Asal sayılar iki bin yıldan fazla bir süredir bilim adamlarının ve sıradan vatandaşların dikkatini çeken en ilginç matematik olaylarından birini temsil ediyor. Artık bilgisayar ve en modern çağda yaşıyor olmamıza rağmen bilgi programları Asal sayılara ilişkin pek çok bilmece henüz çözülemedi, hatta bilim adamlarının nasıl yaklaşacaklarını bilemedikleri bile var.

Asal sayılar, temel aritmetik derslerinden bildiğimiz gibi, kalansız olarak yalnızca bire ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bu arada, bir doğal sayı yukarıda sayılanlara ek olarak başka bir sayıya bölünebiliyorsa buna bileşik sayı denir. En ünlü teoremlerden biri, herhangi bir bileşik sayının, asal sayıların benzersiz bir olası çarpımı olarak temsil edilebileceğini belirtir.

Bazı ilginç gerçekler. Birincisi, birim aslında ne asal sayılara ne de bileşik sayılara ait olmaması anlamında benzersizdir. Aynı zamanda bilimsel topluluk yine de, resmi olarak gereksinimlerini tam olarak karşıladığı için onu özellikle birinci gruba atfetmek gelenekseldir.

İkincisi, “asal sayılar” grubuna sığdırılan tek çift sayı doğal olarak ikidir. Başka herhangi bir çift sayı buraya gelemez, çünkü tanımı gereği kendisine ve bire ek olarak ikiye de bölünebilir.

Yukarıda belirtildiği gibi listesi bir ile başlayabilen asal sayılar, seri kadar sonsuz bir seriyi temsil eder. doğal sayılar. Aritmetiğin temel teoremine dayanarak asal sayıların hiçbir zaman kesintiye uğramadığı ve hiçbir zaman bitmediği sonucuna varabiliriz. aksi takdirde doğal sayılar dizisi kaçınılmaz olarak kesintiye uğrayacaktır.

Asal sayılar ilk bakışta sanıldığı gibi doğal serilerde rastgele görülmezler. Bunları dikkatlice analiz ettikten sonra, en ilginçleri sözde "ikiz" sayılarla ilişkilendirilen çeşitli özellikleri hemen fark edebilirsiniz. Bu şekilde adlandırılmalarının nedeni, anlaşılmaz bir şekilde yan yana gelmeleri ve yalnızca eşit bir sınırlayıcıyla (beş ve yedi, on yedi ve on dokuz) ayrılmış olmalarıdır.

Yakından bakarsanız bu sayıların toplamının her zaman üçün katı olduğunu fark edeceksiniz. Üstelik soldakini üçe böldüğümüzde kalan hep iki, sağdaki ise hep bir kalıyor. Ek olarak, bu serinin tamamını, ana noktaları sayılar üçe ve ikiye bölündüğünde oluşan salınımlı sinüzoidler şeklinde hayal edersek, bu sayıların doğal seri üzerindeki dağılımı da tahmin edilebilir.

Asal sayılar yalnızca dünya çapındaki matematikçiler tarafından yakından incelenmekle kalmıyor, aynı zamanda asal sayıların oluşturulmasında uzun süredir başarıyla kullanılıyor. farklı satırlar diğer şeylerin yanı sıra şifreografinin temeli olan sayılar. Bu harika unsurlarla ilgili çok sayıda gizemin hala çözülmeyi beklediğini kabul etmek gerekir; birçok sorunun yalnızca felsefi değil, aynı zamanda pratik önemi de vardır.

Sayılar farklıdır: doğal, rasyonel, rasyonel, tamsayı ve kesirli, pozitif ve negatif, karmaşık ve asal, tek ve çift, gerçek vb. Bu makaleden asal sayıların ne olduğunu öğrenebilirsiniz.

İngilizce'de hangi sayılara "basit" denir?

