በመስመር ላይ ከሎጋሪዝም ጋር መግለጫዎችን ማቃለል። ችግር B7 - ሎጋሪዝም እና ገላጭ መግለጫዎችን መለወጥ

ሎጋሪዝምን ማጥናት እንቀጥላለን. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንነጋገራለን ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ, ይህ ሂደት ይባላል ሎጋሪዝም. በመጀመሪያ የሎጋሪዝምን ስሌት በፍቺ እንረዳለን። በመቀጠል ፣ የሎጋሪዝም እሴቶች ንብረቶቻቸውን በመጠቀም እንዴት እንደሚገኙ እንመልከት ። ከዚህ በኋላ ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ እናተኩራለን በመጀመሪያ በተገለጹት የሌሎች ሎጋሪዝም እሴቶች። በመጨረሻም የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን እንዴት መጠቀም እንዳለብን እንማር። አጠቃላይ ንድፈ ሃሳቡ በዝርዝር መፍትሄዎች ምሳሌዎች ቀርቧል።

የገጽ አሰሳ።

ሎጋሪዝምን በትርጓሜ ማስላት

በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች በፍጥነት እና በቀላሉ ማከናወን ይቻላል ሎጋሪዝምን በፍቺ መፈለግ. ይህ ሂደት እንዴት እንደሚከሰት ጠለቅ ብለን እንመርምር።

ዋናው ነገር በ ሐ ቅጽ ውስጥ ለ ቁጥርን መወከል ነው, ከእሱ, በሎጋሪዝም ፍቺ, ቁጥሩ ሐ የሎጋሪዝም ዋጋ ነው. ማለትም፣ በትርጓሜ፣ የሚከተለው የእኩልነት ሰንሰለት ሎጋሪዝምን ከመፈለግ ጋር ይዛመዳል፡ log a b=log a a c =c።

ስለዚህ ሎጋሪዝምን በትርጉም ማስላት ቁጥሩ c = b ለማግኘት ይወርዳል እና ቁጥሩ ሐ ራሱ የሚፈለገው የሎጋሪዝም እሴት ነው።

በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ ያለውን መረጃ ግምት ውስጥ በማስገባት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር በሎጋሪዝም መሠረት የተወሰነ ኃይል ሲሰጥ ወዲያውኑ ሎጋሪዝም ምን እንደሚመስል ሊያመለክቱ ይችላሉ - ከጠቋሚው ጋር እኩል ነው. ምሳሌዎችን መፍትሄዎችን እናሳይ።

ለምሳሌ.

ምዝግብ ማስታወሻ 2 2 -3 ን ይፈልጉ እና እንዲሁም የቁጥር e 5,3 የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ያሰሉ.

መፍትሄ።

የሎጋሪዝም ትርጉም ወዲያውኑ ሎግ 2 2 -3 = -3 እንድንል ያስችለናል። በእርግጥ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ 2 እስከ -3 ኃይል ጋር እኩል ነው.

በተመሳሳይ, ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እናገኛለን: lne 5.3 = 5.3.

መልስ፡-

መዝገብ 2 2 -3 = -3 እና lne 5,3 =5,3.

በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር b እንደ ሎጋሪዝም መሠረት ኃይል ካልተገለጸ በሐ ቅጽ ላይ የቁጥር b ውክልና ማምጣት ይቻል እንደሆነ በጥንቃቄ መመልከት ያስፈልግዎታል። ብዙውን ጊዜ ይህ ውክልና በጣም ግልጽ ነው, በተለይም በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ ጋር እኩል ሲሆን ለ 1, ወይም 2, ወይም 3, ... ኃይል.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ሎጋሪዝምን አስላ 5 25 , እና .

መፍትሄ።

ለማየት ቀላል ነው 25=5 2, ይህ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም ለማስላት ያስችልዎታል: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ሁለተኛውን ሎጋሪዝም ወደ ማስላት እንሂድ። ቁጥሩ እንደ 7 ኃይል ሊወከል ይችላል፡- (አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ). ስለዚህም እ.ኤ.አ. .

ሦስተኛውን ሎጋሪዝም በሚከተለው ቅጽ እንደገና እንጽፈው። አሁን ያንን ማየት ይችላሉ ብለን መደምደም እንችላለን . ስለዚህ, በሎጋሪዝም ፍቺ .

በአጭሩ, መፍትሄው እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

መልስ፡-

መዝገብ 5 25=2 እና .

በሎጋሪዝም ምልክት ስር በበቂ ሁኔታ ትልቅ የተፈጥሮ ቁጥር ሲኖር፣ ወደ ዋና ዋና ነገሮች ማድረጉ አይጎዳም። ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱን ቁጥር እንደ የሎጋሪዝም መሠረት አንዳንድ ኃይል ለመወከል ይረዳል, እና ስለዚህ ይህንን ሎጋሪዝም በፍቺ ያሰሉ.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ዋጋን ያግኙ.

መፍትሄ።

አንዳንድ የሎጋሪዝም ባህሪያት የሎጋሪዝም ዋጋን ወዲያውኑ እንዲገልጹ ያስችሉዎታል. እነዚህ ንብረቶች የአንድ ሎጋሪዝም ንብረት እና ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ የቁጥር ሎጋሪዝም ንብረት ያካትታሉ፡ ሎግ 1 1=log a a 0 =0 እና log a=log a a 1 =1። ያም ማለት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ቁጥር 1 ወይም ከሎጋሪዝም መሠረት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ሲኖር በእነዚህ ጉዳዮች ላይ ሎጋሪዝም ከ 0 እና 1 ጋር እኩል ነው.

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝም እና ሎግ10 ከምን ጋር እኩል ናቸው?

መፍትሄ።

ጀምሮ , ከዚያም ከ ሎጋሪዝም ትርጉም ውስጥ ይከተላል .

በሁለተኛው ምሳሌ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር 10 ከመሠረቱ ጋር ይጣጣማል, ስለዚህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከአንድ ጋር እኩል ነው, ማለትም lg10=lg10 1 = 1.

መልስ፡-

እና lg10=1 .

የሎጋሪዝም ስሌት በትርጉም (ባለፈው አንቀጽ ላይ የተመለከትነው) የእኩልነት ሎግ አ a p =p አጠቃቀምን እንደሚያመለክት ልብ ይበሉ ይህም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ነው።

በተግባር ፣ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለ ቁጥር እና የሎጋሪዝም መሠረት እንደ አንድ የተወሰነ ቁጥር ኃይል በቀላሉ ሲወከሉ ፣ ቀመሩን ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው። , ይህም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ጋር ይዛመዳል. የዚህን ቀመር አጠቃቀም የሚያሳይ ሎጋሪዝም የማግኘት ምሳሌን እንመልከት።

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝምን አስሉ.

መፍትሄ።

መልስ፡-

.

ከላይ ያልተጠቀሱ የሎጋሪዝም ባህሪያት በስሌቶች ውስጥም ጥቅም ላይ ይውላሉ, ግን ስለዚህ ጉዳይ በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ እንነጋገራለን.

በሌሎች የታወቁ ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም ማግኘት

በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያለው መረጃ ሲሰላ የሎጋሪዝም ባህሪያትን የመጠቀም ርዕስ ይቀጥላል. ነገር ግን እዚህ ላይ ዋናው ልዩነት የሎጋሪዝም ባህሪያት ዋናውን ሎጋሪዝምን በሌላ ሎጋሪዝም ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላሉ, ዋጋው ይታወቃል. ለማብራራት አንድ ምሳሌ እንስጥ። ያንን ሎግ 2 3≈1.584963 አውቀናል እንበል፡ ከዚያም ለምሳሌ ሎግ 2 6 የሎጋሪዝምን ባህሪያት በመጠቀም ትንሽ ለውጥ በማድረግ ማግኘት እንችላለን፡- log 2 6=መዝገብ 2 (2 3)=መዝገብ 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ከላይ ባለው ምሳሌ, የምርት ሎጋሪዝም ንብረትን ለመጠቀም በቂ ነበር. ይሁን እንጂ ብዙውን ጊዜ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም በተሰጡት በኩል ለማስላት የሎጋሪዝም ንብረቶች ሰፋ ያለ የጦር መሣሪያ መጠቀም አስፈላጊ ነው.

ለምሳሌ.

ያንን መዝገብ 60 2=a እና log 60 5=b ካወቁ ከ27 እስከ 60 ያለውን ሎጋሪዝም አስሉት።

መፍትሄ።

ስለዚህ ሎግ 60 27 ማግኘት አለብን። 27 = 3 3 እና ዋናው ሎጋሪዝም በስልጣን ሎጋሪዝም ንብረት ምክንያት 3· ሎግ 60 3 ተብሎ ሊጻፍ እንደሚችል በቀላሉ ማየት ይቻላል።

አሁን ሎጋሪዝም 60 3 ን እንዴት መግለፅ እንደሚቻል እንይ ። ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ያለው የሎጋሪዝም ንብረት የእኩልነት መዝገብ 60 60=1 እንድንጽፍ ያስችለናል። በሌላ በኩል ሎግ 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·ሎግ 60 2+log 60 3+log 60 5 . ስለዚህም 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. ስለዚህም እ.ኤ.አ. መዝገብ 60 3=1−2·ሎግ 60 2-ሎግ 60 5=1−2·a-b.

በመጨረሻም ዋናውን ሎጋሪዝም እናሰላለን፡ log 60 27=3 log 60 3= 3· (1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

መልስ፡-

መዝገብ 60 27=3·(1−2·a-b)=3−6·a-3·b.

በተናጥል ፣ ወደ የቅጹ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር የቀመርውን ትርጉም መጥቀስ ተገቢ ነው ። . ከሎጋሪዝም ከየትኛውም መሠረት ወደ ሎጋሪዝም በተወሰነ መሠረት እንዲንቀሳቀሱ ይፈቅድልዎታል ፣ እሴቶቹ የሚታወቁት ወይም እነሱን ለማግኘት የሚቻል ነው። ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው ሎጋሪዝም የሽግግር ቀመሩን በመጠቀም ወደ ሎጋሪዝም ይንቀሳቀሳሉ ከመሠረቱ 2 ፣ e ወይም 10 በአንዱ ውስጥ ፣ ምክንያቱም ለእነዚህ መሰረቶች እሴቶቻቸውን በተወሰነ ደረጃ ለማስላት የሚያስችል የሎጋሪዝም ሰንጠረዦች አሉ ። ትክክለኛነት. በሚቀጥለው አንቀጽ ይህ እንዴት እንደሚደረግ እናሳያለን.

የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች እና አጠቃቀማቸው

ለ ሎጋሪዝም ዋጋዎች ግምታዊ ስሌት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች. በብዛት ጥቅም ላይ የዋለው ቤዝ 2 ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጠረጴዛ እና የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ። በአስርዮሽ ቁጥር ስርዓት ውስጥ ሲሰሩ, በመሠረት አሥር ላይ የተመሰረተ የሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ለመጠቀም ምቹ ነው. በእሱ እርዳታ የሎጋሪዝም እሴቶችን ለማግኘት እንማራለን.

የቀረበው ሰንጠረዥ ከ 1,000 እስከ 9,999 (ከሶስት አስርዮሽ ቦታዎች ጋር) የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ከአንድ አስር ሺህ ትክክለኛነት እንዲያገኙ ያስችልዎታል። አንድ የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የሎጋሪዝምን ዋጋ የማግኘት መርህን እንመረምራለን - በዚህ መንገድ የበለጠ ግልፅ ነው። ሎግ1.256 እንፈልግ።

በአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ግራ አምድ ውስጥ የቁጥር 1.256 የመጀመሪያዎቹን ሁለት አሃዞች እናገኛለን ፣ ማለትም ፣ 1.2 እናገኛለን (ይህ ቁጥር ግልፅ ለማድረግ በሰማያዊ የተከበበ ነው)። የቁጥር 1.256 (አሃዝ 5) ሶስተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተግራ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በቀይ የተከበበ ነው)። የዋናው ቁጥር 1.256 (አሃዝ 6) አራተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተቀኝ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በአረንጓዴ መስመር የተከበበ ነው)። አሁን በሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ሴሎች ውስጥ ያሉትን ቁጥሮች ምልክት በተደረገበት ረድፍ እና ምልክት የተደረገባቸው ዓምዶች መገናኛ ላይ እናገኛለን (እነዚህ ቁጥሮች በብርቱካናማ ውስጥ ይደምቃሉ). ምልክት የተደረገባቸው ቁጥሮች ድምር የሚፈለገውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴት ወደ አራተኛው የአስርዮሽ ቦታ በትክክል ይሰጣል፣ ማለትም፣ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ከላይ ያለውን ሰንጠረዥ በመጠቀም ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ከሶስት አሃዞች በላይ ያላቸውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ቁጥሮች እንዲሁም ከ 1 እስከ 9.999 ካለው ክልል በላይ የሆኑትን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ማግኘት ይቻላል? አዎ፣ ትችላለህ። ይህ እንዴት እንደሚደረግ በምሳሌ እናሳይ።

lg102.76332 እናሰላ። በመጀመሪያ መጻፍ ያስፈልግዎታል ቁጥር በመደበኛ ቅፅ: 102.76332=1.0276332·10 2. ከዚህ በኋላ ማንቲሳ ወደ ሶስተኛው የአስርዮሽ ቦታ መዞር አለበት, እኛ አለን 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, የመጀመሪያው የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ከተገኘው ቁጥር ሎጋሪዝም ጋር በግምት እኩል ነው, ማለትም, log102.76332≈lg1.028·10 2 እንወስዳለን. አሁን የሎጋሪዝምን ባህሪያት እንተገብራለን- lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. በመጨረሻም የሎጋሪዝም lg1.028 እሴት ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ሰንጠረዥ ላይ እናገኛለን። በውጤቱም ፣ ሎጋሪዝምን የማስላት አጠቃላይ ሂደት ይህንን ይመስላል። log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 = log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ለማጠቃለል ያህል የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የማንኛውም ሎጋሪዝም ግምታዊ ዋጋ ማስላት እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል። ይህንን ለማድረግ ወደ አስርዮሽ ሎጋሪዝም ለመሄድ የሽግግር ቀመሩን መጠቀም በቂ ነው, እሴቶቻቸውን በሰንጠረዡ ውስጥ ይፈልጉ እና የተቀሩትን ስሌቶች ለማከናወን.

ለምሳሌ, ሎግ 2 3 እንሰላለን. ወደ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር በቀመርው መሠረት እኛ አለን . ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ሎግ3≈0.4771 እና log2≈0.3010 እናገኛለን። ስለዚህም .

መጽሃፍ ቅዱስ።

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. እና ሌሎችም አልጀብራ እና የትንተና አጀማመር፡ የአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ከ10-11ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሀፍ።
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ)።

ዛሬ እንነጋገራለን ሎጋሪዝም ቀመሮችእና አመላካች እንሰጣለን የመፍትሄ ምሳሌዎች.

እነሱ ራሳቸው እንደ ሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት የመፍትሄ ንድፎችን ያመለክታሉ. ለመፍታት የሎጋሪዝም ቀመሮችን ከመተግበሩ በፊት፣ ሁሉንም ንብረቶች እናስታውስዎ፡-

አሁን, በእነዚህ ቀመሮች (ንብረቶች) ላይ በመመስረት, እናሳያለን ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች.

በቀመር ላይ ተመስርተው ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች።

ሎጋሪዝምአወንታዊ ቁጥር ለ መሠረት ሀ (በሎግ ሀ ለ የተገለፀው) b > 0፣ a > 0 እና 1 ያለው ለ ለማግኘት መነሳት ያለበት አርቢ ነው።

በትርጉሙ መሰረት, መዝገብ a b = x, እሱም ከ x = b ጋር እኩል ነው, ስለዚህ a x = x ይመዝገቡ.

ሎጋሪዝምምሳሌዎች፡-

log 2 8 = 3, ምክንያቱም 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ምክንያቱም 7 2 = 49

መዝገብ 5 1/5 = -1, ምክንያቱም 5 -1 = 1/5

የአስርዮሽ ሎጋሪዝም- ይህ ተራ ሎጋሪዝም ነው, መሰረቱ 10. እንደ lg ይገለጻል.

መዝገብ 10 100 = 2, ምክንያቱም 10 2 = 100

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም- እንዲሁም ተራ ሎጋሪዝም, ሎጋሪዝም, ነገር ግን ከመሠረቱ ጋር e (e = 2.71828 ... - ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር). እንደ ln.

የሎጋሪዝም ቀመሮችን ወይም ባህሪያትን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, ምክንያቱም ሎጋሪዝም, ሎጋሪዝም እኩልታዎችን እና እኩልነትን በሚፈታበት ጊዜ በኋላ ያስፈልገናል. እያንዳንዱን ቀመር እንደገና በምሳሌዎች እንስራ።

• መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት
  ሎግ a b = b

  8 2ሎግ 8 3 = (8 2ሎግ 8 3) 2 = 3 2 = 9

• የምርቱ ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ድምር ጋር እኩል ነው።
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = መዝገብ 3 81 = 4

• የክዋኔው ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ልዩነት ጋር እኩል ነው
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 ሎግ 5 50/9 ሎግ 5 2 = 9 መዝገብ 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• የሎጋሪዝም ቁጥር ኃይል እና የሎጋሪዝም መሠረት ባህሪዎች

  የሎጋሪዝም ቁጥር ሎጋሪዝም a b m = mlog a b

  የሎጋሪዝም ሎግ መሠረት ገላጭ a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n * log a b፣

  m = n ከሆነ, log a n b n = log a b እናገኛለን

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር
  log a b = log c b/log c a,

  c = b ከሆነ ሎግ b b = 1 እናገኛለን

  ከዚያም መዝገብ a b = 1/log b a

  ሎግ 0.8 3 * መዝገብ 3 1.25 = ሎግ 0.8 3 * ሎግ 0.8 1.25 / ሎግ 0.8 3 = ሎግ 0.8 1.25 = መዝገብ 4/5 5/4 = -1

እንደሚመለከቱት, የሎጋሪዝም ቀመሮች የሚመስሉትን ያህል ውስብስብ አይደሉም. አሁን፣ ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎችን ከተመለከትን፣ ወደ ሎጋሪዝም እኩልታዎች መሄድ እንችላለን። በአንቀጹ ውስጥ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን በበለጠ ዝርዝር እንመለከታለን ። እንዳያመልጥዎ!

አሁንም ስለ መፍትሄው ጥያቄዎች ካሉዎት, በአንቀጹ ላይ በአስተያየቶች ውስጥ ይፃፉ.

ማሳሰቢያ፡ የተለየ የትምህርት ክፍል ወስደን እንደ አማራጭ ወደ ውጭ አገር ለመማር ወስነናል።

የጥንታዊ ደረጃ አልጀብራ ንጥረ ነገሮች አንዱ ሎጋሪዝም ነው። ስሙ ከግሪክ ቋንቋ የመጣው "ቁጥር" ወይም "ኃይል" ከሚለው ቃል ሲሆን የመጨረሻውን ቁጥር ለማግኘት በመሠረቱ ውስጥ ያለው ቁጥር መነሳት ያለበት ኃይል ማለት ነው.

የሎጋሪዝም ዓይነቶች

• log a b - የቁጥር ለ ሎጋሪዝም ወደ መሠረት a (a > 0, a ≠ 1, b> 0);
• log b - የአስርዮሽ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም እስከ መሠረት 10, a = 10);
• ln b - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም ወደ ቤዝ e, a = e).

ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚፈታ?

የ b to base a ሎጋሪዝም ለ መሠረት ሀ ከፍ እንዲል የሚፈልግ ገላጭ ነው። የተገኘው ውጤት እንደሚከተለው ይገለጻል፡ “logarithm of b to base a”። ለሎጋሪዝም ችግሮች መፍትሄው የተሰጠውን ኃይል ከተጠቀሱት ቁጥሮች ውስጥ በቁጥር መወሰን ያስፈልግዎታል. ሎጋሪዝምን ለመወሰን ወይም ለመፍታት አንዳንድ መሰረታዊ ህጎች አሉ, እንዲሁም ማስታወሻውን እራሱ ይቀይሩ. እነሱን በመጠቀም, የሎጋሪዝም እኩልታዎች ተፈትተዋል, ተዋጽኦዎች ተገኝተዋል, ውህደቶች ተፈትተዋል እና ሌሎች ብዙ ስራዎች ይከናወናሉ. በመሠረቱ, ለሎጋሪዝም እራሱ መፍትሄው ቀለል ያለ ማስታወሻ ነው. ከታች ያሉት መሰረታዊ ቀመሮች እና ባህሪያት ናቸው:

ለማንኛውም a; ሀ > 0; a ≠ 1 እና ለማንኛውም x; y > 0.

