Bunu çözmenin zamanı geldi kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de negatif olmayan herhangi bir b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.
Aşağıda kökleri tek tek çıkarmanın ana yöntemlerine bakacağız.
En basit durumla başlayalım; kareler tablosu, küpler tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.
Eğer kareler, küpler vb. tablolar Elinizde yoksa, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.
Tek üslü kökler için nelerin mümkün olduğunu özellikle belirtmekte yarar var.
Son olarak kök değerin rakamlarını sıralı olarak bulmamızı sağlayan bir yöntem düşünelim.
Başlayalım.
Karelerden oluşan bir tablo, küplerden oluşan bir tablo vb. kullanmak.
En basit durumlarda kareler, küpler vb. tabloları kökleri çıkarmanıza olanak tanır. Bu tablolar nelerdir?
0'dan 99'a kadar (aşağıda gösterilmektedir) tam sayıların kareleri tablosu iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur; belirli bir satırı ve belirli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak tanır. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge tablonun geri kalanını kaplar. Her hücre, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile 3. sütunun kesişiminde 83 sayısının karesi olan 6,889 numaralı hücre bulunmaktadır.
Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü kuvvetleri tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.
Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. tabloları. karekökleri, küpkökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanızı sağlar. buna göre bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarırken kullanım prensibini açıklayalım.
Diyelim ki a sayısı n'inci kuvvetler tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloyu kullanarak a=b n olacak şekilde b sayısını buluruz. Daha sonra 
dolayısıyla b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.
Örnek olarak, 19.683'ün küp kökünü çıkarmak için küp tablosunun nasıl kullanılacağını gösterelim. Küpler tablosunda 19.683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu buluyoruz, dolayısıyla, 
.
N'inci kuvvet tablolarının kökleri çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Ancak çoğu zaman el altında olmazlar ve bunları derlemek biraz zaman alır. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayıların köklerini çıkarmak çoğu zaman gereklidir. Bu durumlarda diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.
Radikal bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma
Bir doğal sayının kökünü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Onun mesele şu ki: bundan sonra bunu istenen üsle bir kuvvet olarak temsil etmek oldukça kolaydır, bu da kökün değerini elde etmenizi sağlar. Bu noktaya açıklık getirelim.
Bir a doğal sayısının n'inci kökü alınsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. b sayısı, herhangi bir doğal sayı gibi, tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, p m çarpımı olarak p 1 ·p 2 ·…·p m biçiminde temsil edilebilir ve bu durumda a radikal sayısı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n olarak temsil edilir. Bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a radikal sayısının asal çarpanlara ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde olacaktır, bu da kök değerinin hesaplanmasını mümkün kılar gibi.
Bir a radikal sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde temsil edilemiyorsa, bu durumda böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen çıkarılmaz.
Örnekleri çözerken bunu çözelim.
Örnek.
144'ün karekökünü alın.
Çözüm.
Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna bakarsanız 144 = 12 2 olduğunu açıkça görebilirsiniz, buradan 144'ün karekökünün 12'ye eşit olduğu açıktır.
Ancak bu noktanın ışığında 144 radikal sayısını asal çarpanlarına ayrıştırarak kökün nasıl çıkarılacağıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bakalım.
Haydi ayrıştıralım 144'ün asal çarpanları:
Yani 144=2·2·2·2·3·3. Ortaya çıkan ayrıştırmaya dayanarak aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Buradan, 
.
Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak çözüm biraz farklı şekilde formüle edilebilir: .
Cevap:
Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.
Örnek.
Kökün değerini hesaplayın.
Çözüm.
243 radikal sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5 şeklindedir. Böylece, 
.
Cevap:
Örnek.
Kök değeri bir tamsayı mı?
Çözüm.
Bu soruyu cevaplamak için radikal sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve bir tam sayının küpü olarak temsil edilip edilemeyeceğini görelim.
Elimizde 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 var. Ortaya çıkan genişleme bir tam sayının küpü olarak temsil edilemez çünkü 7 asal faktörünün kuvveti üçün katı değildir. Bu nedenle 285,768'in küp kökü tamamen çıkarılamıyor.
Cevap:
HAYIR.