Çoğu zaman, okul çocukları matematikteki en basit sorulardan birine, asal sayının ne olduğuna dair ilk bakışta nasıl cevap vereceklerini bilmiyorlar. Asal sayıları sıklıkla doğal sayılarla (yani insanların nesneleri sayarken kullandıkları, bazı kaynaklarda sıfırla, bazılarında ise bir ile başlayan sayılar) karıştırırlar. Ama tamamen iki farklı kavramlar. Asal sayılar doğal sayılardır, yani birden büyük olan ve yalnızca 2 doğal böleni olan tam sayılar ve pozitif sayılardır. Ayrıca bu bölenlerden biri verilen numara ve ikincisi bir. Örneğin üç asal sayıdır çünkü kendisinden ve birden başka hiçbir sayıya kalansız bölünemez.

Bileşik sayılar

Asal sayıların tersi bileşik sayılardır. Onlar da doğal birden fazla, ama iki tane yok, ama Daha bölücüler. Yani örneğin 4, 6, 8, 9 vb. sayılar doğal, bileşik sayılardır ancak asal sayılar değildir. Gördüğünüz gibi bunlar çoğunlukla çift sayılardır, ancak hepsi değildir. Ancak "iki" bir çift sayıdır ve asal sayılar dizisinin "ilk sayısı"dır.

Alt sıra

Bir dizi asal sayı oluşturmak için tüm doğal sayılar arasından tanımlarını dikkate alarak seçim yapmak, yani çelişkili hareket etmek gerekir. Pozitif doğal sayıların her birinin ikiden fazla böleni olup olmadığını incelemek gerekir. Asal sayılardan oluşan bir seri (dizi) oluşturmaya çalışalım. Liste iki ile başlar, sadece kendisine ve bire bölünebildiği için üç ile devam eder. Dört sayısını düşünün. Dört ve bir dışında bölenleri var mı? Evet bu sayı 2'dir. Yani dört asal sayı değildir. Beş de asaldır (1 ve 5 dışında başka hiçbir sayıya bölünemez), ancak altı bölünebilir. Ve genel olarak tüm çift sayıları takip ederseniz "iki" dışında hiçbirinin asal olmadığını fark edeceksiniz. Bundan iki dışındaki çift sayıların asal olmadığı sonucuna varırız. Başka bir keşif: Üçün kendisi dışında, ister çift ister tek olsun, üçe bölünebilen tüm sayılar da asal değildir (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, vb.). Aynı şey beşe ve yediye bölünebilen sayılar için de geçerlidir. Bütün bunların çokluğu da basit değil. Özetleyelim. Yani basit olanlara tek haneli sayılar Bir ve dokuz dışındaki tüm tek sayılar dahil edilmiştir ve çift sayılar çift sayılardır. Onlarlık sayılar (10, 20,... 40, vb.) basit değildir. İki basamaklı, üç basamaklı vb. asal sayılar yukarıdaki ilkelere göre belirlenebilir: Kendileri ve bir dışında böleni yoksa.

Asal sayıların özelliklerine ilişkin teoriler

Asal sayılar da dahil olmak üzere tam sayıların özelliklerini inceleyen bir bilim vardır. Bu, yüksek denilen bir matematik dalıdır. Tamsayıların özelliklerine ek olarak cebirsel, aşkın sayılar ve fonksiyonlarla da ilgilenmektedir. çeşitli kökenlerden Bu sayıların aritmetiği ile ilgili. Bu çalışmalarda ilköğretim ve cebirsel yöntemler Analitik ve geometrik de kullanılır. Özellikle “Sayı Teorisi” asal sayıların incelenmesiyle ilgilidir.

Asal sayılar doğal sayıların “yapı taşlarıdır”

Aritmetikte temel teorem adı verilen bir teorem vardır. Buna göre, biri dışında herhangi bir doğal sayı, çarpanları asal sayı olan ve çarpanların sırası tek olan bir çarpım olarak temsil edilebilir, bu da temsil yönteminin benzersiz olduğu anlamına gelir. Bir doğal sayının ayrıştırılmasına denir asal faktörler. Bu işlemin başka bir adı daha var; sayıların çarpanlara ayrılması. Buna dayanarak asal sayılara “” denilebilir. yapı malzemesi”, Doğal sayıları oluşturmak için “bloklar”.