• log a b = b - መሰረታዊ የሎጋሪዝም መለያ
• መዝገብ a 1 = 0
• ሎጋ a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x ፣ ለ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a - ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ቀመር
• log a x = 1/ log x a

ሎጋሪዝምን እንዴት እንደሚፈታ - ​​ለመፍታት የደረጃ በደረጃ መመሪያዎች

• በመጀመሪያ, አስፈላጊውን እኩልታ ይፃፉ.

እባክዎን ያስተውሉ-መሰረታዊ ሎጋሪዝም 10 ከሆነ ፣ ከዚያ መግቢያው አጭር ነው ፣ ይህም የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ያስከትላል። ተፈጥሯዊ ቁጥር e ካለ, ከዚያም ወደ ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም በመቀነስ እንጽፋለን. ይህ ማለት የሁሉም ሎጋሪዝም ውጤት ቁጥሩን ለማግኘት የመሠረት ቁጥሩ የሚነሳበት ኃይል ነው ለ.

በቀጥታ, መፍትሄው ይህንን ዲግሪ በማስላት ላይ ነው. አንድን አገላለጽ በሎጋሪዝም ከመፍታቱ በፊት፣ እንደ ደንቡ፣ ማለትም ቀመሮችን በመጠቀም ማቅለል አለበት። በአንቀጹ ውስጥ ትንሽ ወደ ኋላ በመመለስ ዋና ዋና ማንነቶችን ማግኘት ይችላሉ።

ሎጋሪዝምን ሲጨምሩ እና ሲቀነሱ በሁለት የተለያዩ ቁጥሮች ግን ተመሳሳይ መሠረት ባለው አንድ ሎጋሪዝም በቁጥር ለ እና ሐ ምርቶች ወይም ክፍፍል በቅደም ተከተል ይተኩ። በዚህ ሁኔታ, ወደ ሌላ መሠረት ለመዘዋወር ቀመርን ማመልከት ይችላሉ (ከላይ ይመልከቱ).

ሎጋሪዝምን ለማቃለል አገላለጾችን ከተጠቀሙ፣ ሊታሰብባቸው የሚገቡ አንዳንድ ገደቦች አሉ። እና ይሄ ነው: የሎጋሪዝም መሠረት አወንታዊ ቁጥር ብቻ ነው, ግን ከአንድ ጋር እኩል አይደለም. ቁጥሩ ለ፣ እንደ ሀ፣ ከዜሮ በላይ መሆን አለበት።

አገላለፅን በማቃለል ሎጋሪዝምን በቁጥር ማስላት የማይችሉባቸው አጋጣሚዎች አሉ። እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ ትርጉም አይሰጥም, ምክንያቱም ብዙ ኃይሎች ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው. በዚህ ሁኔታ, የቁጥሩን ኃይል እንደ ሎጋሪዝም ይተዉት.

መመሪያዎች

የተሰጠውን ሎጋሪዝም አገላለጽ ይፃፉ። አገላለጹ የ 10 ሎጋሪዝምን ከተጠቀመ ፣እሱ ማስታወሻው አጭር ነው እና ይህንን ይመስላል lg b የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ነው። ሎጋሪዝም ቁጥር e እንደ መሠረት ከሆነ, ከዚያም አገላለጹን ይጻፉ: ln b - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም. የማንኛውንም ውጤት ቁጥሩን ለማግኘት የመሠረት ቁጥሩ መነሳት ያለበት ኃይል እንደሆነ ተረድቷል.

የሁለት ተግባራትን ድምር ሲያገኙ በቀላሉ አንድ በአንድ መለየት እና ውጤቱን መጨመር ያስፈልግዎታል: (u+v)" = u"+v";

የሁለት ተግባራት ምርት ተዋጽኦን ሲያገኝ የመጀመርያውን ተግባር ተዋጽኦን በሰከንድ ማባዛት እና የሁለተኛውን ተግባር ተባዝቶ በመጀመሪያው ተግባር መጨመር ያስፈልጋል፡ (u*v)" = u"* v +v"* u;

የሁለት ተግባራትን የዋጋ ንፅፅርን ለማግኘት ፣በአከፋፋይ ተባዝቶ ከሚገኘው የትርፍ ክፍፍል ምርት መቀነስ እና ማካፈል ያስፈልጋል። ይህ ሁሉ በአከፋፋዩ ተግባር ስኩዌር. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ውስብስብ ተግባር ከተሰጠ, ከዚያም የውስጣዊውን ተግባር እና የውጫዊውን አመጣጥ ማባዛት አስፈላጊ ነው. Let y=u(v(x))፣ከዚያ y"(x)=y"(u)*v"(x)።

ከላይ የተገኙትን ውጤቶች በመጠቀም, ማንኛውንም ተግባር ማለት ይቻላል መለየት ይችላሉ. ስለዚህ ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)፣ y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) * x));
ተዋጽኦውን በአንድ ነጥብ ማስላትን የሚያካትቱ ችግሮችም አሉ። ተግባሩ y=e^(x^2+6x+5) ይሰጥ፣ የተግባሩን ዋጋ በ x=1 ነጥብ ማግኘት አለቦት።
1) የተግባሩን መነሻ ያግኙ፡ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)።

2) የተግባሩን ዋጋ በተሰጠው ነጥብ አስላ y"(1)=8*e^0=8

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ጠቃሚ ምክር

የአንደኛ ደረጃ ተዋጽኦዎችን ሰንጠረዥ ይማሩ። ይህ ጊዜን በከፍተኛ ሁኔታ ይቆጥባል.

ምንጮች፡-

• የቋሚ የመነጨ

ስለዚህ፣ ምክንያታዊ ባልሆነ እኩልታ እና ምክንያታዊ በሆነ ስሌት መካከል ያለው ልዩነት ምንድነው? የማይታወቅ ተለዋዋጭ በካሬ ስር ምልክት ስር ከሆነ, እኩልታው ምክንያታዊ እንዳልሆነ ይቆጠራል.

መመሪያዎች

እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች ለመፍታት ዋናው ዘዴ ሁለቱንም ጎኖች የመገንባት ዘዴ ነው እኩልታዎችወደ ካሬ. ቢሆንም. ይህ ተፈጥሯዊ ነው, መጀመሪያ ማድረግ ያለብዎት ምልክቱን ማስወገድ ነው. ይህ ዘዴ ቴክኒካዊ አስቸጋሪ አይደለም, ነገር ግን አንዳንድ ጊዜ ወደ ችግር ሊመራ ይችላል. ለምሳሌ፣ እኩልታው v(2x-5)=v(4x-7) ነው። ሁለቱንም ጎን በማንጠፍጠፍ 2x-5=4x-7 ያገኛሉ። እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ መፍታት አስቸጋሪ አይደለም; x=1 ግን ቁጥር 1 አይሰጥም እኩልታዎች. ለምን? ከ x እሴት ይልቅ አንዱን ወደ እኩልታ ይቀይሩት እና የቀኝ እና የግራ ጎኖች ትርጉም የማይሰጡ አገላለጾችን ይዘዋል፣ ማለትም። ይህ ዋጋ ለካሬ ሥር የሚሰራ አይደለም። ስለዚህ, 1 ውጫዊ ሥር ነው, እና ስለዚህ ይህ እኩልነት ሥሮች የሉትም.

ስለዚህ, ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖቹን በማንጠፍጠፍ ዘዴን በመጠቀም ይፈታል. እና እኩልታውን ከፈታ በኋላ, ውጫዊ ሥሮችን መቁረጥ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ, የተገኙትን ሥሮች ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይተኩ.

ሌላውን ተመልከት።
2х+vх-3=0
እርግጥ ነው, ይህ እኩልታ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ በሆነ እኩልታ በመጠቀም ሊፈታ ይችላል. ውህዶችን አንቀሳቅስ እኩልታዎች, የካሬ ሥር የሌላቸው, ወደ ቀኝ በኩል እና ከዚያም የስኩዌር ዘዴን ይጠቀሙ. የተገኘውን ምክንያታዊ እኩልታ እና ስሮች መፍታት. ግን ደግሞ ሌላ ፣ የበለጠ የሚያምር። አዲስ ተለዋዋጭ አስገባ; vх=y በዚህ መሠረት የቅጹ 2y2+y-3=0 እኩልታ ይደርስዎታል። ማለትም ተራ ኳድራቲክ እኩልታ። ሥሮቹን ያግኙ; y1=1 እና y2=-3/2። በመቀጠል ሁለቱን ይፍቱ እኩልታዎች vх=1; vх=-3/2 ሁለተኛው እኩልታ ሥር የለውም፡ ከመጀመሪያው ጀምሮ x=1 እናገኛለን። ሥሮቹን ማረጋገጥ አይርሱ.

ማንነትን መፍታት በጣም ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ የተቀመጠው ግብ እስኪሳካ ድረስ ተመሳሳይ ለውጦችን ማድረግ አስፈላጊ ነው. ስለዚህ, በቀላል የሂሳብ ስራዎች እገዛ, የተፈጠረው ችግር መፍትሄ ያገኛል.

ያስፈልግዎታል

• - ወረቀት;
• - ብዕር.

መመሪያዎች

ከእንደዚህ አይነት ለውጦች ውስጥ በጣም ቀላሉ የአልጀብራ አህጽሮተ ማባዛት (እንደ ድምር ካሬ (ልዩነት) ፣ የካሬዎች ልዩነት ፣ ድምር (ልዩነት) ፣ ድምር ኩብ (ልዩነት)) ናቸው። በተጨማሪም, ብዙ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች አሉ, እነሱም በመሠረቱ ተመሳሳይ መለያዎች ናቸው.

