Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Birleşik Devlet Sınavına kadar hala zaman olduğunu ve hazırlanmak için zamanınızın olacağını mı düşünüyorsunuz? Belki de bu böyledir. Ancak her halükarda öğrenci hazırlıklara ne kadar erken başlarsa sınavları o kadar başarılı geçer. Bugün bir makaleyi logaritmik eşitsizliklere ayırmaya karar verdik. Bu, ekstra kredi alma fırsatı anlamına gelen görevlerden biridir.
Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musun? Gerçekten öyle umuyoruz. Ancak bu soruya bir cevabınız olmasa bile bu bir sorun değil. Logaritmanın ne olduğunu anlamak çok basittir.
Neden 4? 81 elde etmek için 3 sayısını bu kuvvete yükseltmeniz gerekiyor. Prensibi anladıktan sonra daha karmaşık hesaplamalara geçebilirsiniz.
Birkaç yıl önce eşitsizliklerden geçtiniz. Ve o zamandan beri matematikte sürekli onlarla karşılaştınız. Eşitsizlikleri çözmede sorun yaşıyorsanız uygun bölüme bakın.
Artık kavramlara tek tek aşina olduğumuza göre, onları genel olarak ele almaya geçelim.
En basit logaritmik eşitsizlik.
En basit logaritmik eşitsizlikler bu örnekle sınırlı değildir; yalnızca farklı işaretlere sahip üç tane daha vardır. Bu neden gerekli? Eşitsizliklerin logaritmalarla nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak. Şimdi daha uygulanabilir bir örnek verelim, yine de oldukça basit; karmaşık logaritmik eşitsizlikleri sonraya bırakacağız.
Bu nasıl çözülür? Her şey ODZ ile başlar. Herhangi bir eşitsizliği her zaman kolayca çözmek istiyorsanız, bunun hakkında daha fazla bilgi sahibi olmaya değer.
ODZ nedir? Logaritmik eşitsizlikler için ODZ
Kısaltma alan anlamına gelir kabul edilebilir değerler. Bu formülasyon genellikle Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde ortaya çıkar. ODZ yalnızca şu durumlarda sizin için faydalı olacaktır: logaritmik eşitsizlikler.
Yukarıdaki örneğe tekrar bakın. İlkeyi anlamanız ve logaritmik eşitsizlikleri çözmenin soru sormaması için ODZ'yi buna dayanarak ele alacağız. Logaritmanın tanımından 2x+4'ün sıfırdan büyük olması gerektiği sonucu çıkar. Bizim durumumuzda bu şu anlama geliyor.
Bu sayı, tanımı gereği pozitif olmalıdır. Yukarıda sunulan eşitsizliği çözün. Bu sözlü olarak bile yapılabilir; burada X'in 2'den küçük olamayacağı açıktır. Eşitsizliğin çözümü, kabul edilebilir değerler aralığının tanımı olacaktır.
Şimdi en basit logaritmik eşitsizliği çözmeye geçelim.
Eşitsizliğin her iki tarafındaki logaritmaların kendisini atıyoruz. Sonuç olarak elimizde ne kaldı? Basit eşitsizlik.
Çözülmesi zor değil. X -0,5'ten büyük olmalıdır. Şimdi elde edilen iki değeri bir sistemde birleştiriyoruz. Böylece,
Bu, söz konusu logaritmik eşitsizlik için kabul edilebilir değerler aralığı olacaktır.
Neden ODZ'ye ihtiyacımız var? Bu, yanlış ve imkansız cevapları ayıklamak için bir fırsattır. Cevap kabul edilebilir değerler aralığında değilse, o zaman cevap mantıklı değildir. Bunu uzun süre hatırlamaya değer, çünkü Birleşik Devlet Sınavında genellikle ODZ'yi aramaya ihtiyaç duyulur ve bu yalnızca logaritmik eşitsizliklerle ilgili değildir.
Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma
Çözüm birkaç aşamadan oluşur. Öncelikle kabul edilebilir değer aralığını bulmanız gerekir. ODZ'de iki değer olacak, bunu yukarıda tartıştık. Daha sonra eşitsizliğin kendisini çözmeniz gerekir. Çözüm yöntemleri aşağıdaki gibidir:
- çarpan değiştirme yöntemi;
- ayrışma;
- Rasyonalizasyon yöntemi.
