1. Các định thức bậc hai, bậc ba và tính chất của chúng 1.1. Khái niệm ma trận và định thức bậc hai
Một bảng số hình chữ nhật chứa số m tùy ý
hàng và số cột tùy ý được gọi là ma trận. Để chỉ ra
ma trận sử dụng thanh dọc đôi hoặc thanh tròn
dấu ngoặc. Ví dụ:
28 20 18 28 20 18
Nếu số hàng của ma trận bằng số cột của nó thì ma trận
gọi là hình vuông. Các số tạo nên ma trận gọi nó là
yếu tố.
Xét một ma trận vuông gồm bốn phần tử:
Định thức bậc hai tương ứng với ma trận (3.1),
là một số bằng - và được ký hiệu bằng ký hiệu
Vì vậy, theo định nghĩa
Các phần tử tạo nên ma trận của định thức cho trước thường là
được gọi là các phần tử của định thức này.
Tuyên bố sau đây là đúng: để có yếu tố quyết định
là đơn hàng thứ hai bằng 0, cần và đủ để
các phần tử của các hàng của nó (hoặc, tương ứng, các cột của nó) là
tỷ lệ thuận.
Để chứng minh nhận định này, chỉ cần lưu ý rằng mỗi
từ các tỷ lệ / = / và / = / tương đương với đẳng thức = , và đẳng thức cuối cùng trong
lực (3.2) tương đương với sự biến mất của định thức.
1.2. Hệ thống hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số
Chúng ta hãy chỉ ra cách sử dụng định thức bậc hai để
nghiên cứu và tìm lời giải hệ hai phương trình tuyến tính với
hai ẩn số
(các hệ số và số hạng tự do được xem xét trong trường hợp này
được cho). Nhớ lại rằng một cặp số được gọi là nghiệm của hệ (3.3),
nếu thay thế những con số này tại chỗ và trong hệ thống này vẽ cả hai
phương trình (3.3) thành đồng nhất thức.
Nhân phương trình thứ nhất của hệ (3.3) với -, và phương trình thứ hai với - rồi nhân
cộng các đẳng thức kết quả, chúng ta nhận được
Tương tự, bằng cách nhân phương trình (3.3) với - và tương ứng
Hãy giới thiệu ký hiệu sau:
= , = , = . (3.6)
Sử dụng các ký hiệu này và biểu thức định thức của số thứ hai
bậc độ lớn, các phương trình (3.4) và (3.5) có thể được viết lại thành:
Định thức bao gồm các hệ số cho ẩn số
hệ (3.3) thường được gọi là yếu tố quyết định của hệ thống này. Lưu ý rằng
định thức và thu được từ định thức của hệ thống bằng cách thay thế
cột đầu tiên hoặc thứ hai của nó, tương ứng, theo các điều khoản tự do.
Hai trường hợp có thể phát sinh: 1) yếu tố quyết định của hệ thống khác với
không; 2) định thức này bằng 0.
Trước tiên chúng ta xét trường hợp 0. Từ phương trình (3.7) ta thu được ngay
công thức cho ẩn số, được gọi là Công thức Cramer:
Các công thức Cramer thu được (3.8) đưa ra nghiệm của hệ (3.7) và
do đó chúng chứng minh tính duy nhất của nghiệm của hệ ban đầu (3.3). Trong rất
trên thực tế, hệ (3.7) là hệ quả của hệ (3.3), do đó bất kỳ
nghiệm của hệ (3.3) (nếu nó tồn tại!) phải là
nghiệm và hệ thống (3.7). Vì vậy, cho đến nay người ta đã chứng minh được rằng nếu hệ thống ban đầu
(3.3) tồn tại một nghiệm tại 0 thì nghiệm này được xác định duy nhất
Công thức Cramer (3.8).
Thật dễ dàng để xác minh sự tồn tại của một giải pháp, tức là. đó là lúc 0 hai
số và được xác định bởi công thức Cramer (3.8). được đưa vào
đặt ẩn số vào phương trình (3.3), biến các phương trình này thành đẳng thức.
(Chúng tôi để người đọc viết biểu thức của định thức,
và, và xác minh tính hợp lệ của những danh tính này.)
chúng tôi đến đi đến kết luận sau: nếu định thức của hệ (3.3)
khác 0 thì tồn tại, và hơn nữa, nghiệm duy nhất cho vấn đề này
hệ thống được xác định bởi công thức Cramer (3.8).
Bây giờ chúng ta xét trường hợp định thức của hệ bằng không.
Họ có thể tự giới thiệu hai trường hợp con: a) ít nhất một trong các yếu tố quyết định hoặc,
khác với số không; b) cả hai định thức đều bằng 0. (nếu yếu tố quyết định và
một trong hai định thức bằng 0 thì định thức còn lại trong hai định thức đó
định thức bằng không. Trong thực tế, ví dụ: = 0 = 0, tức là / = /
và / = /. Sau đó, từ các tỷ lệ này, chúng ta thu được /= /, tức là = 0).
Trong trường hợp con a) ít nhất một trong các đẳng thức không thể xảy ra
(3.7), tức là hệ (3.7) không có nghiệm và do đó không có nghiệm và
hệ (3.3) gốc (hệ quả của nó là hệ (3.7)).
Trong trường hợp con b) hệ ban đầu (3.3) có tập vô hạn
các quyết định. Thực tế, từ các đẳng thức === 0 và từ câu lệnh ở cuối phần. 1.1
ta kết luận rằng phương trình thứ hai của hệ (3.3) là hệ quả của phương trình thứ nhất
và nó có thể bị loại bỏ. Nhưng một phương trình có hai ẩn số
có vô số nghiệm (ít nhất một trong các hệ số, hoặc
khác 0 và ẩn số liên quan đến nó có thể được xác định từ
phương trình (3.9) thông qua tùy ý đặt giá trị một ẩn số khác).
Do đó, nếu định thức của hệ (3.3) bằng 0 thì
hệ (3.3) hoặc không có nghiệm nào cả (nếu ít nhất một trong các
định thức hoặc khác 0), hoặc có tập hợp không đếm được
giải pháp (trong trường hợp khi == 0). TRONG trường hợp sau hai phương trình (3.3)
có thể được thay thế bằng một và khi giải nó có thể hỏi một ẩn số
tùy ý.
Bình luận. Trong trường hợp các số hạng tự do và bằng 0, tuyến tính
hệ (3.3) được gọi là đồng nhất. Lưu ý rằng hệ thống đồng nhất
luôn có nghiệm gọi là tầm thường: = 0, = 0 (hai số này
cả hai đều trả tiền phương trình đồng nhất thành danh tính).
Nếu định thức của một hệ thuần nhất khác 0 thì điều này
hệ thống chỉ có một giải pháp tầm thường. Nếu = 0 thì đồng nhất
hệ thống có vô số giải pháp(vì vì
hệ thống đồng nhất, loại trừ khả năng thiếu giải pháp). Vì thế
đường, một hệ thống thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ
trong trường hợp định thức của nó bằng 0.
1.3. Các yếu tố quyết định bậc ba
Xét ma trận vuông gồm 9 phần tử
Yếu tố quyết định bậc ba, tương ứng với ma trận (3.10), là số bằng:
và được ký hiệu bằng ký hiệu
Vì vậy, theo định nghĩa
Như trong trường hợp định thức bậc hai, các phần tử của ma trận (3.10) sẽ là
gọi các phần tử của chính yếu tố quyết định. Ngoài ra, hãy đồng ý
gọi tên đường chéo được hình thành bởi các phần tử và, chủ yếu, và đường chéo,
được hình thành bởi các yếu tố, và - bên.
Để nhớ cấu trúc của các thuật ngữ có trong biểu thức của
định thức (3.11), chúng ta chỉ ra quy tắc tiếp theo, không đòi hỏi nhiều
căng thẳng về sự chú ý và trí nhớ. Để làm điều này, hãy đi tới ma trận mà nó được tạo thành
định thức, hãy thêm cột đầu tiên và sau đó thêm cột thứ hai vào bên phải. TRONG
ma trận kết quả
một đường liền nét nối ba bộ ba số hạng thu được bằng cách song song
bằng cách di chuyển đường chéo chính và tương ứng với ba số hạng có trong
biểu thức (3.11) có dấu cộng; ba được kết nối bằng một đường chấm chấm
bộ ba thành viên khác đã nhận được chuyển song song bên
đường chéo và tương ứng với ba số hạng trong biểu thức (3.11) với
dấu trừ.
1.4. Tính chất của định thức
Bất động sản 1. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu các đường thẳng và
thay đổi vai trò của các cột của định thức này, tức là
Để chứng minh tính chất này chỉ cần viết các định thức là đủ
đứng ở bên trái và bên phải của (3.13), như đã chỉ ra ở Mục. 1.3 quy tắc và
đảm bảo rằng các điều khoản kết quả là bằng nhau.
Thuộc tính 1 bộ hoàn toàn bình đẳng hàng và cột. Đó là lý do tại sao
tất cả các tính chất khác của định thức có thể được xây dựng cho cả chuỗi và
cho các cột và để chứng minh - chỉ cho các hàng hoặc chỉ cho các cột.
Thuộc tính 2. Sắp xếp lại hai hàng (hoặc hai cột)
định thức tương đương với việc nhân nó với số -1.
Chứng minh cũng xuất phát từ quy tắc nêu ở phần trước
Tính chất 3. Nếu định thức có hai chuỗi giống nhau (hoặc hai chuỗi
các cột giống hệt nhau), thì nó bằng 0.
Thật vậy, khi sắp xếp lại hai chuỗi giống hệt nhau, từ một
một mặt định thức sẽ không thay đổi nhưng mặt khác do tính chất 2
nó sẽ đổi dấu ngược lại. Do đó, = -, tức là 2 = 0 hoặc = 0.
Thuộc tính 4. Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi nào đó (hoặc
cột nào đó) của định thức với một số thì tương đương với việc nhân
yếu tố quyết định cho con số này.
Nói cách khác, nhân tử chung của tất cả các phần tử của một chuỗi nhất định
(hoặc một cột nào đó) của định thức có thể được lấy ra như một dấu hiệu của điều này
yếu tố quyết định.
Ví dụ,
Để chứng minh tính chất này, chỉ cần lưu ý rằng
định thức được biểu diễn dưới dạng tổng (3.12), mỗi số hạng của nó
chứa một và chỉ một phần tử từ mỗi hàng và một và chỉ
một phần tử từ mỗi cột.
Thuộc tính 5. Nếu tất cả các phần tử của một chuỗi nào đó (hoặc một số
cột) của định thức bằng 0 thì bản thân định thức đó bằng 0.
Thuộc tính này nối tiếp thuộc tính trước đó (với = 0).
Thuộc tính 6. Nếu các phần tử là hai hàng (hoặc hai cột)
định thức tỉ lệ thì định thức bằng 0.
Trên thực tế, do tính chất 4 nên hệ số tỷ lệ có thể là
được đưa ra ngoài dấu của định thức, sau đó định thức còn lại với hai
các dòng giống hệt nhau, bằng 0 theo tính chất 3.
Tính chất 7. Nếu mọi người phần tử thứ n hàng (hoặc cột thứ n)
định thức là tổng của hai số hạng thì định thức
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai định thức, định thức đầu tiên của
mà anh ấy có trong dòng thứ n(hoặc trong cột thứ n) được đề cập đầu tiên
các số hạng và các phần tử giống như định thức ban đầu, trong phần còn lại
hàng (cột) và định thức thứ hai có ở hàng thứ n (ở thứ n
cột) phần thứ hai của các thuật ngữ được đề cập và các yếu tố tương tự như
định thức ban đầu ở các hàng (cột) còn lại.