በእርግጥ፣ የሁለት ቃላት ድምር ካሬ ከመጀመሪያው ፕላስ ካሬ ጋር እኩል ነው። ለ)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2።

ሁለቱንም ቀለል ያድርጉት

የመፍትሄው አጠቃላይ መርሆዎች

በሂሳብ ትንታኔ ላይ ካለው የመማሪያ መጽሀፍ ይድገሙት ወይም ከፍ ያለ የሒሳብ ትምህርት የተወሰነ ውህደት ምን እንደሆነ ይድገሙት። እንደሚታወቀው ለአንድ የተወሰነ ውህደት መፍትሄው ውህደቱን የሚሰጥበት ተግባር ነው። ይህ ተግባር አንቲዴሪቭቲቭ ይባላል። በዚህ መርህ ላይ በመመርኮዝ ዋና ዋና አካላት የተገነቡ ናቸው.
በዚህ ጉዳይ ላይ የትኛው የሠንጠረዡ ውህደቶች ተስማሚ እንደሆነ በተዋሃዱ ዓይነት ይወስኑ። ይህንን ወዲያውኑ ለመወሰን ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ፣ ውህደቱን ለማቃለል ከበርካታ ለውጦች በኋላ የሰንጠረዡ ቅርፅ የሚታይ ይሆናል።

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ

ውህደቱ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ከሆነ ክርክሩ ብዙ ቁጥር ያለው ከሆነ፣ ከዚያ የተለዋዋጮችን ለውጥ ዘዴ ለመጠቀም ይሞክሩ። ይህንን ለማድረግ በተዋሃዱ ክርክር ውስጥ ያለውን ፖሊኖሚል በአንዳንድ አዲስ ተለዋዋጭ ይተኩ። በአዲሱ እና በአሮጌው ተለዋዋጮች መካከል ባለው ግንኙነት ላይ በመመስረት አዲሱን የውህደት ገደቦችን ይወስኑ። ይህንን አገላለጽ በመለየት አዲሱን ልዩነት በ ውስጥ ያግኙ። ስለዚህ፣ የቀድሞ ውህድ፣ ቅርብ ወይም ከአንዳንድ ሠንጠረዥ ጋር የሚዛመድ አዲስ ቅጽ ያገኛሉ።

የሁለተኛው ዓይነት ውህዶችን መፍታት

ውህደቱ የሁለተኛው ዓይነት አካል ከሆነ፣ የመዋሃዱ የቬክተር ቅርጽ ከሆነ፣ ከእነዚህ ውህዶች ወደ scalar ለመሸጋገር ደንቦቹን መጠቀም ያስፈልግዎታል። ከእንደዚህ አይነት ህግ አንዱ የኦስትሮግራድስኪ-ጋውስ ግንኙነት ነው. ይህ ህግ የአንድ የተወሰነ የቬክተር ተግባር ከ rotor flux ወደ ሶስቴ ኢንተግራል እንድንሸጋገር ያስችለናል በተሰጠው የቬክተር መስክ ልዩነት ላይ።

የውህደት ገደቦችን መተካት

ፀረ-ተውጣጣውን ካገኘ በኋላ, የመዋሃድ ገደቦችን መተካት አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያ ፣ የላይኛውን ወሰን ለፀረ-ተውጣጣው መግለጫው ይተኩ። የተወሰነ ቁጥር ያገኛሉ. በመቀጠል ከተገኘው ቁጥር ከዝቅተኛው ገደብ የተገኘውን ሌላ ቁጥር ወደ ፀረ-ተውጣጣው ይቀንሱ. የመዋሃድ ወሰኖች አንዱ ማለቂያ የሌለው ከሆነ, ወደ ፀረ-ተውጣጣ ተግባር ሲተካ, ወደ ገደቡ መሄድ እና አገላለጹ ምን እንደሚፈልግ መፈለግ አስፈላጊ ነው.
ውህደቱ ሁለት-ልኬት ወይም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ከሆነ፣ ውህደቱን እንዴት መገምገም እንዳለቦት ለመረዳት የውህደቱን ወሰን በጂኦሜትሪ መወከል ይኖርብዎታል። በእርግጥ ፣ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ውህደት ፣ የውህደት ገደቦች አጠቃላይ ድምጹን የሚገድቡ አውሮፕላኖች ሊሆኑ ይችላሉ ።

በዚህ ቪዲዮ ስለ ሎጋሪዝም እኩልታዎች ረጅም ተከታታይ ትምህርቶችን እጀምራለሁ. አሁን ከፊት ለፊትህ ሦስት ምሳሌዎች አሉህ, በዚህ መሠረት በጣም ቀላል የሆኑትን ችግሮች ለመፍታት እንማራለን, እነሱም - - ፕሮቶዞአ.

ሎግ 0.5 (3x - 1) = -3

መዝገብ (x + 3) = 3 + 2 መዝገብ 5

በጣም ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ የሚከተለው መሆኑን ላስታውስህ።

log a f (x) = b

በዚህ ሁኔታ, ተለዋዋጭ x በክርክሩ ውስጥ ብቻ መገኘቱ አስፈላጊ ነው, ማለትም, በ f (x) ተግባር ውስጥ ብቻ ነው. እና a እና b ቁጥሮች ቁጥሮች ብቻ ናቸው, እና በምንም መልኩ ተለዋዋጭ x የያዙ ተግባራት አይደሉም.

መሰረታዊ የመፍትሄ ዘዴዎች

እንደዚህ ያሉ መዋቅሮችን ለመፍታት ብዙ መንገዶች አሉ. ለምሳሌ፣ በትምህርት ቤት ውስጥ ያሉ አብዛኞቹ አስተማሪዎች ይህንን ዘዴ ይሰጣሉ፡- ቀመሩን በመጠቀም የ f (x) ተግባሩን ወዲያውኑ ይግለጹ ረ x) = ሀ ለ. ያም ማለት በጣም ቀላል የሆነውን ግንባታ ሲያገኙ, ያለ ተጨማሪ ድርጊቶች እና ግንባታዎች ወዲያውኑ ወደ መፍትሄ መሄድ ይችላሉ.

አዎ, በእርግጥ, ውሳኔው ትክክል ይሆናል. ይሁን እንጂ የዚህ ቀመር ችግር አብዛኞቹ ተማሪዎች ነው አልገባግንምከየት እንደመጣ እና ለምን ሀ የሚለውን ፊደል ወደ ፊደል እንደምናነሳው ለ.

በዚህ ምክንያት፣ ለምሳሌ፣ እነዚህ ፊደሎች ሲቀያየሩ ብዙ ጊዜ የሚያበሳጩ ስህተቶችን አያለሁ። ይህ ቀመር መረዳት ወይም መጨናነቅ አለበት, እና ሁለተኛው ዘዴ በጣም ተገቢ ባልሆኑ እና በጣም ወሳኝ በሆኑ ጊዜያት ወደ ስህተቶች ይመራል: በፈተና, በፈተና, ወዘተ.

ለዚህም ነው ሁሉም ተማሪዎቼ መደበኛውን የትምህርት ቤት ፎርሙላ ትተው የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለተኛውን አካሄድ እንዲጠቀሙ የምመክረው ፣ ምናልባት እርስዎ ከስሙ እንደገመቱት ፣ ይባላል። ቀኖናዊ ቅርጽ.

የቀኖናዊው ቅፅ ሀሳብ ቀላል ነው። ችግራችንን ደግመን እንመልከተው፡ በግራ በኩል ሎግ a አለን፣ እና በፊደል ሀ ቁጥር ማለት ነው፣ እና በምንም መልኩ ተለዋዋጭ xን የያዘ ተግባር የለም። ስለዚህ, ይህ ደብዳቤ በሎጋሪዝም መሠረት ላይ የሚጣሉት እገዳዎች ሁሉ ተገዢ ነው. ማለትም፡-

1 ≠ ሀ > 0

በሌላ በኩል, ከተመሳሳይ እኩልነት ሎጋሪዝም ከቁጥር b ጋር እኩል መሆን እንዳለበት እናያለን, እና በዚህ ደብዳቤ ላይ ምንም ገደቦች አይጣሉም, ምክንያቱም ማንኛውንም ዋጋ ሊወስድ ስለሚችል - አዎንታዊ እና አሉታዊ. ሁሉም ነገር f(x) ተግባር በሚወስደው ዋጋ ላይ የተመሠረተ ነው።

እና እዚህ ማንኛውም ቁጥር b እንደ ሎጋሪዝም ከ ሀ ለ ኃይል መሠረት ሊወከል እንደሚችል የእኛን አስደናቂ መመሪያ እናስታውሳለን።

b = log a a b

ይህን ቀመር እንዴት ማስታወስ ይቻላል? አዎ በጣም ቀላል። የሚከተለውን ግንባታ እንጽፍ፡-

b = b 1 = b log a a

እርግጥ ነው, በዚህ ሁኔታ መጀመሪያ ላይ የጻፍናቸው እገዳዎች ሁሉ ይነሳሉ. አሁን የሎጋሪዝምን መሰረታዊ ንብረት እንጠቀም እና ማባዣውን b እንደ ሃይል እናስተዋውቀው። እናገኛለን፡-

b = b 1 = b log a a = log a a b

በውጤቱም, የመጀመሪያው እኩልታ በሚከተለው መልኩ እንደገና ይጻፋል.

log a f (x) = log a b → f (x) = a b

ይኼው ነው. አዲሱ ተግባር ሎጋሪዝምን አልያዘም እና መደበኛ የአልጀብራ ቴክኒኮችን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል።

እርግጥ ነው, አንድ ሰው አሁን ይቃወማል: ለምንድነው አንድ ዓይነት ቀኖናዊ ፎርሙላ ማምጣት ለምን አስፈለገ, ለምንድነው ሁለት ተጨማሪ አላስፈላጊ እርምጃዎችን ከዋናው ንድፍ ወደ የመጨረሻው ቀመር ወዲያው መሄድ ከተቻለ? አዎ፣ አብዛኞቹ ተማሪዎች ይህ ፎርሙላ ከየት እንደመጣ ስላልገባቸው እና በውጤቱም በመደበኛነት በሚተገበሩበት ጊዜ ስህተት የሚሰሩ ከሆነ።

ነገር ግን ይህ የእርምጃዎች ቅደም ተከተል, ሶስት ደረጃዎችን ያቀፈ, የመጨረሻውን ቀመር ከየት እንደመጣ ባይገባዎትም, ዋናውን የሎጋሪዝም እኩልታ እንዲፈቱ ያስችልዎታል. በነገራችን ላይ ይህ ግቤት ቀኖናዊ ቀመር ይባላል፡-

log a f (x) = log a a b

የቀኖናዊው ቅፅ ምቾት በጣም ሰፊ የሆነ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውል ስለሚችል ነው, እና ዛሬ የምንመለከተው በጣም ቀላል የሆኑትን ብቻ አይደለም.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

አሁን እውነተኛ ምሳሌዎችን እንመልከት። እንግዲያው፣ እንወስን፡-

ሎግ 0.5 (3x - 1) = -3

እንዲህ እንጽፈው፡-

ሎግ 0.5 (3x - 1) = ሎግ 0.5 0.5 -3

ብዙ ተማሪዎች ቸኩለው ከዋናው ችግር ወደ እኛ የመጣውን ሃይል ቁጥር 0.5 ወዲያውኑ ከፍ ለማድረግ ይሞክራሉ። በእርግጥም, እንደዚህ አይነት ችግሮችን ለመፍታት ቀድሞውኑ በደንብ የሰለጠኑ ከሆነ, ይህን እርምጃ ወዲያውኑ ማከናወን ይችላሉ.