Duruma bağlı olarak yukarıdaki yöntemlerden birini kullanmaya değer. Doğrudan çözüme geçelim. Hemen hemen her durumda Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmeye uygun olan en popüler yöntemi açıklayalım. Daha sonra ayrıştırma yöntemine bakacağız. Özellikle zor bir eşitsizlikle karşılaşırsanız yardımcı olabilir. Yani logaritmik eşitsizliği çözmek için bir algoritma.
Çözüm örnekleri :
Tam olarak bu eşitsizliği almamız boşuna değil! Üsse dikkat edin. Unutmayın: eğer öyleyse birden fazla kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda işaret aynı kalır; V aksi takdirde eşitsizlik işaretini değiştirmeniz gerekir.
Sonuç olarak eşitsizliği elde ederiz:
Şimdi sunuyoruz sol taraf denklemin formuna göre, sıfıra eşit. “Küçüktür” işareti yerine “eşittir” koyarız ve denklemi çözeriz. Böylece ODZ'yi bulacağız. Bu duruma bir çözüm bulmayı umuyoruz basit denklem hiçbir sorun yaşamazsınız. Cevaplar -4 ve -2'dir. Hepsi bu değil. Bu noktaları grafikte “+” ve “-” yerleştirerek göstermeniz gerekir. Bunun için ne yapılması gerekiyor? Aralıklardaki sayıları ifadede değiştirin. Değerlerin pozitif olduğu yerlere “+” koyarız.
Cevap: x -4'ten büyük ve -2'den küçük olamaz.
Sadece sol taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulduk, şimdi sağ taraf için kabul edilebilir değerler aralığını bulmamız gerekiyor. Bu çok daha kolay. Cevap: -2. Ortaya çıkan her iki alanla da kesişiyoruz.
Ve ancak şimdi eşitsizliğin kendisini ele almaya başlıyoruz.
Çözülmesini kolaylaştırmak için mümkün olduğunca basitleştirelim.
Tekrar başvur aralık yöntemi kararda. Hesaplamaları geçelim; önceki örnekte her şey zaten açık. Cevap.
Ancak logaritmik eşitsizliğin tabanları aynıysa bu yöntem uygundur.
Çözüm logaritmik denklemler ve eşitsizlikler farklı nedenlerden dolayı başlangıçta tek bir tabana indirgemeyi gerektirir. Daha sonra yukarıda açıklanan yöntemi kullanın. Ama daha fazlası var zor durum. En çok birini ele alalım karmaşık türler logaritmik eşitsizlikler.
Değişken tabanlı logaritmik eşitsizlikler
Bu özelliklere sahip eşitsizlikler nasıl çözülür? Evet ve bu tür insanlar Birleşik Devlet Sınavında bulunabilir. Eşitsizlikleri aşağıdaki şekilde çözmek aynı zamanda size de fayda sağlayacaktır. eğitim süreci. Konuya ayrıntılı olarak bakalım. Teoriyi bir kenara bırakıp doğrudan uygulamaya geçelim. Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için örneğe bir kez aşina olmanız yeterlidir.
Sunulan formun logaritmik eşitsizliğini çözmek için sağ tarafı aynı tabana sahip bir logaritmaya indirgemek gerekir. Prensip eşdeğer geçişlere benzemektedir. Sonuç olarak eşitsizlik şöyle görünecektir: aşağıdaki gibi.
Aslında geriye logaritması olmayan bir eşitsizlik sistemi yaratmak kalıyor. Rasyonalizasyon yöntemini kullanarak devam ediyoruz. eşdeğer sistem eşitsizlikler Uygun değerleri değiştirdiğinizde ve değişikliklerini takip ettiğinizde kuralın kendisini anlayacaksınız. Sistem aşağıdaki eşitsizliklere sahip olacaktır.
Eşitsizlikleri çözerken rasyonalizasyon yöntemini kullanırken aşağıdakileri hatırlamanız gerekir: tabandan bir çıkarılmalıdır, logaritmanın tanımı gereği x, eşitsizliğin her iki tarafından da çıkarılır (sağdan soldan), iki ifade çarpılır ve sıfıra göre orijinal işaretin altına ayarlanır.
