Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.

Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar aynı değişkenlerin eşit kuvvetleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.

Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.

Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 - 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çarpan güçler

Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.

Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .

Burada 5, çarpma sonucunun kuvvetidir; terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşittir.

Yani a n .a m = a m+n .

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;

Bu yüzden, aynı tabanlara sahip kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.

Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. negatif.

1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamına veya farkına eşittir.

Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.

Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5'i 3'e bölmek $\frac(a^5)(a^3)$ şeklinde görünür. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark bölünebilir sayıların göstergeleri.

Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. negatif derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.

Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. Üsleri $\frac(5a^4)(3a^2)$ azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Üsleri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.

3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3.a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.

Giriş seviyesi

Derece ve özellikleri. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?

Dereceler, ne için gerekli oldukları ve bilginizi günlük yaşamda nasıl kullanacağınız hakkında her şeyi öğrenmek için bu makaleyi okuyun.

Ve elbette, derece bilgisi sizi Birleşik Devlet Sınavını veya Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmeye ve hayallerinizdeki üniversiteye girmeye yaklaştıracaktır.

Hadi gidelim... (Hadi gidelim!)

Önemli not! Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

GİRİŞ SEVİYESİ

Üs alma, tıpkı toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi matematiksel bir işlemdir.

Şimdi her şeyi insan dilinde çok basit örneklerle anlatacağım. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.

Eklemeyle başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.

Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzeli:

Tembel matematikçiler başka hangi zekice sayma hilelerini buldular? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi bir soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayattan örnek #1

Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını hesaplamak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücre alacaksınız. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar metreküp cinsinden ölçülür. Beklenmedik değil mi?) Bir havuz çizin: alt kısmı bir metre boyutunda ve bir metre derinliğindedir ve bir metreye bir metre ölçüsünde kaç küpün düşeceğini hesaplamaya çalışın. havuzunuza sığdırın.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil mi? Parmağınızla saymak zor mu? İşte bu! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacaktır... Daha kolay değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: Üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .

Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi, derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından yaşam sorunlarını çözmek ve size sorun yaratmak için icat edilmediğine ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani, sahip olduğunuz her milyon, her yılın başında iki katına çıkar. Yıllar sonra ne kadar paran olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız", o zaman çok çalışkan bir insansınız ve... aptalsınız. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?

Gerçek hayattan örnek #5

Bir milyonun var. Her yılın başında her milyon başına iki tane daha kazanıyorsun. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç kendisi ile çarpılıyor. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için

O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Sizce üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...

Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.

İşte iyi bir önlem için bir çizim.

Peki genel hatlarıyla genellemek ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı " " ve üssü " " olan derece, "dereceye" şeklinde okunur ve şöyle yazılır:

Doğal üssü olan bir sayının kuvveti

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?

“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar tam sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılardır. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayıların eksik olduğunu keşfettiler. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nedir? Kısacası sonsuz bir ondalık kesirdir. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Sürdürmek:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
3. Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:

Tanım. Bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:
.

Derecelerin özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir bu Ve ?

Tanım gereği:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.

Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek: İfadeyi basitleştirin.

Çözüm:

Örnek:İfadeyi basitleştirin.

Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. işte bu bir sayının kuvveti

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temeli ne olmalı?

yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların kuvvetlerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Başarabildin mi?

İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

Uygulamaya yönelik 6 örnek

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır! Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Tersine çevrilmeleri durumunda kural geçerli olabilir.

Peki bu nasıl yapılır? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.

pozitif tamsayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?

Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:

Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.

Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız çarpın yine sıfır elde edersiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunun ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.

Devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Negatif kuvvetin ne olduğunu anlamak için, geçen seferki gibi yapalım: Normal bir sayıyı aynı sayıyla negatif kuvvete çarpalım:

Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:

O halde bir kural oluşturalım:

Negatif kuvvete sahip bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvete sahip tersidir. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. İfade durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Sıfırın negatif kuvvetine eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi bağımsız çözümlere örnekler:

Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:

Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!

Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.

Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:

Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .

Öyle görünüyor. Açıkçası, bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:

Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!

Bu, bu tür sayıların çift paydayla kesirli kuvvetine yükseltilemeyeceği, yani ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler biçiminde temsil edilebilir.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı, ancak bunlar aynı sayının sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üslü tek pozitif tabanlı üs.

Yani eğer:

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Uygulamaya yönelik 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır.

Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık.

Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;

...negatif tamsayı derecesi- sanki bir tür "tersine süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı formülünü hatırlayalım:

Bu durumda,

Şu ortaya çıkıyor:

Cevap: .

2. Üslü kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

İLERİ SEVİYE

Derecenin belirlenmesi

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)

Üs ise pozitif tamsayı sayı:

Yapı sıfır dereceye kadar:

İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda ise herhangi bir sayının 1. derecesine kadar bu olur.

Üs ise negatif tamsayı sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvet

• — doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Derecelerin özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

Tanım gereği:

Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:

Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : .

Örnek : İfadeyi basitleştirin.

Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir başka önemli not: bu kural - yalnızca güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

Bu çalışmayı şu şekilde yeniden gruplayalım:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. gösterge derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir sayı .

Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların kuvvetlerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?

İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Aşağıdaki basit kurallar formüle edilebilir:

1. eşit derece, - sayı olumlu.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Başarabildin mi? İşte yanıtlar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlaşılır. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Son kurala bakmadan önce birkaç örnek çözelim.

İfadeleri hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır!

Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Eğer bunlar tersine çevrilseydi Kural 3 geçerli olabilirdi. Ama nasıl? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bunu çarparsanız hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi durum şu şekilde ortaya çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: Tüm işaretler aynı anda değişir! Hoşumuza gitmeyen tek bir dezavantajı değiştirerek onu değiştiremezsiniz!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır; ancak, sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle çarpılan bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "ters süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Daha ziyade matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz :)

Örneğin:

Kendiniz karar verin:

1)

2)

3)

Cevaplar:

1. Kareler farkı formülünün farkını hatırlayalım. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her ikisi de ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üssü olan derece

üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.

Rasyonel üslü kuvvet

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.

Derecelerin özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı olumlu.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı negatif.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ARTIK SÖZ SİZDE...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.

Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Konuyla ilgili ders: "Aynı ve farklı üslerle çarpma ve kuvvetler bölümü kuralları. Örnekler"

Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

7. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Yu.N. ders kitabı kılavuzu. A.G.'nin ders kitabı için Makarycheva El Kitabı. Mordkoviç

Dersin amacı: Sayıların kuvvetleriyle işlem yapmayı öğrenmek.

Öncelikle "sayıların gücü" kavramını hatırlayalım. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ biçimindeki bir ifade, $a^n$ olarak temsil edilebilir.

Bunun tersi de doğrudur: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Bu eşitliğe “derecenin çarpım olarak kaydedilmesi” denir. Güçleri nasıl çoğaltacağımızı ve böleceğimizi belirlememize yardımcı olacak.
Hatırlamak:
A– derecenin temeli.
N– üs.
Eğer n=1, bu sayı anlamına gelir A bir kez aldı ve buna göre: $a^n= 1$.
Eğer n= 0, sonra $a^0= 1$.

Çarpma ve kuvvetler ayrılığı kurallarını öğrendiğimizde bunun neden olduğunu anlayabiliriz.

Çarpma kuralları

a) Tabanı aynı olan kuvvetler çarpılırsa.
$a^n * a^m$ elde etmek için dereceleri çarpım olarak yazarız: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Şekil, sayıyı göstermektedir. A alınmış n+mçarpı, o zaman $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Örnek.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu özellik, bir sayıyı daha yüksek bir kuvvete yükseltirken işi basitleştirmek için kullanılmaya uygundur.
Örnek.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan kuvvetler çarpılırsa.
$a^n * b^n$ elde etmek için dereceleri çarpım olarak yazarız: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Faktörleri değiştirir ve ortaya çıkan çiftleri sayarsak şunu elde ederiz: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Yani $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Örnek.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Bölme kuralları

a) Derecenin esası aynı, göstergeleri farklıdır.
Bir kuvveti daha küçük bir üsle bölerek, daha büyük bir üsle bölmeyi düşünün.