Ví dụ,
Để chứng minh tính chất này, một lần nữa chỉ cần lưu ý rằng
định thức được biểu diễn dưới dạng tổng của các số hạng, mỗi số hạng
chứa một và chỉ một phần tử trên mỗi dòng và một và chỉ một phần tử
phần tử từ mỗi cột.
Thuộc tính 8. Nếu các phần tử của một chuỗi nào đó (hoặc một số
cột) định thức cộng các phần tử tương ứng của định thức khác
các hàng (của một cột khác) nhân với một hệ số tùy ý, thì
giá trị của định thức sẽ không thay đổi.
Thật vậy, thu được là kết quả của việc bổ sung được chỉ định
định thức có thể (nhờ tính chất 7) được chia thành tổng của hai
định thức, định thức thứ nhất trùng với định thức ban đầu, định thức thứ hai bằng
bằng 0 do tỷ lệ các phần tử của hai hàng (hoặc cột) và
thuộc tính 6.
1.5. Phần bù đại số và phần phụ
Chúng ta hãy tập hợp trong biểu thức (3.12) cho định thức các số hạng chứa
bất kỳ một phần tử nào của định thức này và loại bỏ phần tử đã chỉ định
ngoài dấu ngoặc; số còn lại trong ngoặc được gọi là
phần bù đại số phần tử được chỉ định.
Chúng ta sẽ biểu thị phần bù đại số của một phần tử đã cho
thủ đô chữ cái Latinh cùng tên với phần tử và
cung cấp cùng số với phần tử đã cho. Ví dụ,
phần bù đại số phần tử sẽ được biểu thị bằng đại số
bổ sung phần tử - thông qua, v.v.
Trực tiếp từ biểu thức của định thức (3.12) và từ thực tế là
mỗi số hạng ở vế phải của (3.12) chứa một và chỉ một phần tử
từ mỗi hàng (từ mỗi cột), các đẳng thức sau đây sẽ như sau:
Những đẳng thức này thể hiện tính chất sau của định thức:
yếu tố quyết định bằng tổng sản phẩm của các phần tử của chuỗi bất kỳ
(của bất kỳ cột nào) với phép cộng đại số tương ứng
các phần tử của hàng này (cột này).
Đẳng thức (3.14) thường được gọi là khai triển định thức Qua
các phần tử của hàng thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba tương ứng và các đẳng thức
(3.15) - khai triển định thức theo các phần tử của cái đầu tiên, tương ứng,
cột thứ hai hoặc thứ ba.
Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu khái niệm quan trọng người vị thành niên của yếu tố quyết định này
Người vị thành niên của một phần tử nhất định của định thức bậc n (trong trường hợp của chúng ta là n = 3)
là định thức bậc (n-1) thu được từ một định thức cho trước
định thức bằng cách gạch bỏ hàng và cột đó tại giao điểm
chi phí của yếu tố này.
Phần bù đại số của bất kỳ phần tử nào của định thức đều bằng
phần tử thứ của phần tử này, được lấy bằng “cộng” như vậy nếu tổng các số
hàng và cột tại giao điểm của phần tử này là
số đó là số chẵn và có dấu trừ nếu không thì.
Vì vậy, phần bù đại số và phần bù đại số tương ứng
có thể chỉ khác nhau về dấu hiệu.
Bảng sau đây cho đại diện trực quan quen thuộc thế nào
phần bù đại số và phần bù đại số tương ứng có liên quan với nhau:
Quy tắc được thiết lập cho phép khai triển trong công thức (3.14) và (3.15)
định thức trên các phần tử của hàng và cột ở mọi nơi thay vì đại số
bổ sung viết các trẻ vị thành niên tương ứng (có dấu yêu cầu).
Vì vậy, ví dụ, công thức đầu tiên (3.14), cho khai triển
định thức của các phần tử ở hàng đầu tiên có dạng
Để kết luận, chúng ta hãy thiết lập tính chất cơ bản sau
yếu tố quyết định.
Tính chất 9. Tổng tích các phần tử của cột bất kỳ
định thức của phần bù đại số tương ứng của các phần tử
của cột này (khác) bằng giá trị của định thức này (bằng 0).
Tất nhiên, tính chất tương tự cũng đúng khi áp dụng cho chuỗi
yếu tố quyết định. Trường hợp phép cộng đại số và phần tử
tương ứng với cùng một cột, đã được thảo luận ở trên. Vẫn còn phải chứng minh
rằng tổng các tích của các phần tử của cột bất kỳ bằng tích tương ứng
phần bù đại số của các phần tử ở cột kia bằng 0.
Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng tổng các tích của các phần tử của phần tử thứ nhất hoặc
cột thứ ba bằng không.
Chúng ta sẽ bắt đầu từ công thức thứ ba (3.15), công thức này cho phép khai triển
định thức bởi các yếu tố của cột thứ ba:
Vì phép cộng đại số và các phần tử của cột thứ ba không
phụ thuộc vào chính các phần tử và cột này, sau đó trong đẳng thức (3.17) các số và
có thể được thay thế số tùy ý, và trong khi duy trì ở bên trái
phần (3.17) hai cột đầu tiên của định thức và ở bên phải - số lượng,
và phép cộng đại số.
Như vậy, cho bất kỳ, và đẳng thức đúng:
Bây giờ coi đẳng thức (3.18) là các phần tử và
cột đầu tiên, sau đó là các phần tử, và cột thứ hai và cho rằng
định thức có hai cột trùng nhau do tính chất 3 bằng
bằng không, ta đi đến các đẳng thức sau:
Điều này chứng tỏ rằng tổng tích các phần tử của phần tử thứ nhất hoặc
cột thứ hai với phần bù đại số tương ứng của các phần tử
cột thứ ba bằng 0: Các đẳng thức được chứng minh tương tự:
và các đẳng thức tương ứng không liên quan đến cột mà liên quan đến hàng:
2. Hệ phương trình tuyến tính ba ẩn 2.1. Hệ ba phương trình tuyến tính ba ẩn với
định thức khác 0.
Là một ứng dụng của lý thuyết đã nêu ở trên, hãy xem xét hệ thống
ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số:
(các hệ số, , và số hạng tự do được coi là đã cho).
Bộ ba số được gọi là nghiệm của hệ (3.19) nếu việc thay thế chúng
số tại chỗ, vào hệ (3.19) biến cả ba phương trình (3.19) thành
danh tính.
Bốn điều sau đây sẽ đóng một vai trò cơ bản trong tương lai:
yếu tố quyết định:
Định thức thường được gọi là định thức của hệ (3.19) (nó
bao gồm các hệ số cho ẩn số). Các yếu tố quyết định và
được lấy từ định thức của hệ thống bằng cách thay thế chúng bằng định thức tự do
các thành viên của các phần tử của cột thứ nhất, thứ hai và thứ ba tương ứng.
Để loại trừ ẩn số khỏi hệ (3.19), ta nhân các phương trình
(3.19) tương ứng với phần bù đại số của các phần tử của phần tử thứ nhất
cột định thức của hệ, rồi cộng kết quả
phương trình Kết quả là chúng tôi nhận được:
Xét rằng tổng tích các phần tử của một cột cho trước
định thức của phần bù đại số tương ứng của các phần tử
của cột (khác) này bằng định thức (không) (xem thuộc tính 9),
0, ++= 0.
Ngoài ra, bằng cách phân tích định thức thành các phần tử của cột đầu tiên, ta thu được công thức:
Sử dụng công thức (3.21) và (3.22), đẳng thức (3.20) sẽ được viết lại thành
ở dạng sau (không chứa ẩn số):
Các đẳng thức = và
Như vậy ta đã thiết lập được hệ phương trình = , = , =
là hệ quả của hệ ban đầu (3.19).
Trong tương lai chúng tôi sẽ xem xét riêng hai trường hợp:
1) khi yếu tố quyết định hệ thống khác không,
2) khi yếu tố quyết định này bằng 0.
Vì vậy, cho 0. Khi đó từ hệ (3.23) ta thu được ngay công thức của các ẩn số, gọi là Công thức Cramer:
Các công thức Cramer mà chúng ta thu được đưa ra nghiệm của hệ (3.23) và
do đó chúng chứng minh tính duy nhất của nghiệm của hệ ban đầu (3.19), bởi vì
hệ (3.23) là hệ quả của hệ (3.19) và mọi nghiệm của hệ
(3.19) phải là nghiệm của hệ (3.23).
Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng nếu hệ ban đầu (3.19) tồn tại với
0 giải pháp, thì nghiệm này được xác định duy nhất bằng công thức Cramer
Để chứng minh rằng một nghiệm thực sự tồn tại, chúng ta phải
thay thế các giá trị của chúng vào hệ ban đầu (3.19) cho x, y và z,
được xác định bằng công thức Cramer (3.24), và đảm bảo rằng cả ba
phương trình (3.19) trở thành đồng nhất thức. Hãy để chúng tôi đảm bảo, ví dụ, rằng
phương trình thứ nhất (3.19) biến thành đẳng thức khi thay thế các giá trị của x,
y và z, được xác định bằng công thức Cramer (3.24). Xem xét rằng
chúng ta có được bằng cách thay thế vào bên trái giá trị đầu tiên của phương trình (2.19), và,
được xác định bằng công thức Cramer:
Nhóm các thuật ngữ liên quan đến A, A2 và A3 bên trong dấu ngoặc nhọn,
chúng tôi hiểu được điều đó:
Theo tính chất 9, ở đẳng thức cuối cùng cả hai dấu ngoặc vuông bình đẳng
bằng 0 và dấu ngoặc đơn bằng định thức. Vì vậy, chúng tôi nhận được ++
Và việc chuyển đổi sang đẳng thức của phương trình thứ nhất của hệ (3.19) được thiết lập.
Tương tự, việc chuyển đổi thành danh tính thứ hai và thứ ba được thiết lập
phương trình (3.19).
Chúng ta đi đến kết luận sau: nếu định thức của hệ (3.19)
khác 0 thì tồn tại, và hơn nữa, có một nghiệm duy nhất cho vấn đề này
hệ thống, được xác định bằng công thức Cramer (3.24).
2.2. Hệ thuần nhất của hai phương trình tuyến tính ba ẩn
Trong phần này và trong phần này chúng ta sẽ phát triển công cụ cần thiết để xét hệ không thuần nhất (3.19) với định thức bằng 0. Đầu tiên, xét hệ thuần nhất của hai phương trình tuyến tính với ba ẩn số:
Nếu mọi thứ ba yếu tố quyết định bậc hai có thể là
soạn từ ma trận
đều bằng 0, sau đó nhờ vào tuyên bố từ Mục. 1,1 hệ số đầu tiên của
phương trình (3.25) tỉ lệ với các hệ số tương ứng
phương trình thứ hai trong số này. Do đó, trong trường hợp này phương trình thứ hai (3.25)
là hệ quả của điều đầu tiên và có thể bị loại bỏ. Nhưng một phương trình với
ba ẩn số ++= 0 tự nhiên có vô số
lời giải (hai ẩn số có thể được quy định giá trị tùy ý, MỘT
xác định ẩn số thứ ba trong phương trình).
Bây giờ chúng ta xét hệ (3.25) cho trường hợp khi ít nhất một trong số
định thức bậc hai bao gồm ma trận(3.26), xuất sắc
từ số không. Không mất tính tổng quát, ta giả sử nó khác 0
yếu tố quyết định
0 Khi đó ta có thể viết lại hệ (3.25) dưới dạng
và khẳng định rằng với mỗi z có một nghiệm duy nhất cho vấn đề này
hệ thống, được xác định bởi các công thức của Cramer (xem Phần 1.2, công thức (3.8)):
dòng thứ ba của định thức:
Do kết quả của môn phái. 1.5 về mối liên hệ giữa phép cộng đại số và
trẻ vị thành niên có thể được viết
Dựa vào (3.29), ta có thể viết lại công thức (3.28) dưới dạng
Để có được giải pháp dưới dạng đối xứng
liên quan đến tất cả những điều chưa biết x, y và z, chúng ta đặt (lưu ý rằng do (3.27)
định thức khác 0). Vì z có thể lấy bất kỳ
các giá trị thì biến mới t có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
Chúng tôi đi đến kết luận rằng trong trường hợp định thức (3.27) khác 0 thì hệ thuần nhất (3.25) có vô số nghiệm xác định bởi các công thức
trong đó t nhận bất kỳ giá trị nào và đại số
bổ sung vàđược xác định bởi các công thức (3.29).
2.3. Hệ thuần nhất của ba phương trình tuyến tính ba ẩn
Bây giờ chúng ta xét một hệ đồng nhất gồm ba phương trình với ba
chưa biết:
Rõ ràng hệ thống này luôn có cái gọi là tầm thường
nghiệm: x = 0, y = 0, z = 0.
Trong trường hợp yếu tố quyết định của hệ thống, đây là một giải pháp tầm thường
là duy nhất (do Mục 2.1).
Hãy chứng minh điều đó trong trường hợp khi định thức bằng 0, đồng nhất
hệ (3.32) có vô số nghiệm.
Nếu tất cả các định thức bậc hai có thể được tạo thành từ
đều bằng 0, thì nhờ vào tuyên bố từ Phần. 1.1 có liên quan
các hệ số của cả ba phương trình (3.32) đều tỷ lệ thuận. Nhưng rồi lần thứ hai
và phương trình thứ ba (3.32) là hệ quả của phương trình thứ nhất và có thể
bị loại bỏ và một phương trình ++= 0, như đã lưu ý trong Phần. 2.2, có
vô số giải pháp.
Vẫn còn phải xem xét trường hợp khi ít nhất một trẻ vị thành niên ma trận (3.33)
khác với số không. Vì thứ tự của phương trình và ẩn số
theo ý của chúng ta, do đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể
phần 2.2, hệ hai phương trình đầu (3.32) có vô số
tập nghiệm xác định bởi công thức (3.31) (với mọi t).
Còn lại phải chứng minh rằng x, y, z xác định bởi công thức (3.31) (với
bất kỳ t nào, phương trình thứ ba (3.32) cũng được chuyển thành đẳng thức. Thay thế vào
vế trái của phương trình thứ ba (3.32) x, y và z, được xác định bởi các công thức
(3.31), ta được
Chúng ta đã lợi dụng thực tế là, do tính chất 9, biểu thức trong vòng
trong ngoặc bằng định thức của hệ (3.32). Nhưng yếu tố quyết định bởi điều kiện
bằng 0, và do đó với mọi t chúng ta nhận được ++= 0.
Vì vậy, nó đã được chứng minh rằng hệ thống đồng nhất (3.32) với định thức A.
bằng 0, có vô số nghiệm. Nếu khác 0
thứ (3.27) thì các nghiệm này được xác định bằng công thức (3.31) cho
tùy ý lấy t.
Kết quả thu được cũng có thể được biểu diễn như sau: đồng nhất
hệ (3.32) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
khi định thức của nó bằng 0.
2.4. Hệ không đồng nhất của ba phương trình tuyến tính với ba
ẩn số có định thức bằng 0.
Bây giờ chúng ta có một bộ máy để xem xét sự không đồng nhất
hệ thống (3.19) với định thức bằng 0. Hai người có thể tự giới thiệu
trường hợp: a) ít nhất một trong các định thức, hoặc - khác 0; b) cả ba
định thức và đều bằng 0.
Trong trường hợp a) ít nhất một trong các đẳng thức (3.23) không thể xảy ra,
tức là hệ (3.23) không có nghiệm và do đó ban đầu
hệ (3.19) (hậu quả của nó là hệ (3.23)).
Chúng ta chuyển sang xét trường hợp b), khi cả bốn yếu tố quyết định đều , ,
và đều bằng không. Hãy bắt đầu với một ví dụ cho thấy rằng trong trường hợp này cũng vậy
hệ thống có thể không có một giải pháp duy nhất. Hãy xem xét hệ thống:
Rõ ràng là hệ thống này không có giải pháp. Trên thực tế, nếu
nghiệm tồn tại thì từ hai phương trình đầu tiên ta sẽ nhận được, và
từ đây, nhân đẳng thức thứ nhất với 2, chúng ta sẽ có 2 = 3. Hơn nữa,
Rõ ràng là cả bốn yếu tố quyết định , , và đều bằng không. Thật sự,
yếu tố quyết định hệ thống
có ba cột giống hệt nhau, định thức, và thu được bằng cách thay thế
một trong những cột này là các thuật ngữ tự do và do đó có hai
cột giống hệt nhau. Theo tính chất 3, tất cả các định thức này đều bằng 0.
Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nếu hệ (3.19) có định thức bằng
số 0 có ít nhất một nghiệm thì nó có vô số
nhiều giải pháp khác nhau.
Hãy giả sử rằng hệ thống quy định có một giải pháp. Sau đó
danh tính là hợp lệ
Trừ các số hạng (3.34) theo số hạng từ phương trình (3.19), ta thu được
hệ phương trình
tương đương hệ thống (3.19). Nhưng hệ (3.35) là đồng nhất
một hệ gồm ba phương trình tuyến tính cho ba ẩn số, và với
định thức bằng 0. Theo phần 2.3 hệ thống mới nhất (và nó đã trở thành
và hệ (3.19)) có vô số nghiệm. Ví dụ, trong
trường hợp số thứ (3.27) khác 0 thì ta sử dụng công thức (3.31)
chúng tôi nhận được những điều sau đây tập vô hạn nghiệm của hệ (3.19):
(t có thể nhận bất kỳ giá trị nào).
Tuyên bố đã nêu đã được chứng minh và chúng tôi có thể làm
kết luận sau: Nếu như= = = = 0, thì hệ phương trình không đồng nhất
(3.19) hoặc không có nghiệm nào cả hoặc có vô số nghiệm.
3. Khái niệm định thức bậc bất kỳ và tuyến tính
hệ thống với bất kỳ số lượng ẩn số Tính chất mà chúng ta đã thiết lập được về khai triển định thức của hàm thứ ba
thứ tự các phần tử của bất kỳ dòng nào (ví dụ: dòng đầu tiên) có thể là
tạo cơ sở cho việc đưa vào tuần tự bằng cách quy nạp định thức
thứ tư, thứ năm và tất cả các mệnh lệnh tiếp theo.
Giả sử rằng chúng ta đã giới thiệu khái niệm định thức thứ tự
(n-1) và xem xét một ma trận vuông tùy ý bao gồm
yếu tố
Chúng ta hãy gọi phần tử thứ của bất kỳ phần tử nào của ma trận (3.36) là phần tử mà chúng ta đã giới thiệu
định thức cấp (n-1), tương ứng với ma trận (3.36), từ đó i-
hàng thứ i và cột thứ j. Hãy đồng ý biểu thị phần tử thứ yếu bằng một ký hiệu.
Ví dụ: phần tử thứ của bất kỳ phần tử nào của hàng đầu tiên của ma trận (3.36)
là định thức thứ tự sau (n-1):
Ta gọi định thức cấp n tương ứng với ma trận (3.36) là số
bằng tổng
và được ký hiệu bằng ký hiệu
= Lưu ý rằng với n = 3, khai triển (3.37) trùng với khai triển
(3.16) của định thức bậc ba ở hàng đầu tiên.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét hệ thống không đồng nhất n phương trình với n ẩn số:
Định thức cấp n, gồm các hệ số tại
ẩn số của hệ (3.39) và trùng với định thức từ đẳng thức
(3.38), được gọi là định thức của hệ này Với mọi j bằng 1, 2, ...,
n, ta ký hiệu bằng ký hiệu định thức bậc n thu được từ định thức
hệ thống bằng cách thay thế cột thứ j của nó bằng cột chứa các thuật ngữ tự do, ..., .
Tương tự hoàn toàn với trường hợp n = 3, hóa ra
kết quả sau: nếu định thức của một hệ không đồng nhất (3.39)
khác 0 thì hệ này có nghiệm duy nhất,
được xác định bằng công thức Cramer:
ít nhất một trong các định thức, ..., khác 0 thì hệ (3.39) không
có giải pháp.
Trong trường hợp nếu n > 2 và tất cả các định thức, ..., đều bằng 0 thì hệ thống
(3.39) cũng có thể không có nghiệm, nhưng nếu nó có ít nhất một nghiệm
giải pháp, thì cô ấy có vô số trong số đó.
4. Tìm giải pháp hệ thống tuyến tính phương pháp Gaussian Chúng ta hãy xem xét hệ thống không đồng nhất (3.39), trong đó bây giờ chúng ta
Chúng ta sẽ viết tắt ký hiệu bằng cách thiết kế lại các thuật ngữ tự do, ..., sử dụng cho chúng
ký hiệu cho i = 1, 2 ..., n. Hãy để chúng tôi phác thảo một trong những phương pháp đơn giản nhất
giải pháp cho hệ thống này, bao gồm loại trừ nhất quán
chưa biết và được gọi phương pháp Gaussian.
Chúng ta hãy chọn từ các hệ số cho ẩn số một hệ số khác
từ con số 0, và hãy gọi nó là dẫn đầu. Không mất tính tổng quát, ta sẽ giả sử rằng
hệ số đó là gì (nếu không chúng ta có thể thay đổi thứ tự
theo các ẩn số và phương trình).
Chia tất cả các số hạng của phương trình thứ nhất (3.39) cho ta thu được phương trình đã cho đầu tiên
trong đó với j = 1, 2, ..., (n+1).
Chúng ta hãy nhớ lại điều đó, và đặc biệt, .
Để loại bỏ ẩn số, ta trừ phương trình thứ i của hệ (3.39)
(i = 2, 3...,n)
nhân với phương trình đã cho (3.40).
Kết quả, với mọi i = 2, 3, ..., n ta thu được phương trình
trong đó
với j = 2, 3, ..., (n+1).
Vì vậy, chúng ta có được hệ thống rút gọn đầu tiên:
có các hệ số được xác định theo công thức (3.41).
Trong hệ (3.42) chúng ta tìm thấy hệ số dẫn đầu khác 0.
Hãy để nó như vậy. Sau đó, chia phương trình đầu tiên (3.42) cho
hệ số, chúng ta nhận được phương trình thứ hai đã cho và loại bỏ c
sử dụng phương trình này theo sơ đồ được mô tả ở trên, ẩn số, chúng ta đi đến
hệ thống rút gọn thứ hai không chứa i.
Tiếp tục lý luận theo sơ đồ này, gọi là thẳng về phía trước
Phương pháp Gauss, chúng ta sẽ hoàn thành việc triển khai nó bằng cách đạt đến một tuyến tính
phương trình chỉ chứa một ẩn số, nếu không chúng ta sẽ không thể hoàn thành được
việc triển khai nó (do thực tế là hệ thống ban đầu (3.39) không có
quyết định). Nếu hệ ban đầu (3.39) có nghiệm thì ta thu được
chuỗi phương trình đã cho
từ đó, bằng cách sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, chúng ta lần lượt tìm được
không rõ
Chúng tôi nhấn mạnh rằng tất cả các hoạt động với đột quỵ ngược Phương pháp Gauss (1.43)
được thực hiện mà không phân chia,
Ví dụ: Xét hệ không đồng nhất gồm ba phương trình
với ba ẩn số
Tất nhiên, người ta có thể xác minh rằng định thức của hệ thống (3.44)
khác 0 và tìm nó bằng công thức Cramer, nhưng chúng ta sẽ áp dụng phương pháp
Chia phương trình thứ nhất của hệ (3.44) cho 2, ta thu được phương trình đầu tiên
phương trình đã cho:
Trừ phương trình thứ hai của hệ (3.44) phương trình đã cho
(3.45), nhân với 3 và trừ vào phương trình thứ ba của hệ (3.44)
cho phương trình (3.45), nhân với 4, ta được rút gọn
hệ hai phương trình với hai ẩn số:
Chia phương trình thứ nhất (3.46) cho, ta thu được phương trình thứ hai đã cho
phương trình:
Trừ phương trình rút gọn (3.47) khỏi phương trình thứ hai (3.46),
nhân với 8 ta được phương trình:
mà sau khi giảm đi cho = 3.