Daha fazla çözüm aralık yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir, burada her şey basittir. Çözüm yöntemlerindeki farklılıkları anlamanız önemlidir, o zaman her şey kolayca yoluna girmeye başlayacaktır.
Logaritmik eşitsizliklerde birçok nüans vardır. En basitlerini çözmek oldukça kolaydır. Her birini sorunsuz bir şekilde nasıl çözebilirsiniz? Bu makaledeki tüm cevapları zaten aldınız. Artık önünüzde uzun bir antrenman var. Sürekli olarak en çok çözerek pratik yapın farklı görevler sınavın bir parçası olarak ve alabilirsiniz en yüksek puan. Zor görevinizde size iyi şanslar!
KULLANIMDA LOGARATRİK EŞİTSİZLİKLER
Seçin Mihail Aleksandroviç
Küçük Akademi Kazakistan Cumhuriyeti öğrencileri için bilimler "Iskatel"
MBOU "Sovetskaya Ortaokulu No. 1", 11. sınıf, kasaba. Sovyet Sovyet bölgesi
Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU öğretmeni"Sovyet Ortaokulu No. 1"
Sovyet bölgesi
Çalışmanın amacı: C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, ilginç gerçekler logaritma
Araştırma konusu:
3) Belirli C3 logaritmik eşitsizliklerini standart dışı yöntemler kullanarak çözmeyi öğrenin.
Sonuçlar:
İçerik
Giriş………………………………………………………………………………….4
Bölüm 1. Sorunun tarihçesi……………………………………………………...5
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması ………………………… 7
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi…………… 7
2.2. Rasyonalizasyon yöntemi……………………………………………………………… 15
2.3. Standart dışı ikame……………….................................................. ...... ..... 22
2.4. Tuzaklarla yapılan görevler………………………………………………………27
Sonuç……………………………………………………………………………… 30
Edebiyat……………………………………………………………………. 31
giriiş
11. sınıftayım ve bir üniversiteye girmeyi planlıyorum uzmanlık konusu matematiktir. Bu yüzden C bölümündeki problemlerle çok çalışıyorum. C3 görevinde, genellikle logaritmalarla ilgili standart olmayan bir eşitsizliği veya eşitsizlikler sistemini çözmem gerekiyor. Sınava hazırlanırken C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmeye yönelik yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Çalışılan yöntemler okul müfredatı bu konuda C3 görevlerinin çözümü için bir temel sağlamamaktadır. Matematik öğretmeni C3 ödevleri üzerinde onun rehberliğinde bağımsız olarak çalışmamı önerdi. Ayrıca şu soru da ilgimi çekti: Hayatımızda logaritmalarla karşılaşır mıyız?
Bu düşünceyle konu seçildi:
“Birleşik Devlet Sınavında Logaritmik Eşitsizlikler”
Çalışmanın amacı: C3 problemlerini standart dışı yöntemler kullanarak çözme mekanizmasının incelenmesi, logaritmayla ilgili ilginç gerçeklerin belirlenmesi.
Araştırma konusu:
1)Bul gerekli bilgiler O standart dışı yöntemler Logaritmik eşitsizliklerin çözümleri.
2) Bul Ek Bilgiler Logaritmalar hakkında.
3) Karar vermeyi öğrenin belirli görevler Standart dışı yöntemler kullanan C3.
Sonuçlar:
Pratik önemi C3 problemlerini çözmek için aparatın genişletilmesinden oluşur. Bu malzeme bazı derslerde, kulüplerde ve matematik seçmeli derslerinde kullanılabilir.
Proje ürünü“C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonu olacak.
Bölüm 1. Arka Plan
16. yüzyıl boyunca, başta astronomi olmak üzere yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletlerin iyileştirilmesi, gezegen hareketlerinin incelenmesi ve diğer çalışmalar devasa, bazen uzun yıllar süren hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi tehdit edildi gerçek tehlike Gerçekleşmeyen hesaplamalar içinde boğulmak. Sigortacılık gibi diğer alanlarda da zorluklar ortaya çıktı, tablolara ihtiyaç duyuldu bileşik faizİçin farklı anlamlar yüzde. Ana zorlukçarpma ve bölmeyi temsil ediyordu çok basamaklı sayılarözellikle trigonometrik büyüklükler.
