Bölünebilirlik işaretleri doğal sayılar.
2'ye kalansız bölünebilen sayılara denireşit .
2'ye tam olarak bölünemeyen sayılara denirgarip .
2'ye bölünebilme testi
Bir doğal sayının sonu çift rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye kalansız bölünür, bir sayı tek rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye tam olarak bölünemez.
Örneğin 6 sayısı0 , 30 8 , 8 4 2'ye kalansız bölünebilen sayılar 5'tir1 , 8 5 , 16 7 2'ye kalansız bölünmez.
3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayı 3'e bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa sayı 3'e de bölünmez.
Örneğin 2772825 sayısının 3'e bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3'e bölünebilir. Bu, 2772825 sayısının 3'e bölünebildiği anlamına gelir.
5'e bölünebilme testi
Bir doğal sayının kaydı 0 veya 5 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 5'e kalansız bölünür. Bir sayının kaydı başka bir rakamla bitiyorsa sayı 5'e kalansız bölünemez.
Örneğin 1 sayısı5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5'e kalansız bölünebilir ve sayılar 1'dir7 , 37 8 , 9 1 paylaşmayın.
9'a bölünebilme testi
Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa sayı 9'a bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünemiyorsa sayı 9'a da bölünemez.
Örneğin 5402070 sayısının 9'a bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9'a bölünmez Bu, 5402070 sayısının 9'a bölünemeyeceği anlamına gelir.
10'a bölünebilme testi
Bir doğal sayının sonu 0 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 10'a kalansız bölünür. Bir doğal sayı başka bir rakamla bitiyorsa 10'a tam olarak bölünemez.
Örneğin 4 sayısı0 , 17 0 , 1409 0 10'a kalansız bölünebilir ve 1 sayıları7 , 9 3 , 1430 7 - paylaşmayın.
En büyük ortak böleni (GCD) bulma kuralı.
En büyüğünü bulmak için ortak bölen birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.
Örnek. OBEB'yi (48;36) bulalım. Kuralı kullanalım.
1. 48 ve 36 sayılarını ayrıştıralım asal faktörler.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 48 sayısının açılımında yer alan faktörlerden 36 sayısının açılımında yer almayanları çıkarıyoruz.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Geriye kalan çarpanlar 2, 2 ve 3'tür.
3. Geriye kalan çarpanları çarpın ve 12 değerini elde edin. Bu sayı, 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
En küçük ortak katı (LCM) bulma kuralı.
Birkaç doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için yapmanız gerekenler:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.
Örnek. LOC'yi (75;60) bulalım. Kuralı kullanalım.
1. 75 ve 60 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 75 sayısının açılımına dahil olan çarpanları yazalım: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Onlara 60 sayısının açılımındaki eksik faktörleri ekleyin; 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen bu sayılar. OBEB(a, b)'yi gösterin.
İki doğal sayı olan 18 ve 60 örneğini kullanarak OBEB'yi bulmayı düşünelim:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Ve 432
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Faktörleri ikinci ve üçüncü sayılarda olmayan birinci sayının üzerini çizerek şunu elde ederiz:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Sonuç olarak, GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi bulma
En büyük ortak böleni bulmanın ikinci yolu kullanmaktır. Öklid algoritması. Öklid algoritması en çok verimli bir şekilde bulma GCD kullanarak, bölen sayıların geri kalanını sürekli bulmanız ve uygulamanız gerekir. yineleme formülü.
Tekrarlama formülü GCD için, OBEB(a, b)=OBEB(b, a mod b) burada a mod b, a'nın b'ye bölümünden kalandır.
Öklid algoritması
Örnek Sayıların en büyük ortak bölenini bulun 7920 Ve 594
Hadi GCD'yi bulalım( 7920 , 594 ) Öklid algoritmasını kullanarak, bölümün geri kalanını bir hesap makinesi kullanarak hesaplayacağız.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Sonuç olarak, GCD'yi elde ederiz ( 7920 , 594 ) = 198
En az ortak kat
Bulmak için ortak payda kesirleri eklerken ve çıkarırken farklı paydalar bilmeniz ve hesaplayabilmeniz gerekir en küçük ortak kat(NOK).
"a" sayısının katı, kendisi de "a" sayısına kalansız bölünebilen bir sayıdır.
8'in katı olan sayılar (yani 8'e kalansız bölünebilen sayılar): bunlar 16, 24, 32 sayılarıdır...
9'un katları: 18, 27, 36, 45…
Belirli bir a sayısının, aynı sayının bölenlerinin aksine, sonsuz sayıda katı vardır. Sonlu sayıda bölen vardır.
İki doğal sayının ortak katı, bu sayıların her ikisine de bölünebilen bir sayıdır..
En az ortak katİki veya daha fazla doğal sayının (LCM), kendisi bu sayıların her birine bölünebilen en küçük doğal sayıdır.
NOC nasıl bulunur?
LCM iki şekilde bulunabilir ve yazılabilir.
LOC'yi bulmanın ilk yolu
Bu yöntem genellikle küçük sayılar için kullanılır.
- Her iki sayı için aynı olan bir kat bulana kadar her sayının katlarını bir satıra yazıyoruz.
- “a” sayısının katlarını gösteririz büyük harf"İLE".
Örnek. LCM 6 ve 8'i bulun.
LOC'yi bulmanın ikinci yolu
Bu yöntem, üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için kullanışlıdır.
Sayıların ayrıştırılmasında aynı faktörlerin sayısı farklı olabilir.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Cevap: LCM (24, 60) = 120
Ayrıca en az ortak katı (LCM) bulmayı da resmileştirebilirsiniz. aşağıdaki gibi. LOC'yi (12, 16, 24) bulalım.