Thay giá trị này vào phương trình thứ hai (3.47), chúng ta thu được
đó = -2. Cuối cùng thay giá trị tìm được = -2 và = 3 vào giá trị đầu tiên
cho phương trình (3.45), ta thu được = 1.
VĂN HỌC 1. Ilyin V.A., Kurkina A.V. – “ Toán cao cấp", M.: TK Welby, nhà xuất bản Prospekt,
CHI NHÁNH KOSTROMA TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUÂN ĐỘI BẢO VỆ RCB
Cục Tự động hóa điều khiển quân đội
Chỉ dành cho giáo viên
"Tôi chấp thuận"
Trưởng phòng số 9
Đại tá YAKOVLEV A.B.
"____"______________ 2004
Phó Giáo sư A.I.SMIRNOVA
"Người đủ điều kiện.
GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH"
BÀI GIẢNG số 2/1
Thảo luận tại cuộc họp khoa lần thứ 9
"____"___________ 2004
Nghị định thư số___________
Kostroma, 2004.
Giới thiệu
1. Các yếu tố quyết định bậc hai và bậc ba.
2. Tính chất của định thức. Định lý phân rã.
3. Định lý Cramer.
Phần kết luận
Văn học
1. V.E. Schneider và cộng sự. Khóa học ngắn hạn Toán cao cấp, Tập I, Ch. 2, đoạn 1.
2. V.S. Shchipachev, Toán cao cấp, chương 10, đoạn 2.
GIỚI THIỆU
Bài giảng thảo luận về các định thức bậc hai và bậc ba và các tính chất của chúng. Và cả định lý Cramer, cho phép bạn giải các hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng định thức. Định thức cũng được sử dụng sau này trong chuyên đề “Đại số vectơ” khi tính toán sản phẩm vector vectơ.
Câu hỏi ôn tập lần 1 CÁC YẾU TỐ QUYẾT ĐỊNH CỦA THỨ HAI VÀ THỨ BA
ĐẶT HÀNG
Hãy xem xét một bảng gồm bốn số có dạng
Các số trong bảng được biểu thị bằng một chữ cái có hai chỉ số. Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, số thứ hai cho biết số cột.
ĐỊNH NGHĨA 1. Định thức bậc hai gọi điện sự biểu lộ loại :
(1)
số MỘT 11, …, MỘT 22 được gọi là các phần tử của định thức.
đường chéo, được hình thành bởi các yếu tố MỘT 11 ; MỘT 22 được gọi là đường chính và đường chéo được hình thành bởi các phần tử MỘT 12 ; MỘT 21 - bên cạnh nhau.
Như vậy, định thức bậc hai bằng hiệu của tích các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ.
Lưu ý rằng câu trả lời là một con số.
VÍ DỤ. Tính toán:
Bây giờ hãy xem xét một bảng gồm chín số, được viết thành ba hàng và ba cột:
ĐỊNH NGHĨA 2. Yếu tố quyết định bậc ba được gọi là biểu thức có dạng :
Yếu tố MỘT 11; MỘT 22 ; MỘT 33 – tạo thành đường chéo chính.
số MỘT 13; MỘT 22 ; MỘT 31 – tạo thành một đường chéo bên.
Chúng ta hãy mô tả sơ đồ cách các thuật ngữ cộng và trừ được hình thành:
" + " " – "
Dấu cộng bao gồm: tích của các phần tử trên đường chéo chính, hai số hạng còn lại là tích của các phần tử nằm ở các đỉnh của các tam giác có đáy song song với đường chéo chính.
Các số hạng trừ được hình thành theo cùng một sơ đồ đối với đường chéo phụ.
Quy tắc tính định thức bậc ba này được gọi là
Quy tắc T reugolnikov.
VÍ DỤ. Tính theo quy tắc tam giác:
BÌNH LUẬN. Các yếu tố quyết định còn được gọi là yếu tố quyết định.
câu hỏi nghiên cứu thứ 2 TÍNH CHẤT CỦA CÁC XÁC ĐỊNH.
ĐỊNH NGHĨA MỞ RỘNG
Tài sản 1. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu các hàng của nó được hoán đổi với các cột tương ứng.
.
Bằng cách tiết lộ cả hai yếu tố quyết định, chúng tôi bị thuyết phục về giá trị của đẳng thức.
Thuộc tính 1 thiết lập sự bằng nhau giữa các hàng và cột của định thức. Vì vậy, chúng ta sẽ xây dựng tất cả các tính chất tiếp theo của định thức cho cả hàng và cột.
Tài sản 2. Khi sắp xếp lại hai hàng (hoặc cột), định thức đổi dấu sang hàng đối diện, giữ nguyên giá trị tuyệt đối .
.
Tài sản 3. Tổng số nhân phần tử hàng (hoặc cột)có thể được coi là dấu hiệu quyết định.
.
Tài sản 4. Nếu định thức có hai hàng (hoặc cột) giống nhau thì nó bằng 0.
Thuộc tính này có thể được chứng minh bằng cách xác minh trực tiếp hoặc bạn có thể sử dụng thuộc tính 2.
Ta ký hiệu định thức bằng D. Khi sắp xếp lại hai hàng thứ nhất và thứ hai giống nhau thì nó không thay đổi nhưng theo tính chất thứ hai thì nó phải đổi dấu, tức là.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Tài sản 5. Nếu tất cả các phần tử của một chuỗi (hoặc cột)bằng 0 thì định thức bằng 0.
Tính chất này có thể coi là trường hợp đặc biệt thuộc tính 3 tại
Tài sản 6. Nếu các phần tử của hai đường (hoặc cột)định thức tỉ lệ thì định thức bằng 0.
.
Có thể được chứng minh bằng cách xác minh trực tiếp hoặc sử dụng tính chất 3 và 4.
Tài sản 7. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu cộng các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột) khác với các phần tử của một hàng (hoặc cột) nhân với cùng một số.
.
Được chứng minh bằng xác minh trực tiếp.
Ứng dụng thuộc tính được chỉ định trong một số trường hợp có thể tạo thuận lợi cho quá trình tính toán các định thức, đặc biệt là bậc ba.
Đối với những gì tiếp theo, chúng ta sẽ cần các khái niệm về phần bù thứ và phần bù đại số. Hãy xem xét các khái niệm này để xác định trật tự thứ ba.
ĐỊNH NGHĨA 3. Người vị thành niên của một phần tử cho trước của định thức cấp ba được gọi là định thức cấp hai thu được từ một phần tử cho trước bằng cách gạch bỏ hàng và cột tại giao điểm của phần tử đã cho.
Yếu tố thứ yếu MỘT Tôi j ký hiệu là M Tôi j. Vì vậy đối với phần tử MỘT 11 trẻ vị thành niên
Nó có được bằng cách gạch bỏ hàng đầu tiên và cột đầu tiên trong định thức bậc ba.
ĐỊNH NGHĨA 4. Phần bù đại số của phần tử của định thức họ gọi nó là số nhỏ nhân với (-1)k , Ở đâu k - tổng số hàng và số cột tại giao điểm của phần tử này.
Phần bù đại số của một phần tử MỘT Tôi j ký hiệu là MỘT Tôi j .
Như vậy, MỘT Tôi j =
.Hãy viết các phép cộng đại số của các phần tử MỘT 11 và MỘT 12.
.
.
Sẽ rất hữu ích khi nhớ quy tắc: phần bù đại số của một phần tử của định thức bằng dấu thứ của nó cộng thêm, nếu tổng số hàng và số cột nơi phần tử xuất hiện là thậm chí, và với một dấu hiệu trừ đi, nếu số tiền này số lẻ .
Ma trận là một bảng hình chữ nhật được tạo thành từ các số.
Cho ma trận vuông cấp 2:
Định thức (hoặc định thức) bậc 2 tương ứng với ma trận cho trước là số
Định thức (hoặc định thức) bậc 3 tương ứng với ma trận là một số
Ví dụ 1: Tìm định thức của ma trận và
Hệ thống tuyến tính phương trình đại số
Cho hệ 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số
Hệ (1) có thể viết dưới dạng ma trận-vectơ
trong đó A là ma trận hệ số
B - ma trận mở rộng
X là vectơ thành phần cần thiết;
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
Cho hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn số:
Chúng ta hãy xem xét việc giải các hệ phương trình tuyến tính với hai và ba ẩn số bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. Định lý 1. Nếu định thức chính của hệ khác 0 thì hệ có nghiệm và duy nhất. Giải pháp của hệ thống được xác định bởi các công thức:
trong đó x1, x2 là nghiệm của hệ phương trình,
Các yếu tố quyết định chính của hệ thống, x1, x2 là các yếu tố quyết định phụ.
Vòng loại phụ trợ:
Giải hệ phương trình tuyến tính ba ẩn bằng phương pháp Cramer.
Cho hệ phương trình tuyến tính với ba ẩn số:
Định lý 2. Nếu định thức chính của hệ khác 0 thì hệ có nghiệm và duy nhất. Giải pháp của hệ thống được xác định bởi các công thức:
trong đó x1, x2, x3 là nghiệm của hệ phương trình,
Yếu tố quyết định chính của hệ thống
x1, x2, x3 là các định thức phụ.
Yếu tố quyết định chính của hệ thống được xác định bởi:
Vòng loại phụ trợ:
- 1. Lập bảng (ma trận) các hệ số ẩn và tính định thức chính.
- 2. Tìm - một định thức bổ sung của x thu được bằng cách thay thế cột đầu tiên bằng cột chứa các số hạng tự do.
- 3. Tìm - một định thức bổ sung của y, thu được bằng cách thay thế cột thứ hai bằng cột chứa các số hạng tự do.
- 4. Tìm - một định thức bổ sung của z, thu được bằng cách thay thế cột thứ ba bằng cột các số hạng tự do. Nếu yếu tố quyết định chính của hệ thống không bằng 0 thì bước 5 sẽ được thực hiện.
- 5. Tìm giá trị của biến x bằng công thức x/.
- 6. Tìm giá trị của biến y bằng công thức y/.
- 7. Tìm giá trị của biến z bằng công thức z/.
- 8. Viết đáp án: x=...; y=…, z=… .
Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN. CÁC LOẠI MA TRẬNMa trận kích thước m× N gọi là một bộ m·n các số được sắp xếp dưới dạng bàn hình chữ nhật từ tôi dòng và N cột. Bảng này thường được đặt trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ: ma trận có thể trông giống như:Để cho ngắn gọn, một ma trận có thể được ký hiệu bằng một chữ in hoa, Ví dụ, MỘT hoặc TRONG.TRONG cái nhìn tổng quát kích thước ma trận tôi× N viết nó như thế này
.
Các số tạo nên ma trận được gọi là phần tử ma trận. Thật thuận tiện khi cung cấp các phần tử ma trận với hai chỉ số Một ij: Số đầu tiên cho biết số hàng và số thứ hai cho biết số cột. Ví dụ, Một 23 – phần tử ở hàng thứ 2, cột thứ 3 nếu số hàng trong ma trận bằng số cột thì ma trận đó được gọi. quảng trường, và số hàng hoặc số cột của nó được gọi là theo thứ tự ma trận. Trong các ví dụ trên, ma trận thứ hai là hình vuông - cấp của nó là 3 và ma trận thứ tư là cấp 1. Một ma trận trong đó số hàng không bằng số cột được gọi hình chữ nhật. Trong các ví dụ, đây là ma trận đầu tiên và ma trận thứ ba. Ngoài ra còn có các ma trận chỉ có một hàng hoặc một cột. ma trận - hàng(hoặc chuỗi) và ma trận chỉ có một cột ma trận - cột.Một ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là vô giá trị và được biểu thị bằng (0) hoặc đơn giản là 0. Ví dụ:
.
Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là hình tam giác ma trận.
.
Một ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử, có lẽ ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính, đều bằng 0, được gọi là đường chéo ma trận. Ví dụ, hoặc . Một ma trận đường chéo trong đó tất cả các phần tử đường chéo bằng một được gọi là . đơn ma trận và được ký hiệu bằng chữ E. Ví dụ: ma trận đẳng thức bậc 3 có dạng 
.HÀNH ĐỘNG TRÊN MA TRẬNMa trận đẳng thức. Hai ma trận MỘT Và Bđược gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số hàng và số cột và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau Một ij = b ij. Vậy nếu 
Và 
, Cái đó A=B, Nếu như Một 11
= b 11
, Một 12
= b 12
, Một 21
= b 21
Và Một 22
= b 22
.Chuyển đổi. Xét một ma trận tùy ý MỘT từ tôi dòng và N cột. Nó có thể được liên kết với ma trận sau B từ N dòng và tôi cột, trong đó mỗi hàng là một cột ma trận MỘT có cùng số (do đó mỗi cột là một hàng của ma trận MỘT có cùng số). Vậy nếu 
, Cái đó 
.Ma trận này B gọi điện chuyển đổi ma trận MỘT, và sự chuyển đổi từ MỘTĐẾN chuyển âm B Như vậy, chuyển vị là sự thay đổi vai trò của các hàng và cột trong ma trận. Ma trận chuyển thành ma trận MỘT, thường được ký hiệu MỘT T.Mối quan hệ giữa ma trận MỘT và chuyển vị của nó có thể được viết dưới dạng . Ví dụ. Tìm ma trận chuyển vị của ma trận đã cho. 
Phép cộng ma trận.Để các ma trận MỘT Và B bao gồm cùng một số hàng và cùng số cột, tức là có cùng kích cỡ. Khi đó để cộng ma trận MỘT Và B cần thiết cho các phần tử ma trận MỘT thêm các phần tử ma trận Bđứng ở những nơi giống nhau. Như vậy tổng của hai ma trận MỘT Và B gọi là ma trận C, được xác định bởi quy tắc, ví dụ:
Dễ dàng kiểm tra được phép cộng ma trận tuân theo các định luật sau: giao hoán A+B=B+A và kết hợp ( A+B)+C=MỘT+(B+C).Nhân một ma trận với một số.Để nhân một ma trận MỘT mỗi số k mọi phần tử của ma trận đều cần thiết MỘT nhân với số này. Vì vậy, sản phẩm ma trận MỘT mỗi số k có ma trận mới, được xác định bởi quy tắc 
hoặc .Đối với bất kỳ số nào Một Và b và ma trận MỘT Và Bđẳng thức sau đây có giá trị: 
Ví dụ. 
. 
Ma trận C không thể tìm thấy, bởi vì ma trận MỘT Và B có kích thước khác nhau. Phép nhân ma trận. Hoạt động này được thực hiện theo một quy luật đặc biệt. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng kích thước của ma trận nhân tử phải nhất quán. Bạn chỉ có thể nhân những ma trận trong đó số cột của ma trận thứ nhất trùng với số hàng của ma trận thứ hai (tức là độ dài của hàng đầu tiên bằng chiều cao của cột thứ hai). công việc ma trận MỘT không phải là ma trận B gọi là ma trận mới C=AB, các phần tử của nó được tạo thành như sau: Vì vậy, ví dụ, để thu được sản phẩm (tức là trong ma trận C) phần tử nằm ở hàng thứ 1 và cột thứ 3 c 13 , bạn cần lấy hàng thứ 1 trong ma trận thứ 1, cột thứ 3 trong ma trận thứ 2, sau đó nhân các phần tử của hàng với các phần tử của cột tương ứng và cộng các kết quả thu được. Và các phần tử khác của ma trận tích thu được bằng cách sử dụng tích tương tự của các hàng của ma trận thứ nhất và các cột của ma trận thứ hai. trường hợp chung, nếu chúng ta nhân ma trận A = (một ij ) kích cỡ tôi× Nđến ma trận B = (b ij ) kích cỡ N× P, khi đó ta được ma trận C kích cỡ tôi× P, các phần tử của nó được tính như sau: phần tử c ij thu được là kết quả của tích của các nguyên tố Tôi hàng thứ của ma trận MỘT tới các phần tử tương ứng j cột ma trận thứ B và phép cộng của chúng. Từ quy tắc này, bạn luôn có thể nhân hai ma trận vuông có cùng thứ tự, kết quả là chúng ta thu được một ma trận vuông có cùng thứ tự. Đặc biệt, một ma trận vuông luôn có thể nhân với chính nó, tức là hình vuông. Một trường hợp quan trọng khác là phép nhân ma trận hàng với ma trận cột và chiều rộng của ma trận thứ nhất phải bằng chiều cao của ma trận thứ hai, dẫn đến ma trận bậc nhất (tức là một phần tử). Thật sự,
.
Tìm phần tử c 12
, c 23
Và c 21
ma trận C. - Tìm tích của ma trận.
. 
Tìm thấy AB Và VA. 
Tìm thấy AB Và VA. , B·A- không có ý nghĩa gì cả. ví dụ đơn giản chứng tỏ rằng các ma trận nói chung không giao hoán với nhau, tức là A∙B
≠
B∙A
. Vì vậy, khi nhân ma trận, bạn cần theo dõi cẩn thận thứ tự của các thừa số. Bạn có thể kiểm tra xem ma trận nhân có tuân theo luật kết hợp và phân phối hay không. (AB)C=A(BC) Và (A+B)C=AC+BC.Cũng dễ dàng kiểm tra được khi nhân một ma trận vuông MỘT vào ma trận nhận dạng E theo cùng thứ tự, chúng ta lại thu được một ma trận MỘT, Và AE=EA=A Sự thật thú vị sau đây có thể được lưu ý. Như bạn đã biết, tích của 2 số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, điều này có thể không đúng, tức là. tích của 2 ma trận khác 0 có thể bằng ma trận 0. Ví dụ, Nếu như 
, Cái đó 
.
Vì vậy, để tìm định thức bậc hai, bạn cần trừ tích các phần tử dọc theo đường chéo thứ hai khỏi tích các phần tử của đường chéo chính. Ví dụ. Tính định thức bậc hai. 
Tương tự, chúng ta có thể xét ma trận bậc ba và định thức tương ứng của nó. Yếu tố quyết định bậc ba, tương ứng với một ma trận vuông bậc ba cho trước, là số được ký hiệu và thu được như sau:
.
Do đó, công thức này cho phép khai triển định thức bậc ba theo các phần tử của hàng đầu tiên Một 11
, Một 12
, Một 13
và chuyển cách tính định thức bậc ba thành phép tính định thức bậc hai. Ví dụ. Tính định thức bậc ba. 
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1
= 4, x 2
= 1. Tương tự, bạn có thể giới thiệu khái niệm định thức bậc bốn, bậc năm, v.v. thứ tự, giảm thứ tự của chúng bằng cách mở rộng sang các phần tử của hàng thứ nhất, trong khi các dấu “+” và “–” của các số hạng xen kẽ nhau. Vì vậy, không giống như ma trận là một bảng số, định thức là một số. đưa vào thư từ theo một ma trận cách nào đó.
TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH ĐỊNH
Bằng chứngđược thực hiện bằng cách xác minh, tức là bằng cách so sánh cả hai vế của đẳng thức được viết. Hãy tính các yếu tố quyết định ở bên trái và bên phải: 
- Khi sắp xếp lại 2 hàng hoặc cột, định thức sẽ đổi dấu ngược lại, giữ nguyên giá trị tuyệt đối, ví dụ:
Đối với định thức bậc ba, hãy tự kiểm tra nó. 
Thật vậy, nếu chúng ta sắp xếp lại dòng thứ 2 và thứ 3 ở đây thì theo tính chất 2 định thức này sẽ đổi dấu, nhưng bản thân định thức đó lại nằm trong trong trường hợp này không thay đổi, tức là chúng tôi nhận được | MỘT| = –|MỘT| hoặc | MỘT| = 0. 
Bằng chứngđược thực hiện bằng cách xác minh, như thuộc tính 1. (Độc lập)
- Nếu tất cả các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào của định thức đều bằng 0 thì bản thân định thức đó bằng 0. (Bằng chứng - bằng cách xác minh). Nếu tất cả các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào của định thức được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số hạng thì định thức đó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 định thức bằng cách sử dụng công thức, ví dụ:
.
- Nếu trên một hàng (hoặc cột) bất kỳ của định thức ta cộng các phần tử tương ứng của một hàng (hoặc cột) khác nhân với cùng một số thì định thức không thay đổi giá trị. Ví dụ,
. Chúng ta hãy chứng minh đẳng thức này bằng cách sử dụng các tính chất trước đó của định thức. 
Những tính chất này của định thức thường được sử dụng khi tính định thức và trong nhiều bài toán khác nhau. BỘ PHẬN ĐẠI SỐ VÀ PHẦN TRÊN Ta có định thức bậc ba: 
.Người vị thành niên, tương ứng phần tử này Một ijđịnh thức bậc ba là định thức bậc hai thu được từ một định thức cho trước bằng cách xóa hàng và cột tại giao điểm của phần tử đã cho, tức là Tôi-dòng thứ và j cột thứ. Trẻ vị thành niên tương ứng với một phần tử nhất định Một ij chúng tôi sẽ biểu thị M ij .Ví dụ, người vị thành niên M 12
, tương ứng với phần tử Một 12
, sẽ có yếu tố quyết định 
, có được bằng cách xóa hàng thứ nhất và cột thứ 2 khỏi định thức đã cho. Do đó, công thức xác định định thức bậc ba cho thấy định thức này bằng tổng các tích của các phần tử ở hàng thứ nhất và các phần tử phụ tương ứng của chúng. ; trong trường hợp này phần phụ tương ứng với phần tử Một 12
, được lấy bằng dấu “-”, tức là chúng ta có thể viết điều đó Dễ dàng nhận thấy rằng bằng cách cộng đại số các phần tử, công thức (1) có thể được viết dưới dạng: Tương tự như công thức này, bạn có thể khai triển định thức thành các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào. Việc khai triển định thức thành các phần tử của hàng thứ 2 có thể thu được như sau. Theo tính chất 2 của định thức, ta có: 
Chúng ta hãy mở rộng định thức thu được thành các phần tử của hàng thứ nhất.
|
|
.
bởi vì định thức bậc hai trong công thức (2) là phần tử thứ yếu của các phần tử Một 21
, Một 22
, Một 23
. Vì vậy, tức là chúng ta thu được khai triển định thức thành các phần tử của hàng thứ 2. Tương tự, chúng ta thu được khai triển định thức thành các phần tử của hàng thứ ba. Sử dụng Tính chất 1 của định thức (về chuyển vị), ta có thể chứng minh rằng các khai triển tương tự cũng đúng khi khai triển theo phần tử của cột. Định lý (về khai triển định thức trên một hàng hoặc cột cho trước).Định thức bằng tổng các tích của các phần tử thuộc bất kỳ hàng (hoặc cột) nào của nó và phần bù đại số của chúng. Tất cả những điều trên cũng đúng với các định thức ở cấp cao hơn. Ví dụ. 
