Wacha tuzingatie mada ya kubadilisha misemo na nguvu, lakini kwanza tuzingatie mabadiliko kadhaa ambayo yanaweza kufanywa na misemo yoyote, pamoja na ya nguvu. Tutajifunza kufungua mabano, kuleta masharti yanayofanana, fanya kazi na msingi na kielelezo, tumia mali ya digrii.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Maneno ya nguvu ni nini?
KATIKA kozi ya shule Watu wachache hutumia maneno "maneno ya nguvu," lakini neno hili linapatikana kila mara katika makusanyo ya kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Katika hali nyingi, kishazi huashiria misemo ambayo ina digrii katika maingizo yao. Hivi ndivyo tutakavyotafakari katika ufafanuzi wetu.
Ufafanuzi 1
Kujieleza kwa nguvu ni usemi ulio na nguvu.
Hapa kuna baadhi ya mifano maneno ya nguvu, kuanzia shahada c kiashiria cha asili na kumalizia na shahada yenye kielelezo halisi.
Maneno rahisi zaidi ya nguvu yanaweza kuzingatiwa nguvu za nambari iliyo na kielelezo asilia: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Na pia nguvu zilizo na kipeo cha sifuri: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Na digrii zilizo na nambari kamili nguvu hasi: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Ni ngumu zaidi kufanya kazi na digrii ambayo ina vielelezo vya busara na visivyo na maana: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Kiashiria kinaweza kuwa tofauti 3 x - 54 - 7 3 x - 58 au logarithm x 2 · l g x - 5 · x l g x.
Tumeshughulikia swali la maneno ya nguvu ni nini. Sasa hebu tuanze kuwageuza.
Aina kuu za mabadiliko ya maneno ya nguvu
Kwanza kabisa, tutaangalia mabadiliko ya msingi ya utambulisho wa misemo ambayo inaweza kufanywa kwa maneno ya nguvu.
Mfano 1
Hesabu thamani ya usemi wa nguvu 2 3 (4 2 − 12).
Suluhisho
Tutafanya mabadiliko yote kwa kufuata utaratibu wa vitendo. KATIKA kwa kesi hii Tutaanza kwa kufanya vitendo katika mabano: tutachukua nafasi ya shahada na thamani ya digital na kuhesabu tofauti ya namba mbili. Tuna 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Tunachopaswa kufanya ni kuchukua nafasi ya digrii 2 3 maana yake 8 na kuhesabu bidhaa 8 4 = 32. Hili hapa jibu letu.
Jibu: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
Mfano 2
Rahisisha usemi kwa kutumia nguvu 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b - 7.
Suluhisho
Usemi tuliopewa katika taarifa ya tatizo una maneno sawa ambayo tunaweza kutoa: 3 a 4 b - 7 − 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.
Jibu: 3 · a 4 · b - 7 − 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 − 1.
Mfano 3
Eleza usemi kwa uwezo 9 - b 3 · π - 1 2 kama bidhaa.
Suluhisho
Wacha tufikirie nambari 9 kama nguvu 3 2 na utumie fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Jibu: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Sasa tuendelee kwenye uchambuzi mabadiliko ya utambulisho, ambayo inaweza kutumika hasa kwa maneno ya nguvu.
Kufanya kazi na msingi na kielelezo
Shahada katika msingi au kipeo kinaweza kuwa na nambari, vigeuzi na baadhi ya vielezi. Kwa mfano, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Na . Kufanya kazi na rekodi kama hizo ni ngumu. Ni rahisi zaidi kuchukua nafasi ya usemi katika msingi wa shahada au usemi katika kielezio unafanana kujieleza sawa.
Mabadiliko ya shahada na kielelezo hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana kwetu tofauti na kila mmoja. Jambo muhimu zaidi ni kwamba mabadiliko husababisha usemi unaofanana na ule wa asili.
Madhumuni ya mabadiliko ni kurahisisha usemi asilia au kupata suluhu la tatizo. Kwa mfano, katika mfano tulioutoa hapo juu, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 unaweza kufuata hatua za kwenda kwa digrii. 4 , 1 1 , 3 . Kwa kufungua mabano, tunaweza kuwasilisha maneno sawa na msingi wa nguvu (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) na kupata usemi wa nguvu wa zaidi aina rahisi a 2 (x + 1).
Kwa kutumia Sifa za Shahada
Sifa za mamlaka, zilizoandikwa kwa namna ya usawa, ni mojawapo ya zana kuu za kubadilisha maneno na mamlaka. Tunawasilisha hapa kuu, kwa kuzingatia hilo a Na b ni nambari zozote chanya, na r Na s- nambari za kweli za kiholela:
Ufafanuzi 2
- a r · a s = a r + s;
- a r: a s = a r - s;
- (a · b) r = a r · b r;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s.
Katika hali ambapo tunashughulika na vipeo vya asili, kamili, vyema, vizuizi vya nambari a na b vinaweza kuwa vikali kidogo. Kwa hivyo, kwa mfano, ikiwa tunazingatia usawa a m · a n = a m + n, Wapi m Na n ni nambari za asili, basi itakuwa kweli kwa maadili yoyote ya a, chanya na hasi, na vile vile kwa a = 0.
Unaweza kutumia mali ya mamlaka bila vikwazo katika hali ambapo misingi ya mamlaka ni chanya au ina vigezo, eneo maadili yanayokubalika ambayo ni kwamba msingi juu yake unakubali tu maadili chanya. Kwa kweli, ndani mtaala wa shule katika hisabati, kazi ya mwanafunzi ni kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi.
Wakati wa kuandaa kuingia vyuo vikuu, unaweza kukutana na matatizo ambayo matumizi yasiyo sahihi ya mali yatasababisha kupungua kwa DL na matatizo mengine katika kutatua. KATIKA sehemu hii Tutachunguza kesi mbili tu kama hizo. Habari zaidi juu ya mada inaweza kupatikana katika mada "Kubadilisha misemo kwa kutumia mali ya nguvu".
Mfano 4
Hebu wazia usemi huo a 2 , 5 (a 2) − 3: a - 5 , 5 kwa namna ya nguvu yenye msingi a.
Suluhisho
Kwanza, tunatumia mali ya udhihirisho na kubadilisha sababu ya pili kwa kuitumia (a 2) − 3. Kisha tunatumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu na msingi sawa:
a 2, 5 · a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 − 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - 5, 5 = a - 3, 5 - 5 5) = a 2.
Jibu: a 2, 5 · (a 2) − 3: a - 5, 5 = a 2.
Mabadiliko ya maneno ya nguvu kulingana na mali ya mamlaka yanaweza kufanywa wote kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.