Yani ihtiyacımız var $\frac(a^n)(a^m)$, Nerede n>m.

Dereceleri kesirli olarak yazalım:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Kolaylık sağlamak için bölümü basit bir kesir olarak yazıyoruz.

Şimdi kesri azaltalım.

Görünüşe göre: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Araç, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Bu özellik, bir sayının sıfır üssüne yükseltilmesiyle durumu açıklamaya yardımcı olacaktır. Diyelim ki n=m, sonra $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Örnekler.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Derecenin esasları farklı, göstergeleri aynıdır.
Diyelim ki $\frac(a^n)( b^n)$ gerekli. Sayıların kuvvetlerini kesir olarak yazalım:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Kolaylık sağlamak için hayal edelim.

Kesirlerin özelliğini kullanarak büyük kesri küçüklerin çarpımına böleriz, elde ederiz.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Buna göre: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Örnek.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Daha önce bir sayının kuvvetinin ne olduğundan bahsetmiştik. Sorunların çözümünde yararlı olan belirli özelliklere sahiptir: Bu makalede bunları ve olası tüm üsleri analiz edeceğiz. Ayrıca bunların pratikte nasıl kanıtlanabileceğini ve doğru şekilde uygulanabileceğini örneklerle açıkça göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Daha önce formüle edilmiş doğal üslü derece kavramını hatırlayalım: bu, her biri a'ya eşit olan n'inci sayıda faktörün çarpımıdır. Reel sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını da hatırlamamız gerekecek. Bütün bunlar, bir derece için aşağıdaki özellikleri doğal bir üsle formüle etmemize yardımcı olacaktır:

Tanım 1

1. Derecenin ana özelliği: a m · a n = a m + n

Şu şekilde genelleştirilebilir: a n 1 · an n 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. Aynı tabanlara sahip dereceler için bölümün özelliği: a m: a n = a m − n

3. Çarpım gücü özelliği: (a · b) n = a n · b n

Eşitlik şu şekilde genişletilebilir: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Doğal dereceye bölümün özelliği: (a: b) n = a n: b n

5. Kuvveti kuvvete yükseltin: (a m) n = a m n ,

Şu şekilde genelleştirilebilir: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · nk

6. Dereceyi sıfırla karşılaştırın:

• a > 0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n sıfırdan büyük olacaktır;
• 0'a eşit olan bir n de sıfıra eşit olacaktır;
• bir< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• bir< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Eşitlik ve< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > an n eşitsizliği, m ve n'nin doğal sayılar olması, m'nin n'den büyük olması ve a'nın sıfırdan büyük ve birden küçük olması koşuluyla doğru olacaktır.

Sonuç olarak birkaç eşitlik elde ettik; Yukarıda belirtilen tüm koşullar yerine getirilirse, bunlar aynı olacaktır. Eşitliklerin her biri için, örneğin ana özellik için, sağ ve sol tarafları değiştirebilirsiniz: a m · an n = a m + n - a m + n = a m · a n ile aynıdır. Bu formda genellikle ifadeleri basitleştirmek için kullanılır.

1. Derecenin temel özelliğiyle başlayalım: a m · a n = a m + n eşitliği herhangi bir doğal m ve n ve gerçek a için doğru olacaktır. Bu ifade nasıl kanıtlanır?

Güçlerin doğal üslü temel tanımı, eşitliği faktörlerin bir ürününe dönüştürmemize olanak sağlayacaktır. Şöyle bir kayıt elde edeceğiz:

Bu kısaltılabilir (çarpmanın temel özelliklerini hatırlayın). Sonuç olarak, a sayısının doğal üssü m + n olan kuvvetini elde ettik. Böylece a m+n derecesinin temel özelliği anlamına gelen kanıtlanmıştır.

Bunu doğrulayan belirli bir örneğe bakalım.