ነገር ግን፣ አሁን ይህን ርዕስ ማጥናት ገና ከጀመርክ፣ አጸያፊ ስህተቶችን ላለማድረግ የትም ባትቸኩል ይሻላል። ስለዚህ, ቀኖናዊው ቅርፅ አለን. እና አለነ:

3x - 1 = 0.5 -3

ይህ ከአሁን በኋላ የሎጋሪዝም እኩልታ አይደለም፣ ነገር ግን ከተለዋዋጭ x አንጻር መስመራዊ ነው። እሱን ለመፍታት በመጀመሪያ ቁጥር 0.5 ወደ -3 ኃይል እንይ. 0.5 1/2 መሆኑን ልብ ይበሉ.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

የሎጋሪዝም እኩልታ ሲፈቱ ሁሉንም የአስርዮሽ ክፍልፋዮች ወደ የጋራ ክፍልፋዮች ይለውጡ።

እንደገና እንጽፋለን እና እናገኛለን:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

ያ ነው መልሱን አግኝተናል። የመጀመሪያው ችግር ተፈትቷል.

ሁለተኛ ተግባር

ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-

እንደምናየው፣ ይህ እኩልነት ከአሁን በኋላ ቀላሉ አይደለም። በግራ በኩል ልዩነት ስላለ ብቻ እና አንድ ሎጋሪዝም ወደ አንድ መሠረት ካልሆነ።

ስለዚህ, ይህንን ልዩነት እንደምንም ማስወገድ አለብን. በዚህ ሁኔታ, ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. መሰረቱን ጠለቅ ብለን እንመርምር፡ በግራ በኩል ከሥሩ ስር ያለው ቁጥር፡-

አጠቃላይ ምክር: በሁሉም የሎጋሪዝም እኩልታዎች ውስጥ, radicalsን ለማስወገድ ይሞክሩ, ማለትም, ከሥሮቻቸው ውስጥ ከሚገቡት ግቤቶች እና ወደ ኃይል ተግባራት ይሂዱ, ምክንያቱም የእነዚህ ሃይሎች ገላጭዎች በቀላሉ ከሎጋሪዝም ምልክት ውስጥ ስለሚወሰዱ እና በመጨረሻም, እንደዚህ ያሉ ናቸው. ግቤት ስሌቶችን በከፍተኛ ሁኔታ ያቃልላል እና ያፋጥናል። እንዲህ እንጽፈው፡-

አሁን የሎጋሪዝምን አስደናቂ ንብረት እናስታውስ-ስልጣኖች ከክርክሩ, እንዲሁም ከመሠረቱ ሊገኙ ይችላሉ. በምክንያቶች ውስጥ, የሚከተለው ይከሰታል:

log a k b = 1/k loga b

በሌላ አነጋገር በመሠረታዊ ኃይል ውስጥ የነበረው ቁጥር ወደ ፊት ቀርቧል እና በተመሳሳይ ጊዜ ይገለበጣል, ማለትም, የተገላቢጦሽ ቁጥር ይሆናል. በእኛ ሁኔታ, የመሠረት ዲግሪው 1/2 ነበር. ስለዚህ, እንደ 2/1 ልናወጣው እንችላለን. እናገኛለን፡-

5 2 ሎግ 5 x - ሎግ 5 x = 18
10 ሎግ 5 x - ሎግ 5 x = 18

እባክዎን ያስተውሉ: በምንም አይነት ሁኔታ በዚህ ደረጃ ሎጋሪዝምን ማስወገድ የለብዎትም. ከ4ኛ-5ኛ ክፍል ሒሳብ እና የሥራውን ቅደም ተከተል አስታውሱ፡- ማባዛት በመጀመሪያ ይከናወናል፣ ከዚያም መደመር እና መቀነስ ብቻ። በዚህ ሁኔታ ፣ ከተመሳሳዩ ንጥረ ነገሮች ውስጥ አንዱን ከ 10 አካላት እንቀንሳለን-

9 ሎግ 5 x = 18
መዝገብ 5 x = 2

አሁን የእኛ እኩልነት ልክ እንደፈለገው ይመስላል። ይህ በጣም ቀላሉ ግንባታ ነው ፣ እና እኛ ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም እንፈታዋለን-

መዝገብ 5 x = መዝገብ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

ይኼው ነው. ሁለተኛው ችግር ተፈትቷል.

ሦስተኛው ምሳሌ

ወደ ሦስተኛው ተግባር እንሂድ፡-

መዝገብ (x + 3) = 3 + 2 መዝገብ 5

የሚከተለውን ቀመር ላስታውስህ፡-

log b = መዝገብ 10 ለ

በሆነ ምክንያት በማስታወሻ መዝገብ ለ ግራ ከተጋቡ, ሁሉንም ስሌቶች በሚሰሩበት ጊዜ በቀላሉ ሎግ 10 ለ መጻፍ ይችላሉ. ከሌሎች ጋር በተመሳሳይ መልኩ ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ጋር መስራት ይችላሉ፡ ስልጣን ይውሰዱ፣ ያክሉ እና ማንኛውንም ቁጥሮች በቅጽ lg 10 ይወክላሉ።

በትምህርታችን መጀመሪያ ላይ የጻፍነው በጣም ቀላል ስላልሆነ ችግሩን ለመፍታት አሁን የምንጠቀምባቸው እነዚህ ንብረቶች ናቸው።

በመጀመሪያ ፣ በ lg 5 ፊት ለፊት ያለው ምክንያት 2 ሊጨመር እና የመሠረት ኃይል ሊሆን እንደሚችል ልብ ይበሉ 5. በተጨማሪም ፣ ነፃው ቃል 3 እንዲሁ እንደ ሎጋሪዝም ሊወከል ይችላል - ይህ ከአስተያየታችን ለመመልከት በጣም ቀላል ነው።

ለራስዎ ይፍረዱ፡- ማንኛውም ቁጥር እንደ ሎግ ወደ መሰረት 10 ሊወከል ይችላል።

3 = መዝገብ 10 10 3 = መዝገብ 10 3

የተገኙትን ለውጦች ግምት ውስጥ በማስገባት ዋናውን ችግር እንደገና እንፃፍ፡-

መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 1000 + መዝገብ 25
መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 1000 25
መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 25,000

ከኛ በፊት ቀኖናዊው ቅርፅ እንደገና አለን ፣ እናም በለውጥ ደረጃ ውስጥ ሳናልፍ አገኘነው ፣ ማለትም ቀላሉ ሎጋሪዝም እኩልታ በየትኛውም ቦታ አልታየም።

በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የተናገርኩት ይህንኑ ነው። ቀኖናዊው ፎርም አብዛኛው የትምህርት ቤት አስተማሪዎች ከሚሰጡት መደበኛ የትምህርት ቤት ፎርሙላ ይልቅ ሰፋ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል።

ደህና ፣ ያ ነው ፣ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን ፣ እና ቀላል መስመራዊ ግንባታ እናገኛለን

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ሁሉም! ችግሩ ተፈቷል.

ወሰን ላይ ማስታወሻ

እዚህ የትርጉም ወሰንን በተመለከተ ጠቃሚ አስተያየት መስጠት እፈልጋለሁ. በእርግጥ አሁን “አገላለጾችን በሎጋሪዝም ስንፈታ f (x) ከዜሮ በላይ መሆን እንዳለበት መዘንጋት የለብንም!” የሚሉ ተማሪዎችና አስተማሪዎች ይኖራሉ። በዚህ ረገድ, ምክንያታዊ ጥያቄ የሚነሳው: ለምንድነው ይህ እኩልነት በየትኛዎቹም ችግሮች ውስጥ እንዲረካ ለምን አላስፈለገንም?

አትጨነቅ. በእነዚህ አጋጣሚዎች ምንም ተጨማሪ ሥሮች አይታዩም. እና ይህ መፍትሄውን ለማፋጠን የሚያስችል ሌላ ታላቅ ዘዴ ነው. ልክ በችግሩ ውስጥ ተለዋዋጭ x በአንድ ቦታ ላይ ብቻ የሚከሰት ከሆነ (ወይም ይልቁንስ በአንድ ነጠላ ሎጋሪዝም ክርክር) እና በእኛ ሁኔታ ምንም ቦታ ላይ ተለዋዋጭ x የማይታይ ከሆነ ፣ ከዚያ የትርጉም ጎራውን ይፃፉ። አያስፈልግም, ምክንያቱም በራስ-ሰር ይፈጸማል.

ለራስዎ ይፍረዱ፡ በመጀመሪያው እኩልታ 3x - 1 አገኘን ማለትም ክርክሩ ከ 8 ጋር እኩል መሆን አለበት።ይህ ማለት 3x - 1 ከዜሮ በላይ ይሆናል ማለት ነው።

በተመሳሳይ ስኬት በሁለተኛው ጉዳይ x ከ 5 2 ጋር እኩል መሆን እንዳለበት መፃፍ እንችላለን, ማለትም በእርግጠኝነት ከዜሮ ይበልጣል. እና በሶስተኛው ጉዳይ ላይ, x + 3 = 25,000, ማለትም, እንደገና, በግልጽ ከዜሮ የሚበልጥ. በሌላ አገላለጽ፣ ስፋቱ በራስ-ሰር ይሟላል፣ ግን x የሚከሰተው በአንድ ሎጋሪዝም ክርክር ውስጥ ብቻ ከሆነ ብቻ ነው።

በጣም ቀላል የሆኑትን ችግሮች ለመፍታት ማወቅ ያለብዎት ያ ብቻ ነው። ይህ ደንብ ብቻ, ከትራንስፎርሜሽን ደንቦች ጋር, በጣም ሰፊ የሆነ የችግሮችን ክፍል ለመፍታት ያስችልዎታል.

ግን እውነቱን እንነጋገር-ይህን ዘዴ በመጨረሻ ለመረዳት ፣ የሎጋሪዝም እኩልታ ቀኖናዊውን እንዴት ተግባራዊ ማድረግ እንደሚቻል ለመማር አንድ የቪዲዮ ትምህርት ማየት ብቻ በቂ አይደለም። ስለዚህ, አሁኑኑ, ከዚህ የቪዲዮ ትምህርት ጋር የተያያዙትን የገለልተኛ መፍትሄዎች አማራጮችን ያውርዱ እና ከእነዚህ ሁለት ገለልተኛ ስራዎች ውስጥ ቢያንስ አንዱን መፍታት ይጀምሩ.

በጥሬው ጥቂት ደቂቃዎችን ይወስዳል። ነገር ግን ይህን የቪዲዮ ትምህርት በቀላሉ ከተመለከቱት የእንደዚህ አይነት ስልጠና ውጤት በጣም ከፍ ያለ ይሆናል.