Mfano 5
Pata thamani ya usemi wa nguvu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Suluhisho
Ikiwa tutatumia usawa (a · b) r = a r · b r, kutoka kulia kwenda kushoto, tunapata bidhaa ya fomu 3 · 7 1 3 · 21 2 3 na kisha 21 1 3 · 21 2 3 . Wacha tuongeze vielelezo wakati wa kuzidisha nguvu na kwa misingi hiyo hiyo: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Kuna njia nyingine ya kufanya mabadiliko:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Jibu: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Mfano 6
Imepewa usemi wa nguvu a 1, 5 - a 0, 5 - 6, ingiza kigezo kipya t = a 0.5.
Suluhisho
Hebu fikiria shahada ya 1, 5 Vipi ya 0.5 3. Kutumia mali ya digrii hadi digrii (a r) s = a r · s kutoka kulia kwenda kushoto na tunapata (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Unaweza kutambulisha kwa urahisi utofauti mpya katika usemi unaotokana t = a 0.5: tunapata t 3 − t -6.
Jibu: t 3 − t -6 .
Kubadilisha sehemu zenye nguvu
Kwa kawaida tunashughulika na matoleo mawili ya vielezi vya nguvu na visehemu: usemi huwakilisha sehemu yenye nguvu au huwa na sehemu kama hiyo. Mabadiliko yote ya kimsingi ya sehemu yanatumika kwa misemo kama hiyo bila vizuizi. Wanaweza kupunguzwa, kuletwa kwa denominator mpya, au kufanya kazi tofauti na nambari na denominator. Hebu tuonyeshe hili kwa mifano.
Mfano 7
Rahisisha usemi wa nguvu 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Suluhisho
Tunashughulika na sehemu, kwa hivyo tutafanya mabadiliko katika nambari na dhehebu:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Weka ishara ya minus mbele ya sehemu ili kubadilisha ishara ya denominator: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Jibu: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Visehemu vilivyo na mamlaka hupunguzwa hadi denominator mpya kwa njia sawa na sehemu za busara. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata sababu ya ziada na kuzidisha nambari na denominator ya sehemu hiyo. Inahitajika kuchagua sababu ya ziada kwa njia ambayo haiendi kwa sifuri kwa maadili yoyote ya anuwai kutoka kwa anuwai ya ODZ kwa usemi wa asili.
Mfano 8
Punguza sehemu ziwe denominata mpya: a) a + 1 a 0, 7 hadi denominator a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 kwa denominator x + 8 · y 1 2 .
Suluhisho
a) Wacha tuchague sababu ambayo itaturuhusu kupunguza hadi denominator mpya. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, kwa hivyo, kama sababu ya ziada tutachukua ya 0, 3. Aina mbalimbali za thamani zinazoruhusiwa za kigezo a hujumuisha seti ya zote chanya nambari za kweli. Shahada katika fani hii ya 0, 3 haiendi kwa sifuri.
Hebu tuzidishe nambari na denominator ya sehemu kwa ya 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Wacha tuzingatie dhehebu:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Hebu tuzidishe usemi huu kwa x 1 3 + 2 · y 1 6, tunapata jumla ya cubes x 1 3 na 2 · y 1 6, i.e. x + 8 · y 1 2 . Hii ni yetu dhehebu mpya, ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.
Hivi ndivyo tulivyopata kipengele cha ziada x 1 3 + 2 · y 1 6 . Juu ya anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya anuwai x Na y usemi x 1 3 + 2 y 1 6 haupotei, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha nambari na denominator ya sehemu nayo:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Jibu: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 na 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Mfano 9
Punguza sehemu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Suluhisho
a) Tunatumia dhehebu kubwa zaidi la kawaida (GCD), ambalo tunaweza kupunguza nambari na denominator. Kwa nambari 30 na 45 ni 15. Tunaweza pia kupunguza kwa x0.5+1 na kwa x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Tunapata:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Hapa uwepo wa mambo yanayofanana si dhahiri. Utalazimika kufanya mabadiliko kadhaa ili kupata mambo sawa katika nambari na denominator. Ili kufanya hivyo, tunapanua dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Jibu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Uendeshaji wa kimsingi na sehemu ni pamoja na kubadilisha sehemu hadi denominator mpya na kupunguza sehemu. Vitendo vyote viwili vinafanywa kwa kufuata sheria kadhaa. Wakati wa kuongeza na kupunguza sehemu, sehemu hupunguzwa kwanza dhehebu la kawaida, baada ya hapo shughuli (kuongeza au kutoa) hufanyika na nambari. Denominator inabakia sawa. Matokeo ya matendo yetu ni sehemu mpya, nambari ambayo ni zao la nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators.
Mfano 10
Fanya hatua x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Suluhisho
Wacha tuanze kwa kutoa sehemu ambazo ziko kwenye mabano. Wacha tuwalete kwa dhehebu la kawaida:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Wacha tuondoe nambari:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Sasa tunazidisha sehemu:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Wacha tupunguze kwa nguvu x 1 2, tunapata 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Zaidi ya hayo, unaweza kurahisisha usemi wa nguvu katika denominator kwa kutumia tofauti ya fomula ya mraba: mraba: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Jibu: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Mfano 11
Rahisisha usemi wa sheria-nguvu x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Suluhisho
Tunaweza kupunguza sehemu kwa (x 2 , 7 + 1) 2. Tunapata sehemu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Wacha tuendelee kubadilisha nguvu za x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Sasa unaweza kutumia mali ya mamlaka ya kugawanya kwa misingi sawa: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Tunahama kutoka kazi ya mwisho kwa sehemu x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Jibu: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vizidishi na viashiria hasi Katika hali nyingi, ni rahisi zaidi kuhamisha digrii kutoka kwa nambari hadi kwa denominator na nyuma, kubadilisha ishara ya kielelezo. Kitendo hiki hukuruhusu kurahisisha uamuzi zaidi. Wacha tutoe mfano: usemi wa nguvu (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 inaweza kubadilishwa na x 3 · (x + 1) 0, 2.
Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu
Katika matatizo kuna maneno ya nguvu ambayo yana si tu nguvu na viashiria vya sehemu, lakini pia mizizi. Inashauriwa kupunguza maneno kama hayo tu kwa mizizi au kwa nguvu tu. Kwenda digrii ni vyema kwani ni rahisi kufanya kazi nazo. Mpito huu unapendekezwa hasa wakati ODZ ya vigeu vya usemi asilia hukuruhusu kubadilisha mizizi kwa nguvu bila hitaji la kufikia moduli au kugawanya ODZ katika vipindi kadhaa.
Mfano 12
Eleza usemi x 1 9 · x · x 3 6 kama nguvu.
Suluhisho
Masafa ya thamani tofauti zinazoruhusiwa x inafafanuliwa na tofauti mbili x ≥0 na x x 3 ≥ 0, ambayo inafafanua seti [ 0 , + ∞) .
