Milinganyo ya nguvu na misemo jinsi ya kutatua. Hotuba: "Njia za kutatua milinganyo ya kielelezo"

Mlingano wa kielelezo ni nini? Mifano.

Kwa hivyo, mlingano wa kielelezo... Onyesho jipya la kipekee katika onyesho letu la jumla la aina mbalimbali za milinganyo!) Kama ilivyo karibu kila mara, neno kuu la istilahi yoyote mpya ya hisabati ni kivumishi sambamba kinachoitambulisha. Hivyo ni hapa. Neno kuu katika neno "mlinganyo wa kielelezo" ni neno "kiashiria". Ina maana gani? Neno hili linamaanisha kuwa haijulikani (x) iko kwa masharti ya digrii yoyote. Na hapo tu! Hii ni muhimu sana.

Kwa mfano, equations hizi rahisi:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Au hata hizi monsters:

2 dhambi x = 0.5

Tafadhali zingatia mara moja jambo moja muhimu: sababu digrii (chini) - nambari pekee. Lakini katika viashiria digrii (hapo juu) - anuwai ya misemo yenye X. Kabisa yoyote.) Kila kitu kinategemea equation maalum. Ikiwa, ghafla, x inaonekana mahali pengine kwenye equation, kwa kuongeza kiashiria (sema, 3 x = 18 + x 2), basi equation kama hiyo itakuwa tayari kuwa equation. aina mchanganyiko. Equations kama hizo hazina sheria wazi za kuzitatua. Kwa hiyo, hatutazizingatia katika somo hili. Kwa furaha ya wanafunzi.) Hapa tutazingatia milinganyo ya kielelezo pekee katika umbo lao “safi”.

Kwa ujumla, sio yote na sio kila wakati hata milinganyo safi ya kielelezo inaweza kutatuliwa kwa uwazi. Lakini kati ya anuwai nyingi za equations za kielelezo, kuna aina fulani ambazo zinaweza na zinapaswa kutatuliwa. Ni aina hizi za equations ambazo tutazingatia. Na hakika tutatatua mifano.) Basi hebu tustarehe na tuende! Kama ilivyo kwa virutubishi vya kompyuta, safari yetu itafanyika kupitia viwango.) Kuanzia msingi hadi rahisi, kutoka rahisi hadi kati na kutoka kati hadi ngumu. Njiani, kiwango cha siri pia kitakungoja - mbinu na njia za kutatua mifano isiyo ya kawaida. Wale ambao hutasoma katika vitabu vingi vya shule ... Naam, na mwisho, bila shaka, bosi wa mwisho anakungoja kwa namna ya kazi ya nyumbani.)

Kiwango cha 0. Ni mlingano gani rahisi zaidi wa kielelezo? Kutatua milinganyo rahisi ya kielelezo.

Kwanza, hebu tuangalie mambo ya msingi ya ukweli. Lazima uanze mahali fulani, sawa? Kwa mfano, equation hii:

2 x = 2 2

Hata bila nadharia yoyote, kwa mantiki rahisi na akili ya kawaida ni wazi kwamba x = 2. Hakuna njia nyingine, sawa? Hakuna maana nyingine ya X inafaa ... Na sasa hebu tugeuke mawazo yetu rekodi ya uamuzi mlinganyo huu mzuri wa kielelezo:

2 x = 2 2

X = 2

Nini kilitupata? Na yafuatayo yalitokea. Kwa kweli tuliichukua na ... tukatupa tu besi sawa (mbili)! Imetupwa nje kabisa. Na, habari njema ni kwamba, tunapiga jicho la ng'ombe!

Ndio, kwa kweli, ikiwa katika equation ya kielelezo kuna kushoto na kulia sawa nambari katika mamlaka yoyote, basi nambari hizi zinaweza kutupwa na kusawazisha vielelezo. Hisabati inaruhusu.) Na kisha unaweza kufanya kazi tofauti na viashiria na kutatua equation rahisi zaidi. Kubwa, sawa?

Hili hapa ni wazo kuu la kusuluhisha mlinganyo wowote (ndio, haswa wowote!) kwa kutumia mabadiliko yanayofanana, ni muhimu kuhakikisha kuwa pande za kushoto na kulia za equation ni sawa nambari za msingi katika mamlaka mbalimbali. Na kisha unaweza kuondoa kwa usalama besi sawa na kulinganisha wafadhili. Na fanya kazi na equation rahisi zaidi.

Sasa hebu tukumbuke sheria ya chuma: inawezekana kuondoa besi zinazofanana ikiwa na tu ikiwa nambari zilizo upande wa kushoto na kulia wa equation zina nambari za msingi. katika upweke wa kiburi.

Inamaanisha nini, katika kutengwa kwa kifalme? Hii ina maana bila majirani yoyote na coefficients. Hebu nielezee.

Kwa mfano, katika Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Tatu haziwezi kuondolewa! Kwa nini? Kwa sababu upande wa kushoto hatuna tatu tu ya upweke kwa kiwango, lakini kazi 3·3 x-5 . Tatu za ziada huingilia: mgawo, unaelewa.)

Vile vile vinaweza kusemwa kuhusu equation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Hapa, pia, besi zote ni sawa - tano. Lakini kwa upande wa kulia hatuna nguvu moja ya tano: kuna jumla ya nguvu!

Kwa kifupi, tuna haki ya kuondoa misingi inayofanana tu wakati mlinganyo wetu wa kielelezo unaonekana kama hii na kama hii pekee:

af (x) = g (x)

Aina hii ya equation ya kielelezo inaitwa rahisi zaidi. Au, kisayansi, kisheria . Na haijalishi ni equation gani iliyochanganywa tuliyo nayo mbele yetu, tutapunguza, kwa njia moja au nyingine, kwa fomu hii rahisi zaidi (ya kisheria). Au, katika hali fulani, kwa jumla milinganyo ya aina hii. Halafu equation yetu rahisi zaidi inaweza kuandikwa tena kwa fomu ya jumla kama hii:

F(x) = g(x)

Ni hayo tu. Huu utakuwa uongofu sawa. Katika kesi hii, f(x) na g(x) zinaweza kuwa misemo yoyote iliyo na x. Vyovyote.

Labda mwanafunzi mdadisi haswa atajiuliza: kwa nini duniani tunatupa kwa urahisi na kwa urahisi misingi ile ile ya kushoto na kulia na kusawazisha wafadhili? Intuition ni intuition, lakini vipi ikiwa, katika equation fulani na kwa sababu fulani, mbinu hii inageuka kuwa sahihi? Je, ni halali kila wakati kutupa misingi sawa? Kwa bahati mbaya, kwa jibu kali la kihesabu kwa swali hili la kupendeza, unahitaji kupiga mbizi kwa undani na kwa umakini katika nadharia ya jumla ya muundo na tabia ya kazi. Na kidogo zaidi hasa - katika jambo hilo monotoni kali. Hasa, monotoni kali utendaji wa kielelezoy= a x. Kwa kuwa ni utendaji wa kielelezo na sifa zake ambazo husimamia utatuzi wa milinganyo ya kielelezo, ndiyo.) Jibu la kina kwa swali hili litatolewa katika somo tofauti maalum linalojitolea kutatua milinganyo changamano isiyo ya kawaida kwa kutumia monotonicity ya utendaji tofauti.)

Kuelezea jambo hili kwa undani sasa kungepiga tu akili za mwanafunzi wa kawaida na kumtia hofu kabla ya wakati kwa nadharia kavu na nzito. Sitafanya hivi.) Kwa sababu kazi yetu kuu kwa sasa ni jifunze kutatua milinganyo ya kielelezo! Wale rahisi zaidi! Kwa hiyo, hebu tusiwe na wasiwasi bado na kwa ujasiri kutupa sababu sawa. Hii Je!, chukua neno langu kwa hilo!) Na kisha tunatatua equation sawa f(x) = g(x). Kama sheria, rahisi zaidi kuliko kielelezo asilia.

Inachukuliwa, bila shaka, kwamba watu tayari wanajua jinsi ya kutatua angalau , na milinganyo, bila x katika vielelezo.) Kwa wale ambao bado hawajui jinsi gani, jisikie huru kufunga ukurasa huu, fuata viungo vinavyofaa na ujaze. mapungufu ya zamani. Vinginevyo utakuwa na wakati mgumu, ndio ...

