Sürekli bir fonksiyon tanımlayın. Fonksiyonların sürekliliği - teoremler ve özellikler

Fonksiyonun sürekliliği. Kırılma noktaları.

Boğa yürürken yürüyor, sallanıyor, iç çekiyor:
- Ah, tahta bitiyor, şimdi düşeceğim!

Bu derste bir fonksiyonun sürekliliği kavramını, süreksizlik noktalarının sınıflandırılmasını ve yaygın bir pratik problemi inceleyeceğiz. fonksiyonların süreklilik çalışmaları. Pek çok kişi konunun adından itibaren sezgisel olarak neyin tartışılacağını tahmin ediyor ve materyalin oldukça basit olduğunu düşünüyor. Bu doğru. Ancak ihmal nedeniyle en sık cezalandırılan şey basit görevler ve bunları çözmeye yönelik yüzeysel bir yaklaşımdır. Bu nedenle yazıyı çok dikkatli incelemenizi, tüm incelikleri ve teknikleri yakalamanızı tavsiye ederim.

Neyi bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor?Çok değil. Dersi iyi öğrenmek için ne olduğunu anlamalısınız bir fonksiyonun limiti. Hazırlık düzeyi düşük okuyucular için makaleyi kavramak yeterlidir. Fonksiyon sınırları. Çözüm örnekleri ve kılavuzdaki limitin geometrik anlamına bakın Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Ayrıca kendinizi tanımanız da tavsiye edilir. grafiklerin geometrik dönüşümleriçünkü çoğu durumda pratik bir çizim yapmayı içerir. Beklentiler herkes için iyimser ve dolu bir su ısıtıcısı bile önümüzdeki bir veya iki saat içinde bu görevin üstesinden gelebilecek!

Fonksiyonun sürekliliği. Kırılma noktaları ve sınıflandırılması

Fonksiyonun sürekliliği kavramı

Tüm sayı doğrusunda sürekli olan bir fonksiyonu ele alalım:

Veya daha kısa ve öz bir şekilde ifade etmek gerekirse fonksiyonumuz (gerçel sayılar kümesi) üzerinde süreklidir.

Sürekliliğin “darkafalı” kriteri nedir? Açıkçası, sürekli bir fonksiyonun grafiği, kalemi kağıttan kaldırmadan çizilebilir.

Bu durumda iki basit kavramı açıkça birbirinden ayırmak gerekir: bir fonksiyonun alanı Ve fonksiyonun sürekliliği. Genel olarak bu aynı şey değil. Örneğin:

Bu fonksiyon sayı doğrusunda tanımlanır; herkes“X”in anlamının kendi “y” anlamı vardır. Özellikle eğer , o zaman . Diğer noktanın noktalama işaretli olduğuna dikkat edin, çünkü bir işlevin tanımı gereği, argümanın değeri şuna karşılık gelmelidir: Sadece bir şey fonksiyon değeri. Böylece, ihtisas fonksiyonumuz: .

Fakat bu fonksiyon sürekli açık değildir!Şu aşamada acı çektiği çok açık açıklık. Terim aynı zamanda oldukça anlaşılır ve görseldir; aslında burada kalemin kağıttan koparılması gerekecektir. Biraz sonra kesme noktalarının sınıflandırılmasına bakacağız.

Bir fonksiyonun bir noktada ve bir aralıkta sürekliliği

Belirli bir matematik probleminde, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinden, bir fonksiyonun bir aralıkta sürekliliğinden, bir yarım aralıkta ya da bir fonksiyonun bir doğru parçası üzerindeki sürekliliğinden söz edebiliriz. Yani, “sadece süreklilik” yoktur– fonksiyon BİR YERDE sürekli olabilir. Ve diğer her şeyin temel “yapı taşı” fonksiyonun sürekliliği noktada .

Matematiksel analiz teorisi, bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımını “delta” ve “epsilon” komşuluklarını kullanarak verir, ancak pratikte kullanımda olan ve bizim dikkat edeceğimiz farklı bir tanım vardır.

Öncelikle hatırlayalım tek taraflı sınırlarİlk derste hayatımıza girenler fonksiyon grafikleri hakkında. Gündelik bir durumu düşünün:

Ekseni noktaya yaklaştırırsak sol(kırmızı ok), o zaman “oyunların” karşılık gelen değerleri eksen boyunca noktaya (kızıl ok) doğru ilerleyecektir. Matematiksel olarak bu gerçek şu şekilde sabitlenir: sol limit:

Girişe dikkat edin ("x solda ka'ya eğilimlidir" yazıyor). “Katkı” “eksi sıfır”ı simgeliyor Bu aslında sayıya sol taraftan yaklaştığımız anlamına geliyor.

Benzer şekilde “ka” noktasına yaklaşırsanız sağda(mavi ok), o zaman “oyunlar” aynı değere gelecektir ancak yeşil ok boyunca ve sağ limit aşağıdaki gibi biçimlendirilecektir:

"Katkı maddesi" sembolize eder ve girişte şöyle yazıyor: "x sağdaki ka'ya eğilimlidir."

Tek taraflı limitler sonlu ve eşitse(bizim durumumuzda olduğu gibi): , o zaman GENEL bir sınır var diyeceğiz. Çok basit, genel sınır bizim “olağan”ımızdır bir fonksiyonun limiti, sonlu bir sayıya eşittir.

Fonksiyon şurada tanımlanmamışsa (grafik dalındaki siyah noktayı çıkarın), yukarıdaki hesaplamaların geçerli kalacağını unutmayın. Daha önce defalarca belirtildiği gibi, özellikle makalede sonsuz küçük fonksiyonlar üzerinde, ifadeler "x" anlamına gelir sonsuz yakın noktaya yaklaşırken ÖNEMLİ DEĞİL fonksiyonun kendisinin belirli bir noktada tanımlanıp tanımlanmadığı. Fonksiyon analiz edildiğinde bir sonraki paragrafta iyi bir örnek bulunacaktır.

Tanım: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşitse fonksiyon bir noktada süreklidir: .

Tanım aşağıdaki terimlerle detaylandırılmıştır:

1) Fonksiyonun noktada tanımlı olması yani değerin mevcut olması gerekmektedir.

