Bugün hiçbir ön dönüşüme veya kök seçimine gerek olmayan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Ancak bu tür denklemleri çözmeyi öğrenirseniz, o zaman çok daha kolay olacaktır.
En basit logaritmik denklem log a f(x) = b formundaki bir denklemdir; burada a, b sayılardır (a > 0, a ≠ 1), f(x) belirli bir fonksiyondur.
Tüm logaritmik denklemlerin ayırt edici bir özelliği, logaritma işaretinin altında x değişkeninin bulunmasıdır. Eğer problemde başlangıçta verilen denklem buysa buna en basit denir. Diğer logaritmik denklemler özel dönüşümlerle en basit hale getirilir (bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”). Bununla birlikte, çok sayıda incelik dikkate alınmalıdır: Fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu nedenle karmaşık logaritmik denklemler ayrı ayrı ele alınacaktır.
Bu tür denklemler nasıl çözülür? Eşittir işaretinin sağındaki sayıyı, soldaki ile aynı tabandaki bir logaritma ile değiştirmek yeterlidir. O zaman logaritmanın işaretinden kurtulabilirsiniz. Şunu elde ederiz:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Her zamanki denklemi elde ettik. Kökleri orijinal denklemin kökleridir.
Derece çıkarmak
Genellikle dışarıdan karmaşık ve tehditkar görünen logaritmik denklemler, hiçbir müdahaleye gerek kalmadan birkaç satırda kelimenin tam anlamıyla çözülür. karmaşık formüller. Bugün tam da bu tür sorunlara bakacağız; sizden tek yapmanız gereken, formülü dikkatli bir şekilde kanonik forma indirgemek ve logaritmanın tanım alanını ararken kafanızın karışmamasıdır.
Bugün muhtemelen başlıktan da tahmin ettiğiniz gibi logaritmik denklemleri kanonik forma geçiş formüllerini kullanarak çözeceğiz. Bu video dersinin ana "püf noktası" derecelerle çalışmak, daha doğrusu dereceyi temelden ve argümandan çıkarmak olacaktır. Kurala bakalım:
Benzer şekilde, dereceyi tabandan türetebilirsiniz:
Görebildiğimiz gibi, logaritmanın argümanından dereceyi çıkardığımızda sadece önümüzde ek bir faktör varsa, o zaman dereceyi tabandan çıkardığımızda sadece bir faktör değil, tersine çevrilmiş bir faktör elde ederiz. Bunun hatırlanması gerekiyor.
Son olarak en ilginç şey. Bu formüller birleştirilebilir ve şunu elde ederiz:
Elbette, bu geçişleri yaparken, tanımın kapsamının olası genişlemesi veya tam tersine, tanımın kapsamının daralmasıyla ilgili bazı tuzaklar vardır. Kendiniz karar verin:
günlük 3 x 2 = 2 ∙ günlük 3 x
İlk durumda x, 0'dan farklı bir sayı olabiliyorsa, yani x ≠ 0 gereksinimi varsa, o zaman ikinci durumda yalnızca x ile tatmin oluruz; bunlar yalnızca eşit değildir, aynı zamanda 0'dan kesinlikle büyüktür, çünkü Logaritmanın tanımı, argümanın kesinlikle 0'dan büyük olmasıdır. Bu nedenle size şunu hatırlatmama izin verin: harika formül 8-9.sınıf cebir dersinden:
Yani formülümüzü şu şekilde yazmamız gerekiyor:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
O zaman tanımın kapsamı daralmayacaktır.
Ancak bugünkü video eğitiminde kareler olmayacak. Görevlerimize bakarsanız sadece kökleri göreceksiniz. Bu nedenle bu kuralı uygulamayacağız ancak yine de akılda tutulması gerekiyor ki doğru an gördüğünde ikinci dereceden fonksiyon bir argümanda veya bir logaritmanın tabanında bu kuralı hatırlayacak ve tüm dönüşümleri doğru bir şekilde gerçekleştireceksiniz.
Yani ilk denklem şu:
Bu sorunu çözmek için formülde bulunan terimlerin her birine dikkatlice bakmayı öneriyorum.
İlk terimi bir kuvvet olarak yeniden yazalım. rasyonel gösterge:
İkinci terime bakıyoruz: log 3 (1 − x). Burada hiçbir şey yapmaya gerek yok, burada her şey zaten dönüşmüş durumda.
Son olarak 0, 5. Önceki derslerde de söylediğim gibi logaritmik denklem ve formülleri çözerken ondalık kesirlerden ortak kesirlere geçmenizi şiddetle tavsiye ederim. Hadi şunu yapalım:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ortaya çıkan terimleri dikkate alarak orijinal formülümüzü yeniden yazalım:
log 3 (1 - x) = 1
Şimdi kanonik forma geçelim:
günlük 3 (1 − x ) = günlük 3 3
Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz:
1 - x = 3
−x = 2
x = −2
İşte bu, denklemi çözdük. Ancak yine de işi riske atalım ve tanımın alanını bulalım. Bunu yapmak için orijinal formüle geri dönelim ve şunu görelim:
1 - x > 0
−x > −1
X< 1
Kök x = −2 bu gereksinimi karşılıyor, dolayısıyla x = −2 orijinal denklemin bir çözümü. Şimdi elimizde kesin ve net bir gerekçe var. İşte bu, sorun çözüldü.
Gelelim ikinci göreve:
Her terime ayrı ayrı bakalım.
İlkini yazalım:
İlk dönemi dönüştürdük. İkinci dönemle çalışıyoruz:
Son olarak eşittir işaretinin sağındaki son terim:
Ortaya çıkan formüldeki terimler yerine ortaya çıkan ifadeleri değiştiririz:
günlük 3 x = 1
Kanonik forma geçelim:
günlük 3 x = günlük 3 3
Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz ve şunu elde ederiz:
x = 3
Yine de tedbiri elden bırakmamak için orijinal denkleme geri dönüp bir göz atalım. Orijinal formülde x değişkeni yalnızca bağımsız değişkende mevcuttur, bu nedenle,
x > 0
İkinci logaritmada x kökün altındadır ama yine argümanda bu nedenle kök 0'dan büyük olmalıdır, yani radikal ifade 0'dan büyük olmalıdır. Kök x = 3'e bakıyoruz. bu gereksinimi karşılar. Dolayısıyla x = 3 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür. İşte bu, sorun çözüldü.
Bugünkü video eğitiminde iki önemli nokta var:
1) logaritmaları dönüştürmekten korkmayın ve özellikle logaritmanın işaretinden kuvvetleri çıkarmaktan korkmayın, aynı zamanda temel formülümüzü hatırlayın: bir argümandan bir kuvveti çıkarırken, değişiklik yapılmadan basitçe çıkarılır çarpan olarak kullanılır ve tabandan bir güç kaldırıldığında bu güç tersine çevrilir.
2) ikinci nokta kanonik formun kendisiyle ilgilidir. Logaritmik denklem formülünün dönüşümünün en sonunda kanonik forma geçişi yaptık. Size şu formülü hatırlatayım:
a = log b b a
Elbette "herhangi bir sayı b" ifadesiyle, logaritmanın bazında dayatılan gereklilikleri karşılayan sayıları kastediyorum, yani.
1 ≠ b > 0
Böyle bir b için ve temelini zaten bildiğimiz için bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilecektir. Ancak bu gereksinimi karşılayan herhangi bir b için bu geçiş gerçekleştirilebilir ve logaritmanın işaretinden kurtulabileceğimiz kanonik bir form elde ederiz.
Tanım alanını ve ekstra kökleri genişletmek
Logaritmik denklemlerin dönüştürülmesi sürecinde tanım alanının örtülü bir şekilde genişletilmesi meydana gelebilir. Çoğu zaman öğrenciler bunu fark etmezler, bu da hatalara ve yanlış cevaplara yol açar.