Logaritmanın keşfi, 16. yüzyılın sonlarında iyi bilinen ilerlemelerin özelliklerine dayanıyordu. Üyeler arasındaki bağlantı hakkında geometrik ilerleme q, q2, q3, ... ve aritmetik ilerleme göstergeleri 1, 2, 3,... Arşimet “Mezmur”da konuştu. Bir diğer önkoşul ise derece kavramının negatif ve negatife doğru genişletilmesiydi. kesirli göstergeler. Birçok yazar, geometrik ilerlemede çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemlerinin aritmetik olarak - aynı sırayla - toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye karşılık geldiğini belirtmiştir.
Üs olarak logaritmanın fikri burada yatıyor.
Logaritma doktrininin gelişim tarihinde birkaç aşama geçti.
Aşama 1
Logaritmalar en geç 1594 yılında İskoç Baron Napier (1550-1617) tarafından bağımsız olarak ve on yıl sonra da İsviçreli tamirci Bürgi (1552-1632) tarafından icat edildi. Her ikisi de yeni ve kullanışlı bir araç sunmak istiyordu aritmetik hesaplamalar, ancak bu göreve farklı şekilde yaklaştılar. Napier logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece yeni alan fonksiyon teorisi. Bürgi, ayrık ilerlemeleri dikkate alma temelinde kaldı. Ancak her ikisinin de logaritmasının tanımı modern olana benzememektedir. "Logaritma" (logaritma) terimi Napier'e aittir. Bir kombinasyondan ortaya çıktı Yunanca kelimeler: logos - “ilişki” ve ariqmo – “sayı”, bu da “ilişkilerin sayısı” anlamına geliyordu. Napier başlangıçta farklı bir terim kullandı: numeri naturalts - "doğal sayılar" yerine numeri Artificiales - "yapay sayılar".
1615 yılında, Londra'daki Gresh College'da matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, sıfırın birin logaritması ve 100'ün de on'un logaritması olarak alınmasını veya bunun aynı anlama geldiğini önerdi. , basitçe 1. İşte böyle göründüler ondalık logaritmalar ve ilk logaritmik tablolar basıldı. Daha sonra Briggs'in tablolarına Hollandalı kitapçı ve matematik meraklısı Adrian Flaccus (1600-1667) eklendi. Napier ve Briggs, logaritmaya herkesten daha önce gelmiş olmalarına rağmen tablolarını diğerlerinden daha sonra, 1620'de yayınladılar. Log ve Log işaretleri 1624 yılında I. Kepler tarafından tanıtıldı. “Doğal logaritma” terimi 1659 yılında Mengoli tarafından ortaya atılmış, ardından 1668 yılında N. Mercator tarafından ortaya atılmış ve Londralı öğretmen John Speidel 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını “Yeni Logaritmalar” adı altında yayınlamıştır.
İlk logaritmik tablolar 1703'te Rusça olarak yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplama hataları vardı. İlk hatasız tablolar 1857 yılında Berlin'de Alman matematikçi K. Bremiker (1804-1877) tarafından işlenerek yayımlandı.
Aşama 2
Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, daha geniş uygulama alanıyla ilişkilidir. analitik geometri ve sonsuz küçükler hesabı. O zamana kadar, karesellik arasında bir bağlantının kurulması eşkenar hiperbol Ve doğal logaritma. Bu dönemin logaritma teorisi bazı matematikçilerin isimleriyle ilişkilendirilmiştir.
Alman matematikçi, gökbilimci ve mühendis Nikolaus Mercator bir makalesinde
"Logarithmotechnics" (1668), ln(x+1)'in açılımını veren bir seri verir.
x'in kuvvetleri:
Bu ifade onun düşünce tarzına tam olarak karşılık geliyor, ancak elbette d, ... işaretlerini değil, daha hantal sembolizmi kullandı. Logaritmik serilerin keşfiyle logaritmaları hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. Derslerinde" İlköğretim matematikİle en yüksek nokta Vizyon", 1907-1908'de okunduğunda F. Klein, logaritma teorisini oluşturmak için formülün başlangıç noktası olarak kullanılmasını önerdi.