2) Fonksiyonun genel bir limiti olmalıdır. Yukarıda belirtildiği gibi bu, tek taraflı limitlerin varlığını ve eşitliğini ima eder: .

3) Belirli bir noktadaki fonksiyonun limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit olmalıdır: .

İhlal edilirse en az birÜç koşulun gerçekleşmesi halinde fonksiyon, noktasında süreklilik özelliğini kaybeder.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta sürekliliği ustaca ve çok basit bir şekilde formüle edilmiştir: Bir fonksiyon, eğer verilen aralığın her noktasında sürekli ise, aralıkta da süreklidir.

Özellikle birçok fonksiyon sonsuz bir aralıkta, yani gerçek sayılar kümesinde süreklidir. Bu doğrusal bir fonksiyondur, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs vb. Ve genel olarak herhangi temel fonksiyon sürekli olarak tanım alanıörneğin logaritmik bir fonksiyon aralıkta süreklidir. Umarım şimdiye kadar temel fonksiyonların grafiklerinin nasıl göründüğüne dair oldukça iyi bir fikriniz vardır. Devamlılıkları hakkında daha detaylı bilgiyi Fichtenholtz isimli nazik bir adamdan alabilirsiniz.

Bir fonksiyonun bir segment üzerinde sürekliliği ve yarım aralıkları ile her şey de zor değil ama bunu sınıfta konuşmak daha uygun bir segmentteki bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini bulma hakkında ama şimdilik endişelenmeyelim.

Kırılma noktalarının sınıflandırılması

Fonksiyonların büyüleyici yaşamı her türlü özel nokta açısından zengindir ve kırılma noktaları biyografilerinin sayfalarından yalnızca biridir.

Not : Her ihtimale karşı, temel bir nokta üzerinde duracağım: kırılma noktası her zaman tek nokta– “arka arkaya birkaç kırılma noktası” yoktur, yani “ara aralığı” diye bir şey yoktur.

Bu noktalar sırasıyla iki büyük gruba ayrılır: birinci türden kopmalar Ve ikinci türden kopmalar. Her boşluk türünün, şu anda inceleyeceğimiz kendine has karakteristik özellikleri vardır:

Birinci türden süreksizlik noktası

Bir noktada süreklilik koşulu ihlal edilirse ve tek taraflı sınırlar sonlu , o zaman denir Birinci türden süreksizlik noktası.

En iyimser durumla başlayalım. Dersin orijinal fikrine göre teoriyi “genel anlamda” anlatmak istedim ancak malzemenin gerçekliğini ortaya koymak için belirli karakterlerin olduğu seçeneğe karar verdim.

Ebedi Alev'in arka planında yeni evlilerin fotoğrafı gibi üzücü, ancak aşağıdaki çekim genel olarak kabul ediliyor. Fonksiyonun grafiğini çizimde gösterelim:

Bu fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda süreklidir. Ve aslında payda sıfıra eşit olamaz. Ancak limitin anlamına uygun olarak şunları yapabiliriz: sonsuz yakın Hem soldan hem de sağdan "sıfıra" yaklaşın, yani tek taraflı sınırlar mevcuttur ve açıkça çakışmaktadır:
(Sürekliliğin 2 numaralı koşulu karşılanmıştır).

Ancak fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığından sürekliliğin 1 numaralı koşulu ihlal edilmiş olur ve fonksiyon bu noktada süreksizliğe uğrar.

Bu tür bir mola (mevcut olanla) genel sınır) arandı onarılabilir boşluk. Neden çıkarılabilir? Çünkü fonksiyon yeniden tanımla kırılma noktasında:

Tuhaf mı görünüyor? Belki. Ancak böyle bir fonksiyon gösterimi hiçbir şeyle çelişmez! Artık fark kapandı ve herkes mutlu:

Resmi bir kontrol yapalım:

2) – genel bir sınır vardır;
3)

Böylece, her üç koşul da sağlanır ve bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımıyla fonksiyon bir noktada süreklidir.

Bununla birlikte, matan'dan nefret edenler işlevi kötü bir şekilde tanımlayabilirler; örneğin :

Burada ilk iki süreklilik koşulunun karşılanması ilginçtir:
1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlıdır;
2) – genel bir sınır vardır.

Ancak üçüncü sınır geçilmemiştir: yani fonksiyonun noktadaki limiti. eşit değil Belirli bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değeri.

Böylece bir noktada fonksiyon süreksizliğe maruz kalır.

İkinci, daha üzücü vaka denir birinci türden kopma bir atlama ile. Ve üzüntü tek taraflı sınırlamalarla çağrıştırılır sonlu ve farklı. Dersin ikinci çiziminde bir örnek gösterilmektedir. Böyle bir boşluk genellikle şu durumlarda ortaya çıkar: parçalı tanımlı fonksiyonlar makalede daha önce bahsedilenler grafik dönüşümleri hakkında.

Parçalı fonksiyonu düşünün ve çizimini tamamlayacağız. Bir grafik nasıl oluşturulur? Çok basit. Yarım aralıkta bir parabol parçası (yeşil), aralıkta - düz bir çizgi parçası (kırmızı) ve yarım aralıkta - düz bir çizgi (mavi) çiziyoruz.

Ayrıca eşitsizlik nedeniyle ikinci dereceden fonksiyon (yeşil nokta) için değer belirlenir ve eşitsizlik nedeniyle doğrusal fonksiyon (mavi nokta) için değer belirlenir:

En zor durumda, grafiğin her bir parçasının nokta nokta oluşturulmasına başvurmalısınız (ilk bölüme bakın). fonksiyonların grafikleri hakkında ders).

Şimdi sadece konuyla ilgileneceğiz. Devamlılık açısından inceleyelim:

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım.

Sol tarafta kırmızı bir çizgi segmentimiz var, dolayısıyla sol taraftaki limit şu şekildedir:

Sağda mavi düz çizgi ve sağdaki limit var:

Sonuç olarak aldık sonlu sayılar, ve onlar eşit değil. Tek taraflı limitler olduğundan sonlu ve farklı: , o zaman fonksiyonumuz tolere eder birinci türden bir sıçrama ile süreksizlik.

