Hệ thống được gọi là không chắc chắn. §1

Hệ m phương trình tuyến tính với n ẩn số gọi là hệ thống có dạng

Ở đâu một ij Và tôi (Tôi=1,…,tôi; b=1,…,N) là một số số đã biết và x 1,…,x n– không rõ. Trong việc chỉ định các hệ số một ij chỉ số đầu tiên Tôi biểu thị số phương trình và số thứ hai j– số lượng ẩn số mà hệ số này đứng ở đó.

Chúng ta sẽ viết các hệ số của ẩn số dưới dạng ma trận , mà chúng ta sẽ gọi ma trận của hệ thống.

Các số ở vế phải của phương trình là b 1,…,b mđược gọi là thành viên miễn phí.

Tổng cộng N con số c 1,…,c n gọi điện phán quyết của một hệ đã cho, nếu mỗi phương trình của hệ đó trở thành một đẳng thức sau khi thay số vào nó c 1,…,c n thay vì những ẩn số tương ứng x 1,…,x n.

Nhiệm vụ của chúng ta sẽ là tìm giải pháp cho hệ thống. Trong trường hợp này, ba tình huống có thể xảy ra:

Hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm được gọi là chung. Ngược lại, tức là nếu hệ thống không có giải pháp thì nó được gọi là không khớp.

Hãy xem xét các cách để tìm giải pháp cho hệ thống.

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN GIẢI HỆ PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH

Ma trận giúp viết ngắn gọn một hệ phương trình tuyến tính. Cho hệ 3 phương trình với 3 ẩn số:

Xét ma trận hệ thống và các cột ma trận của các thuật ngữ chưa biết và tự do

Chúng ta hãy tìm công việc

những thứ kia. nhờ tích này, chúng ta thu được vế trái của các phương trình của hệ này. Khi đó, sử dụng định nghĩa ma trận đẳng thức, hệ này có thể được viết dưới dạng

hoặc ngắn hơn MỘT∙X=B.

Đây là các ma trận MỘT Và Bđã biết và ma trận X không rõ. Cần phải tìm ra nó, bởi vì... các yếu tố của nó là giải pháp cho hệ thống này. Phương trình này được gọi là phương trình ma trận.

Đặt định thức của ma trận khác 0 | MỘT| ≠ 0. Khi đó phương trình ma trận được giải như sau. Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với ma trận A-1, nghịch đảo của ma trận MỘT: . Bởi vì A -1 A = E Và E∙X = X, thì ta thu được nghiệm của phương trình ma trận có dạng X = A -1 B .

Lưu ý rằng vì ma trận nghịch đảo chỉ có thể tìm được cho ma trận vuông nên phương pháp ma trận chỉ có thể giải được những hệ trong đó số phương trình trùng với số ẩn số. Tuy nhiên, việc ghi ma trận của hệ cũng có thể thực hiện được trong trường hợp số phương trình không bằng số ẩn số thì ma trận MỘT sẽ không vuông góc và do đó không thể tìm được nghiệm của hệ dưới dạng X = A -1 B.

Ví dụ. Giải hệ phương trình.

QUY TẮC CRAMER

Xét hệ 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số:

Định thức bậc ba tương ứng với ma trận hệ thống, tức là bao gồm các hệ số cho ẩn số,

gọi điện yếu tố quyết định của hệ thống.

Hãy soạn thêm ba định thức như sau: thay tuần tự các cột 1, 2 và 3 trong định thức D bằng cột chứa các số hạng tự do

Khi đó ta có thể chứng minh kết quả sau.

Định lý (quy tắc Cramer). Nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ đang xét có một và chỉ một nghiệm, và

Bằng chứng. Vì vậy, hãy xét một hệ gồm 3 phương trình với ba ẩn số. Hãy nhân phương trình thứ nhất của hệ với phần bù đại số A 11 yếu tố số 11, phương trình thứ 2 – trên A 21 và thứ 3 – trên A 31:

Hãy thêm các phương trình sau:

Chúng ta hãy nhìn vào từng dấu ngoặc và vế phải của phương trình này. Theo định lý khai triển định thức theo phần tử cột 1

Tương tự, có thể chứng minh rằng và .

Cuối cùng, thật dễ dàng để nhận thấy rằng

Do đó ta thu được đẳng thức: .

Kể từ đây, .

Các đẳng thức và đều có nguồn gốc tương tự, từ đó phát biểu định lý.

Do đó, chúng ta lưu ý rằng nếu định thức của hệ Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất và ngược lại. Nếu định thức của hệ bằng 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm, tức là. không tương thích.

Ví dụ. Giải hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Các phương pháp đã thảo luận trước đây chỉ có thể được sử dụng để giải các hệ trong đó số phương trình trùng với số ẩn và định thức của hệ phải khác 0. Phương pháp Gauss phổ biến hơn và phù hợp với các hệ thống có số lượng phương trình bất kỳ. Nó bao gồm việc loại bỏ nhất quán các ẩn số khỏi các phương trình của hệ thống.