Kesirli sayılardan köklerin çıkarılması
Kesirli bir sayının kökünün nasıl çıkarılacağını bulmanın zamanı geldi. Kesirli radikal sayı p/q şeklinde yazılsın. Bir bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu sonuç çıkıyor bir kesrin kökünü çıkarma kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün bölümünün paydanın köküne bölünmesine eşittir.
Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.
Örnek.
25/169 ortak kesirinin karekökü nedir?
Çözüm.
Kareler tablosunu kullanarak orijinal kesrin payının karekökünün 5'e ve paydanın karekökünün 13'e eşit olduğunu buluyoruz. Daha sonra 
. Bu, 25/169 ortak fraksiyonunun kökünün çıkarılmasını tamamlar.
Cevap:
Ondalık kesrin veya karışık sayının kökü, radikal sayıların sıradan kesirlerle değiştirilmesinden sonra çıkarılır.
Örnek.
474.552 ondalık kesirinin küp kökünü alın.
Çözüm.
Orijinal ondalık kesri sıradan bir kesir olarak düşünelim: 474.552=474552/1000. Daha sonra 
. Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000 = 10 3, o zaman 
Ve 
. Geriye kalan tek şey hesaplamaları tamamlamak 
.
Cevap:
.
Negatif bir sayının kökünü almak
Negatif sayılardan kök çıkarma üzerinde durmaya değer. Kökleri incelerken, kök üssü tek sayı olduğunda kök işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, 
. Bu eşitlik şunu verir Negatif sayılardan tek kökleri çıkarma kuralı: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, karşıt pozitif sayının kökünü almanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.
Örnek çözüme bakalım.
Örnek.
Kökün değerini bulun.
Çözüm.
Kök işaretinin altında pozitif bir sayı olacak şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: 
. Şimdi karışık sayıyı sıradan bir kesirle değiştirin: 
. Sıradan bir kesrin kökünü çıkarmak için kuralı uyguluyoruz: 
. Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak kalır: 
.
İşte çözümün kısa bir özeti: 
.
Cevap:
.
Kök değerinin bit bazında belirlenmesi
Genel durumda, kökün altında, yukarıda tartışılan teknikler kullanılarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak bu durumda, belirli bir kökün anlamını en azından belirli bir işarete kadar bilmeye ihtiyaç vardır. Bu durumda kökü çıkarmak için istenilen sayının yeterli sayıda basamak değerini sırayla elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.
Bu algoritmanın ilk adımı kök değerinin en anlamlı bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar sırayla n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra önceki aşamada n üssüne çıkardığımız sayı, karşılık gelen en anlamlı rakamı gösterecektir.
Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun. 0, 10, 100, ... sayılarını alın ve 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunların karesini alın. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5, yani en anlamlı rakam birler basamağı olacaktır. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.
Algoritmanın sonraki tüm adımları, en yüksek olandan başlayıp en düşük olanlara doğru ilerleyerek, istenen kök değerinin sonraki bitlerinin değerlerini bularak kökün değerini sırayla netleştirmeyi amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2, ikinci adımda 2,2, üçüncü adımda 2,23 ve bu şekilde 2,236067977 olur. Rakamların değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.
Rakamlar olası değerleri 0, 1, 2, ..., 9'a göre aranarak bulunur. Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve radikal sayıyla karşılaştırılır. Herhangi bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen rakamın değeri bulunmuş sayılır ve bu gerçekleşmezse kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır; o zaman bu rakamın değeri 9'dur.
Bu noktaları aynı beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.
Öncelikle birler basamağının değerini buluyoruz. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2, ..., 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, ..., 9 değerlerini üzerinden geçeceğiz. Tüm bu hesaplamaları bir tablo şeklinde sunmak uygundur: 
Yani birler basamağının değeri 2'dir (2 2 olduğundan<5
, а 2 3 >5). Onuncu basamağın değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri 5 radikal sayısıyla karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız: 
2.2 2'den beri<5
, а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2 olur. Yüzüncü basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz: 
Beşin kökünün bir sonraki değeri bu şekilde bulundu, 2,23'e eşit. Ve böylece değerleri bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.
İlk önce en anlamlı rakamı belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alırız. 2.151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , yani en anlamlı rakam onlar basamağıdır.
Değerini belirleyelim. 
10 3'ten beri<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186 ise onlar basamağının değeri 1 olur. Birimlere geçelim. 
Yani birler basamağının değeri 2'dir. Onuncu maddelere geçelim. 
12,9 3 bile 2 151,186 radikal sayısından küçük olduğundan onuncu basamağın değeri 9'dur. Geriye algoritmanın son adımını gerçekleştirmek kalıyor; bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecek. 
Bu aşamada kökün değeri yüzde birlere kadar doğru bulunur: 
.
Bu yazının sonunda kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.
Kaynakça.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).
Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeleri dönüştürmek çoğu zaman kökler ve kuvvetler arasında ileri geri gitmeyi gerektirir. Bu yazıda bu tür geçişlerin nasıl yapıldığına, bunların temelinde ne olduğuna ve hataların en sık hangi noktalarda meydana geldiğine bakacağız. Tüm bunları, çözümlerin detaylı analizi ile tipik örneklerle sunacağız.
Sayfada gezinme.
Kesirli üslü kuvvetlerden köklere geçiş
Kesirli üslü bir dereceden köke geçme olasılığı, derecenin tanımı tarafından belirlenir. Nasıl belirlendiğini hatırlayalım: m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere m/n kesirli üssü olan pozitif bir a sayısının kuvvetine a m'nin n'inci kökü denir, yani a>0 olduğunda , m∈Z, n∈ N. Sıfırın kesirli kuvveti benzer şekilde tanımlanır 
tek fark, bu durumda m'nin artık bir tam sayı olarak değil, doğal bir sayı olarak kabul edilmesidir, böylece sıfıra bölünme gerçekleşmez.
Böylece derece her zaman kök ile değiştirilebilir. Örneğin, 'dan'a gidebilirsiniz ve derecenin yerini kök alabilir. Ancak ifadeden köke geçmemelisiniz, çünkü kökün bir anlamı olmasına rağmen derece başlangıçta bir anlam ifade etmiyor (negatif sayıların derecesi tanımlanmamıştır).
Gördüğünüz gibi sayıların kuvvetlerinden köklere geçişte kesinlikle zorlayıcı hiçbir şey yoktur. Keyfi ifadelere dayalı kesirli üslü kuvvetlerin köklerine geçiş de benzer şekilde gerçekleştirilir. Bu geçişin, orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'sinde gerçekleştirildiğine dikkat edin. Örneğin, ifade 
bu ifade için x değişkeninin tüm ODZ'sinde kök ile değiştirilebilir 
. Ve dereceden 
köke git 
, orijinal ifade için ODZ'den herhangi bir x, y ve z değişken kümesi için böyle bir değiştirme gerçekleşir.
Kökleri güçlerle değiştirmek
Ters değiştirme de mümkündür, yani kökleri kesirli üslerle kuvvetlerle değiştirmek mümkündür. Aynı zamanda bu durumda sağdan sola yani formda kullanılan eşitliğe de dayanmaktadır.
Pozitif a için belirtilen geçiş açıktır. Örneğin, dereceyi ile değiştirebilir ve formun kesirli üssüyle kökten dereceye gidebilirsiniz.
Ve negatif a için eşitlik bir anlam ifade etmez, ancak kök yine de anlamlı olabilir. Örneğin kökler anlamlıdır ancak bunların yerini güçler alamaz. Peki bunları güçleri olan ifadelere dönüştürmek mümkün mü? Altlarında negatif olmayan sayılar bulunan köklere gitmeyi içeren ve daha sonra kesirli üslü kuvvetlerle değiştirilen ön dönüşümleri gerçekleştirmeniz mümkündür. Bu ön dönüşümlerin neler olduğunu ve nasıl gerçekleştirileceğini gösterelim.
Kök durumunda aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştirebilirsiniz: 
. Ve 4 pozitif bir sayı olduğu için son kökün yerine bir kuvvet gelebilir. Ve ikinci durumda Negatif bir sayının tek kökünü belirleme−a (burada a pozitiftir), eşitlikle ifade edilir 
, kökü, ikinin küp kökünün zaten bir derece ile değiştirilebildiği bir ifadeyle değiştirmenize olanak tanır ve bu biçimi alır.