Boşluğun ortadan kaldırılamaması mantıklıdır - önceki örnekte olduğu gibi, işlev gerçekte daha fazla tanımlanamaz ve "birbirine yapıştırılamaz".

İkinci türden süreksizlik noktaları

Genellikle diğer tüm yırtılma vakaları akıllıca bu kategoriye sınıflandırılır. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü pratikte sorunların% 99'unda karşılaşacaksınız sonsuz boşluk– sol el veya sağ el kullanıldığında ve daha sıklıkla her iki sınır da sonsuzdur.

Ve elbette en belirgin resim sıfır noktasındaki hiperboldür. Burada her iki tek taraflı limit de sonsuzdur: dolayısıyla fonksiyon, noktasında ikinci türden bir süreksizliğe maruz kalır.

Yazılarımı mümkün olduğu kadar çeşitli içeriklerle doldurmaya çalışıyorum o yüzden gelin henüz karşılaşılmamış bir fonksiyonun grafiğine bakalım:

standart şemaya göre:

1) Payda sıfıra gittiği için fonksiyon bu noktada tanımlı değildir.

Elbette fonksiyonun noktasında süreksizlik yaşadığı sonucunu hemen çıkarabiliriz, ancak genellikle koşulun gerektirdiği süreksizliğin niteliğini sınıflandırmak iyi olacaktır. Bunun için:

Kayıt derken şunu kastettiğimizi hatırlatmama izin verin: sonsuz küçük negatif sayı ve girişin altında - sonsuz küçük pozitif sayı.

Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir. Y ekseni dikey asimptot grafik için.

Her iki tek taraflı sınırın da mevcut olması nadir değildir, ancak bunlardan yalnızca biri sonsuzdur, örneğin:

Bu fonksiyonun grafiğidir.

Süreklilik noktasını inceliyoruz:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Her ne kadar birçok okuyucu her şeyi görmüş ve tahmin etmiş olsa da, dersin son iki örneğinde bu tür tek taraflı limitleri hesaplama yönteminden bahsedeceğiz.

Soldaki limit sonludur ve sıfıra eşittir ("noktanın kendisine gitmiyoruz"), ancak sağdaki limit sonsuzdur ve grafiğin turuncu dalı, kendi noktasına sonsuz derecede yaklaşmaktadır. dikey asimptot, denklem tarafından verilmiştir (siyah noktalı çizgi).

Yani fonksiyon zarar görüyor ikinci tür süreksizlik noktada .

1. tür süreksizlikte fonksiyon süreksizlik noktasında tanımlanabilir. Örneğin parçalı bir fonksiyon için Koordinatların başlangıç noktasına siyah, kalın bir nokta koymaktan çekinmeyin. Sağda bir hiperbolün dalı vardır ve sağdan limit sonsuzdur. Bu grafiğin neye benzediğine dair neredeyse herkesin bir fikri olduğunu düşünüyorum.

Herkesin sabırsızlıkla beklediği şey:

Bir fonksiyonun sürekliliği nasıl incelenir?

Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesini içeren önceden belirlenmiş bir rutin şemaya göre gerçekleştirilir:

örnek 1

İşlevi keşfedin

Çözüm:

1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.

Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.

Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?

basitleştirmek isterim ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:

Çizimi yapalım:

Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.

Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.

Bunun çok uç bir örnek olduğunu mu söylüyorsunuz? Hiç de bile. Bu, pratikte onlarca kez yaşandı. Sitenin görevlerinin neredeyse tamamı gerçek bağımsız çalışma ve testlerden gelmektedir.

Favori modüllerimizden kurtulalım:

Örnek 2

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm: Bazı nedenlerden dolayı öğrenciler, karmaşık bir yanı olmamasına rağmen modül içeren işlevlerden korkuyorlar ve hoşlanmıyorlar. Zaten derste bu tür konulara biraz değinmiştik. Grafiklerin geometrik dönüşümleri. Modül negatif olmadığından aşağıdaki şekilde genişletilir: , burada "alfa" bir ifadedir. Bu durumda fonksiyonumuzun parçalı olarak yazılması gerekir:

Ancak her iki parçanın kesirlerinin de azaltılması gerekir. Azaltma, önceki örnekte olduğu gibi, sonuçsuz gerçekleşmeyecektir. Payda sıfıra gittiği için orijinal fonksiyon bu noktada tanımlı değildir. Bu nedenle sistem ek olarak koşulu belirtmeli ve ilk eşitsizliği katı yapmalıdır:

Şimdi ÇOK FAYDALI bir karar tekniği hakkında: Taslak üzerinde işi bitirmeden önce (şartlar gerektirip gerektirmediğine bakılmaksızın) çizim yapmak avantajlıdır. Bu, öncelikle süreklilik noktalarını ve süreksizlik noktalarını anında görmenize yardımcı olacak ve ikinci olarak, tek taraflı limitleri bulurken sizi hatalardan %100 koruyacaktır.

Çizimi yapalım. Hesaplamalarımıza uygun olarak, noktanın soluna bir parabol parçası (mavi renk) ve sağa - bir parabol parçası (kırmızı renk) çizmek gerekirken, fonksiyon şu noktada tanımlanmamıştır: kendisini işaret eder:

Şüpheniz varsa birkaç x değeri alın ve bunları fonksiyona takın (modülün olası eksi işaretini yok ettiğini unutmayın) ve grafiği kontrol edin.

Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.

2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim, bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Limitleri bulurken kırılma noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını tekrar unutmayın.

Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Bazen süreksizlik sıçramasının ek göstergesine ihtiyaç duyarlar. Basitçe hesaplanır - sağ limitten sol limiti çıkarmanız gerekir: yani kırılma noktasında fonksiyonumuz 2 birim aşağıya sıçradı (eksi işaretinin bize söylediği gibi).

Örnek 3

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizim yapmak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnek, dersin sonundaki örnek çözümdür.

İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:

Örnek 4

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin .

Çözüm: Fonksiyonun üç bölümünün de karşılık gelen aralıklarda sürekli olduğu açıktır, bu nedenle parçalar arasındaki yalnızca iki "birleşim" noktasını kontrol etmek kalır. Öncelikle bir taslak çizim yapalım; yazımın ilk bölümünde yapım tekniğini yeterince detaylı bir şekilde anlattım. Tekil noktalarımızı dikkatlice takip etmemiz gerekiyor: eşitsizlik nedeniyle değer düz çizgiye (yeşil nokta) ve eşitsizlik nedeniyle değer parabole (kırmızı nokta) aittir:

Prensip olarak her şey açık =) Geriye kalan tek şey kararı resmileştirmek. İki "ortak" noktanın her biri için standart olarak 3 süreklilik koşulunu kontrol ederiz:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.

Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

– Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta hariç, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 5

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun .

Bu, dersin sonunda bağımsız çözüm, kısa çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.

Bir noktada fonksiyonun sürekli olması gerektiği, diğer noktada ise süreksizliğin olması gerektiği izlenimine kapılabilirsiniz. Uygulamada bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın; birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:

Örnek 6

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.

Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:

Bu grafiğin özelliği parçalı fonksiyonun apsis ekseni denklemi ile verilmesidir. Burada bu alan yeşil renkle çizilmiştir, ancak bir defterde genellikle basit bir kalemle kalın harflerle vurgulanmıştır. Ve tabii ki koçlarımızı da unutmayın: değer teğet dalına (kırmızı nokta) ve değer de düz çizgiye aittir.

Çizimde her şey açıktır - fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir, geriye kalan tek şey, 3-4 benzer örnekten sonra kelimenin tam anlamıyla tam otomasyona getirilen çözümü resmileştirmektir:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.

Her ihtimale karşı, size önemsiz bir gerçeği hatırlatmama izin verin: Bir sabitin limiti, sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) – fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

Ve burada birin limiti birimin kendisine eşittir.

– genel bir sınır vardır.

3) – Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.

Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.

Lütfen, bu durumda bize süreklilik için tüm fonksiyonun incelenmesi hakkında hiçbir şey sorulmadığını ve bunun formüle edilmesinin iyi bir matematiksel form olarak kabul edildiğini unutmayın. kesin ve net sorulan sorunun cevabı. Bu arada, eğer koşullar bir grafik oluşturmanızı gerektirmiyorsa, o zaman onu oluşturmama hakkına sahipsiniz (ancak daha sonra öğretmen sizi bunu yapmaya zorlayabilir).

Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":

Örnek 7

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.

Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)

Hatırlayacağınız gibi çizimi taslak olarak hemen tamamlamanızı önermiştim ancak zaman zaman grafiğin neye benzediğini hemen anlayamadığınız örneklerle karşılaşıyorsunuz. Bu nedenle, bazı durumlarda önce tek taraflı limitleri bulmak ve ancak daha sonra çalışmaya dayalı olarak dalları tasvir etmek avantajlıdır. Son iki örnekte ayrıca bazı tek taraflı limitlerin hesaplanmasına yönelik bir teknik de öğreneceğiz:

Örnek 8

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.

Çözüm: kötü noktalar açıktır: (üssün paydasını sıfıra indirir) ve (tüm kesrin paydasını sıfıra indirir). Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediği belli değil, bu da ilk önce biraz araştırma yapmanın daha iyi olduğu anlamına geliyor.

Tek değişkenli sürekli bir fonksiyonun temel teoremlerinin tanımları ve formülasyonları ve özellikleri verilmiştir. Bir noktada, bir doğru parçası üzerinde sürekli bir fonksiyonun özellikleri, karmaşık bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği, süreksizlik noktalarının sınıflandırılması dikkate alınır. Ters fonksiyona ilişkin tanım ve teoremler verilmiştir. Temel fonksiyonların özellikleri özetlenmiştir.

İçerik

Süreklilik kavramını şu şekilde formüle edebiliriz: artışlar açısından. Bunu yapmak için, x değişkeninin o noktadaki artışı adı verilen yeni bir değişken tanıtıyoruz.
.
O zaman fonksiyon şu noktada süreklidir:
.
Yeni bir fonksiyon tanıtalım: Onu aradılar fonksiyon artışı
.

noktada . O zaman fonksiyon şu noktada süreklidir:
Sağda sürekliliğin tanımı (solda) Fonksiyon f(X) isminde 0 sağda (solda) x noktasında sürekli 0 , eğer bu noktanın sağ taraftaki (sol taraftaki) bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve x noktasındaki sağ (sol) limit ise 0 :
.

x'teki fonksiyon değerine eşit
Sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı üzerine teorem Fonksiyon f f fonksiyonu olsun 0 x noktasında süreklidir . Sonra bir mahalle U var

(x0)
, işlevin sınırlı olduğu.
.
Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.

Ve bu noktada pozitif (negatif) bir değere sahip olsun:
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
.
Sürekli fonksiyonların aritmetik özellikleri

Fonksiyonlar ve noktasında sürekli olsun.
O halde fonksiyonlar, ve noktasında süreklidir.

Eğer ise fonksiyon o noktada süreklidir.

Sol-sağ süreklilik özelliği

Bir fonksiyon bir noktada süreklidir ancak ve ancak sağda ve solda süreklidir.
Özelliklerin ispatları “Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri” sayfasında verilmiştir.
Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği

Karmaşık bir fonksiyon için süreklilik teoremi

Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.
Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
.
O halde karmaşık fonksiyon bu noktada süreklidir. 0 Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bu şuna eşit olsun:
.

İşte t noktası
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin.
Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun.
İşte son veya sonsuz uzaklıktaki noktalar: .
.

Mahalleler ve bunlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.

O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir:
Kırılma noktaları Kırılma noktasının belirlenmesi Fonksiyonun noktanın bazı delinmiş komşuluklarında tanımlandığını varsayalım.
Nokta denir
fonksiyon kırılma noktası

iki koşuldan biri karşılanırsa:
1) 'de tanımlanmamış; Birinci türden süreksizlik noktası 2) 'da tanımlıdır, ancak bu noktada değildir.
.

1. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir if bir kırılma noktasıdır ve solda ve sağda sonlu tek taraflı limitler vardır:
.