24 = 2 2 2 3
Sayıların ayrıştırılmasından gördüğümüz gibi, 24'ün (sayıların en büyüğü) ayrıştırılmasına 12'nin tüm çarpanları dahil olduğundan, 16 sayısının ayrıştırılmasından LCM'ye yalnızca bir 2 ekliyoruz.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Cevap: LCM (12, 16, 24) = 48
NOC bulmanın özel durumları
Örneğin, LCM (60, 15) = 60
Eş asal sayıların ortak asal çarpanları olmadığından, en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir.
Hesaplamalarınızı kontrol etmek için web sitemizde özel bir hesap makinesi kullanarak en küçük ortak katları çevrimiçi olarak bulabilirsiniz.
Bir doğal sayı yalnızca 1'e ve kendisine bölünüyorsa bu sayıya asal sayı denir.
Herhangi bir doğal sayı her zaman 1'e ve kendisine bölünebilir.
2 sayısı en küçük asal sayıdır. Bu tek çift asal sayıdır, geri kalan asal sayılar tektir.
Pek çok asal sayı vardır ve bunlardan ilki 2 sayısıdır. Ancak son asal sayı yoktur. “Çalışma İçin” bölümünde 997'ye kadar asal sayılar tablosunu indirebilirsiniz.
Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.
- 12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;
- 36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.
- sayıların bölenlerini asal faktörlere ayrıştırmak;
Sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) sayının bölenleri denir.
Bir doğal sayı olan a'nın böleni, bölen bir doğal sayıdır verilen numara Geriye kalansız "a".
İkiden fazla böleni olan doğal sayıya bileşik sayı denir.
12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.
Verilen iki "a" ve "b" sayısının ortak böleni, verilen "a" ve "b" sayılarının her ikisinin de kalansız olarak bölündüğü sayıdır.
En büyük ortak bölen Verilen iki “a” ve “b” sayısının (GCD)’si en büyük sayı"a" ve "b" sayılarının her ikisinin de kalansız olarak bölünmesidir.
Kısaca “a” ve “b” sayılarının en büyük ortak böleni şu şekilde yazılır::
Örnek: gcd (12; 36) = 12.
Çözüm kaydındaki sayıların bölenleri büyük “D” harfiyle gösterilir.
7 ve 9 sayılarının tek bir ortak böleni vardır; 1 sayısı. Bu tür numaralara denir eş asal sayılar.
Eş asal sayılar- bunlar yalnızca bir ortak böleni olan 1 sayısı olan doğal sayılardır. GCD'leri 1'dir.
En büyük ortak bölen nasıl bulunur?
İki veya daha fazla doğal sayının gcd'sini bulmak için ihtiyacınız olan:
Dikey bir çubuk kullanarak hesaplamalar yazmak uygundur. Çizginin soluna ilk önce temettüyü, sağa - böleni yazıyoruz. Daha sonra sol sütuna bölümlerin değerlerini yazıyoruz.
Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
- Her iki sayıda da aynı asal çarpanları vurguluyoruz.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Aynı asal çarpanların çarpımını bulun ve cevabı yazın;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Cevap: OBEB (28; 64) = 4
GCD'nin konumunu iki şekilde resmileştirebilirsiniz: bir sütunda (yukarıda yapıldığı gibi) veya "arka arkaya".
GCD yazmanın ilk yolu
Gcd 48 ve 36'yı bulun.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Gcd yazmanın ikinci yolu
Şimdi GCD aramasının çözümünü bir satıra yazalım. Gcd 10 ve 15'i bulun.
Bilgi sitemizde hesaplamalarınızı kontrol etmek için En Büyük Ortak Bölen çevrimiçi yardımcısını da kullanabilirsiniz.
En küçük ortak katın bulunması, yöntemleri, LCM bulma örnekleri.
Aşağıda sunulan materyal, LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ile GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM), Ve özel ilgiÖrnekleri çözmeye odaklanalım. Öncelikle iki sayının LCM'sinin bu sayıların OBE'sini kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üçün LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve Daha negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edin.
Sayfada gezinme.
GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması
En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. Mevcut bağlantı LCM ve GCD arasındaki iki tam sayının en küçük ortak katını hesaplamanıza olanak tanır pozitif sayılar bilinen en büyük ortak bölen aracılığıyla. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerine bakalım.
126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Bu örnekte a=126 , b=70 . LCM ile GCD arasındaki, LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) formülüyle ifade edilen bağlantıyı kullanalım. Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.
Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.
Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
LCM(68, 34) neye eşittir?
68, 34'e bölünebildiği için OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a, b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.
Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma
En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .
LCM'yi bulmak için belirtilen kural LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) eşitliğinden kaynaklanır. Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, gcd(a, b) ürüne eşit a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörler (sayıların asal faktörlere genişletilmesi kullanılarak OBE'nin bulunması bölümünde anlatıldığı gibi).
Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210 sayılarının en küçük ortak katına yani LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050'ye eşittir.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım: 
441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.
Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik çarpanlar, a sayısının açılımındaki çarpanlara eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır.
Örneğin aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, bunların asal çarpanlarına ayrıştırılması şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.
84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.
Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.
a 1 , a 2 , …, a k pozitif tamsayı sayıları verilse, bu sayıların en küçük ortak katı m k sırasıyla m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) hesaplanarak bulunur. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.
140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.
İlk önce m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9)'u buluruz. Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4 elde ediyoruz, dolayısıyla GCD(140, 9)=1, buradan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Yani m2 =1 260.
Şimdi m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54)'ü buluyoruz. Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.
Geriye m4 = LCM(m3, a4) = LCM(3 780, 250) bulmak kalıyor. Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCD(3,780, 250)=10, buradan GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.
Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .
Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda uymanız gerekenler sonraki kural. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; üçüncü sayı ortaya çıkan faktörlere eklenir ve bu şekilde devam eder.
Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.
84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 bir asal sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla) ve 143=11·13.
Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bu sete sonraki adım 7 zaten içinde bulunduğundan çarpan eklemeye gerek yoktur. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.
Dolayısıyla LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .
Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma
Bazen sayıların en az ortak katını bulmanız gereken görevler vardır; bunlardan biri, birkaçı veya tümü negatiftir. Bu durumlarda her şey negatif sayılar bunları zıt sayılarla değiştirmeniz ve ardından pozitif sayıların LCM'sini bulmanız gerekir. Negatif sayıların LCM'sini bulmanın yolu budur. Örneğin, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ve LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Bunu yapabiliriz çünkü a'nın katları kümesi −a'nın katları kümesiyle çakışır (a ve −a zıt sayılar). Aslında b, a'nın bir katı olsun, o zaman b, a'ya bölünebilir ve bölünebilirlik kavramı, b=a·q olacak şekilde bir q tam sayısının varlığını belirtir. Ancak b=(−a)·(−q) eşitliği de doğru olacaktır; bu, aynı bölünebilirlik kavramı nedeniyle, b'nin -a'ya bölünebileceği, yani b'nin -a'nın bir katı olduğu anlamına gelir. Bunun tersi de doğrudur: eğer b -a'nın bir katıysa, o zaman b de a'nın bir katıdır.
−145 ve −45 negatif sayıların en küçük ortak katını bulun.
−145 ve −45 negatif sayılarını zıt sayıları 145 ve 45 ile değiştirelim. LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) elimizde. GCD(145, 45)=5'i belirledikten sonra (örneğin Öklid algoritmasını kullanarak), GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305'i hesaplıyoruz. Dolayısıyla -145 ve -45 negatif tam sayıların en küçük ortak katı 1,305'tir.
www.cleverstudents.ru
Bölme çalışmalarına devam ediyoruz. Bu dersimizde aşağıdaki gibi kavramlara bakacağız: GCD Ve NOC.
GCD en büyük ortak bölendir.
NOC en küçük ortak kattır.
Konu oldukça sıkıcı ama mutlaka anlamanız gerekiyor. Bu konuyu anlamadan matematiğin gerçek bir engeli olan kesirlerle etkili bir şekilde çalışamayacaksınız.
En büyük ortak bölen
Tanım. Sayıların en büyük ortak böleni A Ve B A Ve B kalansız bölünür.
Bu tanımı iyi anlamak için değişkenlerin yerine koyalım A Ve Börneğin bir değişken yerine herhangi iki sayı A Değişken yerine 12 sayısını koyalım B 9 numara. Şimdi bu tanımı okumaya çalışalım:
Sayıların en büyük ortak böleni 12 Ve 9 en büyük sayı denir 12 Ve 9 kalansız bölünür.
Tanımdan, 12 ve 9 sayılarının ortak böleninden bahsettiğimiz açıktır ve bu bölen, mevcut tüm bölenlerin en büyüğüdür. Bu en büyük ortak bölenin (OBEB) bulunması gerekiyor.
İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için üç yöntem kullanılır. İlk yöntem oldukça emek yoğundur ancak konunun özünü net bir şekilde anlamanıza ve tam anlamını hissetmenize olanak tanır.
İkinci ve üçüncü yöntemler oldukça basittir ve GCD'yi hızlı bir şekilde bulmayı mümkün kılar. Her üç yönteme de bakacağız. Ve pratikte hangisini kullanacağınız size kalmış.
İlk yöntem, iki sayının tüm olası bölenlerini bulmak ve en büyüğünü seçmektir. Aşağıdaki örneği kullanarak bu yönteme bakalım: 12 ve 9 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.
Öncelikle 12 sayısının olası tüm bölenlerini bulacağız. Bunu yapmak için 12'yi 1'den 12'ye kadar olan tüm bölenlere böleceğiz. Eğer bölen 12'yi kalansız bölmemize izin veriyorsa, onu vurgulayacağız. mavi ve parantez içinde uygun bir açıklama yapın.
12: 1 = 12
(12, 1'e kalansız olarak bölünür, yani 1, 12 sayısının böleni olur)
12: 2 = 6
(12, 2'ye kalansız bölünür, yani 2, 12 sayısının böleni olur)
12: 3 = 4
(12, 3'e kalansız bölünür, yani 3, 12 sayısının böleni olur)
12: 4 = 3
(12, 4'e kalansız bölünür, yani 4, 12 sayısının böleni olur)
12: 5 = 2 (2 tane kaldı)
(12, 5'e kalansız bölünmez, yani 5, 12 sayısının böleni değildir)
12: 6 = 2
(12, 6'ya kalansız bölünür, yani 6, 12 sayısının böleni demektir)
12: 7 = 1 (5 tane kaldı)
(12, 7'ye kalansız bölünmez, yani 7, 12 sayısının böleni değildir)
12: 8 = 1 (4 tane kaldı)
(12, 8'e kalansız bölünmez, yani 8, 12'nin böleni değildir)
12: 9 = 1 (3 tane kaldı)
(12, 9'a kalansız bölünmez, yani 9, 12 sayısının böleni değildir)
12: 10 = 1 (2 tane kaldı)
(12, 10'a kalansız bölünmez, yani 10, 12 sayısının böleni değildir)
12: 11 = 1 (1 kalan)
(12, 11'e kalansız bölünmez, yani 11, 12'nin böleni değildir)
12: 12 = 1
(12, 12'ye kalansız bölünür, yani 12, 12 sayısının böleni demektir)
Şimdi 9 sayısının bölenlerini bulalım. Bunun için 1'den 9'a kadar tüm bölenleri işaretleyin
9: 1 = 9
(9, 1'e kalansız bölünür, yani 1, 9 sayısının böleni olur)
9: 2 = 4 (1 kalan)
(9, 2'ye kalansız bölünmez, yani 2, 9 sayısının böleni değildir)
9: 3 = 3
(9, 3'e kalansız olarak bölünür, yani 3, 9 sayısının böleni olur)
9: 4 = 2 (1 kalan)
(9, 4'e kalansız bölünmez, yani 4, 9 sayısının böleni değildir)
9: 5 = 1 (4 tane kaldı)
(9, 5'e kalansız bölünmez, yani 5, 9 sayısının böleni değildir)
9: 6 = 1 (3 tane kaldı)
(9, 6'ya kalansız bölünmez, yani 6, 9 sayısının böleni değildir)
9: 7 = 1 (2 tane kaldı)
(9, 7'ye kalansız bölünmez, yani 7, 9 sayısının böleni değildir)
9: 8 = 1 (1 kalan)
(9, 8'e kalansız bölünmez, yani 8, 9 sayısının böleni değildir)
9: 9 = 1
(9, 9'a kalansız bölünür, yani 9, 9 sayısının bölenidir)
Şimdi her iki sayının bölenlerini yazalım. Maviyle vurgulanan sayılar bölenlerdir. Bunları yazalım:
Bölenleri yazarak hangisinin en büyük ve en yaygın olduğunu hemen belirleyebilirsiniz.