Kwenye seti hii tunayo haki ya kuhama kutoka kwa mizizi hadi kwa nguvu:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Kwa kutumia sifa za mamlaka, tunarahisisha usemi wa nguvu unaotokana.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Jibu: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Kubadilisha nguvu na vigeu katika kipeo
Mabadiliko haya ni rahisi sana kufanya ikiwa utatumia sifa za digrii kwa usahihi. Kwa mfano, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Tunaweza kuchukua nafasi kwa bidhaa ya mamlaka, vielelezo vyake ambavyo ni jumla ya kutofautisha na nambari. Kwa upande wa kushoto, hii inaweza kufanywa na masharti ya kwanza na ya mwisho ya upande wa kushoto wa usemi:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
Sasa hebu tugawanye pande zote mbili za usawa 7 2 x. Usemi huu wa kutofautisha x huchukua tu maadili chanya:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Wacha tupunguze sehemu kwa nguvu, tunapata: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Hatimaye, uwiano wa mamlaka na viashiria sawa inabadilishwa na nguvu za uwiano, na kusababisha equation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ambayo ni sawa na 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.
Hebu tuanzishe tofauti mpya t = 5 7 x , ambayo inapunguza ufumbuzi wa awali mlingano wa kielelezo kutatua equation ya quadratic 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .
Kubadilisha misemo kwa nguvu na logariti
Misemo iliyo na nguvu na logariti pia hupatikana katika shida. Mfano wa misemo kama hii ni: 1 4 1 - 5 · log 2 3 au log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Mabadiliko ya misemo kama hii hufanywa kwa kutumia mbinu na mali za logarithms zilizojadiliwa hapo juu, ambazo tulijadili kwa undani katika mada "Mabadiliko ya misemo ya logarithmic".
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Somo juu ya mada: "Kanuni za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na vielelezo sawa na tofauti. Mifano"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa. Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 7
Mwongozo wa kitabu cha maandishi Yu.N. Mwongozo wa Makarycheva wa kitabu cha maandishi na A.G. Mordkovich
Kusudi la somo: jifunze kufanya shughuli na nguvu za nambari.
Kwanza, hebu tukumbuke dhana ya "nguvu ya nambari". Kielelezo cha fomu $\underbrace( a * a * \lddots * a )_(n)$ kinaweza kuwakilishwa kama $a^n$.
Mazungumzo pia ni kweli: $a^n= \underbrace( a * a * \ldets * a )_(n)$.
Usawa huu unaitwa "kurekodi digrii kama bidhaa." Itatusaidia kuamua jinsi ya kuzidisha na kugawanya mamlaka.
Kumbuka:
a- msingi wa shahada.
n- kielelezo.
Kama n=1, ambayo ina maana idadi A ilichukua mara moja na ipasavyo: $a^n= 1$.
Kama n = 0, kisha $a^0= 1$.
Tunaweza kujua kwa nini hii hutokea tunapofahamiana na sheria za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka.
Kanuni za kuzidisha
a) Ikiwa mamlaka yenye msingi sawa yanazidishwa.Ili kupata $a^n * a^m$, tunaandika digrii kama bidhaa: $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldets * a ) _(m)$.
takwimu inaonyesha kwamba idadi A wamechukua n+m mara, kisha $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Mfano.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Mali hii ni rahisi kutumia ili kurahisisha kazi wakati wa kuongeza nambari kwa nguvu ya juu.
Mfano.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Ikiwa mamlaka yanazidishwa na sababu tofauti, lakini kwa kiashiria sawa.
Ili kupata $a^n * b^n$, tunaandika digrii kama bidhaa: $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldets * b ) _(m)$.
Ikiwa tutabadilisha vipengele na kuhesabu jozi zinazosababisha, tunapata: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldets * (a * b) )_(n)$.
Kwa hivyo $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Mfano.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Kanuni za mgawanyiko
a) Msingi wa shahada ni sawa, viashiria ni tofauti.Zingatia kugawanya nguvu na kipeo kikubwa zaidi kwa kugawanya nguvu na kipeo kikuu kidogo.
Kwa hiyo, tunahitaji $\frac(a^n)(a^m)$, Wapi n> m.
Wacha tuandike digrii kama sehemu:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Kwa urahisi, tunaandika mgawanyiko kama sehemu rahisi.Sasa hebu tupunguze sehemu.
Inageuka: $\underbrace( a * a * \lddots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ina maana, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Mali hii itasaidia kuelezea hali hiyo kwa kuongeza nambari kwa nguvu ya sifuri. Hebu tuchukulie hivyo n=m, kisha $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Mifano.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Misingi ya shahada ni tofauti, viashiria ni sawa.
Wacha tuseme $\frac(a^n)( b^n)$ ni muhimu. Wacha tuandike nguvu za nambari kama sehemu:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldbrace * a )_(n))(\ underbrace( b * b * \ldbrace * b )_(n))$.
Kwa urahisi, hebu fikiria.
Kutumia mali ya sehemu, tunavunja sehemu kubwa kwa bidhaa za wadogo, tunapata.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Ipasavyo: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Mfano.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Kutatua milinganyo ya kielelezo. Mifano.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Nini kilitokea mlingano wa kielelezo? Huu ni mlinganyo ambao zisizojulikana (x's) na misemo nazo zimo viashiria digrii fulani. Na hapo tu! Ni muhimu.
Hapo ulipo mifano ya milinganyo ya kielelezo:
3 x 2 x = 8 x+3
Kumbuka! Katika misingi ya digrii (chini) - nambari pekee. KATIKA viashiria digrii (hapo juu) - anuwai ya misemo yenye X. Ikiwa, ghafla, X inaonekana kwenye equation mahali pengine isipokuwa kiashiria, kwa mfano:
hii itakuwa equation aina mchanganyiko. Equations kama hizo hazina sheria wazi za kuzitatua. Hatutazingatia kwa sasa. Hapa tutashughulika kutatua milinganyo ya kielelezo katika hali yake safi.
Kwa kweli, hata milinganyo safi ya kielelezo haisuluhishi waziwazi kila wakati. Lakini kuna aina fulani za milinganyo ya kielelezo ambayo inaweza na inapaswa kutatuliwa. Hizi ndizo aina ambazo tutazingatia.
Kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo.
Kwanza, hebu tutatue jambo la msingi sana. Kwa mfano:
Hata bila nadharia yoyote, kwa uteuzi rahisi ni wazi kuwa x = 2. Hakuna zaidi, sawa!? Hakuna thamani nyingine ya X inafanya kazi. Sasa hebu tuangalie suluhisho la equation hii gumu ya kielelezo:
Tumefanya nini? Sisi, kwa kweli, tulitupa tu besi sawa (mara tatu). Imetupwa nje kabisa. Na, habari njema ni, tunapiga msumari kwenye kichwa!
Hakika, ikiwa katika equation ya kielelezo kuna kushoto na kulia sawa nambari kwa mamlaka yoyote, nambari hizi zinaweza kuondolewa na vielelezo vinaweza kusawazishwa. Hisabati inaruhusu. Inabakia kutatua equation rahisi zaidi. Kubwa, sawa?)