Sizungumzii milinganyo isiyo na mantiki, trigonometric na milinganyo mingine ya kikatili ambayo inaweza pia kujitokeza katika mchakato wa kuondoa misingi. Lakini usifadhaike, hatutazingatia ukatili wa moja kwa moja kwa suala la digrii kwa sasa: ni mapema sana. Tutatoa mafunzo kwa hesabu rahisi tu.)

Sasa hebu tuangalie milinganyo ambayo inahitaji jitihada za ziada ili kuzipunguza kwa rahisi zaidi. Kwa ajili ya tofauti, tuwaite milinganyo rahisi ya kielelezo. Kwa hivyo, wacha tuende kwa kiwango kinachofuata!

Kiwango cha 1. Milinganyo rahisi ya kielelezo. Tutambue digrii! Viashiria vya asili.

Sheria muhimu katika kutatua milinganyo yoyote ya kielelezo ni sheria za kushughulika na digrii. Bila ujuzi na ujuzi huu hakuna kitu kitakachofanya kazi. Ole! Kwa hiyo, ikiwa kuna matatizo na digrii, basi kwanza unakaribishwa. Kwa kuongeza, tutahitaji pia. Mabadiliko haya (mbili kati yao!) ndio msingi wa kutatua milinganyo yote ya hisabati kwa ujumla. Na sio tu za maandamano. Kwa hiyo, ni nani aliyesahau, pia angalia kiungo: siwaweka tu huko.

Lakini utendakazi wenye mamlaka na mabadiliko ya utambulisho pekee hautoshi. Uchunguzi wa kibinafsi na ustadi pia unahitajika. Tunahitaji sababu sawa, sivyo? Kwa hivyo tunachunguza mfano na kuwatafuta kwa fomu ya wazi au iliyofichwa!

Kwa mfano, equation hii:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Kwanza angalia misingi. Wao ni tofauti! Tatu na ishirini na saba. Lakini ni mapema sana kuogopa na kukata tamaa. Ni wakati wa kukumbuka hilo

27 = 3 3

Nambari 3 na 27 ni jamaa kwa digrii! Na walio karibu.) Kwa hivyo, tuna haki zote za kuandika:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sasa hebu tuunganishe ujuzi wetu kuhusu vitendo na digrii(na nilikuonya!). Kuna formula muhimu sana hapo:

(a m) n = a mn

Ikiwa sasa utaiweka katika vitendo, inafanya kazi vizuri:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Mfano wa asili sasa unaonekana kama hii:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Mkuu, misingi ya digrii imesawazishwa. Ndivyo tulivyotaka. Nusu ya vita imefanywa.) Sasa tunazindua mabadiliko ya msingi ya utambulisho - sogeza 3 3(x +2) kulia. Hakuna mtu aliyeghairi shughuli za msingi za hisabati, ndio.) Tunapata:

3 2 x = 3 3(x +2)

Aina hii ya equation inatupa nini? Na ukweli kwamba sasa equation yetu imepunguzwa kwa fomu ya kisheria: upande wa kushoto na kulia kuna nambari sawa (tatu) katika mamlaka. Zaidi ya hayo, wote watatu wako katika kutengwa kwa uzuri. Jisikie huru kuondoa mara tatu na kupata:

2x = 3(x+2)

Tunatatua hii na kupata:

X = -6

Ni hayo tu. Hili ndilo jibu sahihi.)

Sasa hebu tufikirie juu ya suluhisho. Ni nini kilituokoa katika mfano huu? Ujuzi wa nguvu za watatu ulituokoa. Jinsi gani hasa? Sisi kutambuliwa nambari 27 ina tatu iliyosimbwa! Ujanja huu (usimbaji msingi sawa chini ya nambari tofauti) ni mojawapo ya maarufu zaidi katika milinganyo ya kielelezo! Isipokuwa ni maarufu zaidi. Ndio, na kwa njia ile ile, kwa njia. Hii ndiyo sababu uchunguzi na uwezo wa kutambua nguvu za nambari nyingine katika nambari ni muhimu sana katika milinganyo ya kielelezo!

Ushauri wa vitendo:

Unahitaji kujua nguvu za nambari maarufu. Usoni!

Bila shaka, mtu yeyote anaweza kuongeza nguvu mbili hadi saba au tatu kwa nguvu ya tano. Sio akilini mwangu, lakini angalau katika rasimu. Lakini katika hesabu za kielelezo, mara nyingi zaidi sio lazima kuinua kwa nguvu, lakini, kinyume chake, kujua ni nambari gani na kwa nguvu gani iliyofichwa nyuma ya nambari, sema, 128 au 243. Na hii ni ngumu zaidi. kuliko kukuza rahisi, utakubali. Sikia tofauti, kama wanasema!

Kwa kuwa uwezo wa kutambua digrii kwa mtu hautakuwa muhimu sio tu katika kiwango hiki, lakini pia kwa zile zinazofuata, hapa kuna kazi ndogo kwako:

Amua ni nguvu gani na nambari ni nambari gani:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Majibu (nasibu, bila shaka):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ndiyo ndiyo! Usishangae kuwa kuna majibu zaidi ya majukumu. Kwa mfano, 2 8, 4 4 na 16 2 zote ni 256.

Kiwango cha 2. Milinganyo rahisi ya kielelezo. Tutambue digrii! Viashiria vibaya na vya sehemu.

Katika kiwango hiki tayari tunatumia ujuzi wetu wa digrii kwa ukamilifu. Yaani, tunahusisha viashiria hasi na vya sehemu katika mchakato huu wa kuvutia! Ndiyo ndiyo! Tunahitaji kuongeza nguvu zetu, sawa?

Kwa mfano, equation hii mbaya:

Tena, mtazamo wa kwanza uko kwenye misingi. Sababu ni tofauti! Na wakati huu hazifanani hata kwa kila mmoja! 5 na 0.04 ... Na kuondokana na besi, sawa zinahitajika ... Nini cha kufanya?

Ni sawa! Kwa kweli, kila kitu ni sawa, ni kwamba uhusiano kati ya tano na 0.04 hauonekani vizuri. Tunawezaje kutoka? Wacha tuendelee kwenye nambari 0.04 kama sehemu ya kawaida! Na kisha, unaona, kila kitu kitafanya kazi.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Lo! Inageuka kuwa 0.04 ni 1/25! Kweli, ni nani angefikiria!)

Hivyo jinsi gani? Je, sasa ni rahisi kuona uhusiano kati ya nambari 5 na 1/25? Ni hayo tu...

Na sasa kulingana na sheria za vitendo na digrii na kiashiria hasi Unaweza kuandika kwa mkono thabiti:

Hiyo ni nzuri. Kwa hivyo tulifika kwenye msingi sawa - tano. Sasa tunabadilisha nambari isiyofaa 0.04 kwenye equation na 5 -2 na upate:

Tena, kulingana na sheria za shughuli na digrii, sasa tunaweza kuandika:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Ikiwezekana, nakukumbusha (ikiwa mtu yeyote hajui) kwamba sheria za msingi za kushughulika na digrii ni halali kwa yoyote viashiria! Ikiwa ni pamoja na hasi.) Kwa hivyo, jisikie huru kuchukua na kuzidisha viashiria (-2) na (x-1) kulingana na kanuni inayofaa. Mlinganyo wetu unakuwa bora na bora:

Wote! Mbali na watano wapweke, hakuna kitu kingine katika mamlaka ya kushoto na kulia. Equation imepunguzwa kwa fomu ya kisheria. Na kisha - pamoja na wimbo wa knurled. Tunaondoa tano na kusawazisha viashiria:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Mfano ni karibu kutatuliwa. Kilichosalia ni hesabu ya shule ya msingi - fungua (kwa usahihi!) mabano na kukusanya kila kitu upande wa kushoto:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Tunatatua hii na kupata mizizi miwili:

x 1 = 1; x 2 = 3

Ni hayo tu.)

