
በግልጽ፣ $10>5$፣ እና $5>2$፣ እና በእርግጥ $10>2$። ነገር ግን ሒሳብ በጣም አጠቃላይ ለሆኑ ጉዳዮች ጥብቅ ማረጋገጫዎችን ይወዳል.
$a>b$ ከሆነ፣ $a-b$ አዎንታዊ ቁጥር ነው። $b>c$ ከሆነ፣ $b-c$ አዎንታዊ ቁጥር ነው። ሁለቱን አወንታዊ ቁጥሮች እንጨምር።
$a-b+b-c=a-c$።
የሁለት አወንታዊ ቁጥሮች ድምር አዎንታዊ ቁጥር ነው፣ነገር ግን $a-c$ እንዲሁ አወንታዊ ቁጥር ነው። ከእሱ $a>c$ ይከተላል. ንብረቱ ተረጋግጧል.
ከሥዕሉ ላይ እንደሚታየው በእኛ ሁኔታ ነጥብ $ a$ ከ $ c$ በስተቀኝ ይገኛል ይህም ማለት $a>c$ ማለት ነው.
$a>b$ ከሆነ፣ ከዚያ $a+c>b+c$።
በሌላ አነጋገር፣ ቁጥሩ $a$ ከ$b$ በላይ ከሆነ፣ በእነዚህ ቁጥሮች ላይ ምንም አይነት ቁጥር ብንጨምር (አዎንታዊም ሆነ አሉታዊ)፣ የእኩልነት ምልክቱ ተጠብቆ ይቆያል። ይህ ንብረት ለማረጋገጥ በጣም ቀላል ነው። መቀነስ ያስፈልግዎታል። የተጨመረው ተለዋዋጭ ይጠፋል እና የመጀመሪያው አለመመጣጠን ትክክል ይሆናል.
ሀ) የእኩልነት ሁለቱም ወገኖች በአዎንታዊ ቁጥር ከተባዙ የእኩልነት ምልክቱ ተጠብቆ ይቆያል።
$a>b$ እና $c>0$ ከሆነ፣ ከዚያ $ac>bc$።
ለ) የእኩልነት ሁለቱም ወገኖች በአሉታዊ ቁጥር ከተባዙ የእኩልነት ምልክቱ መቀልበስ አለበት።
$a>b$ እና $c ከሆነ $a
በሚከፋፈሉበት ጊዜ, በተመሳሳይ መንገድ መቀጠል አለብዎት (በአዎንታዊ ቁጥር ይከፋፍሉ - ምልክቱ እንዳለ ይቆያል, በአሉታዊ ቁጥር ይካፈሉ - ምልክቱ ይለወጣል).
$a>b$ እና $c>d$ ከሆኑ፣ ከዚያ $a+c>b+d$።
ከሁኔታው፡- $a-b$ አዎንታዊ ቁጥር ሲሆን $c-d$ ደግሞ አወንታዊ ቁጥር ነው።
ከዚያም $(a-b)+(c-d)$ ድምርም አዎንታዊ ቁጥር ነው።
አንዳንድ ውሎችን $(a+c)-(b+d)$ እንለዋወጥ።
የቃላቶቹን ቦታዎች መቀየር ድምርን አይለውጥም.
ይህ ማለት $(a+c)-(b+d)$ አዎንታዊ ቁጥር እና $a+c>b+d$ ነው።
ንብረቱ ተረጋግጧል.
$a፣ b፣c፣d$ አዎንታዊ ቁጥሮች እና $a>b$፣$c>d$፣ ከዚያ $ac>bd$ ከሆኑ።
ከ$a>b$ እና $c>0$ ጀምሮ፣ ንብረት 3ን በመጠቀም፣ $ac>bc$ አለን።
ከ$c>d$ እና $b>0$ ጀምሮ፣እንግዲህ፣ንብረት 3ን በመጠቀም፣$cb>bd$ አለን።
ስለዚህ፣$ac>bc$ እና $bc >bd$።
ከዚያም ንብረት 1ን በመጠቀም $ac>bd$ እናገኛለን። ጥ.ኢ.ዲ.