Asal sayıları arayın. Basitlik testleri

Farklı zamanlardan birçok bilim adamı, asal sayıların bir listesini bulmak için bazı ilkeler (sistemler) bulmaya çalıştı. Bilim, Atkin eleği, Sundartham eleği ve Eratosthenes eleği adı verilen sistemleri biliyor. Ancak herhangi bir bilgi vermiyorlar önemli sonuçlar Asal sayıları bulmak için basit bir test kullanılır. Matematikçiler de algoritmalar yarattılar. Bunlara genellikle asallık testleri denir. Mesela Rabin ve Miller'ın geliştirdiği bir test var. Kriptograflar tarafından kullanılır. Kayal-Agrawal-Sasquena testi de var. Bununla birlikte, yeterli doğruluğa rağmen hesaplanması çok zordur ve bu da pratik önemini azaltır.

Asal sayılar kümesinin bir sınırı var mıdır?

Antik Yunan bilim adamı Öklid, “Elementler” adlı kitabında asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunu yazmıştı. Şunu söyledi: “Bir an için asal sayıların bir sınırı olduğunu düşünelim. Daha sonra bunları birbirleriyle çarpalım ve bir tanesini çarpıma ekleyelim. Bunlardan elde edilen sayı basit eylemler, herhangi bir asal sayı serisine bölünemez çünkü kalan her zaman bir olacaktır. Bu, henüz asal sayılar listesinde yer almayan başka bir sayının olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla varsayımımız doğru değildir ve bu kümenin limiti olamaz. Öklid'in kanıtının yanı sıra daha fazlası da var modern formül 18. yüzyıl İsviçreli matematikçisi Leonhard Euler tarafından verilmiştir. Ona göre bu miktar toplamın tersiİlk n sayıdan biri, n sayısı arttıkça sınırsız olarak büyür. Asal sayıların dağılımına ilişkin teoremin formülü ise şöyle: (n), n/ln (n) kadar artar.

En büyük asal sayı nedir?

Aynı Leonard Euler, zamanının en büyük asal sayısını bulmayı başardı. Bu 2 31 - 1 = 2147483647'dir. Ancak 2013 yılına kadar asal sayılar listesindeki en doğru en büyük sayı hesaplandı - 2 57885161 - 1. Buna Mersenne sayısı denir. Yaklaşık 17 milyon ondalık basamak içerir. Gördüğünüz gibi, bir 18. yüzyıl bilim adamının bulduğu sayı bundan birkaç kat daha küçüktür. Öyle olması gerekirdi, çünkü Euler bu hesaplamayı elle yaptı, ama çağdaşımıza muhtemelen şu yardımcı oldu: bilgisayar. Üstelik bu sayı Amerika'daki bölümlerden birinde Matematik Fakültesi'nde elde edildi. Bu bilim adamının adını taşıyan sayılar Luc-Lemaire asallık testini geçiyor. Ancak bilim burada durmak istemiyor. 1990 yılında Amerika Birleşik Devletleri'nde (EFF) kurulan Electronic Frontier Foundation, büyük asal sayıları bulanlara parasal bir ödül teklif etti. Ve eğer 2013 yılına kadar ödül, onları 1 ile 10 milyon arasında bulan bilim insanlarına verilseydi ondalık sayılar o zaman bugün bu rakam 100 milyondan 1 milyara ulaştı. Ödüller 150 ila 250 bin ABD doları arasında değişiyor.

Özel asal sayıların adları

Bazı bilim adamlarının oluşturduğu algoritmalar sayesinde bulunan ve basitlik testini geçen sayılara özel sayı deniyor. İşte bunlardan bazıları:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills ve diğerleri.

Adını yukarıda adı geçen bilim adamlarının adını taşıyan bu sayıların basitliği, aşağıdaki testler kullanılarak belirlenmektedir:

1.Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge ve diğerleri.