En basit tasarımlarla başlayalım. En basit logaritmik denklem şudur:
loga f(x) = b
X'in bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde mevcut olduğuna dikkat edin. Bu tür denklemleri nasıl çözeriz? Kanonik formu kullanıyoruz. Bunu yapmak için b = log a a b sayısını hayal edin, denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:
log a f (x) = log a a b
Bu girdiye kanonik form denir. Sadece bugünkü derste değil, aynı zamanda herhangi bir bağımsız ve test çalışmasında da karşılaşacağınız logaritmik denklemleri buna indirgemelisiniz.
Kanonik forma nasıl ulaşılacağı ve hangi tekniklerin kullanılacağı pratik meselesidir. Anlaşılması gereken en önemli şey, böyle bir kaydı alır almaz sorunun çözülmüş olduğunu düşünebilmenizdir. Çünkü sonraki adım bir giriş olacak:
f(x) = a b
Başka bir deyişle logaritma işaretinden kurtulup basitçe argümanları eşitliyoruz.
Bütün bu konuşmalar neden? Gerçek şu ki, kanonik biçim yalnızca en basit sorunlara değil aynı zamanda diğer sorunlara da uygulanabilir. Özellikle bugün karar vereceklerimiz. Görelim.
İlk görev:
Bu denklemdeki sorun nedir? Gerçek şu ki, fonksiyon aynı anda iki logaritmadadır. Bir logaritmanın diğerinden çıkarılmasıyla problem en basit haline indirilebilir. Ancak tanımlama alanında sorunlar ortaya çıkıyor: ekstra kökler görünebilir. Logaritmalardan birini sağa taşıyalım:
Bu giriş kanonik forma çok daha benzer. Ancak bir nüans daha var: Kanonik biçimde argümanlar aynı olmalıdır. Sol tarafta 3 tabanındaki logaritmayı, sağda ise 1/3 tabanındaki logaritmayı görüyoruz. Bu üslerin aynı sayıya getirilmesi gerektiğini biliyor. Örneğin negatif güçlerin ne olduğunu hatırlayalım:
Daha sonra çarpan olarak logun dışındaki “−1” üssünü kullanacağız:
Lütfen dikkat: Tabandaki derece ters çevrilir ve kesir haline getirilir. Farklı tabanlardan kurtularak neredeyse kanonik bir notasyon elde ettik ancak bunun karşılığında sağdaki “−1” faktörünü elde ettik. Bu faktörü bir kuvvete dönüştürerek argümana dahil edelim:
Tabii ki, kanonik formu aldıktan sonra, logaritmanın işaretini cesurca çizeriz ve argümanları eşitleriz. Aynı zamanda, kesirin “−1” üssüne yükseltildiğinde basitçe ters çevrildiğini - bir oran elde edildiğini hatırlatmama izin verin.
Oranın temel özelliğini kullanalım ve bunu çapraz olarak çarpalım:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Önümüzde olan şey ikinci dereceden denklem bu yüzden bunu Vieta'nın formüllerini kullanarak çözüyoruz:
(x − 8)(x − 2) = 0
x1 = 8; x 2 = 2
Hepsi bu. Sizce denklem çözüldü mü? HAYIR! Böyle bir çözüm için 0 puan alacağız çünkü orijinal denklem x değişkeniyle birlikte iki logaritma içeriyor. Bu nedenle tanım alanının dikkate alınması gerekmektedir.
Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Çoğu öğrencinin kafası karışıyor: Logaritmanın tanım alanı nedir? Elbette tüm argümanların (iki tane var) sıfırdan büyük olması gerekir:
(x - 4)/(3x - 4) > 0
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Bu eşitsizliklerin her biri çözülmeli, düz bir çizgi üzerinde işaretlenmeli, kesiştirilmeli ve ancak o zaman kesişimde hangi köklerin bulunduğu görülmelidir.
Dürüst olacağım: Bu tekniğin var olma hakkı var, güvenilir ve doğru cevabı alacaksınız, ama içinde çok fazla şey var. gereksiz eylemler. Öyleyse çözümümüze tekrar bakalım ve görelim: Kapsamı tam olarak nereye uygulamamız gerekiyor? Başka bir deyişle, ekstra köklerin tam olarak ne zaman ortaya çıktığını açıkça anlamanız gerekir.
- Başlangıçta iki logaritmamız vardı. Daha sonra bir tanesini sağa kaydırdık ama bu durum tanım alanını etkilemedi.
- Sonra tabandaki kuvveti kaldırıyoruz ama hala iki logaritma var ve her birinde bir x değişkeni var.
- Son olarak kütük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve klasik olanı elde ediyoruz kesirli rasyonel denklem.
Tanımın kapsamı son adımda genişletilir! Log işaretlerinden kurtulup kesirli-rasyonel bir denkleme geçtiğimizde, x değişkenine yönelik gereksinimler çarpıcı biçimde değişti!
Sonuç olarak, tanım alanı çözümün en başında değil, yalnızca belirtilen adımda, argümanların doğrudan eşitlenmesinden önce düşünülebilir.
Optimizasyon fırsatının yattığı yer burasıdır. Bir yandan her iki argümanın da sıfırdan büyük olması gerekiyor. Öte yandan, bu argümanları daha da eşitliyoruz. Dolayısıyla bunlardan en az biri pozitifse ikincisi de pozitif olacaktır!
Dolayısıyla iki eşitsizliğin aynı anda karşılanmasının gereğinden fazla olduğu ortaya çıktı. Bu kesirlerden sadece birini dikkate almak yeterlidir. Tam olarak hangisi? Daha basit olan. Örneğin sağdaki kesire bakalım:
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Bu tipik kesirli rasyonel eşitsizlik aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz:
İşaretler nasıl yerleştirilir? Tüm köklerimizden açıkça daha büyük olan bir sayıyı alalım. Mesela 1 milyar Ve onun kesirini değiştiriyoruz. Aldık pozitif sayı yani x = 5 kökünün sağında bir artı işareti olacaktır.
Sonra işaretler değişir, çünkü hiçbir yerde çokluğun kökleri yoktur. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu nedenle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Şimdi cevapları hatırlayalım: x = 8 ve x = 2. Açıkçası bunlar henüz cevap değil, yalnızca cevaba adaylar. Hangisi belirtilen kümeye aittir? Elbette x = 8. Ama x = 2 tanım alanı açısından bize uymuyor.
Toplamda ilk logaritmik denklemin cevabı x = 8 olacaktır. Artık doğru olanı bulduk, bilgilendirilmiş karar Tanım alanı dikkate alınarak.
Gelelim ikinci denkleme:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Denklemde ondalık kesir varsa ondan kurtulmanız gerektiğini hatırlatayım. Başka bir deyişle, 0,5'i formda yeniden yazalım. ortak kesir. Bu tabanı içeren logaritmanın kolaylıkla hesaplanabildiğini hemen fark ederiz:
Bu çok önemli bir an! Hem tabanda hem de argümanda derecelerimiz olduğunda, bu derecelerin göstergelerini aşağıdaki formülü kullanarak türetebiliriz:
Orijinal logaritmik denklemimize geri dönelim ve onu yeniden yazalım:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Kanonik forma oldukça yakın bir tasarım elde ettik. Ancak terimler ve eşittir işaretinin sağındaki eksi işareti kafamızı karıştırıyor. Birini 5 tabanına göre logaritma olarak temsil edelim:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 – log 5 (x − 5)
Sağdaki logaritmaları çıkarın (bu durumda argümanları bölünmüştür):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Müthiş. Böylece kanonik formu elde ettik! Günlük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Bu, çapraz olarak çarpılarak kolayca çözülebilecek bir orandır:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Açıkçası, ikinci dereceden indirgenmiş bir denklemimiz var. Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
İki kökümüz var. Ancak bunlar nihai yanıtlar değil, yalnızca adaylardır çünkü logaritmik denklem aynı zamanda tanım alanının kontrol edilmesini de gerektirir.
