Phân số phức. số phức

CƠ QUAN GIÁO DỤC LIÊN BANG

CƠ SỞ GIÁO DỤC NHÀ NƯỚC

GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO CẤP

"ĐẠI HỌC SƯ PHÁP BANG VORONEZH"

BỘ PHẬN AGLEBRA VÀ HÌNH HỌC

số phức

(nhiệm vụ đã chọn)

CÔNG VIỆC ĐÁNH GIÁ TỐT NGHIỆP

chuyên ngành toán 050201.65

(có thêm chuyên ngành khoa học máy tính 050202.65)

Người hoàn thành: Sinh viên năm thứ 5

vật lý và toán học

khoa

Người hướng dẫn khoa học:

VORONEZH – 2008

1. Lời giới thiệu……………………………………………………..………..…

2. Số phức (bài toán chọn lọc)

2.1. Số phức ở dạng đại số….……….….….

2.2. Giải thích hình học của số phức…………..…

2.3. Dạng lượng giác của số phức

2.4. Ứng dụng lý thuyết số phức vào việc giải phương trình bậc 3, bậc 4……..…………………………..

2.5. Số phức và tham số………………………..

3. Kết luận………………………………..……..

4. Danh mục tài liệu tham khảo………….…………..

1. Giới thiệu

Trong chương trình giảng dạy toán ở trường, lý thuyết số được giới thiệu bằng cách sử dụng các ví dụ về tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số vô tỷ, tức là. trên tập số thực, ảnh của số đó điền vào toàn bộ trục số. Nhưng đã học lớp 8 nên không có đủ số thực khi giải phương trình bậc hai với phân biệt âm. Vì vậy, cần phải bổ sung thêm kho số thực với sự trợ giúp của số phức, căn bậc hai của số âm có ý nghĩa.

Việc tôi chọn chủ đề “Số phức” làm chủ đề cho bài tập cuối khóa của tôi là khái niệm số phức giúp mở rộng kiến ​​thức của học sinh về hệ thống số, về giải một loạt các bài toán thuộc cả nội dung đại số và hình học, về giải đại số. phương trình ở bất kỳ mức độ nào và về cách giải các bài toán có tham số.

Luận án này xem xét giải pháp cho 82 vấn đề.

Phần đầu tiên của mục chính “Số phức” cung cấp lời giải các bài toán với số phức ở dạng đại số, định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép chia liên hợp cho số phức ở dạng đại số, lũy thừa của đơn vị ảo , mô đun của một số phức, đồng thời đặt ra quy tắc trích căn bậc hai của một số phức.

Phần thứ hai giải quyết các bài toán giải thích hình học của số phức dưới dạng điểm hoặc vectơ của mặt phẳng phức.

Phần thứ ba xem xét các phép toán trên số phức ở dạng lượng giác. Các công thức được sử dụng là: Moivre và rút căn của số phức.

Phần thứ tư dành cho việc giải các phương trình bậc 3 và bậc 4.

Khi giải các bài toán ở phần cuối “Số phức và tham số”, thông tin đã cho ở các phần trước sẽ được sử dụng và tổng hợp. Một loạt các bài toán trong chương này được dành cho việc xác định các họ đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi các phương trình (bất đẳng thức) có tham số. Trong phần bài tập bạn cần giải phương trình có tham số (trên trường C). Có những nhiệm vụ trong đó một biến phức tạp đồng thời thỏa mãn một số điều kiện. Điểm đặc biệt của việc giải các bài toán trong phần này là quy giản nhiều bài toán thành giải phương trình (bất phương trình, hệ) bậc hai, vô tỉ, lượng giác có tham số.

Đặc điểm của việc trình bày tài liệu trong mỗi phần là phần giới thiệu ban đầu về cơ sở lý thuyết và sau đó là ứng dụng thực tế của chúng trong việc giải quyết vấn đề.

Cuối luận văn có danh mục tài liệu tham khảo được sử dụng. Hầu hết trong số họ trình bày tài liệu lý thuyết một cách chi tiết và dễ tiếp cận, thảo luận về giải pháp cho một số vấn đề và đưa ra các nhiệm vụ thực tế để giải quyết độc lập. Tôi muốn đặc biệt chú ý đến các nguồn như:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Số phức và ứng dụng: Sách giáo khoa. . Nội dung của sách được trình bày dưới dạng bài giảng và bài tập thực hành.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Các bài toán và định lý chọn lọc của toán tiểu học. Số học và đại số. Cuốn sách gồm 320 bài toán liên quan đến đại số, số học và lý thuyết số. Những nhiệm vụ này khác biệt đáng kể về bản chất so với các nhiệm vụ tiêu chuẩn ở trường.

