Để tìm định thức của ma trận, bạn cần sử dụng các công thức đúng cho định thức bậc 2 và bậc 3.
Công thức
Cho một ma trận bậc hai $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Sau đó, định thức của nó được tính bằng công thức:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$
Từ tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính $ a_(11)\cdot a_(22) $, tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ $ a_(12)\cdot a_(21) $ bị trừ. Quy tắc này chỉ đúng (!) với định thức cấp 2.
Nếu cho ma trận bậc ba $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, thì định thức của nó sẽ được tính bằng công thức:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$
$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$
Ví dụ về giải pháp
| Ví dụ 1 |
| Cho một ma trận $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ Tính định thức của nó. |
| Giải pháp |
|
Làm thế nào để tìm định thức của ma trận? Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là ma trận là bình phương bậc hai, nghĩa là số cột bằng số hàng và chúng chứa 2 phần tử. Vì vậy, hãy áp dụng công thức đầu tiên. Hãy nhân các phần tử trên đường chéo chính và trừ chúng bằng tích của các phần tử trên đường chéo phụ: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể xem tiến trình tính toán và thu được thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được điểm từ giáo viên của bạn một cách kịp thời! |
| Trả lời |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Ví dụ 2 |
| Cho một ma trận $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. Chúng ta cần tính định thức. |
| Giải pháp |
|
Vì bài toán là ma trận vuông bậc 3 nên định thức sẽ được tìm bằng công thức thứ hai. Để đơn giản hóa việc giải bài toán, việc thay thế các giá trị từ ma trận của bài toán của chúng ta thay vì các biến $ a_(ij) $ trong công thức là đủ: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Điều cần lưu ý là khi tìm tích của các phần tử trên đường chéo phụ và các đường chéo tương tự thì phía trước tích sẽ có dấu trừ. |
| Trả lời |
| $$ \Delta = 31 $$ |
2. CÁC YẾU TỐ QUYẾT ĐỊNH VÀ QUY TẮC CỦA CRAMER
2.1. Yếu tố quyết định bậc hai
Khái niệm định thức cũng nảy sinh liên quan đến bài toán giải hệ phương trình tuyến tính. yếu tố quyết định(hoặc yếu tố quyết định) là số đặc trưng cho ma trận vuông MỘT và thường được ký hiệu bằng ký hiệu: det MỘT, | MỘT| hoặc . Nếu ma trận được đưa ra một cách rõ ràng, dưới dạng bảng, thì định thức được biểu thị bằng cách đặt bảng theo các đường thẳng đứng.yếu tố quyết định ma trận bậc hai được tìm như sau:
(2.1)
Nó bằng tích các phần tử của đường chéo chính của ma trận trừ đi tích các phần tử của đường chéo thứ hai.
Ví dụ, 
Cần nhấn mạnh một lần nữa rằng ma trận là một bảng số, còn định thức là một số được xác định thông qua các phần tử của ma trận vuông.
Bây giờ chúng ta xét hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số:
Sử dụng khái niệm định thức bậc 2, nghiệm của hệ này có thể được viết là:
(2.2)
Nó ở đó Quy tắc Cramer giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn với điều kiện 0.
Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng quy tắc Cramer:
Giải pháp . Hãy tìm các yếu tố quyết định:
Thông tin lịch sử.
Ý tưởng khái niệm "quyết định" có thể thuộc về G. Leibniz(1646-1716), nếu ông đã phát triển và công bố các ý tưởng của mình về định thức mà ông đã đạt được vào năm 1693. Vì vậy, ưu tiên phát triển phương pháp định thức để giải hệ phương trình tuyến tính thuộc về G. Kramer(1704-1752), người đã công bố nghiên cứu của mình về chủ đề này vào năm 1750. Tuy nhiên, Cramer đã không xây dựng được một lý thuyết đầy đủ về các định thức và ông cũng thiếu một ký hiệu thuận tiện. Nghiên cứu sâu rộng đầu tiên dành cho các yếu tố quyết định là A.Vandermonde(1735-1796) vào năm 1772. Ông đã trình bày một cách hợp lý lý thuyết về định thức và đưa ra quy tắc phân tích định thức bằng cách sử dụng định thức thứ. Sự trình bày đầy đủ về lý thuyết các yếu tố quyết định chỉ được đưa ra vào năm 1812.
J.Binet(1786-1856) và O. Cauchy(1789-1858). Thuật ngữ "quyết định" ("quyết định") theo nghĩa hiện đại của nó đã được Cauchy đưa ra (trước đây thuật ngữ này được K. Gauss sử dụng để biểu thị phân biệt của dạng bậc hai).
2.2. Yếu tố quyết định bậc ba
yếu tố quyết định Ma trận bậc 3 được tìm như sau
(2.3)
Đương nhiên, khá khó để nhớ công thức này. Tuy nhiên, có những quy tắc giúp việc viết biểu thức định thức cấp 3 trở nên dễ dàng hơn.
Quy tắc tam giác
: ba số hạng có trong biểu thức ban đầu có dấu cộng là tích của các phần tử của đường chéo chính hoặc các hình tam giác có đáy song song với đường chéo này. Ba số hạng còn lại có dấu trừ được tìm theo cách tương tự nhưng so với đường chéo thứ hai.
quy tắc Sarrus
: thêm cột đầu tiên và sau đó là cột thứ hai vào ma trận bên phải. Khi đó các số hạng “dương” sẽ nằm trên các đường thẳng song song với đường chéo chính và các số hạng “âm” sẽ nằm trên các đường thẳng song song với đường chéo thứ hai.
2.3. Quy tắc Cramer
Xét hệ 3 phương trình với 3 ẩn số
Sử dụng định thức bậc 3, nghiệm của hệ như vậy có thể được viết dưới dạng tương tự như đối với hệ hai phương trình, tức là
(2.4)
nếu 0. Đây
Nó ở đó Quy tắc Cramer giải hệ ba phương trình tuyến tính ba ẩn.
Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng quy tắc Cramer:
Giải pháp . Tìm định thức của ma trận chính của hệ thống
Vì 0 nên để tìm nghiệm của hệ ta có thể áp dụng quy tắc Cramer, nhưng trước tiên ta tính thêm ba định thức:
Bài kiểm tra:
Vì vậy, giải pháp đã được tìm thấy một cách chính xác.
Các quy tắc Cramer thu được cho các hệ tuyến tính bậc 2 và bậc 3 gợi ý rằng các quy tắc tương tự có thể được xây dựng cho các hệ tuyến tính ở bất kỳ bậc nào. Thực sự xảy ra
Định lý Cramer. Hệ bậc hai của phương trình tuyến tính với định thức khác 0 của ma trận chính của hệ (0) có một và chỉ một nghiệm và nghiệm này được tính bằng công thức
(2.5)
Ở đâu – định thức của ma trận chính, Tôi – định thức ma trận, lấy từ cái chính, thay thếTôicột thứ cột thành viên miễn phí.
Lưu ý rằng nếu =0 thì quy tắc Cramer không áp dụng được. Điều này có nghĩa là hệ không có nghiệm nào cả hoặc có vô số nghiệm.
Sau khi xây dựng định lý Cramer, câu hỏi tự nhiên nảy sinh về việc tính các định thức của bậc cao hơn.
2.4. Các yếu tố quyết định bậc thứ n
Trẻ vị thành niên bổ sung M ij yếu tố Một ij là định thức thu được từ một cho trước bằng cách xóa Tôi dòng thứ và j cột thứ. Phần bù đại số MỘT ij yếu tố Một ij phần tử thứ của phần tử này lấy dấu (–1) được gọi là Tôi + j, tức là MỘT ij = (–1) Tôi + j M ij .Ví dụ: hãy tìm phần bù đại số và phần bù phụ của các phần tử Một 23 và Một 31 vòng loại
chúng tôi nhận được
Sử dụng khái niệm phần bù đại số chúng ta có thể xây dựng định lý khai triển định thứcN-thứ tự theo hàng hoặc cột.
Định lý 2.1.Định thức ma trậnMỘTbằng tổng các tích của tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) nhất định bằng phần bù đại số của chúng:
(2.6)
Định lý này làm cơ sở cho một trong những phương pháp chính để tính các yếu tố quyết định, được gọi là. phương pháp giảm đơn hàng. Là kết quả của việc mở rộng định thức N theo thứ tự trên bất kỳ hàng hoặc cột nào, ta có n định thức ( N–1) thứ tự. Để có ít định thức như vậy hơn, nên chọn hàng hoặc cột có nhiều số 0 nhất. Trong thực tế, công thức khai triển của định thức thường được viết là:
những thứ kia. phép cộng đại số được viết rõ ràng dưới dạng trẻ vị thành niên.