- Tính định thức bằng cách sử dụng các tính chất của nó. Trước khi khai triển định thức thành các phần tử của bất kỳ hàng nào, rút gọn nó thành định thức bậc ba, chúng ta biến đổi nó bằng tính chất 7, làm cho tất cả các phần tử trong hàng hoặc cột bất kỳ ngoại trừ một phần tử, bằng 0. Trong trường hợp này, thuận tiện nhất là xem xét cột thứ 4 hoặc hàng thứ 4:
Ma trận nghịch đảo
Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ được đưa ra cho ma trận vuông.Nếu như MỘT là ma trận vuông thì đảo ngượcđối với nó ma trận là ma trận, ký hiệu là MỘT -1 và thỏa mãn điều kiện. (Định nghĩa này được đưa ra bằng cách tương tự với phép nhân các số) Định lý sau đây đúng: Định lý.Để có ma trận vuông MỘT có nghịch đảo, điều cần và đủ là định thức của nó khác 0. Bằng chứng:- sự cần thiết. Hãy cho ma trận MỘT có một ma trận nghịch đảo MỘT -1
. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó | MỘT| ≠ 0.
. Nhưng mặt khác 
. Kết quả mâu thuẫn chứng tỏ rằng | MỘT| ≠ 0. 
Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này ma trận nghịch đảo sẽ là ma trận 
, Ở đâu MỘT ij phần bù đại số của một phần tử Một ij. Hãy tìm AB=C. Lưu ý rằng tất cả các phần tử đường chéo của ma trận C sẽ bằng 1. Thật vậy, ví dụ, Tương tự, sử dụng định lý khai triển định thức thành các phần tử của một chuỗi, người ta có thể chứng minh rằng c 22
=c 33
= 1. Ngoài ra, tất cả các phần tử không phải đường chéo của ma trận Cđều bằng không. Ví dụ, 
Kể từ đây, AB=E. Tương tự, có thể chỉ ra rằng BA=E. Đó là lý do tại sao B=A -1
.Như vậy, định lý chứa đựng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nếu thỏa mãn các điều kiện của định lý thì ma trận nghịch đảo của ma trận được tìm như sau.
,
Ở đâu MỘT ij- phép cộng đại số của các phần tử Một ij ma trận đã cho MỘT.Vậy để tìm ma trận nghịch đảo các bạn cần: Tương tự với các ma trận bậc hai thì ma trận nghịch đảo sẽ là ma trận sau 
.Ví dụ. |MỘT| = 2. Tìm phần bù đại số của các phần tử ma trận MỘT. 
Bài kiểm tra: 
. Tương tự như vậy A∙A -1
= E. 
. Hãy tính toán | MỘT| = 4. Khi đó 
. 
. 
HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH
Hệ m phương trình tuyến tính với n ẩn số gọi là hệ thống có dạng
Ở đâu Một ij Và b Tôi (Tôi=1,…,tôi; b=1,…,N) - một số số đã biết, MỘT x 1 ,…,x N– không rõ. Trong việc chỉ định các hệ số Một ij chỉ số đầu tiên Tôi biểu thị số phương trình, và thứ hai j– số ẩn mà hệ số này đứng ở đó, chúng ta sẽ viết các hệ số cho các ẩn số dưới dạng ma trận, mà chúng ta sẽ gọi là. ma trận của hệ thống.Các số ở vế phải của phương trình là b 1 ,…,b tôiđược gọi là thành viên miễn phí. Tổng cộng N con số c 1 ,…,c N gọi điện phán quyết của một hệ đã cho, nếu mỗi phương trình của hệ đó trở thành một đẳng thức sau khi thay số vào nó c 1 ,…,c N thay vì những ẩn số tương ứng x 1 ,…,x N.Nhiệm vụ của chúng ta sẽ là tìm ra giải pháp cho hệ thống. Trong trường hợp này có thể xảy ra ba tình huống: Hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm được gọi là chung. Ngược lại, tức là nếu hệ thống không có giải pháp thì nó được gọi là không khớp Hãy xem xét các cách để tìm giải pháp cho hệ thống. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN GIẢI HỆ PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH Ma trận giúp viết ngắn gọn một hệ phương trình tuyến tính. Cho hệ 3 phương trình với 3 ẩn số:
Xét ma trận hệ thống 
và các cột ma trận của các thuật ngữ chưa biết và tự do 
Chúng ta hãy tìm công việc
những thứ kia. nhờ tích này, chúng ta thu được vế trái của các phương trình của hệ này. Khi đó, sử dụng định nghĩa đẳng thức của ma trận, hệ này có thể được viết dưới dạng 
hoặc ngắn hơn MỘT∙X=B.Đây là ma trận MỘT Và Bđã biết và ma trận X không rõ. Cần phải tìm ra nó, bởi vì... các yếu tố của nó là giải pháp cho hệ thống này. Phương trình này được gọi là phương trình ma trận.Cho định thức của ma trận khác 0 | MỘT| ≠ 0. Khi đó phương trình ma trận được giải như sau. Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với ma trận MỘT -1
, nghịch đảo của ma trận MỘT: . Từ MỘT -1
A=E Và E∙X = X, thì chúng ta có được giải pháp phương trình ma trậnở dạng X = A
-1
B
Lưu ý rằng vì ma trận nghịch đảo chỉ có thể tìm được cho ma trận vuông nên phương pháp ma trận chỉ có thể giải được những hệ thống trong đó số phương trình trùng với số ẩn số. Tuy nhiên, việc ghi ma trận của hệ cũng có thể thực hiện được trong trường hợp số phương trình không bằng số ẩn số thì ma trận MỘT sẽ không vuông góc và do đó không thể tìm được nghiệm của hệ dưới dạng X = A -1
B.Ví dụ. Giải hệ phương trình. 
Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận MỘT. , 
Như vậy, x = 3, y = – 1. 
Vì thế, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. 
Hãy biểu diễn ma trận cần tìm X từ phương trình đã cho. 
Hãy tìm ma trận MỘT -1 . 
Bài kiểm tra: 
Từ phương trình chúng ta nhận được 
. 
Kể từ đây, 
QUY TẮC CRAMER Xét hệ 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số:
Định thức bậc ba tương ứng với ma trận hệ thống, tức là bao gồm các hệ số cho ẩn số,
gọi điện yếu tố quyết định của hệ thống.Hãy soạn thêm ba định thức như sau: thay tuần tự các cột 1, 2 và 3 trong định thức D bằng cột chứa các số hạng tự do
Khi đó ta có thể chứng minh kết quả sau. Định lý (quy tắc Cramer). Nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ đang xét có một và chỉ một nghiệm, và
Hãy thêm các phương trình sau:
Chúng ta hãy nhìn vào từng dấu ngoặc và vế phải của phương trình này. Theo định lý khai triển định thức theo phần tử cột 1
Tương tự, có thể chứng minh rằng và . 
Do đó, chúng ta thu được đẳng thức: .Do đó, .Các đẳng thức và có nguồn gốc tương tự, từ đó phát biểu của định lý tuân theo. Do đó, chúng ta lưu ý rằng nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất và ngược lại. Nếu định thức của hệ bằng 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm, tức là. không tương thích. Ví dụ. Giải hệ phương trình 
Vì thế, X=1, Tại=2, z=3. 
Hệ có nghiệm duy nhất nếu Δ ≠ 0. 
. Đó là lý do tại sao . PHƯƠNG PHÁP GAUSS Các phương pháp đã thảo luận trước đây chỉ có thể được sử dụng để giải các hệ trong đó số phương trình trùng với số ẩn và định thức của hệ phải khác 0. Phương pháp Gauss phổ biến hơn và phù hợp với các hệ thống có số lượng phương trình bất kỳ. Nó bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số khỏi các phương trình của hệ. Chúng ta hãy xem xét lại hệ thống từ đó. ba phương trình với ba ẩn số:
.
Một hệ gồm N phương trình đại số tuyến tính (SLAE) chưa biết, các hệ số của chúng là các phần tử của ma trận và các số hạng tự do là số
Chỉ số đầu tiên bên cạnh các hệ số cho biết hệ số nằm trong phương trình nào và chỉ số thứ hai - nó được tìm thấy trong phương trình nào.
Nếu định thức ma trận không bằng 0
thì hệ phương trình đại số tuyến tính có nghiệm duy nhất.
Lời giải của một hệ phương trình đại số tuyến tính là một tập hợp các số có thứ tự biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức đúng.
Nếu vế phải của tất cả các phương trình của hệ bằng 0 thì hệ phương trình được gọi là đồng nhất. Trong trường hợp một số trong chúng khác 0 – không đồng nhất
Nếu một hệ phương trình đại số tuyến tính có ít nhất một nghiệm thì gọi là tương thích, ngược lại thì gọi là không tương thích.
Nếu nghiệm của hệ là duy nhất thì hệ phương trình tuyến tính được gọi là xác định. Trong trường hợp nghiệm của hệ khớp không phải là duy nhất thì hệ phương trình được gọi là hệ phương trình vô định.
Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương (hoặc tương đương) nếu mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ thứ hai và ngược lại. Chúng tôi thu được các hệ thống tương đương (hoặc tương đương) bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương.
Các phép biến đổi tương đương của SLAE
1) sắp xếp lại các phương trình;
2) nhân (hoặc chia) phương trình với một số khác 0;
3) thêm một phương trình khác vào một số phương trình, nhân với một số khác 0 tùy ý.
Giải pháp cho SLAE có thể được tìm thấy theo nhiều cách khác nhau.
PHƯƠNG PHÁP CRAMER
ĐỊNH NGHĨA CRAMER. Nếu định thức của một hệ phương trình đại số tuyến tính chứa ẩn số khác 0 thì hệ này có một nghiệm duy nhất được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức của Cramer:
— định thức được hình thành bằng cách thay thế cột thứ bằng cột chứa các số hạng tự do.
Nếu , và ít nhất một trong số chúng khác 0 thì SLAE không có nghiệm. Nếu như 
, thì SLAE có nhiều giải pháp. Hãy xem các ví dụ sử dụng phương pháp của Cramer.
—————————————————————
Một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số được đưa ra. Giải hệ bằng phương pháp Cramer
Hãy tìm định thức của ma trận hệ số cho ẩn số
Kể từ đó hệ thống nhất định phương trình tương thích và có nghiệm duy nhất. Hãy tính các yếu tố quyết định:
Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy những ẩn số
Vì thế 
giải pháp duy nhất cho hệ thống.
Một hệ thống gồm bốn phương trình đại số tuyến tính được đưa ra. Giải hệ bằng phương pháp Cramer.
Hãy tìm định thức của ma trận hệ số cho ẩn số. Để làm điều này, hãy mở rộng nó dọc theo dòng đầu tiên.
Hãy tìm các thành phần của định thức:
Hãy thay các giá trị tìm được vào định thức
Định thức, do đó hệ phương trình là nhất quán và có nghiệm duy nhất. Hãy tính các yếu tố quyết định bằng công thức Cramer:
Chúng ta hãy phân tách từng định thức theo cột trong đó có nhiều số 0 hơn.
Sử dụng công thức Cramer chúng ta tìm được
Giải pháp hệ thống 
Ví dụ này có thể được giải bằng máy tính toán học YukhymCALC. Một đoạn chương trình và kết quả tính toán được hiển thị bên dưới.
——————————
PHƯƠNG PHÁP C R A M E R
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2=|5,1,2,-8|
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000
x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000
x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000
x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000
Xem tài liệu:
(jcomments trên)
Trong trường hợp tổng quát, quy tắc tính định thức cấp khá phức tạp. Đối với các định thức bậc hai và bậc ba có cách hợp lý tính toán của họ.
Tính toán các yếu tố quyết định bậc hai
Để tính định thức của ma trận bậc hai, bạn cần trừ tích các phần tử của đường chéo phụ khỏi tích các phần tử của đường chéo chính:
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức bậc hai
Giải pháp.
Trả lời.
Phương pháp tính định thức bậc ba
Các quy tắc sau đây tồn tại để tính định thức bậc ba.
Quy tắc tam giác
Về mặt sơ đồ, quy tắc này có thể được mô tả như sau:
Tích các phần tử trong định thức thứ nhất nối nhau bằng đường thẳng được lấy bằng dấu cộng; tương tự, đối với định thức thứ hai, tích tương ứng được lấy bằng dấu trừ, tức là
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức 
bằng phương pháp tam giác.
Giải pháp.
Trả lời.
quy tắc Sarrus
Ở bên phải của định thức, hai cột đầu tiên được thêm vào và tích của các phần tử trên đường chéo chính và trên các đường chéo song song với nó được lấy bằng dấu cộng; và tích các phần tử của đường chéo phụ và các đường chéo song song với nó, có dấu trừ:
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức sử dụng quy tắc Sarrus.
Giải pháp.
Trả lời.
Khai triển định thức theo hàng hoặc cột
Định thức bằng tổng các tích của các phần tử trong hàng của định thức và phần bù đại số của chúng.
Thông thường hàng/cột chứa số 0 sẽ được chọn. Hàng hoặc cột mà quá trình phân tách được thực hiện sẽ được biểu thị bằng một mũi tên.
Ví dụ
Bài tập. Khai triển dọc theo hàng đầu tiên, tính định thức
Giải pháp.
Trả lời.
Phương pháp này cho phép rút gọn việc tính định thức về việc tính định thức ở bậc thấp hơn.
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức
Giải pháp. Chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi sau trên các dòng của định thức: từ dòng thứ hai, chúng ta trừ bốn số đầu tiên và từ dòng thứ ba, dòng đầu tiên nhân với bảy, kết quả là, theo các tính chất của định thức, chúng ta thu được một định thức tương đương với cái đã cho.
Định thức bằng 0 vì hàng thứ hai và thứ ba tỷ lệ thuận.
Trả lời.
Để tính các định thức bậc bốn trở lên, hãy mở rộng hoặc thu gọn hàng/cột thành chế độ xem hình tam giác, hoặc sử dụng định lý Laplace.
Phân tách định thức thành các phần tử của một hàng hoặc cột
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức 
, phân tách nó thành các phần tử của một số hàng hoặc một số cột.
Giải pháp.Đầu tiên chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của định thức, tạo ra càng nhiều số 0 càng tốt trong hàng hoặc trong cột. Để làm điều này, trước tiên hãy trừ chín phần ba từ dòng đầu tiên, năm phần ba từ dòng thứ hai và ba phần ba từ dòng thứ tư, chúng ta nhận được:
Chúng ta hãy phân tích định thức thu được thành các phần tử của cột đầu tiên:
Chúng tôi cũng sẽ mở rộng định thức bậc ba thu được thành các phần tử hàng và cột, ví dụ, trước đó đã thu được các số 0 trong cột đầu tiên.
Để thực hiện việc này, hãy trừ hai dòng thứ hai khỏi dòng đầu tiên và dòng thứ hai khỏi dòng thứ ba:
Trả lời.
Bình luận
Không thể tính được định thức cuối cùng và áp chót, nhưng ngay lập tức kết luận rằng chúng bằng 0, vì chúng chứa các hàng tỷ lệ.
Rút gọn định thức về dạng tam giác
Bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản Trên các hàng hoặc cột, định thức được quy về dạng tam giác và khi đó giá trị của nó, theo tính chất của định thức, bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính.
Ví dụ
Bài tập. Tính định thức 
đưa nó về dạng tam giác.
Giải pháp.Đầu tiên chúng ta tạo các số 0 ở cột đầu tiên dưới đường chéo chính.
4. Tính chất của định thức. Xác định tích của ma trận.
Tất cả các phép biến đổi sẽ dễ thực hiện hơn nếu phần tử bằng 1. Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ hoán đổi cột thứ nhất và thứ hai của định thức, theo đặc tính của định thức, sẽ khiến nó đổi dấu thành định thức. đối diện:
Tiếp theo, chúng ta nhận được các số 0 ở cột thứ hai thay cho các phần tử dưới đường chéo chính. Một lần nữa, nếu phần tử đường chéo bằng , thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn. Để làm điều này, chúng tôi trao đổi dòng thứ hai và thứ ba (đồng thời thay đổi thành dấu hiệu ngược lại yếu tố quyết định):
Trả lời.
Định lý Laplace
Ví dụ
Bài tập. Sử dụng định lý Laplace, tính định thức 
Giải pháp. Hãy chọn vào yếu tố quyết định này thứ năm có hai dòng - dòng thứ hai và thứ ba, sau đó chúng ta nhận được (chúng ta bỏ qua các số hạng bằng 0):
Trả lời.
PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH VÀ BẤT BÌNH ĐẲNG I
§ 31 Trường hợp khi định thức chính của hệ phương trình bằng 0 và ít nhất một trong các định thức phụ khác 0
Định lý.Nếu yếu tố quyết định chính của hệ phương trình
(1)
bằng 0 và ít nhất một trong các định thức phụ khác 0 thì hệ thống không nhất quán.
Về mặt hình thức, việc chứng minh định lý này không khó thu được bằng phản chứng. Giả sử hệ phương trình (1) có nghiệm ( x 0 , y 0). Sau đó, như thể hiện trong đoạn trước,
Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)
Nhưng theo điều kiện Δ = 0 và ít nhất một trong các định thức Δ x Và Δ y khác với số không. Vì vậy, đẳng thức (2) không thể được thỏa mãn đồng thời. Định lý đã được chứng minh.
Tuy nhiên, có vẻ thú vị khi tìm hiểu chi tiết hơn tại sao hệ phương trình (1) lại không nhất quán trong trường hợp đang xem xét.
có nghĩa là các hệ số của ẩn số trong hệ phương trình (1) tỷ lệ thuận với nhau. Hãy để, ví dụ,
Một 1 =ka 2 , b 1 = kb 2 .
có nghĩa là các hệ số cho Tại và các số hạng tự do của các phương trình của hệ (1) không tỷ lệ. Từ b 1 = kb 2 thì c 1 === kc 2 .
Do đó, hệ phương trình (1) có thể được viết dưới dạng sau:
Trong hệ thống này, các hệ số cho các ẩn số tương ứng tỷ lệ thuận, nhưng các hệ số cho Tại (hoặc khi X ) và số hạng tự do không tỉ lệ thuận. Tất nhiên, một hệ thống như vậy là không tương thích. Thật vậy, nếu cô ấy có một giải pháp ( x 0 , y 0), thì các đẳng thức số sẽ giữ nguyên
k (Một 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1
Một 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .
Nhưng một trong những đẳng thức này lại mâu thuẫn với đẳng thức kia: xét cho cùng, c 1 === kc 2 .
Chúng ta chỉ xét trường hợp khi Δ x === 0. Trường hợp khi Δ y =/= 0."
Định lý đã được chứng minh có thể được phát biểu theo cách này.
Nếu các hệ số của ẩn số X Và Tại trong hệ phương trình (1) là tỷ lệ, nhưng các hệ số của bất kỳ ẩn số nào và các số hạng tự do không tỷ lệ, thì hệ phương trình này không nhất quán.
Ví dụ, thật dễ dàng để đảm bảo rằng mỗi hệ thống này sẽ không tương thích:
Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính
Công thức Cramer
Phương pháp của Cramer dựa trên việc sử dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính. Điều này tăng tốc đáng kể quá trình giải pháp.
Phương pháp Cramer có thể được sử dụng để giải một hệ phương trình tuyến tính có nhiều ẩn số trong mỗi phương trình.
Phương pháp Cramer. Ứng dụng cho hệ phương trình tuyến tính
Nếu định thức của hệ không bằng 0 thì phương pháp Cramer có thể được sử dụng trong lời giải, nhưng nếu nó bằng 0 thì không thể. Ngoài ra, phương pháp Cramer có thể được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.
Sự định nghĩa. Định thức bao gồm các hệ số chưa biết được gọi là định thức của hệ thống và được ký hiệu là delta.
yếu tố quyết định
thu được bằng cách thay thế các hệ số của ẩn số tương ứng bằng các số hạng tự do:
;
.
Định lý Cramer. Nếu định thức của hệ khác 0 thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất và ẩn số bằng tỉ số của các định thức. Mẫu số chứa định thức của hệ và tử số chứa định thức thu được từ định thức của hệ bằng cách thay thế các hệ số của ẩn số này bằng các số hạng tự do. Định lý này đúng cho một hệ phương trình tuyến tính có bậc bất kỳ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình tuyến tính:
Theo Định lý Cramer chúng tôi có:
Vậy nghiệm của hệ (2):
Ba trường hợp khi giải hệ phương trình tuyến tính
Như đã rõ từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra ba trường hợp:
Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất
(hệ thống nhất quán và xác định)
* 
Trường hợp thứ hai: một hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm
(hệ thống nhất quán và không chắc chắn)
** 
,
những thứ kia. các hệ số của ẩn số và số hạng tự do tỷ lệ thuận với nhau.
Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm
(hệ thống không nhất quán)
Vì vậy hệ thống tôi phương trình tuyến tính với Nđược gọi là biến không khớp, nếu cô ấy không có một giải pháp duy nhất, và chung, nếu nó có ít nhất một nghiệm. Hệ thống khớp phương trình chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn, và nhiều hơn một – không chắc chắn.
Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer
Hãy để hệ thống được đưa ra
.
Dựa trên định lý Cramer
………….
,
Ở đâu 
—
yếu tố quyết định hệ thống. Chúng ta thu được các định thức còn lại bằng cách thay cột bằng các hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các số hạng tự do:
Ví dụ 2.
.
Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định
Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:
Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.
Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp quyết định Kramer.
Nếu trong hệ phương trình tuyến tính không có biến trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức các phần tử tương ứng bằng 0! Đây là ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:
.
Giải pháp. Ta tìm định thức của hệ:
Hãy xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng 0. Vì vậy, định thức không bằng 0, do đó hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho ẩn số
Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:
Vậy nghiệm của hệ là (2; -1; 1).
Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến bằng phương pháp giải Cramer.
Đầu trang
Kiểm tra hệ phương trình tuyến tính
Như đã đề cập, nếu định thức của hệ bằng 0 và định thức của ẩn số không bằng 0 thì hệ thống không nhất quán, nghĩa là nó không có nghiệm. Hãy để chúng tôi minh họa bằng ví dụ sau.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:
Giải pháp. Ta tìm định thức của hệ:
Định thức của hệ bằng 0, do đó hệ phương trình tuyến tính hoặc không nhất quán và xác định, hoặc không nhất quán, tức là không có nghiệm. Để làm rõ, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho ẩn số
Các định thức của ẩn số không bằng 0, do đó hệ thống không nhất quán, nghĩa là nó không có nghiệm.
Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến bằng phương pháp giải Cramer.
Trong các bài toán liên quan đến hệ phương trình tuyến tính, cũng có những bài toán ngoài các chữ cái biểu thị biến còn có các chữ cái khác. Những chữ cái này đại diện cho một số, thường là số thực. Trong thực tế, các bài toán tìm kiếm dẫn đến các phương trình và hệ phương trình như vậy tính chất chung bất kỳ hiện tượng hoặc đối tượng. Đó là, bạn đã phát minh ra bất kỳ vật liệu mới hoặc một thiết bị và để mô tả các thuộc tính của nó, những đặc tính phổ biến bất kể kích thước hoặc số lượng của một thể hiện, bạn cần giải một hệ phương trình tuyến tính, trong đó thay vì một số hệ số cho các biến thì có các chữ cái. Bạn không cần phải tìm đâu xa để tìm ví dụ.