Modern bilim bununla bitmiyor ve muhtemelen yakın gelecekte dünya, en büyük asal sayıyı bularak 250.000 dolarlık ödülü almayı başaranların isimlerini öğrenecek.

Antik Yunanlılardan bu yana asal sayılar matematikçiler için çok ilgi çekici olmuştur. Sürekli arıyorlar farklı yollar konumları, ancak çoğu verimli bir şekilde Asal sayıları "yakalamak", İskenderiyeli gökbilimci ve matematikçi Eratosthenes'in bulduğu bir yöntem olarak kabul ediliyor. Bu yöntem zaten yaklaşık 2000 yaşındadır.

Hangi sayılar asaldır

Asal sayı nasıl belirlenir? Pek çok sayı diğer sayılara kalansız bölünebilir. Bir tam sayının bölündüğü sayıya bölen denir.

İÇİNDE bu durumda kalansız bölme işleminden bahsediyoruz. Örneğin 36 sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18'e ve kendisine yani 36'ya bölünebilir. Bu da 36'nın 9 böleni olduğu anlamına gelir. 23 sayısı yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilir, yani bu sayının 2 böleni vardır - bu sayı asaldır.

Yalnızca iki böleni olan sayılara asal sayılar denir. Yani yalnızca kendisine ve bire kalansız olarak bölünebilen sayılara asal sayı denir.

Matematikçiler için, daha sonra hipotez formüle etmek için kullanılabilecek bir dizi sayıdaki kalıpları keşfetmek çok ödüllendirici bir deneyimdir. Ancak asal sayılar herhangi bir kalıba uymayı reddeder. Ancak asal sayıları belirlemenin bir yolu var. Eratosthenes tarafından keşfedilen bu yönteme Eratosthenes eleği adı verilmektedir. Böyle bir "eleğin" 48'e kadar sayılar tablosu şeklinde sunulan versiyonuna bakalım ve nasıl derlendiğini anlayalım.

Bu tabloda 48'den küçük tüm asal sayılar işaretlenmiştir turuncu . Şu şekilde bulundular:

• 1 – tek bir böleni vardır ve bu nedenle asal sayı değildir;
• 2 en küçük asal sayıdır ve tek çift sayıdır, diğer tüm çift sayılar 2'ye bölünebildiğinden yani en az 3 böleni olduğundan bu sayılar mor sütun;
• 3 bir asal sayıdır, iki böleni vardır, 3'e bölünebilen diğer tüm sayılar hariçtir - bu sayılar sarı sütunda özetlenmiştir. Hem mor hem de sarı renkle işaretlenen sütun, hem 2'ye hem de 3'e bölünebilen sayıları içerir;
• 5 bir asal sayıdır, 5'e bölünebilen tüm sayılar hariçtir - bu sayılar yeşil oval içinde daire içine alınmıştır;
• 7 bir asal sayıdır, 7'ye bölünebilen tüm sayılar kırmızı oval içinde daire içine alınmıştır - bunlar asal değildir;

Asal olmayan tüm sayılar mavi renkle işaretlenmiştir. O zaman bu tabloyu görsel ve benzerlikte kendiniz derleyebilirsiniz.

• Çeviri

Asal sayıların özellikleri ilk kez matematikçiler tarafından incelenmiştir. Antik Yunanistan. Pisagor okulunun (MÖ 500 - 300) matematikçileri öncelikle asal sayıların mistik ve numerolojik özellikleriyle ilgileniyorlardı. Mükemmel ve dost sayılar hakkında ilk fikirleri ortaya atanlar onlardı.

Mükemmel bir sayının kendi bölenlerinin toplamı kendisine eşittir. Örneğin 6 sayısının gerçek bölenleri 1, 2 ve 3'tür. 1 + 2 + 3 = 6. 28 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14'tür. Üstelik 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bir sayının uygun bölenlerinin toplamı diğerine eşitse ve bunun tersi de geçerliyse sayılara dost denir - örneğin 220 ve 284. Mükemmel bir sayının kendisine dost olduğunu söyleyebiliriz.