Fonksiyon atlamanın tanımı
1) 'de tanımlanmamış; Atlama Δ işlevi bir noktada sağdaki ve soldaki sınırlar arasındaki farktır
,
Kırılma noktasının belirlenmesi

çıkarılabilir kırılma noktası

eğer bir sınır varsa
1) 'de tanımlanmamış; ancak noktadaki fonksiyon ya tanımlı değil ya da sınır değerine eşit değil: . Dolayısıyla çıkarılabilir süreksizlik noktası, fonksiyonun sıçramasının sıfıra eşit olduğu 1. tür süreksizlik noktasıdır.

2. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi

ikinci türün süreksizlik noktası
1. türden bir süreksizlik noktası değilse.

Yani, en az bir tek taraflı limit yoksa veya bir noktada en az bir tek taraflı limit sonsuza eşittir.
Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri

Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun tanımı
Bir fonksiyon, açık aralığın (at) tüm noktalarında ve sırasıyla a ve b noktalarında sürekli ise, bir (at) aralığında sürekli olarak adlandırılır.
Weierstrass'ın bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun sınırlılığına ilişkin ilk teoremi

Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.
Maksimumun (minimum) ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
.

Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki maksimum (minimum) değerine ulaşır.
hepsi için .

Üst (alt) yüzün ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin.
.

Ve C'nin, segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerleri arasında yer alan rastgele bir sayı olmasına izin verin: ve.
O zaman bir nokta var
.

Sonuç 1
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin.
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.

Ve segmentin uçlarındaki fonksiyon değerlerinin farklı işaretlere sahip olmasına izin verin: veya .

Sonra fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu bir nokta vardır:
Sonuç 2
Weierstrass'ın bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun sınırlılığına ilişkin ilk teoremi
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Bırak gitsin . Daha sonra fonksiyon, tüm değerlerin aralığını ve yalnızca bu değerlerden alır: Ters fonksiyonlar
.

Ters fonksiyonun tanımı
;
Bir fonksiyonun X tanım alanına ve Y değerlerine sahip olmasına izin verin.
Weierstrass'ın bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun sınırlılığına ilişkin ilk teoremi

Ve şu özelliğe sahip olsun:
O zaman Y kümesindeki herhangi bir öğe için X kümesinin yalnızca bir öğesi ilişkilendirilebilir.

Bu yazışma, adı verilen bir işlevi tanımlar.
ters fonksiyon

İle . Ters fonksiyon şu şekilde gösterilir:
Tanımdan şu sonuç çıkıyor

hepsi için ;

Doğrudan ve ters fonksiyonların karşılıklı monotonluğuna ilişkin Lemma
Eğer bir fonksiyon kesin olarak artıyorsa (azalansa), o zaman yine kesin olarak artan (azalan) bir ters fonksiyon vardır.

Doğrudan ve ters fonksiyonların grafiklerinin simetrisinin özelliği
Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri düz çizgiye göre simetriktir.

Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem

Fonksiyonun segment üzerinde sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin.

Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve kesinlikle artan (azalan) segment üzerinde süreklidir.

Artan bir fonksiyon için.

Azaltmak için - . Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem Fonksiyonun açık sonlu veya sonsuz bir aralıkta sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin. > 0 Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve aralıkta süreklidir, bu kesinlikle artar (azalır).
,
Artan bir fonksiyon için.
.

Azaltmak için: .
Benzer şekilde ters fonksiyonun yarı aralıkta varlığı ve sürekliliğine ilişkin teoremi de formüle edebiliriz.
Temel fonksiyonların özellikleri ve sürekliliği Temel fonksiyonlar ve bunların tersi, tanım alanlarında süreklidir. Aşağıda karşılık gelen teoremlerin formülasyonlarını sunuyoruz ve kanıtlarına bağlantılar sağlıyoruz.
Üstel fonksiyonÜstel fonksiyon f 1 birçok anlamı vardır;
(S.2) kesinlikle artar, kesinlikle azalır, sabittir;
(S.3) ;
(S.3*) ;
(S.4) ;
(S.5) ;
(S.6) ;
(S.7) ;
(S.8) herkes için sürekli;
(S.9);
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.

Logaritma

Logaritmik fonksiyon veya logaritma, y = günlük balta, a tabanlı a tabanlı üstel fonksiyonun tersidir.

Teorem. Logaritmanın özellikleri
a tabanlı logaritmik fonksiyon, y = x'i günlüğe kaydet, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(L.1) argümanın pozitif değerleri için ve için tanımlanmış ve sürekli;
(L.2) birçok anlamı vardır;
(L.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır;
(L.4);
;
(L.5) ;
(L.6);
(L.7);
(L.8);
(L.9) Fonksiyon bir noktada sürekli olsun.

Üs ve doğal logaritma

Üstel fonksiyon ve logaritmanın tanımlarında kuvvetin tabanı veya logaritmanın tabanı olarak adlandırılan bir sabit ortaya çıkar. Matematiksel analizde, çoğu durumda, e sayısı temel alındığında daha basit hesaplamalar elde edilir:
.
e tabanına sahip bir üstel fonksiyona üs: denir ve e tabanına sahip bir logaritmaya doğal logaritma: denir.

Üssün özellikleri ve doğal logaritmanın özellikleri sayfalarda sunulmaktadır.
"Üs, e üzeri x'in kuvveti",
"Doğal logaritma, ln x fonksiyonu"

Güç fonksiyonu

p üssü ile kuvvet fonksiyonu f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

Burada argümanın negatif olmayan değerleri için y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız.
Rasyonel m için tek m için kuvvet fonksiyonu negatif x için de tanımlanır.

Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak elde edilebilir.
Bu durumlar “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmış ve gösterilmiştir.
Teorem. Güç fonksiyonunun özellikleri (x ≥ 0) p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(C.1)
sette tanımlanmış ve sürekli

,

"de.
Trigonometrik fonksiyonlar Trigonometrik fonksiyonların sürekliliği üzerine teorem Trigonometrik fonksiyonlar: sinüs ( günah x), kosinüs ( çünkü x), teğet ( tg x

) ve kotanjant (
ctg x Ters trigonometrik fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teorem Ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs ( ark sin x), ark kosinüs ( arkcos x), arktanjant ( arktan x) ve ark teğet (

arkctg x
), tanım alanlarında süreklidir.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.

Ayrıca bakınız:

Ders 4.