ይህ ትምህርት የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመረዳት ይረዳዎታል ብዬ ተስፋ አደርጋለሁ። ቀኖናዊውን ቅጽ ተጠቀም ፣ ከሎጋሪዝም ጋር ለመስራት ህጎቹን በመጠቀም አገላለጾችን ቀለል አድርግ - እና ምንም አይነት ችግር አትፈራም። ለዛሬ ያለኝ ያ ብቻ ነው።

የትርጉም ጎራውን ግምት ውስጥ ማስገባት

አሁን ስለ ሎጋሪዝም ተግባር ፍቺ ጎራ እንነጋገር ፣ እና ይህ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን መፍትሄ እንዴት እንደሚነካው እንነጋገር ። የቅጹን ግንባታ ግምት ውስጥ ያስገቡ

log a f (x) = b

እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ በጣም ቀላሉ ተብሎ ይጠራል - አንድ ተግባር ብቻ ይይዛል, እና ቁጥሮች a እና b ቁጥሮች ብቻ ናቸው, እና በምንም መልኩ በተለዋዋጭ x ላይ የተመሰረተ ተግባር. በጣም በቀላሉ ሊፈታ ይችላል. ቀመሩን ብቻ መጠቀም ያስፈልግዎታል፡-

b = log a a b

ይህ ፎርሙላ የሎጋሪዝም ቁልፍ ባህሪያት አንዱ ነው፣ እና ወደ መጀመሪያው አገላለፃችን ስንተካ የሚከተሉትን እናገኛለን።

log a f (x) = log a a b

ረ (x) = a ለ

ይህ ከትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሐፍት የታወቀ ቀመር ነው። ብዙ ተማሪዎች ምናልባት አንድ ጥያቄ ይኖራቸዋል፡ በመጀመሪያው አገላለጽ ውስጥ f (x) ተግባር በሎግ ምልክት ስር ስለሆነ የሚከተሉት ገደቦች በላዩ ላይ ተጥለዋል።

ረ(x) > 0

ይህ ገደብ የሚሰራው የአሉታዊ ቁጥሮች ሎጋሪዝም ስለሌለ ነው። ስለዚህ, ምናልባት, በዚህ ገደብ ምክንያት, መልሶች ላይ ቼክ መተዋወቅ አለበት? ምናልባት ወደ ምንጭ ውስጥ ማስገባት አለባቸው?

አይ፣ በጣም ቀላል በሆነው የሎጋሪዝም እኩልታዎች ተጨማሪ ማጣራት አያስፈልግም። እና ለዚህ ነው. የመጨረሻውን ቀመራችንን ይመልከቱ፡-

ረ (x) = a ለ

እውነታው ግን ቁጥሩ በማንኛውም ሁኔታ ከ 0 በላይ ነው - ይህ መስፈርት በሎጋሪዝምም ተጭኗል። ቁጥር ሀ መሠረት ነው። በዚህ ሁኔታ, በቁጥር ላይ ምንም ገደቦች አይጣሉም ለ. ነገር ግን ይህ ምንም አይደለም, ምክንያቱም ምንም እንኳን አወንታዊ ቁጥርን ብንጨምር, በውጤቱ ላይ አሁንም አዎንታዊ ቁጥር እናገኛለን. ስለዚህ፣ መስፈርቱ f (x) > 0 በራስ ሰር ይሟላል።

በትክክል መፈተሽ የሚገባው በሎግ ምልክት ስር ያለው የተግባር ጎራ ነው። በጣም ውስብስብ መዋቅሮች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በእርግጠኝነት በመፍትሔው ሂደት ውስጥ እነሱን መከታተል ያስፈልግዎታል. እስቲ እንመልከት።

የመጀመሪያ ተግባር፡-

የመጀመሪያው እርምጃ በቀኝ በኩል ያለውን ክፍልፋይ ይለውጡ። እናገኛለን፡-

የሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን እና የተለመደው ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ እናገኛለን።

ከተገኙት ሥሮች ውስጥ, ሁለተኛው ሥር ከዜሮ ያነሰ ስለሆነ የመጀመሪያው ብቻ ይስማማናል. ብቸኛው መልስ ቁጥር 9 ይሆናል. ያ ነው, ችግሩ ተፈትቷል. በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው አገላለጽ ከ 0 በላይ መሆኑን ለማረጋገጥ ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም, ምክንያቱም ከ 0 በላይ ብቻ አይደለም, ነገር ግን እንደ እኩልታው ሁኔታ ከ 2 ጋር እኩል ነው. ስለዚህ, መስፈርቱ "ከዜሮ ይበልጣል. ” በራስ-ሰር ይረካል።

ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-

እዚህ ሁሉም ነገር አንድ ነው. ሶስት እጥፍ በመተካት ግንባታውን እንደገና እንጽፋለን-

የሎጋሪዝም ምልክቶችን እናስወግዳለን እና ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ እናገኛለን

ገደቦቹን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሁለቱንም ወገኖች እናሳያለን እና የሚከተሉትን እናገኛለን

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

የተፈጠረውን እኩልነት በአድሎአዊ በኩል እንፈታዋለን፡-

መ = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

ግን x = -6 አይመጥነንም ፣ ምክንያቱም ይህንን ቁጥር ወደ እኩልነታችን ከተተካን ፣ እናገኛለን

−6 + 4 = −2 < 0

በእኛ ሁኔታ, ከ 0 በላይ ወይም, በአስጊ ሁኔታ ውስጥ, እኩል መሆን ይጠበቅበታል. ግን x = -1 ይስማማናል፡-

−1 + 4 = 3 > 0

በእኛ ሁኔታ ውስጥ ያለው ብቸኛው መልስ x = -1 ይሆናል. መፍትሄው ይሄው ነው። ወደ ስሌታችን መጀመሪያ እንመለስ።

ከዚህ ትምህርት ዋናው የተወሰደው በአንድ ተግባር ላይ ገደቦችን በቀላል ሎጋሪዝም እኩልታዎች ማረጋገጥ አያስፈልገዎትም። ምክንያቱም በመፍትሔው ሂደት ሁሉም ገደቦች በራስ-ሰር ይሟላሉ.

ሆኖም ይህ ማለት በምንም መልኩ ስለመፈተሽ መርሳት አይችሉም ማለት ነው። በሎጋሪዝም እኩልዮሽ ላይ በመሥራት ሂደት ውስጥ, ወደ ምክንያታዊነት-አልባነት ሊለወጥ ይችላል, ይህም ለቀኝ ጎኑ የራሱ ገደቦች እና መስፈርቶች ይኖረዋል, ዛሬ በሁለት የተለያዩ ምሳሌዎች ያየነው.

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት ነፃነት ይሰማህ እና በተለይም በክርክሩ ውስጥ ሥር ካለ ጥንቃቄ አድርግ.

ከተለያዩ መሰረቶች ጋር የሎጋሪዝም እኩልታዎች

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን እና የበለጠ ውስብስብ ግንባታዎችን ለመፍታት ፋሽን የሆነባቸው ሁለት ተጨማሪ አስደሳች ቴክኒኮችን እንመለከታለን። ግን በመጀመሪያ ፣ በጣም ቀላሉ ችግሮች እንዴት እንደሚፈቱ እናስታውስ-

log a f (x) = b

በዚህ ግቤት ውስጥ a እና b ቁጥሮች ናቸው እና በ f (x) ተግባር ውስጥ ተለዋዋጭ x መኖር አለበት ፣ እና እዚያ ብቻ ፣ ማለትም ፣ በክርክሩ ውስጥ ብቻ መሆን አለበት። ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም እንደዚህ ያሉ ሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንለውጣለን። ይህንን ለማድረግ, ያንን ያስተውሉ

b = log a a b

ከዚህም በላይ, b በትክክል ክርክር ነው. ይህን አገላለጽ እንደሚከተለው እንጽፈው፡-

log a f (x) = log a a b

በግራ እና በቀኝ በሁለቱም ላይ ለመመስረት ሎጋሪዝም እንዲኖር ለማድረግ እየሞከርን ያለነው ይህንኑ ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ በምሳሌያዊ አነጋገር ፣ የምዝግብ ማስታወሻዎችን ማቋረጥ እንችላለን ፣ እና ከሂሳባዊ እይታ አንጻር ክርክሮችን በቀላሉ እያመጣጠን ነው ማለት እንችላለን-

ረ (x) = a ለ

በውጤቱም, ለመፍታት በጣም ቀላል የሚሆን አዲስ አገላለጽ እናገኛለን. ይህንን ህግ ዛሬ ለችግሮቻችን እንተገብረው።

ስለዚህ, የመጀመሪያው ንድፍ:

በመጀመሪያ ፣ በቀኝ በኩል መለያው ሎግ የሆነ ክፍልፋይ እንዳለ አስተውያለሁ። እንደዚህ አይነት አገላለጽ ሲመለከቱ፣ የሎጋሪዝምን አስደናቂ ንብረት ማስታወስ ጥሩ ሀሳብ ነው፡-

ወደ ራሽያኛ ሲተረጎም ማንኛውም ሎጋሪዝም ከየትኛውም መሰረት ሐ ጋር የሁለት ሎጋሪዝም ዋጋ ሆኖ ሊወከል ይችላል ማለት ነው። በእርግጥ 0< с ≠ 1.

ስለዚህ: ይህ ቀመር አንድ አስደናቂ ልዩ ጉዳይ አለው, ተለዋዋጭ c ከተለዋዋጭ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ለ. በዚህ ሁኔታ ውስጥ እንደዚህ ያለ ግንባታ እናገኛለን.

ይህ በትክክል በእኛ ስሌት ውስጥ በቀኝ በኩል ካለው ምልክት የምናየው ግንባታ ነው። ይህንን ግንባታ በሎግ a b እንተካው፡-

በሌላ አነጋገር፣ ከመጀመሪያው ተግባር ጋር በማነፃፀር፣ ክርክሩን እና የሎጋሪዝምን መሰረት ቀይረናል። ይልቁንም ክፍልፋዩን መቀልበስ ነበረብን።

በሚከተለው ደንብ መሰረት ማንኛውም ዲግሪ ከመሠረቱ ሊገኝ እንደሚችል እናስታውሳለን.

