Apsis ve ordinat ekseni denir koordinatlar vektör. Vektör koordinatları genellikle formda belirtilir (x, y) ve vektörün kendisi şu şekildedir: =(x, y).
İki boyutlu problemler için vektör koordinatlarını belirleme formülü.
İki boyutlu bir problem durumunda bilinen bir vektör noktaların koordinatları A(x 1;y 1) Ve B(X 2 ; sen 2 ) hesaplanabilir:
= (x 2 - x 1; y 2 - ve 1).
Uzamsal problemler için vektör koordinatlarını belirleme formülü.
Uzaysal bir problem durumunda, bilinen bir vektör noktaların koordinatları A (x 1;y 1;z 1 ) ve B (X 2 ; sen 2 ; z 2 ) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
= (X 2 - X 1 ; sen 2 - sen 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinatlar vektörün kapsamlı bir tanımını sağlar, çünkü vektörün kendisi koordinatları kullanarak oluşturulabilir. Koordinatları bilmek hesaplamak kolaydır ve vektör uzunluğu. (Özellik 3 aşağıda).
Vektör koordinatlarının özellikleri.
1. Herhangi biri eşit vektörler tek bir koordinat sisteminde eşit koordinatlar.
2. Koordinatlar eşdoğrusal vektörler orantılı. Vektörlerin hiçbirinin sıfır olmaması şartıyla.
3. Herhangi bir vektörün uzunluğunun karesi, karelerinin toplamına eşittir koordinatlar.
4.Ameliyat sırasında vektör çarpımı Açık gerçek Numara koordinatlarının her biri bu sayıyla çarpılır.
5. Vektörleri toplarken karşılık gelen değerlerin toplamını hesaplıyoruz vektör koordinatları.
6. Skaler çarpım iki vektör, karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Bir vektörün koordinatlarını bulmak matematikteki birçok problem için oldukça yaygın bir durumdur. Vektör koordinatlarını bulma yeteneği, benzer konulardaki daha karmaşık problemlerde size yardımcı olacaktır. Bu yazıda vektör koordinatlarını bulma formülüne ve çeşitli problemlere bakacağız.
Düzlemdeki bir vektörün koordinatlarını bulma
Uçak nedir? Düzlem, iki boyutlu bir uzay, iki boyutlu (x boyutu ve y boyutu) bir uzay olarak kabul edilir. Örneğin kağıt düzdür. Masanın yüzeyi düzdür. Hacimsel olmayan herhangi bir şekil (kare, üçgen, yamuk) aynı zamanda bir düzlemdir. Bu nedenle, eğer problem ifadesinde bir düzlem üzerinde bulunan bir vektörün koordinatlarını bulmanız gerekiyorsa, hemen x ve y'yi hatırlarız. Böyle bir vektörün koordinatlarını şu şekilde bulabilirsiniz: Vektörün AB koordinatları = (xB – xA; yB – xA). Formül, başlangıç noktasının koordinatlarını bitiş noktasının koordinatlarından çıkarmanız gerektiğini gösterir.
Örnek:
- Vektör CD'sinin başlangıç (5; 6) ve son (7; 8) koordinatları vardır.
- Vektörün kendisinin koordinatlarını bulun.
- Yukarıdaki formülü kullanarak şu ifadeyi elde ederiz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Böylece CD vektörünün koordinatları = (2; 2).
- Buna göre x koordinatı ikiye eşit, y koordinatı da ikidir.
Uzaydaki bir vektörün koordinatlarını bulma
Uzay nedir? Uzay zaten üç koordinatın verildiği üç boyutlu bir boyuttur: x, y, z. Uzayda bulunan bir vektör bulmanız gerekiyorsa formül pratikte değişmez. Yalnızca bir koordinat eklenir. Bir vektör bulmak için başlangıç koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
Örnek:
- DF vektörünün başlangıcı (2; 3; 1) ve sonu (1; 5; 2) vardır.
- Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz: Vektör koordinatları DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Unutmayın koordinat değeri negatif olabilir, sorun olmaz.
Vektör koordinatları çevrimiçi olarak nasıl bulunur?
Herhangi bir nedenle koordinatları kendiniz bulmak istemiyorsanız çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz. Başlamak için vektör boyutunu seçin. Bir vektörün boyutu onun boyutlarından sorumludur. Boyut 3, vektörün uzayda olduğu, boyut 2 ise düzlemde olduğu anlamına gelir. Daha sonra, noktaların koordinatlarını uygun alanlara girin; program sizin için vektörün koordinatlarını belirleyecektir. Her şey çok basit.
Düğmeye tıkladığınızda sayfa otomatik olarak aşağıya doğru kaydırılacak ve çözüm adımlarıyla birlikte size doğru cevabı verecektir.
Bu konunun iyi incelenmesi önerilir çünkü vektör kavramı sadece matematikte değil fizikte de bulunur. Bilişim Teknolojileri Fakültesi öğrencileri de vektörler konusunu inceliyorlar, ancak daha karmaşık bir düzeyde.
Sonunda bu kapsamlı ve uzun zamandır beklenen konuya kavuştum. analitik geometri. Öncelikle yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz bilgi verelim... Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. içeren bir okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğu zaman anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Hemen aklıma iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi.” Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok cebirsel işlemler yoluyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; çoğu zaman gerekli formülleri dikkatlice uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır elbette çizim olmadan bunu yapamayız, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için gereksiz olarak alıntı yapmaya çalışacağım.
Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:
1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar - L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.
2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu lise için edebiyat, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler görüş alanımdan çıkabilir ve öğreticinin çok değerli yardımı olacaktır.
Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle arşivimi kullanabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.
Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.
Okuyucunun temel geometrik kavram ve şekillere aşina olduğu varsayılmaktadır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)
Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı, ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel bir görev - bu bağlamda bir segmentin bölünmesi - de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzayda bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.
Vektör kavramı. Ücretsiz vektör
Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:
Bu durumda parçanın başı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramını fiziksel bir bedenin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Kabul etmelisiniz ki bir enstitünün kapısından girmek veya bir enstitünün kapısından çıkmak tamamen farklı şeylerdir.
Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç çakışır.
!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.
Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. Eğitim literatüründe bazen çivi yazısıyla hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.
Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:
1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir: 
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.
2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısa olması açısından küçük bir Latin harfiyle yeniden tasarlanabilir.
Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektöre parçanın uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıklı.
Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,
Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).
Bu, tüm okul çocuklarının aşina olduğu, vektörler hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.
Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:
Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısına göre bunlar AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şu veya bu "okul" vektörünü ihtiyacınız olan uçağın veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! Rasgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir parça hayal edin; sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE mevcuttur. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)
Bu yüzden, Ücretsiz vektör- Bu bir demet aynı yönlendirilmiş bölümler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: “Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir…” anlamına gelir. özel belirli bir kümeden alınan ve düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.
Fizik açısından bakıldığında serbest vektör kavramının genel olarak yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu unutulmamalıdır. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).
Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı
Bir okul geometri kursu, vektörlerle birlikte bir dizi eylemi ve kuralı kapsar: Üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektör farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpımı, vektörlerin skaler çarpımı vb. Başlangıç noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlayalım.
Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı
Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve: 
Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest kabul edilmesi nedeniyle, vektörü bir kenara koyacağız. son vektör: 
Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için, buna fiziksel bir anlam verilmesi tavsiye edilir: Bir cismin önce vektör boyunca, sonra da vektör boyunca ilerlemesine izin verin. O halde vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.
Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.
İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir doğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlarla ilgili olarak her zaman “doğrusal” sıfatı kullanılır.
İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar farklı yönleri gösteriyorsa vektörler zıt yönler.
Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).
İş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.
Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır: 
Daha ayrıntılı olarak bakalım:
1 yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.
2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Çarpan modülü birden büyükse vektörün uzunluğu artışlar zamanında.
3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.
4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve aynı zamanda ortak yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.
Hangi vektörler eşittir?
İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir. Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olacaktır: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."
Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, önceki paragrafta tartışıldığı gibi eşit vektörler aynı vektördür.
Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları
İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini gösterelim ve koordinatların başlangıç noktasından başlayarak çizelim. Bekar vektörler ve:
Vektörler ve dikey. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.
Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .
Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel yüzeyde. Çoğu kişi için temelin ne olduğu sezgisel olarak açıktır; daha ayrıntılı bilgi makalede bulunabilir; Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.
Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.
Tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır; kesin sırayla temel vektörler listelenmiştir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasaktır yeniden düzenleyin.
Herhangi düzlem vektör tek yol olarak ifade edilen: 
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları bu temelde. Ve ifadenin kendisi 
isminde vektör ayrışmasıtemelde .
Servis edilen akşam yemeği:
Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .
Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.
Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör, temel vektörün tersi yönde yönlendirilir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşitse bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:
Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).
Ve sonunda: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve neden çıkarma kuralından bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın toplamanın özel bir durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , 
. Bu durumlarda üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel toplamının ne kadar net çalıştığını görmek için çizimi takip edin.
Formun dikkate alınan ayrıştırması 
bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir; aşağıdaki seçenek yaygındır:
Veya eşittir işaretiyle:
Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve
Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. Pratik problemlerde her üç gösterim seçeneği de kullanılır.
Konuşup konuşmamak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.
Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzayda vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım: 
Herhangi 3 boyutlu uzay vektörü tek yol ortonormal bir temele göre genişletin: 
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.
Resimden örnek: 
. Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. İlk önce vektörü bir sayıyla çarpmak: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektörün eklenmesine ilişkin bir örnek verilmiştir: . Toplam vektör başlangıç noktasından (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.
Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.
Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak 
parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .
Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle 
) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle 
) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle 
) - Hadi yaz .
Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:
Belki de analitik geometri problemlerini çözmek için gereken minimum teorik bilginin tamamı budur. Çok fazla terim ve tanım olabilir o yüzden çaydanlık yapanların bu bilgileri tekrar okuyup anlamalarını öneririm. Ve herhangi bir okuyucunun, materyali daha iyi özümsemesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatlice (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için site materyallerinin teorik bir testi veya geometri alanında bir konferansı geçmek için yeterli olmadığını belirtmek isterim - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak sizin için bir artı konunun anlaşılması. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.
Ve pratik kısma geçiyoruz:
Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler
Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, bunu bilerek hatırlamanıza bile gerek yok, kendileri hatırlayacaklardır =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyon yemeye fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. . Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.
Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.
İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?
Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir: 
Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:
Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.
Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.
örnek 1
Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun
Çözüm: ilgili formüle göre:
Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:
Buna estetik karar verecek:
Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.
Cevap:
Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak için tembel olmayacağım: 
Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:
Nokta koordinatları– bunlar dikdörtgen koordinat sistemindeki sıradan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan itibaren koordinat düzleminde noktaların nasıl çizileceğini biliyor. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.
Vektörün koordinatları– bu, bu durumda onun temele göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, dolayısıyla istenirse veya gerekliyse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; sadece bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.
Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.
Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:
Örnek 2
a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir 
Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun 
.
Belki bu yeterlidir. Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir, ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)
Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?
Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.
Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır
Örnek 3
Çözüm: ilgili formüle göre:
Cevap: 
Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım 
Çizgi segmenti - bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.
Evet çözüm kısa ama burada açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta daha var:
Öncelikle cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm, genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.
İkinci olarak, yalnızca ele alınan görev için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:
dikkat et önemli teknik – çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik stili, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Süreç daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: 
. Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır - ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir argüman olacaktır.
İşte diğer yaygın durumlar: 
Genellikle kök oldukça büyük bir sayı üretir; örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: 
. Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: 
. Sayının son rakamı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacaktır. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.
Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - bir hesap makinesi kullanarak sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.
Çeşitli problemleri çözerken sıklıkla köklerle karşılaşılır; öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.
Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım: 
Genel biçimde kuvvetlerle çalışmanın kuralları bir okul cebir ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya neredeyse her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.
Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:
Örnek 4
Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.
Çözüm ve cevap dersin sonundadır.
Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?
Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.
Bir uzay vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır. 
.