Khi nghiên cứu tính chất phương trình bậc hai một hạn chế đã được đặt ra - đối với một phân biệt nhỏ hơn 0, không có giải pháp nào. Nó ngay lập tức được tuyên bố rằng chúng ta đang nói về về tập số thực. Bộ óc tò mò của một nhà toán học sẽ quan tâm đến bí mật gì ẩn chứa trong mệnh đề về giá trị thực?

Theo thời gian, các nhà toán học đã đưa ra khái niệm số phức, trong đó số 1 được coi là ý nghĩa có điều kiện căn bậc hai của trừ một.

Bối cảnh lịch sử

Lý thuyết toán học phát triển tuần tự từ đơn giản đến phức tạp. Hãy cùng tìm hiểu xem khái niệm "số phức" nảy sinh như thế nào và tại sao nó lại cần thiết.

Từ thời xa xưa, nền tảng của toán học là phép tính thông thường. Các nhà nghiên cứu chỉ biết tập hợp các giá trị tự nhiên. Phép cộng và phép trừ rất đơn giản. Khi quan hệ kinh tế trở nên phức tạp hơn, thay vì bổ sung giá trị giống nhau bắt đầu sử dụng phép nhân. Phép toán nghịch đảo của phép nhân xuất hiện - phép chia.

Khái niệm số tự nhiên đã hạn chế việc sử dụng các phép tính số học. Không thể giải được tất cả các bài toán chia trên một tập hợp các giá trị nguyên. dẫn đầu tiên đến khái niệm giá trị hợp lý, và sau đó đến giá trị vô lý. Nếu đối với hợp lý thì có thể chỉ ra vị trí chính xác của một điểm trên một đường thẳng, thì đối với hợp lý thì không thể chỉ ra một điểm như vậy. Bạn chỉ có thể chỉ ra khoảng cách vị trí một cách gần đúng. Kết hợp hợp lý và số vô tỉ tạo thành một tập hợp thực, có thể được biểu diễn dưới dạng một đường nhất định với một tỷ lệ nhất định. Mỗi bước dọc theo đường thẳng là một số tự nhiên và giữa chúng là các giá trị hữu tỷ và vô tỷ.

Một kỷ nguyên đã bắt đầu toán lý thuyết. Sự phát triển của thiên văn học, cơ học và vật lý đòi hỏi các giải pháp ngày càng phương trình phức tạp. Ở dạng tổng quát, nghiệm của phương trình bậc hai đã được tìm thấy. Khi giải quyết phức tạp hơn đa thức bậc ba các nhà khoa học đang phải đối mặt với một mâu thuẫn. Ý tưởng căn bậc ba từ âm nó có ý nghĩa, nhưng đối với bình phương nó dẫn đến sự không chắc chắn. Trong trường hợp này phương trình bậc hai chỉ trường hợp đặc biệt khối.

Năm 1545, G. Cardano người Ý đề xuất đưa ra khái niệm về số ảo.

Con số này trở thành căn bậc hai của âm một. Thuật ngữ số phức cuối cùng đã được hình thành chỉ ba trăm năm sau, trong các công trình nhà toán học nổi tiếng Gauss. Ông đề xuất chính thức mở rộng tất cả các định luật đại số thành một số ảo. Đường thực đã mở rộng thành một mặt phẳng. Thế giới đã trở nên lớn hơn.

Khái niệm cơ bản

Chúng ta hãy nhớ lại một số hàm có các hạn chế trên tập thực:

• y = arcsin(x), được xác định trong phạm vi giá trị giữa đơn vị âm và dương.
• y = ln(x), có ý nghĩa đối với các lập luận khẳng định.
• căn bậc hai y = √x, chỉ tính cho x ≥ 0.

Bằng cách ký hiệu i = √(-1), chúng tôi đưa ra một khái niệm như số ảo, điều này sẽ cho phép chúng tôi loại bỏ tất cả các hạn chế khỏi miền định nghĩa của các hàm trên. Các biểu thức như y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) có ý nghĩa trong một không gian số phức nhất định.

Dạng đại số có thể viết là z = x + i×y trên tập giá trị thực x và y và i 2 = -1.

Khái niệm mới loại bỏ mọi hạn chế trong việc sử dụng bất kỳ hàm đại số nào và hình thức của nó giống như một đồ thị của một đường thẳng trong tọa độ của các giá trị thực và ảo.

Mặt phẳng phức

Hình dạng hình học số phức giúp ta có thể hình dung được nhiều tính chất của chúng. Dọc theo trục Re(z) ta đánh dấu các giá trị thực của x, dọc theo Im(z) - giá trị ảo của y thì điểm z trên mặt phẳng sẽ hiển thị giá trị phức cần thiết.

định nghĩa:

• Re(z) - trục thực.
• Im(z) - có nghĩa là trục ảo.
• z là điểm điều kiện của số phức.
• Giá trị số chiều dài vectơ từ điểm khôngđến z được gọi là mô đun.
• Trục thực và trục ảo chia mặt phẳng thành các phần tư. Tại giá trị dương tọa độ - tôi quý. Khi đối số của trục thực nhỏ hơn 0 và trục ảo lớn hơn 0 - quý thứ hai. Khi tọa độ âm - quý III. Quý IV cuối cùng chứa nhiều giá trị thực dương và giá trị ảo âm.

Do đó, trên mặt phẳng có tọa độ x và y, bạn luôn có thể mô tả trực quan một điểm của số phức. Ký hiệu i được đưa vào để phân biệt phần thực với phần ảo.