Fonksiyonların sürekliliği

1. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Tanım 1. Fonksiyona izin ver sen=F(X) noktasında tanımlanır X 0 ve bu noktanın bir mahallesinde. İşlev sen=F(X) denir x noktasında sürekli 0 Fonksiyonun bu noktada bir limiti varsa ve fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse yani;

Böylece fonksiyonun devamlılığının koşulu sen=F(X) noktada X 0 bu mu:

Çünkü
ise eşitlik (32) şu şekilde yazılabilir:

(33)

Bu şu anlama gelir: sürekli bir fonksiyonun limitini bulmaF(X) fonksiyon işareti altında limite gidilebilir, yani. bir fonksiyona F(X) argüman yerine X sınır değerini değiştir X 0 .

lim günah X=sin(lim X);

lim arktan X=arctg(lim X); (34)

lim günlüğü X=log(lim X).

Egzersiz yapmak. Limiti bulun: 1) ; 2)
.

Argüman artışı ve fonksiyon kavramlarına dayanarak bir fonksiyonun sürekliliğini tanımlayalım.

Çünkü koşullar ve
özdeşse (Şekil 4), eşitlik (32) şu şekli alır:

veya
.

Tanım 2.İşlev sen=F(X) denir x noktasında sürekli 0 , bir noktada tanımlanmışsa X 0 ve komşuluğu ve argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık gelir.

Egzersiz yapmak. Bir fonksiyonun sürekliliğini inceleyin sen=2X 2 1.

Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri

1. Eğer işlevler F(X) Ve φ (X) noktasında süreklidir X 0, sonra toplamları
, iş
ve özel
(verilen
) fonksiyonlar bu noktada süreklidir X 0 .

2. Eğer fonksiyon en=F(X) noktasında süreklidir X 0 ve F(X 0)>0 ise noktanın böyle bir komşuluğu vardır X 0 , burada F(X)>0.

3. Eğer fonksiyon en=F(sen) u 0 noktasında süreklidir ve u= fonksiyonu φ (X) noktasında süreklidir sen 0 = φ (X 0 ), o zaman karmaşık bir fonksiyon sen=F[φ (X)] noktasında süreklidir X 0 .

2. Bir fonksiyonun aralıkta ve doğru parçası üzerinde sürekliliği

Fonksiyon sen=F(X) denir aralıkta sürekli (A; B), eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Fonksiyon sen=F(X) denir segmentte sürekli [A; B] aralıkta sürekli ise ( A; B) ve bu noktada X=A sağda (yani) süreklidir ve noktada X=B sürekli bırakılır (ör.
).

3. Fonksiyon süreksizlik noktaları ve sınıflandırılması

Bir fonksiyonun sürekliliğinin bozulduğu noktalara denir. kırılma noktaları bu fonksiyon.

Eğer X=X 0 – fonksiyon kırılma noktası sen=F(X), o zaman bir fonksiyonun sürekliliğinin ilk tanımının koşullarından en az biri karşılanmıyor.

Örnek.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Kırılma noktası X 0'a kırılma noktası denir birinci tür işlevler sen=F(X), eğer bu noktada fonksiyonun solda ve sağda sonlu limitleri varsa (tek taraflı limitler), yani
Ve
. Burada:

Büyüklük | A 1 -A 2 | isminde fonksiyon atlama birinci türden süreksizlik noktasında. ▲

▼Kırılma noktası X 0'a kırılma noktası denir ikinci tür işlevler sen=F(X), eğer tek taraflı limitlerden (sol veya sağ) en az biri mevcut değilse veya sonsuza eşitse. ▲

Egzersiz yapmak.İşlevler için kırılma noktalarını bulun ve türlerini öğrenin:

1)
; 2)
.

4. Sürekli fonksiyonlara ilişkin temel teoremler

Fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teoremler doğrudan limitlere ilişkin ilgili teoremlerden kaynaklanır.

Teorem 1.İki sürekli fonksiyonun toplamı, ürünü ve bölümü sürekli bir fonksiyondur (bölgenin sıfıra eşit olmadığı argüman değerleri hariç, bölüm için).

Teorem 2. Fonksiyonlara izin ver sen=φ (X) noktasında süreklidir X 0 ve fonksiyon sen=F(sen) noktasında süreklidir sen=φ (X 0 ). Daha sonra karmaşık fonksiyon F(φ (X)), sürekli fonksiyonlardan oluşan, noktada süreklidir X 0 .

Teorem 3. Eğer fonksiyon sen=F(X) [ üzerinde sürekli ve kesinlikle monotondur A; B] eksenler Ah, sonra ters fonksiyon en=φ (X) aynı zamanda karşılık gelen segmentte sürekli ve monotondur [ C;D] eksenler OU.

Her temel fonksiyon tanımlandığı her noktada süreklidir.

5. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri

Weierstrass teoremi. Bir fonksiyon bir segment üzerinde sürekli ise bu segment üzerinde maksimum ve minimum değerlerine ulaşır.

Sonuçlar. Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.

Bolzano-Cauchy teoremi. Eğer fonksiyon sen=F(X) aralıkta süreklidir [ A; B] ve uçlarında eşit olmayan değerler alır F(A)=A Ve F(B)=B,
, o zaman sayı ne olursa olsun İLE arasında sonuçlandırılmıştır A Ve İÇİNDE, bir nokta var öyle ki F(C)=C.

Geometrik olarak teorem açıktır. Herhangi bir sayı için İLE arasında sonuçlandırılmıştır A Ve İÇİNDE, bu doğru parçasının içinde öyle bir c noktası var ki F(İLE)=C. Dümdüz en=İLE fonksiyonun grafiğini en az bir noktada keser.

Sonuçlar. Eğer fonksiyon sen=F(X) aralıkta süreklidir [ A; B] ve uçlarında farklı işaretlerin değerlerini alır, sonra segmentin içinde [ A; B] en az bir nokta var İle, burada fonksiyon sen=F(X) sıfıra gider: F(C)=0.

Geometrik teoremin anlamı: sürekli bir fonksiyonun grafiği eksenin bir tarafından geçiyorsa Ah diğerine doğru eksenle kesişir Ah.

Bu makale sürekli bir sayı fonksiyonu ile ilgilidir. Matematiğin çeşitli dallarındaki sürekli eşlemeler için bkz. sürekli eşleme.

