Kare trinomial, ax^2+bx+c biçiminde bir polinomdur; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfıra eşit değildir.
Aslında talihsiz üçlüyü çarpanlara ayırmak için bilmemiz gereken ilk şey teoremdir. Bakıyor Aşağıdaki şekilde: “Eğer x1 ve x2 kök ise ikinci dereceden üç terimli ax^2+bx+c, sonra ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)." Elbette bu teoremin bir kanıtı var, ancak bazı şeyleri gerektiriyor teorik bilgi(ax^2+bx+c polinomunda a faktörünü çıkardığımızda ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a elde ederiz). Viette teoremine göre x1 +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, dolayısıyla b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2, x^2+ (b/a)x+c anlamına gelir /. a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2 anlamına gelir ), ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Bazen öğretmenler sizi ispatı öğrenmeye zorlar, ancak gerekli değilse son formülü ezberlemenizi tavsiye ederim.
Adım 2
Örnek olarak 3x^2-24x+21 üçlüsünü ele alalım. Yapmamız gereken ilk şey trinomial'i sıfıra eşitlemektir: 3x^2-24x+21=0. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri sırasıyla üç terimlinin kökleri olacaktır.
Aşama 3
3x^2-24x+21=0 denklemini çözelim. a=3, b=-24, c=21. Öyleyse karar verelim. Kim nasıl karar vereceğini bilmiyor ikinci dereceden denklemlerÖrnek olarak aynı denklemi kullanarak bunları çözmenin 2 yolunu içeren talimatlarıma bakın. Ortaya çıkan kökler x1=7, x2=1'dir.
4. Adım
Artık üç terimlinin köklerine sahip olduğumuza göre, bunları güvenli bir şekilde =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) formülünde değiştirebiliriz.
şunu elde ederiz: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
A terimini parantez içine alarak kurtulabilirsiniz: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
sonuç olarak şunu elde ederiz: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Not: Ortaya çıkan faktörlerin her biri ((x-7), (3x-3) birinci dereceden polinomlardır. Tüm açılım budur =) Alınan cevaptan şüphe duyuyorsanız, parantezleri çarparak her zaman kontrol edebilirsiniz.
Adım 5
Çözümü kontrol etmek. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Artık kararımızın doğru olduğundan eminiz! Umarım talimatlarım birine yardımcı olur =) Çalışmalarınızda iyi şanslar!
- Bizim durumumuzda D > 0 denkleminde 2 kökümüz var. Eğer bir D olsaydı<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Bir kare trinomiyalin kökleri yoksa, birinci dereceden polinomlar olan çarpanlara ayrılamaz.
İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma C3 problemindeki veya C5 parametresindeki problemdeki eşitsizlikleri çözerken yararlı olabilir. Ayrıca, Vieta teoremini biliyorsanız birçok B13 kelime problemi çok daha hızlı çözülecektir.
Bu teoremi elbette ilk kez öğretildiği 8. sınıf perspektifinden de değerlendirmek mümkündür. Ancak görevimiz Birleşik Devlet Sınavına iyi hazırlanmak ve sınav görevlerini mümkün olduğunca verimli bir şekilde çözmeyi öğrenmek. Bu nedenle bu ders okuldaki yaklaşımdan biraz farklı bir yaklaşımı ele almaktadır.
Denklemin kökleri için Vieta teoremini kullanan formül Birçok kişi biliyor (ya da en azından görmüş):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
burada 'a, b' ve 'c' ikinci dereceden trinomial 'ax^2+bx+c'nin katsayılarıdır.
Teoremin nasıl kolayca kullanılacağını öğrenmek için, nereden geldiğini anlayalım (bu aslında hatırlamayı kolaylaştıracaktır).
'ax^2+ bx+ c = 0' denklemini ele alalım. Daha fazla kolaylık sağlamak için bunu "a"ya bölün ve "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0" değerini elde edin. Böyle bir denklem indirgenmiş ikinci dereceden denklem denir.
Önemli ders fikri: Kökleri olan herhangi bir ikinci dereceden polinom parantez içine genişletilebilir. Bizimkinin 'x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)' olarak temsil edilebileceğini varsayalım, burada `k' ve ` l' - bazı sabitler.
