Trong bài học này, chúng ta sẽ nhớ lại tất cả các phương pháp phân tích đa thức đã nghiên cứu trước đây và xem xét các ví dụ về ứng dụng của chúng, ngoài ra, chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp mới - phương pháp cô lập một hình vuông hoàn chỉnh và tìm hiểu cách sử dụng nó để giải các bài toán khác nhau .
Chủ thể:Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài học:Phân tích đa thức. Phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Kết hợp các phương pháp
Chúng ta hãy nhớ lại các phương pháp cơ bản để phân tích một đa thức đã được nghiên cứu trước đó:
Phương pháp đưa một thừa số chung ra khỏi ngoặc, tức là một thừa số có mặt trong mọi số hạng của đa thức. Hãy xem một ví dụ:
Hãy nhớ lại rằng đơn thức là tích của lũy thừa và số. Trong ví dụ của chúng tôi, cả hai thuật ngữ đều có một số yếu tố chung, giống hệt nhau.
Vì vậy, hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc:
;
Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng bằng cách nhân hệ số được lấy ra bằng dấu ngoặc đơn, bạn có thể kiểm tra tính chính xác của hệ số được lấy ra.
Phương pháp phân nhóm. Không phải lúc nào cũng có thể rút ra thừa số chung trong một đa thức. Trong trường hợp này, bạn cần chia các thành viên của nó thành các nhóm sao cho trong mỗi nhóm bạn có thể lấy ra một thừa số chung và cố gắng chia nhỏ nó ra sao cho sau khi lấy ra các thừa số trong các nhóm, một thừa số chung sẽ xuất hiện trong toàn bộ biểu thức và bạn có thể tiếp tục phân tách. Hãy xem một ví dụ:
Hãy nhóm số hạng đầu tiên với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số hạng thứ năm và số hạng thứ ba với số hạng thứ sáu:
Hãy loại bỏ các yếu tố chung trong các nhóm:
Biểu thức bây giờ có một yếu tố chung. Hãy lấy nó ra:
Ứng dụng công thức nhân rút gọn. Hãy xem một ví dụ:
;
Hãy viết biểu thức một cách chi tiết:
Rõ ràng, chúng ta có trước mắt công thức tính hiệu bình phương, vì nó là tổng bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng bị trừ đi. Hãy sử dụng công thức:
Hôm nay chúng ta sẽ học một phương pháp khác - phương pháp chọn một hình vuông hoàn chỉnh. Nó dựa trên các công thức bình phương của tổng và bình phương của hiệu. Hãy nhắc nhở họ:
Công thức tính bình phương của tổng (chênh lệch);
Điểm đặc biệt của các công thức này là chúng chứa bình phương của hai biểu thức và tích kép của chúng. Hãy xem một ví dụ:
Hãy viết biểu thức:
Vì vậy, biểu thức đầu tiên là , và biểu thức thứ hai là .
Để tạo một công thức tính bình phương của một tổng hoặc hiệu, hai lần tích các biểu thức là không đủ. Nó cần được cộng và trừ:
Hãy hoàn thành bình phương của tổng:
Hãy biến đổi biểu thức kết quả:
Hãy áp dụng công thức tính hiệu bình phương, nhớ lại rằng hiệu bình phương của hai biểu thức là tích của và tổng của hiệu chúng:
Vì vậy, phương pháp này trước hết bao gồm việc xác định các biểu thức a và b bình phương, nghĩa là xác định biểu thức nào bình phương trong ví dụ này. Sau đó, bạn cần kiểm tra sự hiện diện của tích nhân đôi và nếu không có thì hãy cộng và trừ nó, điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của ví dụ, nhưng đa thức có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng các công thức bình phương của tổng hoặc hiệu và hiệu của các bình phương, nếu có thể.
Hãy chuyển sang giải các ví dụ.
Ví dụ 1 - phân tích nhân tử:
Hãy tìm các biểu thức bình phương:
Hãy để chúng tôi viết ra sản phẩm kép của họ sẽ là gì:
Hãy cộng và trừ gấp đôi sản phẩm:
Hãy hoàn thành bình phương của tổng và cho kết quả tương tự:
Hãy viết nó bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương:
Ví dụ 2 - giải phương trình:
;
Ở bên trái của phương trình là một tam thức. Bạn cần phải tính nó thành các yếu tố. Chúng tôi sử dụng công thức chênh lệch bình phương:
Ta có bình phương của biểu thức thứ nhất và tích kép, thiếu bình phương của biểu thức thứ hai, hãy cộng và trừ nó:
Hãy gấp một hình vuông hoàn chỉnh và đưa ra các số hạng tương tự:
Hãy áp dụng công thức hiệu bình phương:
Vậy ta có phương trình 
Chúng ta biết rằng một tích bằng 0 chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Hãy tạo các phương trình sau dựa trên điều này:
Hãy giải phương trình đầu tiên:
Hãy giải phương trình thứ hai:
Trả lời: hoặc
;
Chúng ta tiến hành tương tự như ví dụ trước - chọn bình phương của hiệu.
Công thức nhân rút gọn là công cụ rất thuận tiện để thực hiện các phép tính với đa thức. Thông thường, điều này cho phép bạn giảm các cấu trúc đa thức phức tạp thành một biểu thức nhỏ được biểu thị bằng nhị thức. Hoặc, theo một thứ tự khác, một nhị thức rút gọn có thể dễ dàng suy ra từ tích của hai đa thức.
Những hành động như vậy là cần thiết khi giải các phương trình tầm thường và bất đẳng thức, cũng như đối với các vấn đề chứng minh khác nhau.
Trong các bài học video trước, chúng ta đã xem xét các công thức tính hiệu của các bình phương và hiệu của các hình lập phương. Chúng ta hãy thử rút ra một công thức ở cấp độ cao hơn nữa - hãy tìm xem sự khác biệt của các biểu thức với lũy thừa thứ tư bằng:
Biểu thức này tương đối dễ biến đổi bằng cách thay x 4 và y 4 vào các biểu thức bậc hai giống nhau (x 2) 2 và (y 2) 2:
x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2
Kết quả là, chúng ta nhận được hiệu của các bình phương, có thể được biểu diễn bằng FSU cơ bản như sau:
(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)
Mặt khác, dấu ngoặc đơn thứ hai của biểu thức thu được chứa hiệu của các bình phương, có thể dễ dàng chuyển đổi:
(x 2 + y 2)(x 2 - y 2) = (x 2 + y 2)((x + y)(x - y))
Nó sau đó:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)
Hãy để phần chung cơ bản (x - y) và nhân hai biểu thức còn lại trong ngoặc:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y) = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Tại sao cần chọn (x - y) sẽ được trình bày sau. Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra một công thức khác cho sự khác biệt của biểu thức công suất. Sự bình đẳng này khá khó diễn đạt - tuy nhiên, cần hiểu rằng nó khá hợp lý với một số công thức tương tự để xác định sự khác biệt giữa hình vuông và hình khối. Hãy so sánh các công thức này với nhau để tìm ra các mẫu chung:
x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)
x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + 2xy + y 2)
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
Đoạn video cho thấy rõ ràng rằng sự khác biệt về các biến số ở các mức độ khác nhau có một số quy luật. Tất cả các biểu thức ở vế phải của đẳng thức đều là tích của hai đa thức và một trong số chúng luôn có dạng x - y (hiệu ban đầu của các biểu thức). Cái thứ hai được hình thành bởi một đa thức phức tạp nhất định, số lượng đơn thức tăng theo bậc.
Để rút ra một công thức tổng quát giúp biến đổi hiệu của các biến ở bất kỳ bậc nào thành tích của các đa thức, điều quan trọng là phải hiểu xu hướng chung của các đẳng thức cấp ban đầu. Lưu ý rằng đa thức thứ hai trong tích của chúng ta là tổng các tích từng cặp của hai biểu thức. Hơn nữa, bậc của các biến có mối quan hệ nghịch đảo. Để dễ hiểu các mẫu này hơn, chúng ta hãy viết lại đẳng thức cho hiệu của các biểu thức bậc bốn theo cách này:
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)
Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 nhất thiết phải bằng một. Do đó, bạn có thể thêm một cách an toàn một công trình có bậc 0 vào bất kỳ biến thực nào. Chúng ta cũng nhớ rằng bất kỳ biến nào cũng có mức độ - nếu nó không được chỉ định thì nó bằng một. Những quy tắc xử lý mức độ này giúp có thể trình bày sự bình đẳng dưới một hình thức dễ hiểu hơn.
Xin lưu ý rằng số hạng trong đa thức của dấu ngoặc thứ hai bằng với bậc chính (mà các biến trong hiệu có). Theo chuỗi đa thức, bậc của một biểu thức giảm theo đại số và bậc của biểu thức thứ hai tăng. Trong trường hợp này, điểm cực trị của các độ là 0 và là mức cao nhất của sai phân ban đầu của các biểu thức.
Sử dụng những cân nhắc này, chúng ta rút ra được công thức tìm hiệu của các biểu thức bậc năm:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)
Để bắt đầu, chúng ta viết thừa số đầu tiên (x - y) mà không thay đổi. Đa thức thứ hai sẽ biểu thị tổng của năm phần tử (ở mức độ cao nhất). Lần lượt, các phần tử được hình thành bởi tích của các biến có sự thay đổi đại số, nghịch đảo và liên hệ với nhau về lũy thừa. Trong một đa thức:
x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4
x giảm bậc từ 4 xuống 0, y tăng từ 0 lên 4. Để tự kiểm tra, rất hữu ích khi biết rằng tổng các bậc của bất kỳ đơn thức nào, trong trường hợp này, sẽ bằng cùng bậc cao nhất - 5 .
Tất cả những gì còn lại là viết công thức một cách chính xác, loại bỏ độ 0:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)
Nói chung, với mọi mức độ n đẳng thức đều đúng:
(x) n - (y) n = (x - y)((x) n + (x) n-1 y…+x(y) n - 1 + y n)
Công thức chung để tìm tổng của hai biểu thức có hiệu thứ n được rút ra thông qua phép biến đổi dạng:
x n + y n = x n - (-y n)
Sử dụng công thức tính hiệu của các biểu thức thu được ở trên, chúng ta rút ra đẳng thức:
x n + y n = x n - (-y n) = (x + y)((x) n-1 - (x) n-2 y…- x(y) n - 2 + y n-1)
Do thực tế là bình phương của bất kỳ biểu thức nào đều loại bỏ tính âm của nó, nên không thể dùng các phương tiện tiếp cận được để biểu diễn tổng bình phương (hoặc bất kỳ lũy thừa chẵn nào) của các biến dưới dạng tích của hai đa thức.
Phân tích một đa thức. Phần 1
Nhân tố hóa là một kỹ thuật phổ quát giúp giải các phương trình và bất đẳng thức phức tạp. Ý nghĩ đầu tiên cần nghĩ đến khi giải các phương trình và bất phương trình trong đó có số 0 ở vế phải là cố gắng phân tích vế trái.
Hãy liệt kê chính các cách phân tích đa thức:
- bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc
- sử dụng công thức nhân rút gọn
- sử dụng công thức phân tích tam thức bậc hai
- phương pháp nhóm
- chia một đa thức cho một nhị thức
- phương pháp hệ số bất định
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về ba phương pháp đầu tiên; chúng tôi sẽ xem xét phần còn lại trong các bài viết tiếp theo.
1. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.
Để lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, trước tiên bạn phải tìm nó. Hệ số nhân chung bằng ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số.
Phần thư thừa số chung bằng tích của các biểu thức có trong mỗi số hạng có số mũ nhỏ nhất.
Sơ đồ gán một số nhân chung trông như thế này:
Chú ý!
Số số hạng trong ngoặc bằng số số hạng trong biểu thức ban đầu. Nếu một trong các số hạng trùng với thừa số chung thì khi chia nó cho thừa số chung, ta được một.
Ví dụ 1.
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Hãy lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Để làm điều này, trước tiên chúng ta sẽ tìm thấy nó.
1. Tìm ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của đa thức, tức là các số 20, 35 và 15. Nó bằng 5.
2. Chúng ta chứng minh rằng biến nằm trong tất cả các số hạng và số mũ nhỏ nhất của nó bằng 2. Biến số nằm trong tất cả các số hạng và số mũ nhỏ nhất của nó là 3.
Biến chỉ chứa trong số hạng thứ hai nên nó không phải là một phần của nhân tử chung.
Vậy tổng hệ số là
3. Chúng ta lấy số nhân ra khỏi ngoặc bằng sơ đồ trên:
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải pháp. Hãy phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. Hãy lấy hệ số ra khỏi ngoặc:
Vậy ta thu được phương trình 
Hãy đánh đồng từng yếu tố bằng 0:
Chúng ta nhận được - nghiệm của phương trình đầu tiên.
Rễ:
Đáp án: -1, 2, 4
2. Phân tích nhân tử bằng công thức nhân rút gọn.
Nếu số số hạng trong đa thức mà chúng ta sắp phân tích nhỏ hơn hoặc bằng ba thì chúng ta thử áp dụng các công thức nhân rút gọn.
1. Nếu đa thức làsự khác biệt của hai điều khoản, sau đó chúng tôi thử áp dụng công thức hiệu bình phương:
hoặc công thức chênh lệch hình khối:
Đây là những lá thư và biểu thị một số hoặc biểu thức đại số.
2. Nếu một đa thức là tổng của hai số hạng thì có lẽ nó có thể được phân tích bằng cách sử dụng công thức tính tổng các lập phương:
3. Nếu một đa thức bao gồm ba số hạng thì chúng ta thử áp dụng công thức tính tổng bình phương:
hoặc công thức chênh lệch bình phương:
Hoặc chúng ta cố gắng phân tích nhân tử bằng công thức phân tích tam thức bậc hai:
Đây và là nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ 3.Phân tích biểu thức thành nhân tử:
Giải pháp. Trước mắt chúng ta có tổng của hai số hạng. Hãy thử áp dụng công thức tính tổng các khối. Để làm điều này, trước tiên bạn cần biểu diễn mỗi số hạng dưới dạng lập phương của một biểu thức nào đó, sau đó áp dụng công thức tính tổng các lập phương:
Ví dụ 4. Phân tích biểu thức thành nhân tử: 
Phán quyết. Ở đây chúng ta có sự khác biệt về bình phương của hai biểu thức. Biểu thức thứ nhất: , biểu thức thứ hai:
Hãy áp dụng công thức tính hiệu các bình phương:
Hãy mở ngoặc và thêm các thuật ngữ tương tự, chúng tôi nhận được:
Chúng ta hãy xem các ví dụ cụ thể về cách phân tích một đa thức.
Chúng ta sẽ khai triển các đa thức theo .
Hệ số đa thức:
Hãy kiểm tra xem có nhân tử chung nào không. vâng, nó bằng 7cd. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:
Biểu thức trong ngoặc bao gồm hai thuật ngữ. Không còn thừa số chung, biểu thức không phải là công thức tính tổng lập phương, nghĩa là quá trình phân tích đã hoàn tất.
Hãy kiểm tra xem có nhân tử chung nào không. KHÔNG. Đa thức bao gồm ba số hạng, vì vậy chúng tôi kiểm tra xem liệu có công thức cho hình vuông hoàn chỉnh hay không. Hai số hạng là bình phương của các biểu thức: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², số hạng thứ ba bằng tích kép của các biểu thức sau: 2∙5x∙3y=30xy. Điều này có nghĩa là đa thức này là một hình vuông hoàn hảo. Vì tích kép có dấu trừ nên:
Chúng ta kiểm tra xem có thể lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc hay không. Có một ước chung, nó bằng a. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:
Có hai thuật ngữ trong ngoặc. Chúng tôi kiểm tra xem có công thức tính hiệu bình phương hoặc hiệu hình lập phương hay không. a2 là bình phương của a, 1=12. Điều này có nghĩa là biểu thức trong ngoặc có thể được viết bằng công thức hiệu bình phương:
Có một thừa số chung, nó bằng 5. Hãy rút nó ra khỏi ngoặc:
trong ngoặc có ba thuật ngữ. Chúng tôi kiểm tra xem biểu thức có phải là một hình vuông hoàn hảo hay không. Hai số hạng là bình phương: 16=4² và a² - bình phương của a, số hạng thứ ba bằng tích kép của 4 và a: 2∙4∙a=8a. Vì vậy, nó là một hình vuông hoàn hảo. Vì tất cả các số hạng đều có dấu “+” nên biểu thức trong ngoặc đơn là bình phương hoàn hảo của tổng:
Chúng tôi lấy hệ số nhân -2x tổng thể ra khỏi ngoặc:
Trong ngoặc là tổng của hai số hạng. Chúng tôi kiểm tra xem biểu thức này có phải là tổng của các khối hay không. 64=4³, x³- khối x. Điều này có nghĩa là nhị thức có thể được mở rộng bằng công thức:
Có một số nhân chung. Tuy nhiên, vì đa thức bao gồm 4 số hạng nên trước tiên và chỉ sau đó chúng ta sẽ lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Hãy nhóm số hạng đầu tiên với số hạng thứ tư và số hạng thứ hai với số hạng thứ ba:
Từ dấu ngoặc đầu tiên, chúng ta lấy ra hệ số chung 4a, từ dấu ngoặc thứ hai - 8b:
Chưa có số nhân chung. Để có được nó, chúng ta lấy “-“ ra khỏi dấu ngoặc thứ hai và mỗi dấu trong ngoặc thay đổi thành ngược lại:
Bây giờ hãy lấy hệ số chung (1-3a) ra khỏi ngoặc:
Trong ngoặc thứ hai có thừa số chung 4 (đây chính là thừa số mà chúng ta đã không đưa ra khỏi ngoặc ở đầu ví dụ):
Vì đa thức bao gồm bốn số hạng nên chúng ta thực hiện việc nhóm. Hãy nhóm số hạng đầu tiên với số hạng thứ hai, số hạng thứ ba với số hạng thứ tư:
Trong ngoặc đầu tiên không có thừa số chung, nhưng có công thức tính hiệu bình phương, trong ngoặc thứ hai hệ số chung là -5:
Một số nhân chung đã xuất hiện (4m-3n). Hãy đưa nó ra khỏi phương trình.
Đa thức là biểu thức gồm tổng các đơn thức. Cái sau là tích của một hằng số (số) và nghiệm (hoặc các nghiệm) của biểu thức với lũy thừa của k. Trong trường hợp này, chúng ta nói đến đa thức bậc k. Việc khai triển một đa thức bao gồm việc biến đổi biểu thức trong đó các số hạng được thay thế bằng thừa số. Hãy xem xét những cách chính để thực hiện loại chuyển đổi này.
Phương pháp khai triển đa thức bằng cách tách nhân tử chung
Phương pháp này dựa trên các luật của luật phân phối. Vì vậy, mn + mk = m * (n + k).
- Ví dụ: mở rộng 7y 2 + 2uy và 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Tuy nhiên, hệ số nhất thiết phải có trong mỗi đa thức có thể không phải lúc nào cũng được tìm thấy, vì vậy phương pháp này không phổ biến.
Phương pháp khai triển đa thức dựa trên công thức nhân rút gọn
Công thức nhân viết tắt có giá trị cho đa thức ở mọi mức độ. Nói chung, biểu thức chuyển đổi trông như thế này:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), trong đó k là đại diện của số tự nhiên.
Các công thức thường được sử dụng trong thực tế là dành cho đa thức bậc hai và bậc ba:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Ví dụ: mở rộng 25p 2 – 144b 2 và 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Phương pháp khai triển đa thức - nhóm các số hạng của một biểu thức
Phương pháp này về mặt nào đó có điểm chung với kỹ thuật tìm nhân tử chung, nhưng có một số điểm khác biệt. Đặc biệt, trước khi cô lập một nhân tử chung, các đơn thức phải được nhóm lại. Việc phân nhóm dựa trên các quy tắc của luật tổ hợp và giao hoán.
Tất cả các đơn thức được trình bày trong biểu thức được chia thành các nhóm, trong đó mỗi nhóm có một giá trị chung sao cho thừa số thứ hai sẽ giống nhau trong tất cả các nhóm. Nói chung, phương pháp phân rã này có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Ví dụ: trải rộng 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Phương pháp khai triển đa thức - tạo thành hình vuông hoàn hảo
Phương pháp này là một trong những phương pháp hiệu quả nhất trong việc khai triển đa thức. Ở giai đoạn đầu, cần xác định các đơn thức có thể “thu gọn” thành bình phương của hiệu hoặc tổng. Để làm điều này, hãy sử dụng một trong các mối quan hệ:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,
- Ví dụ: khai triển biểu thức u 4 + 4u 2 – 1.
Trong số các đơn thức của nó, chúng ta hãy chọn các số hạng tạo thành một bình phương hoàn chỉnh: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Hoàn thành phép biến đổi bằng cách sử dụng quy tắc nhân viết tắt: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Cái đó. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