Walakini, tukumbuke kwa dhati: Unaweza kuondoa besi tu wakati nambari za msingi upande wa kushoto na kulia ziko katika kutengwa kwa hali ya juu! Bila majirani yoyote na coefficients. Wacha tuseme katika equations:
2 x +2 x+1 = 2 3, au
mbili haziwezi kuondolewa!
Kweli, tumejua jambo muhimu zaidi. Jinsi ya kuendelea kutoka kwa uovu maneno ya kuonyesha kwa milinganyo rahisi zaidi.
"Nyakati ndio hizo!" - unasema. "Nani angetoa somo la zamani kama hilo juu ya mitihani na mitihani!?"
Lazima nikubali. Hakuna atakaye. Lakini sasa unajua mahali pa kulenga wakati wa kutatua mifano ya hila. Inahitajika kuleta kwa fomu ambapo nambari ya msingi sawa iko upande wa kushoto na kulia. Kisha kila kitu kitakuwa rahisi. Kwa kweli, hii ni classic ya hisabati. Tunachukua mfano wa asili na kuibadilisha kuwa inayotaka sisi akili. Kulingana na sheria za hisabati, bila shaka.
Hebu tuangalie mifano ambayo inahitaji jitihada za ziada ili kuzipunguza kwa rahisi zaidi. Hebu tuwaite milinganyo rahisi ya kielelezo.
Kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo. Mifano.
Wakati wa kutatua equations za kielelezo, sheria kuu ni vitendo na digrii. Bila ujuzi wa vitendo hivi hakuna kitu kitakachofanya kazi.
Kwa vitendo na digrii, mtu lazima aongeze uchunguzi wa kibinafsi na ustadi. Tunahitaji nambari sawa- misingi? Kwa hivyo tunazitafuta katika mfano kwa njia ya wazi au iliyosimbwa.
Hebu tuone jinsi hii inafanywa katika mazoezi?
Hebu tupe mfano:
2 2x - 8 x+1 = 0
mtazamo wa kwanza ni katika misingi. Wao... Ni tofauti! Mbili na nane. Lakini ni mapema sana kukata tamaa. Ni wakati wa kukumbuka hilo
Wawili na wanane ni jamaa katika shahada.) Inawezekana kabisa kuandika:
8 x+1 = (2 3) x+1
Ikiwa tunakumbuka formula kutoka kwa shughuli na digrii:
(a) m = nm ,
hii inafanya kazi nzuri:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Mfano wa asili ulianza kuonekana kama hii:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Tunahamisha 2 3 (x+1) kulia (hakuna mtu aliyeghairi shughuli za msingi za hisabati!), Tunapata:
2 2x = 2 3(x+1)
Hiyo ni kivitendo yote. Kuondoa misingi:
Sisi kutatua monster hii na kupata
Hili ndilo jibu sahihi.
Katika mfano huu, kujua nguvu za wawili kulitusaidia. Sisi kutambuliwa katika nane kuna mbili zilizosimbwa. Mbinu hii (usimbuaji misingi ya pamoja chini nambari tofauti) ni mbinu maarufu sana katika milinganyo ya kielelezo! Ndio, na katika logarithms pia. Lazima uweze kutambua nguvu za nambari zingine kwa nambari. Hii ni muhimu sana kwa kutatua milinganyo ya kielelezo.
Ukweli ni kwamba kuinua nambari yoyote kwa nguvu yoyote sio shida. Zidisha, hata kwenye karatasi, na ndivyo hivyo. Kwa mfano, mtu yeyote anaweza kuongeza 3 hadi nguvu ya tano. 243 itafanya kazi ikiwa unajua jedwali la kuzidisha.) Lakini katika milinganyo ya kielelezo, mara nyingi zaidi sio lazima kuongeza nguvu, lakini kinyume chake... Jua. namba ngapi kwa kiwango gani imefichwa nyuma ya nambari 243, au, sema, 343 ... Hakuna calculator itakusaidia hapa.
Unahitaji kujua nguvu za nambari fulani kwa kuona, sawa ... Hebu tufanye mazoezi?
Amua ni nguvu gani na nambari ni nambari gani:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Majibu (katika fujo, bila shaka!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ukiangalia kwa karibu unaweza kuona ukweli wa ajabu. Kuna majibu mengi zaidi kuliko majukumu! Kweli, hufanyika ... Kwa mfano, 2 6, 4 3, 8 2 - hiyo ni 64 tu.
Hebu tuchukulie kuwa umezingatia taarifa kuhusu kufahamiana na nambari.) Acha nikukumbushe pia kwamba kutatua milinganyo ya kielelezo tunayotumia. zote hisa maarifa ya hisabati. Ikiwa ni pamoja na wale kutoka madarasa ya chini na kati. Hukwenda shule ya upili moja kwa moja, sivyo?)
Kwa mfano, wakati wa kusuluhisha milinganyo ya kielelezo, kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano mara nyingi husaidia (jambo kwa daraja la 7!). Hebu tuangalie mfano:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Na tena, mtazamo wa kwanza uko kwenye misingi! Misingi ya digrii ni tofauti ... Tatu na tisa. Lakini tunataka wawe sawa. Kweli, katika kesi hii hamu inatimizwa kabisa!) Kwa sababu:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Kutumia sheria sawa za kushughulika na digrii:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Hiyo ni nzuri, unaweza kuiandika:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Tulitoa mfano kwa sababu hizo hizo. Kwa hivyo, ni nini kinachofuata!? Huwezi kutupa nje tatu... Dead end?
Hapana kabisa. Tunakumbuka zaidi zima na utawala wenye nguvu ufumbuzi kila mtu kazi za hisabati:
Ikiwa hujui unachohitaji, fanya unachoweza!
Angalia, kila kitu kitafanya kazi).
Ni nini katika mlingano huu wa kielelezo Je! kufanya? Ndiyo, upande wa kushoto inaomba tu kuondolewa kwenye mabano! Jumla ya kizidishi 3 2x inaonyesha wazi hii. Wacha tujaribu, halafu tutaona:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Mfano unaendelea kuwa bora na bora!
Tunakumbuka kuwa ili kuondoa misingi tunahitaji digrii safi, bila coefficients yoyote. Nambari 70 inatusumbua. Kwa hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation na 70, tunapata:
Lo! Kila kitu kilikuwa bora!
Hili ndilo jibu la mwisho.
Inatokea, hata hivyo, kwamba teksi kwa msingi huo huo hupatikana, lakini uondoaji wao hauwezekani. Hii hutokea katika aina nyingine za milinganyo ya kielelezo. Hebu bwana aina hii.
Kubadilisha kigezo katika kutatua milinganyo ya kielelezo. Mifano.
