Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur? Örneklerle geometrik ilerleme

SAYISAL DİZİLER VI

§ l48. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı

Şimdiye kadar toplamlardan bahsederken, bu toplamlardaki terim sayısının sonlu olduğunu (örneğin 2, 15, 1000 vb.) varsayıyorduk. Ancak bazı problemleri çözerken (özellikle yüksek matematik) miktarlarla uğraşmak zorundayız sonsuz sayışartlar

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Bu miktarlar nedir? Tanım gereği sonsuz sayıda terimin toplamı A 1 , A 2 , ..., A N , ... S toplamının limiti olarak adlandırılır N Birinci N sayılar ne zaman N -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Limit (2) elbette mevcut olabilir veya olmayabilir. Buna göre (1) toplamının var ya da yok olduğunu söylüyorlar.

Her özel durumda toplam (1)'in mevcut olup olmadığını nasıl öğrenebiliriz? Genel çözüm Bu konu programımızın kapsamını çok aşıyor. Ancak önemli bir şey var özel durumşimdi bunu dikkate almamız gerekiyor. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplanmasından bahsedeceğiz.

İzin vermek A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bu şu anlama gelir: | Q |< 1. Сумма первых N bu ilerlemenin şartları eşittir

Limitlerle ilgili ana teoremlerden değişkenler(bkz. § 136) şunu elde ederiz:

Fakat 1 = 1, a qn = 0. Bu nedenle

Yani sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı, bu ilerlemenin ilk teriminin bir eksi bu ilerlemenin paydasına bölünmesine eşittir.

1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometrik ilerlemesinin toplamı şuna eşittir:

ve geometrik ilerlemenin toplamı 12'dir; -6; 3; - 3/2 , ... eşit

2) Basit periyodik kesir 0,454545 ... normale dönüştürün.

Bu sorunu çözmek için hayal edelim verilen kesir sonsuz bir toplam olarak:

Bu eşitliğin sağ tarafı, ilk terimi 45/100, paydası 1/100 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır. Bu yüzden

Açıklanan yöntemi kullanarak elde etmek mümkündür genel kural basit periyodik kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi (bkz. Bölüm II, § 38):

Basit bir periyodik kesri sıradan bir kesire dönüştürmek için yapmanız gerekenler aşağıdaki gibi: payda ondalık kesrin periyodunu ve paydada - ondalık kesir periyodundaki rakamların sayısı kadar alınan dokuzlardan oluşan bir sayı.

3) Karışık periyodik kesir 0,58333 ....'yi sıradan bir kesire dönüştürün.

Bu kesri sonsuz bir toplam olarak düşünelim:

Bu eşitliğin sağ tarafında 3/1000'den başlayarak tüm terimler, ilk terimi 3/1000, paydası 1/10 olan sonsuz azalan geometrik dizi oluşturur. Bu yüzden

Açıklanan yöntemi kullanarak, karışık periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek için genel bir kural elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38). Burada bilinçli olarak sunmuyoruz. Bu hantal kuralı hatırlamanıza gerek yok. Herhangi bir karışık periyodik kesirin, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ve belirli bir sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini bilmek çok daha faydalıdır. Ve formül

Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamı için elbette şunu hatırlamanız gerekir.

Bir alıştırma olarak, aşağıda verilen 995-1000 numaralı problemlere ek olarak, bir kez daha 301 § 38 numaralı probleme dönmenizi öneriyoruz.

Egzersizler

995. Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamına ne denir?

996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlarını bulun:

997. Hangi değerlerde X ilerleme

sonsuza kadar mı azalıyor? Böyle bir ilerlemenin toplamını bulun.

998.V eşkenar üçgen yan ile A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yazılmıştır yeni üçgen; bu üçgenin içine aynı şekilde yeni bir üçgen yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder.

a) tüm bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı;

b) alanlarının toplamı.

999. Kenarlı kare A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yazılmıştır yeni kare; Bu karenin içine de aynı şekilde bir kare yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. Bu karelerin çevrelerinin toplamını ve alanlarının toplamını bulun.

1000. Toplamı 25/4 ve terimlerinin kareleri toplamı 625/24 olacak şekilde sonsuz azalan bir geometrik dizi oluşturun.

Geometrik ilerleme- Bu sayı dizisiİlk terimi sıfırdan farklı olan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı değerle çarpımına eşit olan sıfıra eşit sayı.

Geometrik ilerleme kavramı

Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin bir önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Bu doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır aritmetik ilerleme. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik ilerlemenin paydası q harfiyle gösterilir.

|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1

Bir geometrik ilerlemeyi belirtmenin yollarından biri, onun ilk terimini b1 ve geometrik hatanın q paydasını belirtmektir. Örneğin b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32,… geometrik ilerlemesini tanımlar.

Eğer q>0 ise (q, 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme şu şekildedir: monoton dizi. Örneğin 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton olarak artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatanın paydası q=1 ise geometrik ilerlemenin tüm terimleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda ilerlemenin sabit bir sıra olduğu söylenir.

Bir sayı dizisinin (bn) geometrik dizi olabilmesi için ikinciden başlayarak her bir üyesinin komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani aşağıdaki denklemin yerine getirilmesi gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için; burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Şimdi (Xn)'yi geometrik bir ilerleme olarak koyalım. Geometrik ilerlemenin paydası q ve |q|∞).
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile belirtirsek, o zaman aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).

Basit bir örneğe bakalım:

2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sonsuz geometrik ilerlemenin toplamını bulun.