በሌላ አነጋገር, የመሠረቱ ኃይል የሆነው Coefficient k, እንደ የተገለበጠ ክፍልፋይ ይገለጻል. እንደ የተገለበጠ ክፍልፋይ እናድርገው፡-

ክፍልፋይ ፋክተሩ ከፊት ሊቀር አይችልም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ውስጥ ይህንን ምልክት እንደ ቀኖናዊ ቅርጽ መወከል አንችልም (ከሁሉም በኋላ, በካኖኒካዊ መልክ ከሁለተኛው ሎጋሪዝም በፊት ምንም ተጨማሪ ነገር የለም). ስለዚህ፣ ክፍልፋዩን 1/4 በክርክሩ ላይ እንደ ኃይል እንጨምር፡-

አሁን መሠረታቸው አንድ የሆኑ ክርክሮችን እናመሳስላቸዋለን (እና መሠረታችን በእውነቱ አንድ ነው) እና እንጽፋለን፡-

x + 5 = 1

x = -4

ይኼው ነው. ለመጀመሪያው የሎጋሪዝም እኩልታ መልስ አግኝተናል። እባክዎን ያስተውሉ፡ በመጀመሪያው ችግር ውስጥ፣ ተለዋዋጭ x በአንድ ምዝግብ ማስታወሻ ውስጥ ብቻ ይታያል፣ እና በክርክሩ ውስጥ ይታያል። ስለዚህ, ጎራውን መፈተሽ አያስፈልግም, እና የእኛ ቁጥር x = -4 በእርግጥ መልሱ ነው.

አሁን ወደ ሁለተኛው አገላለጽ እንሂድ፡-

log 56 = log 2 log 2 7 - 3log (x + 4)

እዚህ, ከተለመደው ሎጋሪዝም በተጨማሪ, ከሎግ f (x) ጋር መስራት አለብን. እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ እንዴት መፍታት ይቻላል? ላልተዘጋጀ ተማሪ ይህ አንድ ዓይነት ከባድ ስራ ነው ሊመስለው ይችላል ነገር ግን በእውነቱ ሁሉም ነገር በአንደኛ ደረጃ ሊፈታ ይችላል.

Lg 2 log 2 የሚለውን ቃል በቅርበት ይመልከቱ 7. ስለ እሱ ምን ማለት እንችላለን? የሎግ እና lg መሠረቶች እና ክርክሮች ተመሳሳይ ናቸው, እና ይሄ አንዳንድ ሀሳቦችን መስጠት አለበት. ኃይላት ከሎጋሪዝም ምልክት ስር እንዴት እንደሚወሰዱ በድጋሚ እናስታውስ፡-

log a b n = nlog a b

በሌላ አገላለጽ፣ በክርክሩ ውስጥ የ b ኃይሉ የነበረው በራሱ ግንድ ፊት ለፊት ምክንያት ይሆናል። ይህንን ቀመር ወደ መግለጫው እንጠቀም lg 2 log 2 7. በ lg 2 አትፍሩ - ይህ በጣም የተለመደው አገላለጽ ነው. እንደሚከተለው እንደገና መጻፍ ይችላሉ.

ለማንኛውም ሌላ ሎጋሪዝም የሚመለከቱት ሁሉም ህጎች ለእሱ ትክክለኛ ናቸው። በተለይም ከፊት ለፊት ያለው ምክንያት በክርክሩ ደረጃ ላይ ሊጨመር ይችላል. እንተዘይኮይኑ፡ ንዕኡ ንእሽቶ ውሳነ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።

ብዙውን ጊዜ ተማሪዎች ይህንን ድርጊት በቀጥታ አይመለከቱትም, ምክንያቱም አንዱን ምዝግብ በሌላ ምልክት ስር ማስገባት ጥሩ አይደለም. በእውነቱ, በዚህ ላይ ምንም ወንጀለኛ የለም. በተጨማሪም ፣ አንድ አስፈላጊ ህግን ካስታወሱ ለማስላት ቀላል የሆነ ቀመር እናገኛለን-

ይህ ቀመር እንደ ፍቺ እና እንደ ንብረቶቹ እንደ አንዱ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። በማንኛውም ሁኔታ፣ የሎጋሪዝም እኩልነትን እየቀየሩ ከሆነ፣ ልክ የማንኛውንም ቁጥር የምዝግብ ማስታወሻ ውክልና እንደሚያውቁት ይህንን ቀመር ማወቅ አለብዎት።

ወደ ተግባራችን እንመለስ። ከእኩል ምልክት በስተቀኝ ያለው የመጀመሪያው ቃል በቀላሉ ከ lg 7 ጋር እኩል እንደሚሆን ግምት ውስጥ በማስገባት እንደገና እንጽፋለን፡-

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7ን ወደ ግራ እናንቀሳቅስ፣ የሚከተለውን እናገኛለን

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

በግራ በኩል ያሉትን አገላለጾች እንቀንሳለን ምክንያቱም ተመሳሳይ መሠረት ስላላቸው፡-

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

አሁን ያገኘነውን እኩልነት ጠለቅ ብለን እንመርምር። እሱ በተግባር ቀኖናዊው ቅርፅ ነው ፣ ግን በቀኝ በኩል ያለው ምክንያት -3 አለ። ወደ ትክክለኛው የlg ክርክር እንጨምር፡-

መዝገብ 8 = መዝገብ (x + 4) -3

ከእኛ በፊት የሎጋሪዝም እኩልታ ቀኖናዊ ቅርፅ አለ ፣ ስለሆነም የ lg ምልክቶችን እና ክርክሮችን እናነፃፅራለን-

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

ይኼው ነው! ሁለተኛውን የሎጋሪዝም እኩልታ ፈትተናል። በዚህ ሁኔታ, ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም, ምክንያቱም በመጀመሪያው ችግር x በአንድ ነጋሪ እሴት ውስጥ ብቻ ነበር.

የዚህን ትምህርት ቁልፍ ነጥቦች እንደገና ልዘርዝር።

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት በተዘጋጀው በዚህ ገጽ ላይ ባሉት ሁሉም ትምህርቶች ውስጥ የሚሰጠው ዋናው ቀመር ቀኖናዊ ቅፅ ነው። እና አብዛኛዎቹ የት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍቶች እንደዚህ አይነት ችግሮችን በተለየ መንገድ እንዲፈቱ ስለሚያስተምሩዎት አትፍሩ. ይህ መሳሪያ በጣም ውጤታማ በሆነ መንገድ ይሰራል እና በትምህርታችን መጀመሪያ ላይ ካጠናናቸው በጣም ቀላል ከሆኑት ይልቅ በጣም ሰፊ የሆነ ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል.

በተጨማሪም, የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ባህሪያትን ማወቅ ጠቃሚ ይሆናል. ይኸውም፡-

1. ወደ አንድ መሠረት የሚዘዋወረው ቀመር እና ሎግ ስንገለበጥ ልዩ ጉዳይ (ይህ በመጀመሪያው ችግር ውስጥ ለእኛ በጣም ጠቃሚ ነበር);
2. ከሎጋሪዝም ምልክት ኃይልን ለመጨመር እና ለመቀነስ ቀመር። እዚህ ብዙ ተማሪዎች ተጣብቀው ይያዛሉ እና የተወሰደው እና ያስተዋወቀው ዲግሪ እራሱ log f (x) ሊይዝ እንደሚችል አይገነዘቡም። ምንም ስህተት የለውም። አንዱን ምዝግብ በሌላው ምልክት መሰረት ማስተዋወቅ እና በተመሳሳይ ጊዜ የችግሩን መፍትሄ በከፍተኛ ሁኔታ ማቃለል እንችላለን, ይህም በሁለተኛው ጉዳይ ላይ የምናየው ነው.

ለማጠቃለል ያህል በእያንዳንዱ በእነዚህ ጉዳዮች ላይ የትርጓሜውን ጎራ መፈተሽ አስፈላጊ እንዳልሆነ መጨመር እፈልጋለሁ, ምክንያቱም በሁሉም ቦታ ተለዋዋጭ x በአንድ የምዝግብ ማስታወሻ ምልክት ውስጥ ይገኛል, እና በተመሳሳይ ጊዜ በክርክሩ ውስጥ ነው. በዚህ ምክንያት ሁሉም የቦታው መስፈርቶች በራስ-ሰር ይሟላሉ.

በተለዋዋጭ መሠረት ላይ ችግሮች

ዛሬ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንመለከታለን, ይህም ለብዙ ተማሪዎች መደበኛ ያልሆነ የሚመስሉ, ሙሉ በሙሉ የማይፈታ ከሆነ. እየተነጋገርን ያለነው በቁጥሮች ላይ ሳይሆን በተለዋዋጭ እና አልፎ ተርፎም ተግባራት ላይ የተመሰረቱ አገላለጾችን ነው. በመደበኛ ቴክኒሻችን ማለትም በቀኖናዊው ቅርፅ በመጠቀም እንደዚህ ያሉ ግንባታዎችን እንፈታለን ።

በመጀመሪያ, በተለመደው ቁጥሮች ላይ በመመርኮዝ በጣም ቀላል የሆኑ ችግሮች እንዴት እንደሚፈቱ እናስታውስ. ስለዚህ, በጣም ቀላሉ ግንባታ ይባላል

log a f (x) = b

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት የሚከተለውን ቀመር መጠቀም እንችላለን-

b = log a a b

ኦሪጅናል አገላለጻችንን እንደገና ጻፍን እና እናገኛለን፡-

log a f (x) = log a a b

ከዚያ ክርክሮችን እናነፃፅራለን ፣ ማለትም እንጽፋለን-

ረ (x) = a ለ

ስለዚህ, የምዝግብ ማስታወሻውን እናስወግደዋለን እና የተለመደውን ችግር እንፈታዋለን. በዚህ ሁኔታ, ከመፍትሔው የተገኙት ሥሮች የመጀመርያው የሎጋሪዝም እኩልነት ሥሮች ይሆናሉ. በተጨማሪም, ግራ እና ቀኝ ሁለቱም በአንድ ሎጋሪዝም ውስጥ ተመሳሳይ መሠረት ጋር አንድ መዝገብ በትክክል ቀኖናዊ ቅጽ ይባላል. የዛሬውን ዲዛይኖች ለመቀነስ የምንሞክረው እንደዚህ ያለ መዝገብ ነው። ስለዚህ እንሂድ።

የመጀመሪያ ተግባር፡-

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 በሎግ x - 2 (x - 2) 1 ይተኩ. በክርክሩ ውስጥ የምንመለከተው ደረጃ በትክክል በእኩል ምልክት በስተቀኝ የቆመው ቁጥር b ነው። ስለዚህ አባባላችንን እንደገና እንፃፍ። እናገኛለን፡-

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = መዝገብ x - 2 (x - 2)

ስለምንታይ? ከእኛ በፊት የሎጋሪዝም እኩልዮሽ ቀኖናዊ ቅርጽ አለ, ስለዚህ ክርክሮችን በደህና ማመሳሰል እንችላለን. እናገኛለን፡-

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

ግን መፍትሄው በዚህ አያበቃም, ምክንያቱም ይህ እኩልነት ከመጀመሪያው ጋር እኩል አይደለም. ከሁሉም በላይ, የተገኘው ግንባታ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ የተገለጹ ተግባራትን ያቀፈ ነው, እና የእኛ የመጀመሪያ ሎጋሪዝም በሁሉም ቦታ አይገለጽም እና ሁልጊዜ አይደለም.