Öklid'in Elementleri MÖ 300'de ortaya çıktı. birçoğu zaten kanıtlanmış önemli gerçekler asal sayılar ile ilgili Elementlerin IX. Kitabında Öklid asal sayıların olduğunu kanıtladı. sonsuz sayı. Bu arada bu, çelişki yoluyla kanıtın kullanılmasının ilk örneklerinden biridir. Ayrıca Aritmetiğin Temel Teoremini de kanıtlıyor: Her tam sayı, asal sayıların bir çarpımı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Ayrıca 2n-1 sayısının asal olması durumunda 2n-1 * (2n-1) sayısının mükemmel olacağını da gösterdi. Başka bir matematikçi olan Euler, 1747'de her şeyin eşit olduğunu göstermeyi başardı. mükemmel sayılar bu formda yazılabilir. Bugüne kadar tek mükemmel sayıların var olup olmadığı bilinmiyor.

MÖ 200 yılında. Yunan Eratosthenes, asal sayıları bulmak için Eratosthenes Kalburu adı verilen bir algoritma geliştirdi.

Ve sonra asal sayılara ilişkin araştırmaların tarihinde Orta Çağ'la bağlantılı olarak büyük bir kırılma yaşandı.

Aşağıdaki keşifler 17. yüzyılın başında matematikçi Fermat tarafından yapılmıştır. Albert Girard'ın 4n+1 formundaki herhangi bir asal sayının iki karenin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde yazılabileceği varsayımını kanıtladı ve ayrıca herhangi bir sayının dört karenin toplamı olarak yazılabileceği teoremini formüle etti.

O geliştirdi yeni yöntemçarpanlara ayırma büyük sayılar, ve bunu 2027651281 = 44021 × 46061 sayısı üzerinde gösterdi. Ayrıca Fermat'ın Küçük Teoremini de kanıtladı: eğer p bir asal sayı ise, o zaman herhangi bir a tamsayısı için a p = a modulo p olduğu doğru olacaktır.

Bu ifade "" olarak bilinen şeyin yarısını kanıtlıyor. Çin hipotezi" ve 2000 yıl öncesine dayanır: bir n tamsayısı ancak ve ancak 2 n -2'nin n'ye bölünebilmesi durumunda asaldır. Hipotezin ikinci kısmının yanlış olduğu ortaya çıktı - örneğin 2,341 - 2, 341'e bölünebilir, ancak 341 sayısı bileşiktir: 341 = 31 × 11.

Fermat'ın Küçük Teoremi, sayı teorisindeki diğer birçok sonuca ve sayıların asal olup olmadığını test etmeye yönelik yöntemlere temel oluşturdu; bunların çoğu bugün hala kullanılmaktadır.

Fermat çağdaşlarıyla, özellikle de Maren Mersenne adlı bir keşişle çokça yazışıyordu. Mektuplarından birinde, n'nin ikinin kuvveti olması durumunda 2 n +1 formundaki sayıların her zaman asal olacağını varsaydı. Bunu n = 1, 2, 4, 8 ve 16 için test etti ve n'nin ikinin katı olmaması durumunda sayının mutlaka asal olmayacağından emindi. Bu sayılara Fermat sayıları denir ve yalnızca 100 yıl sonra Euler şunu gösterdi: sonraki numara, 2 32 + 1 = 4294967297 641'e bölünebilir ve bu nedenle asal değildir.

2 n - 1 formundaki sayılar da araştırmanın konusu olmuştur, çünkü n bileşik ise sayının kendisinin de bileşik olduğunu göstermek kolaydır. Bu sayılara Mersenne sayıları deniyor çünkü kendisi bu sayıları kapsamlı bir şekilde incelemiş.

Ancak n'nin asal olduğu 2 n - 1 formundaki sayıların tümü asal değildir. Örneğin, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Bu ilk kez 1536'da keşfedildi.