2. Số phức (bài toán chọn lọc)

2.1. Số phức ở dạng đại số

Lời giải của nhiều bài toán trong toán học và vật lý bắt nguồn từ việc giải các phương trình đại số, tức là phương trình dạng

,

trong đó a0, a1, …, an là các số thực. Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình đại số là một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học. Ví dụ, một phương trình bậc hai có phân biệt âm thì không có nghiệm thực. Phương trình đơn giản nhất như vậy là phương trình

.

Để phương trình này có nghiệm thì cần khai triển tập số thực bằng cách thêm vào đó nghiệm của phương trình

.

Chúng ta hãy biểu thị gốc này bằng

. Vì vậy, theo định nghĩa, hoặc,

kể từ đây,

. gọi là đơn vị ảo. Với sự trợ giúp của nó và với sự trợ giúp của một cặp số thực, một biểu thức có dạng sẽ được biên soạn.

Biểu thức thu được được gọi là số phức vì chúng chứa cả phần thực và phần ảo.

Vậy số phức là biểu thức có dạng

, và là số thực, và là một ký hiệu nào đó thỏa mãn điều kiện . Số đó gọi là phần thực của số phức, số đó là phần ảo của số đó. Các ký hiệu , được sử dụng để biểu thị chúng.

Số phức có dạng

là số thực nên tập hợp số phức chứa tập hợp số thực.

Số phức có dạng

được gọi là thuần túy tưởng tượng. Hai số phức có dạng và được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là nếu đẳng thức , .

Ký hiệu đại số của số phức cho phép thực hiện các phép tính trên chúng theo các quy tắc đại số thông thường.

Tổng của hai số phức

và được gọi là số phức có dạng .

Tích của hai số phức

Để giải các bài toán về số phức, bạn cần hiểu rõ các định nghĩa cơ bản. Mục tiêu chính của bài viết ôn tập này là giải thích số phức là gì và trình bày các phương pháp giải các bài toán cơ bản với số phức. Vì vậy, số phức sẽ được gọi là số có dạng z = a + bi, Ở đâu một, b- số thực, tương ứng được gọi là phần thực và phần ảo của số phức và biểu thị a = Re(z), b=Im(z).
Tôi gọi là đơn vị ảo. tôi 2 = -1. Cụ thể, bất kỳ số thực nào cũng có thể được coi là số phức: a = a + 0i, trong đó a là có thật. Nếu như một = 0 Và b ≠ 0, thì số đó thường được gọi là số thuần túy tưởng tượng.

Bây giờ hãy giới thiệu các phép toán trên số phức.
Xét hai số phức z 1 = a 1 + b 1 tôi Và z 2 = a 2 + b 2 i.

Hãy xem xét z = a + bi.

Tập hợp số phức mở rộng tập hợp số thực, từ đó mở rộng tập hợp số hữu tỷ, v.v. Chuỗi đầu tư này có thể được nhìn thấy trong hình: N – số tự nhiên, Z – số nguyên, Q – số hữu tỉ, R – số thực, C – phức tạp.

Biểu diễn số phức

Ký hiệu đại số.

Xét một số phức z = a + bi, dạng viết số phức này được gọi là đại số. Chúng ta đã thảo luận chi tiết về hình thức ghi này ở phần trước. Hình vẽ trực quan sau đây được sử dụng khá thường xuyên

Dạng lượng giác.

Từ hình vẽ có thể thấy rằng số z = a + bi có thể được viết khác nhau. Rõ ràng là a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, kể từ đây z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) được gọi là đối số của số phức. Biểu diễn số phức này được gọi là dạng lượng giác. Dạng ký hiệu lượng giác đôi khi rất thuận tiện. Ví dụ, thật thuận tiện khi sử dụng nó để nâng một số phức lên lũy thừa nguyên, cụ thể là nếu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Cái đó z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, công thức này được gọi là công thức Moivre.

Hình thức biểu diễn.

Hãy xem xét z = rcos(φ) + rsin(φ)i- một số phức ở dạng lượng giác, viết nó dưới dạng khác z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, đẳng thức cuối cùng rút ra từ công thức Euler, do đó chúng ta đã thu được một dạng viết số phức mới: z = reiφ, được gọi là biểu thị. Dạng ký hiệu này cũng rất thuận tiện cho việc nâng số phức lên lũy thừa: z n = r n e inφ, Đây N không nhất thiết phải là số nguyên mà có thể là số thực tùy ý. Dạng ký hiệu này thường được sử dụng để giải quyết vấn đề.