ስለዚህ, የትርጉም ጎራውን በተናጠል መፃፍ አለብን. ፀጉሮችን አንከፋፍል እና በመጀመሪያ ሁሉንም መስፈርቶች እንፃፍ-

በመጀመሪያ፣ የእያንዳንዱ ሎጋሪዝም ክርክር ከ0 በላይ መሆን አለበት።

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

በሁለተኛ ደረጃ መሰረቱ ከ 0 በላይ ብቻ ሳይሆን ከ 1 የተለየ መሆን አለበት.

x - 2 ≠ 1

በዚህ ምክንያት ስርዓቱን እናገኛለን-

ነገር ግን አትደንግጡ: የሎጋሪዝም እኩልታዎችን በሚሰራበት ጊዜ, እንዲህ ዓይነቱ ስርዓት በከፍተኛ ሁኔታ ሊቀልል ይችላል.

ለራስዎ ይፍረዱ፡ በአንድ በኩል የኳድራቲክ ተግባር ከዜሮ በላይ እንዲሆን እንገደዳለን፣ በሌላ በኩል ደግሞ ይህ ኳድራቲክ ተግባር ከተወሰነ መስመራዊ አገላለጽ ጋር ይመሳሰላል፣ እሱም ደግሞ ከዜሮ በላይ እንዲሆን ያስፈልጋል።

በዚህ ሁኔታ ፣ ያንን x - 2> 0 ከፈለግን ፣ መስፈርቱ 2x 2 - 13x + 18> 0 በራስ-ሰር ይሟላል ፣ ስለሆነም ፣ ኳድራቲክ ተግባሩን የያዘውን እኩልነት በደህና ማለፍ እንችላለን ። ስለዚህ, በስርዓታችን ውስጥ የተካተቱት አገላለጾች ቁጥር ወደ ሶስት ይቀንሳል.

እርግጥ ነው፣ በተመሳሳዩ ስኬት የሊኒየር ኢ-ፍትሃዊነትን ማለትም x − 2> 0ን ማቋረጥ እና 2x 2 − 13x + 18> 0ን ልንጠይቅ እንችላለን። ነገር ግን በጣም ቀላል የሆነውን የመስመር ልዩነት መፍታት በጣም ፈጣን እንደሆነ ይስማማሉ። እና ቀላል ፣ ከኳድራቲክ ይልቅ ፣ ይህንን አጠቃላይ ስርዓት በመፍታት ምክንያት ተመሳሳይ ሥሮች እናገኛለን።

በአጠቃላይ በተቻለ መጠን ስሌቶችን ለማመቻቸት ይሞክሩ. እና በሎጋሪዝም እኩልታዎች ውስጥ, በጣም አስቸጋሪ የሆኑትን እኩልነት ያቋርጡ.

ስርዓታችንን እንደገና እንፃፍ፡-

እዚህ ላይ የሶስት አገላለጾች ስርዓት አለ, ከእነዚህ ውስጥ ሁለቱ, በእውነቱ, ቀደም ብለን የተነጋገርንባቸው. ኳድራቲክ እኩልታውን ለየብቻ እንጽፈው እና እንፍታው፡-

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

ከኛ በፊት የቀነሰ ባለአራት ትሪኖሚል ነው፣ እና ስለዚህ፣ የቪዬታ ቀመሮችን መጠቀም እንችላለን። እናገኛለን፡-

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

አሁን ወደ ስርዓታችን ተመልሰን x = 2 የማይስማማን ሆኖ አግኝተነዋል። ምክንያቱም x በጥብቅ ከ2 በላይ መሆን ይጠበቅብናል።

ነገር ግን x = 5 በትክክል ይስማማናል፡ ቁጥሩ 5 ከ 2 ይበልጣል፣ በተመሳሳይ ጊዜ 5 ከ 3 ጋር እኩል አይደለም ። ስለዚህ የዚህ ስርዓት ብቸኛው መፍትሄ x = 5 ይሆናል።

ያ ብቻ ነው, ችግሩ ተፈትቷል, ODZ ን ግምት ውስጥ ማስገባት ጨምሮ. ወደ ሁለተኛው እኩልታ እንሂድ። የበለጠ አስደሳች እና መረጃ ሰጭ ስሌቶች እዚህ ይጠብቁናል፡-

የመጀመሪያው እርምጃ: ልክ እንደ ባለፈው ጊዜ, ይህንን ጉዳይ በሙሉ ወደ ቀኖናዊ መልክ እናመጣለን. ይህንን ለማድረግ ቁጥር 9 ን እንደሚከተለው መጻፍ እንችላለን-

መሰረቱን ከሥሩ ጋር መንካት የለብዎትም, ግን ክርክሩን መቀየር የተሻለ ነው. ምክንያታዊ ገላጭ ይዘን ከሥሩ ወደ ኃይል እንሸጋገር። እንተዘይኮይኑ፡ ኣብ ውሽጣዊ ምምሕዳራዊ ምምሕዳርን ምምሕዳርን ምሉእ ብምሉእ ምሉእ ብምሉእ ምሉእ ብምሉእ ብምሉእ ንጽበ።

የኛን ትልቅ የሎጋሪዝም እኩልታ እንደገና ልጽፍ፣ ነገር ግን ወዲያውኑ ክርክሮችን አስተካክል፡-

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ከእኛ በፊት አዲስ የተቀነሰ ባለአራት ትሪኖሚል ነው፣ የቪዬታ ቀመሮችን እንጠቀም እና እንፃፍ፡-

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

ስለዚህ፣ ሥሩን አግኝተናል፣ ነገር ግን ማንም ሰው ከዋናው ሎጋሪዝም እኩልነት ጋር እንደሚጣጣሙ ዋስትና አልሰጠንም። ከሁሉም በላይ, የምዝግብ ማስታወሻዎቹ ተጨማሪ ገደቦችን ያስገድዳሉ (እዚህ ላይ ስርዓቱን መፃፍ ነበረብን, ነገር ግን በአጠቃላዩ መዋቅር አስቸጋሪ ባህሪ ምክንያት, የትርጉም ጎራውን በተናጠል ለማስላት ወሰንኩ).

በመጀመሪያ ደረጃ፣ ክርክሮቹ ከ 0 በላይ መሆን እንዳለባቸው ያስታውሱ፡-

እነዚህ በትርጉም ወሰን የተቀመጡ መስፈርቶች ናቸው.

የስርአቱን የመጀመሪያዎቹን ሁለት አባባሎች እርስ በርስ በማመሳሰል ማናቸውንም መሻገር እንደምንችል ወዲያውኑ እናስተውል. ከሁለተኛው የበለጠ አስጊ ስለሚመስል የመጀመሪያውን እንሻገር።

በተጨማሪም ፣ ለሁለተኛው እና ለሦስተኛው አለመመጣጠን መፍትሄው ተመሳሳይ ስብስቦች እንደሚሆን ልብ ይበሉ (የአንዳንድ ቁጥሮች ኪዩብ ከዜሮ የበለጠ ነው ፣ ይህ ቁጥር ራሱ ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ፣ በተመሳሳይ ፣ ከሶስተኛ ዲግሪ ሥር - እነዚህ እኩልነቶች) ሙሉ ለሙሉ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህ እኛ ማቋረጥ እንችላለን).

ነገር ግን በሶስተኛው እኩልነት ይህ አይሰራም. ሁለቱንም ክፍሎች ወደ ኩብ በማንሳት በግራ በኩል ያለውን ራዲካል ምልክት እናስወግድ. እናገኛለን፡-

ስለዚህ የሚከተሉትን መስፈርቶች እናገኛለን:

- 2 ≠ x > -3

ከሥሮቻችን የትኛው ነው: x 1 = -3 ወይም x 2 = -1 እነዚህን መስፈርቶች የሚያሟላ? በግልጽ እንደሚታየው x = -1 ብቻ ነው ምክንያቱም x = -3 የመጀመሪያውን አለመመጣጠን አያረካም (የእኛ እኩልነት ጥብቅ ስለሆነ)። ስለዚህ, ወደ ችግራችን ስንመለስ, አንድ ሥር እናገኛለን: x = -1. ያ ነው ፣ ችግሩ ተፈቷል ።

አሁንም የዚህ ተግባር ቁልፍ ነጥቦች፡-

1. ቀኖናዊ ቅፅን በመጠቀም የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመተግበር እና ለመፍታት ነፃነት ይሰማህ። እንደዚህ አይነት ማስታወሻ የሚያደርጉ ተማሪዎች፣ ከዋናው ችግር በቀጥታ ወደ ሎግ a f (x) = b ወደ ግንባታ ከመሄድ ይልቅ፣ የሆነ ቦታ ላይ ከሚጣደፉ ሰዎች በጣም ያነሰ ስህተት ይሰራሉ፣ መካከለኛውን የሂሳብ እርምጃዎችን በመዝለል;
2. ተለዋዋጭ መሠረት በሎጋሪዝም ውስጥ እንደታየ ችግሩ በጣም ቀላል ሆኖ ያቆማል። ስለዚህ, በሚፈታበት ጊዜ, የትርጉም ጎራውን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው: ክርክሮቹ ከዜሮ በላይ መሆን አለባቸው, እና መሠረቶቹ ከ 0 በላይ መሆን ብቻ ሳይሆን ከ 1 ጋር እኩል መሆን የለባቸውም.

የመጨረሻዎቹ መስፈርቶች ለመጨረሻዎቹ መልሶች በተለያየ መንገድ ሊተገበሩ ይችላሉ. ለምሳሌ, ለትርጉሙ ጎራ ሁሉንም መስፈርቶች የያዘውን አጠቃላይ ስርዓት መፍታት ይችላሉ. በሌላ በኩል, በመጀመሪያ ችግሩን ራሱ መፍታት ይችላሉ, ከዚያም የትርጓሜውን ጎራ አስታውሱ, በተናጥል በስርአት መልክ ይሠራሉ እና በተገኙት ሥሮች ላይ ይተግብሩ.

አንድ የተወሰነ የሎጋሪዝም እኩልታ ሲፈቱ የትኛውን ዘዴ እንደሚመርጡ የእርስዎ ምርጫ ነው። ያም ሆነ ይህ, መልሱ ተመሳሳይ ይሆናል.