Size hatırlatıyorum: ne zaman aramaya gerek yok Her argümanların sayısı sıfırdan büyük olacaktır. Bir bağımsız değişkenin (x - 9 veya 5/(x - 5)) sıfırdan büyük olmasını gerektirmek yeterlidir. İlk argümanı düşünün:
x - 9 > 0
x > 9
Açıkçası, yalnızca x = 10 bu gereksinimi karşılar. Bu son cevaptır. Bütün sorun çözüldü.
Bir kez daha bugünkü dersin ana düşünceleri:
- X değişkeni birkaç logaritmada göründüğünde, denklem temel olmaktan çıkar ve bunun için tanım alanının hesaplanması gerekecektir. Aksi takdirde cevaba kolayca fazladan kökler yazabilirsiniz.
- Eşitsizliği hemen değil, tam olarak log işaretlerinden kurtulduğumuz anda yazarsak, alanın kendisiyle çalışmak önemli ölçüde basitleştirilebilir. Sonuçta argümanlar birbirine eşitlendiğinde yalnızca birinin sıfırdan büyük olmasını istemek yeterlidir.
Elbette, bir eşitsizliği oluşturmak için hangi argümanı kullanacağımızı kendimiz seçiyoruz, bu nedenle en basit olanı seçmek mantıklıdır. Örneğin, ikinci denklemde (x − 9) argümanını seçtik - doğrusal fonksiyon kesirli rasyonel ikinci argümanın aksine. Katılıyorum, x − 9 > 0 eşitsizliğini çözmek, 5/(x − 5) > 0 eşitsizliğini çözmekten çok daha kolaydır. Ancak sonuç aynı.
Bu açıklama ODZ aramasını büyük ölçüde basitleştirir, ancak dikkatli olun: yalnızca argümanlar tam olarak aynıysa iki yerine bir eşitsizlik kullanabilirsiniz. birbirine eşittir!
Elbette birileri şimdi şunu soracaktır: Farklı olan ne? Evet, oluyor. Örneğin, adımın kendisinde, bir değişken içeren iki argümanı çarptığımızda, ortaya çıkma tehlikesi vardır. ekstra kökler.
Kendiniz karar verin: Öncelikle argümanların her birinin sıfırdan büyük olması gerekir, ancak çarpma işleminden sonra çarpımlarının sıfırdan büyük olması yeterlidir. Sonuç olarak bu kesirlerin her birinin negatif olduğu durum gözden kaçıyor.
Bu nedenle, karmaşık logaritmik denklemleri yeni anlamaya başlıyorsanız, hiçbir koşulda x değişkenini içeren logaritmaları çarpmayın; bu, sıklıkla ekstra köklerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Fazladan bir adım atmak, bir terimi diğer tarafa taşımak ve kanonik bir form oluşturmak daha iyidir.
Peki bu tür logaritmalarla çarpmadan yapamıyorsanız ne yapmanız gerektiğini bir sonraki video dersimizde tartışacağız :)
Bir kez daha denklemdeki kuvvetler hakkında
Bugün logaritmik denklemlerle ilgili, daha doğrusu logaritmanın argümanlarından ve tabanlarından kuvvetlerin çıkarılmasıyla ilgili oldukça kaygan bir konuyu inceleyeceğiz.
hatta derdim konuşacağızçift kuvvetlerin kaldırılmasıyla ilgili, çünkü gerçek logaritmik denklemleri çözerken zorlukların çoğu çift kuvvetlerle ortaya çıkıyor.
Kanonik formla başlayalım. Diyelim ki log a f(x) = b şeklinde bir denklemimiz var. Bu durumda b sayısını b = log a a b formülünü kullanarak yeniden yazarız. Aşağıdakiler ortaya çıkıyor:
log a f (x) = log a a b
Daha sonra argümanları eşitliyoruz:
f(x) = a b
Sondan bir önceki formüle kanonik form denir. İlk bakışta ne kadar karmaşık ve korkutucu görünse de, herhangi bir logaritmik denklemi bu amaçla azaltmaya çalışırlar.
Öyleyse deneyelim. İlk görevle başlayalım:
Ön not: dediğim gibi her şey ondalık sayılar logaritmik bir denklemde onu sıradan denklemlere dönüştürmek daha iyidir:
0,5 = 5/10 = 1/2
Bu gerçeği dikkate alarak denklemimizi yeniden yazalım. Hem 1/1000'in hem de 100'ün on'un kuvvetleri olduğuna dikkat edin ve sonra nerede olurlarsa olsunlar kuvvetleri çıkaralım: argümanlardan ve hatta logaritma tabanından:
Ve burada birçok öğrencinin aklına şu soru geliyor: "Sağdaki modül nereden geldi?" Aslında neden sadece (x − 1) yazmıyorsunuz? Tabi ki şimdi (x − 1) yazacağız ama tanım tanım kümesini hesaba katmak bize bunu yazma hakkını veriyor. Sonuçta başka bir logaritma zaten (x - 1) içeriyor ve bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekiyor.
Fakat logaritmanın tabanından kareyi çıkardığımızda modülü tam olarak tabanda bırakmamız gerekir. Nedenini açıklayayım.
Gerçek şu ki matematiksel açıdan bakıldığında derece almak kökü almakla eşdeğerdir. Özellikle (x − 1) 2 ifadesinin karesini aldığımızda aslında ikinci kökü almış oluyoruz. Ancak karekök bir modülden başka bir şey değildir. Kesinlikle modülçünkü x − 1 ifadesi negatif olsa bile karesi alındığında "eksi" yine de sönecektir. Kökün daha fazla çıkarılması bize herhangi bir eksi olmadan pozitif bir sayı verecektir.
Genel olarak, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için şunu bir kez ve tamamen hatırlayın:
Aynı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir fonksiyonun eşit kuvvetinin kökü, fonksiyonun kendisine değil modülüne eşittir:
Logaritmik denklemimize dönelim. Modülden bahsederken acısız bir şekilde çıkarabileceğimizi savundum. Bu doğru. Şimdi nedenini açıklayacağım. Açıkçası iki seçeneği göz önünde bulundurmak zorunda kaldık:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Bu seçeneklerin her birinin ele alınması gerekecektir. Ancak bir sorun var: orijinal formül zaten herhangi bir modül olmadan (x − 1) fonksiyonunu içeriyor. Logaritmanın tanım alanına göre, hemen x − 1 > 0 yazma hakkına sahibiz.
Çözüm sürecinde gerçekleştirdiğimiz modüller ve diğer dönüşümlerden bağımsız olarak bu gereksinimin karşılanması gerekmektedir. Bu nedenle ikinci seçeneği düşünmenin bir anlamı yok - asla ortaya çıkmayacak. Eşitsizliğin bu dalını çözerken bazı rakamlar elde etsek bile bunlar yine de nihai cevaba dahil edilmeyecektir.
Artık logaritmik denklemin kanonik formundan kelimenin tam anlamıyla bir adım uzaktayız. Birimi şu şekilde temsil edelim:
1 = log x - 1 (x - 1) 1
Ek olarak sağdaki −4 faktörünü argümana dahil ediyoruz:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Logaritma işaretinden kurtuluyoruz:
10 −4 = x − 1
Ancak taban bir fonksiyon olduğundan (asal sayı değil), ayrıca bu fonksiyonun sıfırdan büyük olmasını ve bire eşit olmamasını da isteriz. Ortaya çıkacak sistem şu şekilde olacaktır:
x − 1 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılandığı için (sonuçta x − 1 = 10 −4), eşitsizliklerden biri sistemimizden silinebilir. İkinci koşulun da üzeri çizilebilir çünkü x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Bu, logaritmanın tanım alanının tüm gereksinimlerini otomatik olarak karşılayan tek köktür (ancak, sorunumuzun koşullarında açıkça yerine getirildiği için tüm gereksinimler elenmiştir).