Định lý cơ bản của đại số cao cấp

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có phương trình bậc hai x 2 + x + 1 = 0. Rõ ràng, phân biệt của phương trình này là âm và nó không có nghiệm thực, nhưng hóa ra phương trình này có hai nghiệm phức khác nhau. Vì vậy, định lý cơ bản của đại số cao hơn phát biểu rằng mọi đa thức bậc n đều có ít nhất một nghiệm phức. Từ đó suy ra rằng mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức, có tính đến bội số của chúng. Định lý này là một kết quả rất quan trọng trong toán học và được sử dụng rộng rãi. Một hệ quả đơn giản của định lý này là có đúng n nghiệm khác nhau có bậc n đơn vị.

Các loại nhiệm vụ chính

Phần này sẽ xem xét các loại bài toán đơn giản chính liên quan đến số phức. Thông thường, các bài toán liên quan đến số phức có thể được chia thành các loại sau.

• Thực hiện các phép tính số học đơn giản trên số phức.
• Tìm nghiệm của đa thức trong số phức.
• Nâng số phức lên lũy thừa.
• Trích xuất rễ từ số phức.
• Sử dụng số phức để giải các bài toán khác.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phương pháp chung để giải quyết những vấn đề này.

Các phép tính số học đơn giản nhất với số phức được thực hiện theo các quy tắc được mô tả trong phần đầu tiên, nhưng nếu số phức được biểu diễn dưới dạng lượng giác hoặc hàm mũ, thì trong trường hợp này bạn có thể chuyển chúng sang dạng đại số và thực hiện các phép tính theo các quy tắc đã biết.

Việc tìm nghiệm của đa thức thường bắt nguồn từ việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Giả sử chúng ta có một phương trình bậc hai, nếu phân biệt của nó không âm thì nghiệm của nó sẽ là số thực và có thể tìm được theo một công thức nổi tiếng. Nếu yếu tố phân biệt là âm, nghĩa là, D = -1∙a 2, Ở đâu Một là một số nhất định thì giá trị phân biệt có thể được biểu diễn dưới dạng D = (ia) 2, kể từ đây √D = i|a|, sau đó bạn có thể sử dụng công thức đã biết để tính nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ. Hãy quay lại phương trình bậc hai nêu trên x 2 + x + 1 = 0.
Phân biệt đối xử - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy gốc rễ:

Việc nâng số phức lên lũy thừa có thể được thực hiện bằng nhiều cách. Nếu bạn cần nâng một số phức ở dạng đại số lên lũy thừa nhỏ (2 hoặc 3), thì bạn có thể thực hiện việc này bằng cách nhân trực tiếp, nhưng nếu lũy thừa lớn hơn (trong các bài toán nó thường lớn hơn nhiều), thì bạn cần phải viết số này dưới dạng lượng giác hoặc hàm mũ và sử dụng các phương pháp đã biết.

Ví dụ. Xét z = 1 + i và nâng nó lên lũy thừa mười.
Hãy viết z ở dạng hàm mũ: z = √2 e iπ/4.
Sau đó z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Hãy quay lại dạng đại số: z 10 = -32i.

Trích xuất nghiệm từ số phức là phép toán nghịch đảo của lũy thừa và do đó được thực hiện theo cách tương tự. Để rút ra các nghiệm, dạng viết số mũ thường được sử dụng.

Ví dụ. Hãy tìm tất cả các nghiệm bậc 3 của sự thống nhất. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm tất cả các nghiệm của phương trình z 3 = 1, chúng ta sẽ tìm các nghiệm ở dạng hàm mũ.
Hãy thay thế vào phương trình: r 3 e 3iφ = 1 hoặc r 3 e 3iφ = e 0 .
Do đó: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, do đó φ = 2πk/3.
Các nghiệm khác nhau thu được tại φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Do đó 1, e i2π/3, e i4π/3 là nghiệm.
Hoặc ở dạng đại số:

Loại bài toán cuối cùng bao gồm rất nhiều bài toán khác nhau và không có phương pháp chung nào để giải chúng. Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản về một nhiệm vụ như vậy:

Tìm số tiền sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Mặc dù việc xây dựng bài toán này không liên quan đến số phức nhưng nó có thể được giải dễ dàng với sự trợ giúp của chúng. Để giải quyết nó, các biểu diễn sau được sử dụng:


Nếu bây giờ chúng ta thay biểu diễn này thành tổng thì bài toán sẽ rút gọn thành việc tính tổng cấp số nhân thông thường.

Phần kết luận

Số phức được sử dụng rộng rãi trong toán học; bài tổng quan này xem xét các phép tính cơ bản trên số phức, mô tả một số loại bài toán tiêu chuẩn và mô tả ngắn gọn các phương pháp chung để giải chúng để nghiên cứu chi tiết hơn về khả năng của số phức. sử dụng tài liệu chuyên ngành.