Wacha tusuluhishe equation:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Kwanza - kama kawaida. Wacha tuendelee kwenye msingi mmoja. Kwa deu.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Tunapata equation:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Na hapa ndipo tunapokaa. Mbinu za awali hazitafanya kazi, bila kujali jinsi unavyoiangalia. Itabidi tupate mwingine mwenye nguvu na mbinu ya ulimwengu wote. Inaitwa uingizwaji wa kutofautiana.
Kiini cha njia ni ya kushangaza rahisi. Badala ya icon moja ngumu (kwa upande wetu - 2 x) tunaandika nyingine, rahisi zaidi (kwa mfano - t). Uingizwaji huo unaoonekana usio na maana husababisha matokeo ya kushangaza!) Kila kitu kinakuwa wazi na kinaeleweka!
Basi basi
Kisha 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
Katika equation yetu tunabadilisha nguvu zote na x kwa t:
Kweli, inakuja kwako?) Milinganyo ya quadratic Je, umesahau bado? Kutatua kupitia ubaguzi, tunapata:
Jambo kuu hapa sio kuacha, kama inavyotokea ... Hili sio jibu bado, tunahitaji x, sio t. Hebu turudi kwa X, i.e. tunafanya uingizwaji wa nyuma. Kwanza kwa t 1:
Hiyo ni,
Mzizi mmoja ulipatikana. Tunatafuta ya pili kutoka t 2:
Hm... 2 x upande wa kushoto, 1 kulia... Tatizo? Hapana kabisa! Inatosha kukumbuka (kutoka kwa shughuli zilizo na nguvu, ndio ...) kwamba kitengo ni yoyote nambari ndani shahada ya sifuri. Yoyote. Chochote kinachohitajika, tutaiweka. Tunahitaji mbili. Maana:
Hiyo ndiyo sasa. Tuna mizizi 2:
Hili ndilo jibu.
Katika kutatua milinganyo ya kielelezo mwisho wakati mwingine unaishia na aina fulani ya usemi mbaya. Aina:
Kuanzia saba hadi mbili shahada rahisi haifanyi kazi. Sio jamaa... Tunawezaje kuwa? Mtu anaweza kuchanganyikiwa ... Lakini mtu ambaye alisoma kwenye tovuti hii mada "Logarithm ni nini?" , tabasamu kidogo na uandike kwa mkono thabiti jibu sahihi kabisa:
Hakuwezi kuwa na jibu kama hilo katika kazi "B" kwenye Mtihani wa Jimbo Umoja. Hapo nambari maalum inahitajika. Lakini katika kazi "C" ni rahisi.
Somo hili linatoa mifano ya kusuluhisha milinganyo ya kawaida ya kielelezo. Hebu tuangazie mambo makuu.
1. Kwanza kabisa, tunaangalia misingi digrii. Tunashangaa ikiwa inawezekana kuwafanya kufanana. Hebu jaribu kufanya hivyo kwa kutumia kikamilifu vitendo na digrii. Usisahau kwamba nambari zisizo na x pia zinaweza kubadilishwa kuwa nguvu!
2. Tunajaribu kuleta equation ya kielelezo kwa fomu wakati upande wa kushoto na wa kulia kuna sawa idadi katika mamlaka yoyote. Tunatumia vitendo na digrii Na factorization. Ni nini kinachoweza kuhesabiwa kwa nambari, tunahesabu.
3. Ikiwa ncha ya pili haifanyi kazi, jaribu kutumia uingizwaji wa kutofautiana. Matokeo yake inaweza kuwa equation ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Mara nyingi - mraba. Au sehemu, ambayo pia inapunguza mraba.
4. Ili kutatua equations za kielelezo kwa mafanikio, unahitaji kujua nguvu za nambari fulani kwa kuona.
Kama kawaida, mwishoni mwa somo unaalikwa kuamua kidogo.) Wewe mwenyewe. Kutoka rahisi hadi ngumu.
Tatua milinganyo ya kielelezo:
Ngumu zaidi:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
Pata bidhaa ya mizizi:
2 3 + 2 x = 9
Imetokea?
Naam basi mfano mgumu zaidi(iliamua, hata hivyo, katika akili ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
Ni nini kinachovutia zaidi? Kisha hapa kuna mfano mbaya kwako. Imevutwa kabisa kuongezeka kwa ugumu. Acha nidokeze kuwa katika mfano huu, kinachokuokoa ni werevu na sheria ya ulimwengu wote ya kutatua shida zote za hesabu.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Mfano rahisi, kwa kupumzika):
9 2 x - 4 3 x = 0
Na kwa dessert. Pata jumla ya mizizi ya equation:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ndiyo ndiyo! Huu ni mlinganyo wa aina mchanganyiko! Ambayo hatukuzingatia katika somo hili. Kwa nini uzizingatie, zinahitaji kutatuliwa!) Somo hili linatosha kabisa kutatua mlingano. Naam, unahitaji werevu... Na huenda darasa la saba likusaidie (hili ni dokezo!).
Majibu (katika mpangilio tofauti, yakitenganishwa na nusukoloni):
1; 2; 3; 4; hakuna suluhisho; 2; -2; -5; 4; 0.
Je, kila kitu kinafanikiwa? Kubwa.
Kuna tatizo? Hakuna shida! Katika Sehemu Maalum ya 555, milinganyo hii yote ya kielelezo inatatuliwa na maelezo ya kina. Nini, kwa nini, na kwa nini. Na, bila shaka, kuna maelezo ya ziada ya thamani juu ya kufanya kazi na kila aina ya equations ya kielelezo. Sio hizi tu.)
Swali moja la mwisho la kufurahisha kuzingatia. Katika somo hili tulifanya kazi na milinganyo ya kielelezo. Kwa nini sikusema neno kuhusu ODZ hapa? Katika equations, hii ni jambo muhimu sana, kwa njia ...
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Semi, ubadilishaji wa kujieleza
Maneno ya nguvu (maneno yenye nguvu) na mabadiliko yao
Katika makala hii tutazungumza juu ya kubadilisha maneno na nguvu. Kwanza, tutazingatia mabadiliko ambayo hufanywa kwa maneno ya aina yoyote, ikiwa ni pamoja na maneno ya nguvu, kama vile kufungua mabano na kuleta maneno sawa. Na kisha tutachambua mabadiliko ya asili haswa katika misemo na digrii: kufanya kazi na msingi na kielelezo, kwa kutumia mali ya digrii, nk.
Urambazaji wa ukurasa.
Maneno ya nguvu ni nini?
Neno "maneno ya nguvu" karibu halitumiki kamwe vitabu vya shule hisabati, lakini inaonekana mara nyingi katika makusanyo ya matatizo, hasa yale yaliyokusudiwa kutayarisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa mfano. Baada ya kuchambua majukumu ambayo ni muhimu kufanya vitendo vyovyote na maneno ya nguvu, inakuwa wazi kuwa maneno ya nguvu yanaeleweka kama maneno yenye nguvu katika maingizo yao. Kwa hivyo, unaweza kukubali ufafanuzi ufuatao kwako mwenyewe:
Ufafanuzi.
Maneno ya nguvu ni maneno yenye mamlaka.
Hebu tupe mifano ya maneno ya nguvu. Zaidi ya hayo, tutaziwasilisha kulingana na jinsi ukuzaji wa maoni kutoka kwa digrii yenye kielelezo asilia hadi digrii yenye kielelezo halisi hutokea.
Kama inavyojulikana, mtu wa kwanza anafahamiana na nguvu ya nambari iliyo na kielelezo asilia; 4, 3 a 2 huonekana −a+a 2, x 3−1 , (a 2) 3 nk.
Baadaye kidogo, nguvu ya nambari iliyo na kielelezo kamili inasomwa, ambayo husababisha kuonekana kwa misemo ya nguvu na nguvu hasi kamili, kama ifuatayo: 3 -2, 
, a -2 +2 b −3 +c 2 .
Katika shule ya upili wanarudi digrii. Hapo shahada inatambulishwa kiashiria cha busara, ambayo inajumuisha mwonekano wa misemo inayolingana ya nguvu: 
, , 
Nakadhalika. Hatimaye, digrii zilizo na vielezi visivyo na mantiki na misemo iliyo nazo huzingatiwa: , .
Jambo hilo halizuiliwi kwa misemo ya nguvu iliyoorodheshwa: zaidi kigezo hupenya ndani ya kipeo, na, kwa mfano, misemo ifuatayo inatokea: 2 x 2 +1 au 
. Na baada ya kufahamiana na , misemo yenye nguvu na logariti huanza kuonekana, kwa mfano, x 2·lgx −5·x lgx.
Kwa hivyo, tumeshughulikia swali la nini maneno ya nguvu yanawakilisha. Ifuatayo tutajifunza kuwabadilisha.
Aina kuu za mabadiliko ya maneno ya nguvu
Kwa vielezi vya nguvu, unaweza kufanya mabadiliko yoyote ya msingi ya utambulisho wa misemo. Kwa mfano, unaweza kupanua mabano, kuchukua nafasi maneno ya nambari maadili yao, kutoa masharti sawa, nk. Kwa kawaida, katika kesi hii, ni muhimu kufuata utaratibu uliokubaliwa wa kufanya vitendo. Hebu tutoe mifano.
Mfano.
Hesabu thamani ya usemi wa nguvu 2 3 ·(4 2 -12) .
Suluhisho.
Kwa mujibu wa utaratibu wa utekelezaji wa vitendo, kwanza fanya vitendo katika mabano. Huko, kwanza, tunabadilisha nguvu 4 2 na thamani yake 16 (ikiwa ni lazima, tazama), na pili, tunahesabu tofauti 16-12 = 4. Tuna 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Katika usemi unaosababisha, tunabadilisha nguvu 2 3 na thamani yake 8, baada ya hapo tunahesabu bidhaa 8 · 4 = 32. Hii ndiyo thamani inayotakiwa.
Kwa hiyo, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Jibu:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Mfano.
Rahisisha usemi kwa kutumia nguvu 3 a 4 b -7 −1+2 a 4 b -7.
Suluhisho.
Ni dhahiri kwamba usemi huu ina maneno sawa 3·a 4 ·b −7 na 2·a 4 ·b −7 , na tunaweza kuwapa:.
Jibu:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Mfano.
Eleza usemi wenye nguvu kama bidhaa.
Suluhisho.
Unaweza kukabiliana na kazi hiyo kwa kuwakilisha nambari 9 kama nguvu ya 3 2 na kisha kutumia fomula ya kuzidisha kwa kifupi - tofauti ya miraba: 
Jibu:
Pia kuna idadi ya mabadiliko yanayofanana asili hasa katika usemi wa nguvu. Tutazichambua zaidi.
Kufanya kazi na msingi na kielelezo
Kuna digrii ambazo msingi na/au kielelezo si nambari au vigeu tu, bali baadhi ya misemo. Kwa mfano, tunatoa maingizo (2+0.3·7) 5−3.7 na (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Unapofanya kazi na misemo kama hii, unaweza kuchukua nafasi ya usemi katika msingi wa shahada na usemi katika kielelezo kwa usemi sawa sawa katika ODZ ya vigeu vyake. Kwa maneno mengine, kulingana na sheria zinazojulikana kwetu, tunaweza kubadilisha msingi wa digrii na kando kielelezo. Ni wazi kwamba kama matokeo ya mabadiliko haya, usemi utapatikana ambao ni sawa na ule wa asili.
Mabadiliko kama haya huturuhusu kurahisisha usemi kwa kutumia nguvu au kufikia malengo mengine tunayohitaji. Kwa mfano, katika usemi wa nguvu uliotajwa hapo juu (2+0.3 7) 5−3.7, unaweza kufanya shughuli na nambari zilizo kwenye msingi na kielelezo, ambacho kitakuruhusu kuhamia kwa nguvu 4.1 1.3. Na baada ya kufungua mabano na kuleta maneno sawa na msingi wa shahada (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), tunapata usemi wa nguvu wa umbo rahisi a 2·(x+) 1) .
Kwa kutumia Sifa za Shahada
Mojawapo ya zana kuu za kubadilisha usemi na mamlaka ni usawa unaoakisi . Wacha tukumbuke zile kuu. Kwa yoyote nambari chanya a na b na nambari halisi za kiholela r na s, sifa zifuatazo za mamlaka zinashikilia:
- a r · s =a r+s;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Kumbuka kwamba kwa asili, integer, na pia viashiria vyema digrii za kizuizi kwa nambari a na b zinaweza zisiwe kali sana. Kwa mfano, kwa nambari za asili m na n usawa a m ·a n =a m+n ni kweli sio tu kwa chanya a, bali pia kwa hasi a, na kwa a=0.
Katika shule, lengo kuu wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu ni juu ya uwezo wa kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi. Katika kesi hiyo, misingi ya digrii kawaida ni chanya, ambayo inaruhusu mali ya digrii kutumika bila vikwazo. Vile vile hutumika kwa mabadiliko ya misemo iliyo na vigezo katika misingi ya mamlaka - anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya anuwai kawaida ni kwamba besi huchukua maadili chanya tu juu yake, ambayo hukuruhusu kutumia kwa uhuru mali ya nguvu. . Kwa ujumla, unahitaji kujiuliza mara kwa mara ikiwa inawezekana kutumia mali yoyote ya digrii katika kesi hii, kwa sababu matumizi yasiyo sahihi ya mali yanaweza kusababisha kupungua kwa thamani ya elimu na matatizo mengine. Hoja hizi zimejadiliwa kwa undani na kwa mifano katika mabadiliko ya kifungu cha misemo kwa kutumia mali ya nguvu. Hapa tutajiwekea kikomo kwa kuzingatia mifano michache rahisi.
Mfano.