S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Belirli bir seriyi ele alalım.

7 28 112 448 1792...

Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Bu, bu serinin bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Geometrik ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir. ana özellik yani bir sonraki sayı, bir önceki sayının belirli bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.

Buna göre z ∈ N.

Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle göre ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:

Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

Çeşitler

Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

Hem a 1 hem de q ise birden fazla, o zaman böyle bir dizi her biri ile artar sonraki öğe geometrik ilerleme. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

Eğer |q| birden küçüktür, yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman daha fazla eleman, onu 3 kez takip ediyorum.

Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

Formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Sayısı eşit olan ilk elemanların toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.

Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.

Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.

Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.

Çözüm:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırz, sonra verildi sayı serisi- geometrik ilerleme:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

Elemanlarq bakımından farklıbir kere.
Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.

Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

DeğiştirirkenQ= 4

Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

S6 = 189

· A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: Başlangıç tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarında bir tutara sahip olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplamların hesaplanmasını içeren problem örnekleri:

Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamın bulunmasına ilişkin bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.

S 5 = 124

A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, her bir sonraki öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemenin yanı sıra 9. sınıfta okul cebir dersinde işlenen önemli bir sayı dizisidir. Bu makalede geometrik ilerlemenin paydasına ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğine bakacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Öncelikle bu sayı serisinin tanımını verelim. Böyle bir diziye geometrik ilerleme denir rasyonel sayılar, ilk öğesinin payda adı verilen sabit bir sayıyla sıralı olarak çarpılmasıyla oluşturulur.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir ilerlemedir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. 6'yı 2 ile çarparsanız, şunu elde edersiniz: 12 vb.

Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai sembolüyle gösterilir; burada i, dizideki öğe sayısını gösteren bir tam sayıdır.

Yukarıdaki ilerleme tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: eğer n = 1 ise b1-1 = 1 olur ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise an = b * a1 olur ve yine söz konusu sayı serisinin tanımına geliriz. Benzer akıl yürütme n'nin büyük değerleri için de sürdürülebilir.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, sayı serisinin tamamının hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

b > 1. Artan bir rasyonel sayı dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... Eğer a1 elemanı negatifse, o zaman tüm dizi yalnızca mutlak değerde artacak, sayıların işaretine bağlı olarak azalacaktır.
b = 1. Aynı rasyonel sayıların sıradan bir dizisi olduğundan, bu duruma çoğu zaman ilerleme adı verilmez. Örneğin -4, -4, -4.

Tutar formülü

Biz bakmadan önce belirli görevler Söz konusu ilerleme türünün paydası kullanılarak, kişi şunu vermelidir: önemli formül ilk n elemanının toplamı için. Formül şuna benzer: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerlemenin terimlerinin yinelemeli dizisini dikkate alırsanız, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca yukarıdaki formülde toplamı bulmak için yalnızca ilk elemanı ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın. herhangi bir sayıüyeler.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama yapıldı. Şimdi Sn formülünü bildiğimize göre onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı, yükseltildiğinde büyük dereceler sıfıra yönelir, yani -1 ise b∞ => 0

(1 - b) farkı, paydanın değeri ne olursa olsun her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerleme S∞'un toplamının işareti, onun ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç probleme bakalım.

Problem No. 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen unsurlarının hesaplanması

Geometrik bir ilerleme verildiğinde bu ilerlemenin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri neye eşit olacak ve ilk yedi elemanının toplamı kaç olacaktır?

Sorunun durumu oldukça basit ve varsayılıyor doğrudan kullanım Yukarıdaki formüller. Yani n eleman sayısını hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. element için elimizde: a7 = b6 * a1, bilinen verileri yerine koyarsak şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. terim için de yaparız: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için iyi bilinen formülü kullanalım ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirleyelim. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem No. 2. Bir ilerlemenin keyfi unsurlarının toplamının belirlenmesi

-2 olsun eşit payda geometrik ilerleme bn-1 * 4, burada n bir tamsayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamın belirlenmesi gerekmektedir.

Ortaya çıkan problem doğrudan kullanılarak çözülemez. bilinen formüller. 2 şekilde çözülebilir çeşitli yöntemler. Konunun sunumunun bütünlüğü için her ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikir basit: ilk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük olanı hesaplıyoruz: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi hesaplayalım büyük miktar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. şunu unutmayın: son ifade Sorunun koşullarına göre hesaplanması gereken miktara 5'inci terim zaten dahil olduğundan yalnızca 4 terim özetlendi. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekinin tamamen aynısını yapıyoruz, yalnızca ilk önce miktarın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ortaya çıkan ifadeyi değiştirebilirsiniz bilinen sayılar ve hesapla nihai sonuç: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem No. 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, geometrik ilerlemenin paydasını bulun. sonsuz toplam 3'tür ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğunu biliyoruz.

Sorunun koşullarına göre, sorunu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette ilerlemenin toplamı sonsuz azalıyor. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b) var. Paydayı buradan ifade ediyoruz: b = 1 - a1 / S∞. Geriye kalan tek şey yerine geçmek bilinen değerler ve gerekli sayıyı elde edin: b = 1 - 2/3 = -1/3 veya -0,333(3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'i aşmaması gerektiğini hatırlarsak bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Görüldüğü gibi |-1 / 3|

Görev No. 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı serisinin 2 elemanı verilsin, örneğin 5'incisi 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek tüm seriyi bu verilerden yeniden oluşturmak gerekir.