Văn học

Số phức là phần mở rộng tối thiểu của tập hợp số thực mà chúng ta quen thuộc. Sự khác biệt cơ bản của chúng là một phần tử xuất hiện mang lại -1 khi bình phương, tức là tôi, hoặc .

Bất kỳ số phức nào cũng bao gồm hai phần: thực và tưởng tượng:

Như vậy, rõ ràng tập hợp số thực trùng với tập hợp số phức có phần ảo bằng 0.

Mô hình phổ biến nhất cho tập hợp số phức là mặt phẳng thường. Tọa độ đầu tiên của mỗi điểm sẽ là phần thực của nó và tọa độ thứ hai sẽ là phần ảo của nó. Khi đó vai trò của chính các số phức sẽ là các vectơ có điểm bắt đầu là điểm (0,0).

Các phép toán trên số phức.

Trên thực tế, nếu chúng ta tính đến mô hình của tập hợp số phức, có thể thấy rõ rằng phép cộng (trừ) và phép nhân hai số phức được thực hiện giống như các phép toán tương ứng trên vectơ. Hơn nữa, chúng tôi muốn nói đến tích vectơ của các vectơ, vì kết quả của phép toán này lại là một vectơ.

1.1 Bổ sung.

(Như bạn có thể thấy, thao tác này tương ứng chính xác với)

1.2 Phép trừ, tương tự, được tạo ra theo quy tắc sau:

2. Phép nhân.

3. Phân chia.

Được định nghĩa đơn giản là phép toán nghịch đảo của phép nhân.

Dạng lượng giác.

Mô đun của số phức z là đại lượng sau:

,

rõ ràng, một lần nữa, đây chỉ là mô đun (độ dài) của vectơ (a,b).

Thông thường, mô đun của số phức được ký hiệu là ρ.

Hoá ra là thế

z = ρ(cosφ+isinφ).

Dưới đây là kết quả trực tiếp từ dạng lượng giác của việc viết số phức: công thức :

Công thức cuối cùng được gọi là công thức Moivre. Công thức được bắt nguồn trực tiếp từ nó căn bậc n của số phức:

do đó, có n căn bậc n của số phức z.

§ 1. Số phức: định nghĩa, giải thích hình học, các hành động ở dạng đại số, lượng giác và hàm mũ

Định nghĩa số phức

đẳng thức phức tạp

Biểu diễn hình học của số phức

Môđun và đối số của số phức

Dạng đại số và lượng giác của số phức

Dạng hàm mũ của số phức

công thức Euler

§ 2. Toàn bộ hàm (đa thức) và các tính chất cơ bản của chúng. Giải phương trình đại số trên tập số phức

Định nghĩa phương trình đại số bậc thứ

Các tính chất cơ bản của đa thức

Ví dụ giải phương trình đại số trên tập số phức

Câu hỏi tự kiểm tra

Thuật ngữ

§ 1. Số phức: định nghĩa, giải thích hình học, các phép tính ở dạng đại số, lượng giác và hàm mũ

Định nghĩa số phức ( Nêu định nghĩa về số phức)

Số phức z là biểu thức có dạng sau:

Số phức ở dạng đại số,(1)

Ở đâu x, y Î;

- số liên hợp phức số z ;

- số đối diện số z ;

- số không phức ;

- đây là cách biểu thị tập hợp số phức.

1)z = 1 + TôiÞRe z= 1, tôi z = 1, = 1 – Tôi, = –1 – Tôi ;

2)z = –1 + TôiÞRe z= –1, tôi z = , = –1 – Tôi, = –1 –Tôi ;

3)z = 5 + 0Tôi= 5 Þ Re z= 5, tôi z = 0, = 5 – 0Tôi = 5, = –5 – 0Tôi = –5

Þ nếu tôi z= 0 thì z = x- số thực;

4)z = 0 + 3Tôi = 3TôiÞRe z= 0, tôi z = 3, = 0 – 3Tôi = –3Tôi , = –0 – 3Tôi = – 3Tôi

Þ nếu Re z= 0 thì z = tôi - số thuần ảo.

đẳng thức phức tạp (Xây dựng ý nghĩa của đẳng thức phức tạp)

1) ;

2) .

Một đẳng thức phức tương đương với một hệ gồm hai đẳng thức thực. Những đẳng thức thực này thu được từ đẳng thức phức bằng cách tách phần thực và phần ảo.

1) ;

2) .