Aşama 3
Tanım logaritmik fonksiyon ters fonksiyon olarak
üstel, üs olarak logaritma bu temel
hemen formüle edilmedi. Leonhard Euler'in Denemesi (1707-1783)
"Sonsuz Küçüklerin Analizine Giriş" (1748) daha ileri düzeyde hizmet etti
Logaritmik fonksiyonlar teorisinin gelişimi. Böylece,
Logaritmanın ilk ortaya çıkışından bu yana 134 yıl geçti
(1614'ten itibaren sayılıyor), matematikçiler tanıma gelmeden önce
Artık okul dersinin temeli olan logaritma kavramı.
Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması
2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralık yöntemi.
Eşdeğer geçişler
, eğer a > 1 ise
0 ise <
а <
1
Genelleştirilmiş yöntem aralıklar
Bu yöntem hemen hemen her türden eşitsizliği çözmek için en evrenseldir. Çözüm şeması şuna benzer:
1. Eşitsizliği sol taraftaki fonksiyonun olduğu forma getirin 
ve sağda 0.
2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun .
3. Fonksiyonun sıfırlarını bulun yani denklemi çöz 
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).
4. Fonksiyonun tanım tanım kümesini ve sıfırlarını sayı doğrusu üzerinde çiziniz.
5. Fonksiyonun işaretlerini belirleyin elde edilen aralıklarda.
6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.
Örnek 1.
Çözüm:
Aralık yöntemini uygulayalım
Neresi
Bu değerler için logaritmik işaretlerin altındaki tüm ifadeler pozitiftir.
Cevap:
Örnek 2.
Çözüm:
1. yol . ADL eşitsizlikle belirlenir X> 3. Bunun logaritmasını almak X 10 tabanına göre şunu elde ederiz:
Son eşitsizlik genişleme kuralları uygulanarak çözülebilir; Faktörlerin sıfırla karşılaştırılması. Ancak, bu durumda Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıklarını belirlemek kolay
bu nedenle aralık yöntemi uygulanabilir.
İşlev F(X) = 2X(X- 3.5)lg| X- 3a süreklidir X> 3 ve bazı noktalarda kayboluyor X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Böylece fonksiyonun sabit işaret aralıklarını belirleriz. F(X):
Cevap:
2. yöntem . Aralık yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.
Bunu yapmak için ifadeleri hatırlayın A B- A c ve ( A - 1)(B- 1) bir işareti var. O halde eşitsizliğimiz X> 3 eşitsizliğe eşdeğerdir
veya
Son eşitsizlik aralık yöntemi kullanılarak çözülür
Cevap:
Örnek 3.
Çözüm:
Aralık yöntemini uygulayalım
Cevap:
Örnek 4.
Çözüm:
2'den beri X 2 - 3X Tüm gerçekler için +3 > 0 X, O
İkinci eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini kullanırız
İlk eşitsizlikte değiştirmeyi yaparız
sonra 2y 2 eşitsizliğine geliriz - sen - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sen-0,5 eşitsizliğini karşılayan< sen < 1.
Nereden beri
eşitsizliği elde ederiz
ne zaman gerçekleştirilir X, bunun için 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü dikkate alarak nihayet şunu elde ederiz:
Cevap:
Örnek 5.
Çözüm:
Eşitsizlik bir sistemler koleksiyonuna eşdeğerdir
veya
Aralık yöntemini kullanalım veya
Cevap:
Örnek 6.
Çözüm:
Eşitsizlik eşittir sistem
İzin vermek
Daha sonra sen > 0,
ve ilk eşitsizlik
sistem şu şekli alır
veya, ortaya çıkıyor
ikinci dereceden üç terimli faktörlere göre,
Aralık yöntemini son eşitsizliğe uygulayarak,
çözümlerinin koşulu sağladığını görüyoruz sen> 0 hepsi olacak sen > 4.
Dolayısıyla orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:
Yani eşitsizliğin çözümlerinin hepsi
2.2. Rasyonalizasyon yöntemi.
Önceki yöntem Eşitsizliğin rasyonelleştirilmesi çözülmedi, bilinmiyordu. Bu "yeni modern" etkili yöntemüstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözümleri" (S.I. Kolesnikova'nın kitabından alıntı)
Öğretmen onu tanıyor olsa bile bir korku vardı; onu tanıyor muydu? Birleşik Devlet Sınavı uzmanı neden okulda vermiyorlar? Öğretmenin öğrenciye "Nereden aldın - 2" dediği durumlar oldu.
Şimdi bu yöntem her yerde tanıtılıyor. Ve uzmanlar için var yönergeler, bu yöntemle ilişkili ve "En eksiksiz basımlar"da tipik seçenekler..." Çözüm C3 bu yöntemi kullanıyor.
HARİKA BİR YÖNTEM!
« Sihirli masa»
Diğer kaynaklarda
Eğer a >1 ve b >1 ise log a b >0 ve (a -1)(b -1)>0;
Eğer a >1 ve 0 eğer 0 ise<A<1 и b
>1, sonra a b'yi logla<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
eğer 0 ise<A<1 и 00 ve (a -1)(b -1)>0. Gerçekleştirilen mantık basittir ancak logaritmik eşitsizliklerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir. Örnek 4.
log x (x 2 -3)<0
Çözüm:
Örnek 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x) Çözüm: Örnek 6.
Bu eşitsizliği çözmek için payda yerine (x-1-1)(x-1), pay yerine de (x-1)(x-3-9 + x) çarpımını yazıyoruz. Örnek 7.
Örnek 8.
2.3. Standart olmayan ikame. Örnek 1.
Örnek 2.
Örnek 3.
Örnek 4.
Örnek 5.
Örnek 6.
Örnek 7.
log 4 (3 x -1)log 0,25 y=3 x -1 yerine koyalım; o zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır Günlük 4 günlük 0,25 Çünkü günlük 0,25 t =log 4 y'yi yerine koyalım ve t 2 -2t +≥0 eşitsizliğini elde edelim; bunun çözümü - Böylece, y'nin değerlerini bulmak için elimizde iki basit eşitsizlik var Bu nedenle, orijinal eşitsizlik iki üstel eşitsizlik kümesine eşdeğerdir, Bu kümenin ilk eşitsizliğinin çözümü 0 aralığıdır.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Örnek 8.
Çözüm:
Eşitsizlik eşittir sistem ODZ'yi tanımlayan ikinci eşitsizliğin çözümü, bunların kümesi olacaktır. X,
hangisi için X > 0.
İlk eşitsizliği çözmek için ikameyi yaparız Sonra eşitsizliği elde ederiz veya Son eşitsizliğin çözüm kümesi şu yöntemle bulunur: aralıklar: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, alıyoruz veya Bunlardan birçoğu X son eşitsizliği sağlayan ODZ'ye aittir ( X> 0), dolayısıyla sistemin bir çözümüdür, ve dolayısıyla orijinal eşitsizlik. Cevap: 2.4. Tuzaklarla görevler. Örnek 1.
Çözüm. Eşitsizliğin ODZ'si 0 koşulunu sağlayan x'tir Örnek 2.
günlük 2 (2 x +1-x 2)>günlük 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Cevap. (0; 0,5)U.
Cevap :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y ise son eşitsizliği 2log 4 y -log 4 2 y ≤ olarak yeniden yazarız.
Bu kümenin çözümü 0 aralığıdır.<у≤2 и 8≤у<+.
yani agregalar 
. Böylece orijinal eşitsizlik, 0 aralığından itibaren x'in tüm değerleri için sağlanır.<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Bu nedenle tüm x'ler 0 aralığındadır
Çözüm
Çok sayıda farklı eğitim kaynağından C3 problemlerini çözmek için özel yöntemler bulmak kolay değildi. Yapılan çalışma sırasında karmaşık logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemleri inceleyebildim. Bunlar: eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi, rasyonelleştirme yöntemi , standart dışı ikame , ODZ'de tuzaklı görevler. Bu yöntemler okul müfredatında yer almamaktadır.
Farklı yöntemler kullanarak Birleşik Devlet Sınavı'nın C bölümünde yani C3'te önerilen 27 eşitsizliği çözdüm. Yöntemlerle çözümlenen bu eşitsizlikler, faaliyetimin proje ürünü olan “C3 Çözümlü Logaritmik Eşitsizlikler” koleksiyonunun temelini oluşturdu. Projenin başında ortaya koyduğum hipotez doğrulandı: Bu yöntemleri biliyorsanız C3 problemleri etkili bir şekilde çözülebilir.
Ayrıca logaritmalarla ilgili ilginç gerçekleri keşfettim. Bunu yapmak benim için ilginçti. Proje ürünlerim hem öğrencilere hem de öğretmenlere faydalı olacaktır.
Sonuçlar:
Böylece proje hedefine ulaşılmış ve sorun çözülmüştür. Ve işin her aşamasında proje faaliyetleri konusunda en eksiksiz ve çeşitli deneyimi aldım. Proje üzerinde çalışırken ana gelişimsel etkim zihinsel yeterlilik, mantıksal zihinsel işlemlerle ilgili faaliyetler, yaratıcı yeterliliğin gelişimi, kişisel inisiyatif, sorumluluk, azim ve aktivite üzerinde oldu.
Bir araştırma projesi oluştururken başarı garantisi Kazandığım şeyler: önemli bir okul deneyimi, çeşitli kaynaklardan bilgi edinme, güvenilirliğini kontrol etme ve onu önem derecesine göre sıralama yeteneği.
Matematikteki doğrudan konu bilgilerinin yanı sıra bilgisayar bilimleri alanındaki pratik becerilerimi genişlettim, psikoloji alanında yeni bilgi ve deneyimler kazandım, sınıf arkadaşlarımla bağlantılar kurdum, yetişkinlerle işbirliği yapmayı öğrendim. Proje faaliyetleri sırasında organizasyonel, entelektüel ve iletişimsel genel eğitim becerileri geliştirildi.
Edebiyat
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Tek değişkenli eşitsizlik sistemleri (standart görevler C3).
2. Malkova A. G. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık.
3. Samarova S. S. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü.
4. Matematik. A.L. tarafından düzenlenen eğitim çalışmaları koleksiyonu. Semenov ve I.V. Yaşçenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Logaritmik eşitsizliklerin tüm çeşitleri arasında değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formül kullanılarak çözülürler:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
“∨” onay kutusu yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: daha fazla veya daha az. Önemli olan her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.
Bu şekilde logaritmalardan kurtuluruz ve sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indiririz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Bir logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, bunu tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - bkz. “Logaritma nedir?”.
Kabul edilebilir değer aralığına ilişkin her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda karşılanması gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda geriye kalan tek şey, onu rasyonel eşitsizliğin çözümüyle kesiştirmektir - ve cevap hazırdır.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk önce logaritmanın ODZ'sini yazalım:
İlk iki eşitsizlik otomatik olarak karşılanır, ancak sonuncusunun yazılması gerekecektir. Bir sayının karesi ancak ve ancak sayının kendisi sıfırsa sıfır olduğundan, elimizde:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Logaritmanın ODZ'sinin sıfır dışındaki tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözüyoruz:
Logaritmik eşitsizlikten rasyonel eşitsizliğe geçiş yapıyoruz. Orijinal eşitsizliğin "küçüktür" işareti vardır; bu, ortaya çıkan eşitsizliğin de "küçüktür" işaretine sahip olması gerektiği anlamına gelir. Sahibiz:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstelik x = 0 ikinci çokluğun köküdür, yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:
x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, yani cevap budur.
Logaritmik eşitsizlikleri dönüştürme
Çoğunlukla orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmaya ilişkin standart kurallar kullanılarak kolayca düzeltilebilir - bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”. Yani:
- Herhangi bir sayı, belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilebilir;
- Aynı tabanlara sahip logaritmaların toplamı ve farkı bir logaritma ile değiştirilebilir.