Uzun yıllar boyunca bu tür sayılar matematikçilere bilinen en büyük asal sayıları sağladı. M 19'un 1588'de Cataldi tarafından kanıtlandığı ve Euler'in M 31'in de asal olduğunu kanıtlamasına kadar 200 yıl boyunca bilinen en büyük asal sayı olduğu ortaya çıktı. Bu kayıt bir yüz yıl daha devam etti ve ardından Lucas, M 127'nin asal olduğunu gösterdi (ve bu zaten 39 basamaklı bir sayıydı) ve bundan sonra araştırmalar bilgisayarların gelişiyle devam etti.

1952 yılında M 521, M 607, M 1279, M 2203 ve M 2281 sayılarının asallığı kanıtlandı.

2005 yılına gelindiğinde 42 Mersenne asal sayısı bulunmuştu. Bunlardan en büyüğü M 25964951, 7816230 rakamdan oluşuyor.

Euler'in çalışmasının asal sayılar da dahil olmak üzere sayılar teorisi üzerinde büyük etkisi oldu. Fermat'ın Küçük Teoremini genişletti ve φ fonksiyonunu tanıttı. 5. Fermat sayısı 2 32 +1'i çarpanlara ayırdı, 60 çift dost sayı buldu ve ikinci dereceden karşılıklılık yasasını formüle etti (ancak kanıtlayamadı).

Yöntemleri ilk ortaya koyan oydu. matematiksel analiz ve geliştirildi analitik teori sayılar. Sadece ∑ (1/n) harmonik serisinin değil, aynı zamanda formdaki bir serinin de olduğunu kanıtladı.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Asal sayıların tersinin toplamı ile elde edilen sonuç da ıraksaktır. N terimin toplamı harmonik serisi yaklaşık olarak log(n) kadar büyür ve ikinci satır log[ log(n)] kadar daha yavaş ıraksar. Bu, örneğin bugüne kadar bulunan tüm asal sayıların karşılıklarının toplamının, seri hala farklı olsa da, yalnızca 4 vereceği anlamına gelir.

İlk bakışta asal sayıların tam sayılar arasında oldukça rastgele dağıldığı görülmektedir. Örneğin, 10000000'den hemen önceki 100 sayıdan 9'u asal sayıdır ve bu değerden hemen sonraki 100 sayıdan yalnızca 2 tanesi vardır. Ancak büyük dilimlerde asal sayılar oldukça eşit bir şekilde dağılmıştır. Legendre ve Gauss bunların dağılımıyla ilgili konuları ele aldılar. Gauss bir keresinde bir arkadaşına herhangi bir boş 15 dakika içinde her zaman sonraki 1000 sayıdaki asal sayıları saydığını söylemişti. Hayatının sonuna gelindiğinde 3 milyona kadar olan tüm asal sayıları saymıştı. Legendre ve Gauss, büyük n için asal yoğunluğun 1/log(n) olduğunu eşit şekilde hesapladı. Legendre, 1'den n'ye kadar olan aralıktaki asal sayıların sayısını şu şekilde tahmin etti:

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Ve Gauss logaritmik bir integral gibidir

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2'den n'ye kadar bir entegrasyon aralığı ile.

1/log(n) asal sayılarının yoğunluğu hakkındaki ifade, Asal Dağılım Teoremi olarak bilinir. 19. yüzyıl boyunca bunu kanıtlamaya çalıştılar ve ilerleme Chebyshev ve Riemann tarafından sağlandı. Bunu, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının dağılımı hakkında henüz kanıtlanmamış bir hipotez olan Riemann hipoteziyle ilişkilendirdiler. Asal sayıların yoğunluğu 1896'da Hadamard ve Vallée-Poussin tarafından eşzamanlı olarak kanıtlandı.