Yani ikinci denklem:
3 günlük 3 x x = 2 günlük 9 x x 2
Bu denklem öncekinden temel olarak nasıl farklı? Keşke logaritmanın tabanları - 3x ve 9x - olmadığı gerçeğiyle doğal dereceler birbirine göre. Bu nedenle önceki çözümde kullandığımız geçiş mümkün değildir.
En azından derecelerden kurtulalım. Bizim durumumuzda tek derece ikinci argümandadır:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Ancak x değişkeni de tabanda olduğundan modül işareti kaldırılabilir. x > 0 ⇒ |x| = x. Logaritmik denklemimizi yeniden yazalım:
3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x
Argümanların aynı olduğu logaritmalar elde ettik, ancak farklı nedenler. Bundan sonra ne yapmalı? Burada pek çok seçenek var, ancak bunlardan yalnızca ikisini ele alacağız; bunlar en mantıklı ve en önemlisi bunlar çoğu öğrenci için hızlı ve anlaşılır tekniklerdir.
İlk seçeneği zaten düşündük: belirsiz bir durumda, değişken tabanlı logaritmaları sabit bir tabana dönüştürün. Örneğin, bir ikiliye. Geçiş formülü basittir:
Tabii ki, c değişkeninin rolü şu olmalıdır: normal sayı: 1 ≠ c > 0. Bizim durumumuzda c = 2 olsun. Şimdi önümüzde olağan kesirli rasyonel denklem var. Soldaki tüm unsurları topluyoruz:
Açıkçası, hem birinci hem de ikinci kesirlerde mevcut olduğundan log 2 x faktörünü kaldırmak daha iyidir.
log 2 x = 0;
3 günlük 2 9x = 4 günlük 2 3x
Her günlüğü iki terime ayırıyoruz:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
günlük 2 3x = günlük 2 3 + günlük 2 x
Bu gerçekleri dikkate alarak eşitliğin her iki tarafını da yeniden yazalım:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)
6 günlük 2 3 + 3 günlük 2 x = 4 günlük 2 3 + 4 günlük 2 x
2 günlük 2 3 = günlük 2 x
Şimdi geriye kalan tek şey logaritmanın işaretinin altına ikiyi girmek (kuvvet haline dönüşecek: 3 2 = 9):
günlük 2 9 = günlük 2 x
Önümüzde klasik kanonik form var, logaritma işaretinden kurtulup şunu elde ediyoruz:
Beklendiği gibi bu kökün sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı. Geriye tanım alanını kontrol etmek kalıyor. Sebeplerine bakalım:
Ancak kök x = 9 bu gereksinimleri karşılar. Bu nedenle nihai karardır.
Sonuç bu karar basit: uzun düzenlerden korkmayın! Sadece başlangıçta rastgele yeni bir üs seçtik ve bu, süreci önemli ölçüde karmaşıklaştırdı.
Ama sonra şu soru ortaya çıkıyor: Hangi temel? optimal? İkinci yöntemde bundan bahsedeceğim.
Orijinal denklemimize geri dönelim:
3 günlük 3x x = 2 günlük 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| =x
3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x
Şimdi biraz düşünelim: Hangi sayı veya fonksiyon optimal temel olabilir? Açıkça görülüyor ki en iyi seçenek c = x olacak - zaten argümanlarda olan şey. Bu durumda log a b = log c b /log c a formülü şu şekli alacaktır:
Başka bir deyişle ifade basitçe tersine çevrilir. Bu durumda argüman ve temel yer değiştirir.
Bu formül çok faydalıdır ve karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Ancak bu formülü kullanırken çok ciddi bir tuzak var. Taban yerine x değişkenini değiştirirsek, daha önce gözlemlenmeyen kısıtlamalar uygulanır:
Orijinal denklemde böyle bir sınırlama yoktu. Bu nedenle x = 1 durumunu ayrıca kontrol etmeliyiz. Bu değeri denklemimizde yerine koyalım:
3 günlük 3 1 = 4 günlük 9 1
Doğru yapmak sayısal eşitlik. Bu nedenle x = 1 bir köktür. Önceki yöntemde tam olarak aynı kökü çözümün en başında bulduk.
Ama şimdi buna ayrı ayrı baktığımıza göre özel durum x ≠ 1 olduğunu rahatlıkla varsayarız. O zaman logaritmik denklemimiz aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:
3 günlük x 9x = 4 günlük x 3x
Öncekiyle aynı formülü kullanarak her iki logaritmayı genişletiyoruz. Log x x = 1 olduğuna dikkat edin:
3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)
3 günlük x 9 + 3 = 4 günlük x 3 + 4
3 günlük x 3 2 − 4 günlük x 3 = 4 − 3
2 günlük x 3 = 1
Böylece kanonik forma geldik:
günlük x 9 = günlük x x 1
x=9
İkinci kökü elde ettik. x ≠ 1 koşulunu karşılar. Bu nedenle, x = 1 ile birlikte x = 9 son cevaptır.
Gördüğünüz gibi hesaplamaların hacmi biraz azaldı. Ancak gerçek bir logaritmik denklemi çözerken adım sayısı çok daha az olacaktır çünkü her adımı bu kadar ayrıntılı açıklamanıza gerek yoktur.
Bugünkü dersin temel kuralı şudur: Eğer problem, aynı derecenin kökünün çıkarıldığı çift dereceli bir derece içeriyorsa, o zaman çıktı bir modül olacaktır. Ancak logaritmanın tanım alanına dikkat edilirse bu modül kaldırılabilir.
Ancak dikkatli olun: Bu dersten sonra çoğu öğrenci her şeyi anladığını düşünür. Ama karar verirken gerçek sorunlar mantıksal zincirin tamamını yeniden üretemezler. Sonuç olarak denklem gereksiz kökler edinir ve cevabın yanlış olduğu ortaya çıkar.
Bu videoyla logaritmik denklemlerle ilgili uzun bir ders serisine başlıyorum. Şimdi önünüzde en çok çözmeyi öğreneceğimiz üç örnek var. basit görevler buna şöyle denir - tek hücreli hayvan.
log 0,5 (3x − 1) = −3
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
En basit logaritmik denklemin şu olduğunu hatırlatayım:
loga f(x) = b
Bu durumda x değişkeninin yalnızca argümanın içinde, yani yalnızca f(x) fonksiyonunda mevcut olması önemlidir. Ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenini içeren işlevler değildir.
Temel çözüm yöntemleri
Bu tür yapıları çözmenin birçok yolu vardır. Örneğin, okuldaki çoğu öğretmen şu yöntemi sunmaktadır: Aşağıdaki formülü kullanarak f(x) fonksiyonunu hemen ifade edin. F ( x) = bir b. Yani en basit yapıyla karşılaştığınızda ek işlemlere ve yapılara gerek kalmadan hemen çözüme geçebilirsiniz.
Evet elbette karar doğru olacaktır. Ancak bu formülle ilgili sorun çoğu öğrencinin anlamıyorum, nereden geliyor ve neden a harfini b harfine yükseltiyoruz?
Sonuç olarak, örneğin bu harflerin yerini değiştirirken sıklıkla çok can sıkıcı hatalar görüyorum. Bu formül ya anlamanız ya da sıkıştırmanız gerekir ve ikinci yöntem en uygunsuz ve en önemli anlarda hatalara yol açar: sınavlar, testler vb. sırasında.
Bu nedenle tüm öğrencilerime standart okul formülünden vazgeçmelerini ve logaritmik denklemleri çözmek için muhtemelen isminden de tahmin edebileceğiniz gibi ikinci yaklaşımı kullanmalarını öneriyorum. kanonik form.
Kanonik formun arkasındaki fikir basittir. Sorunumuza tekrar bakalım: solda log a var ve a harfiyle bir sayıyı kastediyoruz ve hiçbir durumda x değişkenini içeren bir fonksiyon değil. Sonuç olarak, bu mektup logaritma bazında uygulanan tüm kısıtlamalara tabidir. yani:
1 ≠ a > 0
Öte yandan aynı denklemden logaritmanın olması gerektiğini görüyoruz. sayıya eşit b ve bu mektuba herhangi bir kısıtlama getirilmemiştir çünkü hem pozitif hem de negatif herhangi bir değeri alabilir. Her şey f(x) fonksiyonunun hangi değerleri aldığına bağlıdır.
Ve burada, herhangi bir b sayısının a tabanının a üssü b'nin logaritması olarak temsil edilebileceğine dair harika kuralımızı hatırlıyoruz:
b = log a a b
Bu formülü nasıl hatırlayacağız? Evet, çok basit. Aşağıdaki yapıyı yazalım:
b = b 1 = b log a a
Elbette bu durumda başlangıçta yazdığımız tüm kısıtlamalar ortaya çıkıyor. Şimdi logaritmanın temel özelliğini kullanalım ve b çarpanını a'nın kuvveti olarak tanıtalım. Şunu elde ederiz:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Sonuç olarak orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Hepsi bu. Yeni özellik artık logaritma içermiyor ve standart cebirsel teknikler kullanılarak çözülebiliyor.
Elbette birileri şimdi itiraz edecek: Neden bir tür kanonik formül bulmak gerekliydi, orijinal tasarımdan son formüle hemen geçmek mümkünse neden iki gereksiz adım daha uygulayalım? Evet, çoğu öğrencinin bu formülün nereden geldiğini anlamaması ve sonuç olarak onu uygularken düzenli olarak hata yapması nedeniyle.
Ancak üç adımdan oluşan bu eylem dizisi, son formülün nereden geldiğini anlamasanız bile orijinal logaritmik denklemi çözmenize olanak tanır. Bu arada, kanonik formül Bu girişin adı:
log a f (x) = log a a b
Kanonik formun rahatlığı aynı zamanda sadece bugün düşündüğümüz en basit olanları değil, çok geniş bir logaritmik denklem sınıfını çözmek için kullanılabilmesi gerçeğinde de yatmaktadır.
Çözüm örnekleri
Şimdi bir göz atalım gerçek örnekler. Öyleyse karar verelim:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Bunu şu şekilde yeniden yazalım:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Pek çok öğrencinin acelesi var ve hemen 0,5 sayısını asıl problemden bize gelen kuvvete yükseltmeye çalışıyor. Aslında, bu tür sorunları çözme konusunda zaten iyi eğitimli olduğunuzda, bu adımı hemen gerçekleştirebilirsiniz.
Ancak şimdi bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için hiçbir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik formumuz var. Sahibiz:
3x − 1 = 0,5 −3
Bu artık logaritmik bir denklem değil, x değişkenine göre doğrusaldır. Bunu çözmek için önce 0,5 üssü −3 sayısına bakalım. 0,5'in 1/2 olduğunu unutmayın.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Logaritmik bir denklemi çözerken tüm ondalık kesirleri ortak kesirlere dönüştürün.
Yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
İşte bu, cevabı aldık. İlk sorun çözüldü.
İkinci görev
Gelelim ikinci göreve:
Gördüğümüz gibi, bu denklem artık en basiti değil. Sırf solda bir fark olduğu ve bir tabana göre tek bir logaritma olmadığı için.
Dolayısıyla bir şekilde bu farktan kurtulmamız gerekiyor. İÇİNDE bu durumda her şey çok basit. Tabanlara daha yakından bakalım: solda kökün altındaki sayı var:
Genel öneri: tüm logaritmik denklemlerde radikallerden (köklü girdilerden) kurtulmaya çalışın ve şuna geçin: güç fonksiyonlarıçünkü bu kuvvetlerin üsleri logaritmanın işaretinden kolayca çıkarılır ve sonuçta böyle bir gösterim hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirir ve hızlandırır. Bunu şu şekilde yazalım:
Şimdi hatırlıyoruz harika mülk logaritma: kuvvetler argümandan ve tabandan türetilebilir. Gerekçe durumunda aşağıdakiler gerçekleşir:
log a k b = 1/k loga b
Yani temel kuvvette olan sayı öne çıkarılır ve aynı zamanda ters çevrilir, yani. karşılıklı sayı. Bizim olgumuzda taban derecesi 1/2 idi. Bu nedenle 2/1 olarak çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 günlük 5 x − günlük 5 x = 18
Lütfen dikkat: Bu adımda hiçbir durumda logaritmalardan kurtulmamalısınız. 4.-5. sınıf matematiğini ve işlem sırasını hatırlayın: önce çarpma yapılır, ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır. Bu durumda 10 elementten aynı elementlerden birini çıkarıyoruz:
9 log 5 x = 18
günlük 5 x = 2
Artık denklemimiz olması gerektiği gibi görünüyor. Bu en basit yapıdır ve bunu kanonik formu kullanarak çözüyoruz:
günlük 5 x = günlük 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Hepsi bu. İkinci sorun çözüldü.
Üçüncü örnek
Gelelim üçüncü göreve:
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
Size şu formülü hatırlatayım:
günlük b = günlük 10 b
Herhangi bir nedenle log b gösterimiyle kafanız karıştıysa, tüm hesaplamaları yaparken log 10 b yazabilirsiniz. Ondalık logaritmalarla diğerleriyle aynı şekilde çalışabilirsiniz: kuvvetleri alın, herhangi bir sayıyı ekleyin ve lg 10 biçiminde temsil edin.
Dersimizin en başında yazdığımız en basit özellik olmadığından, şimdi sorunu çözmek için kullanacağımız bu özelliklerdir.
İlk olarak, lg 5'in önündeki faktör 2'nin toplanabileceğini ve 5 tabanındaki bir kuvvet haline gelebileceğini unutmayın. Ek olarak, serbest terim 3 bir logaritma olarak da temsil edilebilir - bunu notasyonumuzdan gözlemlemek çok kolaydır.
Kendiniz karar verin: herhangi bir sayı, 10 tabanına göre log olarak temsil edilebilir:
3 = günlük 10 10 3 = günlük 10 3
Elde edilen değişiklikleri dikkate alarak orijinal problemi yeniden yazalım:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
günlük (x - 3) = günlük 25.000
Önümüzde yine kanonik form var ve bunu dönüşüm aşamasından geçmeden elde ettik, yani. en basit logaritmik denklem hiçbir yerde görünmedi.
Dersin başında bahsettiğim şey tam olarak buydu. Kanonik form, standart olandan daha geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak tanır okul formülüçoğu okul öğretmeni tarafından verilen bir derstir.
İşte bu kadar, ondalık logaritmanın işaretinden kurtuluyoruz ve basit bir doğrusal yapı elde ediyoruz:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Tüm! Sorun çözüldü.
Kapsamla ilgili bir not
Burada tanımın kapsamına ilişkin önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Artık mutlaka şöyle diyecek öğrenci ve öğretmenler olacaktır: “Logaritmalı ifadeleri çözerken f(x) argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini unutmamalıyız!” Bu bağlamda mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Ele alınan sorunların hiçbirinde neden bu eşitsizliğin giderilmesini talep etmedik?
Merak etme. Bu durumlarda fazladan kök görünmeyecektir. Bu da çözümü hızlandırmanıza olanak tanıyan bir başka harika numaradır. Sadece şunu bilin: Eğer problemde x değişkeni yalnızca tek bir yerde (veya daha doğrusu, tek bir logaritmanın tek bir argümanında) ortaya çıkıyorsa ve bizim durumumuzda x değişkeni başka hiçbir yerde görünmüyorsa, o zaman tanımın tanım kümesini yazın. gerek yokçünkü otomatik olarak yürütülecektir.
Kendiniz karar verin: ilk denklemde 3x − 1 elde ettik, yani argüman 8'e eşit olmalıdır. Bu otomatik olarak 3x − 1'in sıfırdan büyük olacağı anlamına gelir.
Aynı başarıyla, ikinci durumda x'in 5 2'ye eşit olması gerektiğini, yani kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu yazabiliriz. Ve üçüncü durumda, x + 3 = 25.000, yani yine açıkça sıfırdan büyüktür. Başka bir deyişle, kapsam otomatik olarak karşılanır, ancak yalnızca x yalnızca bir logaritmanın argümanında yer alıyorsa.
En basit sorunları çözmek için bilmeniz gereken tek şey bu. Tek başına bu kural, dönüşüm kurallarıyla birlikte çok geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak sağlayacaktır.
Ancak dürüst olalım: Bu tekniği nihayet anlamak için, logaritmik denklemin kanonik formunun nasıl uygulanacağını öğrenmek için sadece bir video dersi izlemek yeterli değildir. Bu yüzden şu anda seçenekleri indirin bağımsız karar Bu video dersine ekli olan ve bu iki bağımsız çalışmadan en az birini çözmeye başlayan.
Kelimenin tam anlamıyla birkaç dakikanızı alacak. Ancak böyle bir eğitimin etkisi, bu video dersini izlemenizden çok daha yüksek olacaktır.
Umarım bu ders logaritmik denklemleri anlamanıza yardımcı olur. Kanonik formu kullanın, logaritmalarla çalışma kurallarını kullanarak ifadeleri basitleştirin; herhangi bir sorundan korkmayacaksınız. Bugünlük elimde olan tek şey bu.
Tanım alanı dikkate alınarak
Şimdi tanım alanı hakkında konuşalım logaritmik fonksiyon ve bunun logaritmik denklemlerin çözümünü nasıl etkilediği. Formun bir yapısını düşünün
loga f(x) = b
Böyle bir ifadeye en basit denir - yalnızca bir işlev içerir ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenine bağlı bir işlev değildir. Çok basit bir şekilde çözülebilir. Sadece formülü kullanmanız gerekir:
b = log a a b
Bu formül logaritmanın temel özelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi yerine koyduğumuzda aşağıdakileri elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
f(x) = a b
Bu tanıdık bir formül okul ders kitapları. Pek çok öğrencinin muhtemelen bir sorusu olacaktır: Orijinal ifadede f(x) fonksiyonu log işaretinin altında olduğundan, ona aşağıdaki kısıtlamalar getirilmiştir:
f(x) > 0
Bu sınırlama geçerlidir çünkü logaritması negatif sayılar mevcut değil. Peki belki de bu sınırlamanın bir sonucu olarak cevaplara yönelik bir kontrol getirilmeli? Belki de kaynağa eklenmeleri gerekiyor?
Hayır, en basit logaritmik denklemlerde ek kontrole gerek yoktur. İşte nedeni. Son formülümüze bir göz atın:
f(x) = a b
Gerçek şu ki, a sayısı her durumda 0'dan büyüktür - bu gereklilik aynı zamanda logaritma tarafından da dayatılmaktadır. A sayısı tabandır. Bu durumda b sayısına herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Ancak bu önemli değil, çünkü pozitif bir sayıyı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, çıktıda yine pozitif bir sayı elde edeceğiz. Böylece f(x) > 0 şartı otomatik olarak karşılanır.
Gerçekten kontrol etmeye değer olan şey, log işaretinin altındaki fonksiyonun etki alanıdır. Oldukça karmaşık yapılar olabilir ve çözüm sürecinde mutlaka bunlara dikkat etmeniz gerekir. Görelim.
İlk görev:
İlk adım: Sağdaki kesri dönüştürün. Şunu elde ederiz:
Logaritma işaretinden kurtulup olağan olanı elde ediyoruz irrasyonel denklem:
Elde edilen köklerden sadece birincisi bize uygundur çünkü ikinci kök sıfırdan küçüktür. Tek cevap 9 rakamı olacaktır. İşte bu, sorun çözüldü. Logaritma işaretinin altındaki ifadenin 0'dan büyük olduğundan emin olmak için ek bir kontrole gerek yoktur çünkü sadece 0'dan büyük değil, denklemin koşuluna göre 2'ye eşittir. Dolayısıyla “sıfırdan büyük” şartı ” otomatik olarak karşılanır.
Gelelim ikinci göreve:
Burada her şey aynı. Üçlüyü değiştirerek yapıyı yeniden yazıyoruz:
Logaritma işaretlerinden kurtuluruz ve irrasyonel bir denklem elde ederiz:
Kısıtlamaları dikkate alarak her iki tarafın karesini alırız ve şunu elde ederiz:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Ortaya çıkan denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ancak x = −6 bize uymuyor çünkü bu sayıyı eşitsizliğimizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizim durumumuzda 0'dan büyük veya aşırı durumlarda eşit olması gerekiyor. Fakat x = −1 bize uyar:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizim durumumuzda tek cevap x = −1 olacaktır. Çözüm bu. Hesaplamalarımızın en başına dönelim.
Bu dersten çıkan ana sonuç, basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kontrol etmenize gerek olmamasıdır. Çünkü çözüm sürecinde tüm kısıtlar otomatik olarak karşılanır.
Ancak bu hiçbir şekilde kontrol etmeyi tamamen unutabileceğiniz anlamına gelmez. Logaritmik bir denklem üzerinde çalışma sürecinde, bugün iki farklı örnekte gördüğümüz, sağ taraf için kendi kısıtlamaları ve gereksinimleri olan irrasyonel bir denklem haline gelebilir.
Bu tür sorunları çözmekten çekinmeyin ve tartışmanın bir kökü varsa özellikle dikkatli olun.
Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler
Logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve daha fazlasını çözmenin moda olduğu oldukça ilginç iki tekniğe daha bakıyoruz karmaşık tasarımlar. Ama önce en basit sorunların nasıl çözüldüğünü hatırlayalım:
loga f(x) = b
Bu girdide a ve b sayılardır ve f(x) fonksiyonunda x değişkeni mevcut olmalıdır ve yalnızca orada, yani x yalnızca argümanda bulunmalıdır. Bu tür logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak dönüştüreceğiz. Bunu yapmak için şunu unutmayın
b = log a a b
Üstelik a b tam olarak bir argümandır. Bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazalım:
log a f (x) = log a a b
Bizim de ulaşmaya çalıştığımız şey tam olarak budur, yani a'yı hem sol hem de sağ temel alan bir logaritma vardır. Bu durumda mecazi anlamda log işaretlerinin üzerini çizebiliriz ve matematiksel açıdan argümanları basitçe eşitlediğimizi söyleyebiliriz:
f(x) = a b
Sonuç olarak çözülmesi çok daha kolay olacak yeni bir ifade elde edeceğiz. Bu kuralı bugünkü sorunlarımıza uygulayalım.
Yani ilk tasarım:
Öncelikle sağda paydası log olan bir kesir olduğunu belirteyim. Bunun gibi bir ifade gördüğünüzde logaritmanın harika bir özelliğini hatırlamak iyi bir fikirdir:
Rusçaya çevrildiğinde bu, herhangi bir logaritmanın herhangi bir c tabanına sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. tabii ki 0< с ≠ 1.
Yani: bu formülde c değişkeninin değişkene eşit olduğu harika bir özel durum vardır. B. Bu durumda şöyle bir yapı elde ederiz:
Bu tam olarak denklemimizin sağındaki işarette gördüğümüz yapıdır. Bu yapıyı log a b ile değiştirelim, şunu elde ederiz:
Başka bir deyişle, orijinal göreve kıyasla argümanı ve logaritmanın tabanını değiştirdik. Bunun yerine kesri tersine çevirmek zorunda kaldık.
Aşağıdaki kurala göre herhangi bir derecenin tabandan türetilebileceğini hatırlıyoruz:
Başka bir deyişle bazın kuvveti olan k katsayısı ters kesir olarak ifade edilir. Bunu ters kesir olarak gösterelim:
Kesirli faktör önde bırakılamaz çünkü bu durumda temsil edemeyiz bu giriş kanonik form olarak (sonuçta kanonik formda ikinci logaritmadan önce ek bir faktör yoktur). Bu nedenle argümana 1/4 kesirini kuvvet olarak ekleyelim:
Şimdi tabanları aynı olan (ve tabanlarımız gerçekten aynı olan) argümanları eşitliyoruz ve şunu yazıyoruz:
x + 5 = 1
x = −4
Hepsi bu. İlk logaritmik denklemin cevabını bulduk. Lütfen unutmayın: orijinal problemde, x değişkeni yalnızca bir günlükte görünür ve argümanında görünür. Bu nedenle tanım kümesini kontrol etmeye gerek yoktur ve x = −4 sayımız aslında cevaptır.
Şimdi ikinci ifadeye geçelim:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Burada olağan logaritmalara ek olarak log f(x) ile çalışmamız gerekecek. Böyle bir denklem nasıl çözülür? Hazırlıksız bir öğrenciye bu zor bir görev gibi görünebilir, ancak aslında her şey basit bir şekilde çözülebilir.
lg 2 log 2 7 terimine yakından bakın. Bu konuda ne söyleyebiliriz? Log ve lg'nin temelleri ve argümanları aynıdır ve bu bazı fikirler vermelidir. Logaritmanın işaretinin altındaki kuvvetlerin nasıl çıkarıldığını bir kez daha hatırlayalım:
log a b n = nlog a b
Başka bir deyişle, argümanda b'nin kuvveti olan şey log'un önünde bir faktör haline gelir. Bu formülü lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayalım. lg 2'den korkmayın - bu en yaygın ifadedir. Aşağıdaki şekilde yeniden yazabilirsiniz:
Başka herhangi bir logaritma için geçerli olan tüm kurallar onun için de geçerlidir. Özellikle öndeki faktör argümanın derecesine eklenebilir. Bunu yazalım:
Çoğu zaman öğrenciler bu eylemi doğrudan görmezler çünkü bir günlüğe diğerinin işareti altında girmek iyi değildir. Aslında bunda suç teşkil edecek bir durum yok. Üstelik önemli bir kuralı hatırlarsanız hesaplaması kolay bir formül elde ederiz:
Bu formül hem tanım olarak hem de onun özelliklerinden biri olarak düşünülebilir. Her durumda, eğer logaritmik bir denklemi dönüştürüyorsanız, herhangi bir sayının log gösterimini bildiğiniz gibi bu formülü de bilmelisiniz.
Görevimize dönelim. Eşittir işaretinin sağındaki ilk terimin lg 7'ye eşit olacağı gerçeğini dikkate alarak yeniden yazıyoruz. Elimizde:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
LG 7'yi sola kaydıralım, şunu elde ederiz:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tabanları aynı olduğundan soldaki ifadeleri çıkarıyoruz:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Şimdi elde ettiğimiz denkleme daha yakından bakalım. Pratikte kanonik formdur, ancak sağda −3 çarpanı vardır. Bunu sağ lg argümanına ekleyelim:
log 8 = log (x + 4) −3
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden lg işaretlerinin üstünü çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
İşte bu! İkinci logaritmik denklemi çözdük. Bu durumda hiçbir ek kontrole gerek yoktur çünkü orijinal problemde x yalnızca bir bağımsız değişkende mevcuttu.
Tekrar listeleyeceğim önemli noktalar bu ders.
Bu sayfadaki logaritmik denklemlerin çözümüne ayrılmış tüm derslerde öğretilen ana formül kanonik formdur. Ve çoğu okul ders kitabında size çözmenin öğretildiği gerçeğinden korkmayın. benzer görevler farklı. Bu araç çok etkili bir şekilde çalışır ve dersimizin başında incelediğimiz en basit sorunlardan çok daha geniş bir sorun sınıfını çözmenize olanak tanır.
Ayrıca logaritmik denklemlerin çözümünde temel özelliklerin bilinmesi yararlı olacaktır. Yani:
- Tek tabana geçme formülü ve logu ters çevirdiğimizdeki özel durum (bu ilk problemde bizim için çok yararlıydı);
- Logaritma işaretine kuvvet ekleme ve çıkarma formülü. Burada birçok öğrenci takılıp kalıyor ve alınan ve tanıtılan derecenin kendisinin log f (x) içerebileceğini göremiyor. Bunda yanlış bir şey yok. Bir kütüğü diğerinin işaretine göre tanıtabiliriz ve aynı zamanda ikinci durumda gözlemlediğimiz gibi sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebiliriz.
Sonuç olarak, bu durumların her birinde tanım alanını kontrol etmenin gerekli olmadığını eklemek isterim, çünkü x değişkeni her yerde log'un yalnızca bir işaretinde mevcuttur ve aynı zamanda onun argümanındadır. Sonuç olarak kapsamın tüm gereklilikleri otomatik olarak yerine getirilir.
Değişken tabanla ilgili sorunlar
Bugün birçok öğrenci için tamamen çözülemez olmasa da standart dışı görünen logaritmik denklemlere bakacağız. bu yaklaşık sayılara değil, değişkenlere ve hatta işlevlere dayalı ifadeler hakkında. Bu tür yapıları standart tekniğimizi, yani kanonik formu kullanarak çözeceğiz.
Başlangıç olarak en basit problemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım. normal sayılar. Yani en basit yapıya denir
loga f(x) = b
Bu tür problemleri çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
b = log a a b
Orijinal ifademizi yeniden yazarsak şunu elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
Sonra argümanları eşitliyoruz, yani şunu yazıyoruz:
f(x) = a b
Böylece log işaretinden kurtulup alışılagelmiş sorunu çözmüş oluyoruz. Bu durumda çözümden elde edilen kökler orijinal logaritmik denklemin kökleri olacaktır. Ek olarak, hem sol hem de sağın aynı logaritmada ve aynı tabanda olduğu bir kayda tam olarak kanonik form adı verilir. Öyle bir rekora varıyoruz ki, bugünün tasarımlarını azaltmaya çalışacağız. Hadi gidelim.
İlk görev:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1'i log x − 2 (x − 2) 1 ile değiştirin. Argümanda gözlemlediğimiz derece aslında eşittir işaretinin sağında bulunan b sayısıdır. Böylece ifademizi yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Ne görüyoruz? Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden argümanları güvenli bir şekilde eşitleyebiliriz. Şunu elde ederiz:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü verilen denklem orijinaline eşdeğer değildir. Sonuçta ortaya çıkan yapı, sayı doğrusunda tanımlanan fonksiyonlardan oluşur ve orijinal logaritmalarımız her zaman ve her yerde tanımlanmaz.
Bu nedenle tanım alanını ayrıca yazmamız gerekir. Saçmalamayalım ve önce tüm gereksinimleri yazalım:
İlk olarak, logaritmaların her birinin argümanı 0'dan büyük olmalıdır:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
İkincisi, tabanın yalnızca 0'dan büyük olması değil aynı zamanda 1'den farklı olması gerekir:
x - 2 ≠ 1
Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:
Ancak paniğe kapılmayın: Logaritmik denklemleri işlerken böyle bir sistem önemli ölçüde basitleştirilebilir.
Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdan büyük olması gerekiyor, diğer yandan bu ikinci dereceden fonksiyon belirli bir değere eşitleniyor doğrusal ifade sıfırdan büyük olması da gerekiyor.
Bu durumda, x − 2 > 0 olmasını istersek, 2x 2 − 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanacaktır. Dolayısıyla ikinci dereceden fonksiyonu içeren eşitsizliğin üzerini güvenle çizebiliriz. Böylece sistemimizde yer alan ifade sayısı üçe düşecektir.