Biểu diễn hình học của số phức ( Biểu diễn hình học của số phức là gì?)

số phức zđược biểu thị bằng dấu chấm ( x , y) trên mặt phẳng phức hoặc vectơ bán kính của điểm này.

Dấu hiệu z trong quý thứ hai có nghĩa là hệ tọa độ Descartes sẽ được sử dụng như một mặt phẳng phức.

Môđun và đối số của số phức ( Môđun và đối số của số phức là gì?)

Môđun của số phức là số thực không âm

.(2)

Về mặt hình học, mô đun của số phức là độ dài của vectơ biểu thị số đó z, hoặc bán kính cực của một điểm ( x , y).

Vẽ các số sau trên mặt phẳng phức và viết chúng dưới dạng lượng giác.

1)z = 1 + Tôi Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

nghĩa là, với z = 0 nó sẽ là

, j không được xác định.

Các phép toán trên số phức (Đưa ra định nghĩa và liệt kê các tính chất cơ bản của các phép tính số học trên số phức.)

Phép cộng (trừ) số phức

z 1 ± z 2 = (x 1 + tôi 1) ± ( x 2 + tôi 2) = (x 1 ± x 2) + Tôi (y 1 ± y 2),(5)

nghĩa là khi cộng (trừ) số phức, phần thực và phần ảo của chúng được cộng (trừ).

1)(1 + Tôi) + (2 – 3Tôi) = 1 + Tôi + 2 –3Tôi = 3 – 2Tôi ;

2)(1 + 2Tôi) – (2 – 5Tôi) = 1 + 2Tôi – 2 + 5Tôi = –1 + 7Tôi .

Tính chất cơ bản của phép cộng

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Nhân số phức dưới dạng đại số

z 1∙z 2 = (x 1 + tôi 1)∙(x 2 + tôi 2) = x 1x 2 + x 1tôi 2 + tôi 1x 2 + Tôi 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + Tôi (x 1y 2 + y 1x 2),

nghĩa là phép nhân các số phức ở dạng đại số được thực hiện theo quy tắc nhân đại số của một nhị thức với một nhị thức, sau đó thay và rút gọn các số giống nhau ở dạng thực và ảo.

1)(1 + Tôi)∙(2 – 3Tôi) = 2 – 3Tôi + 2Tôi – 3Tôi 2 = 2 – 3Tôi + 2Tôi + 3 = 5 – Tôi ;

2)(1 + 4Tôi)∙(1 – 4Tôi) = 1 – 42 Tôi 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + Tôi)2 = 22 + 4Tôi + Tôi 2 = 3 + 4Tôi .

Nhân số phức dưới dạng lượng giác

z 1∙z 2 = r 1(vì j 1 + Tôi tội lỗi j 1)× r 2(cos j 2 + Tôi tội lỗi j 2) =

= r 1r 2(cos j 1cos j 2 + Tôi vì j 1 tội lỗi j 2 + Tôi tội lỗi j 1cos j 2 + Tôi 2 tội lỗi j 1 tội lỗi j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – tội lỗi j 1 tội lỗi j 2) + Tôi(vì j 1 tội lỗi j 2 + tội lỗi j 1cos j 2))

Tích của các số phức ở dạng lượng giác, nghĩa là khi nhân các số phức ở dạng lượng giác, các môđun của chúng được nhân và các đối số của chúng được cộng vào.

Tính chất cơ bản của phép nhân

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - tính giao hoán;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - tính liên kết;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - tính phân phối đối với phép cộng;

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

Phép chia số phức

Phép chia là phép tính nghịch đảo của phép nhân nên

Nếu như z × z 2 = z 1 và z 2 ¹ 0, thì .

Khi thực hiện phép chia ở dạng đại số, tử số và mẫu số của phân số được nhân với liên hợp phức của mẫu số:

Chia số phức dưới dạng đại số.(7)

Khi thực hiện phép chia ở dạng lượng giác, các mô đun được chia và các đối số bị trừ:

Chia số phức dưới dạng lượng giác.(8)

2)
.

Nâng số phức lên lũy thừa tự nhiên

Sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện lũy thừa ở dạng lượng giác:

Công thức Moivre, (9)

nghĩa là, khi một số phức được nâng lên lũy thừa tự nhiên, mô đun của nó được nâng lên lũy thừa này và đối số được nhân với số mũ.

Tính toán (1 + Tôi)10.

Ghi chú

1. Khi thực hiện các phép tính nhân và nâng lên lũy thừa tự nhiên ở dạng lượng giác, có thể thu được các giá trị góc vượt quá một vòng quay đầy đủ. Nhưng chúng luôn có thể được giảm xuống các góc hoặc bằng cách bỏ một số nguyên các vòng quay đầy đủ bằng cách sử dụng các tính chất tuần hoàn của các hàm và .

2. Ý nghĩa được gọi là giá trị chính của đối số của số phức;

trong trường hợp này, giá trị của tất cả các góc có thể được biểu thị bằng ;

rõ ràng là , .

Trích xuất căn bậc tự nhiên của số phức

Công thức Euler(16)

trong đó các hàm lượng giác và một biến thực được biểu thị thông qua hàm mũ (số mũ) với số mũ thuần túy tưởng tượng.

§ 2. Toàn bộ hàm (đa thức) và các tính chất cơ bản của chúng. Giải phương trình đại số trên tập số phức

Hai đa thức cùng bậc N bằng nhau khi và chỉ nếu các hệ số của chúng trùng nhau với cùng lũy ​​thừa của biến x, đó là

Bằng chứng

w Danh tính (3) hợp lệ cho "xО (hoặc "xО)

Þ nó hợp lệ cho ; thay thế , chúng tôi nhận được MỘT = bn .

Chúng ta hãy cùng nhau hủy bỏ các điều khoản trong (3) MỘT Và bn và chia cả hai phần cho x :

Nhận dạng này cũng đúng với " x, kể cả khi x = 0

Þ giả sử x= 0, ta được MỘT – 1 = bn – 1.

Chúng ta hãy cùng nhau hủy bỏ các điều khoản trong (3") MỘT– 1 và Một N– 1 và chia cả hai vế cho x, kết quả là chúng ta nhận được

Tiếp tục lập luận tương tự, ta thu được MỘT – 2 = bn –2, …, MỘT 0 = b 0.

Như vậy, người ta đã chứng minh rằng đẳng thức giống nhau của đa thức 2-x hàm ý sự trùng khớp của các hệ số của chúng ở cùng bậc x .

Tuyên bố ngược lại là hiển nhiên, tức là nếu hai đa thức có cùng hệ số thì chúng là các hàm giống hệt nhau, do đó giá trị của chúng trùng với tất cả các giá trị của đối số, nghĩa là chúng bằng nhau. Tính chất 1 đã được chứng minh hoàn toàn. v

Khi chia đa thức Pn (x) bằng hiệu ( x – X 0) số dư bằng Pn (x 0), tức là

Định lý Bezout,(4)

Ở đâu Qn – 1(x) - phần nguyên của phép chia, là đa thức bậc ( N – 1).

Bằng chứng

w Hãy viết công thức chia có số dư:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + MỘT ,

Ở đâu Qn – 1(x) - đa thức bậc ( N – 1),

MỘT- phần còn lại, là một số do thuật toán nổi tiếng để chia đa thức cho nhị thức “trong một cột”.

đẳng thức này đúng với " x, kể cả khi x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + MỘT Þ

MỘT = Pn (X 0), v.v. v

Hệ quả của định lý Bezout. Khi chia đa thức cho nhị thức không có dư

Nếu số X 0 là số 0 của đa thức thì đa thức này được chia cho hiệu ( x – X 0) không có số dư, tức là

Þ .(5)

1) , vì P 3(1) 0

2) bởi vì P 4(–2) 0

3) bởi vì P 2(–1/2) 0

Chia đa thức thành nhị thức “trong một cột”:

_

_

_

_

_

Mọi đa thức bậc n ³ 1 đều có ít nhất một số 0, số thực hoặc phức

Việc chứng minh định lý này nằm ngoài phạm vi khóa học của chúng ta. Vì vậy, ta chấp nhận định lý mà không cần chứng minh.

Hãy cùng nghiên cứu định lý này và định lý Bezout với đa thức Pn (x).

Sau đó N-ứng dụng nhiều định lý này ta thu được điều đó

Ở đâu Một 0 là hệ số tại x N V. Pn (x).

Hệ quả của định lý cơ bản của đại số. Về sự phân tích đa thức thành thừa số tuyến tính

Mọi đa thức bậc của tập số phức đều có thể phân tích thành N các yếu tố tuyến tính, nghĩa là

Khai triển đa thức thành thừa số tuyến tính, (6)

trong đó x1, x2, ... xn là các số 0 của đa thức.

Hơn nữa, nếu k số từ bộ X 1, X 2, … xn trùng với nhau và với số a thì trong tích (6) có số nhân ( x- Một) k. Sau đó số x= a được gọi là k-gấp 0 của đa thức Pn ( x) . Nếu như k= 1 thì số 0 được gọi số 0 đơn giản của đa thức Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3Þ x 1 = 2 - số 0 đơn giản, x 2 = 4 - ba số không;

2)P 4(x) = (x – Tôi)4 Þ x = Tôi- bội số bằng không 4.