የቅጹ $a>b$ እና $c>d$ ($a
$a>b$ ($a>0$፣$b>0$) ከሆነ፣ ከዚያ $a^n>b^n$፣ $n$ ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ነው።
የእኩልነት ሁለቱም ወገኖች አወንታዊ ቁጥሮች ከሆኑ እና ወደ አንድ የተፈጥሮ ኃይል ከተነሱ ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት ይመጣል።
ማስታወሻ፡ $n$ ያልተለመደ ቁጥር ከሆነ፣ ለቁጥሮች $a$ እና $b$ ለማንኛውም ምልክት፣ ንብረት 6 ረክቷል።
$a>b$ ($a>0$፣$b>0$) ከሆነ፣ ከዚያ $\frac(1)(a)
ይህንን ንብረት ለማረጋገጥ, አሉታዊ ቁጥር ለማግኘት $ \ frac (1) (a)-\ frac (1) (b) $ መቀነስ አስፈላጊ ነው.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$።
ከዚያ $\frac ((a-b))(ab)$ አሉታዊ ቁጥር ነው። ንብረቱ ተረጋግጧል.
$a> 0$ ከሆነ የሚከተለው አለመመጣጠን ይይዛል፡$a+\frac(1)(a)≥2$።
ልዩነቱን እናስብ።
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው።
ንብረቱ ተረጋግጧል.
$a$ እና $b$ አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ከሆኑ፣ ኢ-እኩልነቱ የሚይዘው፡$\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$ ነው።
ልዩነቱን እንመልከት፡-
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b) ))^2)(2)$ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው።
ንብረቱ ተረጋግጧል.አለመመጣጠን የመፍታት ምሳሌዎች
ምሳሌ 1.
እንደሚታወቀው $-1.5
ለ) $-2b$
ሐ) $a+b$
መ) $a-b$
ሠ) $b^2$
ሠ) $a^3$
ሰ) $\frac(1)(ለ)$
ሀ) ንብረትን እንጠቀም 3. በአዎንታዊ ቁጥር ማባዛት, ይህም ማለት የእኩልነት ምልክት አይለወጥም.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$።
$-10.3
ሐ) ተመሳሳይ ትርጉም ያላቸውን እኩልነት በማከል, ተመሳሳይ ትርጉም ያለው እኩልነት እናገኛለን.
$-1.5+3.1
አሁን የመደመር ክዋኔውን እናከናውን.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10) (53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
ቁጥሮቹን አወዳድር፡-
ሀ) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ እና $2+\sqrt(8)$።
ለ) $π+\sqrt(8)$ እና $4+\sqrt(10)$።
ሀ) እያንዳንዱን ቁጥር እናሳጥር።
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$።
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$።
በእነዚህ ካሬዎች ካሬዎች መካከል ያለውን ልዩነት እናሰላለን.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$
በግልጽ፣ አዎንታዊ ቁጥር አግኝተናል፣ ይህም ማለት፡-
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$።
ሁለቱም ቁጥሮች አዎንታዊ ስለሆኑ፡-
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$።በተናጥል ለመፍታት ችግሮች
1. ዶላር -2.2 መሆኑ ይታወቃል
ሀ) 4 ዶላር
ለ) $ -3 ቢ.
ሐ) $a+b$
መ) $a-b$
ሠ) $b^4$
ሠ) $a^3$
ሰ) $\frac(1)(ለ)$
2. ቁጥሮቹን አወዳድር፡-
ሀ) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ እና $3+\sqrt(7)$።
ለ) $π+\sqrt(5)$ እና $2+\sqrt(3)$።
መዝገብ ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።, በትርጉም, ወይም ማለት ነው ሀ > ለ, ወይም ሀ = ለ. መዝገቡን ካጤንን። ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።እንደ ያልተወሰነ መግለጫ, ከዚያም በሂሳብ ሎጂክ ማስታወሻ ውስጥ መጻፍ እንችላለን
ሀcb. በትርጉም, መዝገብ
ሁለቱም አለመመጣጠኖች ይዘዋል ማለት ነው-
ሀ + ሐ > ለ + ሐ
(ሀ + ሐ) - (ለ + ሐ)አዎንታዊ። ይህ ልዩነት እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (ሐ - መ).
በቁጥር ሁኔታ መሰረት ሀ - ለእና ሐ - መአዎንታዊ ናቸው, እንግዲህ (a + c) - (ለ + መ)አዎንታዊ ቁጥርም አለ.
በቀኝ በኩል ያለው ክፍልፋይ ቁጥር አወንታዊ ነው (ንብረቶቹ 5 ይመልከቱ)፣ 6)፣ መለያው እንዲሁ አዎንታዊ ነው። ስለዚህ,. ይህ ንብረትን ያረጋግጣል 7).