Sorunu çözmek için öncelikle bilinen her terime karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye bölersek şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan problem cümlesinden bilinen terimlerin oranının beşinci kökünü (b = 1,148698) alarak paydayı belirliyoruz. Ortaya çıkan sayıyı aşağıdaki ifadelerden birine koyarız: bilinen element, şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Böylece bn ilerlemesinin paydasını ve bn-1 * 17,2304966 = an geometrik ilerlemesini bulduk, burada b = 1,148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayı serisinin pratik bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

Aşağıda en ünlü 3 örneği bulabilirsiniz:

Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
Satranç tahtasının her karesine buğday taneleri yerleştirirseniz, 1. kareye 1 tane, 2. - 2'ye, 3. - 3'e vb. koyarsanız, tahtanın tüm karelerini doldurmak için ihtiyacınız olacaktır. 18446744073709551615 tane!
"Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine taşımak için 2n - 1 işlem gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısı n ile katlanarak artar.

Giriş seviyesi

Geometrik ilerleme. Kapsamlı rehberörneklerle (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.

Sayıyı taşıyan sayıya dizinin n'inci üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

En yaygın ilerleme türleri aritmetik ve geometriktir. Bu başlıkta ikinci tip hakkında konuşacağız - geometrik ilerleme.

Geometrik ilerlemeye neden ihtiyaç duyulur ve tarihi?

Antik çağda bile, İtalyan matematikçi keşiş Pisalı Leonardo (daha çok Fibonacci olarak bilinir) ticaretin pratik ihtiyaçlarıyla ilgileniyordu. Keşiş, hangisinin yardımıyla belirleme göreviyle karşı karşıya kaldı. en az miktar ağırlıklar malları tartabilir misiniz? Fibonacci, çalışmalarında böyle bir ağırlık sisteminin optimal olduğunu kanıtlıyor: Bu, insanların geometrik ilerlemeyle uğraşmak zorunda kaldıkları ilk durumlardan biri; muhtemelen zaten duymuşsunuzdur ve en azından duymuşsunuzdur. genel konsept. Konuyu tam olarak anladıktan sonra böyle bir sistemin neden optimal olduğunu düşünün.

Şu anda, hayat pratiği Geometrik ilerleme, bir bankaya para yatırırken, önceki dönemde hesapta biriken tutara faiz tahakkuk ettiğinde kendini gösterir. Başka bir deyişle, bir tasarruf bankasındaki vadeli mevduata para yatırırsanız, bir yıl sonra mevduat orijinal miktarı kadar artacaktır, yani. yeni miktar katkı payının çarpımına eşit olacaktır. Bir sonraki yıl bu miktar artacak, yani. o sırada elde edilen miktar tekrar çarpılacak ve bu şekilde devam edecek. Benzer durum sözde hesaplama problemlerinde açıklanmıştır bileşik faiz- Yüzde, önceki faiz dikkate alınarak her seferinde hesaptaki tutardan alınır. Bu görevlerden biraz sonra bahsedeceğiz.

Çok daha fazlası var basit vakalar geometrik ilerlemenin uygulandığı yer. Örneğin, gribin yayılması: bir kişi başka bir kişiye bulaştırdı, o da başka bir kişiye bulaştırdı ve dolayısıyla ikinci enfeksiyon dalgası bir kişiye dönüştü ve o da bir başkasına bulaştırdı... ve böyle devam etti. .

Bu arada, aynı MMM olan finansal piramit, geometrik ilerlemenin özelliklerine dayanan basit ve kuru bir hesaplamadır. İlginç? Hadi çözelim.

Geometrik ilerleme.

Diyelim ki bir sayı dizimiz var:

Hemen bunun kolay olduğunu ve böyle bir dizinin adının terimlerinin farklılığıyla aritmetik bir dizi olduğunu söyleyeceksiniz. Buna ne dersiniz:

Bir önceki sayıdan bir önceki sayıyı çıkarırsanız, her seferinde şunu göreceksiniz: yeni fark(vb.), ancak bu sıra kesinlikle mevcuttur ve fark edilmesi kolaydır - her biri sonraki numaraöncekinden kat daha fazla!

Bu tür sayı dizisine denir geometrik ilerleme ve belirlenir.

Geometrik ilerleme (), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekine eşit olan ve aynı sayıyla çarpılan sayısal bir dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

İlk terimin ( ) eşit olmadığı ve rastgele olmadığı kısıtlamaları. Diyelim ki orada değiller ve ilk terim hala eşit ve q eşittir, hmm.. öyle olsun, o zaman ortaya çıkıyor:

Bunun artık bir ilerleme olmadığını kabul edin.

Anladığınız gibi sıfır a'dan başka bir sayı varsa aynı sonuçları elde edeceğiz. Bu durumlarda, sayı serisinin tamamı ya tamamen sıfır ya da bir sayı olacağı ve geri kalanların tümü sıfır olacağı için hiçbir ilerleme olmayacaktır.

Şimdi geometrik ilerlemenin paydası yani o hakkında daha detaylı konuşalım.

Tekrarlayalım: - bu sayı birbirini takip eden her terim kaç kez değişir? geometrik ilerleme.

Sizce ne olabilir? Bu doğru, olumlu ve olumsuz, ancak sıfır değil (bunun hakkında biraz daha yukarıda konuştuk).

Bizimkinin olumlu olduğunu varsayalım. Bizim durumumuzda a. İkinci terimin değeri nedir ve? Buna kolayca cevap verebilirsiniz:

Bu doğru. Buna göre, eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işaret- Onlar olumlu.

Ya olumsuzsa? Örneğin, a. İkinci terimin değeri nedir ve?

Bu tamamen farklı bir hikaye

Bu ilerlemenin şartlarını saymaya çalışın. Ne kadar aldın? Ben var. Dolayısıyla, geometrik ilerlemenin terimlerinin işaretleri değişiyorsa. Yani, üyeleri için değişen işaretlerin olduğu bir ilerleme görürseniz, paydası negatiftir. Bu bilgi, bu konudaki sorunları çözerken kendinizi test etmenize yardımcı olabilir.

Şimdi biraz pratik yapalım: Hangi sayı dizilerinin geometrik ilerleme, hangilerinin aritmetik ilerleme olduğunu belirlemeye çalışın:

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerleme - 3, 6.
Aritmetik ilerleme - 2, 4.
Bu ne aritmetik ne de geometrik bir ilerlemedir - 1, 5, 7.

Son ilerlememize dönelim ve tıpkı aritmetikte olduğu gibi terimini bulmaya çalışalım. Tahmin edebileceğiniz gibi onu bulmanın iki yolu var.

Her terimi art arda ile çarpıyoruz.

Yani açıklanan geometrik ilerlemenin inci terimi eşittir.

Zaten tahmin ettiğiniz gibi, artık geometrik ilerlemenin herhangi bir üyesini bulmanıza yardımcı olacak bir formülü kendiniz türeteceksiniz. Yoksa zaten kendiniz için geliştirdiniz mi, adım adım üyeyi nasıl bulacağınızı anlatıyorsunuz? Eğer öyleyse, gerekçenizin doğruluğunu kontrol edin.

Bunu bu ilerlemenin inci terimini bulma örneğiyle açıklayalım:

Başka bir deyişle:

Verilen geometrik ilerlemenin teriminin değerini kendiniz bulun.

İşe yaradı mı? Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Geometrik ilerlemenin önceki her terimiyle sıralı olarak çarptığımızda, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Haydi "kişiliksizleştirmeye" çalışalım bu formül- Bunu genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Türetilen formül hem pozitif hem de negatif tüm değerler için geçerlidir. Geometrik ilerlemenin şartlarını hesaplayarak bunu kendiniz kontrol edin. aşağıdaki koşullar: , A.

Saydın mı? Sonuçları karşılaştıralım:

Bir terimle aynı şekilde bir ilerleme terimi bulmanın mümkün olacağını kabul edin, ancak yanlış hesaplama olasılığı vardır. Ve eğer geometrik ilerlemenin inci terimini zaten bulduysak, formülün "kesilmiş" kısmını kullanmaktan daha basit ne olabilir?

Sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Daha yakın zamanlarda neyin sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük olabileceğinden bahsettik, ancak özel anlamlar geometrik ilerleme buna denir sonsuz azalan.

Sizce bu isim neden verildi?
Öncelikle terimlerden oluşan bazı geometrik ilerlemeler yazalım.
O halde şöyle diyelim:

Sonraki her terimin bir öncekinden bir kat daha az olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir sayı olacak mı? Hemen cevap vereceksiniz - "hayır". Bu yüzden sonsuza kadar azalıyor; azalıyor, azalıyor ama asla sıfır olmuyor.

Bunun görsel olarak nasıl göründüğünü net bir şekilde anlamak için ilerlememizin bir grafiğini çizmeye çalışalım. Dolayısıyla bizim durumumuz için formül aşağıdaki formu alır:

Grafiklerde bağımlılığı çizmeye alışkınız, bu nedenle:

İfadenin özü değişmedi: ilk girdide geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerinin sıra numarasına bağımlılığını gösterdik ve ikinci girdide basitçe geometrik ilerlemenin bir üyesinin değerini şu şekilde aldık: ve sıra sayısını olarak değil, olarak belirledi. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmaktır.
Bakalım ne almışsın. İşte bulduğum grafik:

Görüyor musun? Fonksiyon azalır, sıfıra yaklaşır ama asla onu geçmez, yani sonsuz azalandır. Grafik üzerinde noktalarımızı ve aynı zamanda koordinat ve ne anlama geldiğini işaretleyelim:

İlk terimi de eşitse, geometrik ilerlemenin grafiğini şematik olarak göstermeye çalışın. Analiz edin, önceki grafiğimizle arasındaki fark nedir?

Başarabildin mi? İşte bulduğum grafik:

Artık geometrik ilerleme konusunun temellerini tam olarak anladığınıza göre: ne olduğunu biliyorsunuz, terimini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ne olduğunu da biliyorsunuz, haydi ana özelliğine geçelim.

Geometrik ilerlemenin özelliği.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin özelliğini hatırlıyor musunuz? Evet evet, değer nasıl bulunur? belli bir sayı ilerleme, bu ilerlemenin üyelerinin önceki ve sonraki değerleri olduğunda. Hatırlıyor musun? İşte:

Şimdi geometrik ilerlemenin terimleri için de tamamen aynı soruyla karşı karşıyayız. Geri çekilmek benzer bir formül, hadi çizmeye ve akıl yürütmeye başlayalım. Göreceksiniz, çok kolay, eğer unutursanız kendiniz de çıkarabilirsiniz.

İçinde bildiğimiz başka bir basit geometrik ilerlemeyi ele alalım ve. Nasıl bulunur? Aritmetik ilerlemeyle bu kolay ve basittir, peki ya burada? Aslında geometrik olarak da karmaşık bir şey yok - bize verilen her değeri formüle göre yazmanız yeterli.

Şimdi bu konuda ne yapmamız gerektiğini sorabilirsiniz. Evet, çok basit. Öncelikle bu formülleri bir resim üzerinde gösterelim ve onlarla çeşitli manipülasyonlar yaparak bir değere ulaşmaya çalışalım.

Bize verilen rakamlardan soyutlayalım, sadece formül üzerinden ifadelerine odaklanalım. Vurgulanan değeri bulmamız gerekiyor turuncu, yanındaki üyeleri tanıyor. Onlarla üretmeye çalışalım çeşitli eylemler bunun sonucunda elde edebiliriz.

Ek.
İki ifade eklemeye çalışalım ve şunu elde edelim:

İtibaren verilen ifade Gördüğünüz gibi bunu hiçbir şekilde ifade edemiyoruz, bu nedenle başka bir seçeneği deneyeceğiz - çıkarma.

Çıkarma.

Gördüğünüz gibi bunu da ifade edemiyoruz o yüzden bu ifadeleri birbiriyle çarpmaya çalışalım.

Çarpma.

Şimdi bize verilen geometrik ilerlemenin terimlerini bulunması gerekenle karşılaştırarak elde ettiğimiz şeye dikkatlice bakın:

Bilin bakalım neden bahsediyorum? Bu doğru, bulmamız için almamız gerekenler karekök istenilen sayıya bitişik geometrik ilerleme sayılarının birbirleriyle çarpılmasından:

Hadi bakalım. Geometrik ilerleme özelliğini kendiniz elde ettiniz. Bu formülü yazmayı deneyin genel görünüm. İşe yaradı mı?

Koşulu unuttunuz mu? Bunun neden önemli olduğunu düşünün, örneğin bunu kendiniz hesaplamaya çalışın. Bu durumda ne olacak? Bu doğru, tamamen saçmalık çünkü formül şöyle görünüyor:

Bu nedenle bu sınırlamayı unutmayın.

Şimdi neye eşit olduğunu hesaplayalım

Doğru cevap! Hesaplarken ikinciyi unutmadıysanız olası anlam, o zaman harikasınız ve hemen eğitime geçebilirsiniz ve eğer unutursanız, aşağıda tartışılanları okuyun ve cevapta neden her iki kökün de yazılması gerektiğine dikkat edin.

Her iki geometrik ilerlememizi de (biri değerle, diğeri değerle) çizelim ve her ikisinin de var olma hakkına sahip olup olmadığını kontrol edelim:

Böyle bir geometrik ilerlemenin var olup olmadığını kontrol etmek için tüm ülkeler arasında aynı olup olmadığına bakmak gerekir. verilen üyeler? Birinci ve ikinci durumlar için q'yu hesaplayın.

Neden iki cevap yazmamız gerektiğini anladınız mı? Çünkü aradığınız terimin işareti olumlu ya da olumsuz olmasına bağlıdır! Ve ne olduğunu bilmediğimiz için her iki cevabı da artı ve eksi olarak yazmamız gerekiyor.

Artık ana noktalarda uzmanlaştığınıza ve geometrik ilerleme özelliğinin formülünü türettiğinize göre, bulma, bilme ve

Cevaplarınızı doğru olanlarla karşılaştırın:

Ne düşünüyorsunuz, ya bize istenen sayıya bitişik geometrik ilerleme terimlerinin değerleri değil de ondan eşit uzaklıkta verilseydi. Örneğin, bulmamız ve vermemiz gerekiyor ve. Bu durumda elde ettiğimiz formülü kullanabilir miyiz? Formülü ilk türettiğinizde yaptığınız gibi, her bir değerin nelerden oluştuğunu açıklayarak bu olasılığı aynı şekilde doğrulamaya veya çürütmeye çalışın.
Ne aldın?

Şimdi tekrar dikkatlice bakın.
ve buna göre:

Buradan formülün işe yaradığı sonucuna varabiliriz. sadece komşularla değil geometrik ilerlemenin istenen terimleriyle, aynı zamanda eşit uzaklıktaüyelerin aradıklarından.

Böylece ilk formülümüz şu şekli alır:

Yani, ilk durumda bunu söylediysek, şimdi bunun herhangi bir şeye eşit olabileceğini söylüyoruz. doğal sayı, daha küçüktür. Önemli olan, verilen her iki sayı için de aynı olmasıdır.

Üzerinde pratik yapın spesifik örnekler, son derece dikkatli olun!

, . Bulmak.
, . Bulmak.
, . Bulmak.

Karar verilmiş? Umarım son derece dikkatli davranmışsınızdır ve küçük bir yakalamayı fark etmişsinizdir.

Sonuçları karşılaştıralım.

İlk iki durumda yukarıdaki formülü sakince uygularız ve aşağıdaki değerleri elde ederiz:

Üçüncü durumda, daha yakından incelendiğinde seri numaraları Bize verilen sayıların aradığımız sayıya eşit uzaklıkta olmadığını anlıyoruz: önceki tarih, ancak konumda kaldırıldığından formülün uygulanması mümkün değildir.

Nasıl çözülür? Aslında göründüğü kadar zor değil! Bize verilen her sayının ve aradığımız sayının nelerden oluştuğunu yazalım.

Yani elimizde ve var. Bakalım onlarla neler yapabiliriz? Bölmeyi öneriyorum. Şunu elde ederiz:

Verilerimizi formülde yerine koyarız:

Bulabileceğimiz bir sonraki adım - bunun için atmamız gerekiyor küp kökü ortaya çıkan sayıdan.

Şimdi elimizdekilere tekrar bakalım. Elimizde var ama bulmamız gerekiyor ve bu da şuna eşit:

Hesaplama için gerekli tüm verileri bulduk. Formülde yerine koyun:

Cevabımız: .

Başka bir benzer sorunu kendiniz çözmeyi deneyin:
Verilen: ,
Bulmak:

Ne kadar aldın? bende - .

Gördüğünüz gibi aslında ihtiyacınız var sadece bir formülü hatırla- . Geri kalanını istediğiniz zaman hiçbir zorlukla karşılaşmadan kendiniz çekebilirsiniz. Bunu yapmak için, bir parça kağıda en basit geometrik ilerlemeyi yazmanız ve yukarıda açıklanan formüle göre her bir sayısının neye eşit olduğunu yazmanız yeterlidir.

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı.

Şimdi belirli bir aralıktaki geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını hızlı bir şekilde hesaplamamızı sağlayan formüllere bakalım:

Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü elde etmek için yukarıdaki denklemin tüm kısımlarını çarparız. Şunu elde ederiz:

Dikkatlice bakın: Son iki formülün ortak noktası nedir? Bu doğru, örneğin ortak üyeler vb., ilk ve son üye hariç. 2. denklemden 1.yi çıkarmaya çalışalım. Ne aldın?

Şimdi geometrik ilerlemenin terimini formül aracılığıyla ifade edin ve elde edilen ifadeyi son formülümüzde yerine koyun:

İfadeyi gruplandırın. Almalısınız:

Geriye sadece şunu ifade etmek kalıyor:

Buna göre bu durumda.

Farzedelim? O zaman hangi formül işe yarıyor? Geometrik bir ilerleme hayal edin. O nasıl biri? Doğru satır aynı sayılar buna göre formül şöyle görünecektir:

Hem aritmetik hem de geometrik ilerlemeyle ilgili birçok efsane vardır. Bunlardan biri de satrancın yaratıcısı Set efsanesidir.

Birçok kişi satranç oyununun Hindistan'da icat edildiğini biliyor. Hindu kralı onunla tanıştığında onun zekasından ve sahip olabileceği pozisyonların çeşitliliğinden çok memnun kaldı. Bunun tebaasından biri tarafından icat edildiğini öğrenen kral, onu bizzat ödüllendirmeye karar verdi. Mucidi yanına çağırdı ve ona istediği her şeyi istemesini emretti, en yetenekli arzuyu bile yerine getireceğine söz verdi.

Seta düşünmek için zaman istedi ve ertesi gün Seta kralın huzuruna çıktığında, bu isteğinin benzeri görülmemiş alçakgönüllülüğüyle kralı şaşırttı. Satranç tahtasının ilk karesine bir buğday tanesi, ikinci karesine bir buğday tanesi, üçüncü karesine bir buğday tanesi, dördüncü karesine bir buğday tanesi vb. verilmesini istedi.

Kral sinirlendi ve hizmetkarın isteğinin kralın cömertliğine yakışmadığını söyleyerek Seth'i uzaklaştırdı, ancak hizmetkarın tahtanın tüm kareleri için tahıllarını alacağına söz verdi.

Ve şimdi soru şu: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak Seth'in kaç tane tane alması gerektiğini hesaplayın?

Mantık yürütmeye başlayalım. Koşula göre Seth satranç tahtasının ilk karesi için, ikincisi için, üçüncüsü için, dördüncüsü için vs. bir buğday tanesi istediğine göre, problemde bunu görüyoruz. hakkında konuşuyoruz Geometrik ilerleme hakkında. Bu durumda neye eşittir?
Sağ.

Satranç tahtasının toplam kareleri. Sırasıyla . Tüm verilere sahibiz, geriye sadece bunları formüle ekleyip hesaplamak kalıyor.

En azından yaklaşık olarak “ölçeği” hayal etmek verilen numara, derecenin özelliklerini kullanarak dönüştürün:

Elbette, isterseniz bir hesap makinesi alıp hangi sayıya ulaşacağınızı hesaplayabilirsiniz, değilse de benim sözüme güvenmek zorunda kalacaksınız: ifadenin son değeri şu olacaktır.
Yani:

kentilyon katrilyon trilyon milyar milyon bin.

Phew) Bu sayının büyüklüğünü hayal etmek istiyorsanız, tahıl miktarının tamamını barındırmak için ne kadar büyük bir ahırın gerekli olacağını tahmin edin.
Ahır m yüksekliğinde ve m genişliğinde ise uzunluğunun km kadar uzaması gerekir. Dünya'dan Güneş'e olan uzaklığın iki katı.

Kral matematikte güçlü olsaydı, bilim adamını tahılları saymaya davet edebilirdi, çünkü bir milyon tane saymak için en az bir gün yorulmak bilmeden sayması gerekirdi ve kentilyonları saymak gerektiği göz önüne alındığında, tahılları saymak gerekirdi. hayatı boyunca sayılması gerekirdi.

Şimdi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını içeren basit bir problemi çözelim.
5A sınıfı öğrencisi Vasya gribe yakalandı ancak okula gitmeye devam ediyor. Vasya her gün iki kişiye bulaştırıyor, o da iki kişiye daha bulaştırıyor ve bu böyle devam ediyor. Sınıfta sadece insanlar var. Kaç gün sonra tüm sınıf gripten hasta olacak?

Yani geometrik ilerlemenin ilk terimi Vasya yani kişidir. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi, geldiği ilk gün enfekte ettiği iki kişidir. Toplam tutar ilerlemenin üyeleri 5A'daki öğrenci sayısına eşittir. Buna göre şöyle bir ilerlemeden bahsediyoruz:

Verilerimizi geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünde yerine koyalım:

Birkaç gün içinde tüm sınıf hastalanacak. Formüllere ve sayılara inanmıyor musunuz? Öğrencilerin “enfeksiyonunu” kendiniz tasvir etmeye çalışın. İşe yaradı mı? Bakın benim için nasıl görünüyor:

Her biri bir kişiye bulaşırsa ve sınıfta yalnızca bir kişi olsaydı, öğrencilerin gripten kaç gün sonra hastalanacağını kendiniz hesaplayın.

Hangi değeri aldın? Bir gün sonra herkesin hastalanmaya başladığı ortaya çıktı.

Gördüğünüz gibi benzer görev ve çizimi, her birinin yeni insanları "getirdiği" bir piramidi andırıyor. Ancak er ya da geç öyle bir an gelir ki ikincisi kimseyi çekemez. Bizim durumumuzda sınıfın izole olduğunu hayal edersek, gelen kişi zinciri () kapatır. Dolayısıyla eğer bir kişi bu işe karışmışsa mali piramit, iki katılımcı daha getirirseniz paranın verildiği kişi (veya genel durum) kimseyi getirmeyecek ve bu nedenle bu mali dolandırıcılığa yatırdıkları her şeyi kaybedeceklerdi.

Yukarıda söylenenlerin hepsi azalan veya artan bir geometrik ilerlemeyi ifade ediyor, ancak hatırlayacağınız gibi, özel tür- sonsuz azalan geometrik ilerleme. Üyelerinin toplamı nasıl hesaplanır? Ve neden bu tür bir ilerleme var? belirli özellikler? Hadi birlikte çözelim.

Öncelikle örneğimizden sonsuz azalan geometrik ilerlemenin çizimine tekrar bakalım:

Şimdi biraz daha önce türetilen geometrik ilerlemenin toplamı formülüne bakalım:
veya

Ne için çabalıyoruz? Doğru, grafik sıfıra doğru yöneldiğini gösteriyor. Yani, at, neredeyse elde edeceğimiz ifadeyi hesaplarken sırasıyla neredeyse eşit olacaktır. Bu bakımdan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını hesaplarken bu parantez eşit olacağından ihmal edilebileceğine inanıyoruz.

- formül sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü yalnızca koşulun toplamı bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız. sonsuzüye sayısı.

Belirli bir n sayısı belirtilirse, o zaman veya olsa bile n terimin toplamı için formülü kullanırız.

Şimdi pratik yapalım.

Ve ile geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun.
Ve ile sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamını bulun.

Umarım çok dikkatli davranmışsınızdır. Cevaplarımızı karşılaştıralım:

Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz ve teoriden pratiğe geçme zamanı geldi. Sınavda en sık karşılaşılan geometrik ilerleme problemleri bileşik faiz hesaplama problemleridir. Bunlar konuşacaklarımız.

Bileşik faizin hesaplanmasında karşılaşılan sorunlar.

Muhtemelen bileşik faiz formülünü duymuşsunuzdur. Ne anlama geldiğini anlıyor musun? Değilse, hadi çözelim, çünkü sürecin kendisini anladığınızda, geometrik ilerlemenin bununla ne ilgisi olduğunu hemen anlayacaksınız.

Hepimiz bankaya gidiyoruz ve orada olduğunu biliyoruz. farklı koşullar mevduatlarda: bu terim ve ek hizmet ve iki faizli çeşitli şekillerde hesaplamaları basit ve karmaşıktır.

İLE basit faiz her şey az çok açıktır: faiz, mevduat vadesinin sonunda bir kez tahakkuk ettirilir. Yani yılda 100 ruble yatırdığımızı söylersek, bunlar ancak yıl sonunda kredilendirilecektir. Buna göre depozito sonunda ruble alacağız.

Bileşik faiz- bu, meydana geldiği bir seçenektir faiz kapitalizasyonu, yani bunların depozito tutarına eklenmesi ve daha sonra gelirin başlangıçtan değil, birikmiş depozito tutarından hesaplanması. Büyük harf kullanımı sürekli olarak gerçekleşmez, ancak belirli bir sıklıkta gerçekleşir. Kural olarak, bu tür süreler eşittir ve çoğu zaman bankalar bir ay, üç aylık dönem veya yılı kullanır.

Her yıl aynı rubleyi yatırdığımızı, ancak depozitonun aylık kapitalizasyonunu yaptığımızı varsayalım. Ne yapıyoruz?

Buradaki her şeyi anlıyor musun? Değilse, adım adım çözelim.

Bankaya ruble getirdik. Ay sonuna kadar hesabımızda ruble artı faizinden oluşan bir miktar olmalı, yani:

Kabul etmek?

Bunu parantezlerin dışına çıkarabiliriz ve şunu elde ederiz:

Katılıyorum, bu formül zaten başlangıçta yazdıklarımıza daha çok benziyor. Geriye kalan tek şey yüzdeleri hesaplamak

Sorun bildiriminde bize yıllık oranlar anlatılıyor. Bildiğiniz gibi çarpma yapmıyoruz, yüzdeleri dönüştürüyoruz ondalık sayılar, yani:

Sağ? Şimdi sorabilirsiniz, bu sayı nereden geldi? Çok basit!
Tekrar ediyorum: sorun bildirimi şunu söylüyor YILLIK tahakkuk eden faiz AYLIK. Bildiğiniz gibi, buna göre bir yıl içinde banka bizden aylık yıllık faizin bir kısmını tahsil edecek:

Anladın mı? Şimdi faizin günlük olarak hesaplandığını söylersem formülün bu kısmının nasıl görüneceğini yazmaya çalışın.
Başarabildin mi? Sonuçları karşılaştıralım:

Tebrikler! Görevimize dönelim: Birikmiş mevduat tutarına faiz tahakkuk ettiğini dikkate alarak ikinci ayda hesabımıza ne kadar yatırılacağını yazın.
İşte elde ettiklerim:

Veya başka bir deyişle:

Sanırım zaten bir model fark ettiniz ve tüm bunlarda geometrik bir ilerleme gördünüz. Üyesinin neye eşit olacağını, yani ay sonunda ne kadar para alacağımızı yazın.
Yaptı mı? Hadi kontrol edelim!

Gördüğünüz gibi, bir yıl boyunca bir bankaya basit faiz oranıyla para koyarsanız ruble, bileşik faiz oranıyla ise ruble alırsınız. Faydası küçüktür, ancak bu yalnızca onuncu yılda olur, daha fazlası için uzun dönem kapitalizasyon çok daha karlı:

Başka bir problem türünü ele alalım: bileşik faiz. Anladığınız şeyden sonra, bu sizin için temel olacaktır. Yani görev:

Zvezda şirketi 2000 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2001 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. Kârlar dolaşımdan çekilmeseydi Zvezda şirketi 2003 yılı sonunda ne kadar kâr elde edecek?

2000 yılında Zvezda şirketinin başkenti.
- 2001 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2002 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.
- 2003 yılında Zvezda şirketinin sermayesi.

Veya kısaca şunu yazabiliriz:

Bizim durumumuz için:

2000, 2001, 2002 ve 2003.

Sırasıyla:
ruble
Yüzde YILLIK olarak verildiğinden ve YILLIK olarak hesaplandığından, bu problemde ne ile ne de ile bölme işlemimizin olmadığını lütfen unutmayın. Yani bileşik faizle ilgili bir problemi okurken, yüzde kaç verildiğine ve hangi dönemde hesaplandığına dikkat edin ve ancak o zaman hesaplamalara geçin.
Artık geometrik ilerleme hakkında her şeyi biliyorsunuz.

Eğitim.

Eğer biliniyorsa geometrik ilerlemenin terimini bulun ve
Eğer biliniyorsa, geometrik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını bulun ve
MDM Capital şirketi 2003 yılında dolar cinsinden sermayeyle sektöre yatırım yapmaya başladı. 2004 yılından bu yana her yıl bir önceki yılın sermayesine eşit kâr elde etmektedir. MSK şirketi Nakit akışları"Sektöre 2005 yılında 10.000$ tutarında yatırım yapmaya başladık, 2006 yılında ise 10.000$ tutarında kar elde etmeye başladık. Karlar dolaşımdan çekilmemişse, 2007 yılı sonunda bir şirketin sermayesi diğerinden kaç dolar daha fazladır?

Cevaplar:

Problem ifadesi ilerlemenin sonsuz olduğunu söylemediğinden ve toplamı bulmanız gerektiğinden belirli sayıüyeleri, daha sonra hesaplama aşağıdaki formüle göre yapılır:
MDM Sermaye Şirketi:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- %100 yani 2 kat artar.
Sırasıyla:
ruble
MSK Nakit Akışları şirketi:
2005, 2006, 2007.
- kat kat artar.
Sırasıyla:
ruble
ruble

Özetleyelim.

1) Geometrik ilerleme ( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

2) Geometrik ilerlemenin terimlerinin denklemi .

3) ve dışında her değeri alabilir.

eğer, o zaman ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - onlar olumlu;
eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm koşulları alternatif işaretler;
ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

4) , - geometrik ilerleme özelliğine sahip (bitişik terimler)

veya
, (eşit mesafeli terimler)

Bulduğunda bunu unutma iki cevap olmalı.

Örneğin,

5) Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır:
veya

İlerleme sonsuza kadar azalıyorsa, o zaman:
veya

ÖNEMLİ! Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü yalnızca koşulun sonsuz sayıda terimin toplamını bulmamız gerektiğini açıkça belirtmesi durumunda kullanırız.

6) Bileşik faiz içeren problemler aynı zamanda geometrik ilerlemenin üçüncü terimi için formül kullanılarak da hesaplanır; şu şartla: peşin dolaşımdan çekilmedi:

GEOMETRİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Geometrik ilerleme( ), ilk terimi sıfırdan farklı olan ve ikinciden başlayarak her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olan bir sayısal dizidir. Bu numara denir geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik ilerlemenin paydası ve dışında herhangi bir değer alabilir.

Eğer ilerlemenin sonraki tüm terimleri aynı işarete sahipse - bunlar pozitiftir;
eğer öyleyse, ilerlemenin sonraki tüm üyeleri alternatif işaretler;
ne zaman - ilerlemeye sonsuz azalma denir.

Geometrik ilerleme terimlerinin denklemi - .

Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülle hesaplanır:
veya