Ayrıca kabul edilebilir değerler aralığını da hatırlatmak isterim. Orijinal eşitsizlikte birden fazla logaritma olabileceğinden her birinin VA'sını bulmak gerekir. Dolayısıyla logaritmik eşitsizliklerin çözümüne yönelik genel şema aşağıdaki gibidir:
- Eşitsizliğe dahil olan her logaritmanın VA'sını bulun;
- Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart bir düzeye indirin;
- Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıda verilen şemayı kullanarak çözün.
Görev. Eşitsizliği çözün:
İlk logaritmanın tanım tanım kümesini (DO) bulalım:
Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:
3x - 2 = 0;
x = 2/3.
Sonra - paydanın sıfırları:
x - 1 = 0;
x = 1.
Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:
x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. İkinci logaritma aynı VA'ya sahip olacaktır. İnanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:
Görüldüğü gibi logaritmanın tabanındaki ve önündeki üçlüler azaltılmıştır. Aynı tabana sahip iki logaritmamız var. Bunları toplayalım:
günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Formülü kullanarak logaritmalardan kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlik “küçüktür” işareti içerdiğinden, ortaya çıkan rasyonel ifadenin de sıfırdan küçük olması gerekir. Sahibiz:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
İki setimiz var:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Adayın cevabı: x ∈ (−1; 3).
Geriye bu kümeleri kesiştirmek kalıyor - gerçek cevabı alıyoruz:
Kümelerin kesişimiyle ilgilendiğimiz için her iki okla gölgelenen aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar deliklidir.
Çoğu zaman logaritmik eşitsizlikleri çözerken değişken logaritma tabanıyla ilgili problemler vardır. Böylece formun eşitsizliği
standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:
Bu yöntemin dezavantajı, iki sistemi ve bir popülasyonu hesaba katmadan yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Zaten bu ikinci dereceden fonksiyonlarla popülasyonu çözmek çok zaman alabiliyor.
Bu standart eşitsizliği çözmek için alternatif, daha az emek yoğun bir yol önermek mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.
Teorem 1. Bir X kümesi üzerinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artış işareti ile çakışacaktır; , Nerede 
.
Not: Bir X kümesi üzerinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .
Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine geçebilirsiniz).
Artık paydaki fonksiyonların artışını fark ederek teoremi kullanabilirsiniz. 
ve paydada. Yani bu doğru
Sonuç olarak, cevaba yol açan hesaplamaların sayısı yaklaşık yarı yarıya azalır; bu, yalnızca zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.
Örnek 1.
(1) ile karşılaştırarak şunu buluruz: 
, 
, .
(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:
Örnek 2.
(1) ile karşılaştırarak , , , buluruz.
(2)'ye geçerek şunları elde edeceğiz:
Örnek 3.
Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve 
, o zaman cevap çok olacaktır.
Tema 1'in uygulanabileceği birçok örnek, Tema 2 dikkate alınarak kolayca genişletilebilir.
Sete çıkalım X, , , fonksiyonları tanımlanır ve bu kümede ve işaretleri çakışır, yani. , o zaman adil olacak.
Örnek 4.
Örnek 5.
Standart yaklaşımla örnek aşağıdaki şemaya göre çözülür: faktörler farklı işaretlere sahip olduğunda ürün sıfırdan küçüktür. Onlar. Başlangıçta belirtildiği gibi her eşitsizliğin yedi eşitsizliğe daha bölündüğü iki eşitsizlik sistemi dikkate alınır.
Teorem 2'yi hesaba katarsak, o zaman (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu örnekte O.D.Z.'de aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.
Teorem 2'yi hesaba katarak, bir fonksiyonun artışını argümanın artışıyla değiştirme yönteminin, tipik C3 Birleşik Durum Sınavı problemlerini çözerken çok kullanışlı olduğu ortaya çıktı.
Örnek 6.
Örnek 7.
. belirtelim. Aldık
. Değiştirmenin şunu ifade ettiğini unutmayın: . Denkleme dönersek şunu elde ederiz:
.
Örnek 8.
Kullandığımız teoremlerde fonksiyon sınıflarına ilişkin herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, yöntemin diğer eşitsizlik türlerini çözme vaadini gösterecektir.