Karmaşık bir sayının trigonometrik formu
Plan
1. Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.
2. Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.
3. Trigonometrik biçimde karmaşık sayılara ilişkin eylemler.
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi.
a) Karmaşık sayılar, aşağıdaki kurala göre bir düzlem üzerindeki noktalarla temsil edilir: A + bi = M ( A ; B ) (Şekil 1).
Resim 1
b) Karmaşık bir sayı, o noktadan başlayan bir vektörle temsil edilebilir.HAKKINDA ve belirli bir noktada son (Şekil 2).
şekil 2
Örnek 7. Karmaşık sayıları temsil eden noktaları oluşturun:1; - Ben ; - 1 + Ben ; 2 – 3 Ben (Şek. 3).
Figür 3
Karmaşık sayıların trigonometrik gösterimi.
Karmaşık sayız = A + bi yarıçap vektörü kullanılarak belirtilebilir koordinatlarla( A ; B ) (Şekil 4).
Şekil 4
Tanım . Vektör uzunluğu , karmaşık bir sayıyı temsil ediyorz , bu sayının modülü olarak adlandırılır ve gösterilir veyaR .
Herhangi bir karmaşık sayı içinz onun modülüR = | z | formül tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir .
Tanım . Gerçek eksenin pozitif yönü ile vektör arasındaki açının büyüklüğü Karmaşık bir sayıyı temsil eden bu karmaşık sayının argümanı olarak adlandırılır ve gösterilirA rg z veyaφ .
Karmaşık Sayı Argümanız = 0 tanımsız. Karmaşık Sayı Argümanız≠ 0 – çok değerli bir miktardır ve bir dönem içinde belirlenir2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Argüman z = tartışma z + 2πk , Neredetartışma z – aralıkta yer alan argümanın ana değeri(-π; π] , yani-π < tartışma z ≤ π (bazen aralığa ait bir değer argümanın ana değeri olarak alınır .
Bu formül ne zamanR =1 genellikle Moivre formülü olarak adlandırılır:
(çünkü φ + i günah φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Örnek 11: Hesapla(1 + Ben ) 100 .
Karmaşık bir sayı yazalım1 + Ben trigonometrik formda.
a = 1, b = 1 .
çünkü φ = , günah φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (çünkü + günah işliyorum )] 100 = ( ) 100 (çünkü 100 + günahım ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (çünkü π + i günah π) = - 2 50 .
4) Karmaşık bir sayının karekökünün çıkarılması.
Karmaşık bir sayının karekökünü alırkenA + bi iki durumumuz var:
EğerB
>o
, O 
;
3.1. Kutupsal koordinatlar
Genellikle uçakta kullanılır kutupsal koordinat sistemi . Bir O noktası verilirse tanımlanır. kutup ve kutuptan çıkan ışın (bizim için bu eksendir) Öküz) – kutup ekseni. M noktasının konumu iki sayıyla sabitlenir: yarıçap (veya yarıçap vektörü) ve kutup ekseni ile vektör arasındaki açı φ.φ açısına denir kutup açısı; radyan cinsinden ölçülür ve kutup ekseninden saat yönünün tersine sayılır.
Kutupsal koordinat sistemindeki bir noktanın konumu sıralı bir sayı çifti (r; φ) ile verilir. Kutupta r = 0, ve φ tanımlı değildir. Diğer tüm noktalar için r > 0, ve φ, 2π'nin katı olan bir terime kadar tanımlanır. Bu durumda, (r; φ) ve (r 1 ; φ 1) sayı çiftleri, eğer .
Dikdörtgen koordinat sistemi için xOy Bir noktanın Kartezyen koordinatları, kutupsal koordinatları cinsinden kolaylıkla aşağıdaki şekilde ifade edilir:
3.2. Karmaşık sayıların geometrik yorumu
Düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düşünelim xOy.
Herhangi bir z=(a, b) karmaşık sayısı, koordinatları () olan düzlemdeki bir noktayla ilişkilidir. x, y), Nerede koordinat x = a, yani karmaşık sayının gerçek kısmı, y = bi koordinatı sanal kısmıdır.
Noktaları karmaşık sayılar olan bir düzlem karmaşık bir düzlemdir.
Şekilde karmaşık sayı z = (a, b) bir noktaya karşılık gelir M(x, y).
Egzersiz yapmak.Koordinat düzleminde karmaşık sayılar çizin:
3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu
Düzlemdeki karmaşık bir sayı bir noktanın koordinatlarına sahiptir M(x;y). Burada:
Karmaşık sayı yazma 
- karmaşık bir sayının trigonometrik formu.
r sayısına denir modül
karmaşık sayı z ve belirlenir. Modül, negatif olmayan bir gerçek sayıdır. İçin 
.
Modül ancak ve ancak şu durumda sıfırdır: z = 0, yani a = b = 0.
φ sayısına denir argüman z ve belirlenmiş. Z argümanı, kutupsal koordinat sistemindeki kutup açısı gibi, yani 2π'nin katı olan bir terime kadar belirsiz bir şekilde tanımlanır.
Daha sonra şunu kabul ederiz: φ argümanın en küçük değeridir. Açıkça görülüyor ki
.
Konuyu daha derinlemesine incelerken, yardımcı bir argüman olan φ* eklenir;
örnek 1. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun.
Çözüm. 1) modülü göz önünde bulundurun: ;
2) φ'yi aramak: 
;
3) trigonometrik form: 
Örnek 2. Karmaşık bir sayının cebirsel formunu bulun 
.
Burada trigonometrik fonksiyonların değerlerini değiştirmek ve ifadeyi dönüştürmek yeterlidir:
Örnek 3. Karmaşık bir sayının modülünü ve bağımsız değişkenini bulun;
1) 
;
2) ; φ – 4 çeyrekte:
3.4. Trigonometrik formda karmaşık sayılarla işlemler
· Toplama ve çıkarma Cebirsel formdaki karmaşık sayılarla yapmak daha uygundur:
· Çarpma işlemi– basit trigonometrik dönüşümler kullanılarak şu gösterilebilir: Çarpma sırasında sayıların modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir: ;
2.3. Karmaşık sayıların trigonometrik formu
Vektörün karmaşık düzlemde sayı ile belirtilmesine izin verin.
Pozitif yarı eksen Ox ile vektör arasındaki açıyı φ ile gösterelim (φ açısı saat yönünün tersine ölçülürse pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir).
Vektörün uzunluğunu r ile gösterelim. Daha sonra . Biz de belirtiyoruz
Sıfırdan farklı bir karmaşık sayının z formunda yazılması
z karmaşık sayısının trigonometrik formu denir. r sayısına z karmaşık sayısının modülü denir ve φ sayısına bu karmaşık sayının argümanı denir ve Arg z ile gösterilir.
Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi - (Euler formülü) - karmaşık bir sayıyı yazmanın üstel biçimi:
Z karmaşık sayısının sonsuz sayıda argümanı vardır: φ0, z sayısının herhangi bir argümanı ise, o zaman diğerlerinin tümü aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Karmaşık bir sayı için argüman ve trigonometrik form tanımlanmamıştır.
Dolayısıyla sıfırdan farklı bir karmaşık sayının argümanı denklem sisteminin herhangi bir çözümüdür:
(3)
Eşitsizlikleri karşılayan bir z karmaşık sayısının argümanının φ değerine ana değer denir ve arg z ile gösterilir.
Arg z ve arg z argümanları şu şekilde ilişkilidir:
, (4)
Formül (5), sistem (3)'ün bir sonucudur, bu nedenle karmaşık bir sayının tüm bağımsız değişkenleri eşitliği (5) karşılar, ancak denklem (5)'in tüm φ çözümleri, z sayısının bağımsız değişkenleri değildir.
Sıfır olmayan bir karmaşık sayının argümanının ana değeri aşağıdaki formüllere göre bulunur:
Trigonometrik formda karmaşık sayıları çarpma ve bölme formülleri aşağıdaki gibidir:
. (7)
Karmaşık bir sayıyı doğal kuvvete yükseltirken Moivre formülü kullanılır:
Karmaşık bir sayının kökü çıkarılırken aşağıdaki formül kullanılır:
, (9)
burada k=0, 1, 2, …, n-1.
Problem 54. Nerede olduğunu hesaplayın.
Bu ifadenin çözümünü karmaşık bir sayının üstel biçiminde yazalım: .
Eğer öyleyse.
Daha sonra , 
. Bu nedenle o zaman 
Ve 
, Nerede .
Cevap: , adresinde.
Problem 55. Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde yazın:
A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) 
; Ve) .
Karmaşık sayının trigonometrik formu olduğuna göre:
a) Karmaşık bir sayıda: .
,
Bu yüzden 
B) 
, Nerede ,
G) 
, Nerede ,
e) 
.
Ve) 
, A 
, O .
Bu yüzden 
Cevap: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Problem 56. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun
.
İzin vermek , 
.
Daha sonra , 
, .
O zamandan beri ve 
, , sonra , ve
Bu nedenle, bu nedenle
Cevap: 
, Nerede .
Sorun 57. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu kullanarak aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin: .
Sayıları hayal edelim ve 
trigonometrik formda.
1) , nerede 
Daha sonra
Ana argümanın değerini bulun:
Değerleri yerine koyalım ve ifadeye şunu elde edelim: 
2) , Nerede o zaman 
Daha sonra 
3) Bölümü bulalım
k=0, 1, 2 varsayarsak istenen kökün üç farklı değerini elde ederiz:
Eğer öyleyse 
eğer öyleyse 
eğer öyleyse 
.
Cevap: :
:
: .
Problem 58. , , , farklı karmaşık sayılar olsun ve 
. Kanıtla
bir sayı 
gerçek bir pozitif sayıdır;
b) eşitlik geçerlidir:
a) Bu karmaşık sayıları trigonometrik formda gösterelim:
Çünkü .
Öyleymiş gibi yapalım. Daha sonra 
.
Sinüs işaretleri aralıktaki sayıları içerdiğinden son ifade pozitif bir sayıdır.
sayıdan beri gerçek ve olumlu. Aslında, eğer a ve b karmaşık sayılarsa ve gerçel ve sıfırdan büyükse, o zaman .
Ayrıca,
dolayısıyla gerekli eşitlik kanıtlanmıştır.
Problem 59. Sayıyı cebirsel formda yazın 
.
Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim ve cebirsel biçimini bulalım. Sahibiz 
. İçin 
sistemi alıyoruz:
Bu eşitliği ifade eder: 
.
Moivre formülünü uygularsak: ,
aldık
Verilen sayının trigonometrik formu bulunur.
Şimdi bu sayıyı cebirsel biçimde yazalım:
.
Cevap: 
.
Problem 60. Toplamı bulun , ,
Miktarı dikkate alalım
Moivre formülünü uygulayarak şunu buluruz:
Bu toplam, paydayla birlikte geometrik ilerlemenin n teriminin toplamıdır 
ve ilk üye 
.
Böyle bir ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü uyguladığımızda, şunu elde ederiz:
Son ifadedeki sanal kısmı ayırarak şunu buluruz:
Gerçek kısmı izole ederek aşağıdaki formülü de elde ederiz: , , .
Problem 61. Toplamı bulun:
A) 
; B) .
Newton'un üstel alma formülüne göre,
Moivre formülünü kullanarak şunları buluyoruz:
için elde edilen ifadelerin gerçek ve sanal kısımlarını eşitleyerek şunu elde ederiz:
Ve 
.
Bu formüller kompakt biçimde aşağıdaki gibi yazılabilir:
,
a sayısının tamsayı kısmı nerede.
Sorun 62. Tümünü bulun, bunun için .
Çünkü 
, daha sonra formülü kullanarak
, 
Kökleri çıkarmak için şunu elde ederiz: 
,
Buradan, 
, 
,
, 
.
Sayılara karşılık gelen noktalar, merkezi (0;0) noktasında olacak şekilde 2 yarıçaplı bir daire içine yazılan bir karenin köşelerinde bulunur (Şekil 30).
Cevap: , ,
, .
Problem 63. Denklemi çözün 
, .
Koşullara göre; dolayısıyla bu denklemin kökü yoktur ve dolayısıyla denkleme eşdeğerdir.
Z sayısının bu denklemin kökü olabilmesi için sayının 1 sayısının n'inci kökü olması gerekir.
Buradan orijinal denklemin eşitliklerden belirlenen kökleri olduğu sonucuna varıyoruz.
, 
Böylece, 
,
yani. 
,
Cevap: 
.
Problem 64. Karmaşık sayılar kümesindeki denklemi çözün.
Sayı bu denklemin kökü olmadığından, bu denklem için denkleme eşdeğerdir.
Yani denklem.
Bu denklemin tüm kökleri aşağıdaki formülden elde edilir (bkz. problem 62):
; 
; ; 
; 
.
Problem 65. Karmaşık düzlemde eşitsizlikleri sağlayan bir dizi nokta çizin: 
. (45.sorunu çözmenin 2. yolu)
İzin vermek 
.
Aynı modüllere sahip karmaşık sayılar, orijin merkezli bir daire üzerinde bulunan düzlemdeki noktalara karşılık gelir, dolayısıyla eşitsizlik 
orijin ve yarıçapta ortak bir merkeze sahip dairelerle sınırlanan açık bir halkanın tüm noktalarını karşılayın ve (Şekil 31). Karmaşık düzlemin bir noktasının w0 sayısına karşılık geldiğini varsayalım. Sayı 
, w0 modülünden birkaç kat daha küçük bir modüle ve w0 argümanından daha büyük bir argümana sahiptir. Geometrik açıdan bakıldığında, w1'e karşılık gelen nokta, orijinde bir merkeze ve bir katsayıya sahip bir homojenliğin yanı sıra, orijine göre saat yönünün tersine bir açıyla bir dönüş kullanılarak elde edilebilir. Bu iki dönüşümün halkanın noktalarına uygulanması sonucunda (Şekil 31), halka aynı merkezli ve yarıçapları 1 ve 2 olan dairelerle sınırlanan bir halkaya dönüşecektir (Şekil 32).
Dönüştürmek 
bir vektöre paralel transfer kullanılarak uygulanır. Merkezi noktadaki halkayı belirtilen vektöre aktararak, merkezi noktada olacak şekilde aynı boyutta bir halka elde ederiz (Şekil 22).
Bir düzlemin geometrik dönüşümleri fikrini kullanan önerilen yöntemin tanımlanması muhtemelen daha az uygundur, ancak çok zarif ve etkilidir.
Problem 66. Eğer bulun 
.
O halde ve . İlk eşitlik şu şekilde olacaktır: 
. İki karmaşık sayının eşitliği koşulundan , 'yi elde ederiz. Böylece, .
Z sayısını trigonometrik formda yazalım:
, Nerede , . Moivre formülüne göre buluyoruz.
Cevap: – 64.
Problem 67. Karmaşık bir sayı için, ve gibi tüm karmaşık sayıları bulun. 
.
Sayıyı trigonometrik formda temsil edelim:
. Buradan, . Aldığımız sayı için veya'ya eşit olabilir.
İlk durumda 
, saniyede
.
Cevap: , 
.
Problem 68. Böyle sayıların toplamını bulun. Lütfen bu numaralardan birini belirtin.
Sorunun formülasyonundan, denklemin köklerinin toplamının, köklerin kendileri hesaplanmadan bulunabileceğinin anlaşılabileceğine dikkat edin. Aslında denklemin köklerinin toplamı 
ters işaretle alınan katsayıdır (genelleştirilmiş Vieta teoremi), yani
Öğrenciler, okul dokümantasyonu, bu kavrama hakim olma dereceleri hakkında sonuçlar çıkarırlar. Matematiksel düşünmenin özelliklerinin ve karmaşık sayı kavramının oluşum sürecinin incelenmesini özetler. Yöntemlerin açıklaması. Teşhis: Aşama I. Görüşme 10. sınıfta cebir ve geometri dersi veren bir matematik öğretmeniyle gerçekleştirilmiştir. Konuşma, başlangıcından bu yana bir süre geçtikten sonra gerçekleşti...
Kişinin kendi davranışının değerlendirmesini de içeren Rezonans" (!). 4. Kişinin durumu (şüpheler) anlayışının eleştirel değerlendirmesi. 5. Son olarak, hukuk psikolojisinden gelen tavsiyelerin kullanılması (avukat psikolojik durumu dikkate alır) gerçekleştirilen mesleki eylemlerin yönleri - mesleki psikolojik hazırlık) Şimdi yasal gerçeklerin psikolojik analizini ele alalım...
Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim metodolojisinin etkinliğinin test edilmesi. Çalışma aşamaları: 1. İleri matematik sınıflarındaki öğrencilerle “Cebirsel problemlerin çözümü için trigonometrik ikamelerin uygulanması” konusunda isteğe bağlı bir dersin geliştirilmesi. 2. Geliştirilen seçmeli dersin yürütülmesi. 3. Tanı testinin yapılması...
Bilişsel görevler yalnızca mevcut öğretim yardımcılarını tamamlamayı amaçlamaktadır ve eğitim sürecinin tüm geleneksel araçları ve unsurlarıyla uygun bir kombinasyon halinde olmalıdır. Beşeri bilimlerin öğretilmesindeki eğitim sorunları ile matematik problemlerinden kesin olanlar arasındaki fark, yalnızca tarihsel problemlerde çözümlerini zorlaştıran formüllerin, katı algoritmaların vb. bulunmamasıdır. ...
KOMPLEKS NUMARALAR XI
§ 256. Karmaşık sayıların trigonometrik formu
Karmaşık bir sayı olsun a + bi karşılık gelen vektör O.A.> koordinatlarla ( a, b ) (bkz. Şekil 332).
Bu vektörün uzunluğunu şu şekilde gösterelim: R ve eksenle yaptığı açı X , başından sonuna kadar φ . Sinüs ve kosinüs tanımı gereği:
A / R =çünkü φ , B / R = günah φ .
Bu yüzden A = R çünkü φ , B = R günah φ . Ancak bu durumda karmaşık sayı a + bi şu şekilde yazılabilir:
a + bi = R çünkü φ + IR günah φ = R (çünkü φ + Ben günah φ ).
Bildiğiniz gibi herhangi bir vektörün uzunluğunun karesi, koordinatlarının karelerinin toplamına eşittir. Bu yüzden R 2 = A 2 + B 2, nereden R = √a 2 + B 2
Bu yüzden, herhangi bir karmaşık sayı a + bi şeklinde temsil edilebilir :
a + bi = R (çünkü φ + Ben günah φ ), (1)
nerede = √a 2 + B 2 ve açı φ şu duruma göre belirlenir:
Karmaşık sayıların bu şekilde yazılmasına denir trigonometrik.
Sayı R formül (1)'de denir modül ve açı φ - argüman, karmaşık sayı a + bi .
Karmaşık bir sayı ise a + bi sıfıra eşit değilse modülü pozitiftir; eğer a + bi = 0 ise a = b = 0 ve sonra R = 0.
Herhangi bir karmaşık sayının modülü benzersiz bir şekilde belirlenir.
Karmaşık bir sayı ise a + bi sıfıra eşit değilse, argümanı formüller (2) ile belirlenir. kesinlikle 2'ye bölünebilen bir açıya kadar doğru π . Eğer a + bi = 0 ise a = b = 0. Bu durumda R = 0. Formül (1)'den bunu bir argüman olarak anlamak kolaydır. φ bu durumda herhangi bir açıyı seçebilirsiniz: sonuçta herhangi bir açı için φ
0 (çünkü φ + Ben günah φ ) = 0.
Bu nedenle boş argüman tanımsızdır.
Karmaşık bir sayının modülü R bazen belirtilir | z | ve arg argümanı z . Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde temsil etmeye ilişkin birkaç örneğe bakalım.
Örnek. 1. 1 + Ben .
Modülü bulalım R ve tartışma φ bu numara.
R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Bu nedenle günah φ = 1 / √ 2, çünkü φ = 1 / √ 2, dolayısıyla φ = π / 4 + 2Nπ .
Böylece,
1 + Ben = √ 2 ,
Nerede P - herhangi bir tamsayı. Genellikle, karmaşık bir sayının bağımsız değişkeninin sonsuz değer kümesinden 0 ile 2 arasında olan biri seçilir. π . Bu durumda bu değer; π / 4. Bu yüzden
1 + Ben = √ 2 (çünkü π / 4 + Ben günah π / 4)
Örnek 2. Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın √ 3 - Ben . Sahibiz:
R = √ 3+1 = 2, çünkü φ = √ 3 / 2, günah φ = - 1 / 2
Bu nedenle 2'ye bölünebilen bir açıya kadar π , φ = 11 / 6 π ; buradan,
√ 3 - Ben = 2(çünkü 11/6 π + Ben günah 11 / 6 π ).
Örnek 3 Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın Ben.
Karmaşık sayı Ben karşılık gelen vektör O.A.> , eksenin A noktasında bitiyor en ordinat 1 ile (Şekil 333). Böyle bir vektörün uzunluğu 1 olup, x ekseniyle yaptığı açı eşittir. π / 2. Bu yüzden
Ben =çünkü π / 2 + Ben günah π / 2 .
Örnek 4. 3 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.
Karmaşık sayı 3 vektöre karşılık gelir O.A. > X apsis 3 (Şek. 334).
Böyle bir vektörün uzunluğu 3, x ekseniyle yaptığı açı ise 0'dır. Dolayısıyla
3 = 3 (çünkü 0 + Ben günah 0),
Örnek 5.-5 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.
-5 karmaşık sayısı bir vektöre karşılık gelir O.A.> bir eksen noktasında sonlanıyor X apsisli -5 (Şek. 335). Böyle bir vektörün uzunluğu 5'tir ve x ekseniyle oluşturduğu açı eşittir π . Bu yüzden
5 = 5(çünkü π + Ben günah π ).
Egzersizler
2047. Bu karmaşık sayıları trigonometrik biçimde yazın, modüllerini ve argümanlarını tanımlayın:
1) 2 + 2√3 Ben , 4) 12Ben - 5; 7).3Ben ;
2) √3 + Ben ; 5) 25; 8) -2Ben ;
3) 6 - 6Ben ; 6) - 4; 9) 3Ben - 4.
2048. Düzlemde, modülleri r ve argümanları φ koşulları karşılayan karmaşık sayıları temsil eden bir dizi noktayı belirtin:
1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;
3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Sayılar aynı anda bir karmaşık sayının modülü olabilir mi? R Ve - R ?
2050. Karmaşık bir sayının argümanı aynı anda açılar olabilir mi? φ Ve - φ ?
Bu karmaşık sayıları, modüllerini ve argümanlarını tanımlayarak trigonometrik biçimde sunun:
2051*. 1 + çünkü α + Ben günah α . 2054*. 2(çünkü 20° - Ben günah 20°).
2052*. günah φ + Ben çünkü φ . 2055*. 3(- çünkü 15° - Ben günah 15°).