Asal sayılar teorisinde hâlâ çözülmemiş birçok soru var ve bunların bazıları yüzlerce yıllık:

• İkiz asal hipotezi birbirinden 2 kat farklı olan sonsuz sayıda asal sayı çiftiyle ilgilidir.
• Goldbach'ın hipotezi: herhangi çift ​​sayı 4 ile başlayan iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir
• n 2 + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• n 2 ile (n + 1) 2 arasında bir asal sayı bulmak her zaman mümkün müdür? (n ile 2n arasında her zaman bir asal sayının olduğu gerçeği Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır)
• Fermat asallarının sayısı sonsuz mudur? 4'ten sonra Fermat asal sayıları var mı?
• var mı aritmetik ilerleme herhangi bir ardışık asal sayının Verilen uzunluk? örneğin uzunluk 4 için: 251, 257, 263, 269. Bulunan maksimum uzunluk 26'dır.
• Aritmetik bir ilerlemede ardışık üç asal sayının sonsuz sayıda kümesi var mıdır?
• n 2 - n + 41, 0 ≤ n ≤ 40 için bir asal sayıdır. Böyle asal sayılardan sonsuz sayıda var mıdır? Aynı soru n 2 - 79 n + 1601 formülü için de geçerlidir. Bu sayılar 0 ≤ n ≤ 79 için asaldır.
• n# + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? (n#, n'den küçük tüm asal sayıların çarpılmasının sonucudur)
• n# -1 biçiminde sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? +1?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? – 1?
• eğer p asalsa, 2 p -1'in çarpanları arasında her zaman asal kareler bulunmaz mı?
• Fibonacci dizisi sonsuz sayıda asal sayı içeriyor mu?

En büyük ikiz asal sayılar 2003663613 × 2 195000 ± 1'dir. 58711 rakamdan oluşurlar ve 2007 yılında keşfedilmişlerdir.

En büyük faktöriyel asal sayı (n! ± 1 tipinde) 147855'tir! - 1. 142891 rakamdan oluşur ve 2002 yılında bulunmuştur.

En büyük ilkel asal sayı (n# ± 1 formundaki bir sayı) 1098133# + 1'dir.

Tanım 1. Asal sayı- Yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen birden büyük bir doğal sayıdır.

Başka bir deyişle, bir sayı yalnızca iki farklı doğal böleni varsa asaldır.

Tanım 2. Kendisinden ve birinden başka bölenleri olan her doğal sayıya denir bileşik bir sayı.

Yani asal sayı olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir. Tanım 1'den, bileşik bir sayının ikiden fazla olduğu sonucu çıkar. doğal bölenler. 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir çünkü yalnızca bir 1 böleni vardır ve ayrıca asal sayılarla ilgili birçok teorem birlik için geçerli değildir.

Tanım 1 ve 2'den her tam sayının pozitif sayı 1'den büyük sayı ya asal ya da bileşik sayıdır.

Aşağıda 5000'e kadar asal sayıları görüntüleyen program verilmiştir. Hücreleri doldurun, "Oluştur" butonuna tıklayın ve birkaç saniye bekleyin.

Asal sayılar tablosu

İfade 1. Eğer P- asal sayı ve A herhangi bir tamsayı, o zaman ya A bölünmüş P, veya P Ve A eş asal sayılar.

Gerçekten mi. Eğer P Asal sayı sadece kendisine ve 1'e bölünürse A bölünemez P, o zaman en büyüğü ortak bölen A Ve P 1'e eşittir. O halde P Ve A eş asal sayılar.

İfade 2. Birkaç sayının çarpımı ise A 1 , A 2 , A 3, ... bir asal sayıya bölünebilir P, ardından sayılardan en az biri A 1 , A 2 , A 3, ...bölünebilir P.

Gerçekten mi. Eğer sayıların hiçbiri bölünemiyorsa P, ardından sayılar A 1 , A 2 , A 3, ... göre asal sayılar olacaktır P. Ancak Sonuç 3()'ten onların ürünlerinin olduğu sonucu çıkıyor A 1 , A 2 , A 3, ... aynı zamanda göreli olarak asaldır P bu da beyanın şartına aykırıdır. Bu nedenle sayılardan en az biri bölünebilir P.

Teorem 1. Herhangi bir bileşik sayı her zaman temsil edilebilir ve ayrıca tek yol sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak.

Kanıt. İzin vermek k bileşik sayı ve izin ver A 1, 1'den ve kendisinden farklı bölenlerinden biridir. Eğer A 1 bileşiktir, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 1 ve başka bir bölen A 2. Eğer A 2 bileşik bir sayıdır, o zaman 1'e ek olarak vardır ve A 2 ve başka bir bölen A 3. Bu şekilde akıl yürütmek ve sayıları dikkate almak A 1 , A 2 , A 3 , ... azalan ve bu serinin içerdiği son sayı arkadaşlar, bir asal sayıya ulaşacağız P 1. Daha sonra kşeklinde temsil edilebilir

Bir sayının iki ayrışımı olduğunu varsayalım k:

Çünkü k=p 1 P 2 P 3 ...bir asal sayıya bölünebilir Q 1 ise faktörlerden en az biri, örneğin P 1 ile bölünebilir Q 1. Ancak P 1 asal bir sayıdır ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünür. Buradan P 1 =Q 1 (çünkü Q 1 ≠1)

O halde (2)'den hariç tutabiliriz P 1 ve Q 1:

Dolayısıyla, birinci açılımda bir veya daha fazla kez faktör olarak görünen her asal sayının, ikinci açılımda da en az aynı sayıda göründüğüne ve ikinci açılımda faktör olarak görünen herhangi bir asal sayının da tam tersi olduğuna inanıyoruz. bir veya daha fazla kez de ilk genişletmede en az aynı sayıda görünür. Bu nedenle her iki açılımda da herhangi bir asal sayı faktör olarak yer almaktadır. aynı numara zamanlar ve dolayısıyla bu iki açılım aynıdır.■

Ayrışma bileşik sayı k aşağıdaki biçimde yazılabilir

(3)

Nerede P 1 , P 2, ... çeşitli asal sayılar, α, β, γ ... pozitif tamsayılar.

Genişleme (3) denir kanonik genişleme sayılar.

Asal sayılar doğal sayılar dizisinde eşit olmayan şekilde ortaya çıkar. Sıranın bazı kısımlarında daha fazlası var, diğerlerinde ise daha az. Ne kadar ileri gidersek sayı serisi asal sayılar daha az yaygındır. Şu soru ortaya çıkıyor: En büyük asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtladı. Bu kanıtı aşağıda sunuyoruz.

Teorem 2. Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

Kanıt. Sonlu sayıda asal sayı olduğunu varsayalım ve en büyük asal sayı olsun P. Bütün sayıları büyük sayalım P. İfadenin varsayımına göre bu sayıların bileşik olması ve asal sayılardan en az birine bölünebilmesi gerekir. Tüm bu asal sayıların artı 1'in çarpımı olan bir sayı seçelim:

Sayı z Daha PÇünkü 2p zaten daha fazlası P. P bu asal sayıların hiçbirine bölünemez çünkü her birine bölündüğünde 1 kalanını verir. Böylece bir çelişkiye varırız. Bu nedenle sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Bu teorem daha genel bir teoremin özel bir durumudur:

Teorem 3. Aritmetik bir ilerleme verilsin

Daha sonra herhangi bir asal sayı dahil N, dahil edilmelidir M, bu nedenle N dahil edilmeyen diğer temel faktörler M ve dahası, bu temel faktörler N belirtilenden daha fazla kez dahil edilmez M.

Bunun tersi de doğrudur. Bir sayının her asal çarpanı ise N sayıya en az aynı sayıda dahil edildi M, O M bölünmüş N.

İfade 3. İzin vermek A 1 ,A 2 ,A 3,... çeşitli asal sayılar dahil M Bu yüzden

Nerede Ben=0,1,...α , J=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Dikkat a ben kabul eder α +1 değerler, β j kabul ediyor β +1 değerler, γ k kabul ediyor γ +1 değerler, ... .