Tính chất 4 (về số nghiệm của một phương trình đại số)

Bất kỳ phương trình đại số nào Pn(x) = 0 bậc n đều có đúng n nghiệm trên tập hợp số phức, nếu chúng ta đếm mỗi nghiệm số bằng bội số của nó.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - phương trình đại số bậc hai

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± Tôi- hai rễ;

2)x 3 + 1 = 0 - phương trình đại số bậc ba

Þ x 1,2,3 = - ba rễ;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0Þ x 1 = 1, vì P 3(1) = 0.

Chia đa thức P 3(x) ĐẾN ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Phương trình gốc

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - gốc đơn giản, x 2 = –1 - căn kép.

1) – các rễ liên hợp phức ghép đôi;

Bất kỳ đa thức nào có hệ số thực đều được phân tách thành tích của hàm tuyến tính và hàm bậc hai có hệ số thực.

Bằng chứng

w Hãy để x 0 = Một + bi- số 0 của đa thức Pn (x). Nếu tất cả các hệ số của đa thức này là số thực thì nó cũng bằng 0 (theo tính chất 5).

Hãy tính tích của nhị thức :

phương trình đa thức số phức

Đã nhận ( x – Một)2 + b 2 - tam thức bình phương có hệ số thực.

Do đó, bất kỳ cặp nhị thức nào có nghiệm liên hợp phức trong công thức (6) đều dẫn đến một tam thức bậc hai có hệ số thực. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Ví dụ giải phương trình đại số trên tập số phức ( Cho ví dụ giải phương trình đại số trên tập số phức)

1. Phương trình đại số bậc một:

, là gốc đơn giản duy nhất.

2. Phương trình bậc hai:

, – luôn có hai nghiệm (khác hoặc bằng nhau).

1) .

3. Phương trình nhị thức bậc:

, – luôn có gốc khác nhau.

,

Trả lời: , .

4. Giải phương trình bậc ba.

Phương trình bậc ba có ba nghiệm (thực hoặc phức) và bạn cần đếm mỗi nghiệm gấp nhiều lần bội số của nó. Vì tất cả các hệ số của phương trình này đều là số thực nên nghiệm phức của phương trình, nếu có, sẽ là cặp phức liên hợp phức.

Bằng cách chọn, chúng ta tìm được nghiệm đầu tiên của phương trình, vì .

Theo hệ quả tất yếu của định lý Bezout. Chúng tôi tính toán phép chia này "trong một cột":

_
_
_

Bây giờ biểu diễn đa thức dưới dạng tích của thừa số tuyến tính và thừa số bình phương, chúng ta có:

.

Chúng ta tìm các nghiệm khác làm nghiệm của phương trình bậc hai:

Trả lời: , .

5. Xây dựng phương trình đại số bậc nhỏ nhất có hệ số thực nếu biết các số x 1 = 3 và x 2 = 1 + Tôi là gốc rễ của nó, và x 1 là nghiệm kép, và x 2 - đơn giản.

Số này cũng là nghiệm của phương trình, bởi vì các hệ số của phương trình phải là số thực.

Tổng cộng, phương trình cần có 4 nghiệm: x 1, x 1,x 2, . Do đó, bậc của nó là 4. Chúng ta soạn một đa thức bậc 4 với các số 0 x

11. Số 0 phức là gì?

13. Hình thành ý nghĩa của đẳng thức phức tạp.

15. Môđun và đối số của số phức là gì?

17. Đối số của số phức là gì?

18. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

19. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

27. Đưa ra định nghĩa và liệt kê các tính chất cơ bản của các phép tính số học trên số phức.

28. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

29. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

31. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

32. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

34. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

35. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

61. Liệt kê các tính chất chính của đa thức.

63. Phát biểu tính chất chia một đa thức cho hiệu (x – x0).

65. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

66. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

67. ⌂ .

69. Phát biểu định lý: định lý cơ bản của đại số.

70. Tên và ý nghĩa của công thức là gì?

71. Giải thích ý nghĩa các ký hiệu trong công thức này:

75. Phát biểu tính chất về số nghiệm của một phương trình đại số.

78. Phát biểu tính chất phân tích một đa thức có hệ số thực thành thừa số tuyến tính và thừa số bậc hai.

Thuật ngữ

Số 0 lần k của đa thức là... (tr. 18)

một đa thức đại số được gọi là... (tr. 14)

một phương trình đại số bậc n được gọi là... (tr. 14)

dạng đại số của số phức được gọi là... (tr. 5)

đối số của số phức là... (trang 4)

phần thực của số phức z là... (trang 2)

số liên hợp phức là... (trang 2)

số 0 phức là... (trang 2)

số phức được gọi là... (trang 2)

căn bậc n của số phức được gọi là... (tr. 10)

nghiệm của phương trình là... (tr. 14)

các hệ số của đa thức là... (tr. 14)

đơn vị ảo là... (trang 2)

phần ảo của số phức z là... (trang 2)

mô đun của số phức được gọi là... (tr. 4)

số 0 của hàm được gọi là... (tr. 14)

dạng mũ của số phức được gọi là... (tr. 11)

một đa thức được gọi là... (tr. 14)

số 0 đơn giản của đa thức được gọi là... (tr. 18)

số đối diện là... (trang 2)

bậc của đa thức là... (tr. 14)

dạng lượng giác của số phức được gọi là... (tr. 5)

Công thức Moivre là... (tr. 9)

Công thức Euler là... (trang 13)

toàn bộ chức năng được gọi là... (tr. 14)

một số hoàn toàn là ảo là... (tr. 2)

Hãy nhớ lại những thông tin cần thiết về số phức.

số phức là một biểu hiện của hình thức Một + bi, Ở đâu Một, b là số thực và Tôi- cái gọi là đơn vị tưởng tượng, một ký hiệu có bình phương bằng –1, nghĩa là Tôi 2 = –1. Con số Một gọi điện phần thực, và số b - phần ảo số phức z = Một + bi. Nếu như b= 0 thì thay vào đó Một + 0Tôi họ viết đơn giản Một. Có thể thấy số thực là trường hợp đặc biệt của số phức.

Các phép tính số học trên số phức cũng giống như trên số thực: chúng có thể cộng, trừ, nhân và chia cho nhau. Phép cộng và phép trừ xảy ra theo quy luật ( Một + bi) ± ( c + di) = (Một ± c) + (b ± d)Tôi và phép nhân tuân theo quy tắc ( Một + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (quảng cáo + bc)Tôi(ở đây nó được sử dụng Tôi 2 = –1). Số = Một – bi gọi điện liên hợp phức tạpĐẾN z = Một + bi. Bình đẳng z · = Một 2 + b 2 cho phép bạn hiểu cách chia một số phức cho một số phức khác (khác 0):

(Ví dụ, .)

Số phức có cách biểu diễn hình học thuận tiện và trực quan: số z = Một + bi có thể được biểu diễn bằng một vectơ có tọa độ ( Một; b) trên mặt phẳng Descartes (hoặc, gần giống nhau, một điểm - điểm cuối của vectơ có các tọa độ này). Trong trường hợp này, tổng của hai số phức được mô tả dưới dạng tổng của các vectơ tương ứng (có thể tìm thấy bằng quy tắc hình bình hành). Theo định lý Pythagore, độ dài của vectơ có tọa độ ( Một; b) bằng . Đại lượng này được gọi là mô-đun số phức z = Một + bi và được ký hiệu là | z|. Góc mà vectơ này tạo với hướng dương của trục x (được tính ngược chiều kim đồng hồ) được gọi là lý lẽ số phức z và được ký hiệu là Arg z. Đối số không được xác định duy nhất mà chỉ có phép cộng bội số của 2 π radian (hoặc 360°, nếu tính bằng độ) - xét cho cùng, rõ ràng là việc quay một góc như vậy xung quanh gốc tọa độ sẽ không làm thay đổi vectơ. Nhưng nếu vectơ độ dài r tạo thành một góc φ theo chiều dương của trục x thì tọa độ của nó bằng ( r vì φ ; r tội lỗi φ ). Từ đây hóa ra ký hiệu lượng giác số phức: z = |z| · (cos(Arg z) + Tôi tội lỗi(Arg z)). Việc viết số phức ở dạng này thường rất thuận tiện vì nó đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán. Nhân số phức ở dạng lượng giác rất đơn giản: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + Tôi tội lỗi(Arg z 1 + Arg z 2)) (khi nhân hai số phức, mô-đun của chúng được nhân lên và các đối số của chúng được cộng vào). Từ đây theo sau Công thức Moivre: z n = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + Tôi tội lỗi( N· (Arg z))). Bằng cách sử dụng những công thức này, bạn có thể dễ dàng học cách rút ra các nghiệm ở bất kỳ mức độ nào từ các số phức. căn bậc n của z- đây là số phức w, Cái gì sẽ = z. Rõ ràng là , và , ở đâu k có thể lấy bất kỳ giá trị nào từ tập hợp (0, 1, ..., N– 1). Điều này có nghĩa là luôn luôn có chính xác N rễ N bậc thứ của một số phức (trên mặt phẳng chúng nằm ở các đỉnh của số phức N-gon).