Ví dụ 2.4. Tính các định thức bằng cách sắp xếp chúng vào một số hàng hoặc cột. Thông thường, trong những trường hợp như vậy, hãy chọn cột hoặc hàng có nhiều số 0 nhất. Hàng hoặc cột được chọn sẽ được biểu thị bằng một mũi tên.
2.5. Các tính chất cơ bản của định thức
Khai triển định thức trên bất kỳ hàng hoặc cột nào, ta được n định thức ( N–1) thứ tự. Khi đó mỗi yếu tố quyết định ( N–1) bậc thứ cũng có thể được mở rộng thành tổng các định thức ( N–2) thứ tự. Tiếp tục quá trình này, người ta có thể đạt được các yếu tố quyết định bậc 1, tức là các phần tử của ma trận mà định thức của nó đã được tính toán. Vì vậy, để tính định thức bậc 2, bạn sẽ phải tính tổng của hai số hạng, đối với định thức bậc 3 - tổng của 6 số hạng, đối với định thức bậc 4 - 24 số hạng. Số lượng số hạng sẽ tăng mạnh khi thứ tự của định thức tăng lên. Điều này có nghĩa là việc tính toán các định thức của bậc rất cao trở thành một công việc khá tốn công, vượt quá khả năng của ngay cả máy tính. Tuy nhiên, định thức có thể được tính theo cách khác, sử dụng các tính chất của định thức.Bất động sản 1. Định thức sẽ không thay đổi nếu các hàng và cột trong nó bị hoán đổi, tức là khi chuyển vị một ma trận:
.
Thuộc tính này biểu thị sự bằng nhau giữa các hàng và cột của định thức. Nói cách khác, bất kỳ phát biểu nào về các cột của định thức cũng đúng với các hàng của nó và ngược lại.
Thuộc tính 2. Định thức đổi dấu khi hai hàng (cột) đổi chỗ cho nhau.
Kết quả. Nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau thì nó bằng 0.
Thuộc tính 3. Thừa số chung của tất cả các phần tử trong một hàng (cột) bất kỳ có thể được đưa ra khỏi dấu định thức.
Ví dụ,
Kết quả. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (cột) nhất định của định thức đều bằng 0 thì bản thân định thức đó bằng 0.
Thuộc tính 4. Định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử của một hàng (cột) được thêm vào các phần tử của một hàng (cột) khác, nhân với một số nào đó.
Ví dụ,
Thuộc tính 5. Định thức của tích các ma trận bằng tích các định thức của ma trận:
2.6.
Định lý 2.2.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử của đường chéo chính:
Các phép biến đổi cơ bản Các phép biến đổi sau đây được gọi là ma trận: 1) nhân một hàng (cột) với một số không bằng 0; 2) thêm một hàng (cột) vào hàng khác; 3) sắp xếp lại hai hàng (cột).
Phương pháp biến đổi cơ bản là sử dụng các phép biến đổi cơ bản, có tính đến các tính chất của định thức, để quy ma trận về dạng tam giác.
Ví dụ 2.5. Tính định thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa chúng về dạng tam giác:
Ví dụ 2.6. Tính định thức:
.
Giải pháp . Hãy đơn giản hóa định thức này và sau đó tính toán nó:
.
Ví dụ 2.7. Tính định thức 
.
Giải pháp . Phương pháp 1 .Sử dụng các phép biến đổi cơ bản của ma trận, có tính đến các tính chất của định thức, chúng ta sẽ thu được các số 0 ở bất kỳ hàng hoặc cột nào, sau đó chúng ta sẽ khai triển định thức thu được dọc theo hàng hoặc cột này:
–6
2
-2
.
Phương pháp 2
.Sử dụng các phép biến đổi cơ bản của ma trận, có xét đến tính chất của định thức, ta quy ma trận về dạng tam giác:
.
Tính toán các định thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản, bằng cách rút gọn nó về dạng tam giác, là một trong những phương pháp phổ biến nhất. Điều này là do đây là phương pháp chính để tính các định thức trên máy tính. Chính xác hơn, đó là một trong những sửa đổi Phương pháp Gauss , thường được sử dụng khi giải hệ phương trình tuyến tính.