Eleza usemi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kama nguvu yenye msingi a.
Suluhisho.
Kwanza, tunabadilisha kipengele cha pili (a 2) −3 kwa kutumia mali ya kuinua nguvu hadi mamlaka: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Usemi asilia wa nguvu utachukua fomu 2.5 ·a -6:a -5.5. Kwa wazi, inabakia kutumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na msingi sawa, tunayo
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a -5.5 =a -3.5:a -5.5 =
a -3.5−(-5.5) =a 2 .
Jibu:
a 2.5 ·(a 2) −3:a -5.5 =a 2.
Sifa za mamlaka wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu hutumiwa kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto.
Mfano.
Tafuta thamani ya usemi wa nguvu.
Suluhisho.
Usawa (a·b) r =a r ·b r, unaotumika kutoka kulia kwenda kushoto, huturuhusu kuhama kutoka kwa usemi asilia hadi kwa bidhaa ya fomu na zaidi. Na wakati wa kuzidisha nguvu kwa misingi sawa, wawakilishi huongeza: 
.
Iliwezekana kubadilisha usemi wa asili kwa njia nyingine: 
Jibu:
.
Mfano.
Kwa kuzingatia usemi wa nguvu 1.5 -a 0.5 -6, anzisha kigezo kipya t=a 0.5.
Suluhisho.
Shahada ya 1.5 inaweza kuwakilishwa kama 0.5 3 na kisha, kulingana na mali ya digrii hadi digrii (a r) s =a r s, inayotumika kutoka kulia kwenda kushoto, kuibadilisha kuwa fomu (a 0.5) 3. Hivyo, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Sasa ni rahisi kutambulisha kigezo kipya t=a 0.5, tunapata t 3 -t-6.
Jibu:
t 3 −t−6 .
Kubadilisha sehemu zenye nguvu
Semi za nguvu zinaweza kuwa na au kuwakilisha sehemu zenye nguvu. Mabadiliko yoyote ya kimsingi ya sehemu ambazo ni asili katika sehemu za aina yoyote zinatumika kikamilifu kwa sehemu kama hizo. Hiyo ni, sehemu ambazo zina nguvu zinaweza kupunguzwa, kupunguzwa kwa dhehebu mpya, kufanya kazi kando na nambari yao na kando na denominator, nk. Ili kufafanua maneno haya, fikiria suluhisho kwa mifano kadhaa.
Mfano.
Rahisisha usemi wa nguvu 
.
Suluhisho.
Usemi huu wa nguvu ni sehemu. Wacha tufanye kazi na nambari na kiashiria chake. Kwenye nambari tunafungua mabano na kurahisisha usemi unaosababishwa kwa kutumia mali ya nguvu, na katika dhehebu tunawasilisha maneno sawa: 
Na wacha pia tubadilishe ishara ya dhehebu kwa kuweka minus mbele ya sehemu: 
.
Jibu:
.
Kupunguzwa kwa sehemu zilizo na nguvu kwa dhehebu mpya hufanywa kwa njia sawa na kupunguzwa kwa denominator mpya. sehemu za mantiki. Katika kesi hii, sababu ya ziada pia hupatikana na nambari na denominator ya sehemu huzidishwa nayo. Wakati wa kufanya kitendo hiki, inafaa kukumbuka kuwa kupunguzwa kwa dhehebu mpya kunaweza kusababisha kupunguzwa kwa VA. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu kwamba sababu ya ziada haiendi kwa sifuri kwa maadili yoyote ya vigezo kutoka kwa vigezo vya ODZ kwa kujieleza asili.
Mfano.
Punguza sehemu ziwe denominata mpya: a) hadi denominata a, b) 
kwa dhehebu.
Suluhisho.
a) Katika kesi hii, ni rahisi sana kujua ni kiboreshaji gani cha ziada husaidia kufikia matokeo yaliyotarajiwa. Hii ni kizidishi cha 0.3, kwani 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Kumbuka kuwa katika anuwai ya maadili yanayokubalika ya kutofautisha a (hii ni seti ya nambari zote chanya), nguvu ya 0.3 haitoweka, kwa hivyo, tuna haki ya kuzidisha nambari na dhehebu la kitu fulani. sehemu kwa kipengele hiki cha ziada: 
b) Ukiitazama kwa makini dhehebu, utagundua hilo 
na kuzidisha usemi huu kwa kutatoa jumla ya cubes na, yaani,. Na hii ndio dhehebu mpya ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.
Hivi ndivyo tulivyopata sababu ya ziada. Katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya vijiti x na y, usemi haupotei, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha nambari na dhehebu ya sehemu nayo: 
Jibu:
A) 
, b) 
.
Pia hakuna jambo jipya katika kupunguza sehemu zilizo na nguvu: nambari na denominator huwakilishwa kama sababu kadhaa, na mambo sawa ya nambari na denominator hupunguzwa.
Mfano.
Punguza sehemu: a) 
, b) .
Suluhisho.
a) Kwanza, nambari na denominator inaweza kupunguzwa kwa nambari 30 na 45, ambayo ni sawa na 15. Pia ni wazi inawezekana kupunguza kwa x 0.5 +1 na kwa 
. Hapa ndio tuliyo nayo: 
b) Katika kesi hii, vipengele vinavyofanana katika nambari na denominator hazionekani mara moja. Ili kuzipata, itabidi ufanye mabadiliko ya awali. Katika kesi hii, zinajumuisha kuweka dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba: 
Jibu:
A) 
b) 
.
Kubadilisha sehemu kuwa denominator mpya na kupunguza sehemu hutumiwa hasa kufanya mambo kwa sehemu. Vitendo hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana. Wakati wa kuongeza (kuondoa) sehemu, hupunguzwa kwa dhehebu ya kawaida, baada ya hapo nambari zinaongezwa (kupunguzwa), lakini dhehebu inabakia sawa. Matokeo yake ni sehemu ambayo nambari yake ni zao la nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators. Kugawanya kwa sehemu ni kuzidisha kwa kinyume chake.
Mfano.
Fuata hatua 
.
Suluhisho.
Kwanza, tunatoa sehemu kwenye mabano. Ili kufanya hivyo, tunawaleta kwenye dhehebu la kawaida, ambalo ni 
, baada ya hapo tunaondoa nambari: 
Sasa tunazidisha sehemu: 
Kwa wazi, inawezekana kupunguza kwa nguvu ya x 1/2, baada ya hapo tunayo 
.
Unaweza pia kurahisisha usemi wa nguvu katika dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba: 
.
Jibu:
Mfano.
Rahisisha Usemi wa Nguvu 
.
Suluhisho.
Ni wazi, sehemu iliyotolewa inaweza kupunguzwa kwa (x 2.7 +1) 2, hii inatoa sehemu 
. Ni wazi kwamba kitu kingine kinahitaji kufanywa kwa nguvu za X. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha sehemu inayosababisha kuwa bidhaa. Hii inatupa fursa ya kuchukua fursa ya mali ya kugawanya mamlaka na misingi sawa: 
. Na mwisho wa mchakato tunahama kutoka kwa bidhaa ya mwisho hadi sehemu.
Jibu:
.
Na hebu pia tuongeze kwamba inawezekana, na katika hali nyingi kuhitajika, kuhamisha mambo na vielelezo hasi kutoka kwa nambari hadi kwa dhehebu au kutoka kwa denominator hadi nambari, kubadilisha ishara ya kielelezo. Mabadiliko kama haya mara nyingi hurahisisha vitendo zaidi. Kwa mfano, usemi wa nguvu unaweza kubadilishwa na .
Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu
Mara nyingi, katika misemo ambayo mabadiliko fulani yanahitajika, mizizi iliyo na vielelezo vya sehemu pia iko pamoja na nguvu. Ili kubadilisha usemi unaofanana kwa fomu inayotakiwa, katika hali nyingi inatosha kwenda tu kwa mizizi au kwa nguvu tu. Lakini kwa kuwa ni rahisi zaidi kufanya kazi na nguvu, kawaida huhama kutoka mizizi hadi nguvu. Walakini, inashauriwa kufanya mabadiliko kama haya wakati ODZ ya vigeu vya usemi wa asili hukuruhusu kubadilisha mizizi na nguvu bila hitaji la kurejelea moduli au kugawanya ODZ katika vipindi kadhaa (tulijadili hili kwa undani katika mabadiliko ya makala kutoka mizizi hadi mamlaka na kurudi Baada ya kufahamiana na digrii na kielelezo cha busara digrii c inaanzishwa kiashiria kisicho na mantiki, ambayo huturuhusu kuzungumza juu ya digrii na kielelezo halisi cha kiholela. Katika hatua hii shule huanza kusoma utendaji wa kielelezo , ambayo inatolewa kwa uchanganuzi na nguvu, ambayo msingi wake ni nambari, na kielelezo ni kigezo. Kwa hivyo tunakabiliwa na misemo ya nguvu iliyo na nambari katika msingi wa nguvu, na katika kielelezo - misemo yenye vigeuzo, na kwa kawaida hitaji hutokea kufanya mabadiliko ya misemo kama hiyo.
Inapaswa kuwa alisema kuwa kubadilisha maneno aina maalum kawaida inapaswa kufanywa wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo Na ukosefu wa usawa wa kielelezo , na ubadilishaji huu ni rahisi sana. Katika idadi kubwa ya kesi, zinatokana na sifa za digrii na zinalenga, kwa sehemu kubwa, kuanzisha tofauti mpya katika siku zijazo. Mlinganyo utaturuhusu kuwaonyesha 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Kwanza, nguvu, katika vielelezo vyake ambavyo ni jumla ya kigezo fulani (au usemi wenye vigeuzo) na nambari, hubadilishwa na bidhaa. Hii inatumika kwa masharti ya kwanza na ya mwisho ya usemi wa upande wa kushoto:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ifuatayo, pande zote mbili za usawa zimegawanywa na usemi 7 2 x, ambayo kwenye ODZ ya kutofautisha x kwa equation ya asili inachukua maadili chanya tu (hii ni mbinu ya kawaida ya kutatua hesabu za aina hii, sisi sio. kuongea juu yake sasa, kwa hivyo zingatia mabadiliko ya baadaye ya misemo na nguvu ): 
Sasa tunaweza kufuta sehemu na nguvu, ambayo inatoa 
.
Hatimaye, uwiano wa mamlaka na wafadhili sawa hubadilishwa na nguvu za mahusiano, na kusababisha equation. 
, ambayo ni sawa 
. Mabadiliko yaliyofanywa yanaturuhusu kutambulisha kigezo kipya, ambacho kinapunguza suluhu la mlinganyo wa asili wa kielelezo kwa suluhu la mlinganyo wa quadratic.
I. Kazi n sababu, ambayo kila moja ni sawa A kuitwa n- nguvu ya nambari A na imeteuliwa An.
Mifano. Andika bidhaa kama digrii.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Suluhisho.
1) mmmm=m 4, kwa kuwa, kwa ufafanuzi wa shahada, bidhaa ya mambo manne, ambayo kila mmoja ni sawa m, mapenzi nguvu ya nne ya m.
2) aaabb=a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.
II. Hatua ambayo bidhaa ya mambo kadhaa sawa hupatikana inaitwa exponentiation. Nambari inayoinuliwa kwa nguvu inaitwa msingi wa nguvu. Nambari inayoonyesha kwa nguvu gani msingi umeinuliwa inaitwa kielelezo. Kwa hiyo, An- shahada, A- msingi wa shahada, n- kielelezo. Kwa mfano:
2 3 — ni shahada. Nambari 2 ni msingi wa shahada, kipeo ni sawa na 3 . Thamani ya digrii 2 3 sawa 8, kwa sababu 2 3 =2·2·2=8.
Mifano. Andika misemo ifuatayo bila kipeo.
5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Suluhisho.
5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. na 0 =1 Nambari yoyote (isipokuwa sifuri) hadi sifuri ni sawa na moja. Kwa mfano, 25 0 =1.
IV. a 1 =aNambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe.
V. m∙ n= m + n Wakati wa kuzidisha nguvu na besi sawa, msingi umesalia sawa, na wafadhili iliyokunjwa
Mifano. Rahisisha:
9) a·a 3 ·a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .
Suluhisho.
9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .
VI. m: n= m - nWakati wa kugawanya mamlaka na msingi sawa, msingi huachwa sawa, na kielelezo cha mgawanyiko hutolewa kutoka kwa kielelezo cha mgawanyiko.
Mifano. Rahisisha:
12) a 8:a 3; 13) m 11:m 4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8:a 3=a 8-3 =a 5; 13)m 11:m 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.
VII. (m) n= mn Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi huachwa sawa, na vielelezo vinazidishwa.
Mifano. Rahisisha:
15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.
Kumbuka, ambayo, kwa kuwa bidhaa haibadilika kutoka kwa kupanga upya mambo, Hiyo:
15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
VI II. (a∙b) n =a n ∙b n Wakati wa kuinua bidhaa kwa nguvu, kila sababu huinuliwa kwa nguvu hiyo.
Mifano. Rahisisha:
17) (2a 2) 5; 18) 0.2 6 5 6; 19) 0.25 2 40 2.
Suluhisho.
17) (2a2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10; 18) 0.2 6 5 6=(0.2·5) 6 =1 6 =1;
19) 0.25 2 40 2=(0.25·40) 2 =10 2 =100.
IX. Wakati wa kuinua sehemu kwa nguvu, nambari na denominator ya sehemu huinuliwa kwa nguvu hiyo.
Mifano. Rahisisha:
Suluhisho.
Ukurasa wa 1 wa 1 1