Örnek 1

Yani 2 tabanına sahip iki kuvvetimiz var. Doğal göstergeleri sırasıyla 2 ve 3'tür. Eşitliğimiz var: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu eşitliğin geçerliliğini kontrol etmek için değerleri hesaplayalım.

Gerekli matematik işlemlerini yapalım: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Sonuç olarak şunu elde ederiz: 2 2 · 2 3 = 2 5. Özelliği kanıtlanmıştır.

Çarpma özelliğinden dolayı, üslerin doğal sayılar ve tabanların aynı olduğu üç veya daha fazla kuvvet şeklinde formüle ederek özelliği genelleştirebiliriz. Doğal sayıların sayısını n 1, n 2 vb. k harfiyle belirtirsek, doğru eşitliği elde ederiz:

bir n 1 · bir n 2 · … · bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

Örnek 2

2. Daha sonra, bölüm özelliği olarak adlandırılan ve aynı tabanlara sahip kuvvetlerin doğasında bulunan şu özelliği kanıtlamamız gerekir: bu, herhangi bir doğal m ve n (ve m) için geçerli olan a m: a n = a m − n eşitliğidir. n))'den büyüktür ve sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a'dır.

Başlangıç ​​olarak formülasyonda bahsedilen koşulların anlamının tam olarak ne olduğunu açıklayalım. Sıfıra eşit alırsak, sıfıra bölme işlemiyle karşılaşırız ki bunu yapamayız (sonuçta 0 n = 0). Doğal üslerin sınırları içinde kalabilmemiz için m sayısının n'den büyük olması koşulu gereklidir: n'yi m'den çıkararak bir doğal sayı elde ederiz. Koşul karşılanmazsa negatif bir sayı veya sıfır elde edeceğiz ve yine doğal üslerle derece çalışmasının ötesine geçeceğiz.

Artık ispata geçebiliriz. Daha önce okuduklarımızdan yola çıkarak kesirlerin temel özelliklerini hatırlayalım ve eşitliği şu şekilde formüle edelim:

bir m - n · bir n = bir (m - n) + n = bir m

Buradan şunu çıkarabiliriz: a m − n · a n = a m

Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı hatırlayalım. Bundan, a m - n'nin a m ve a n kuvvetlerinin bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu derecenin ikinci özelliğinin kanıtıdır.

Örnek 3

Açıklık sağlamak için, üslerin içine belirli sayıları koyalım ve derecenin tabanını π : π 5 olarak gösterelim: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Daha sonra bir çarpımın kuvvetinin özelliğini analiz edeceğiz: (a · b) n = a n · b n, herhangi bir gerçek a ve b ve doğal n için.

Doğal üssü olan bir kuvvetin temel tanımına göre eşitliği şu şekilde yeniden formüle edebiliriz:

Çarpmanın özelliklerini hatırlayarak şunu yazıyoruz: . Bu, a n · b n ile aynı anlama gelir.

Örnek 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Üç veya daha fazla faktörümüz varsa bu özellik bu durum için de geçerlidir. Faktör sayısı için k notasyonunu tanıtalım ve yazalım:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Örnek 5

Belirli sayılarla aşağıdaki doğru eşitliği elde ederiz: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Bundan sonra bölüm özelliğini kanıtlamaya çalışacağız: (a: b) n = a n: b n herhangi bir gerçek a ve b için, eğer b 0'a eşit değilse ve n bir doğal sayıysa.

Bunu kanıtlamak için önceki derece özelliğini kullanabilirsiniz. (a: b) n · b n = ((a: b) b) n = a n ve (a: b) n · b n = a n ise, bundan (a: b) n'nin a n'yi bölme bölümü olduğu sonucu çıkar yazan bn.

Örnek 6

Bir örnek hesaplayalım: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Örnek 7

Hemen bir örnekle başlayalım: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Şimdi eşitliğin doğruluğunu bize kanıtlayacak bir eşitlikler zinciri oluşturalım:

Örnekte derecelerimiz varsa bu özellik onlar için de geçerlidir. Eğer p, q, r, s gibi doğal sayılarımız varsa bu doğru olacaktır:

a p q y s = a p q y s

Örnek 8

Bazı özellikleri ekleyelim: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Doğal üslü kuvvetlerin kanıtlamamız gereken bir diğer özelliği de karşılaştırma özelliğidir.