Parantezlerin nasıl açıldığını görelim:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Dolayısıyla, 'k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)'.
Bu klasik yorumdan biraz farklıdır. Vieta'nın teoremi- içinde denklemin köklerini arıyoruz. Şartları aramayı öneriyorum braket ayrıştırması- bu şekilde formüldeki eksileri hatırlamanıza gerek kalmaz ("x_1+x_2 = -\frac(b)(a)" anlamına gelir). Toplamı ortalama katsayıya eşit olan ve çarpımı serbest terime eşit olan iki sayıyı seçmek yeterlidir.
Denklem için bir çözüme ihtiyacımız varsa, o zaman açıktır: 'x=-k' veya 'x=-l' kökleri (çünkü bu durumlarda parantezlerden biri sıfır olacaktır, bu da tüm ifadenin sıfır olacağı anlamına gelir) ).
Örnek olarak size algoritmayı göstereceğim: İkinci dereceden bir polinomun parantez içine nasıl genişletileceği.
Örnek bir. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma algoritması
Elimizdeki yol çeyrek daire trinomial 'x^2+5x+4'tür.
Azaltılır ("x^2" katsayısı bire eşittir). Onun kökleri var. (Elbette diskriminantı tahmin edebilir ve sıfırdan büyük olduğundan emin olabilirsiniz.)
Diğer adımlar (tüm eğitim görevlerini tamamlayarak bunları öğrenmeniz gerekir):
- Aşağıdaki girişi tamamlayın: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Noktalar yerine boş alan bırakın, oraya uygun sayılar ve işaretler ekleyeceğiz.
- '4' sayısını iki sayının çarpımına ayrıştırmak için tüm olası seçenekleri göz önünde bulundurun. Denklemin kökleri için "aday" çiftleri elde ederiz: '2, 2' ve '1, 4'.
- Ortalama katsayıyı hangi çiftten alabileceğinizi bulun. Açıkçası '1, 4'.
- $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ yazın.
- Bir sonraki adım, eklenen sayıların önüne işaretler yerleştirmektir.
Parantez içindeki sayılardan önce hangi işaretlerin görünmesi gerektiğini nasıl anlayabilir ve sonsuza kadar hatırlayabilirsiniz? Bunları (parantezleri) açmayı deneyin. 'X'in birinci kuvvetinden önceki katsayı '(± 4 ± 1)' olacaktır (işaretlerini henüz bilmiyoruz - seçmemiz gerekiyor) ve '5'e eşit olmalıdır. Açıkçası iki artı olacak $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Bu işlemi birkaç kez gerçekleştirin (merhaba, eğitim görevleri!) Ve bu konuda bir daha asla sorun yaşamayacaksınız.
Eğer 'x^2+5x+4' denklemini çözmeniz gerekiyorsa, bunu çözmek artık zor olmayacak. Kökleri '-4, -1'dir.
Örnek iki. İkinci dereceden bir üç terimlinin farklı işaret katsayılarıyla çarpanlara ayrılması
'x^2-x-2=0' denklemini çözmemiz gerekiyor. Hazırlıksız, diskriminant pozitiftir.
Algoritmayı takip ediyoruz.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- İkinin tam sayı çarpanlarına ayrılması yalnızca bir tanedir: "2 · 1".
- Bu noktayı atlıyoruz; seçilebilecek hiçbir şey yok.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Sayılarımızın çarpımı negatif ('-2' serbest terimdir) yani biri negatif diğeri pozitif olacaktır.
Toplamları '-1'e ('x'in katsayısı) eşit olduğundan, o zaman '2' negatif olacaktır (sezgisel açıklama, ikinin iki sayıdan daha büyük olduğu, daha güçlü bir şekilde "çekeceği" yönündedir). Negatif yön). $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ elde ederiz.
Üçüncü örnek. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma
Denklem 'x^2+5x -84 = 0'dır.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- 84'ün tam sayı çarpanlarına ayrıştırılması: '4 21, 6 14, 12 7, 2 42'.
- Sayıların farkının (veya toplamının) 5 olması gerektiğinden '7, 12' çifti uygundur.
- $$x+ 5x-84=(x\dört 12) (x\dört 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Umut, bu ikinci dereceden üç terimlinin parantezlere genişletilmesi Apaçık.
Bir denklemin çözümüne ihtiyacınız varsa işte burada: '12, -7'.
Eğitim görevleri
Dikkatinize birkaç kolay örnek sunuyorum Vieta teoremi kullanılarak çözülür.(Örnekler "Matematik" dergisinden alınmıştır, 2002.)
- 'x^2+x-2=0'
- 'x^2-x-2=0'
- 'x^2+x-6=0'
- 'x^2-x-6=0'
- 'x^2+x-12=0'
- 'x^2-x-12=0'
- 'x^2+x-20=0'
- 'x^2-x-20=0'
- 'x^2+x-42=0'
- 'x^2-x-42=0'
- 'x^2+x-56=0'
- 'x^2-x-56=0'
- 'x^2+x-72=0'
- 'x^2-x-72=0'
- 'x^2+x-110=0'
- 'x^2-x-110=0'
- 'x^2+x-420=0'
- 'x^2-x-420=0'
Makalenin yazılmasından birkaç yıl sonra, Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden bir polinomun genişletilmesine yönelik 150 görevden oluşan bir koleksiyon ortaya çıktı.
Beğenin ve yorumlarda soru sorun!
Kare üç terimli formun polinomu denir balta 2 +bx +C, Nerede X– değişken, A,B,C– bazı sayılar ve a ≠ 0.
Katsayı A isminde kıdemli katsayı, C – Ücretsiz Üye kare üç terimli.
İkinci dereceden üç terimlilere örnekler:
2 x 2 + 5x+4(Burada A = 2, B = 5, C = 4)
x 2 – 7x + 5(Burada A = 1, B = -7, C = 5)
9x2 + 9x – 9(Burada A = 9, B = 9, C = -9)
Katsayı B veya katsayısı C veya her iki katsayı aynı anda sıfıra eşit olabilir. Örneğin:
5 x 2 + 3X(Buradabir = 5,b = 3,c = 0 olduğundan denklemde c için bir değer yoktur).
6x2 – 8 (Buradaa = 6, b = 0, c = -8)
2x2(Buradaa = 2, b = 0, c = 0)
Polinomun sıfır olduğu değişkenin değerine denir polinomun kökü.
İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulmak içinbalta 2 +
bx +
C bunu sıfıra eşitlememiz gerekiyor -
yani ikinci dereceden denklemi çözünbalta 2 +
bx +
c = 0 ("İkinci dereceden denklem" bölümüne bakın).
İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma
Örnek:
Üç terimli 2'yi çarpanlarına ayıralım X 2 + 7x – 4.
Görüyoruz: katsayı A = 2.
Şimdi üçlünün köklerini bulalım. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz
2X 2 + 7x – 4 = 0.
Böyle bir denklem nasıl çözülür - “İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülleri” bölümüne bakın. Ayrımcı." Burada hesaplamaların sonucunu hemen belirteceğiz. Üç terimlimizin iki kökü vardır:
x 1 = 1/2, x 2 = –4.
Katsayı değerini parantez dışına alarak, köklerin değerlerini formülümüzde yerine koyalım. A ve şunu elde ederiz:
2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Elde edilen sonuç, katsayı 2'nin binom ile çarpılmasıyla farklı şekilde yazılabilir. X – 1/2:
2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Sorun çözüldü: Üç terimli çarpanlara ayrıldı.
Böyle bir genişleme, kökleri olan herhangi bir ikinci dereceden üç terimli için elde edilebilir.
DİKKAT!
İkinci dereceden bir trinomiyalin diskriminantı sıfır ise, o zaman bu trinomiyalin bir kökü vardır, ancak trinomial ayrıştırılırken bu kök iki kökün değeri olarak alınır - yani aynı değer olarak X 1 veX 2 .
Örneğin bir üç terimlinin 3'e eşit bir kökü vardır. O halde x 1 = 3, x 2 = 3 olur.