Tabii ki, üstünü çizebiliriz doğrusal eşitsizlik yani x − 2 > 0'ın üzerini çizin ve 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını talep edin. Ancak, en basit doğrusal eşitsizliği çözmenin ikinci dereceden denklemden çok daha hızlı ve daha kolay olduğunu kabul etmelisiniz, hatta tüm denklemi çözmenin bir sonucu olsa bile bu sistemde aynı kökleri alacağız.
Genel olarak mümkün olduğunca hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Logaritmik denklemler söz konusu olduğunda en zor eşitsizliklerin üzerini çizin.
Sistemimizi yeniden yazalım:
Burada üç ifadeden oluşan bir sistem var, bunlardan ikisini daha önce ele almıştık. İkinci dereceden denklemi ayrı ayrı yazıp çözelim:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Bizden önce verilen ikinci dereceden üç terimli ve bu nedenle Vieta'nın formüllerini kullanabiliriz. Şunu elde ederiz:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Şimdi sistemimize dönüyoruz ve x = 2'nin bize uymadığını görüyoruz çünkü x'in kesinlikle 2'den büyük olması gerekiyor.
Ama x = 5 bize çok yakışıyor: 5 sayısı 2'den büyüktür ve aynı zamanda 5, 3'e eşit değildir. Bu nedenle, tek çözüm bu sistemin x = 5 olması gerekir.
İşte bu, ODZ dikkate alınarak sorun çözüldü. İkinci denkleme geçelim. Burada bizi daha ilginç ve bilgilendirici hesaplamalar bekliyor:
İlk adım: olduğu gibi son kez, tüm bu konuyu kanonik forma getiriyoruz. Bunun için 9 sayısını şu şekilde yazabiliriz:
Kök ile tabana dokunmanıza gerek yok, ancak argümanı dönüştürmek daha iyidir. Rasyonel bir üsle kökten kuvvete doğru ilerleyelim. Hadi yazalım:
Büyük logaritmik denklemimizin tamamını yeniden yazmama izin verin, ancak hemen argümanları eşitleyelim:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Önümüzde yeni indirgenmiş ikinci dereceden bir trinomial var, Vieta formüllerini kullanıp yazalım:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Yani kökleri bulduk ama kimse bize bunların orijinal logaritmik denkleme uyacağını garanti etmedi. Sonuçta, günlük işaretleri dayatıyor ek kısıtlamalar(Burada sistemi yazmamız gerekiyordu ama tüm yapının hantal yapısından dolayı tanım alanını ayrı hesaplamaya karar verdim).
Her şeyden önce, argümanların 0'dan büyük olması gerektiğini unutmayın; yani:
Bunlar tanımın kapsamının gerektirdiği gerekliliklerdir.
Hemen belirtelim ki sistemin ilk iki ifadesini birbirine eşitlediğimiz için herhangi birinin üzerini çizebiliriz. İlkinin üzerini çizelim çünkü ikincisinden daha tehditkar görünüyor.
Ek olarak, ikinci ve üçüncü eşitsizliklerin çözümünün aynı kümeler olacağını unutmayın (eğer bu sayının kendisi sıfırdan büyükse, bir sayının küpü sıfırdan büyüktür; benzer şekilde, üçüncü derecenin köküyle - bu eşitsizlikler) tamamen benzer olduğundan üstünü çizebiliriz).
Ancak üçüncü eşitsizlikte bu işe yaramayacaktır. Her iki parçayı da küp haline getirerek soldaki kök işaretinden kurtulalım. Şunu elde ederiz:
Böylece aşağıdaki gereksinimleri alıyoruz:
− 2 ≠ x > −3
Köklerimizden hangisi: x 1 = −3 veya x 2 = −1 bu gereksinimleri karşılıyor? Açıkçası, yalnızca x = −1, çünkü x = −3 ilk eşitsizliği sağlamaz (eşitsizliğimiz katı olduğundan). Yani problemimize dönersek bir kök elde ederiz: x = −1. İşte bu, sorun çözüldü.
Bir kez daha, bu görevin kilit noktaları:
- Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve çözmekten çekinmeyin. Bu şekilde yazan öğrenciler, doğrudan orijinal problemden log a f(x) = b gibi bir yapıya gitmek yerine, daha fazlasına izin verirler. daha az hata bir yerde acelesi olan, hesaplamaların ara adımlarını atlayanlardan;
- Logaritma ortaya çıktığı anda değişken taban, görev en basit olmaktan çıkıyor. Bu nedenle, çözerken tanım alanını hesaba katmak gerekir: argümanlar sıfırdan büyük olmalı ve tabanlar yalnızca 0'dan büyük olmamalı, aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır.
Nihai gereksinimler, nihai cevaplara farklı şekillerde uygulanabilir. Örneğin tanım alanına ait tüm gereksinimleri içeren bir sistemin tamamını çözebilirsiniz. Öte yandan, önce problemin kendisini çözebilir, sonra tanım alanını hatırlayabilir, bunu bir sistem şeklinde ayrı ayrı çözebilir ve ortaya çıkan köklere uygulayabilirsiniz.
Belirli bir logaritmik denklemi çözerken hangi yöntemi seçeceğiniz size kalmış. Her durumda cevap aynı olacaktır.
Talimatlar
Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8
Konuyla ilgili video
Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman kazandıracaktır.
Kaynaklar:
- bir sabitin türevi
Peki irrasyonel bir denklem ile rasyonel bir denklem arasındaki fark nedir? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.
Talimatlar
Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alırsak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.
Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.
Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani sıradan bir ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.
Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılıncaya kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.
Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Her ikisini de basitleştirin
Çözümün genel ilkeleri
Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm belirli integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. İle bu prensip ve ana integralleri oluşturur.Bu durumda tablo integrallerinden hangisinin uygun olduğunu integralin türüne göre belirleyin. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.
Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi
İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale gitmenizi sağlar.Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi
Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk önce değeri değiştirin üst sınır terstürev için bir ifadeye dönüştürün. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.
Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Hizmet eden onlardı daha fazla açılış logaritmalar. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.
Matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir sayının logaritması negatif olmayan sayı(yani herhangi bir pozitif) "b", "a" tabanına göre "c"nin kuvveti olarak kabul edilir ve sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.
Logaritma türleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç tane var bireysel türler logaritmik ifadeler:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
- Tabanı 10 olan ondalık a.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.
Şimdi hayal edelim bu ifade logaritmik formda. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.
Değeri doğru bir şekilde belirlemek için bilinmeyen derece derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık konular hakkında hiçbir şey bilmeyenler tarafından bile kullanılabilir. matematik konuları. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!
Denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifadeler logaritmik denklem olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.
Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örnek - logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. sayısal değerler eşitsizlikleri çözerken bölge olarak tanımlanırken kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, daha ziyade sürekli seri veya bir dizi sayı.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.
- Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
- Ürünün logaritması şu şekilde temsil edilebilir: aşağıdaki formül: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
- Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formül formundaki teorem şu şekilde ele alınır: sonraki görünüm: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.
Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca zorunlu kısım matematik sınavları. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.
Sorunu çözmeye ve belirlemeye yönelik tek bir plan veya şema ne yazık ki mevcut değil. bilinmeyen değer Logaritma diye bir şey yoktur ama onu her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme uygulayabilirsiniz. belirli kurallar. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.
Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.
İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar başvurulması gerekiyor logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri. Çözüme örneklerle bakalım logaritmik problemler farklı türleri.
Logaritma formülleri nasıl kullanılır: örnekler ve çözümlerle
Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.
- Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük değer b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.
Birleşik Devlet Sınavından Ödevler
Logaritmalar sıklıkla bulunur giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında birçok logaritmik problem ( devlet sınavı tüm okuldan ayrılanlar için). Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.
Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
- Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.