Öncelikle dereceyi sıfırla karşılaştıralım. a'nın 0'dan büyük olması koşuluyla neden a n > 0 olur?

Bir pozitif sayıyı diğeriyle çarparsak yine pozitif bir sayı elde ederiz. Bu gerçeği bilerek, bunun faktör sayısına bağlı olmadığını söyleyebiliriz - herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucu pozitif bir sayıdır. Sayıların çarpılmasının sonucu değilse derece nedir? O zaman pozitif tabanı ve doğal üssü olan herhangi bir n kuvveti için bu doğru olacaktır.

Örnek 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ve 34 9 13 51 > 0

Tabanı sıfıra eşit olan bir kuvvetin kendisinin de sıfır olduğu açıktır. Sıfırı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, sıfır olarak kalacaktır.

Örnek 10

0 3 = 0 ve 0 762 = 0

Derecenin tabanı negatif bir sayı ise çift/tek üs kavramı önem kazanacağından ispat biraz daha karmaşık olur. Öncelikle üssün çift olduğu durumu ele alalım ve bunu 2 · m olarak gösterelim; burada m bir doğal sayıdır.

Negatif sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını hatırlayalım: a · a ürünü, modüllerin çarpımına eşittir ve bu nedenle pozitif bir sayı olacaktır. Daha sonra ve a 2 m derecesi de pozitiftir.

Örnek 11

Örneğin, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 ve - 2 9 6 > 0

Negatif tabanlı üs tek sayıysa ne olur? Bunu 2 · m − 1 olarak gösterelim.

Daha sonra

Çarpma özelliklerine göre tüm a · a çarpımları pozitiftir ve bunların çarpımı da pozitiftir. Ancak bunu kalan tek a sayısıyla çarparsak sonuç negatif olur.

O zaman şunu elde ederiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Bu nasıl kanıtlanır?

BİR< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Örnek 12

Örneğin aşağıdaki eşitsizlikler doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Sadece son özelliği kanıtlamamız gerekiyor: Tabanları aynı ve pozitif olan iki kuvvetimiz varsa ve üsler doğal sayılarsa, üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür.

Bu ifadeleri kanıtlayalım.

Öncelikle m olduğundan emin olmalıyız.< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Parantezlerden bir n alalım, bundan sonra farkımız a n · (a m − n − 1) formunu alacaktır. Sonucu negatif olacaktır (çünkü pozitif bir sayıyı negatif bir sayıyla çarpmanın sonucu negatiftir). Sonuçta, başlangıç ​​koşullarına göre, m − n > 0, bu durumda a m − n − 1 negatiftir ve ilk faktör pozitif tabanlı herhangi bir doğal güç gibi pozitiftir.

a m − a n olduğu ortaya çıktı< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Geriye yukarıda formüle edilen ifadenin ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor: a m > a, m > n ve a > 1 için doğrudur. Farkı belirtelim ve parantez içine bir n koyalım: (a m − n − 1) Bir n'nin birden büyük kuvveti pozitif sonuç verecektir; ve farkın kendisi de başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak pozitif olacaktır ve a > 1 için a m − n derecesi birden büyüktür. Kanıtlamamız gereken şeyin a m − a n > 0 ve a m > an n olduğu ortaya çıktı.

Örnek 13

Belirli sayılarla örnek: 3 7 > 3 2

Tamsayı üslü derecelerin temel özellikleri

Pozitif tamsayı üslü kuvvetler için özellikler benzer olacaktır çünkü pozitif tamsayılar doğal sayılardır, bu da yukarıda kanıtlanmış tüm eşitliklerin onlar için de geçerli olduğu anlamına gelir. Ayrıca üslerin negatif veya sıfıra eşit olduğu durumlar için de uygundurlar (derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla).