Xét lại hệ ba phương trình với ba ẩn số:

Chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên và từ phương trình thứ 2 và thứ 3, chúng ta sẽ loại trừ các số hạng chứa x 1. Để làm điều này, chia phương trình thứ hai cho MỘT 21 và nhân với – MỘT 11, rồi cộng nó vào phương trình thứ nhất. Tương tự, chúng ta chia phương trình thứ ba cho MỘT 31 và nhân với – MỘT 11, rồi cộng nó với cái đầu tiên. Do đó, hệ ban đầu sẽ có dạng:

Bây giờ từ phương trình cuối cùng chúng ta loại bỏ số hạng chứa x 2. Để làm điều này, hãy chia phương trình thứ ba cho, nhân với và cộng với phương trình thứ hai. Khi đó ta sẽ có hệ phương trình:

Từ đây, từ phương trình cuối cùng dễ dàng tìm được x 3, thì từ phương trình thứ 2 x 2 và cuối cùng, từ ngày 1 - x 1.

Khi sử dụng phương pháp Gaussian, các phương trình có thể được hoán đổi nếu cần thiết.

Thông thường, thay vì viết một hệ phương trình mới, họ hạn chế viết ra ma trận mở rộng của hệ phương trình:

và sau đó đưa nó về dạng tam giác hoặc đường chéo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

ĐẾN các phép biến đổi cơ bản ma trận bao gồm các phép biến đổi sau:

sắp xếp lại hàng hoặc cột;
nhân một chuỗi với một số khác 0;
thêm các dòng khác vào một dòng.

Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.

Như vậy hệ có vô số nghiệm.

Nghiên cứu tính nhất quán của hệ phương trình tuổi tuyến tính (SLAE) có nghĩa là tìm hiểu xem hệ phương trình này có nghiệm hay không có nghiệm. Chà, nếu có giải pháp thì hãy cho biết có bao nhiêu giải pháp.

Chúng ta sẽ cần thông tin từ chủ đề "Hệ phương trình đại số tuyến tính. Các thuật ngữ cơ bản. Dạng ký hiệu ma trận". Đặc biệt, các khái niệm như ma trận hệ thống và ma trận hệ thống mở rộng là cần thiết vì việc xây dựng định lý Kronecker-Capelli dựa trên chúng. Như thường lệ, chúng ta sẽ biểu thị ma trận hệ thống bằng chữ cái $A$ và ma trận mở rộng của hệ thống bằng chữ cái $\widetilde(A)$.

Định lý Kronecker-Capelli

Một hệ phương trình đại số tuyến tính là nhất quán khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ, tức là. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng một hệ thống được gọi là khớp nếu nó có ít nhất một nghiệm. Định lý Kronecker-Capelli phát biểu như sau: nếu $\rang A=\rang\widetilde(A)$, thì có một nghiệm; nếu $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ thì SLAE này không có nghiệm (không nhất quán). Câu trả lời cho câu hỏi về số lượng nghiệm này được đưa ra bởi một hệ quả tất yếu của định lý Kronecker-Capelli. Trong công thức hệ quả, chữ cái $n$ được sử dụng, bằng số lượng biến của SLAE đã cho.

Hệ quả của định lý Kronecker-Capelli

Nếu $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ thì SLAE không nhất quán (không có giải pháp).
Nếu $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Nếu $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, thì SLAE là xác định (có chính xác một nghiệm).

Xin lưu ý rằng định lý được xây dựng và hệ quả của nó không chỉ ra cách tìm nghiệm cho SLAE. Với sự giúp đỡ của họ, bạn chỉ có thể tìm hiểu xem những giải pháp này có tồn tại hay không và nếu chúng tồn tại thì có bao nhiêu.

Ví dụ số 1

Khám phá SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ để biết tính tương thích. Nếu SLAE tương thích, hãy cho biết số lượng giải pháp.

Để tìm ra sự tồn tại nghiệm của một SLAE cho trước, chúng ta sử dụng định lý Kronecker-Capelli. Chúng ta sẽ cần ma trận của hệ $A$ và ma trận mở rộng của hệ $\widetilde(A)$, chúng ta sẽ viết chúng:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(mảng) \right). $$

Chúng ta cần tìm $\rang A$ và $\rang\widetilde(A)$. Có nhiều cách để thực hiện việc này, một số cách được liệt kê trong phần Xếp hạng Ma trận. Thông thường, có hai phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các hệ thống như vậy: “Tính hạng của ma trận theo định nghĩa” hoặc “Tính hạng của ma trận bằng phương pháp các phép biến đổi cơ bản”.

Phương pháp số 1. Tính toán xếp hạng theo định nghĩa.

Theo định nghĩa, hạng là bậc cao nhất của các phần tử thứ của một ma trận, trong đó có ít nhất một phần tử khác 0. Thông thường, nghiên cứu bắt đầu với cấp thứ nhất, nhưng ở đây sẽ thuận tiện hơn khi bắt đầu tính ngay cấp thứ ba của ma trận $A$. Các phần tử phụ bậc ba nằm ở giao điểm của ba hàng và ba cột của ma trận được đề cập. Vì ma trận $A$ chỉ chứa 3 hàng và 3 cột nên bậc thứ ba của ma trận $A$ là định thức của ma trận $A$, tức là $\Delta A$. Để tính định thức ta áp dụng công thức số 2 của đề tài “Công thức tính định thức bậc hai, bậc ba”:

$$ \Delta A=\left| \begin(mảng) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(mảng) \right|=-21. $$

Vì vậy, có cấp thứ ba của ma trận $A$, không bằng 0. Không thể tạo cấp thứ tư vì nó yêu cầu 4 hàng và 4 cột và ma trận $A$ chỉ có 3 hàng và 3 cột. Vì vậy, bậc cao nhất của các cấp con của ma trận $A$, trong đó có ít nhất một cấp không bằng 0, là 3. Do đó, $\rang A=3$.

Chúng ta cũng cần tìm $\rang\widetilde(A)$. Chúng ta hãy xem cấu trúc của ma trận $\widetilde(A)$. Cho đến dòng trong ma trận $\widetilde(A)$ có các phần tử của ma trận $A$, và chúng tôi phát hiện ra rằng $\Delta A\neq 0$. Do đó, ma trận $\widetilde(A)$ có cấp số thứ ba, không bằng 0. Chúng ta không thể xây dựng các phần tử bậc bốn của ma trận $\widetilde(A)$, vì vậy chúng ta kết luận: $\rang\widetilde(A)=3$.

Vì $\rang A=\rang\widetilde(A)$, nên theo định lý Kronecker-Capelli thì hệ thống là nhất quán, tức là. có một giải pháp (ít nhất một). Để chỉ ra số lượng lời giải, chúng tôi tính đến việc SLAE của chúng tôi chứa 3 ẩn số: $x_1$, $x_2$ và $x_3$. Vì số ẩn số là $n=3$, nên chúng ta kết luận: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, do đó, theo hệ quả tất yếu của định lý Kronecker-Capelli, hệ thống là xác định, tức là. có một giải pháp độc đáo.

Vấn đề đã được giải quyết. Phương pháp này có nhược điểm và ưu điểm gì? Đầu tiên, hãy nói về những lợi thế. Đầu tiên ta chỉ cần tìm một định thức. Sau đó, chúng tôi đưa ra kết luận ngay về số lượng giải pháp. Thông thường, các phép tính tiêu chuẩn tiêu chuẩn đưa ra hệ phương trình chứa ba ẩn số và có nghiệm duy nhất. Đối với các hệ thống như vậy, phương pháp này rất thuận tiện vì chúng ta biết trước rằng có một giải pháp (nếu không thì ví dụ này sẽ không có trong phép tính tiêu chuẩn). Những thứ kia. Tất cả những gì chúng ta phải làm là chỉ ra sự tồn tại của giải pháp một cách nhanh nhất. Thứ hai, giá trị tính toán của định thức của ma trận hệ thống (tức là $\Delta A$) sẽ hữu ích sau này: khi chúng ta bắt đầu giải một hệ thống đã cho bằng phương pháp Cramer hoặc sử dụng ma trận nghịch đảo.

Tuy nhiên, phương pháp tính thứ hạng theo định nghĩa là không nên sử dụng nếu ma trận của hệ $A$ là hình chữ nhật. Trong trường hợp này, tốt hơn là sử dụng phương pháp thứ hai, phương pháp này sẽ được thảo luận dưới đây. Ngoài ra, nếu $\Delta A=0$, thì chúng ta không thể nói bất cứ điều gì về số nghiệm của một SLAE không đồng nhất đã cho. Có thể SLAE có vô số giải pháp hoặc có thể không có giải pháp nào. Nếu $\Delta A=0$ thì cần phải nghiên cứu thêm, việc này thường rất phức tạp.

Để tóm tắt những gì đã nói, tôi lưu ý rằng phương pháp đầu tiên phù hợp với những SLAE có ma trận hệ thống là hình vuông. Hơn nữa, bản thân SLAE chứa ba hoặc bốn ẩn số và được lấy từ các phép tính hoặc thử nghiệm tiêu chuẩn tiêu chuẩn.

Phương pháp số 2. Tính hạng bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

Phương pháp này được mô tả chi tiết trong chủ đề tương ứng. Chúng ta sẽ bắt đầu tính hạng của ma trận $\widetilde(A)$. Tại sao ma trận $\widetilde(A)$ mà không phải $A$? Thực tế là ma trận $A$ là một phần của ma trận $\widetilde(A)$, do đó, bằng cách tính hạng của ma trận $\widetilde(A)$ chúng ta sẽ đồng thời tìm được hạng của ma trận $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ hai)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (mảng) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(mảng) \right) \end(căn chỉnh)

Chúng tôi đã rút gọn ma trận $\widetilde(A)$ về dạng hình thang. Trên đường chéo chính của ma trận kết quả $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ chứa ba phần tử khác 0: -1, 3 và -7. Kết luận: hạng của ma trận $\widetilde(A)$ là 3, tức là $\rang\widetilde(A)=3$. Khi thực hiện các phép biến đổi với các phần tử của ma trận $\widetilde(A)$, chúng ta đã biến đổi đồng thời các phần tử của ma trận $A$ nằm trước dòng. Ma trận $A$ cũng được rút gọn về dạng hình thang: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \đúng )$. Kết luận: hạng của ma trận $A$ cũng bằng 3, tức là $\rang A=3$.

Vì $\rang A=\rang\widetilde(A)$, nên theo định lý Kronecker-Capelli thì hệ thống là nhất quán, tức là. có một giải pháp. Để chỉ ra số lượng lời giải, chúng tôi tính đến việc SLAE của chúng tôi chứa 3 ẩn số: $x_1$, $x_2$ và $x_3$. Vì số ẩn số là $n=3$, nên chúng ta kết luận: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, do đó, theo hệ quả tất yếu của định lý Kronecker-Capelli, hệ thống được xác định, tức là. có một giải pháp độc đáo.

Ưu điểm của phương pháp thứ hai là gì? Ưu điểm chính là tính linh hoạt của nó. Đối với chúng ta, ma trận của hệ có vuông góc hay không không quan trọng. Ngoài ra, chúng tôi thực sự đã thực hiện các phép biến đổi tiến của phương pháp Gaussian. Chỉ còn một vài bước nữa là chúng ta có thể tìm ra giải pháp cho SLAE này. Thành thật mà nói, tôi thích phương pháp thứ hai hơn phương pháp thứ nhất, nhưng sự lựa chọn là vấn đề sở thích.

Trả lời: SLAE đã cho là nhất quán và được xác định.

Ví dụ số 2

Khám phá SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$ để đảm bảo tính tương thích.

Chúng ta sẽ tìm hạng của ma trận hệ và ma trận hệ mở rộng bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Ma trận hệ thống mở rộng: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Hãy tìm thứ hạng cần thiết bằng cách biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống:

Ma trận mở rộng của hệ thống được rút gọn về dạng từng bước. Nếu một ma trận được rút gọn về dạng cấp bậc thì hạng của nó bằng số hàng khác 0. Do đó, $\rang A=3$. Ma trận $A$ (đến dòng) được rút gọn về dạng hình thang và hạng của nó là 2, $\rang A=2$.

Vì $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, nên theo định lý Kronecker-Capelli, hệ thống không nhất quán (tức là không có nghiệm).

Trả lời: Hệ thống không nhất quán.

Ví dụ số 3

Khám phá SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ để đảm bảo tính tương thích.

Ma trận mở rộng của hệ có dạng: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Hãy hoán đổi hàng thứ nhất và thứ hai của ma trận này để phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên trở thành một: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Chúng ta đã rút gọn ma trận mở rộng của hệ và ma trận của chính hệ đó về dạng hình thang. Hạng của ma trận mở rộng của hệ bằng ba, hạng của ma trận của hệ cũng bằng ba. Vì hệ thống chứa $n=5$ ẩn số, tức là. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Trả lời: Hệ thống không chắc chắn.

Trong phần thứ hai, chúng ta sẽ phân tích các ví dụ thường có trong các phép tính hoặc bài kiểm tra tiêu chuẩn trong toán học cao hơn: nghiên cứu tính nhất quán và giải SLAE tùy thuộc vào giá trị của các tham số có trong đó.

Nói chung, phương trình tuyến tính có dạng:

Phương trình có nghiệm: nếu ít nhất một trong các hệ số của ẩn số khác 0. Trong trường hợp này, vectơ có chiều bất kỳ được gọi là nghiệm của phương trình nếu khi thay tọa độ của nó, phương trình trở thành một đẳng thức.

Đặc điểm chung của hệ phương trình đã giải

Ví dụ 20.1

Mô tả hệ phương trình.

Giải pháp:

1. Có một phương trình mâu thuẫn liên quan?(Nếu là hệ số thì phương trình có dạng: và được gọi là gây tranh cãi.)

Nếu một hệ thống chứa đựng điều gì đó mâu thuẫn thì hệ thống đó không nhất quán và không có giải pháp.

2. Tìm tất cả các biến được phép. (Cái chưa biết được gọi làđược phépđối với một hệ phương trình, nếu nó nằm trong một trong các phương trình của hệ có hệ số +1, nhưng không nằm trong các phương trình còn lại (tức là nó có hệ số bằng 0).

3. Hệ phương trình có giải được không? (Hệ phương trình gọi là đã giải, nếu mỗi phương trình của hệ chứa một ẩn số đã được giải, trong đó không có ẩn số trùng khớp)

Các ẩn số đã được giải quyết, lấy một ẩn số từ mỗi phương trình của hệ, có dạng tập hợp đầy đủ các ẩn số đã được giải quyết hệ thống. (trong ví dụ của chúng tôi là)

Các ẩn số được phép có trong bộ hoàn chỉnh cũng được gọi là nền tảng() và không có trong tập hợp - miễn phí ().

Trong trường hợp tổng quát, hệ phương trình đã giải có dạng:

Ở giai đoạn này, điều chính là phải hiểu nó là gì đã giải quyết chưa biết(bao gồm trong cơ sở và miễn phí).

Tổng quát Đặc biệt Giải pháp cơ bản

Giải pháp chung một hệ phương trình đã được giải là một tập hợp các biểu thức của các ẩn số đã được giải thông qua các số hạng tự do và các ẩn số tự do:

Quyết định riêng tưđược gọi là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát cho các giá trị cụ thể của biến tự do và ẩn số.

Giải pháp cơ bản là một nghiệm cụ thể thu được từ nghiệm tổng quát cho giá trị 0 của các biến tự do.

Giải pháp cơ bản (vectơ) được gọi là thoái hóa, nếu số tọa độ khác 0 của nó nhỏ hơn số ẩn số được phép.
Giải pháp cơ bản được gọi là không thoái hóa, nếu số tọa độ khác 0 của nó bằng số ẩn số cho phép của hệ thống có trong bộ hoàn chỉnh.

Định lý (1)

Hệ phương trình đã giải luôn luôn nhất quán(vì nó có ít nhất một nghiệm); Hơn nữa, nếu hệ thống không có ẩn số trống,(nghĩa là trong một hệ phương trình, tất cả các phương trình được phép đều được đưa vào cơ sở) sau đó nó được xác định(có một giải pháp duy nhất); nếu có ít nhất một biến tự do thì hệ thống không được xác định(có vô số nghiệm).

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát, nghiệm cơ bản và nghiệm bất kỳ của hệ phương trình:

Giải pháp:

1. Chúng tôi có đang kiểm tra xem hệ thống có được ủy quyền không?

Hệ thống đã được giải (vì mỗi phương trình đều chứa một ẩn số đã được giải)

2. Chúng tôi bao gồm các ẩn số được phép trong tập hợp - một ẩn số từ mỗi phương trình.

3. Chúng tôi viết ra lời giải chung tùy thuộc vào những ẩn số được phép mà chúng tôi đưa vào tập hợp.

4. Tìm một giải pháp cụ thể. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng các biến tự do mà chúng tôi không đưa vào tập hợp với các số tùy ý.

Trả lời: giải pháp riêng(một trong những lựa chọn)

5. Tìm giải pháp cơ bản. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng các biến miễn phí mà chúng tôi không đưa vào tập hợp thành 0.

Các phép biến đổi cơ bản của phương trình tuyến tính

Các hệ phương trình tuyến tính được rút gọn thành các hệ được giải tương đương bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Định lý (2)

Nếu có nhân phương trình của hệ với một số khác 0, và giữ nguyên các phương trình còn lại, khi đó . (nghĩa là nếu bạn nhân vế trái và vế phải của phương trình với cùng một số, bạn sẽ có được phương trình tương đương với phương trình này)

Định lý (3)

Nếu như thêm cái khác vào bất kỳ phương trình nào của hệ thống, và giữ nguyên tất cả các phương trình khác, khi đó chúng ta có một hệ thống tương đương với hệ thống này. (nghĩa là, nếu bạn cộng hai phương trình (bằng cách cộng hai vế trái và phải của chúng), bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với dữ liệu)

Hệ quả của định lý (2 và 3)

Nếu như thêm một phương trình khác vào phương trình nhân với một số nhất định, và giữ nguyên tất cả các phương trình khác, sau đó chúng ta có được một hệ thống tương đương với hệ thống này.

Công thức tính lại hệ số hệ thống

Nếu chúng ta có một hệ phương trình và muốn chuyển nó thành một hệ phương trình đã giải được thì phương pháp Jordan-Gauss sẽ giúp chúng ta điều này.

Jordan biến đổi với phần tử phân giải cho phép bạn thu được hệ phương trình ẩn số đã giải trong phương trình có số . (ví dụ 2).

Phép biến đổi Jordan bao gồm các phép biến đổi cơ bản gồm hai loại:

Giả sử chúng ta muốn biến ẩn số trong phương trình dưới thành ẩn số đã được giải quyết. Để làm điều này, chúng ta phải chia cho , sao cho tổng là .

Ví dụ 2 Hãy tính lại các hệ số của hệ thống

Khi chia một phương trình với một số cho , các hệ số của nó được tính lại bằng các công thức:

Để loại trừ khỏi phương trình có số, bạn cần nhân phương trình có số với rồi cộng vào phương trình này.

Định lý (4) Về rút gọn số phương trình của hệ.

Nếu một hệ phương trình chứa một phương trình tầm thường thì nó có thể bị loại khỏi hệ và sẽ thu được một hệ phương trình tương đương với phương trình ban đầu.

Định lý (5) Về tính không tương thích của hệ phương trình.

Nếu một hệ phương trình chứa một phương trình không nhất quán thì nó không nhất quán.

Thuật toán phương pháp Jordan-Gauss

Thuật toán giải hệ phương trình bằng phương pháp Jordan-Gauss bao gồm một số bước tương tự, tại mỗi bước hành động được thực hiện theo thứ tự sau:

Kiểm tra xem hệ thống có mâu thuẫn hay không. Nếu một hệ chứa một phương trình không nhất quán thì nó không nhất quán.
Khả năng giảm số lượng phương trình được kiểm tra. Nếu hệ thống chứa một phương trình tầm thường, nó sẽ bị gạch bỏ.
Nếu hệ phương trình được giải thì viết ra nghiệm tổng quát của hệ và các nghiệm cụ thể nếu cần.
Nếu hệ thống không được giải, thì trong một phương trình không chứa ẩn số đã được giải, phần tử phân giải sẽ được chọn và phép biến đổi Jordan được thực hiện với phần tử này.
Sau đó quay lại điểm 1

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Jordan-Gauss.

Tìm thấy: hai nghiệm tổng quát và hai nghiệm cơ bản tương ứng

Giải pháp:

Các tính toán được thể hiện trong bảng dưới đây:

Ở bên phải của bảng là các hành động trên phương trình. Các mũi tên chỉ ra phương trình nào mà phương trình có phần tử phân giải được thêm vào, nhân với hệ số phù hợp.

Ba hàng đầu tiên của bảng chứa các hệ số của ẩn số và vế phải của hệ ban đầu. Kết quả của phép biến đổi Jordan đầu tiên với phần tử phân giải bằng 1 được cho ở dòng 4, 5, 6. Kết quả của phép biến đổi Jordan thứ hai với phần tử phân giải bằng (-1) được cho ở dòng 7, 8, 9 Vì phương trình thứ ba tầm thường nên không thể xét được.

Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Trong quá trình toán cao hơn, các hệ phương trình tuyến tính bắt buộc phải được giải dưới dạng các nhiệm vụ riêng biệt, chẳng hạn như “Giải hệ bằng công thức Cramer” và trong quá trình giải các bài toán khác. Hệ phương trình tuyến tính phải được giải quyết trong hầu hết các nhánh của toán học cao cấp.

Đầu tiên, một chút lý thuyết. Từ toán học “tuyến tính” có nghĩa gì trong trường hợp này? Điều này có nghĩa là các phương trình của hệ Tất cả bao gồm các biến ở mức độ đầu tiên: không có bất kỳ thứ gì lạ mắt như v.v., điều mà chỉ những người tham gia Olympic toán học mới hài lòng.

Trong toán học cao hơn, không chỉ những chữ cái quen thuộc từ thời thơ ấu mới được dùng để biểu thị các biến.
Một lựa chọn khá phổ biến là các biến có chỉ mục: .
Hoặc các chữ cái đầu của bảng chữ cái Latinh, nhỏ và lớn:
Không quá hiếm khi tìm thấy các chữ cái Hy Lạp: – được nhiều người gọi là “alpha, beta, gamma”. Và cũng là một bộ có các chỉ số, chẳng hạn như chữ cái “mu”:

Việc sử dụng bộ chữ cái này hay bộ chữ cái khác phụ thuộc vào phần toán học cao cấp mà chúng ta phải đối mặt với hệ phương trình tuyến tính. Vì vậy, ví dụ, trong các hệ phương trình tuyến tính gặp phải khi giải tích phân và phương trình vi phân, người ta thường sử dụng ký hiệu

Nhưng cho dù các biến được chỉ định như thế nào thì nguyên tắc, phương pháp và phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính vẫn không thay đổi. Vì vậy, nếu bạn gặp điều gì đó đáng sợ như , đừng vội đóng sách lại vì sợ hãi, thay vào đó, bạn có thể vẽ mặt trời, thay vào đó là một con chim và thay vào đó là khuôn mặt (giáo viên). Và, có vẻ buồn cười, một hệ phương trình tuyến tính với những ký hiệu này cũng có thể được giải.

Tôi có cảm giác bài viết sẽ khá dài nên chỉ có một mục lục nhỏ. Vì vậy, “cuộc phỏng vấn” tuần tự sẽ như thế này:

– Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế (“phương pháp trường học”);
– Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng của hệ phương trình;
– Giải hệ phương trình sử dụng công thức Cramer;
– Giải hệ bằng ma trận nghịch đảo;
– Giải hệ phương trình Gaussian.

Mọi người đều quen thuộc với các hệ phương trình tuyến tính trong các khóa học toán ở trường. Về cơ bản, chúng tôi bắt đầu với sự lặp lại.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thế

Phương pháp này còn có thể được gọi là “phương pháp trường học” hoặc phương pháp loại bỏ những điều chưa biết. Nói một cách hình tượng, nó cũng có thể được gọi là “một phương pháp Gaussian chưa hoàn thiện”.

Ví dụ 1

Ở đây chúng ta được cho một hệ hai phương trình với hai ẩn số. Lưu ý rằng các số hạng tự do (số 5 và 7) nằm ở vế trái của phương trình. Nói chung, việc chúng ở đâu, bên trái hay bên phải không quan trọng, chỉ là trong các bài toán cao cấp, chúng thường nằm ở vị trí đó. Và việc ghi như vậy sẽ không gây nhầm lẫn; nếu cần, hệ thống luôn có thể được viết “như bình thường”: . Đừng quên rằng khi chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác, nó cần phải đổi dấu.

Việc giải một hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa gì? Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm ra nhiều nghiệm của nó. Lời giải của một hệ thống là một tập hợp các giá trị của tất cả các biến có trong nó, biến MỌI phương trình của hệ thống thành một đẳng thức thực sự. Ngoài ra, hệ thống có thể không khớp (không có giải pháp).Đừng ngại, đây là định nghĩa chung =) Chúng ta sẽ chỉ có một giá trị “x” và một giá trị “y”, thỏa mãn từng phương trình c-we.

Có một phương pháp đồ họa để giải hệ thống mà bạn có thể làm quen trên lớp. Các vấn đề đơn giản nhất với một dòng. Ở đó tôi đã nói về ý nghĩa hình học hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số. Nhưng bây giờ là thời đại của đại số, của số-số, hành động-hành động.

Hãy quyết định: từ phương trình đầu tiên chúng ta biểu thị:
Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai:

Chúng tôi mở ngoặc, thêm các thuật ngữ tương tự và tìm giá trị:

Tiếp theo, chúng ta nhớ chúng ta khiêu vũ vì mục đích gì:
Chúng ta đã biết giá trị, việc còn lại là tìm:

Trả lời:

Sau khi BẤT KỲ hệ phương trình nào được giải theo BẤT KỲ cách nào, tôi thực sự khuyên bạn nên kiểm tra (bằng miệng, trên bản nháp hoặc trên máy tính). May mắn thay, điều này được thực hiện dễ dàng và nhanh chóng.

1) Thay câu trả lời tìm được vào phương trình đầu tiên:

- thu được đẳng thức đúng.

2) Thay câu trả lời tìm được vào phương trình thứ hai:

- thu được đẳng thức đúng.

Hay nói một cách đơn giản hơn là “mọi thứ đều kết hợp với nhau”

Phương pháp giải được xem xét không phải là phương pháp duy nhất; từ phương trình đầu tiên có thể biểu thị , chứ không phải .
Bạn có thể làm ngược lại - biểu diễn giá trị nào đó từ phương trình thứ hai và thay nó vào phương trình thứ nhất. Nhân tiện, hãy lưu ý rằng phương pháp bất lợi nhất trong bốn phương pháp là biểu thị từ phương trình thứ hai:

Kết quả là phân số, nhưng tại sao? Có một giải pháp hợp lý hơn.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp bạn vẫn không thể làm được nếu không có phân số. Về vấn đề này, tôi muốn bạn chú ý đến CÁCH tôi viết ra biểu thức này. Không phải như thế này: và không bao giờ như thế này: .

Nếu trong môn toán cao hơn, bạn đang xử lý các số phân số, thì hãy thử thực hiện tất cả các phép tính theo phân số không chính xác thông thường.

Chính xác, và không hoặc!

Dấu phẩy đôi khi chỉ có thể được sử dụng, đặc biệt nếu đó là câu trả lời cuối cùng cho một số vấn đề và không cần thực hiện thêm hành động nào với số này.

Nhiều độc giả có lẽ đã nghĩ “tại sao lại giải thích chi tiết như vậy về lớp chỉnh sửa, mọi thứ đều rõ ràng”. Không có gì thuộc loại này cả, nó có vẻ giống như một ví dụ học đường đơn giản, nhưng có rất nhiều kết luận RẤT quan trọng! Đây là một cái khác:

Bạn nên cố gắng hoàn thành bất kỳ nhiệm vụ nào một cách hợp lý nhất. Nếu chỉ vì nó tiết kiệm thời gian và thần kinh, đồng thời cũng làm giảm khả năng mắc sai lầm.

Nếu trong một bài toán cao hơn, bạn gặp một hệ gồm hai phương trình tuyến tính có hai ẩn số, thì bạn luôn có thể sử dụng phương pháp thay thế (trừ khi có chỉ định rằng hệ này cần được giải bằng phương pháp khác. Không một giáo viên nào sẽ nghĩ đến). rằng bạn là một kẻ ngu ngốc và sẽ bị giảm điểm khi sử dụng “phương pháp học tập” "
Hơn nữa, trong một số trường hợp nên sử dụng phương pháp thay thế với số lượng biến lớn hơn.

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính ba ẩn

Một hệ phương trình tương tự thường phát sinh khi sử dụng cái gọi là phương pháp hệ số không xác định, khi chúng ta tìm tích phân của hàm hữu tỉ phân số. Hệ thống được đề cập đã được tôi lấy từ đó.

Khi tìm tích phân, mục tiêu là nhanh tìm giá trị của các hệ số, thay vì sử dụng công thức Cramer, phương pháp ma trận nghịch đảo, v.v. Vì vậy, trong trường hợp này, phương pháp thay thế là phù hợp.

Khi đưa ra bất kỳ hệ phương trình nào, trước hết người ta muốn tìm hiểu xem liệu có thể đơn giản hóa nó NGAY LẬP TỨC bằng cách nào đó không? Phân tích các phương trình của hệ, chúng ta nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ có thể chia cho 2, đó là điều chúng ta làm:

Thẩm quyền giải quyết: ký hiệu toán học có nghĩa là “từ cái này đến cái kia” và thường được sử dụng trong việc giải các bài toán.

Bây giờ hãy phân tích các phương trình; chúng ta cần biểu thị một số biến theo các biến khác. Tôi nên chọn phương trình nào? Có lẽ bạn đã đoán được rằng cách dễ nhất cho mục đích này là lấy phương trình đầu tiên của hệ:

Ở đây, bất kể biến nào cần biểu thị, người ta có thể dễ dàng biểu thị hoặc .

Tiếp theo, chúng ta thay biểu thức vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Chúng tôi mở ngoặc và trình bày các thuật ngữ tương tự:

Chia phương trình thứ ba cho 2:

Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu diễn và thay thế vào phương trình thứ ba:

Hầu hết mọi thứ đã sẵn sàng, từ phương trình thứ ba, chúng ta tìm thấy:
Từ phương trình thứ hai:
Từ phương trình đầu tiên:

Kiểm tra: Thay giá trị tìm được của các biến vào vế trái mỗi phương trình của hệ:

1)
2)
3)

Thu được vế phải tương ứng của các phương trình, do đó nghiệm được tìm ra chính xác.

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính với 4 ẩn số

Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).

Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng của hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình tuyến tính, bạn nên cố gắng không sử dụng “phương pháp trường học” mà là phương pháp cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình của hệ. Tại sao? Điều này giúp tiết kiệm thời gian và đơn giản hóa việc tính toán, tuy nhiên, giờ đây mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng hơn.

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính:

Tôi lấy hệ thống tương tự như trong ví dụ đầu tiên.
Phân tích hệ phương trình, ta nhận thấy các hệ số của biến giống nhau về độ lớn và trái dấu (-1 và 1). Trong tình huống như vậy, các phương trình có thể được thêm từng số hạng:

Các hành động được khoanh tròn màu đỏ được thực hiện TÂM TRÍ.
Như bạn có thể thấy, do việc cộng từng số hạng nên chúng ta đã mất biến. Trên thực tế, đây là điều bản chất của phương pháp là loại bỏ một trong các biến.

Phương pháp Gaussian có một số nhược điểm: không thể biết hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gaussian được thực hiện; Phương pháp Gauss không phù hợp với các hệ thống có hệ số chữ cái.

Hãy xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm thứ hạng ma trận và quy gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống nhất quán nào thành nghiệm của hệ thống áp dụng quy tắc Cramer.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau bằng cách sử dụng hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm cụ thể của hệ không đồng nhất.

1. Lập ma trận MỘT và ma trận hệ thống mở rộng (1)

2. Khám phá hệ thống (1) cho sự đoàn kết. Để làm điều này, chúng ta tìm thứ hạng của ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" Height="26 src=">). Nếu đúng như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta hiểu được điều đó , thì hệ này nghiệm và ta sẽ giải được. (Nghiên cứu tính tương thích dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

Một. Chúng tôi tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng ta sẽ xem xét tuần tự các phần tử thứ khác 0 của bậc thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận MỘT và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1=1≠0 (chúng ta lấy 1 từ góc trên bên trái của ma trận MỘT).

Chúng tôi biên giới M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif" width="37" Height="20 src=">. Bây giờ chúng ta viền số nhỏ khác 0 M2' lệnh thứ hai.

Chúng tôi có: (vì 2 cột đầu giống nhau)

(vì dòng thứ hai và thứ ba tỷ lệ thuận với nhau).

Chúng tôi thấy điều đó rA=2, a là cơ số thứ của ma trận MỘT.

b. Chúng tôi tìm thấy.

Tiểu học khá cơ bản M2' ma trận MỘT viền bằng một cột các thuật ngữ miễn phí và tất cả các hàng (chúng tôi chỉ có hàng cuối cùng).

. Nó theo sau đó M3′′ vẫn là phần phụ cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 Height=75" Height="75"> (2)

Bởi vì M2'- cơ sở thứ của ma trận MỘT hệ thống (2) , thì hệ này tương đương với hệ (3) , gồm hai phương trình đầu tiên của hệ (2) (vì M2' nằm ở hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì trẻ vị thành niên cơ bản https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" Height="51"> (4)

Trong hệ thống này có hai ẩn số miễn phí ( x2 Và x4 ). Đó là lý do tại sao FSR hệ thống (4) gồm hai giải pháp. Để tìm thấy chúng, chúng tôi gán những ẩn số miễn phí trong (4) giá trị đầu tiên x2=1 , x4=0 , và sau đó - x2=0 , x4=1 .

Tại x2=1 , x4=0 chúng tôi nhận được:

Hệ thống này đã có rồi điều duy nhất giải pháp (có thể tìm thấy nó bằng quy tắc Cramer hoặc bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai, chúng ta nhận được:

Giải pháp của cô ấy sẽ là x1= -1 , x3=0 . Cho các giá trị x2 Và x4 , mà chúng tôi đã thêm vào, chúng tôi thu được nghiệm cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi tin vào (4) x2=0 , x4=1 . Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi giải hệ thống này bằng định lý Cramer:

Ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai của hệ (2) : .

Giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Khi đó giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Đây C1 , C2 – hằng số tùy ý.

4. Hãy tìm một cái riêng tư giải pháp hệ thống không đồng nhất(1) . Như ở đoạn 3 , thay vì hệ thống (1) Hãy xem xét một hệ thống tương đương (5) , gồm hai phương trình đầu tiên của hệ (1) .

(5)

Chúng ta hãy di chuyển những ẩn số tự do sang phía bên phải x2 Và x4.

(6)

Hãy cho đi những ẩn số miễn phí x2 Và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2=2 , x4=1 và đặt chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ này có nghiệm duy nhất (vì định thức của nó M2′0). Giải nó (dùng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), ta thu được x1=3 , x3=3 . Cho các giá trị của ẩn số miễn phí x2 Và x4 , chúng tôi nhận được nghiệm cụ thể của hệ không đồng nhất(1)α1=(3,2,3,1).

5. Bây giờ tất cả những gì còn lại là viết nó ra nghiệm tổng quát α của hệ không đồng nhất(1) : nó bằng tổng giải pháp riêng hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất rút gọn của nó (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Điều này có nghĩa là: (7)

6. Bài kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải đúng hệ thống chưa (1) , chúng ta cần một giải pháp tổng thể (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành đẳng thức ( C1 Và C2 phải bị phá hủy), thì giải pháp được tìm thấy chính xác.

Chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ có phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Chúng ta nhận được: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Trong đó –1=–1. Chúng tôi đã có danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Bình luận. Việc kiểm tra thường khá cồng kềnh. Có thể khuyến nghị “kiểm tra từng phần” sau đây: trong giải pháp chung của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm từng phần thu được vào các phương trình bị loại bỏ (tức là vào các phương trình đó từ (1) , không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, thì nhiều khả năng hơn, giải pháp hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo hoàn toàn về tính chính xác!). Ví dụ, nếu ở (7) đặt C2=- 1 , C1=1, thì ta được: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1=–1. Chúng tôi đã có danh tính.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính (1) , biểu diễn những ẩn số cơ bản dưới dạng những ẩn số tự do.

Giải pháp. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận MỘT và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" Height="50"> của các ma trận này. Bây giờ chúng ta chỉ để lại những phương trình đó của hệ thống (1) , các hệ số của chúng được bao gồm trong phần cơ bản nhỏ này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét một hệ bao gồm chúng, tương đương với hệ (1).

Chúng ta hãy chuyển các ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) Chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi vế phải là các số hạng tự do.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 chiều cao=106" chiều cao="106">

Tùy chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" Height="106 src=">

Tùy chọn 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" Height="80">

Tùy chọn 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 chiều cao=106" chiều cao="106">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" Height="106">