Ví dụ sau đây dành cho một bài toán tương tự, chỉ có số phương trình, biến và số chữ cái biểu thị một số thực nhất định là tăng lên.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:
Giải pháp. Ta tìm định thức của hệ:
Tìm các yếu tố quyết định cho ẩn số
Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:
,
,
.
Và cuối cùng là hệ thống bốn phương trình với bốn ẩn số.
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:
.
Chú ý! Các phương pháp tính định thức bậc bốn sẽ không được giải thích ở đây. Để làm điều này, hãy đi đến phần tương ứng của trang web. Nhưng sẽ có một số ý kiến nhỏ. Giải pháp. Ta tìm định thức của hệ:
Một bình luận nhỏ. Trong định thức ban đầu, các phần tử của hàng thứ tư được trừ khỏi các phần tử của hàng thứ hai, các phần tử của hàng thứ tư nhân với 2, được trừ khỏi các phần tử của hàng thứ ba, và các phần tử của hàng thứ nhất, nhân với 2, từ các phần tử của hàng thứ tư. Các phép biến đổi của định thức ban đầu với. ba cái đầu tiên chưa biết được sản xuất theo cùng một sơ đồ. Tìm các yếu tố quyết định cho ẩn số
Để biến đổi định thức cho ẩn số thứ tư, các phần tử của hàng thứ tư được trừ khỏi các phần tử của hàng đầu tiên.
Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:
Vậy nghiệm của hệ là (1; 1; -1; -1).
Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến bằng phương pháp giải Cramer.
Người chú ý nhất có lẽ nhận thấy rằng bài viết không có ví dụ về giải pháp hệ thống không chắc chắn phương trình tuyến tính. Và tất cả là do không thể giải được những hệ thống như vậy bằng phương pháp của Cramer; người ta chỉ có thể nói rằng hệ thống đó là không chắc chắn. Giải pháp cho các hệ thống như vậy được cung cấp bằng phương pháp Gauss.
Bạn không có thời gian để tìm hiểu giải pháp? Bạn có thể đặt hàng một công việc!
Đầu trang
Kiểm tra hệ phương trình tuyến tính
Cùng chủ đề “Hệ phương trình và bất phương trình”
Máy tính - giải hệ phương trình trực tuyến
Phần mềm triển khai phương pháp Cramer trong C++
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thế, cộng
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Điều kiện nhất quán của hệ phương trình tuyến tính.
Định lý Kronecker-Capelli
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận (ma trận nghịch đảo)
Hệ thống bất đẳng thức tuyến tính Và tập lồiđiểm
Mở đầu chủ đề “Đại số tuyến tính”
yếu tố quyết định
Trong bài viết này chúng ta sẽ làm quen với rất khái niệm quan trọng từ phần đại số tuyến tính, được gọi là định thức.
Tôi muốn lưu ý ngay lập tức điểm quan trọng: khái niệm định thức chỉ đúng với ma trận vuông (số hàng = số cột), các ma trận khác không có.
Định thức của ma trận vuông(xác định) - đặc tính số ma trận.
Kí hiệu định thức: |A|, det A, ∆ MỘT.
yếu tố quyết định Thứ tự "n" được gọi tổng đại số tất cả các sản phẩm có thể có của các phần tử của nó thỏa mãn các yêu cầu sau:
1) Mỗi tích như vậy chứa chính xác “n” phần tử (tức là định thức bậc 2 - 2 phần tử).
2) Trong mỗi sản phẩm có một đại diện cho mỗi hàng và mỗi cột làm thừa số.
3) Hai yếu tố trong mỗi sản phẩm không thể thuộc cùng một hàng hoặc cột.
Dấu của sản phẩm được xác định theo thứ tự xen kẽ các số cột nếu các phần tử trong sản phẩm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số hàng.
Hãy xem xét một số ví dụ về việc tìm định thức của ma trận:
Đối với ma trận bậc một (tức là
Phương trình tuyến tính. Giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp Cramer.
chỉ có 1 phần tử) thì định thức bằng phần tử này:
2. Xét ma trận vuông bậc hai:
3. Xét ma trận vuông bậc ba (3×3):
4. Bây giờ hãy xem các ví dụ với số thực:
Quy tắc tam giác.
Quy tắc tam giác là một cách tính định thức của ma trận, bao gồm việc tìm nó theo sơ đồ sau:
Như bạn đã hiểu, phương pháp này được gọi là quy tắc tam giác do các phần tử nhân của ma trận tạo thành các hình tam giác đặc biệt.
Để hiểu rõ hơn về điều này, chúng ta hãy xem một ví dụ:
Bây giờ chúng ta hãy xem xét việc tính định thức của ma trận với số thực bằng quy tắc tam giác:
Để củng cố tài liệu chúng ta đã trình bày, hãy giải một ví dụ thực tế khác:
Tính chất của định thức:
1. Nếu các phần tử của một hàng hoặc cột bằng 0 thì định thức bằng 0.
2. Định thức sẽ đổi dấu nếu đổi chỗ cho 2 hàng hoặc cột bất kỳ. Hãy xem xét điều này với một ví dụ nhỏ:
3. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận gốc.
4. Định thức bằng 0 nếu các phần tử của một hàng bằng các phần tử tương ứng của một hàng khác (đối với cả cột). Ví dụ đơn giản nhất về tính chất này của định thức là:
5. Định thức bằng 0 nếu 2 hàng của nó tỷ lệ thuận (đối với các cột). Ví dụ (dòng 1 và 2 tỷ lệ thuận):
6. Thừa số chung của một hàng (cột) có thể được rút ra khỏi dấu định thức.
7) Định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác nhân với cùng một giá trị được thêm vào các phần tử của hàng (cột) bất kỳ. Hãy xem xét điều này với một ví dụ:
Lượt xem: 57258
Định thức (còn gọi là định thức) chỉ được tìm thấy trong ma trận vuông. Định thức không gì khác hơn là một giá trị kết hợp tất cả các phần tử của ma trận, giá trị này được giữ nguyên khi hoán vị các hàng hoặc cột. Nó có thể được ký hiệu là det(A), |A|, Δ(A), Δ, trong đó A có thể là ma trận hoặc một chữ cái biểu thị nó. Bạn có thể tìm thấy nó bằng các phương pháp khác nhau:
Tất cả các phương pháp đề xuất ở trên sẽ được phân tích trên các ma trận có kích thước từ 3 trở lên. Định thức của ma trận hai chiều được tìm bằng ba cơ bản các phép toán, do đó, việc tìm định thức của ma trận hai chiều sẽ không được đưa vào bất kỳ phương pháp nào. Chà, ngoại trừ việc bổ sung, nhưng sẽ nói thêm về điều đó sau.
Hãy tìm định thức của ma trận 2x2:
Để tìm định thức của ma trận, chúng ta cần trừ tích các số của đường chéo này với đường chéo kia, tức là
Ví dụ về tìm định thức của ma trận bậc hai
Phân tách hàng/cột
Chọn bất kỳ hàng hoặc cột nào trong ma trận. Mỗi số trong dòng đã chọn được nhân với (-1) i+j trong đó (i,j là số hàng, cột của số đó) và nhân với định thức bậc hai, gồm các phần tử còn lại sau khi gạch bỏ i - hàng và j - cột. Hãy phân tích nó trên ma trận
- Chọn một hàng/cột
Ví dụ: hãy lấy dòng thứ hai.
Ghi chú: Nếu không xác định rõ ràng nên sử dụng dòng nào để tìm định thức, hãy chọn dòng có số 0. Sẽ có ít tính toán hơn.
- Hãy biểu đạt
Không khó để xác định rằng dấu của một số luôn thay đổi. Do đó, thay vì sử dụng đơn vị, bạn có thể sử dụng bảng sau:
- Hãy đổi dấu các số của chúng ta
- Hãy tìm các yếu tố quyết định của ma trận của chúng ta
- Hãy đếm tất cả
Giải pháp có thể được viết như thế này:
Ví dụ về tìm định thức bằng khai triển hàng/cột:
Phương pháp rút gọn về dạng tam giác (sử dụng các phép biến đổi cơ bản)
Định thức được tìm bằng cách quy ma trận về dạng tam giác (bước) và nhân các phần tử trên đường chéo chính
Ma trận tam giác là ma trận có các phần tử ở một cạnh của đường chéo bằng 0.
Khi xây dựng ma trận, bạn nên nhớ ba quy tắc đơn giản:
- Mỗi lần đổi chỗ các hàng, định thức đổi dấu sang dấu đối diện.
- Khi nhân/chia một chuỗi cho không số không, nó phải được chia (nếu nhân)/nhân (nếu chia) cho nó hoặc hành động này phải được thực hiện với định thức thu được.
- Khi cộng một chuỗi nhân với một số vào một chuỗi khác, định thức không thay đổi (chuỗi nhân sẽ lấy giá trị ban đầu).
Hãy thử lấy số 0 ở cột đầu tiên, sau đó ở cột thứ hai.
Chúng ta hãy nhìn vào ma trận của chúng tôi:
ôi. Để làm cho việc tính toán trở nên thú vị hơn, tôi muốn có nhiều đóng số bên trên. Bạn có thể bỏ nó, nhưng đừng. Được rồi, chúng ta có số hai ở dòng thứ hai và số bốn ở dòng đầu tiên.
Hãy trao đổi hai dòng này.
Chúng ta đổi chỗ các dòng, bây giờ chúng ta phải thay đổi dấu của một dòng hoặc cuối cùng thay đổi dấu của định thức.
Các yếu tố quyết định. Tính định thức (trang 2)
Chúng ta sẽ làm việc này sau.
Bây giờ, để có số 0 ở dòng đầu tiên, hãy nhân dòng đầu tiên với 2.
Hãy trừ dòng thứ nhất từ dòng thứ hai.
Theo quy tắc thứ 3, chúng ta trả chuỗi gốc về vị trí ban đầu.
Bây giờ hãy tạo số 0 ở dòng thứ 3. Chúng ta có thể nhân dòng đầu tiên với 1,5 và trừ dòng thứ ba, nhưng làm việc với phân số không mang lại nhiều niềm vui. Đó là lý do tại sao hãy tìm số, mà cả hai chuỗi có thể giảm xuống là 6.
Nhân dòng thứ 3 với 2.
Bây giờ hãy nhân dòng thứ 1 với 3 và trừ dòng thứ 3.
Hãy quay trở lại hàng đầu tiên của chúng tôi.
Đừng quên rằng chúng ta đã nhân dòng thứ 3 với 2, sau đó chúng ta sẽ chia định thức cho 2.
Có một cột. Bây giờ, để có được số 0 ở dòng thứ hai - hãy quên dòng thứ 1 đi - chúng ta làm việc với dòng thứ 2. Nhân dòng thứ hai với -3 rồi cộng với dòng thứ ba.
Đừng quên trả lại dòng thứ hai.
Như vậy chúng ta đã xây dựng được ma trận tam giác. Còn lại gì cho chúng ta? Tất cả những gì còn lại là nhân các số trên đường chéo chính, đó là điều chúng ta sẽ làm.
Vâng, vẫn cần nhớ rằng chúng ta phải chia định thức cho 2 và đổi dấu.
Quy tắc Sarrus (Quy tắc tam giác)
Quy tắc Sarrus chỉ áp dụng cho ma trận vuông lệnh thứ ba.
Định thức được tính bằng cách cộng hai cột đầu tiên bên phải của ma trận, nhân các phần tử của các đường chéo của ma trận rồi cộng chúng lại, rồi trừ tổng của các đường chéo đối diện. Trừ đi những cái màu tím khỏi các đường chéo màu cam.
Quy tắc của hình tam giác là như nhau, chỉ có hình ảnh là khác.
Định lý Laplace xem Phân tích hàng/cột