Dolayısıyla, herhangi bir a ve b tabanı (bu sayıların gerçek olması ve 0'a eşit olmaması koşuluyla) ve herhangi bir m ve n üsleri (tam sayı olmaları koşuluyla) için kuvvetlerin özellikleri aynıdır. Bunları kısaca formüller halinde yazalım:

Tanım 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (bir m) n = bir m n

6. bir n< b n и a − n >b − n pozitif tam sayı n'ye tabidir, pozitif a ve b, a< b

sabah 7.00< a n , при условии целых m и n , m >n ve 0< a < 1 , при a >sabah 1 > an n .

Derecenin tabanı sıfıra eşitse, a m ve a n girdileri yalnızca doğal ve pozitif m ve n durumunda anlamlıdır. Sonuç olarak, yukarıdaki formülasyonların, diğer tüm koşullar yerine getirildiği takdirde, sıfır bazlı kuvvete sahip durumlar için de uygun olduğunu bulduk.

Bu durumda bu özelliklerin kanıtları basittir. Doğal ve tam sayı üslü bir derecenin ne olduğunu ve ayrıca gerçek sayılarla yapılan işlemlerin özelliklerini hatırlamamız gerekecek.

Kuvvet-kuvvet özelliğine bakalım ve bunun hem pozitif hem de pozitif olmayan tamsayılar için doğru olduğunu kanıtlayalım. (a p) q = a p q, (a − p) q = a (− p) q, (a p) − q = a p (− q) ve (a − p) − q = a (−) eşitliklerini kanıtlayarak başlayalım. p) · (− q)

Koşullar: p = 0 veya doğal sayı; q – benzer.

Eğer p ve q'nun değerleri 0'dan büyükse, o zaman (a p) q = a p · q elde ederiz. Benzer bir eşitliği daha önce zaten kanıtlamıştık. Eğer p = 0 ise:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Bu nedenle, (a 0) q = a 0 q

q = 0 için her şey tamamen aynıdır:

(bir p) 0 = 1 bir p 0 = bir 0 = 1

Sonuç: (a p) 0 = a p · 0 .

Her iki gösterge de sıfırsa, o zaman (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 · 0 = a 0 = 1, yani (a 0) 0 = a 0 · 0.

Yukarıda kanıtlanmış bir dereceye kadar bölümlerin özelliğini hatırlayalım ve yazalım:

1 a p q = 1 q a p q

Eğer 1 p = 1 1 … 1 = 1 ve a p q = a p q ise, o zaman 1 q a p q = 1 a p q

Bu gösterimi temel çarpma kuralları sayesinde a (− p) · q'ya dönüştürebiliriz.

Ayrıca: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Ve (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Derecenin geri kalan özellikleri, mevcut eşitsizliklerin dönüştürülmesiyle benzer şekilde kanıtlanabilir. Bu konu üzerinde detaylı durmayacağız; sadece zor noktalara değineceğiz.

Sondan bir önceki özelliğin kanıtı: a'nın b'den küçük olması koşuluyla, a − n > b − n'nin herhangi bir negatif tamsayı değeri n ve herhangi bir pozitif a ve b için doğru olduğunu hatırlayın.

Daha sonra eşitsizlik aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

1 a n > 1 b n

Sağ ve sol tarafları fark olarak yazalım ve gerekli dönüşümleri yapalım:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

a'nın b'den küçük olması durumunda, doğal üssü olan bir derecenin tanımına göre şunu hatırlayın: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n pozitif bir sayı olur çünkü çarpanları pozitiftir. Sonuç olarak, sonuçta pozitif sonuç veren b n - a n a n · b n fraksiyonuna sahibiz. Dolayısıyla 1 a n > 1 b n olduğundan a − n > b − n, kanıtlamamız gereken şey de buydu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin özelliğine benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin temel özellikleri

Önceki yazılarımızda rasyonel (kesirli) üslü derecenin ne olduğuna bakmıştık. Özellikleri tam sayı üslü derecelerin özellikleriyle aynıdır. Hadi yazalım:

Tanım 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 için (ürün özelliği) aynı tabanlara sahip dereceler).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, eğer a > 0 ise (bölüm özelliği).

3. a · b m n = a m n · b m n, a > 0 ve b > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, a ≥ 0 ve (veya) b ≥ 0 için (ürün özelliği kesirli derece).

4. a: b m n = a m n: a > 0 ve b > 0 için b m n ve eğer m n > 0 ise a ≥ 0 ve b > 0 için (kesirli kuvvete bölümün özelliği).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2, a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, a ≥ 0 için (derece özelliği derece).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; eğer p< 0 - a p >b p (kuvvetleri eşit rasyonel üslerle karşılaştırma özelliği).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0'da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Bu hükümleri ispatlamak için kesirli üslü derecenin ne olduğunu, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerinin neler olduğunu, tamsayı üslü derecenin özelliklerinin neler olduğunu hatırlamamız gerekir. Her bir özelliğe bakalım.

Kesirli üslü bir derecenin ne olduğuna göre şunu elde ederiz:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 ve a m 2 n 2 = a m 2 n 2, dolayısıyla a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Kökün özellikleri eşitlikleri elde etmemizi sağlayacaktır:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan şunu elde ederiz: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Haydi dönüştürelim:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Üs şu şekilde yazılabilir:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu da kanıtı. İkinci özellik de tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır. Bir eşitlik zinciri yazalım:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Kalan eşitliklerin kanıtları:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 n 1 m 2 n 2

Sonraki özellik: a ve b'nin 0'dan büyük herhangi bir değeri için, eğer a, b'den küçükse, a p'nin sağlanacağını kanıtlayalım.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

p rasyonel sayısını mn olarak gösterelim. Bu durumda m bir tam sayı, n ise bir doğal sayıdır. O halde koşullar p< 0 и p >0 m'ye kadar uzanacak< 0 и m >0. m > 0 ve a için< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Köklerin ve çıktının özelliğini kullanıyoruz: a m n< b m n

a ve b'nin pozitif değerlerini dikkate alarak eşitsizliği a m n olarak yeniden yazıyoruz< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Aynı şekilde m için< 0 имеем a a m >b m, a m n > b m n elde ederiz, bu da a m n > b m n ve a p > b p anlamına gelir.

Geriye son mülkün kanıtını sunmak kalıyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p > q olduğunu kanıtlayalım.< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olacaktır a p > a q.

P ve q rasyonel sayıları ortak bir paydaya indirgenebilir ve m 1 n ve m 2 n kesirleri elde edilebilir.

Burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n bir doğal sayıdır. Eğer p > q ise m 1 > m 2 (kesirleri karşılaştırma kuralını dikkate alarak). Daha sonra 0'da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – eşitsizlik a 1 m > a 2 m.

Aşağıdaki gibi yeniden yazılabilirler:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Daha sonra dönüşümler yapabilir ve şunu elde edebilirsiniz:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Özetlemek gerekirse: p > q ve 0 için< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q.

İrrasyonel üslü derecelerin temel özellikleri

Yukarıda açıklanan, rasyonel üslü bir derecenin sahip olduğu tüm özellikler böyle bir dereceye kadar genişletilebilir. Bu, önceki makalelerden birinde verdiğimiz tanımından kaynaklanmaktadır. Bu özellikleri kısaca formüle edelim (koşullar: a > 0, b > 0, p ve q üsleri irrasyonel sayılardır):

Tanım 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 ise a p > a q olur.

Dolayısıyla, p ve q üsleri gerçel sayı olan tüm kuvvetler, a > 0 olması koşuluyla, aynı özelliklere sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Video eğitimi 2: Doğal göstergeli derece ve özellikleri

Ders:

Doğal göstergeli derece

Altında derece bazı sayılar "A" bazı göstergelerle "N" bir sayının çarpımını anlamak "A" kendi başına "N" bir kere.

Doğal üslü bir dereceden bahsettiklerinde bu, sayının şu anlama geldiği anlamına gelir: "N" tamsayı olmalı ve negatif olmamalıdır.

A- Hangi sayının kendisiyle çarpılması gerektiğini gösteren derecenin tabanı,

N- üs - tabanın kendisi ile kaç kez çarpılması gerektiğini söyler.

Örneğin:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Bu durumda derecenin tabanı “8”, derecenin üssü “4”, derecenin değeri ise “4096” sayısı olarak anlaşılmaktadır.

Derece hesaplanırken yapılan en büyük ve en yaygın hata, üssü tabanla çarpmaktır - BU DOĞRU DEĞİLDİR!

Doğal üssü olan bir dereceden bahsettiğimizde, yalnızca üssün olduğunu kastediyoruz. (N) bir doğal sayı olmalıdır.

Sayı doğrusundaki herhangi bir sayıyı temel alabilirsiniz.

Örneğin,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Taban ve üs üzerinde yapılan matematiksel işleme üstel alma denir.

Toplama/çıkarma birinci aşamanın matematiksel bir işlemidir, çarpma/bölme ikinci aşamanın bir işlemidir, kuvvet yükseltmek üçüncü aşamanın, yani en yüksek aşamanın matematiksel işlemidir.

Matematiksel işlemlerin bu hiyerarşisi hesaplamadaki sırayı belirler. Bu eylem önceki iki görev arasında gerçekleşirse, ilk önce o yapılır.

Örneğin:

15 + 6 *2 2 = 39

Bu örnekte, önce 2'nin üssünü yükseltmeniz gerekir;

sonra sonucu 6 ile çarpın, yani

Doğal üslü kuvvet yalnızca belirli hesaplamalar için değil aynı zamanda büyük sayıları yazmanın kolaylığı için de kullanılır. Bu durumda da kavram kullanılır. "standart sayı biçimi". Bu gösterim, 1'den 9'a kadar olan belirli bir sayının, 10'a eşit bir kuvvetle ve bir üsle çarpılması anlamına gelir.

Örneğin, Dünya'nın yarıçapını standart biçimde kaydetmek için aşağıdaki gösterimi kullanın:

6400000 m = 6,4*10 6 m,

ve örneğin Dünya'nın kütlesi şu şekilde yazılır:

Derecenin özellikleri

Örnekleri derecelerle çözmenin rahatlığı için temel özelliklerini bilmeniz gerekir:

1. Aynı tabana sahip iki kuvveti çarpmanız gerekiyorsa, bu durumda taban değişmeden bırakılmalı ve üsler eklenmelidir.

a n * a m = a n+m

Örneğin:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Tabanları aynı olan iki dereceyi bölmek gerekiyorsa, bu durumda taban değişmeden bırakılmalı ve üsler çıkarılmalıdır. Doğal üslü kuvvetlerle yapılan işlemlerde, bölenin üssünün bölenin üssünden büyük olması gerektiğini lütfen unutmayın. Aksi takdirde bu işlemin bölümü negatif üslü bir sayı olacaktır.

a n / a m = a n-m

Örneğin,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Bir kuvvetin diğerine yükseltilmesi gerekiyorsa, aynı sayı sonucun temeli olarak kalır ve üsler çarpılır.

(bir n) m = bir n*m

Örneğin,

4. Rasgele sayıların çarpımını belirli bir güce yükseltmek gerekiyorsa, o zaman farklı bazların çarpımını aynı güce göre elde ettiğimiz belirli bir dağıtım yasasını kullanabilirsiniz.

(a * b) m = a m * b m

Örneğin,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Benzer bir özellik, güçleri bölmek, başka bir deyişle sıradan bir ikizin bir güce yükseltilmesi için kullanılabilir.

(a / b) m = a m / b M

6. Bire eşit bir üsse yükseltilen herhangi bir sayı, orijinal sayıya eşittir.

bir 1 = bir

Örneğin,

7. Herhangi bir sayı sıfır üssü olan bir kuvvete yükseltildiğinde, bu hesaplamanın sonucu her zaman bir olacaktır.

ve 0 = 1

Örneğin,