Tanım gereği 12 ve 9 sayılarının en büyük ortak böleni, 12 ve 9'u kalansız bölen sayıdır. 12 ve 9 sayılarının en büyük ve ortak böleni 3 sayısıdır
Hem 12 hem de 9 sayısı 3'e kalansız bölünebilir:
Yani gcd (12 ve 9) = 3
GCD'yi bulmanın ikinci yolu
Şimdi en büyük ortak böleni bulmanın ikinci yöntemine bakalım. Öz bu yöntem her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıp ortak olanları çarpmaktır.
Örnek 1. 24 ve 18 sayılarının gcd'sini bulun
Öncelikle her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
Şimdi bunları çarpalım ortak faktörler. Karışıklığı önlemek için ortak faktörler vurgulanabilir.
24 sayısının açılımına bakıyoruz. İlk çarpanı 2. Aynı çarpanı 18 sayısının açılımında da arıyoruz ve orada da olduğunu görüyoruz. Her iki ikiyi de vurguluyoruz:
Tekrar 24 sayısının açılımına bakıyoruz. İkinci çarpanı da 2. Aynı çarpanı 18 sayısının açılımında da arıyoruz ve ikinci kez orada olmadığını görüyoruz. O zaman hiçbir şeyi vurgulamıyoruz.
24 sayısının açılımındaki sonraki iki sayı, 18 sayısının açılımında da yok.
Geçelim 24 sayısının açılımındaki son faktöre. Bu 3. faktör. 18 sayısının açılımında da aynı faktörü arıyoruz ve orada da olduğunu görüyoruz. Her iki üçü de vurguluyoruz:
Yani 24 ve 18 sayılarının ortak çarpanları 2 ve 3 çarpanlarıdır. OBEB elde etmek için bu çarpanların çarpılması gerekir:
Yani gcd (24 ve 18) = 6
GCD'yi bulmanın üçüncü yolu
Şimdi en büyük ortak böleni bulmanın üçüncü yoluna bakalım. Bu yöntemin özü, en büyük ortak bölen için bulunacak sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasıdır. Daha sonra, birinci sayının açılımından, ikinci sayının açılımına dahil olmayan faktörlerin üzeri çizilir. İlk açılımda kalan sayılar çarpılarak GCD elde edilir.
Örneğin 28 ve 16 sayılarının OBEB'ini bu yöntemle bulalım. Öncelikle bu sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz:
İki genişletmemiz var: ve
Şimdi birinci sayının ayrıştırılmasından ikinci sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan faktörleri sileceğiz. İkinci sayının açılımı yediyi kapsamaz. İlk genişletmenin üzerini çizelim:
Şimdi kalan faktörleri çarpıyoruz ve GCD'yi elde ediyoruz:
4 sayısı, 28 ve 16 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Bu sayıların her ikisi de 4'e kalansız bölünebilir:
Örnek 2. 100 ve 40 sayılarının gcd'sini bulun
100 sayısını çarpanlarına ayırma
40 sayısını çarpanlara ayırma
İki genişletmemiz var:
Şimdi birinci sayının ayrıştırılmasından ikinci sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan faktörleri sileceğiz. İkinci sayının açılımı bir beşi içermez (yalnızca bir beş vardır). İlk genişletmenin üzerini çizelim
Kalan sayıları çarpalım:
20 cevabını aldık. Bu, 100 ve 40 sayılarının en büyük ortak böleninin 20 olduğu anlamına gelir. Bu iki sayı, 20'ye kalansız bölünebilir:
GCD (100 ve 40) = 20.
Örnek 3. 72 ve 128 sayılarının gcd'sini bulun
72 sayısını çarpanlara ayırma
128 sayısını çarpanlarına ayırma
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Şimdi birinci sayının ayrıştırılmasından ikinci sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan faktörleri sileceğiz. İkinci sayının açılımı iki üçlüyü içermiyor (hiç orada değiller). İlk genişletmeden bunların üzerini çizelim:
8 cevabını aldık. Bu da 72 ve 128 sayılarının en büyük ortak böleninin 8 olduğu anlamına geliyor. Bu iki sayı 8'e kalansız bölünebilir:
GCD (72 ve 128) = 8
Birkaç numara için GCD'yi bulma
En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur.
Örneğin 18, 24 ve 36 sayıları için OBEB'i bulalım.
18 sayısını çarpanlarına ayıralım
24 sayısını çarpanlarına ayıralım
36 sayısını çarpanlarına ayıralım
Üç genişletmemiz var:
Şimdi bu sayıların ortak faktörlerini vurgulayalım ve altını çizelim. Her üç sayıda da ortak faktörler görünmelidir:
18, 24 ve 36 sayılarının ortak bölenlerinin 2 ve 3 çarpanları olduğunu görüyoruz. Bu çarpanları çarparak aradığımız gcd'yi elde ediyoruz:
6 cevabını aldık. Bu, 18, 24 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleninin 6 olduğu anlamına gelir. Bu üç sayı, 6'ya kalansız bölünebilir:
GCD (18, 24 ve 36) = 6
Örnek 2. 12, 24, 36 ve 42 sayıları için OBB'yi bulun
Her sayıyı asal çarpanlarına ayıralım. Daha sonra bu sayıların ortak çarpanlarının çarpımını buluyoruz.
12 sayısını çarpanlarına ayırın
42 sayısını çarpanlarına ayıralım
Dört genişletmemiz var:
Şimdi bu sayıların ortak faktörlerini vurgulayalım ve altını çizelim. Dört sayının hepsinde ortak faktörler görünmelidir:
12, 24, 36 ve 42 sayılarının ortak çarpanlarının 2 ve 3'ün çarpanları olduğunu görüyoruz. Bu çarpanları birbiriyle çarpmak bize aradığımız GCD'yi verir:
6 cevabını aldık. Bu, 12, 24, 36 ve 42 sayılarının en büyük ortak böleninin 6 sayısı olduğu anlamına gelir. Bu sayılar 6'ya kalansız bölünür:
GCD (12, 24, 36 ve 42) = 6
Bir önceki dersten, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünmesine bu sayının katı denildiğini biliyoruz.
Birkaç sayının ortak bir katı olabileceği ortaya çıktı. Şimdi iki sayının katlarıyla ilgileneceğiz ve bu sayının mümkün olduğu kadar küçük olması gerekiyor.
Tanım. Sayıların en küçük ortak katı (LCM) A Ve B- A Ve B A ve sayı B.
Tanım iki değişken içeriyor A Ve B. Bu değişkenlerin yerine herhangi iki sayıyı koyalım. Örneğin bir değişken yerine A Değişken yerine 9 sayısını koyalım B 12 sayısını yerine koyalım. Şimdi tanımını okumaya çalışalım:
Sayıların en küçük ortak katı (LCM) 9 Ve 12 - Bu en küçük sayı, bu bir çokludur 9 Ve 12 . Yani bu o kadar küçük bir sayıdır ki, sayıya kalansız bölünebilir. 9 ve numaraya göre 12 .
Tanımdan, LCM'nin 9 ve 12'ye kalansız bölünebilen en küçük sayı olduğu açıktır. Bu LCM'nin bulunması gerekir.
En küçük ortak katı (LCM) bulmak için iki yöntem kullanabilirsiniz. İlk yol, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve daha sonra bu katlar arasından hem sayıların ortak hem de küçük olan bir sayıyı seçebilmenizdir. Bu yöntemi kullanalım.
Öncelikle 9 sayısının ilk katlarını bulalım. 9'un katlarını bulmak için bu dokuzu 1'den 9'a kadar olan sayılarla tek tek çarpmanız gerekiyor. Ortaya çıkan cevaplar 9 sayısının katları olacaktır. Yani, Haydi başlayalım. Katları kırmızıyla vurgulayacağız:
Şimdi 12 sayısının katlarını buluyoruz. Bunun için 12'yi 1'den 12'ye kadar olan tüm sayılarla tek tek çarpıyoruz.
Artık bu sayılardan en az birinin sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız. Verilen sayıların tümü sıfıra eşitse ortak bölenleri herhangi bir tam sayıdır ve sonsuz sayıda tam sayı olduğundan bunların en büyüğünden söz edemeyiz. Dolayısıyla her biri sıfıra eşit olan sayıların en büyük ortak böleninden söz edemeyiz.
Artık verebiliriz en büyük ortak bölenin belirlenmesi iki sayı.
Tanım.
En büyük ortak bölen iki tam sayı, verilen iki tam sayıyı bölen en büyük tam sayıdır.
En büyük ortak böleni kısaca yazmak için GCD kısaltması sıklıkla kullanılır - En Büyük Ortak Bölen. Ayrıca a ve b sayılarının en büyük ortak böleni genellikle OBEB(a, b) olarak gösterilir.
Hadi verelim en büyük ortak bölen örneği (GCD) iki tamsayı. 6 ve −15 sayılarının en büyük ortak böleni 3'tür. Bunu meşrulaştıralım. Altı sayısının tüm bölenlerini yazalım: ±6, ±3, ±1, −15 sayısının bölenleri ise ±15, ±5, ±3 ve ±1 sayılarıdır. Artık 6 ve −15 sayılarının tüm ortak bölenlerini bulabilirsiniz; bunlar −3, −1, 1 ve 3 sayılarıdır. −3'ten beri<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Üç veya daha fazla tam sayının en büyük ortak bölenini belirlemek, iki sayının genel değerini belirlemeye benzer.
Tanım.
En büyük ortak bölenüç veya daha fazla tam sayı - bu, verilen tüm sayıları aynı anda bölen en büyük tam sayıdır.
N adet tamsayı a 1 , a 2 , …, an n'nin en büyük ortak bölenini GCD(a 1 , a 2 , …, an n) olarak göstereceğiz. Bu sayıların en büyük ortak böleninin b değeri bulunursa şunu yazabiliriz: OBEB(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Örnek olarak −8, 52, 16 ve −12 dört tamsayının gcd'sini verelim, 4'e eşit yani gcd(−8, 52, 16, −12)=4. Bu, verilen sayıların tüm bölenlerini yazarak, bunlardan ortak olanları seçerek ve en büyük ortak böleni belirleyerek kontrol edilebilir.
Tam sayıların en büyük ortak böleninin bu sayılardan birine eşit olabileceğini unutmayın. Bu ifade, verilen tüm sayıların bunlardan birine bölünebilmesi durumunda doğrudur (kanıtı bu makalenin bir sonraki paragrafında verilmiştir). Örneğin, OBEB(15, 60, −45)=15. Bu doğrudur, çünkü 15 hem 15 sayısını, hem 60 sayısını hem de -45 sayısını böler ve 15, 60 ve -45 sayılarının 15'i aşan ortak böleni yoktur.
Özellikle ilgi çekici olan, göreceli asal sayılar olarak adlandırılan, en büyük ortak böleni bire eşit olan tam sayılardır.
En büyük ortak bölenin özellikleri, Öklid algoritması
En büyük ortak bölenin bir dizi karakteristik sonucu, başka bir deyişle bir dizi özelliği vardır. Şimdi ana olanları listeleyeceğiz en büyük ortak bölenin (GCD) özellikleri bunları teoremler şeklinde formüle edeceğiz ve hemen kanıtları sunacağız.
Pozitif tam sayılar için en büyük ortak bölenin tüm özelliklerini formüle edeceğiz ve bu sayıların yalnızca pozitif bölenlerini dikkate alacağız.
a ve b sayılarının en büyük ortak böleni, b ve a sayılarının en büyük ortak bölenine eşittir, yani gcd(a, b) = gcd(a, b) .
GCD'nin bu özelliği doğrudan en büyük ortak bölenin tanımından kaynaklanmaktadır.
Eğer a, b'ye bölünebiliyorsa, o zaman a ve b sayılarının ortak bölenleri kümesi, b sayısının bölenleri kümesiyle, özellikle de gcd(a, b)=b ile çakışır.
Kanıt.
A ve b sayılarının herhangi bir ortak böleni, b sayısı da dahil olmak üzere bu sayıların her birinin bir böleni olur. Öte yandan, a, b'nin katı olduğundan, bölünebilirliğin geçişlilik özelliğine sahip olması nedeniyle b sayısının herhangi bir böleni, a sayısının bir böleni olur, dolayısıyla b sayısının herhangi bir böleni ortaktır. a ve b sayılarının böleni. Bu, eğer a, b'ye bölünebiliyorsa, o zaman a ve b sayılarının bölenleri kümesinin bir b sayısının bölenleri kümesiyle çakıştığını kanıtlar. Ve b sayısının en büyük böleni b sayısının kendisi olduğuna göre, a ve b sayılarının en büyük ortak böleni de b'ye eşit olur, yani gcd(a, b)=b olur.
Özellikle a ve b sayıları eşitse, o zaman gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Örneğin, OBEB(132, 132)=132.
En büyük bölenin kanıtlanmış özelliği, iki sayıdan biri diğerine bölündüğünde bu sayının toplam değerini bulmamızı sağlar. Bu durumda GCD, başka bir sayıya bölünen bu sayılardan birine eşittir. Örneğin OBEB(8, 24)=8, çünkü 24 sekizin katıdır.
a, b, c ve q tam sayılar olmak üzere a=b·q+c ise, a ve b sayılarının ortak bölenleri kümesi, b ve c sayılarının ortak bölenleri kümesiyle, özellikle de gcd ile çakışır. (a, b)=gcd (b, c) .
GCD'nin bu özelliğini haklı çıkaralım.
a=b·q+c eşitliği geçerli olduğundan, a ve b sayılarının her ortak böleni aynı zamanda c'yi de böler (bu, bölünebilirlik özelliklerinden kaynaklanır). Aynı sebepten dolayı b ve c'nin her ortak böleni a'yı böler. Bu nedenle a ve b sayılarının ortak bölenleri kümesi, b ve c sayılarının ortak bölenleri kümesiyle çakışır. Özellikle, bu ortak bölenlerin en büyüğünün de çakışması gerekir, yani aşağıdaki GCD(a, b) = OBEB(b, c) eşitliği doğru olmalıdır.
Şimdi teoremi formüle edip kanıtlayacağız. Öklid algoritması. Öklid algoritması iki sayının OBE'sini bulmanızı sağlar (bkz. Öklid algoritmasını kullanarak OBE'yi bulma). Dahası, Öklid algoritması en büyük ortak bölenin aşağıdaki özelliklerini kanıtlamamıza olanak sağlayacaktır.
Teoremin formülasyonunu vermeden önce, a böleninin b q + r olarak temsil edilebileceğini, burada b'nin bir bölen, q'nun eksik bölüm olarak adlandırılan bir tamsayı olduğunu belirten teori bölümünden teorem hafızanızı tazelemenizi öneririz. ve r, kalan adı verilen koşulu karşılayan bir tamsayıdır.
Yani, sıfırdan farklı iki pozitif tamsayı a ve b için bir eşitlikler dizisinin doğru olduğunu varsayalım. 
r k+1 =0 olduğunda sona erer (b>r 1 >r 2 >r 3 olduğundan bu kaçınılmazdır, ... bir azalan tamsayılar dizisidir ve bu seri birden fazla sayı içeremez) son sayı pozitif sayılar), o zaman r k, a ve b sayılarının en büyük ortak böleni olur, yani rk = OBEB(a, b) .
Kanıt.
Öncelikle rk'nin a ve b sayılarının ortak böleni olduğunu kanıtlayalım, ardından rk'nin yalnızca bir bölen değil aynı zamanda a ve b sayılarının en büyük ortak böleni olduğunu göstereceğiz.
Yazılı eşitlikler boyunca aşağıdan yukarıya doğru ilerleyeceğiz. Son eşitlikten r k−1'in r k'ye bölünebildiğini söyleyebiliriz. Bu gerçeği ve OBEB'in önceki özelliğini hesaba katarak, sondan bir önceki eşitlik r k−2 =r k−1 ·q k +r k, r k−1'in r k'ye bölünebilmesi nedeniyle r k−2'nin r k'ye bölünebileceğini belirtmemize olanak tanır. ve rk, rk'ye bölünebilir. Benzer şekilde, aşağıdan üçüncü eşitlikten rk−3'ün rk'ye bölünebildiği sonucunu çıkarıyoruz. Ve benzeri. İkinci eşitlikten b'nin rk'ye bölünebildiğini, birinci eşitlikten de a'nın rk'ye bölünebildiğini elde ederiz. Bu nedenle rk, a ve b sayılarının ortak bölenidir.
Geriye r k = OBEB(a, b) olduğunu kanıtlamak kalıyor. Çünkü a ve b sayılarının herhangi bir ortak böleninin (buna r 0 diyelim) r k'yi böldüğünü göstermek yeterlidir.
Orijinal eşitlikler boyunca yukarıdan aşağıya doğru ilerleyeceğiz. Önceki özelliğe bağlı olarak, birinci eşitlikten r 1'in r 0'a bölünebildiği sonucu çıkar. Daha sonra ikinci eşitlikten r 2'nin r 0'a bölünebildiğini elde ederiz. Ve benzeri. Son eşitlikten r k'nin r 0'a bölünebildiğini elde ederiz. Böylece r k = OBEB(a, b) .
En büyük ortak bölenin dikkate alınan özelliğinden, a ve b sayılarının ortak bölenleri kümesinin, bu sayıların en büyük ortak böleninin bölenleri kümesiyle çakıştığı sonucu çıkar. Öklid algoritmasının bu sonucu, iki sayının tüm ortak bölenlerini, bu sayıların genel çarpanlarının bölenleri olarak bulmamızı sağlar.
a ve b aynı anda değil tamsayılar olsun sıfıra eşit ve u 0 ve v 0 gibi tamsayılar varsa, GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 eşitliği doğrudur. Son eşitlik, a ve b sayılarının en büyük ortak böleninin doğrusal bir temsilidir, bu eşitliğe Bezout ilişkisi, u 0 ve v 0 sayılarına da Bezout katsayıları adı verilir.
Kanıt.
Öklid algoritmasını kullanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz
İlk eşitlikten r 1 =a−b·q 1 elde ederiz ve 1=s 1 ve −q 1 =t 1'i göstererek, bu eşitlik r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b biçimini alır ve s 1 ve t 1 sayıları tamsayılardır. Daha sonra ikinci eşitlikten r 2 =b−r 1 ·q 2 = elde ederiz. b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. −s 1 ·q 2 =s 2 ve 1−t 1 ·q 2 =t 2'yi gösteren son eşitlik r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b olarak yazılabilir ve s 2 ve t 2 tamsayılardır (Tam sayıların toplamı, farkı ve çarpımı bir tamsayı olduğundan). Benzer şekilde, üçüncü eşitlikten r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, dördüncü eşitlikten r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b vb. elde ederiz. Son olarak, r k =s k ·a+t k ·b, burada sk ve t k tamsayılardır. r k =GCD(a, b) olduğundan ve sk =u 0 ve t k =v 0 olduğundan, GCD'nin gerekli formda doğrusal bir temsilini elde ederiz: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .
Eğer m herhangi bir doğal sayı ise, o zaman OBEB(m a, m b)=m OBEB(a, b).
En büyük ortak bölenin bu özelliğinin mantığı aşağıdaki gibidir. Öklid algoritmasının her bir eşitliğinin her iki tarafını m ile çarparsak, GCD(m·a, m·b)=m·rk ve rk'nin GCD(a, b) olduğunu elde ederiz. Buradan, OBEB(m a, m b)=m OBEB(a, b).
Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak GCD'yi bulma yöntemi, en büyük ortak bölenin bu özelliğine dayanmaktadır.
p, a ve b sayılarının herhangi bir ortak böleni olsun, o zaman gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, özellikle p=GCD(a, b) ise elimizde gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1 yani a:OBEB(a, b) ve b:GCD(a, b) sayıları göreceli olarak asaldır.
a=p·(a:p) ve b=p·(b:p) olduğundan ve önceki özellikten dolayı, formda bir eşitlikler zinciri yazabiliriz OBEB(a, b)=OBEB(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) , buradan eşitlik kanıtlanıyor.
Az önce kanıtladığımız en büyük ortak bölenin özelliği, 'nin temelini oluşturuyor.
Şimdi üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulma sorununu iki sayının OBEB'ini sıralı olarak bulmaya indirgeyen OBEB özelliğinden bahsedelim.
a 1 , a 2 , …, a k sayılarının en büyük ortak böleni sayıya eşit d k , OBEB(a 1 , a 2)=d 2 , OBEB(d 2 , a 3)=d 3 , OBEB(d 3 , a 4)=d 4 , …, OBEB(d k)'nin sırayla hesaplanmasıyla bulunur - 1 , ak)=dk .
Kanıt Öklid algoritmasının bir sonucuna dayanmaktadır. a 1 ve a 2 sayılarının ortak bölenleri d 2'nin bölenleriyle çakışır. O zaman a 1, a 2 ve a 3 sayılarının ortak bölenleri d 2 ve a 3 sayılarının ortak bölenleriyle çakışır, dolayısıyla d 3'ün bölenleriyle çakışırlar. a 1, a 2, a 3 ve a 4 sayılarının ortak bölenleri d 3 ve a 4'ün ortak bölenleriyle çakışır, dolayısıyla d 4'ün bölenleriyle çakışırlar. Ve benzeri. Son olarak a 1, a 2, ..., a k sayılarının ortak bölenleri d k bölenleriyle çakışır. Ve d k sayısının en büyük böleni d k sayısının kendisi olduğundan, o zaman OBEB(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Bu, en büyük ortak bölenin temel özelliklerine ilişkin incelememizi tamamlıyor.
Referanslar.
- Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
- Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
- Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
- Kulikov L.Ya. ve diğerleri. Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.
İki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini nasıl bulacağınızı öğrenmek için doğal, asal ve karmaşık sayıların ne olduğunu anlamanız gerekir.
Doğal sayı, nesnelerin tamamını saymak için kullanılan herhangi bir sayıdır.
Bir doğal sayı yalnızca kendisine ve bire bölünebiliyorsa bu sayıya asal sayı denir.
Tüm doğal sayılar kendilerine ve bire bölünebilir, ancak tek çift sayı asal sayı 2'dir, diğerleri ikiye bölünebilir. Bu nedenle yalnızca tek sayılar asal olabilir.
Çok fazla asal sayı var tam liste onlar yok. GCD'yi bulmak için bu sayıların bulunduğu özel tabloların kullanılması uygundur.
Doğal sayıların çoğu yalnızca bir sayıya değil, diğer sayılara da bölünebilir. Yani örneğin 15 sayısı 3 ve 5'e bölünebilir. Bunların hepsine 15 sayısının bölenleri denir.
Dolayısıyla herhangi bir A'nın böleni, onun kalansız bölünebildiği sayıdır. Bir sayının ikiden fazlası varsa doğal bölenler, buna kompozit denir.
30 sayısının 1, 3, 5, 6, 15, 30 gibi bölenleri olabilir.
15 ve 30'un aynı bölenlere sahip olduğunu fark edeceksiniz: 1, 3, 5, 15. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 15'tir.
Yani A ve B sayılarının ortak böleni, tam olarak bölünebilecekleri sayıdır. En büyüğü maksimum olarak kabul edilebilir toplam sayı, bölünebilecekleri.
Sorunları çözmek için aşağıdaki kısaltılmış yazıt kullanılır:
GCD (A; B).
Örneğin, GCD (15; 30) = 30.
Bir doğal sayının tüm bölenlerini yazmak için şu gösterimi kullanın:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
İÇİNDE bu örnekte Doğal sayıların tek bir ortak çarpanı vardır. Göreceli olarak asal olarak adlandırılırlar, bu nedenle en büyük ortak bölenleri birliktir.
Sayıların en büyük ortak böleni nasıl bulunur?
Birkaç sayının gcd'sini bulmak için ihtiyacınız olan:
Her doğal sayının tüm bölenlerini ayrı ayrı bulun, yani bunları faktörlere (asal sayılar) ayırın;
Verilen sayıların tüm özdeş faktörlerini seçin;
Bunları birbiriyle çarpın.
Örneğin, 30 ve 56 sayılarının en büyük ortak bölenini hesaplamak için aşağıdakini yazarsınız:
Karışıklığı önlemek için faktörleri dikey sütunlar kullanarak yazmak uygundur. Çizginin sol tarafına temettüyü, sağ tarafa ise böleni yerleştirmeniz gerekir. Temettü altında ortaya çıkan bölümü belirtmelisiniz.
Yani sağ sütunda çözüm için gerekli tüm faktörler bulunacaktır.
Kolaylık sağlamak için aynı bölenlerin (bulunan faktörlerin) altı çizilebilir. Yeniden yazılmalı, çarpılmalı ve en büyük ortak bölen yazılmalıdır.
OBEB (30; 56) = 2 * 5 = 10
Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak aslında bu kadar kolaydır. Biraz pratik yaparsanız bunu neredeyse otomatik olarak yapabilirsiniz.
En büyük ortak bölen
Tanım 2
Eğer bir a doğal sayısı bir $b$ doğal sayısı ile bölünebiliyorsa, o zaman $b$'ye $a$'ın böleni denir ve $a$'a $b$'ın katı denir.
$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$ sayısının ortak böleni denir.
$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan ve aşağıdaki gösterimle gösterilen en büyük bölenin olduğu anlamına gelir:
$GCD\(a;b)\ veya \D\(a;b)$
İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için ihtiyacınız olan:
- 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
Örnek 1
$121$ ve $132.$ sayılarının gcd'sini bulun
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Bu sayıların genişletilmesine dahil olan sayıları seçin
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
$GCD=2\cdot 11=22$
Örnek 2
$63$ ve $81$ tek terimlilerinin gcd'sini bulun.
Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunu yapmak için:
Sayıları asal çarpanlarına ayıralım
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
2. adımda bulduğumuz sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenilen en büyük ortak bölen olacaktır.
$GCD=3\cdot 3=9$
İki sayının gcd'sini, bir dizi sayı bölen kullanarak başka bir şekilde bulabilirsiniz.
Örnek 3
$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.
Çözüm:
$48$ sayısının bölenleri kümesini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Şimdi $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) sayısının bölenleri kümesini bulalım $
Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu küme $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir. $. Bu kümedeki en büyük öğe $12$ sayısı olacaktır. Bu, $48$ ve $60$ sayılarının en büyük ortak böleninin $12$ olduğu anlamına gelir.
Takipteki kredilerin tanımı
Tanım 3
Doğal sayıların ortak katları$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.
Sayıların ortak katları, orijinal sayılara kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin, $25$ ve $50$ sayıları için ortak katlar, $50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.
En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılacak ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b).$ ile gösterilecektir.
İki sayının LCM'sini bulmak için yapmanız gerekenler:
- Sayıları asal çarpanlara ayırma
- Birinci sayının parçası olan çarpanları yazın ve bunlara ikincinin parçası olan ve birincinin parçası olmayan çarpanları ekleyin
Örnek 4
$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.
Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için
Sayıları asal çarpanlara ayırma
$99=3\cdot 3\cdot 11$
İlk maddede yer alan faktörleri yazınız.
bunlara birincinin parçası olmayan, ikincinin parçası olan çarpanları ekleyin
2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en küçük ortak kat olacaktır.
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sayıların bölenlerinin listesini derlemek genellikle çok emek yoğun bir iştir. Öklid algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.
Öklid algoritmasının dayandığı ifadeler:
$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, o zaman $D(a;b)=b$
$a$ ve $b$, $b olacak şekilde doğal sayılar ise
$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilecek bir sayı çiftine ulaşana kadar söz konusu sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.
GCD ve LCM'nin Özellikleri
- $a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak katı K$(a;b)$ ile bölünebilir
- Eğer $a\vdots b$ ise К$(a;b)=a$
Eğer K$(a;b)=k$ ve $m$ bir doğal sayı ise, o zaman K$(am;bm)=km$
Eğer $d$, $a$ ve $b$ için ortak bir bölen ise, o zaman K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Eğer $a\vdots c$ ve $b\vdots c$ ise, o zaman $\frac(ab)(c)$ $a$ ve $b$'ın ortak katıdır
Herhangi bir $a$ ve $b$ doğal sayısı için eşitlik geçerlidir
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
$a$ ve $b$ sayılarının herhangi bir ortak böleni, $D(a;b)$ sayısının bölenidir