Ví dụ 2.8. Tính định thức bằng phương pháp Gaussian:
Giải pháp. Xem xét cột đầu tiên và chọn hàng trong đó chứa 1. Nếu không có đơn vị, thì bạn cần tạo đơn vị này bằng các phép biến đổi cơ bản: sắp xếp lại các hàng hoặc cột, cộng hoặc trừ chúng với nhau, nhân hoặc chia chúng cho một số số (tất nhiên có tính đến các tính chất của định thức). Hãy lấy hàng thứ hai làm cơ sở và sử dụng nó để thu được số 0 trong cột đầu tiên:
Sau đó, chúng ta không chú ý đến dòng đầu tiên nữa. Chúng ta hãy nhìn vào cột thứ 2.
Kết quả là một ma trận tam giác. Để tính định thức, tất cả những gì còn lại là nhân các phần tử ma trận nằm trên đường chéo chính. Như vậy, ta có đáp án: –2(–1)(–1)1334 = –264.
Trong thực tế, nhà nghiên cứu thường phải giải quyết các đại lượng chưa biết được kết nối với nhau bằng một số phụ thuộc nhất định được xác định trước và có thể được biểu thị bằng bất kỳ công thức nào. Nếu một số điều kiện được đáp ứng:
- các hệ số trong công thức là hằng số,
- những ẩn số chỉ được đưa vào công thức ở mức độ đầu tiên,
- không có tác phẩm nào giữa những điều chưa biết,
thì sự phụ thuộc như vậy được gọi là tuyến tính.
Ví dụ. Trong phòng thí nghiệm, có 10 mẫu có tổng khối lượng là 280 g. Tìm khối lượng trung bình của một mẫu nếu hộp nặng 15 g.
Giải pháp. Để trả lời câu hỏi, chúng ta sẽ sử dụng một phương trình đơn giản:
ký hiệu là x khối lượng trung bình của một mẫu. Giải pháp cho phương trình được biên soạn sẽ là 26,5 g.
Ví dụ. Trong phòng thí nghiệm, 10 mẫu nhận từ bộ phận 1 và 10 mẫu nhận từ bộ phận 2 có tổng trọng lượng là 280 g, 5 mẫu từ bộ thứ nhất và 2 mẫu từ bộ thứ hai có tổng trọng lượng là 128 g. trọng lượng trung bình của các mẫu trong mỗi bộ.
Giải pháp. Để trả lời câu hỏi, hãy lập hai phương trình, biểu thị x là trọng lượng trung bình của mẫu đá 1 và y là trọng lượng trung bình của mẫu đá 2,
10x+10y=280; 5x+2y=128,
giải chung chúng ta được x=24 g; y=4 g.
Trong cả hai ví dụ được xem xét, chúng ta đang xử lý các phụ thuộc tuyến tính: trong trường hợp đầu tiên, với phương trình và trong trường hợp thứ hai – với tuyến tính hệ phương trình.
Hãy thay thế các hệ số bằng các chữ cái và nhận được hệ phương trình tuyến tính:
Định nghĩa 1. Ma trận chúng ta sẽ gọi bất kỳ bảng hình chữ nhật nào được tạo thành từ các con số một ij
Định nghĩa 2. Yếu tố một ij từ đó ma trận được tạo thành gọi là các phần tử của ma trận này
Định nghĩa 3. Định thức bậc hai hoặc yếu tố quyết định, tương ứng với ma trận (1.2) hãy gọi đến số đó D như vậy
| (1.3) |
Định thức được ký hiệu bằng chữ D hoặc và viết
Cần lưu ý rằng mặc dù định thức là một số, theo định nghĩa 3, nhưng cho đến khi giá trị của nó được tìm thấy ở dạng số ít (sử dụng công thức 1.2 hoặc một số phương pháp hợp lệ khác), nó vẫn được viết dưới dạng bảng. Sau đó, chúng ta có thể nói, ví dụ, về việc sắp xếp lại các hàng hoặc cột trong bảng này. Trong trường hợp này, người ta nên nói “định thức tương ứng với ma trận”. Nhưng trong thực tế, phần thứ hai của cụm từ này thường bị bỏ qua để đơn giản và khi đó chỉ còn lại một từ - từ hạn định. Để phân biệt ý nghĩa của nó - bản thân định thức ở dạng bảng hoặc giá trị tìm thấy của nó, trong trường hợp thứ hai, từ định thức được sử dụng. Do đó, nếu họ nói, ví dụ: “số hàng trong định thức…”, thì chúng có nghĩa là định thức tương ứng với ma trận, nhưng chưa được tính thành một số duy nhất. Và, nếu họ nói định thức, điều đó có nghĩa là định thức này được biểu diễn bằng một số duy nhất, được tính bằng một công thức hoặc bằng một số phương pháp có thể chấp nhận được khác.
Ví dụ. Cho một hệ phương trình
Soạn ma trận của hệ thống và tính định thức.
Giải pháp. Từ hệ số hệ thống hãy tạo một ma trận: 
và định thức tương ứng của nó 
Hãy thực hiện các phép tính bằng công thức (2), chúng tôi thu được
Định nghĩa 4. Số hàng (hoặc số cột) của định thức được gọi là theo thứ tự định thức
Trong ví dụ này, định thức bậc hai đã được tính toán.
Các yếu tố quyết định có các tính chất sau.
Bất động sản 1. Định thức sẽ không thay đổi nếu thay hàng bằng cột và ngược lại.
Hãy thể hiện nó. Cho định thức bậc hai
Hãy thay thế các hàng bằng các cột và tính lại định thức kết quả
So sánh D với D* ta thấy D = D* .
Định nghĩa 5. Phép toán thay hàng bằng cột (hoặc ngược lại) trong định thức được gọi là chuyển vị.
Thuộc tính 2. Khi hai hàng hoặc hai cột được sắp xếp lại, định thức sẽ thay đổi dấu.
Chúng ta sẽ xác minh tính chất này bằng một ví dụ, như đối với tính chất 1. Giả sử định thức được cho
Hãy hoán đổi các cột trong đó và tính định thức kết quả.
So sánh các kết quả, chúng ta tin rằng định thức thực sự đã đổi dấu. Bây giờ chúng ta hoán đổi các dòng và xác minh lại tính hợp lệ của thuộc tính này.
Định nghĩa 6. Định thức bậc ba tương ứng với ma trận của hệ (1.4) là số D bằng
Để tính định thức bậc ba, hai sơ đồ tính toán được sử dụng giúp tính định thức bậc ba mà không gặp nhiều rắc rối. Những kế hoạch này được gọi là " quy tắc tam giác" (hoặc "quy tắc dấu hoa thị") và " quy tắc Sarrus ".
Theo quy tắc tam giác, các phần tử nối nhau bằng đường thẳng trong sơ đồ trước tiên được nhân và cộng
những thứ kia. chúng tôi nhận được tổng của các sản phẩm: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.
Xin lưu ý rằng các phần tử được kết nối bằng một đường thẳng hoặc đứt quãng sẽ được nhân lên và sau đó các sản phẩm thu được sẽ được thêm vào.
Sau đó các phần tử được kết nối trong sơ đồ được nhân và cộng lại
những thứ kia. chúng ta nhận được một tổng sản phẩm khác a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. Và cuối cùng, để tính định thức, tổng thứ nhất được trừ đi thứ hai. Sau đó, cuối cùng chúng ta thu được công thức tính định thức bậc ba:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
Theo quy tắc Sarrus, hai cột đầu tiên được cộng vào định thức ở bên phải, sau đó tính tổng các tích của các phần tử của định thức theo một hướng và tổng các tích của các phần tử theo hướng kia. được trừ khỏi nó (xem sơ đồ):
Bạn có thể chắc chắn rằng kết quả sẽ giống như khi tính định thức bằng quy tắc tam giác.
Ví dụ. Tính định thức
Giải pháp. Hãy tính định thức bằng quy tắc dấu hoa thị
Và theo quy tắc của Sarrus
Những thứ kia. chúng tôi thu được kết quả tương tự cho cả hai sơ đồ tính toán, như mong đợi.
Lưu ý rằng tất cả các tính chất được xây dựng cho định thức bậc hai đều đúng cho định thức bậc ba, vì bạn có thể tự mình xác minh. Dựa trên những tính chất này, chúng ta xây dựng các tính chất chung cho định thức ở cấp bất kỳ.
BÀI 2
2.1 CÁC YẾU TỐ XÁC ĐỊNH TRÌNH TỰ THỨ HAI
Định thức bậc hai(tương ứng với ma trận này
) được gọi là một số 
Ví dụ 1: Hãy tính định thức của ma trận
Ví dụ 2. Tính định thức bậc hai:
2(-4)
- 5(-3) = -8 + 15 = 7
=
2.2 CÁC XÁC ĐỊNH ĐẶT HÀNG THỨ BA
Cho ma trận vuông bậc ba:
MỘT=
Định thức (hoặc định thức) của bậc ba tương ứng với một ma trận đã cho là số
phát hiệnMỘT =
=
Ví dụ 3
Giải pháp đầu tiên:
Công thức dài, dễ mắc lỗi do bất cẩn. Làm thế nào để tránh những sai lầm khó chịu? Với mục đích này, phương pháp thứ hai để tính định thức đã được phát minh, phương pháp này thực sự trùng khớp với phương pháp thứ nhất. Nó được gọi là phương pháp Sarrus hay phương pháp “dải song song”. Điểm mấu chốt là ở bên phải của định thức, gán cột thứ nhất và cột thứ hai và cẩn thận vẽ các đường bằng bút chì:
Các số nhân nằm trên các đường chéo “đỏ” được đưa vào công thức với dấu “cộng”. Các số nhân nằm trên các đường chéo “xanh” được đưa vào công thức với dấu trừ:
Ví dụ 3
Giải pháp thứ hai:
So sánh hai giải pháp. Dễ dàng nhận thấy đây là điều CÙNG, chỉ là trong trường hợp thứ hai, các yếu tố công thức được sắp xếp lại một chút, và quan trọng nhất là khả năng mắc lỗi sẽ ít hơn nhiều.
Ví dụ 4
Tính định thức bậc ba:
Ví dụ 5
Tính định thức bậc ba
THỰC HÀNH 2
NHIỆM VỤ N 1
, Cái đó…
Giải pháp:
Cái đó
Theo điều kiện 
, Sau đó
NHIỆM VỤ N 2Chủ đề: Định thức bậc hai Nếu định thức bậc hai
, Cái đó…
Giải pháp:
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có
Theo điều kiện 
, Sau đó
NHIỆM VỤ N 3
Chủ đề: Định thức bậc hai Nếu định thức bậc hai
, Cái đó…
Giải pháp: Vì định thức bậc hai bằng với số thu được theo quy tắc:
Cái đó
Theo điều kiện 
, Sau đó
NHIỆM VỤ N 4Chủ đề: Định thức bậc hai Nếu định thức là bậc hai thì...
Giải pháp: Chúng tôi xin nhắc bạn rằng định thức bậc hai bằng với số thu được theo quy tắc:
Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có
Theo điều kiện 
, Sau đó
NHIỆM VỤ N 5Chủ đề: Định thức bậc ba Giá trị của định thức bậc ba có thể được tính bằng cách sử dụng "quy tắc tam giác", được biểu thị dưới dạng sơ đồ trong hình. 
Vậy yếu tố quyết định là...
Giải pháp:
NHIỆM VỤ N 6
Chủ đề: Định thức bậc ba Giá trị của định thức bậc ba có thể được tính bằng cách sử dụng "quy tắc tam giác", được biểu thị dưới dạng sơ đồ trong hình. 
Vậy yếu tố quyết định là...
Giải pháp:Định thức bậc ba bằng tổng của sáu số hạng, trong đó ba số hạng lấy dấu “+” và ba số hạng lấy dấu “−”. Quy tắc tính các số hạng có dấu “+” được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 2. 1. Một trong các số hạng bằng tích các phần tử của định thức nằm trên đường chéo chính. Hai thừa số còn lại được tìm thấy là tích của các phần tử nằm song song với đường chéo này, với việc cộng thêm thừa số thứ ba từ góc đối diện của định thức. Các số hạng có dấu “-” được lấy theo cách tương tự, nhưng liên quan đến đường chéo thứ hai (Hình 2). Sau đó
CÔNG VIỆC ĐỘC LẬP 2
NHIỆM VỤ N 1Chủ đề: Định thức bậc hai Nếu định thức bậc hai 
, Cái đó…