İfadelerin altında yer aldığı köklerin, bu ifadeleri tabanda içeren güçlerle nasıl değiştirildiğini anlamaya devam ediyor. İle değiştirmek için acele etmeye gerek yok, A harfini belli bir ifadeyi belirtmek için kullandık. Bununla ne demek istediğimizi açıklamak için bir örnek verelim. Sadece kökü eşitliğe dayalı bir dereceyle değiştirmek istiyorum. Ancak böyle bir değiştirme yalnızca x−3≥0 koşulu altında ve x değişkeninin ODZ'den kalan değerleri için uygundur (x−3 koşulunu karşılayan)<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Formülün bu yanlış uygulanmasından dolayı, köklerden güçlere doğru giderken sıklıkla hatalar meydana gelir. Örneğin ders kitabında bir kuvvet formundaki bir ifadeyi rasyonel bir üsle temsil etme görevi veriliyor ve koşul b>0 kısıtını belirtmediğinden soruları gündeme getiren cevap veriliyor. Ve ders kitabında ifadeden bir geçiş var 
büyük olasılıkla irrasyonel ifadenin aşağıdaki dönüşümleri yoluyla 
ifadeye. Son geçiş, DZ'yi daralttığı için soruları da gündeme getiriyor.
Mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: "ODZ'deki değişkenlerin tüm değerleri için kökten güce nasıl doğru şekilde geçilebilir?" Bu değiştirme aşağıdaki ifadelere dayanarak gerçekleştirilir:
Kaydedilen sonuçları doğrulamadan önce, bunların köklerden güçlere geçişte kullanımına ilişkin birkaç örnek vereceğiz. Öncelikle ifadeye dönelim. İle değil, ile değiştirilmesi gerekirdi (bu durumda m=2 çift tam sayıdır, n=3 doğal bir tam sayıdır). Başka bir örnek: 
.
Şimdi sonuçların vaat edilen gerekçesi.
M tek bir tam sayı olduğunda ve n çift doğal bir tam sayı olduğunda, ifadeye yönelik ODZ'deki herhangi bir değişken kümesi için A ifadesinin değeri pozitiftir (eğer m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Bu yüzden, .
Gelelim ikinci sonuca. m pozitif tek bir tam sayı, n ise tek doğal sayı olsun. A ifadesinin değerinin negatif olmadığı ODZ'deki değişkenlerin tüm değerleri için, 
ve kendisi için negatif olan, 
Aşağıdaki sonuç negatif ve tek tamsayılar m ve tek doğal tamsayılar n için benzer şekilde kanıtlanmıştır. A ifadesinin değerinin pozitif olduğu ODZ'deki değişkenlerin tüm değerleri için, ve kendisi için negatif olan,
Nihayet, son sonuç. m bir çift tam sayı, n ise herhangi bir doğal sayı olsun. A ifadesinin değerinin pozitif olduğu ODZ'deki değişkenlerin tüm değerleri için (eğer m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . Ve bunun için negatiftir, . Dolayısıyla, m çift bir tam sayı ise, n herhangi bir doğal sayıdır, o zaman ifade için ODZ'deki değişkenlerin herhangi bir değer kümesi için, ile değiştirilebilir.
Kaynakça.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 11. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. – M.: Eğitim, 2009.- 336 s.: hasta.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel, kökü ayıklamak ve sayının üssünü yükseltmek için yerleşik işlevleri ve matematiksel işleçleri kullanır. Örneklere bakalım.
Excel'deki KARE işlevi örnekleri
Yerleşik SQRT işlevi pozitif karekök değerini döndürür. İşlevler menüsünde Matematik kategorisi altındadır.
İşlev sözdizimi: =KÖK(sayı).
Tek ve gerekli argüman, fonksiyonun karekökünü hesapladığı pozitif sayıdır. Bağımsız değişken negatifse Excel #SAYI hatası döndürür.
Bağımsız değişken olarak belirli bir değeri veya sayısal değere sahip bir hücreye başvuruyu belirtebilirsiniz.
Örneklere bakalım.
İşlev, 36 sayısının karekökünü döndürdü. Bağımsız değişken belirli bir değerdir.
ABS işlevi -36'nın mutlak değerini döndürür. Kullanımı, negatif bir sayının karekökünü çıkarırken hatalardan kaçınmamızı sağladı.
Fonksiyon 13'ün toplamının ve C1 hücresinin değerinin karekökünü aldı.
Excel'de üs alma işlevi
İşlev sözdizimi: =GÜÇ(değer; sayı). Her iki argüman da gereklidir.
Değer herhangi bir gerçek sayısal değerdir. Sayı, belirli bir değerin yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.
Örneklere bakalım.
C2 hücresinde - 10 sayısının karesinin sonucu.
Fonksiyon 100 sayısını ¾'e yükselterek döndürdü.
Operatör kullanarak üs alma
Excel'de bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için “^” matematik operatörünü kullanabilirsiniz. Girmek için Shift + 6 tuşlarına basın (İngilizce klavye düzeniyle).
Excel'in girilen bilgileri formül olarak işlemesi için öncelikle “=” işareti konur. Sırada bir kuvvete yükseltilmesi gereken sayı var. Ve “^” işaretinden sonra derecenin değeri gelir.
Bu matematiksel formülün herhangi bir değeri yerine, sayıların bulunduğu hücrelere yapılan referansları kullanabilirsiniz.
Birden fazla değer oluşturmanız gerekiyorsa bu kullanışlıdır.
Formülü tüm sütuna kopyalayarak, A sütunundaki sayıların üçüncü kuvvetine çıkarmanın sonuçlarını hızlı bir şekilde elde ettik.
N'inci köklerin çıkarılması
KÖK, Excel'deki karekök işlevidir. 3., 4. ve diğer derecelerin kökü nasıl çıkarılır?
Matematik yasalarından birini hatırlayalım: n'inci kökü çıkarmak için sayının 1/n üssünü yükseltmeniz gerekir.
Örneğin küp kökünü çıkarmak için sayıyı 1/3'ün kuvvetine yükseltiriz.
Excel'de farklı derecelerdeki kökleri çıkarmak için formülü kullanalım.
Formül, 21 sayısının küp kökünün değerini döndürüyordu. Kesirli kuvvete yükseltmek için “^” operatörü kullanıldı.
Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız :)
Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, bunun nedeni köklerin karmaşık olması değil (bunun nesi bu kadar karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları bunu yapabilir. bu yazıyı kendileri anlayabilirler. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle :)
Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.
Ancak öncelikle, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:
Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.
Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:
Tanım. Hatta kök N$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.
Her durumda kök şu şekilde gösterilir:
\(A)\]
Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü, $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü elde ederiz (bu arada, bu çift dereceli bir köktür) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alırız; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.
Örnekler. Klasik karekök örnekleri:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]
Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]
Birkaç “egzotik örnek”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]
Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!
Bu arada köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üsler için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.
Neden köklere ihtiyaç var?
Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?
Bu soruyu cevaplamak için bir anlığına ilkokula dönelim. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. "Beş'e beş - yirmi beş" gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:
Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:
Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayıt, bir sayının kuvvetleri olarak adlandırıldı; içinde bir dizi özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.
Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?
Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]
Ya $((b)^(3))=$50 ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.
Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve ondan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.
Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizle (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:
\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]
Veya işte başka bir örnek:
\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]
Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin test edilmesi gerekir).
Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.
Bir kökün $\frac(p)(q)$ formunun kesirli kısmı olarak temsil edilememesi, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, kuvvetler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka bir zaman anlatacağım.
Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]
Doğal olarak kökün görünümünden virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.
İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.
Neden iki tanıma ihtiyaç var?
Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.
Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü
İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:
Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Mesela dördünün aynı anda iki kökü mü var? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar :)
Sorun şu ki, eğer herhangi bir ek koşul dayatmazsanız, o zaman dörtlünün pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü olacaktır. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen, yani negatif değerleri kabul etmez.
Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:
- Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
- Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.
Bu nedenle $n$ çift dereceli bir kökün tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.
Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:
Bir küp parabol herhangi bir değeri alabilir, dolayısıyla küp kökü herhangi bir sayıdan alınabilir Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:
- Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
- Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).
Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.
Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bunun hakkında ayrı bir derste detaylı olarak konuşacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.
Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.
Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:
- Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
- Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.
Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.
Temel özellikler ve sınırlamalar
Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:
\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]
Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü çıkarırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilecek basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı dikkate almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.
Konuyu detaylı olarak anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))))=?\]
Bunlar çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:
- İlk önce sayının dördüncü kuvveti alınır. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
- Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.
İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:
\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:
Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]
Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:
Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]
Bu hesaplamalar çift dereceli kök tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.
Prosedürle ilgili not
- $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
- Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz; bu, tanımda yer alan zorunlu bir gerekliliktir.
Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.
Ancak tüm bu sorunlar yalnızca eşit göstergeler için geçerlidir.
Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma
Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu, tüm dezavantajları "ortadan kaldırmanıza" olanak tanıyan çok kullanışlı bir özelliktir:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]
Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.
Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulda irrasyonel ifadeler üzerinde çalışmaya başlarken kullandıkları tanımın aynısı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Bizimle buluş!
Aritmetik kök
Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?
Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - bu, "standart" tanımlarımızla kısmen örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.
Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.
Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.
Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:
Aritmetik kök arama alanı - negatif olmayan sayılar Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca $x$ ve $y$ koordinatlarının pozitif (veya en azından sıfır) olduğu ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz. Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.
Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"
Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]
Lütfen unutmayın: Köklü ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.
O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.
Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.
Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için
Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.
Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.
Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:
- Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
- Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
- Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı grafik ikinci dereceden fonksiyon. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.
Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.
Örnek. İfadeleri değerlendirin:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Çözüm. İlk ifade basittir:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Son olarak son ifade:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.
Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.
Ancak karmaşık sayılara modern okul matematik derslerinde neredeyse hiç yer verilmez. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.
Bu kadar. Bir sonraki derste köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve son olarak irrasyonel ifadeleri nasıl basitleştireceğimizi öğreneceğiz :)
Yetkileri ve kökleri olan işlemler. Negatif derece ,
sıfır ve kesirli gösterge. Anlamı olmayan ifadeler hakkında.
Dereceli işlemler.
1. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır:
bir m · bir n = bir m + n .
2. Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri düşüldü .
3. İki veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.
(ABC… ) n = bir n· bn · cn…
4. Oranın derecesi (kesir), bölenin (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:
(a/b ) n = a n / b n.
5. Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsleri çarpılır:
(bir m ) n = a m n.
Yukarıdaki formüllerin tümü soldan sağa ve soldan sağa her iki yönde okunur ve yürütülür.
ÖRNEK (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Köklerle işlemler. Aşağıdaki formüllerin tamamında sembol araç aritmetik kök(Radikal ifade pozitiftir).
1. Birkaç faktörün çarpımının kökü çarpıma eşittir Bu faktörlerin kökleri:
2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:
3. Bir kökü bir güce yükseltirken, bu güce yükseltmek yeterlidir. radikal sayı:
4. Kökün derecesini arttırırsak M yükseltmek M inci kuvveti radikal bir sayıysa, kökün değeri değişmeyecektir:
5. Kökün derecesini azaltırsak M kökü bir kez ve aynı anda çıkarın M bir radikal sayının kuvveti ise kökün değeri değildir değişecek:
Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üslü ifadelerle ele aldık; ancak ile eylemler dereceler ve kökler de şunlara yol açabilir: olumsuz, sıfır Ve kesirli göstergeler. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.
Negatif üslü bir derece. Bir c sayısının kuvveti negatif (tamsayı) bir üs bir bölünmüş olarak tanımlanır mutlak değere eşit bir üs ile aynı sayının kuvveti ileolumsuz gösterge:
Tşimdi formül bir m: BİR= bir m - N sadece için kullanılamazM, bundan fazla N, ama aynı zamanda M, daha az N .
ÖRNEK A 4 :A 7 = bir 4 - 7 = bir - 3 .
Eğer formülü istiyorsakbir m : BİR= bir m - Nne zaman adildim = n, sıfır derecenin tanımına ihtiyacımız var.
Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.
ÖRNEKLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için ve m/n gücüne , kökü çıkarmanız gerekiyor m'nin n'inci kuvveti bu sayının -inci kuvveti A :
Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var. herhangi bir numara.
Aslında bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak X, bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · X. Ancak bu eşitlik şu durumlarda ortaya çıkar: herhangi bir sayı x Kanıtlanması gereken şey buydu.
Durum 3.
0 0 - herhangi bir numara.
Gerçekten mi,
Çözüm Üç ana durumu ele alalım:
1) X = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor
(Neden?).
2) ne zaman X> 0 elde ederiz: x/x = 1, yani 1 = 1, bunun anlamı
Ne X- herhangi bir numara; ancak bunu dikkate alarak
Bizim durumumuzda X> 0, cevapX > 0 ;
3) ne zaman X < 0 получаем: – x/x= 1, yani e . –1 = 1, dolayısıyla
Bu durumda çözüm yoktur.
Böylece, X > 0.