Sasa hebu tufikirie tena. Katika mfano huu, tulilazimika tena kutambua nambari sawa katika digrii tofauti! Yaani, kuona tano iliyosimbwa kwa nambari 0.04. Na wakati huu - ndani shahada hasi! Tulifanyaje hili? Haki mbali na popo - hakuna njia. Lakini baada ya kuhama kutoka sehemu ya decimal 0.04 hadi sehemu ya kawaida 1/25, kila kitu kilikuwa wazi! Na kisha uamuzi wote ukaenda kama saa.)

Kwa hiyo, ushauri mwingine wa vitendo wa kijani.

Ikiwa mlinganyo wa kielelezo una sehemu za desimali, basi tunahama kutoka sehemu za desimali hadi sehemu za kawaida. Ni rahisi zaidi kutambua nguvu za nambari nyingi maarufu katika sehemu! Baada ya kutambuliwa, tunahama kutoka kwa sehemu hadi kwa mamlaka na vielelezo hasi.

Kumbuka kwamba hila hii hutokea sana, mara nyingi sana katika milinganyo ya kielelezo! Lakini mtu huyo hayumo kwenye mada. Anaangalia, kwa mfano, kwa nambari 32 na 0.125 na hukasirika. Bila kujua, hii ni moja na mbili sawa, tu kwa digrii tofauti ... Lakini tayari unajua!)

Tatua mlinganyo:

Katika! Inaonekana kama hofu tulivu... Hata hivyo, kuonekana kunadanganya. Huu ndio mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo, licha ya mwonekano wake wa kutisha. Na sasa nitakuonyesha.)

Kwanza, hebu tuangalie nambari zote katika besi na coefficients. Wao ni, bila shaka, tofauti, ndiyo. Lakini bado tutachukua hatari na kujaribu kuwafanya kufanana! Hebu jaribu kupata idadi sawa katika mamlaka tofauti. Aidha, ikiwezekana, idadi ni ndogo iwezekanavyo. Kwa hivyo, wacha tuanze kusimbua!

Kweli, na hizo nne kila kitu kiko wazi - ni 2 2. Sawa, hilo ni jambo tayari.)

Na sehemu ya 0.25 - bado haijulikani. Haja ya kuangalia. Wacha tutumie ushauri wa vitendo - ondoka kutoka kwa sehemu ya decimal hadi sehemu ya kawaida:

0,25 = 25/100 = 1/4

Bora zaidi tayari. Kwa sababu sasa inaonekana wazi kuwa 1/4 ni 2 -2. Kubwa, na nambari 0.25 pia ni sawa na mbili.)

Hadi sasa nzuri sana. Lakini idadi mbaya zaidi ya yote inabaki - mzizi wa mraba wa mbili! Nini cha kufanya na pilipili hii? Je, inaweza pia kuwakilishwa kama nguvu ya wawili? Na nani anajua...

Naam, hebu tuzame kwenye hazina yetu ya ujuzi kuhusu digrii tena! Wakati huu tunaunganisha maarifa yetu zaidi kuhusu mizizi. Kutoka kwa kozi ya daraja la 9, mimi na wewe tunapaswa kujifunza kuwa mzizi wowote, ikiwa unataka, unaweza kugeuzwa kuwa digrii kila wakati. na kiashiria cha sehemu.

Kama hii:

Kwa upande wetu:

Lo! Inabadilika kuwa mzizi wa mraba wa mbili ni 2 1/2. Ni hayo tu!

Ni sawa! Nambari zetu zote zisizofaa ziligeuka kuwa mbili zilizosimbwa.) Sibishani, mahali fulani pamesimbwa kwa njia ya kisasa. Lakini pia tunaboresha taaluma yetu katika kutatua vifungu hivyo! Na kisha kila kitu tayari ni wazi. Katika equation yetu tunabadilisha nambari 4, 0.25 na mzizi wa mbili kwa nguvu za mbili:

Wote! Misingi ya digrii zote katika mfano ikawa sawa - mbili. Na sasa vitendo vya kawaida na digrii hutumiwa:

mn = m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Kwa upande wa kushoto utapata:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Kwa upande wa kulia itakuwa:

Na sasa equation yetu mbaya inaonekana kama hii:

Kwa wale ambao hawajafikiria haswa jinsi mlinganyo huu ulikuja, basi swali hapa sio juu ya milinganyo ya kielelezo. Swali ni juu ya vitendo na digrii. Nilikuomba uirudie kwa haraka kwa wenye matatizo!

Hapa kuna mstari wa kumaliza! Fomu ya kisheria ya mlinganyo wa kielelezo imepatikana! Hivyo jinsi gani? Je! nimekushawishi kuwa kila kitu sio cha kutisha sana? ;) Tunaondoa hizo mbili na kusawazisha viashiria:

Kilichobaki ni kutatua mlingano huu wa mstari. Vipi? Kwa msaada wa mabadiliko ya kufanana, bila shaka.) Amua kinachoendelea! Zidisha pande zote mbili kwa mbili (kuondoa sehemu 3/2), sogeza masharti na X upande wa kushoto, bila X kwenda kulia, leta zinazofanana, hesabu - na utafurahi!

Kila kitu kinapaswa kugeuka kwa uzuri:

X=4

Sasa hebu tufikirie kuhusu suluhisho tena. Katika mfano huu, tulisaidiwa na mpito kutoka kipeo Kwa shahada yenye kipeo 1/2. Zaidi ya hayo, mabadiliko hayo ya ujanja tu yalitusaidia kufikia msingi sawa (wawili) kila mahali, ambao uliokoa hali hiyo! Na, ikiwa sivyo, basi tungekuwa na kila nafasi ya kufungia milele na kamwe kukabiliana na mfano huu, ndiyo ...

Kwa hivyo, hatupuuzi ushauri unaofuata wa vitendo:

Ikiwa mlinganyo wa kielelezo una mizizi, basi tunahama kutoka kwa mizizi hadi kwa nguvu na vipeo vya sehemu. Mara nyingi tu mabadiliko kama haya hufafanua hali zaidi.

Kwa kweli, nguvu hasi na za sehemu tayari ni ngumu zaidi kuliko nguvu za asili. Angalau kutoka kwa mtazamo wa mtazamo wa kuona na, hasa, kutambuliwa kutoka kulia kwenda kushoto!

Ni wazi kuwa kuinua moja kwa moja, kwa mfano, mbili kwa nguvu ya -3 au nne kwa nguvu ya -3/2 sio shida kubwa. Kwa wale wanaojua.)

Lakini kwenda, kwa mfano, mara moja kutambua hilo

0,125 = 2 -3

Hapa, mazoezi tu na uzoefu tajiri hutawala, ndio. Na, kwa kweli, wazo wazi, Shahada hasi na ya sehemu ni nini? Na pia ushauri wa vitendo! Ndio, ndio, wale wale kijani.) Natumai kwamba bado watakusaidia kuabiri vyema aina mbalimbali za digrii na kuongeza kwa kiasi kikubwa nafasi zako za kufaulu! Basi tusiwapuuze. Sio bure kwamba wakati mwingine ninaandika kwa kijani.)

Lakini ikiwa utafahamiana hata na nguvu za kigeni kama zile hasi na za sehemu, basi uwezo wako katika kutatua equations za kielelezo utapanuka sana, na utaweza kushughulikia karibu aina yoyote ya hesabu za kielelezo. Kweli, ikiwa sio yoyote, basi asilimia 80 ya hesabu zote za kielelezo - kwa hakika! Ndiyo, ndiyo, sifanyi mzaha!

Kwa hivyo, sehemu yetu ya kwanza ya utangulizi wetu wa milinganyo ya kielelezo imefikia hitimisho lake la kimantiki. Na, kama mazoezi ya kati, kwa jadi ninapendekeza kufanya tafakari ya kibinafsi.)

Zoezi 1.

Ili maneno yangu juu ya kufafanua nguvu hasi na za sehemu zisiende bure, ninapendekeza kucheza mchezo mdogo!

Eleza nambari kama nguvu za mbili:

Majibu (katika hali mbaya):

Imetokea? Kubwa! Kisha tunafanya misheni ya kupambana - kutatua milinganyo rahisi na rahisi zaidi ya kielelezo!

Jukumu la 2.

Tatua milinganyo (majibu yote ni fujo!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Majibu:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Imetokea? Kwa kweli, ni rahisi zaidi!

Kisha tunasuluhisha mchezo unaofuata:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Majibu:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Na hii mifano imebaki moja? Kubwa! Unakua! Kisha hapa kuna mifano zaidi ya wewe kula vitafunio:

Majibu:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Na hii imeamua? Naam, heshima! Ninavua kofia yangu.) Hii ina maana kwamba somo halikuwa bure, na kiwango cha awali cha utatuzi wa milinganyo ya kielelezo kinaweza kuchukuliwa kuwa kinafaulu. Viwango vifuatavyo na milinganyo ngumu zaidi iko mbele! Na mbinu mpya na mbinu. Na mifano isiyo ya kawaida. Na mshangao mpya.) Yote haya ni katika somo linalofuata!

Je, kuna kitu kilienda vibaya? Hii ina maana kwamba uwezekano mkubwa wa matatizo ni katika. Au katika. Au zote mbili mara moja. Sina nguvu hapa. Ninaweza kupendekeza tena jambo moja tu - usiwe mvivu na ufuate viungo.)

Itaendelea.)

Somo hili limekusudiwa wale ambao ndio wanaanza kujifunza milinganyo ya kielelezo. Kama kawaida, wacha tuanze na ufafanuzi na mifano rahisi.

Ikiwa unasoma somo hili, basi ninashuku kwamba tayari una uelewa mdogo wa milinganyo rahisi zaidi - ya mstari na ya quadratic: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, n.k. Kuwa na uwezo wa kutatua ujenzi kama huo ni muhimu kabisa ili "usishike" katika mada ambayo sasa itajadiliwa.

Kwa hivyo, milinganyo ya kielelezo. Ngoja nikupe mifano michache:

\[(2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x)))=- 3\]

Baadhi yao wanaweza kuonekana kuwa ngumu zaidi kwako, wakati wengine, kinyume chake, ni rahisi sana. Lakini zote zina kipengele kimoja muhimu kwa pamoja: nukuu yao ina kazi ya kielelezo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Kwa hivyo, wacha tuanzishe ufafanuzi:

Mlinganyo wa kielelezo ni mlinganyo wowote ulio na utendaji wa kielelezo, i.e. usemi wa fomu $((a)^(x))$. Mbali na kazi iliyoonyeshwa, hesabu kama hizo zinaweza kuwa na muundo mwingine wowote wa algebra - polynomials, mizizi, trigonometry, logarithms, nk.

Sawa basi. Tumepanga ufafanuzi. Sasa swali ni: jinsi ya kutatua ujinga huu wote? Jibu ni rahisi na ngumu.

Wacha tuanze na habari njema: kutokana na uzoefu wangu wa kufundisha wanafunzi wengi, naweza kusema kwamba wengi wao huona milinganyo ya kielelezo rahisi zaidi kuliko logarithms sawa, na hata zaidi trigonometry.

Lakini kuna habari mbaya: wakati mwingine waandishi wa shida za kila aina ya vitabu vya kiada na mitihani hupigwa na "msukumo", na ubongo wao uliojaa dawa huanza kutoa hesabu za kikatili ambazo kuzitatua huwa shida sio kwa wanafunzi tu - hata waalimu wengi. kukwama kwenye matatizo kama haya.

Hata hivyo, tusizungumze kuhusu mambo ya kusikitisha. Na turudi kwenye milinganyo hiyo mitatu iliyotolewa mwanzoni kabisa mwa hadithi. Hebu jaribu kutatua kila mmoja wao.

Mlinganyo wa kwanza: $((2)^(x))=4$. Kweli, ni kwa nguvu gani unapaswa kuinua nambari 2 ili kupata nambari 4? Labda ya pili? Baada ya yote, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - na tulipata usawa sahihi wa nambari, i.e. kweli $x=2$. Kweli, asante, Cap, lakini equation hii ilikuwa rahisi sana hata paka wangu angeweza kuisuluhisha. :)

Wacha tuangalie equation ifuatayo:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Lakini hapa ni ngumu zaidi. Wanafunzi wengi wanajua kuwa $((5)^(2))=25$ ndio jedwali la kuzidisha. Wengine pia wanashuku kuwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ kimsingi ni ufafanuzi wa nguvu hasi (sawa na fomula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Hatimaye, ni wateule wachache tu wanaotambua kwamba ukweli huu unaweza kuunganishwa na kutoa matokeo yafuatayo:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2))))=((5)^(-2))\]

Kwa hivyo, equation yetu ya asili itaandikwa upya kama ifuatavyo:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Mshale wa Kulia ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Lakini hii tayari inaweza kutatuliwa kabisa! Kwa upande wa kushoto katika equation kuna kazi ya kielelezo, upande wa kulia katika equation kuna kazi ya kielelezo, hakuna kitu kingine popote isipokuwa wao. Kwa hivyo, tunaweza "kutupa" besi na kwa ujinga kusawazisha viashiria:

Tumepata mlinganyo rahisi zaidi wa mstari ambao mwanafunzi yeyote anaweza kutatua katika mistari michache tu. Sawa, katika mistari minne:

\[\anza(panga)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\malizia(panga)\]

Ikiwa huelewi kilichotokea katika mistari minne iliyopita, hakikisha kurudi kwenye mada "equations linear" na uirudie. Kwa sababu bila ufahamu wazi wa mada hii, ni mapema sana kwako kuchukua milinganyo ya kielelezo.

\[((9)^(x)))=-3\]

Kwa hiyo tunawezaje kutatua hili? Wazo la kwanza: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kwa hivyo mlingano wa asili unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

\[((\ kushoto((3)^(2)) \kulia))^(x))=-3\]

Kisha tunakumbuka kwamba wakati wa kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:

\[((\kushoto((3)^(2)) \kulia))^(x))=((3)^(2x))\Mshale wa Kulia ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\anza(linganisha)&2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\malizia(panga)\]

Na kwa uamuzi kama huo tutapokea mbili zinazostahili kwa uaminifu. Kwa maana, kwa usawa wa Pokemon, tulituma ishara ya minus mbele ya watatu kwa uwezo wa watatu hawa. Lakini huwezi kufanya hivyo. Na ndiyo maana. Angalia nguvu tofauti za tatu:

\[\anza(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& (3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\mwisho(matrix)\]

Wakati wa kuandaa kibao hiki, sikupotosha chochote: niliangalia nguvu chanya, na hasi, na hata zile za sehemu ... vizuri, iko wapi angalau nambari moja hasi hapa? Ameondoka! Na haiwezi kuwa, kwa sababu kazi ya kielelezo $y=((a)^(x))$, kwanza, daima inachukua tu maadili chanya (haijalishi ni kiasi gani cha kuzidisha au kugawanywa na mbili, bado itakuwa a nambari chanya), na pili, msingi wa kazi kama hiyo - nambari $a$ - ni kwa ufafanuzi nambari chanya!

Kweli, jinsi ya kutatua equation $((9)^(x))=-3$? Lakini hakuna njia: hakuna mizizi. Na kwa maana hii, equations kielelezo ni sawa na equations quadratic - kunaweza pia kuwa hakuna mizizi. Lakini ikiwa katika hesabu za quadratic idadi ya mizizi imedhamiriwa na kibaguzi (kibaguzi chanya - mizizi 2, hasi - hakuna mizizi), basi katika hesabu za kielelezo kila kitu kinategemea kile kilicho kwa haki ya ishara sawa.

Kwa hivyo, hebu tutengeneze hitimisho kuu: mlingano rahisi zaidi wa kielelezo wa fomu $((a)^(x))=b$ ina mzizi ikiwa na ikiwa tu $b>0$. Kujua ukweli huu rahisi, unaweza kuamua kwa urahisi ikiwa equation iliyopendekezwa kwako ina mizizi au la. Wale. Je, ni thamani ya kutatua kabisa au mara moja kuandika kwamba hakuna mizizi.

Ujuzi huu utatusaidia mara nyingi wakati tunapaswa kutatua matatizo magumu zaidi. Kwa sasa, maneno ya kutosha - ni wakati wa kusoma algoriti ya msingi ya kutatua milinganyo ya kielelezo.

Jinsi ya Kutatua Milinganyo ya Kielelezo

Kwa hivyo, wacha tutengeneze shida. Inahitajika kutatua equation ya kielelezo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Kulingana na kanuni ya "kutojua" ambayo tulitumia hapo awali, ni muhimu kuwakilisha nambari $b$ kama nguvu ya nambari $a$:

Kwa kuongeza, ikiwa badala ya kutofautiana $x$ kuna usemi wowote, tutapata equation mpya ambayo inaweza tayari kutatuliwa. Kwa mfano:

\[\anza(linganisha)& ((2)^(x))=8\Mshale wa Kulia ((2)^(x))=((2)^(3))\Mshale wa Kulia x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Mshale wa Kulia ((3)^(-x))=((3)^(4))\Mshale wa Kulia -x=4\Mshale x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Mshale wa Kulia ((5)^(2x))=((5)^(3))\Mshale wa Kulia 2x=3\Mshale wa Kulia x=\frac(3)( 2). \\\mwisho(patanisha)\]

Na cha kushangaza, mpango huu unafanya kazi katika takriban 90% ya kesi. Vipi basi 10% iliyobaki? 10% iliyobaki ni milinganyo ya kielelezo cha "schizophrenic" kidogo ya fomu:

\[(2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Kweli, unahitaji kuinua 2 kwa nguvu gani ili kupata 3? Kwanza? Lakini hapana: $((2)^(1))=2$ haitoshi. Pili? Hapana: $((2)^(2))=4$ ni nyingi mno. Ipi basi?

Wanafunzi wenye ujuzi labda tayari wamekisia: katika hali kama hizi, wakati haiwezekani kuitatua "kwa uzuri", "sanaa nzito" - logarithms - inakuja. Acha nikukumbushe kwamba kwa kutumia logariti, nambari yoyote chanya inaweza kuwakilishwa kama nguvu ya nambari nyingine yoyote chanya (isipokuwa moja):

Je, unakumbuka fomula hii? Ninapowaambia wanafunzi wangu kuhusu logariti, mimi huonya kila wakati: fomula hii (ambayo pia ni kitambulisho cha msingi cha logarithmic au, ukipenda, ufafanuzi wa logariti) itakutesa kwa muda mrefu sana na "kujitokeza" zaidi. maeneo yasiyotarajiwa. Naam, alijitokeza. Wacha tuangalie equation yetu na formula hii:

\[\anza(align)&(2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\logi )_(b))a)) \\\malizia(panga) \]

Ikiwa tutachukua $a=3$ ndio nambari yetu asili iliyo upande wa kulia, na $b=2$ ndio msingi wa utendaji wa kielelezo ambao tunataka kupunguza upande wa kulia, tunapata yafuatayo:

\[\anza(linganisha)& a=((b)^(((\logi )_(b))a))\Mshale wa kulia 3=((2)^(((\logi )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Mshale wa Kulia ((2)^(x))=((2)^(((\logi )_(2))3))\Mshale wa Kulia x=( (\logi )_(2))3. \\\mwisho(patanisha)\]

Tulipokea jibu geni kidogo: $x=((\logi )_(2))3$. Katika kazi nyingine, wengi wangekuwa na mashaka na jibu kama hilo na wangeanza kuangalia mara mbili suluhisho lao: vipi ikiwa kosa limeingia mahali fulani? Ninaharakisha kukupendeza: hakuna hitilafu hapa, na logarithms katika mizizi ya equations kielelezo ni hali ya kawaida kabisa. Kwa hivyo zoea. :)

Sasa hebu tusuluhishe milinganyo miwili iliyobaki kwa mlinganisho:

\[\anza(linganisha)& ((5)^(x))=15\Mshale wa Kulia ((5)^(x))=((5)^(((\logi )_(5))15)) \Mshale wa kulia x=((\logi )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Mshale wa Kulia ((4)^(2x))=((4)^(((\logi )_(4))11))\Kulia 2x=( (\logi )_(4))11\Mshale wa kulia x=\frac(1)(2)((\logi )_(4))11. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Kwa njia, jibu la mwisho linaweza kuandikwa tofauti:

Tulianzisha kizidishi kwa hoja ya logariti. Lakini hakuna mtu anayetuzuia kuongeza sababu hii kwa msingi:

Kwa kuongezea, chaguzi zote tatu ni sahihi - ni aina tofauti za kuandika nambari sawa. Ni ipi ya kuchagua na kuandika katika suluhisho hili ni juu yako kuamua.

Kwa hivyo, tumejifunza kutatua milinganyo yoyote ya kielelezo cha fomu $((a)^(x))=b$, ambapo nambari $a$ na $b$ ni chanya kabisa. Walakini, ukweli mkali wa ulimwengu wetu ni kwamba kazi rahisi kama hizo zitakutana mara chache sana. Mara nyingi zaidi utakutana na kitu kama hiki:

\[\anza(linganisha)& ((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hiyo tunawezaje kutatua hili? Je, hili linaweza kutatuliwa kabisa? Na ikiwa ndivyo, jinsi gani?

Usiwe na wasiwasi. Milinganyo hii yote hupunguzwa haraka na kwa urahisi hadi fomula rahisi ambazo tumezingatia tayari. Unahitaji tu kukumbuka hila kadhaa kutoka kwa kozi ya algebra. Na kwa kweli, hakuna sheria za kufanya kazi na digrii. Nitakuambia juu ya haya yote sasa. :)

Kubadilisha Milinganyo ya Kielelezo

Jambo la kwanza kukumbuka: equation yoyote ya kielelezo, haijalishi ni ngumu kiasi gani, njia moja au nyingine lazima ipunguzwe kwa milinganyo rahisi - ambayo tumezingatia tayari na ambayo tunajua jinsi ya kutatua. Kwa maneno mengine, mpango wa kutatua equation yoyote ya kielelezo inaonekana kama hii:

Andika mlinganyo wa asili. Kwa mfano: $((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fanya mambo ya ajabu. Au hata ujinga fulani unaoitwa "badilisha equation";
Kwenye pato, pata misemo rahisi zaidi ya fomu $((4)^(x))=4$ au kitu kingine kama hicho. Kwa kuongezea, equation moja ya awali inaweza kutoa misemo kadhaa kama hiyo mara moja.

Kila kitu ni wazi na hatua ya kwanza - hata paka yangu inaweza kuandika equation kwenye kipande cha karatasi. Hoja ya tatu pia inaonekana kuwa wazi zaidi au chini - tayari tumetatua rundo zima la milinganyo kama hii hapo juu.

Lakini vipi kuhusu jambo la pili? Ni aina gani ya mabadiliko? Badilisha nini kuwa nini? Na Jinsi gani?

Naam, hebu tujue. Kwanza kabisa, ningependa kutambua yafuatayo. Equations zote za kielelezo zimegawanywa katika aina mbili:

Mlinganyo huu unajumuisha chaguo za kukokotoa za kielelezo na msingi sawa. Mfano: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fomula ina vipengele vya kukokotoa vilivyo na misingi tofauti. Mifano: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ na $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

Wacha tuanze na hesabu za aina ya kwanza - ndio rahisi kutatua. Na katika kuyatatua, tutasaidiwa na mbinu kama vile kuangazia misemo thabiti.

Kutenga usemi thabiti

Wacha tuangalie equation hii tena:

\[((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Tunaona nini? Wanne wameinuliwa kwa viwango tofauti. Lakini nguvu hizi zote ni hesabu rahisi za kutofautisha $x$ na nambari zingine. Kwa hivyo, ni muhimu kukumbuka sheria za kufanya kazi na digrii:

\[\anza(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a) )^(y))). \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa ufupi, nyongeza inaweza kubadilishwa kuwa bidhaa ya mamlaka, na kutoa kunaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa mgawanyiko. Wacha tujaribu kutumia fomula hizi kwa digrii kutoka kwa equation yetu:

\[\anza(linganisha)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\mwisho(patanisha)\]

Wacha tuandike upya mlinganyo wa asili kwa kuzingatia ukweli huu, na kisha tukusanye masharti yote upande wa kushoto:

\[\anza(align)&(4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -kumi na moja; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\mwisho(patanisha)\]

Maneno manne ya kwanza yana kipengele $((4)^(x))$ - tuyatoe kwenye mabano:

\[\anza(align)& ((4)^(x))\cdot \kushoto(1+\frac(1)(4)-4 \kulia)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \kushoto(-\frac(11)(4) \kulia)=-11. \\\mwisho(patanisha)\]

Inabakia kugawanya pande zote mbili za equation kwa sehemu $-\frac(11)(4)$, i.e. kimsingi zidisha kwa sehemu iliyogeuzwa - $-\frac(4)(11)$. Tunapata:

\[\anza(align)& ((4)^(x))\cdot \kushoto(-\frac(11)(4) \kulia)\cdot \kushoto(-\frac(4)(11) \kulia )=-11\cdot \kushoto(-\frac(4)(11) \kulia); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Tumepunguza mlinganyo wa asili kwa umbo lake rahisi na kupata jibu la mwisho.

Wakati huo huo, katika mchakato wa kutatua tuligundua (na hata tukaiondoa kwenye mabano) jambo la kawaida $((4)^(x))$ - hii ni usemi thabiti. Inaweza kuteuliwa kama kigezo kipya, au unaweza kuieleza kwa makini na kupata jibu. Kwa hali yoyote, kanuni kuu ya suluhisho ni kama ifuatavyo.

Tafuta katika mlinganyo wa asili usemi thabiti ulio na kigezo ambacho kinaweza kutofautishwa kwa urahisi na vitendaji vyote vya kielelezo.

Habari njema ni kwamba karibu kila mlinganyo wa kielelezo hukuruhusu kutenga usemi thabiti kama huu.

Lakini habari mbaya ni kwamba misemo hii inaweza kuwa gumu sana na inaweza kuwa vigumu kutambua. Kwa hivyo, wacha tuangalie shida moja zaidi:

\[(5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdoti ((5)^(x+1))=2\]

Labda mtu sasa atakuwa na swali: "Pasha, umepigwa mawe? Kuna misingi tofauti hapa - 5 na 0.2." Lakini wacha tujaribu kubadilisha nguvu kuwa msingi 0.2. Kwa mfano, hebu tuondoe sehemu ya decimal kwa kuipunguza hadi ya kawaida:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(2)(10) ) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)) )\]

Kama unaweza kuona, nambari ya 5 bado ilionekana, ingawa iko kwenye dhehebu. Wakati huo huo, kiashiria kiliandikwa tena kuwa hasi. Sasa hebu tukumbuke moja ya sheria muhimu zaidi za kufanya kazi na digrii:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Mshale wa Kulia ((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^( -\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(5)(1) \kulia))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hapa, bila shaka, nilikuwa nikilala kidogo. Kwa sababu kwa ufahamu kamili, formula ya kuondoa viashiria hasi ilipaswa kuandikwa kama hii:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n))))=((\kushoto(\frac(1)(a) \kulia))^(n ))\Mshale wa Kulia ((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(5)(1)\ kulia))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Kwa upande mwingine, hakuna kitu kilituzuia kufanya kazi na sehemu ndogo tu:

\[((\kushoto(\frac(1)(5) \kulia))^(-\kushoto(x+1 \kulia)))=((\kushoto(((5)^(-1))\ kulia))^(-\left(x+1 \kulia)))=((5)^(\left(-1 \kulia)\cdot \kushoto(-\left(x+1 \kulia) \kulia) ))=(5)^(x+1))\]

Lakini katika kesi hii, unahitaji kuwa na uwezo wa kuinua nguvu kwa nguvu nyingine (hebu nikumbushe: katika kesi hii, viashiria vinaongezwa pamoja). Lakini sikulazimika "kugeuza" sehemu - labda hii itakuwa rahisi kwa wengine. :)

Kwa vyovyote vile, mlinganyo wa asili wa kielelezo utaandikwa upya kama:

\[\anza(align)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1)))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo zinageuka kuwa equation ya asili inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi kuliko ile iliyozingatiwa hapo awali: hapa hauitaji hata kuchagua usemi thabiti - kila kitu kimepunguzwa peke yake. Inabakia tu kukumbuka kuwa $1=((5)^(0))$, ambayo tunapata:

\[\anza(linganisha)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\mwisho(patanisha)\]

Ndio suluhisho! Tulipata jibu la mwisho: $x=-2$. Wakati huo huo, ningependa kutambua mbinu moja ambayo imerahisisha sana mahesabu yote kwetu:

Katika hesabu za kielelezo, hakikisha kuwa umeondoa sehemu za desimali na kuzibadilisha kuwa za kawaida. Hii itawawezesha kuona misingi sawa ya digrii na kurahisisha sana suluhisho.

Wacha sasa tuendelee kwenye milinganyo ngumu zaidi ambayo ndani yake kuna misingi tofauti ambayo haiwezi kupunguzwa kwa kila mmoja kwa kutumia nguvu hata kidogo.

Kwa kutumia Mali ya Digrii

Acha nikukumbushe kwamba tuna milinganyo miwili mikali zaidi:

\[\anza(align)&(7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\mwisho(patanisha)\]

Ugumu kuu hapa ni kwamba haijulikani ni nini cha kutoa na kwa msingi gani. misemo thabiti iko wapi? Viwango sawa viko wapi? Hakuna haya.

Lakini hebu tujaribu kwenda kwa njia tofauti. Ikiwa hakuna besi zinazofanana zilizotengenezwa tayari, unaweza kujaribu kuzipata kwa kuzingatia misingi iliyopo.

Wacha tuanze na equation ya kwanza:

\[\anza(align)&(7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Mshale wa Kulia ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \kulia))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\mwisho(patanisha)\]

Lakini unaweza kufanya kinyume - fanya nambari 21 kutoka kwa nambari 7 na 3. Hii ni rahisi sana kufanya upande wa kushoto, kwani viashiria vya digrii zote mbili ni sawa:

\[\anza(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \kulia))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\mwisho(patanisha)\]

Ni hayo tu! Ulichukua kipeo nje ya bidhaa na mara moja ukapata mlingano mzuri ambao unaweza kutatuliwa katika mistari kadhaa.

Sasa hebu tuangalie equation ya pili. Kila kitu ni ngumu zaidi hapa:

\[(100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kushoto(\frac(27)(10) \kulia))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Katika kesi hii, sehemu ziligeuka kuwa haziwezi kupunguzwa, lakini ikiwa kitu kinaweza kupunguzwa, hakikisha kuipunguza. Mara nyingi, sababu za kuvutia zitaonekana ambazo unaweza tayari kufanya kazi.

Kwa bahati mbaya, hakuna kitu maalum kilionekana kwetu. Lakini tunaona kwamba vielelezo upande wa kushoto wa bidhaa ni kinyume:

Acha nikukumbushe: ili kuondoa ishara ya minus kwenye kiashiria, unahitaji tu "kupindua" sehemu hiyo. Kweli, wacha tuandike tena mlinganyo wa asili:

\[\anza(linganisha)& ((100)^(x-1))\cdot ((\kushoto(\frac(10)(27) \kulia))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\kushoto(100\cdot \frac(10)(27) \kulia))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\kushoto(\frac(1000)(27)\kulia))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\mwisho(patanisha)\]

Katika mstari wa pili, tulichukua kipeo jumla kutoka kwa bidhaa kutoka kwa mabano kulingana na sheria $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \kulia))^ (x))$, na katika ya mwisho walizidisha tu nambari 100 kwa sehemu.

Sasa kumbuka kuwa nambari za kushoto (chini) na kulia zinafanana. Vipi? Ndiyo, ni dhahiri: ni nguvu za idadi sawa! Tuna:

\[\anza(linganisha)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kulia))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))))=((\left(\frac(3)(10)) \kulia))^(2)). \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo, equation yetu itaandikwa upya kama ifuatavyo:

\[((\kushoto((\\kushoto(\frac(10)(3))\kulia))^(3)) \kulia))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\kulia))^(2))\]

\[((\kushoto(((\kushoto(\frac(10)(3))\kulia))^(3)) \kulia))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \kulia))^(3\kushoto(x-1 \kulia)))=((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(3x-3))\]

Katika kesi hii, upande wa kulia unaweza pia kupata digrii na msingi sawa, ambayo inatosha "kugeuza" sehemu tu:

\[((\kushoto(\frac(3)(10) \kulia))^(2))=((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(-2))\]

Equation yetu hatimaye itachukua fomu:

\[\anza(linganisha)& ((\kushoto(\frac(10)(3) \kulia))^(3x-3))=((\kushoto(\frac(10)(3)\kulia)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\mwisho(patanisha)\]

Hilo ndilo suluhisho. Wazo lake kuu linatoka kwa ukweli kwamba hata kwa misingi tofauti tunajaribu, kwa ndoano au kwa kota, kupunguza besi hizi kwa kitu kimoja. Mabadiliko ya kimsingi ya milinganyo na sheria za kufanya kazi na mamlaka hutusaidia na hili.

Lakini ni sheria gani na wakati wa kutumia? Unaelewaje kwamba katika equation moja unahitaji kugawanya pande zote mbili na kitu, na kwa mwingine unahitaji kuzingatia msingi wa kazi ya kielelezo?

Jibu la swali hili litakuja na uzoefu. Jaribu mkono wako kwa hesabu rahisi kwanza, na kisha ugumu matatizo polepole - na hivi karibuni ujuzi wako utatosha kutatua mlinganyo wowote wa kielelezo kutoka kwa Mtihani huo wa Jimbo la Umoja au kazi yoyote ya kujitegemea/ya majaribio.

Na ili kukusaidia katika kazi hii ngumu, napendekeza kupakua seti ya equations kutoka kwenye tovuti yangu kwa ajili ya kutatua mwenyewe. Milinganyo yote ina majibu, kwa hivyo unaweza kujijaribu kila wakati.

Milinganyo ya kielelezo ni zile ambazo zisizojulikana zimo katika kipeo. Mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo una umbo: a x = a b, ambapo a> 0, a 1, x haijulikani.

Sifa kuu za mamlaka ambazo milinganyo ya kielelezo hubadilishwa: a>0, b>0.

Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya kielelezo, sifa zifuatazo za chaguo za kukokotoa za kielelezo hutumiwa pia: y = a x, a > 0, a1:

Ili kuwakilisha nambari kama nguvu, tumia kitambulisho msingi cha logarithmic: b = , a > 0, a1, b > 0.

Shida na vipimo kwenye mada "Equations Exponential"

Milinganyo ya kielelezo
Masomo: Kazi 4: Mitihani 21: 1
Milinganyo ya kielelezo - Mada muhimu ya kukagua Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati
Kazi: 14
Mifumo ya milinganyo ya kielelezo na ya logarithmic - Utendaji wa kielelezo na logarithmic daraja la 11
Masomo: Kazi 1: Majaribio 15: 1
§2.1. Kutatua milinganyo ya kielelezo
Masomo: 1 Kazi: 27
§7 Milinganyo ya kielelezo na ya logarithmic na ukosefu wa usawa - Sehemu ya 5. Utendaji wa kielelezo na logarithmic, daraja la 10
Masomo: 1 Kazi: 17

Ili kusuluhisha milinganyo ya kielelezo kwa mafanikio, ni lazima ujue sifa za msingi za mamlaka, sifa za utendaji kazi wa kielelezo, na utambulisho msingi wa logarithmic.

Wakati wa kutatua equations za kielelezo, njia kuu mbili hutumiwa:

mpito kutoka kwa mlinganyo a f(x) = a g(x) hadi mlinganyo f(x) = g(x);
kuanzishwa kwa mistari mpya.

Mifano.

1. Milinganyo imepunguzwa hadi rahisi zaidi. Zinatatuliwa kwa kupunguza pande zote mbili za equation hadi nguvu iliyo na msingi sawa.

3 x = 9 x - 2.

Suluhisho:

3 x = (3 2) x - 2;
3 x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x = 4.

Jibu: 4.

2. Milinganyo hutatuliwa kwa kutoa kipengele cha kawaida kwenye mabano.

Suluhisho:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x = 3.

Jibu: 3.

3. Milinganyo kutatuliwa kwa kutumia mabadiliko ya kutofautiana.

Suluhisho:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Tunaashiria 2 x = y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Mlinganyo hauna suluhu, kwa sababu 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 logi 2 3; x = kumbukumbu 2 3.

Jibu: logi 23.

4. Milinganyo iliyo na nguvu na besi mbili tofauti (zisizoweza kupunguzwa kwa kila mmoja).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Jibu: 2.

5. Milinganyo ambayo ni homogeneous kwa heshima ya x na b x.

Fomu ya jumla:.

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

Suluhisho:

3 2x – 2.5 × 2 x 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
Hebu tuonyeshe (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Jibu: logi 3/2 2; - kumbukumbu 3/2 2.

Vifaa:

kompyuta,
projekta ya media titika,
skrini,
Kiambatisho cha 1(Onyesho la slaidi la PowerPoint) "Njia za kutatua milinganyo ya kielelezo"
Kiambatisho 2(Kutatua mlinganyo kama vile "Misingi Mitatu tofauti ya nguvu" katika Neno)
Kiambatisho cha 3(vijitabu katika Neno kwa kazi ya vitendo).
Kiambatisho cha 4(kitini katika Neno kwa kazi ya nyumbani).

Wakati wa madarasa

1. Hatua ya shirika

ujumbe wa mada ya somo (iliyoandikwa ubaoni),
hitaji la somo la jumla katika darasa la 10-11:

Hatua ya kuandaa wanafunzi kwa ajili ya kujifunza kwa vitendo

Kurudia

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa kielelezo ni mlinganyo ulio na kigezo chenye kipeo (majibu ya mwanafunzi).

Ujumbe wa mwalimu. Milinganyo ya kielelezo ni ya darasa la milinganyo inayovuka maumbile. Jina hili lisiloweza kutamkwa linapendekeza kwamba milinganyo kama hii, kwa ujumla, haiwezi kutatuliwa kwa njia ya fomula.

Wanaweza tu kutatuliwa takriban kwa njia za nambari kwenye kompyuta. Lakini vipi kuhusu kazi za mitihani? Ujanja ni kwamba mtahini hutengeneza shida kwa njia ambayo inaruhusu suluhisho la uchambuzi. Kwa maneno mengine, unaweza (na unapaswa!) kufanya mabadiliko yanayofanana ambayo hupunguza mlingano huu wa kielelezo hadi mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo. Equation hii rahisi zaidi inaitwa: mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo. Inatatuliwa kwa logarithm.

Hali ya kutatua equation ya kielelezo ni kukumbusha kusafiri kupitia labyrinth, ambayo iligunduliwa haswa na mwandishi wa shida. Kutoka kwa hoja hizi za jumla hufuata mapendekezo maalum sana.

Ili kusuluhisha milinganyo ya kielelezo kwa mafanikio lazima:

1. Sio tu kujua kikamilifu vitambulisho vyote vya kielelezo, lakini pia pata seti za maadili tofauti ambayo vitambulisho hivi vinafafanuliwa, ili wakati wa kutumia vitambulisho hivi usipate mizizi isiyo ya lazima, na hata zaidi, usipoteze ufumbuzi. kwa equation.

2. Jua kikamilifu vitambulisho vyote vya kielelezo.

3. Kwa wazi, kwa undani na bila makosa, fanya mabadiliko ya hisabati ya equations (kuhamisha maneno kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, bila kusahau kubadilisha ishara, kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida, nk). Hii inaitwa utamaduni wa hisabati. Wakati huo huo, mahesabu yenyewe yanapaswa kufanyika moja kwa moja kwa mkono, na kichwa kinapaswa kufikiri juu ya thread ya jumla ya mwongozo wa suluhisho. Mabadiliko lazima yafanywe kwa uangalifu na kwa undani iwezekanavyo. Hii tu itahakikisha uamuzi sahihi, usio na makosa. Na kumbuka: hitilafu ndogo ya hesabu inaweza tu kuunda equation ya transcendental ambayo, kimsingi, haiwezi kutatuliwa kwa uchambuzi. Inatokea kwamba umepoteza njia yako na umepiga ukuta wa labyrinth.

4. Jua mbinu za kutatua matatizo (yaani, kujua njia zote kupitia maze ya suluhisho). Ili kuzunguka kwa usahihi katika kila hatua, itabidi (kwa uangalifu au angavu!):

fafanua aina ya equation;
kumbuka aina inayolingana njia ya suluhisho kazi.

Hatua ya jumla na utaratibu wa nyenzo zilizosomwa.

Mwalimu, pamoja na wanafunzi wanaotumia kompyuta, hufanya hakiki ya aina zote za hesabu za kielelezo na njia za kuzitatua, na kuchora mchoro wa jumla. (Programu ya kompyuta ya elimu ya L.Ya. Borevsky "Kozi ya Hisabati - 2000" inatumiwa, mwandishi wa uwasilishaji wa PowerPoint ni T.N. Kuptsova.)

Mchele. 1. Kielelezo kinaonyesha mchoro wa jumla wa aina zote za milinganyo ya kielelezo.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mchoro huu, mkakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo ni kupunguza mlinganyo wa kielelezo uliotolewa kwa mlinganyo, kwanza kabisa, na misingi sawa ya digrii , na kisha - na na viashiria vya shahada sawa.

Baada ya kupokea mlinganyo wenye misingi sawa na viambajengo, unabadilisha kipeo hiki na kigezo kipya na kupata mlinganyo rahisi wa aljebra (kawaida ni wa kimantiki au wa quadratic) kuhusiana na kigezo hiki kipya.

Baada ya kusuluhisha mlingano huu na kufanya ubadilishaji wa kinyume, unaishia na seti ya milinganyo rahisi ya kielelezo ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia ya jumla kwa kutumia logariti.

Milinganyo ambayo bidhaa za nguvu (sehemu) pekee ndizo zinazopatikana zinajitokeza. Kwa kutumia vitambulisho vya kielelezo, inawezekana kupunguza milinganyo hii mara moja hadi msingi mmoja, hasa, kwa mlinganyo rahisi zaidi wa kielelezo.

Wacha tuangalie jinsi ya kutatua equation ya kielelezo na besi tatu tofauti.

(Ikiwa mwalimu ana programu ya kompyuta ya kielimu na L. Ya. Borevsky "Kozi ya Hisabati - 2000", basi kwa asili tunafanya kazi na diski, ikiwa sivyo, unaweza kufanya uchapishaji wa aina hii ya equation kutoka kwake kwa kila dawati, iliyotolewa hapa chini.)

Mchele. 2. Mpango wa kutatua equation.

Mchele. 3. Anza kutatua equation

Mchele. 4. Maliza kutatua equation.

Kufanya kazi kwa vitendo

Amua aina ya equation na usuluhishe.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Kwa muhtasari wa somo

Kuweka alama kwa somo.

Mwisho wa somo

Kwa mwalimu

Fanya mazoezi ya kujibu.

Zoezi: kutoka kwa orodha ya hesabu, chagua hesabu za aina maalum (ingiza nambari ya jibu kwenye jedwali):

Misingi mitatu ya digrii tofauti
Misingi miwili tofauti - vielelezo tofauti
Misingi ya nguvu - nguvu za nambari moja
Misingi sawa - vielelezo tofauti
Misingi sawa ya digrii - viashiria sawa vya digrii
Bidhaa ya mamlaka
Misingi miwili tofauti ya digrii - viashiria sawa
Milinganyo rahisi zaidi ya kielelezo

1. (bidhaa ya mamlaka)

2. (misingi sawa - vielezi tofauti)

Katika somo hili tutaangalia kutatua milinganyo changamano zaidi ya kielelezo na kukumbuka kanuni za kimsingi za kinadharia kuhusu utendaji kazi wa kielelezo.

1. Ufafanuzi na sifa za kazi ya kielelezo, mbinu za kutatua milinganyo rahisi zaidi ya kielelezo.

Hebu tukumbuke ufafanuzi na sifa za msingi za kazi ya kielelezo. Suluhisho la milinganyo yote ya kielelezo na kukosekana kwa usawa inategemea sifa hizi.

Utendakazi wa kielelezo ni kazi ya fomu , ambapo msingi ni shahada na Hapa x ni variable huru, hoja; y ni kigezo tegemezi, kitendakazi.

Mchele. 1. Grafu ya utendaji wa kielelezo

Grafu inaonyesha vipeo vyeo vinavyoongezeka na vinavyopungua, inayoonyesha utendaji kazi wa kielelezo kwa msingi mkubwa kuliko moja na chini ya moja lakini kubwa kuliko sufuri, mtawalia.

Mikondo yote miwili hupita kwenye ncha (0;1)

Sifa za Kazi ya Kielelezo:

Kikoa:;

Msururu wa maadili:;

Kazi ni monotonic, huongezeka na, hupungua na.

Chaguo za kukokotoa za monotoni huchukua kila moja ya thamani zake kutokana na thamani moja ya hoja.

Hoja inapoongezeka kutoka minus hadi plus infinity, chaguo za kukokotoa huongezeka kutoka sufuri jumuishi hadi pamoja na infinity. Kinyume chake, hoja inapoongezeka kutoka minus hadi plus infinity, chaguo za kukokotoa hupungua kutoka kwa infinity hadi sifuri, bila kujumuisha.

2. Kutatua milinganyo ya kawaida ya kielelezo

Hebu tukumbushe jinsi ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya kielelezo. Suluhisho lao linategemea monotonicity ya kazi ya kielelezo. Takriban milinganyo yote changamano ya kielelezo inaweza kupunguzwa hadi milinganyo kama hii.

Usawa wa vielelezo vilivyo na misingi sawa ni kutokana na mali ya kazi ya kielelezo, yaani monotonicity yake.

Njia ya suluhisho:

Sawazisha misingi ya digrii;

Sawazisha vipeo.

Wacha tuendelee kuzingatia milinganyo changamano zaidi ya kielelezo; lengo letu ni kupunguza kila moja hadi rahisi zaidi.

Wacha tuondoe mzizi upande wa kushoto na kuleta digrii kwa msingi sawa:

Ili kupunguza mlingano changamano wa kielelezo kwa rahisi zaidi, uingizwaji wa vigeu mara nyingi hutumiwa.

Wacha tutumie mali ya nguvu:

Tunaanzisha mbadala. Hebu iwe basi

Wacha tuzidishe equation inayotokana na mbili na tuhamishe maneno yote kwa upande wa kushoto:

Kizizi cha kwanza hakikidhi viwango vya thamani y, kwa hivyo tunakitupa. Tunapata:

Wacha tupunguze digrii kwa kiashiria sawa:

Wacha tuanzishe mbadala:

Hebu iwe basi . Kwa uingizwaji kama huo, ni dhahiri kwamba y inachukua maadili chanya kabisa. Tunapata:

Tunajua jinsi ya kutatua hesabu za quadratic, tunaweza kuandika jibu:

Ili kuhakikisha kwamba mizizi hupatikana kwa usahihi, unaweza kuangalia kwa kutumia theorem ya Vieta, yaani, kupata jumla ya mizizi na bidhaa zao na kulinganisha na coefficients sambamba ya equation.

Tunapata:

3. Mbinu ya kutatua milinganyo ya kielelezo cha homogeneous ya shahada ya pili

Wacha tujifunze aina zifuatazo muhimu za milinganyo ya kielelezo:

Equations ya aina hii inaitwa homogeneous ya shahada ya pili kwa heshima na kazi f na g. Kwa upande wake wa kushoto kuna trinomial ya mraba kwa heshima na f na parameter g au trinomial ya mraba kwa heshima na g na parameter f.

Njia ya suluhisho:

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kama mlinganyo wa quadratic, lakini ni rahisi kuifanya kwa njia tofauti. Kuna kesi mbili za kuzingatia:

Katika kesi ya kwanza tunapata

Katika kesi ya pili, tuna haki ya kugawanya kwa kiwango cha juu na kupata: