Trigonometrik denklemleri çözmenin ana yöntemleri şunlardır: denklemleri en basitine indirgemek (trigonometrik formüller kullanarak), yeni değişkenler eklemek ve çarpanlara ayırma. Örneklerle kullanımlarına bakalım. Trigonometrik denklemlere çözüm yazma formatına dikkat edin.
Trigonometrik denklemleri başarıyla çözmek için gerekli bir koşul, trigonometrik formüllerin bilgisidir (çalışma 6'nın konu 13'ü).
Örnekler.
1. Denklemler en basitine indirgenmiştir.
1) Denklemi çözün
Çözüm:
Cevap:
2) Denklemin köklerini bulun
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmente ait.
Çözüm:
Cevap:
2. İkinci dereceden denklemlere indirgenen denklemler.
1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 denklemini çözün.
Çözüm: sin 2 x = 1 – cos 2 x formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Cevap:
2) Cos 2x = 1 + 4 cosx denklemini çözün.
Çözüm: Cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Cevap:
3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 denklemini çözün
Çözüm:
Cevap:
3. Homojen denklemler
1) 2sinx – 3cosx = 0 denklemini çözün
Çözüm: Cosx = 0 olsun, sonra 2sinx = 0 ve sinx = 0 olsun; bu sin 2 x + cos 2 x = 1 gerçeğiyle çelişir. Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir ve denklemi cosx'e bölebiliriz. Aldık
Cevap:
2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x denklemini çözün
Çözüm:
1 = sin 2 x + cos 2 x ve sin 2x = 2 sinxcosx formüllerini kullanırsak şunu elde ederiz:
günah 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
günah 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Cosx = 0 olsun, sonra sin 2 x = 0 ve sinx = 0 – sin 2 x + cos 2 x = 1 gerçeğiyle çelişki.
Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir ve denklemi cos 2 x'e bölebiliriz .
Aldık
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y'yi gösterelim
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .
Cevap: arktg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k
4. Formun denklemleri A sinx + B cosx = s, s≠ 0.
1) Denklemi çözün.
Çözüm:
Cevap:
5. Çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülen denklemler.
1) sin2x – sinx = 0 denklemini çözün.
Denklemin kökü F (X) = φ ( X) yalnızca 0 sayısı olarak görev yapabilir. Şunu kontrol edelim:
çünkü 0 = 0 + 1 – eşitlik doğrudur.
0 sayısı bu denklemin tek köküdür.
Cevap: 0.
Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.Trigonometrik bir denklemin çözümü iki aşamadan oluşur: denklem dönüşümü en basitine ulaşmak için türü (yukarıya bakın) ve çözümortaya çıkan en basit trigonometrik denklem. Yedi tane var Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.
1. Cebirsel yöntem.
(değişken değiştirme ve ikame yöntemi).
2. Çarpanlara ayırma.
Örnek 1. Denklemi çözün: günah X+çünkü X = 1 .
Çözüm Denklemin tüm terimlerini sola taşıyalım:
Günah X+çünkü X – 1 = 0 ,
İfadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım
Denklemin sol tarafı:
Örnek 2. Denklemi çözün:çünkü 2 X+ günah Xçünkü X = 1.
Çözüm: cos2 X+ günah Xçünkü X– günah 2 X– çünkü 2 X = 0 ,
Günah Xçünkü X– günah 2 X = 0 ,
Günah X· (çünkü X– günah X ) = 0 ,
Örnek 3. Denklemi çözün:çünkü 2 X–cos 8 X+ çünkü 6 X = 1.
Çözüm: cos2 X+ çünkü 6 X= 1 + çünkü 8 X,
2 çünkü 4 Xçünkü 2 X= 2cos² 4 X ,
Çünkü 4 X · (çünkü 2 X– çünkü 4 X) = 0 ,
Çünkü 4 X · 2 günah 3 X günah X = 0 ,
1). çünkü 4 X= 0, 2). günah 3 X= 0, 3). günah X = 0 ,
3. Azaltma homojen denklem.Denklem isminde homojen ilişkin günah Ve çünkü , Eğer hepsini aynı derecedeki üyeler günah Ve çünkü aynı açı. Homojen bir denklemi çözmek için yapmanız gerekenler: A) tüm üyelerini sol tarafa taşıyın; B) tüm ortak faktörleri parantezlerin dışında bırakın; V) tüm faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin; G) sıfıra eşit parantezler verir bölünmesi gereken daha düşük dereceli homojen denklem çünkü(veya günah) son sınıfta; D) elde edilen cebirsel denklemi çözünbronzluk . günah 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 5cos 2 X = 2. Çözüm: 3sin 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 5 çünkü 2 X= 2sin2 X+ 2cos 2 X , Günah 2 X+ 4 günah Xçünkü X+ 3 çünkü 2 X = 0 , bronzluk 2 X+ 4 bronzluk X + 3 = 0 , buradan sen 2 + 4sen +3 = 0 , Bu denklemin kökleri:sen 1 = - 1, sen 2 = - 3, dolayısıyla 1) bronzluk X= –1, 2) ten rengi X = –3, |
4. Yarım açıya geçiş.
Örnek olarak bu yönteme bakalım:
ÖRNEK Denklemi çöz: 3 günah X– 5 çünkü X = 7.
Çözüm: 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =
7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,
2 sin² ( X/ 2) – 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,
tan²( X/ 2) – 3 ten rengi ( X/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Yardımcı açının tanıtılması.
Formun bir denklemini düşünün:
A günah X + Bçünkü X = C ,
Nerede A, B, C– katsayılar;X- Bilinmeyen.
Artık denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani: her birinin modülü (mutlak değeri) bunlardan en fazla 1'i, ve karelerinin toplamı 1'dir. O zaman belirtebiliriz buna göre onları Nasıl çünkü ve günah (burada - Lafta yardımcı açı), Vedenklemimizi al
Ders:"Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri."
Dersin Hedefleri:
eğitici:
Trigonometrik denklem türlerini ayırt etme becerilerini geliştirmek;
Trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin anlaşılmasının derinleştirilmesi;
eğitici:
Eğitim sürecine bilişsel ilginin geliştirilmesi;
Belirli bir görevi analiz etme yeteneğinin oluşumu;
gelişmekte:
Bir durumu analiz etme ve ardından bu durumdan en rasyonel yolu seçme becerisini geliştirmek.
Teçhizat: temel trigonometrik formüller, bilgisayar, projektör, ekran içeren poster.
Herhangi bir denklemi çözmenin temel tekniğini tekrarlayarak derse başlayalım: onu standart forma indirgemek. Dönüşümler yoluyla doğrusal denklemler ax = b formuna, ikinci dereceden denklemler ise formuna indirgenir balta 2 +bx +c =0. Trigonometrik denklemler söz konusu olduğunda, bunları en basit şekline indirgemek gerekir: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ki bunlar kolayca çözülebilir.
Öncelikle elbette bunun için posterde sunulan temel trigonometrik formülleri kullanmanız gerekiyor: toplama formülleri, çift açı formülleri, denklemin çokluğunu azaltma. Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz. Bunlardan bazılarını tekrarlayalım:
Aynı zamanda çözümü bazı özel tekniklerin bilinmesini gerektiren denklemler de vardır.
Dersimizin konusu bu teknikleri dikkate almak ve trigonometrik denklemleri çözmek için yöntemleri sistematik hale getirmektir.
Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.
1. Bazı trigonometrik fonksiyonlara göre ikinci dereceden bir denklemin dönüştürülmesi ve ardından değişkenin değiştirilmesi.
Listelenen yöntemlerin her birine örneklerle bakalım, ancak ilk ikisini denklemleri çözerken zaten kullandığımız için son ikisinde daha ayrıntılı olarak duralım.
1. Bazı trigonometrik fonksiyonlara göre ikinci dereceden denklemlere dönüşüm.
2. Denklemleri çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözme.
3. Homojen denklemlerin çözülmesi.
Birinci ve ikinci derecenin homojen denklemleri şu formdaki denklemlerdir:
sırasıyla (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Homojen denklemleri çözerken, denklem teriminin her iki tarafını (1) denklemi için cosx'e, (2) denklemi için cos 2 x'e bölün. Bu bölme mümkündür çünkü sinx ve cosx aynı anda sıfıra eşit değildir; farklı noktalarda sıfır olurlar. Birinci ve ikinci derecenin homojen denklemlerini çözme örneklerini ele alalım.
Bu denklemi hatırlayalım: Bir sonraki yöntemi düşünürken - yardımcı bir argüman sunarak, onu farklı bir şekilde çözelim.
4. Yardımcı bir argümanın tanıtılması.
Önceki yöntemle çözülmüş olan denklemi ele alalım:
Gördüğünüz gibi aynı sonuç elde ediliyor.
Başka bir örneğe bakalım:
Ele alınan örneklerde, yardımcı bir argüman eklemek için orijinal denklemde neyin bölünmesi gerektiği genel olarak açıktı. Ancak hangi bölenin seçileceği açık olmayabilir. Bunun için şimdi genel hatlarıyla ele alacağımız özel bir teknik var. Bir denklem verilsin.