Của cải

1. Với giá trị 0 của đối số ảo, chúng ta chỉ cần thu được một số (z = x), nằm trên trục thực và thuộc tập thực.
2. Trường hợp đặc biệt, khi giá trị của đối số thực bằng 0, biểu thức z = i×y tương ứng với vị trí của điểm trên trục ảo.
3. Dạng tổng quát z = x + i×y sẽ dành cho các giá trị khác 0 của các đối số. Cho biết vị trí của điểm đặc trưng cho số phức ở một trong các phần tư.

ký hiệu lượng giác

Nhắc lại hệ tọa độ cực và định nghĩa tội lỗi và cos. Rõ ràng, bằng cách sử dụng các hàm này, bạn có thể mô tả vị trí của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng. Để làm được điều này, chỉ cần biết độ dài của tia cực và góc nghiêng so với trục thực là đủ.

Sự định nghĩa. Ký hiệu dạng ∣z ∣ nhân với tổng lượng giác hàm cos(ϴ) và phần ảo i ×sin(ϴ), được gọi là số phức lượng giác. Ở đây ta sử dụng ký hiệu góc nghiêng so với trục thực

ϴ = arg(z) và r = ∣z∣, độ dài chùm tia.

Từ định nghĩa và tính chất của hàm lượng giác, nó tuân theo rất công thức quan trọng Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Sử dụng công thức này sẽ thuận tiện cho việc giải nhiều hệ phương trình chứa hàm lượng giác. Đặc biệt là khi vấn đề lũy thừa phát sinh.

Mô-đun và pha

Để hoàn thành mô tả tập hợp phức tạp chúng tôi sẽ cung cấp hai định nghĩa quan trọng.

Biết định lý Pythagore, người ta dễ dàng tính được độ dài của tia hệ thống cực tọa độ

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), ký hiệu như vậy trong không gian phức được gọi là “mô đun” và đặc trưng cho khoảng cách từ 0 đến một điểm trên mặt phẳng.

Góc nghiêng của tia phức so với đường thực ϴ thường được gọi là pha.

Từ định nghĩa, rõ ràng phần thực và phần ảo được mô tả bằng các hàm tuần hoàn. Cụ thể là:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Ngược lại, pha có mối liên hệ với giá trị đại số thông qua công thức:

ϴ = arctan(x / y) + µ, phép hiệu chỉnh µ được đưa ra để tính đến tính tuần hoàn hàm hình học.

công thức Euler

Các nhà toán học thường sử dụng dạng hàm mũ. Các số trong mặt phẳng phức được viết dưới dạng biểu thức

z = r × e i × ϴ, suy ra từ công thức Euler.

Tôi đã nhận được mục này rộng rãiđể tính toán thực tế đại lượng vật lý. Dạng biểu diễn dưới dạng số phức hàm mũ đặc biệt thuận tiện cho các phép tính kỹ thuật, trong đó cần tính toán các mạch có dòng điện hình sin và cần biết giá trị tích phân của các hàm với một chu kỳ nhất định. Bản thân các phép tính đóng vai trò như một công cụ trong việc thiết kế các máy móc và cơ chế khác nhau.

Xác định hoạt động

Như đã lưu ý, tất cả các định luật đại số khi làm việc với các hàm toán học cơ bản đều áp dụng cho số phức.

Phép tính tổng

Khi cộng các giá trị phức, phần thực và phần ảo của chúng cũng cộng lại.

z = z 1 + z 2, trong đó z 1 và z 2 là số phức cái nhìn tổng quát. Biến đổi biểu thức, sau khi mở ngoặc và đơn giản ký hiệu, ta được lập luận thực sự x=(x 1 + x 2), đối số ảo y = (y 1 + y 2).

Trên biểu đồ, nó trông giống như phép cộng hai vectơ, theo quy tắc hình bình hành nổi tiếng.

Phép trừ

Nó được coi là một trường hợp đặc biệt của phép cộng, khi một số dương, số kia âm, nghĩa là nằm trong một phần tư gương. Ký hiệu đại số trông giống như sự khác biệt giữa phần thực và phần ảo.

z = z 1 - z 2 hoặc, có tính đến các giá trị của các đối số, tương tự như phép cộng, chúng ta thu được cho các giá trị thực x = (x 1 - x 2) và các giá trị ảo y = (y 1 - y 2).

Phép nhân trong mặt phẳng phức

Sử dụng các quy tắc làm việc với đa thức, chúng ta sẽ rút ra được công thức giải số phức.

Tuân theo các quy tắc đại số tổng quát z=z 1 ×z 2, chúng tôi mô tả từng lập luận và trình bày những lập luận tương tự. Phần thực và phần ảo có thể viết như sau:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Nó trông đẹp hơn nếu chúng ta sử dụng số phức hàm mũ.

Biểu thức trông như thế này: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Phân công

Khi coi phép chia là nghịch đảo của phép nhân, theo ký hiệu số mũ, chúng ta thu được một biểu thức đơn giản. Chia giá trị của z 1 cho z 2 là kết quả của việc chia mô-đun của chúng và độ lệch pha. Về mặt hình thức, khi sử dụng dạng hàm mũ của số phức, nó trông như thế này:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Ở dạng ký hiệu đại số, phép chia số trong mặt phẳng phức được viết phức tạp hơn một chút:

Tuy nhiên, bằng cách mô tả các đối số và thực hiện các phép biến đổi của đa thức, có thể dễ dàng thu được các giá trị x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, tương ứng là y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , trong khuôn khổ không gian được mô tả, biểu thức này có ý nghĩa nếu z 2 ≠ 0.

Trích xuất gốc

Tất cả những điều trên có thể được sử dụng để xác định các hàm đại số phức tạp hơn - nâng lên lũy thừa bất kỳ và nghịch đảo của nó - rút ra nghiệm.

Lợi dụng khái niệm chung Nâng lên lũy thừa n, ta có định nghĩa:

z n = (r × e i ϴ) n .

Sử dụng các tính chất chung, chúng ta viết lại nó dưới dạng:

z n = r n × e i ϴ n .

Đã nhận công thức đơn giản nâng một số phức lên lũy thừa.

Từ định nghĩa về mức độ, chúng ta thu được một hệ quả tất yếu rất quan trọng. lũy thừa chẵn của đơn vị ảo luôn bằng 1. lũy thừa lẻ của đơn vị ảo luôn bằng -1.

Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu hàm nghịch đảo- chiết xuất rễ.

Để đơn giản về ký hiệu, chúng ta lấy n = 2. Căn bậc hai w của một giá trị phức z trên mặt phẳng phức C thường được coi là biểu thức z = ±, hợp lệ cho bất kỳ đối số thực nào lớn hơn hoặc bằng 0. Với w 0 thì không có nghiệm.

Chúng ta hãy xem phương trình bậc hai đơn giản nhất z 2 = 1. Sử dụng các công thức cho số phức, chúng ta viết lại r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Từ bản ghi rõ ràng rằng r 2 = 1 và ϴ = 0, do đó, chúng ta có giải pháp duy nhất, bằng 1. Nhưng điều này mâu thuẫn với khái niệm z = -1, cũng phù hợp với định nghĩa căn bậc hai.

Hãy tìm hiểu những gì chúng ta không tính đến. Nếu chúng ta nhớ ký hiệu lượng giác, sau đó chúng tôi khôi phục câu lệnh - khi thay đổi định kỳ pha ϴ số phức không thay đổi. Ta hãy biểu thị giá trị của khoảng thời gian bằng ký hiệu p thì mệnh đề sau đúng: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), từ đó 2ϴ = 0 + p, hoặc ϴ = p / 2. Do đó, e i 0 = 1 và e i p /2 = -1 . Chúng tôi đã nhận được giải pháp thứ hai, tương ứng với sự hiểu biết chung căn bậc hai.

Vì vậy, để tìm nghiệm nguyên tùy ý của một số phức, ta thực hiện theo quy trình.

• Viết dạng hàm mũ w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k là số nguyên tùy ý.
• Chúng ta cũng có thể biểu diễn số cần tìm bằng dạng Euler z = r × e i ϴ .
• Hãy tận dụng định nghĩa chung các hàm trích xuất gốc r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Từ tính chất chung sự bằng nhau của các mô-đun và đối số, chúng ta viết r n = ∣w∣ và nϴ = arg (w) + p×k.
• Ký hiệu cuối cùng cho nghiệm của số phức được mô tả bằng công thức z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Bình luận. Giá trị ∣w∣, theo định nghĩa, là một số thực dương, có nghĩa là nghiệm của bất kỳ lũy thừa nào đều có ý nghĩa.

Cánh đồng và bạn đời

Để kết luận, chúng tôi đưa ra hai định nghĩa quan trọng ít có ý nghĩa đối với lời giải bài toán ứng dụng với số phức nhưng có ý nghĩa quan trọng đối với phát triển hơn nữa lý thuyết toán học.

Các biểu thức cộng và nhân được gọi là tạo thành một trường nếu chúng thỏa mãn các tiên đề cho bất kỳ phần tử nào của mặt phẳng phức z:

1. Thay đổi vị trí của các số hạng phức không làm thay đổi tổng phức.
2. Tuyên bố này là đúng - trong biểu hiện phức tạp bất kỳ tổng nào của hai số đều có thể được thay thế bằng giá trị của chúng.
3. Có một giá trị trung tính 0 mà z + 0 = 0 + z = z là đúng.
4. Với bất kỳ z nào cũng có một số đối - z, phép cộng của nó sẽ cho kết quả bằng 0.
5. Khi thay đổi vị trí của các thừa số phức thì tích phức không thay đổi.
6. Phép nhân của hai số bất kỳ có thể được thay thế bằng giá trị của chúng.
7. Có một giá trị trung tính 1, nhân với giá trị này không làm thay đổi số phức.
8. Với mọi z ≠ 0, có một giá trị nghịch đảo z -1, nhân với kết quả là 1.
9. Nhân tổng của hai số với một phần ba tương đương với thao tác nhân từng số đó với số đó và cộng kết quả.
10. 0 ≠ 1.

Các số z 1 = x + i×y và z 2 = x - i×y được gọi là liên hợp.

Định lý.Để ghép nối, tuyên bố sau đây là đúng:

• Liên hợp của một tổng bằng tổng các phần tử liên hợp.
• Liên hợp của một sản phẩm bằng tích của các liên hợp.
• bằng chính số đó.

Trong đại số tổng quát, những tính chất như vậy thường được gọi là tính tự đồng cấu của trường.

Ví dụ

Tuân theo các quy tắc và công thức nhất định cho số phức, bạn có thể dễ dàng thao tác với chúng.

Hãy xem xét các ví dụ đơn giản nhất.

Nhiệm vụ 1. Sử dụng phương trình 3y +5 x i= 15 - 7i, xác định x và y.

Giải pháp. Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về đẳng thức phức, khi đó 3y = 15, 5x = -7. Do đó x = -7/5, y = 5.

Nhiệm vụ 2. Tính các giá trị của 2 + i 28 và 1 + i 135.

Giải pháp. Rõ ràng là 28 - số chẵn, từ hệ quả của định nghĩa số phức đến lũy thừa ta có i 28 = 1, nghĩa là biểu thức là 2 + i 28 = 3. Giá trị thứ hai i 135 = -1 thì 1 + i 135 = 0 .

Nhiệm vụ 3. Tính tích của các giá trị 2 + 5i và 4 + 3i.

Giải pháp. Từ tính chất tổng quát của phép nhân số phức, ta thu được (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Giá trị mới sẽ là -7 + 26i.

Nhiệm vụ 4. Tính nghiệm của phương trình z 3 = -i.

Giải pháp. Có thể có một số lựa chọn để tìm số phức. Hãy xem xét một trong những điều có thể. Theo định nghĩa, ∣ - i∣ = 1, pha của -i là -p / 4. Phương trình ban đầu có thể được viết lại thành r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, từ đó z = e - p / 12 + pk /3 , với mọi số nguyên k.

Tập nghiệm có dạng (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Tại sao cần có số phức?

Lịch sử biết nhiều ví dụ khi các nhà khoa học nghiên cứu lý thuyết thậm chí không nghĩ đến việc áp dụng kết quả của họ vào thực tế. Toán học trước hết là một trò chơi của trí óc, là sự tuân thủ chặt chẽ các mối quan hệ nhân quả. Hầu hết mọi thứ các công thức toán họcđược giảm xuống để giải quyết tích phân và phương trình vi phân, và những cái đó, với một số xấp xỉ nào đó, được giải bằng cách tìm nghiệm của các đa thức. Ở đây lần đầu tiên chúng ta gặp phải nghịch lý của số ảo.

Các nhà khoa học tự nhiên, quyết định hoàn toàn vấn đề thực tế, áp dụng các giải pháp các phương trình khác nhau, khám phá những nghịch lý toán học. Việc giải thích những nghịch lý này dẫn đến những khám phá hoàn toàn đáng ngạc nhiên. Bản chất kép sóng điện từ một ví dụ như vậy số phứcđóng vai trò quyết định trong việc tìm hiểu các đặc tính của chúng.

Điều này lần lượt tìm thấy ứng dụng thực tế trong quang học, điện tử vô tuyến, năng lượng và nhiều lĩnh vực công nghệ khác. Một ví dụ khác, khó hiểu hơn nhiều hiện tượng vật lý. Phản vật chất đã được dự đoán ở đầu bút. Và chỉ nhiều năm sau, những nỗ lực tổng hợp nó về mặt vật lý mới bắt đầu.

Người ta không nên nghĩ rằng những tình huống như vậy chỉ tồn tại trong vật lý. Không kém khám phá thú vị xảy ra trong tự nhiên sống, trong quá trình tổng hợp các đại phân tử, trong quá trình nghiên cứu trí tuệ nhân tạo. Và tất cả điều này là nhờ vào sự mở rộng ý thức của chúng ta, tránh xa việc cộng và trừ đơn giản các đại lượng tự nhiên.

TRONG toán học hiện đại số phức là một trong những khái niệm cơ bản nhất, được ứng dụng trong “ khoa học thuần túy", và trong lĩnh vực ứng dụng. Rõ ràng là điều này không phải luôn luôn như vậy. Vào thời cổ đại, khi ngay cả những số âm thông thường dường như là một sự đổi mới kỳ lạ và đáng ngờ, thì nhu cầu mở rộng phép tính căn bậc hai cho chúng không hề rõ ràng. Tuy nhiên, trong giữa thế kỷ 16 nhà toán học thế kỷ Raphael Bombelli giới thiệu phức chất (trong trong trường hợp này chính xác hơn là số ảo) đang lưu hành. Trên thực tế, tôi đề nghị xem xét bản chất của những khó khăn cuối cùng đã đưa người Ý đáng kính đến tình trạng cực đoan như vậy là gì.

Có một quan niệm sai lầm phổ biến rằng cần phải có số phức để giải phương trình bậc hai. Trên thực tế, điều này hoàn toàn sai: nhiệm vụ tìm nghiệm của phương trình bậc hai không hề thúc đẩy việc đưa ra các số phức. Điều đó thật hoàn hảo.

Chúng ta hãy tự mình xem. Bất kỳ phương trình bậc hai nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:
.
Về mặt hình học, điều này có nghĩa là chúng ta muốn tìm giao điểm của một đường thẳng nhất định và một parabol
Tôi thậm chí còn chụp một bức ảnh ở đây để minh họa.

Như chúng ta đều biết rõ ở trường, nghiệm của phương trình bậc hai (trong các ký hiệu trên) được tìm bằng công thức sau:

Có 3 lựa chọn có thể:
1. Biểu thức căn thức là dương.
2. Biểu thức căn thức bằng 0.
3. Biểu thức căn thức là âm.

Trường hợp thứ nhất có 2 rễ khác nhau, ở trường hợp thứ hai có hai phương trình trùng nhau, ở trường hợp thứ ba phương trình “không giải được”. Tất cả những trường hợp này đều có cách giải thích hình học rất rõ ràng:
1. Một đường thẳng cắt một parabol (đường màu xanh trong hình).
2. Một đường thẳng tiếp xúc với một parabol.
3. Đường thẳng không liên quan gì đến parabol điểm chung(đường màu hoa cà trong hình).

Tình huống đơn giản, logic và nhất quán. Hoàn toàn không có lý do gì để cố gắng lấy căn bậc hai của một số âm. Thậm chí không ai thử.

Tình hình thay đổi đáng kể khi tư duy toán học tò mò đạt đến phương trình bậc ba. Ít rõ ràng hơn một chút, bằng cách sử dụng một số thay thế đơn giản, bất kỳ phương trình bậc ba nào cũng có thể được rút gọn về dạng: . Từ quan điểm hình học, tình huống tương tự như tình huống trước: chúng ta đang tìm giao điểm của một đường thẳng và một parabol bậc ba.
Hãy nhìn vào hình ảnh:

Sự khác biệt đáng kể so với phương trình bậc hai là cho dù chúng ta chọn đường thẳng nào thì nó sẽ luôn cắt parabol. Nghĩa là, xét thuần túy về mặt hình học, một phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm.
Bạn có thể tìm thấy nó bằng công thức Cardano:

Ở đâu
.
Hơi cồng kềnh, nhưng cho đến nay mọi thứ dường như đã ổn định. Hay không?

Nói chung, công thức Cardano là tấm gương sáng"Nguyên tắc của Arnold" trong hành động. Và điều đặc biệt là Cardano chưa bao giờ tuyên bố quyền tác giả của công thức này.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay trở lại với đàn cừu của mình. Công thức này thật đáng chú ý, không hề cường điệu, là một thành tựu to lớn của toán học vào đầu đến giữa thế kỷ 16. Nhưng cô ấy có một sắc thái.
Hãy lấy ví dụ cổ điển, điều này cũng được Bombelli xem xét:
.
Đột nhiên,
,
và theo đó,
.
Chúng tôi đã đến nơi. Thật tiếc cho công thức, nhưng công thức thì hay. Ngõ cụt. Mặc dù thực tế là phương trình chắc chắn có nghiệm.

Ý tưởng của Rafael Bombelli là như sau: chúng ta hãy giả làm một cái ống nước và giả vờ rằng gốc của một số âm là một loại số nào đó. Tất nhiên, chúng ta biết rằng không có những con số như vậy, tuy nhiên, hãy tưởng tượng rằng nó tồn tại và làm thế nào số thường xuyên, có thể được cộng với những cái khác, nhân lên, nâng lên lũy thừa, v.v.

Đặc biệt, bằng cách sử dụng cách tiếp cận tương tự, Bombelli nhận thấy rằng
,
Và
.
Hãy kiểm tra:
.
Xin lưu ý rằng trong các phép tính, không có giả định nào được đưa ra về tính chất của căn bậc hai của số âm, ngoại trừ giả định đã đề cập ở trên rằng chúng hoạt động giống như các số “bình thường”.

Tổng cộng chúng tôi nhận được . Đó là câu trả lời khá chính xác, có thể dễ dàng xác minh bằng cách thay thế trực tiếp. Đó là một bước đột phá thực sự. Đột phá vào mặt phẳng phức tạp.

Tuy nhiên, những phép tính như vậy trông giống như một loại phép thuật nào đó, một thủ thuật toán học. Thái độ coi chúng như một trò lừa bịp nào đó đã tồn tại trong các nhà toán học trong một thời gian rất dài. Trên thực tế, cái tên “số ảo”, do Rene Descartes phát minh ra cho gốc của số âm, phản ánh đầy đủ thái độ của các nhà toán học thời đó đối với trò giải trí như vậy.

Tuy nhiên, thời gian trôi qua, “thủ thuật” này đã được sử dụng với tiếp tục thành công Tuy nhiên, quyền lực của “số ảo” trong mắt cộng đồng toán học ngày càng tăng lên, tuy nhiên, bị hạn chế bởi sự bất tiện trong việc sử dụng chúng. Chỉ có Leonhard Euler mới nhận được (nhân tiện, chính ông là người đã đưa ra cách gọi phổ biến hiện nay cho đơn vị ảo) của công thức nổi tiếng

đã mở đường cho số phức đến với nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và các ứng dụng của nó. Nhưng đó là một câu chuyện hoàn toàn khác.

số phức

tưởng tượng Và số phức. Abscissa và tọa độ

số phức. Liên hợp số phức.

Các phép toán với số phức. hình học

biểu diễn số phức. Mặt phẳng phức tạp.

Môđun và đối số của số phức. lượng giác

dạng số phức. Các thao tác phức tạp

số trong dạng lượng giác. Công thức Moivre.

Thông tin ban đầuồ tưởng tượng Và số phức được đưa ra trong phần “Số ảo và số phức”. Sự cần thiết của những số kiểu mới này nảy sinh khi giải phương trình bậc hai cho trường hợpD< 0 (здесь D– phân biệt của phương trình bậc hai). Đã lâu rồi không tìm thấy những con số này ứng dụng vật lý, đó là lý do tại sao chúng được gọi là số "ảo". Tuy nhiên, hiện nay chúng được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau.

và công nghệ: kỹ thuật điện, thủy văn và khí động học, lý thuyết đàn hồi, v.v.

số phức được viết dưới dạng:a+bi. Đây Một Và b – số thực , MỘT Tôi – đơn vị tưởng tượng, tức làđ. Tôi 2 = –1. Con số Một gọi điện cơ bụng, Một b – tọa độsố phứca + bi.Hai số phứca+bi Và a–bi được gọi là liên hợp số phức.

Các thỏa thuận chính:

1. Số thựcMỘTcũng có thể viết dưới dạngsố phức:một+ 0 Tôi hoặc Một - 0 Tôi. Ví dụ: bản ghi 5 + 0Tôi và 5 – 0 Tôicó nghĩa là cùng một số 5 .

2. Số phức 0 + bigọi điện hoàn toàn là tưởng tượng con số. Ghibicó nghĩa giống như 0 + bi.

3. Hai số phứca+bi Vàc + diđược coi là bằng nhau nếua = c Và b = d. TRONG nếu không thì số phức không bằng nhau.

Phép cộng. Tổng các số phứca+bi Và c + diđược gọi là số phức (a+c ) + (b+d ) Tôi.Như vậy, khi thêm số phức, hoành độ và tọa độ của chúng được cộng riêng.

Định nghĩa này tương ứng với các quy tắc thực hiện các phép tính với đa thức thông thường.

Phép trừ. Hiệu của hai số phứca+bi(giảm dần) và c + di(trừ) được gọi là số phức (a–c ) + (b–d ) Tôi.

Như vậy, Khi trừ hai số phức, hoành độ và tọa độ của chúng được trừ riêng.

Phép nhân. Tích của số phứca+bi Và c + di được gọi là số phức:

(ac-bd ) + (quảng cáo+bc ) Tôi.Định nghĩa này tuân theo hai yêu cầu:

1) số a+bi Và c + diphải được nhân như đại số nhị thức,

2) số Tôicó tài sản chính:Tôi 2 = – 1.

VÍ DỤ ( a+bi )(a–bi) = một 2 +b 2 . Kể từ đây, công việc

hai số phức liên hợp bằng số thực

một số dương.

Phân công. Chia một số phứca+bi (chia) cho người khácc + di(dải chia) - có nghĩa là tìm số thứ bae + f tôi(trò chuyện), khi nhân với số chiac + di, dẫn đến cổ tứca + bi.

Nếu số chia không bằng 0, phép chia luôn có thể thực hiện được.

VÍ DỤ Tìm (8 +Tôi ) : (2 – 3 Tôi) .

Giải: Viết lại tỉ số này dưới dạng phân số:

Nhân tử số và mẫu số của nó với 2 + 3Tôi

VÀ Thực hiện tất cả các phép biến đổi, ta được:

Biểu diễn hình học của số phức. Số thực được biểu diễn bằng các điểm trên trục số:

Đây là điểm MỘTnghĩa là số –3, dấu chấmB– số 2, và ồ- không. Ngược lại, số phức được biểu diễn bằng các dấu chấm trên mặt phẳng tọa độ. Với mục đích này, chúng tôi chọn tọa độ hình chữ nhật (Cartesian) có cùng tỷ lệ trên cả hai trục. Khi đó số phứca+bi sẽ được biểu thị bằng dấu chấm P với abscissa a và thứ tự b (xem hình). Hệ tọa độ này được gọi là mặt phẳng phức tạp .

mô-đun số phức là độ dài của vectơOP, biểu thị số phức trên tọa độ ( toàn diện) máy bay. Môđun của số phứca+bi ký hiệu | a+bi| hoặc thư r

Trang mới 1

Số phức dành cho người mới học Bài 1. Chúng là gì và chúng dùng để ăn gì. Đơn vị tưởng tượng

Để hiểu số phức là gì, chúng ta hãy nhớ về số thông thường và xem xét chúng một cách toàn diện. Và vì vậy, điều đơn giản nhất là tự nhiên những con số. Chúng được gọi là tự nhiên bởi vì thông qua chúng, một cái gì đó có thể được thể hiện “bằng hiện vật”, tức là một cái gì đó có thể được tính toán. Đây là hai quả táo. Họ có thể được tính. Có năm hộp sôcôla. Chúng ta có thể đếm chúng. Nói cách khác, số tự nhiên- đây là những con số mà chúng ta có thể đếm được mặt hàng cụ thể. Bạn biết rất rõ rằng những con số này có thể được cộng, trừ, nhân và chia. Mọi thứ đều rõ ràng với phép cộng và phép nhân. Có hai quả táo, họ cộng ba quả lại thành năm. Chúng tôi lấy ba hộp sô cô la, mỗi hộp 10 miếng, nghĩa là có tổng cộng ba mươi chiếc kẹo. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang trọn những con số. Nếu các số tự nhiên biểu thị một số đối tượng cụ thể thì sự trừu tượng hóa sẽ được đưa vào tập hợp các số nguyên. Cái này không Và tiêu cực những con số. Tại sao lại có những sự trừu tượng này? Số không là sự vắng mặt của một cái gì đó. Nhưng liệu chúng ta có thể chạm vào, cảm nhận được những gì không có ở đó? Chúng ta có thể chạm vào hai quả táo, chúng đây rồi. Chúng ta thậm chí có thể ăn chúng. Không có quả táo nào có nghĩa là gì? Chúng ta có thể chạm vào, cảm nhận được con số 0 này không? Không, chúng tôi không thể. Vậy đây là sự trừu tượng. Bạn phải bằng cách nào đó chỉ ra sự vắng mặt của một cái gì đó. Vì vậy, chúng tôi đã chỉ định số 0 là một con số. Nhưng tại sao lại biểu thị điều này bằng cách nào đó? Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có hai quả táo. Chúng tôi đã ăn hai. Chúng ta còn lại bao nhiêu? Đúng vậy, không hề. Chúng ta sẽ viết phép tính này (chúng ta đã ăn hai quả táo) dưới dạng phép trừ 2-2. Và cuối cùng chúng ta đã đạt được điều gì? Chúng ta nên dán nhãn kết quả như thế nào? Chỉ bằng cách giới thiệu một sự trừu tượng mới (số 0), điều này sẽ chỉ ra rằng kết quả của phép trừ (ăn) là chúng ta không còn một quả táo nào. Nhưng chúng ta có thể trừ không phải 2 mà là 3 từ hai. Có vẻ như thao tác này là vô nghĩa. Nếu chúng ta chỉ có hai quả táo thì làm sao chúng ta có thể ăn được ba quả?

Hãy xem một ví dụ khác. Chúng tôi đến cửa hàng để uống bia. Chúng tôi mang theo 100 rúp. Bia có giá 60 rúp mỗi chai. Chúng tôi muốn mua hai chai nhưng không có đủ tiền. Chúng tôi cần 120 rúp. Và sau đó chúng tôi gặp lại người bạn cũ của mình và mượn anh ấy hai mươi đô la. Chúng tôi mua bia. Câu hỏi. Chúng ta còn lại bao nhiêu tiền? Ý thức chung gợi ý rằng không hề. Nhưng xét về mặt toán học thì điều này thật vô lý. Tại sao? Bởi vì để có kết quả bằng 0, bạn cần trừ 100 từ 100. Và chúng ta làm 100-120. Ở đây chúng ta sẽ nhận được một cái gì đó khác nhau. Chúng tôi đã nhận được gì? Và thực tế là chúng tôi vẫn nợ bạn mình 20 rúp. Lần tới khi mang theo 140 rúp, chúng ta sẽ đến cửa hàng uống bia, gặp một người bạn, trả nợ với anh ta và có thể mua thêm hai chai bia. Kết quả là chúng ta nhận được 140-120-20=0. Lưu ý -20. Đây là một sự trừu tượng khác - số âm . Nghĩa là, món nợ của chúng ta với một người bạn là một con số có dấu trừ, vì khi trả nợ, chúng ta trừ đi số tiền này. Tôi sẽ nói thêm, đây là một sự trừu tượng thậm chí còn lớn hơn con số không. Số không có nghĩa là cái gì đó không tồn tại. Và số âm giống như một thứ gì đó sẽ bị lấy đi khỏi chúng ta trong tương lai.

Và vì vậy, bằng một ví dụ, tôi đã cho thấy sự trừu tượng được sinh ra trong toán học như thế nào. Và có vẻ như, bất chấp tất cả sự vô lý của những điều trừu tượng như vậy (chẳng hạn như lấy đi nhiều hơn những gì đã có), họ vẫn tìm thấy ứng dụng trong cuộc sống thực. Trong trường hợp chia số nguyên, một sự trừu tượng khác phát sinh - các phân số. Tôi sẽ không nói chi tiết về chúng và rõ ràng là chúng cần thiết trong trường hợp chúng ta có các số nguyên không chia hết cho một số nguyên. Ví dụ, chúng ta có bốn quả táo, nhưng chúng ta cần chia chúng cho ba người. Ở đây rõ ràng là chúng ta chia quả táo còn lại thành ba phần và nhận được các phân số.

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết các số phức một cách suôn sẻ. Nhưng trước tiên, hãy nhớ rằng khi nhân hai số âm, bạn sẽ nhận được một số dương. Có người hỏi - tại sao lại như vậy? Trước tiên chúng ta hãy hiểu cách nhân số âm với số dương. Giả sử chúng ta nhân -20 với 2. Nghĩa là chúng ta cần cộng -20+-20. Kết quả là -40, vì phép cộng số âm là phép trừ. Tại sao phải trừ - xem ở trên, số âm là một món nợ; khi chúng ta lấy đi nó, chúng ta sẽ lấy đi một thứ gì đó. Có một ý nghĩa hàng ngày khác. Điều gì xảy ra nếu khoản nợ tăng lên? Ví dụ, trong trường hợp chúng tôi được cho vay với lãi suất? Kết quả là, số có dấu trừ vẫn giữ nguyên, số trở nên lớn hơn sau dấu trừ. Ý nghĩa của phép nhân với số âm là gì? 3*-2 nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là số ba phải được trừ đi hai lần. Nghĩa là đặt dấu trừ trước kết quả của phép nhân. Nhân tiện, giá trị này giống với -3*2, vì việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi tích. Bây giờ hãy chú ý. Nhân -3 với -2. Chúng tôi lấy số -3 trừ hai lần. Nếu chúng ta lấy số -3 hai lần thì kết quả sẽ là -6, bạn hiểu điều đó. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta trừ đi hai lần? Nhưng lấy số lần trừ có nghĩa là gì? Nếu bạn lấy số dương trừ đi số lần thì kết quả sẽ âm, dấu của nó thay đổi. Nếu chúng ta lấy số âm trừ đi số lần thì dấu của nó thay đổi và nó trở thành số dương.

Tại sao chúng ta lại nói về việc nhân trừ với trừ? Và để xem xét một sự trừu tượng khác, lần này nó liên quan trực tiếp đến số phức. Cái này đơn vị tưởng tượng. Đơn vị ảo bằng căn bậc hai của âm 1:

Hãy để tôi nhắc bạn căn bậc hai là gì. Đây là hoạt động nghịch đảo của bình phương. Và bình phương là nhân một số với chính nó. Vậy căn bậc hai của 4 là 2 vì 2*2=4. Căn bậc hai của 9 là 3, vì 3*3=9. Căn bậc hai của một cũng bằng một, và căn bậc hai của số 0 bằng không. Nhưng làm thế nào để lấy căn bậc hai của âm một? Số nào phải nhân với chính nó để được -1? Nhưng không có con số như vậy! Nếu chúng ta nhân -1 với chính nó thì cuối cùng chúng ta sẽ được 1. Nếu chúng ta nhân 1 với 1 thì sẽ được 1. Nhưng chúng ta sẽ không được trừ -1 theo cách này. Tuy nhiên, chúng ta có thể gặp phải tình huống có số âm ở dưới gốc. Phải làm gì? Tất nhiên, bạn có thể nói rằng không có giải pháp nào cả. Nó giống như chia cho số không. Cho đến một thời điểm nào đó, tất cả chúng ta đều tin rằng không thể chia cho số 0. Nhưng sau đó chúng tôi đã học được về một sự trừu tượng như vô cực, và hóa ra việc chia cho 0 vẫn có thể thực hiện được. Hơn nữa, các phép trừu tượng như phép chia cho số 0 hoặc độ bất định thu được bằng cách chia số 0 cho số 0 hoặc vô cực cho vô cực, cũng như các phép toán tương tự khác, được sử dụng rộng rãi trong toán học cao cấp (), và toán cao hơn- đây là cơ sở của nhiều khoa học chính xác, thúc đẩy tiến bộ kỹ thuật Vì vậy, có thể trong đơn vị tưởng tượng có một loại nào đó. ý nghĩa bí mật? Ăn. Và bạn sẽ hiểu điều đó khi đọc các bài học tiếp theo của tôi về số phức. Trong khi chờ đợi, tôi sẽ nói về một số lĩnh vực sử dụng số phức (số có chứa đơn vị ảo).

Và vì vậy, đây là danh sách các lĩnh vực sử dụng số phức:

Kỹ thuật điện. Tính toán mạch điện xoay chiều. Việc sử dụng số phức trong trường hợp này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán; nếu không có chúng, các phương trình vi phân và tích phân sẽ phải được sử dụng.

Cơ học lượng tử.Tóm lại - trong cơ học lượng tử có một thứ như thế này hàm sóng, bản thân nó có giá trị phức và có bình phương (đã là số thực) bằng mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một điểm nhất định. Xem thêm chuỗi bài học

Xử lý tín hiệu số. Lý thuyết xử lý số tín hiệu bao gồm một khái niệm như biến đổi z, tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều cho các phép tính khác nhau liên quan đến việc tính toán các đặc tính của các tín hiệu khác nhau, chẳng hạn như các đặc tính tần số và biên độ, v.v.

Mô tả các quá trình chuyển động phẳng của chất lỏng.

Dòng chất lỏng xung quanh hồ sơ.

Chuyển động sóng của chất lỏng.

Và đây không phải là danh sách đầy đủ về nơi sử dụng số phức. Điều này hoàn thành việc làm quen đầu tiên với số phức cho đến khi chúng ta gặp lại nhau.

Số phức hoặc số ảo xuất hiện lần đầu tiên trong tác phẩm nổi tiếng của Cardano, Nghệ thuật vĩ đại, hay quy tắc đại số» 1545. Theo ý kiến ​​của tác giả, những con số này không phù hợp để sử dụng. Tuy nhiên, tuyên bố này sau đó đã bị bác bỏ. Đặc biệt, Bombelli vào năm 1572, khi quyết định phương trình bậc ba biện minh cho việc sử dụng số ảo. Ông đã biên soạn các quy tắc cơ bản cho các phép tính với số phức.

Chưa hết trong một thời gian dài V. thế giới toán học không có ý tưởng chung nào về bản chất của số phức.

Ký hiệu cho số ảo lần đầu tiên được đề xuất nhà toán học xuất sắc Euler. Biểu tượng được đề xuất trông giống như như sau: i = sqr -1, trong đó i là imaginarius, có nghĩa là hư cấu. Công lao của Euler còn bao gồm ý tưởng về tính đóng đại số của trường số phức.

Vì vậy, nhu cầu về loại số mới nảy sinh khi giải phương trình bậc hai cho trường hợp D< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Biểu diễn đồ họa của số phức có dạng: a + bi, trong đó a và b là số thực và i là đơn vị ảo, tức là tôi 2 = -1. Số a được gọi là hoành độ và b là tọa độ của số phức a + bi. Hai số phức a + bi và a - bi được gọi là số phức liên hợp.

Có một số quy tắc liên quan đến số phức:

• Trước hết, số thực và có thể viết dưới dạng số phức: a+ 0 i hoặc a - 0 i. Ví dụ: 5 + 0 i và 5 - 0 tôi có nghĩa là cùng một số 5.
• Thứ hai, số phức 0+ bi được gọi là số thuần ảo. Ký hiệu bi có nghĩa giống như 0+ bi .
• Thứ ba, hai số phức a + bi và c + di được coi là bằng nhau nếu a = c và b = d. Ngược lại, số phức không bằng nhau.

Các phép toán cơ bản trên số phức bao gồm:

Trong biểu diễn hình học, số phức, không giống như số thực, được biểu diễn trên trục số bằng các điểm, được đánh dấu bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Để làm điều này, chúng ta lấy tọa độ hình chữ nhật (Cartesian) có tỷ lệ giống hệt nhau trên các trục. Trong trường hợp này, số phức a + bi sẽ được biểu diễn bằng điểm P có hoành độ a và tọa độ b. Hệ tọa độ này được gọi là mặt phẳng phức tạp.

mô-đun số phức là độ dài của vectơ OP biểu thị số phức của mặt phẳng phức. Mô đun của số phức a + bi được viết là |a + bi|

hoặc chữ r và bằng: r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2 .