Sürekli işlev- "sıçramaların" olmadığı, yani argümandaki küçük değişikliklerin fonksiyonun değerinde küçük değişikliklere yol açtığı bir fonksiyon.

Genel olarak sürekli bir işlev, sürekli eşleme kavramıyla eşanlamlıdır, ancak çoğu zaman bu terim daha dar anlamda kullanılır - örneğin gerçek çizgideki sayı alanları arasındaki eşlemeler için. Bu makale özellikle reel sayıların bir alt kümesinde tanımlanan ve reel değerler alan sürekli fonksiyonlara ayrılmıştır.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Fonksiyonun sürekliliği ve fonksiyonun kırılma noktaları

✪ 15 Sürekli fonksiyon

✪ Sürekli özellikler

✪ Matematiksel analiz, ders 5, Fonksiyonun sürekliliği

✪ Sürekli rastgele değişken. Dağıtım işlevi

Altyazılar

Tanım

İşlevi "düzeltirseniz" f (\displaystyle f)çıkarılabilir kopma noktasında ve koyma yerinde f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)) Böylece belirli bir noktada sürekli olan bir fonksiyon elde ederiz. Bir fonksiyon üzerinde yapılan bu işleme denir fonksiyonun sürekli hale getirilmesi veya fonksiyonun süreklilik yoluyla yeniden tanımlanması, bu noktanın adını bir nokta olarak haklı çıkarır çıkarılabilir kopma.

Kırılma noktası "atlama"

Aşağıdaki durumlarda bir “sıçrama” süreksizliği meydana gelir:

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x) \ a+0)f(x))'e kadar.

Kırılma noktası "kutup"

Tek taraflı sınırlardan biri sonsuzsa kutup boşluğu oluşur.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) veya lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Önemli kırılma noktası

Önemli süreksizlik noktasında tek taraflı sınırlardan biri tamamen yoktur.

Rn, n>1'de izole edilmiş tekil noktaların sınıflandırılması

Fonksiyonlar için f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n)) Ve f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \ ila \mathbb (C)) Kırılma noktalarıyla çalışmanıza gerek yoktur, ancak çoğu zaman tekil noktalarla (fonksiyonun tanımlanmadığı noktalar) çalışmak zorunda kalırsınız. Sınıflandırma benzerdir.

“Sıçrama” kavramı eksik. İçindeki nedir R (\displaystyle \mathbb (R) ) bir sıçrama olarak kabul edilir; daha yüksek boyutlardaki uzaylarda önemli bir tekil noktadır.

Özellikler

Yerel

Bir noktada sürekli fonksiyon a (\displaystyle a), bu noktanın bir mahallesinde sınırlanmıştır.
Eğer fonksiyon f (\displaystyle f) bir noktada sürekli a (\displaystyle a) Ve f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(veya f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), O f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(veya f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) hepsi için x (\displaystyle x), oldukça yakın a (\displaystyle a).
Eğer işlevler f (\displaystyle f) Ve g (\displaystyle g) bir noktada sürekli a (\displaystyle a), ardından işlevler f + g (\displaystyle f+g) Ve f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) aynı zamanda bir noktada süreklidirler a (\displaystyle a).
Eğer işlevler f (\displaystyle f) Ve g (\displaystyle g) bir noktada sürekli a (\displaystyle a) ve burada g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), ardından fonksiyon f / g (\displaystyle f/g) aynı zamanda bir noktada süreklidir a (\displaystyle a).
Eğer fonksiyon f (\displaystyle f) bir noktada sürekli a (\displaystyle a) ve işlev g (\displaystyle g) bir noktada sürekli b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), daha sonra bunların kompozisyonu h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) bir noktada sürekli a (\displaystyle a).

Küresel

kompakt küme) üzerinde düzgün süreklidir.
Bir segmentte (veya başka herhangi bir kompakt kümede) sürekli olan bir fonksiyon sınırlıdır ve maksimum ve minimum değerlerine onun üzerinde ulaşır.
Fonksiyon aralığı f (\displaystyle f), segment üzerinde süreklidir, segmenttir [ min f , maksimum f ] , (\displaystyle [\min f,\ \maks f],) segment boyunca minimum ve maksimumun alındığı yer [ a , b ] (\displaystyle).
Eğer fonksiyon f (\displaystyle f) segmentte sürekli [ a , b ] (\displaystyle) Ve f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} o zaman öyle bir nokta var ki f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
Eğer fonksiyon f (\displaystyle f) segmentte sürekli [ a , b ] (\displaystyle) ve sayı φ (\displaystyle \varphi) eşitsizliği karşılar f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi veya eşitsizlik f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) o zaman bir nokta var ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) burada f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
Bir parçanın gerçek çizgiye sürekli eşlenmesi, ancak ve ancak parça üzerinde verilen fonksiyonun kesinlikle monoton olması durumunda birebirdir.
Bir segmentte monotonik fonksiyon [ a , b ] (\displaystyle) ancak ve ancak değer aralığı uçları olan bir segment ise süreklidir f (a) (\displaystyle f(a)) Ve f (b) (\displaystyle f(b)).
Eğer işlevler f (\displaystyle f) Ve g (\displaystyle g) segmentte sürekli [ a , b ] (\displaystyle), Ve f(a)< g (a) {\displaystyle f(a) Ve f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) o zaman bir nokta var ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) burada f (ξ) = g (ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

Buradan özellikle bir parçanın kendi içine sürekli eşleştirilmesinin en az bir sabit noktaya sahip olduğu sonucu çıkar.

Örnekler

Temel işlevler Bu fonksiyon her noktada süreklidir.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) birinci türÖnemli olan kırılma noktasıdır

, Ve,

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x))

bu noktada fonksiyon ortadan kalkar.

Basamak fonksiyonu

Adım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x noktası dışında her yerde süreklidir x = 0 (\displaystyle x=0) noktası dışında her yerde süreklidir Burada fonksiyon birinci türden bir süreksizliğe maruz kalır. Ancak gelinen noktada Belirli bir noktada fonksiyonun değeriyle çakışan sağdan bir limit vardır. Yani bu fonksiyon bir örnektir işlevler sağda sürekli.

tüm tanımlama alanı boyunca

Benzer şekilde, şu şekilde tanımlanan adım fonksiyonu

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(case)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( durumlarda))\quad x\in \mathbb (R)) bir örnek işlevler sağda sürekli.

sol tarafta sürekli

Dirichlet işlevi

Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, üç süreklilik koşulunun kontrol edilmesini içeren önceden belirlenmiş bir rutin şemaya göre gerçekleştirilir:

örnek 1

Süreklilik açısından fonksiyonu inceleyin. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Çözüm:

1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.

Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.

Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.

Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?

basitleştirmek isterim ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:

Çizimi yapalım:

Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.

Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.

Favori modüllerimizden kurtulalım:

Örnek 2

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.

Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.

2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim, bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Kesme noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını unutmayın.

Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 3

İşlevi keşfedin süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizim yapmak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnek, dersin sonundaki örnek çözümdür.

İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:

Örnek 4

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin

BEN)

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.

Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

- Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.

Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:

Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta hariç, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Örnek 5

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun .

Bu, dersin sonunda bağımsız çözüm, kısa çözüm ve problemin yaklaşık bir örneği için bir örnektir.

Bir noktada fonksiyonun sürekli olması gerektiği, diğer noktada ise süreksizliğin olması gerektiği izlenimi edinilebilir. Uygulamada bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın; birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:

Örnek 6

Bir fonksiyon verildiğinde . Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.

Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün:

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.

Burada küçük komik bir şey oldu. Gerçek şu ki, pek çok materyal yarattım bir fonksiyonun sınırları hakkında ve birkaç kez istedim, ancak birkaç kez basit bir soruyu unuttum. Ve böylece, inanılmaz bir irade çabasıyla, kendimi bu düşünceyi kaybetmemeye zorladım =) Büyük olasılıkla, bazı "aptal" okuyucular şüphe ediyor: sabitin limiti nedir? Bir sabitin limiti sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.

2) Tek taraflı limitleri bulun:

Ve burada, sağdaki limitte, birliğin sınırı birliğin kendisine eşittir.

- genel bir sınır vardır.

3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.

Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.

Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.

Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.

Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":

Örnek 7

Bir fonksiyon verildiğinde .

Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.

Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)

Örnek 8

Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.

BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz

2) Tek taraflı limitleri bulun:

dikkat et tek taraflı limiti hesaplamak için tipik yöntem: "x" yerine . Paydada suç yoktur: “toplama” “eksi sıfır” rol oynamaz ve sonuç “dört” olur. Ancak payda küçük bir gerilim yaşanıyor: önce göstergenin paydasında -1 ve 1'i öldürüyoruz, sonuçta . Birim bölünmüş , “eksi sonsuz”a eşittir, dolayısıyla: . Ve son olarak “iki” sonsuz büyük negatif derece sıfıra eşit: . Veya daha spesifik olmak gerekirse: .

Sağdan limiti hesaplayalım:

Ve burada "X" yerine . Paydada “katkı maddesi” yine bir rol oynamaz: . Payda önceki sınıra benzer işlemler gerçekleştirilir: zıt sayıları yok ederiz ve birer birer böleriz :

Sağdan limit sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.

2) Sol taraftaki limiti hesaplayalım:

Yöntem aynıdır: Fonksiyonun yerine "X" koyarız. Payda ilginç bir şey yok - sonlu bir pozitif sayı olduğu ortaya çıkıyor. Ve paydada parantezleri açıyoruz, "üçleri" kaldırıyoruz ve "katkı maddesi" belirleyici bir rol oynuyor.

Sonuç olarak, son pozitif sayı bölünür sonsuz küçük pozitif sayı, “artı sonsuzluğu” verir: .

Sağdaki limit, paydada görünmesi dışında ikiz kardeş gibidir. sonsuz küçük negatif sayı:

Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.

Böylece grafiğin iki kırılma noktası ve tabii ki üç dalı var. Her dal için noktadan noktaya bir inşaat yapılması tavsiye edilir, yani. birkaç “x” değeri alın ve bunları yerine koyun. Durumun şematik bir çizimin oluşturulmasına izin verdiğini ve bu tür bir rahatlamanın manuel çalışma için doğal olduğunu lütfen unutmayın. Bir program kullanarak grafikler oluşturuyorum, bu yüzden bu kadar zorluk çekmiyorum, işte oldukça doğru bir resim:

Doğrudan dikey asimtotlar Bu fonksiyonun grafiği için.

Cevap: Fonksiyon, 2. tür süreksizliklere maruz kaldığı noktalar dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir fonksiyon:

Örnek 9

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyin ve şematik bir çizim yapın.

Sonunda fark edilmeden ortaya çıkan yaklaşık bir örnek çözüm.

Yakında görüşürüz!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3:Çözüm : işlevi dönüştürün: . Modül açıklama kuralını dikkate alarak ve gerçeği fonksiyonu parçalı biçimde yeniden yazıyoruz:

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.

1) Fonksiyon bu noktada tanımlı değil .

Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktada bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. . Çizimi yapalım:

Cevap: fonksiyon nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir burada bir sıçramayla birinci türden bir süreksizlik yaşanıyor. Atlama Boşluğu: (iki birim yukarı).

Örnek 5:Çözüm : Fonksiyonun üç parçasından her biri kendi aralığında süreklidir.
BEN)
1)

2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

yani genel bir limit var.
3) - Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Yani fonksiyon bir noktada sürekli Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini tanımlayarak.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz

1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır. fonksiyon bu noktada 2. türden bir süreksizliğe maruz kalır

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur?

Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu İşlev Etki Alanı. Bu kavramın aktif bir tartışması ilk derste başladı. fonksiyon grafikleri hakkında, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun temel fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, logaritma, sinüs, kosinüs. Üzerinde tanımlanırlar. Teğetler, arksinüsler için öyle olsun, sizi affediyorum =) Daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler yüksek matematiğin diğer problemlerinde de çözüm becerileri gerekli olacaktır. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, hangisi için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak yarı aralık ve “tse” noktası tanım alanına dahil edilmediğinden orada grafik yoktur.

Evet, bu arada, ilk paragrafların terminolojisinde ve/veya içeriğinde anlaşılmayan bir şey varsa yazıya geri dönmek daha iyi olur. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri.