Asal sayıların tanımı ve özellikleri. Asal doğal sayılar

Asal sayı, yalnızca kendisine ve bire bölünebilen doğal sayıdır.

Geriye kalan sayılara bileşik sayılar denir.

Asal doğal sayılar

Ama hepsi değil doğal sayılar asal sayılardır.

Asal doğal sayılar yalnızca kendilerine ve bire bölünebilen sayılardır.

Asal sayılara örnekler:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Asal Tam Sayılar

Buradan yalnızca doğal sayıların asal sayı olduğu sonucu çıkar.

Bu, asal sayıların zorunlu olarak doğal sayılar olduğu anlamına gelir.

Ancak tüm doğal sayılar aynı zamanda tamsayılardır.

Bu nedenle asal sayıların tümü tam sayıdır.

Asal sayılara örnekler:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Asal sayılar bile

Yalnızca tek bir çift asal sayı vardır; iki sayısı.

Diğer asal sayıların tümü tektir.

Neden ikiden büyük bir çift sayı asal sayı olamaz?

Ancak ikiden büyük herhangi bir çift sayı bire ve ikiye değil, kendine bölünebileceğinden, yani böyle bir sayının her zaman üç, hatta daha fazla böleni olacaktır.

İlya'nın cevabı doğru ama çok ayrıntılı değil. Bu arada, 18. yüzyılda bir sayı hâlâ asal sayı olarak kabul ediliyordu. Örneğin Euler ve Goldbach gibi büyük matematikçiler. Goldbach, milenyumun yedi probleminden biri olan Goldbach hipotezinin yazarıdır. Orijinal formülasyonda herhangi bir çift ​​sayı iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir. Üstelik başlangıçta asal sayı olarak 1 dikkate alınıyordu ve şunu görüyoruz: 2 = 1+1. Bu en küçük örnek, tatmin edici orijinal ifadeler hipotezler. Daha sonra düzeltildi ve ifade şu şekilde oldu: modern görünüm: “4 ile başlayan her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir.”

Tanımını hatırlayalım. Asal sayı, yalnızca 2 farklı değeri olan bir doğal sayı p'dir doğal bölen: p'nin kendisi ve 1. Tanımdan çıkan sonuç: p asal sayısının yalnızca bir asal böleni vardır - p'nin kendisi.

Şimdi 1'in asal sayı olduğunu varsayalım. Tanım gereği, bir asal sayının yalnızca bir asal böleni vardır; kendisi. Daha sonra, 1'den büyük herhangi bir asal sayının, kendisinden farklı bir asal sayıya (1'e) bölünebildiği ortaya çıktı. Ancak iki farklı asal sayı birbirine bölünemez çünkü aksi halde basit değiller, ama bileşik sayılar ve bu tanımla çelişiyor. Bu yaklaşımla, yalnızca 1 asal sayının olduğu ortaya çıkıyor - birimin kendisi. Ama bu çok saçma. Bu nedenle 1 asal sayı değildir.

1 ve 0, başka bir sayı sınıfını oluşturur; cebirsel alanın bazı alt kümelerindeki n'li işlemlere göre nötr elemanlar sınıfı. Ayrıca toplama işlemi açısından 1 aynı zamanda tamsayılar halkası için de üretici bir elemandır.

Bu düşünceyle asal sayıların diğer cebirsel yapılardaki benzerlerini keşfetmek zor değildir. 1: 2, 4, 8, 16 vb.'den başlayarak 2'nin kuvvetlerinden oluşan çarpımsal bir grubumuz olduğunu varsayalım. 2 burada biçimlendirici bir unsur görevi görüyor. Bu gruptaki asal sayı, en küçük elementten büyük olan ve yalnızca kendisine ve en küçük elemente bölünebilen sayıdır. Grubumuzda sadece 4 tanesinin bu özelliği var. Grubumuzda artık asal sayı yok.

Eğer 2 bizim grubumuzda da bir asal sayı olsaydı, o zaman ilk paragrafa bakın; yine sadece 2'nin asal sayı olduğu ortaya çıkar.

Doğal sayıların asal ve bileşik sayılara bölünmesi, eski Yunan matematikçi Pisagor'a atfedilir. Ve Pisagor'u takip ederseniz, doğal sayılar kümesi üç sınıfa ayrılabilir: (1) - bir sayıdan oluşan bir küme - bir; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – asal sayılar kümesi; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – bileşik sayılar kümesi.

İkinci set birçok farklı gizemi gizliyor. Ama önce asal sayının ne olduğunu bulalım. "Matematiksel" i açın ansiklopedik sözlük"(Yu. V. Prokhorov, yayınevi " Sovyet ansiklopedisi", 1988) ve şunu okuyun:

"Asal sayı pozitif bir tam sayıdır birden büyük kendisinden ve birinden başka böleni olmayan: 2,3,5,7,11,13,

Asal sayı kavramı, doğal sayıların bölünebilirliğiyle ilgili çalışmalarda temeldir; yani aritmetiğin temel teoremi, 1 dışındaki her pozitif tam sayının benzersiz bir şekilde asal sayıların bir çarpımına ayrıştırılabileceğini belirtir (faktörlerin sırası dikkate alınmaz). Sonsuz sayıda asal sayı vardır (Öklid teoremi adı verilen bu önerme, eski Yunan matematikçileri tarafından biliniyordu; bunun kanıtını Öklid'in Elementleri kitabının 9. kitabında bulabilirsiniz). P. Dirichlet (1837), aritmetik ilerlemede x = 1 için a + bx'in olduğunu tespit etti. ,2,c eş asal tamsayılar olan a ve b aynı zamanda sonsuz sayıda asal sayı içerir.

1'den x'e kadar asal sayıların bulunması 3. yüzyıldan beri bilinmektedir. M.Ö. e. Eratosthenes'in elek yöntemi. 1'den x'e kadar olan asal sayı dizisi (*) incelendiğinde, x arttıkça asal sayıların ortalama olarak daha nadir hale geldiği görülür. Bir dizi doğal sayının keyfi olarak uzun bölümleri vardır ve bunların arasında tek bir asal sayı yoktur (Teorem 4). Aynı zamanda farkı 2 olan (ikiz denilen) asal sayılar da vardır. Bu tür ikizlerin kümesinin sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu hala bilinmiyor (1987). İlk 11 milyon doğal sayı içindeki asal sayı tabloları çok büyük ikizlerin (örneğin 10.006.427 ve 10.006.429) varlığını göstermektedir.

Asal sayıların doğal sayı dizilerindeki dağılımını bulmak çok zordur. zor görev sayı teorisi. Asal sayıların sayısını aşmayan bir fonksiyonun asimptotik davranışının incelenmesi olarak formüle edilmiştir. pozitif sayı X. Öklid teoreminden ne zaman olduğu açıktır. L. Euler zeta fonksiyonunu 1737'de tanıttı.

Ayrıca şunu da kanıtladı:

Toplamanın tüm doğal sayılar üzerinde yapıldığı ve çarpımın tüm asal sayılar üzerinden alındığı yer. Bu özdeşlik ve onun genellemeleri asal sayıların dağılımı teorisinde temel bir rol oynar. Buna dayanarak L. Euler serinin ve çarpımın asal p'ye göre ıraksadığını kanıtladı. Üstelik L. Euler “çok” asal sayının olduğunu tespit etti çünkü

Ve aynı zamanda neredeyse tüm doğal sayılar bileşiktir, çünkü.

ve herhangi biri için (yani bir fonksiyon olarak büyüyen şey için). Kronolojik olarak Chebyshev teoremini geliştiren bir sonraki önemli sonuç sözde sonuçtur. asal sayıların asimptotik dağılım yasası (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), oranın sınırının 1'e eşit olduğunu belirtir. Daha sonra matematikçilerin asimtotiği açıklığa kavuşturmak için önemli çabaları yönlendirildi. asal sayıların dağılım kanunu. Asal sayıların dağılımı ile ilgili sorular inceleniyor ve temel yöntemler ve yöntemler matematiksel analiz».

Burada makalede verilen bazı teoremlerin kanıtını sunmak mantıklı olacaktır.

Lemma 1. Eğer OBEB(a, b)=1 ise, öyle x, y tam sayıları vardır ki.

Kanıt. a ve b göreli asal sayılar olsun. Z formunda temsil edilebilen tüm doğal sayıların J kümesini düşünün ve onu seçin en küçük sayı D.

a'nın d'ye bölünebileceğini kanıtlayalım. A'yı d'ye kalanla bölün: ve olsun. Bu nedenle, forma sahip olduğundan,

Bunu görüyoruz.

D'nin J'deki en küçük sayı olduğunu varsaydığımız için bir çelişkiyle karşı karşıyayız. Bu, a'nın d'ye bölünebileceği anlamına gelir.

Aynı şekilde b'nin d'ye bölünebileceğini kanıtlayalım. Yani d=1. Lemma kanıtlanmıştır.

Teorem 1. Eğer a ve b sayıları aralarında asalsa ve bx çarpımı a'ya bölünebiliyorsa, x, a'ya bölünebilir.

Kanıt1. ax'in b'ye bölünebildiğini ve gcd(a,b)=1 olduğunu, o zaman x'in b'ye bölünebildiğini kanıtlamamız gerekiyor.

Önerme 1'e göre öyle bir x, y vardır ki. O halde açıkça b'ye bölünebilir.

İspat 2. zc'nin b'ye bölünebildiği tüm z doğal sayılarından oluşan J kümesini düşünün. J'deki en küçük sayı d olsun. Bunu görmek kolaydır. Lemma 1'in ispatına benzer şekilde a'nın d'ye bölünebildiği ve b'nin de d'ye bölünebildiği kanıtlanmıştır.

Önerme 2. Eğer q,p1,p2,pn sayıları asalsa ve çarpım q'ya bölünebiliyorsa pi sayılarından biri q'ya eşittir.

Kanıt. Her şeyden önce, eğer p asal sayısı q'ya bölünüyorsa p=q olur. Bu, n=1 için lemma ifadesinin hemen ardından gelir. n=2 için, doğrudan Teorem 1'den şu sonuç çıkar: Eğer p1p2 bir q asal numarasına bölünebiliyorsa ve o zaman p2, q(yani)'ye bölünebilir.

n=3 için lemmayı aşağıdaki gibi kanıtlayacağız. p1 p2 p3'ün q'ya bölünmesine izin verin. Eğer p3 =q ise her şey kanıtlanmıştır. Eğer Teorem 1'e göre p1 p2 q'ya bölünebilirse. Böylece n=3 durumunu daha önce ele alınan n=2 durumuna indirgedik.

Aynı şekilde n=3'ten n=4'e, sonra n=5'e gidebiliriz ve genel olarak lemmanın n=k ifadesinin kanıtlandığını varsayarak bunu n=k+ için kolayca kanıtlayabiliriz. 1. Bu bizi lemmanın her n için doğru olduğuna ikna eder.

Aritmetiğin temel teoremi. Her doğal sayı aşağıdakilere ayrıştırılabilir: asal faktörler tek yol.

Kanıt. a sayısının asal çarpanlara iki ayrışımının olduğunu varsayalım:

Sağ taraf q1'e bölünebildiğine göre, o zaman sol taraf eşitlikler q1'e bölünebilir olmalıdır. Lemma 2'ye göre sayılardan biri q1'e eşittir. Eşitliğin her iki tarafını da q1 kadar azaltalım.

Aynı mantığı q2 için, sonra q3 ve qi için de uygulayalım. Sonunda sağdaki tüm faktörler birbirini götürecek ve 1 kalacak. Doğal olarak soldaki tek faktör kalmayacak. Bundan, iki genişlemenin yalnızca faktörlerin sırasına göre farklılık gösterebileceği sonucuna varıyoruz. Teorem kanıtlandı.

Öklid teoremi. Asal sayılar dizisi sonsuzdur.

Kanıt. Asal sayılar serisinin sonlu olduğunu ve son asal sayıyı N harfiyle gösterdiğimizi varsayalım. Çarpımı oluşturalım.

Buna 1 ekleyelim:

Bu sayı bir tam sayı olduğundan en az bir asal faktör içermeli, yani en az bir asal sayıya bölünebilir olmalıdır. Ancak tüm asal sayılar, varsayım gereği, N'yi aşmaz ve M+1 sayısı, kalanın 1 olduğu her durumda, N'den küçük veya N'ye eşit asal sayılardan herhangi birine kalan olmadan bölünemez. Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 4. Asal sayılar arasındaki bileşik sayıların bölümleri herhangi bir uzunlukta olabilir. Şimdi serinin ardışık n bileşik sayıdan oluştuğunu kanıtlayacağız.

Bu sayılar doğal seride birbirinin hemen ardından gelir, çünkü her bir sonraki sayı bir öncekinden 1 fazladır. Geriye hepsinin bileşik olduğunu kanıtlamak kalıyor.

İlk sayı

Çift, her iki terimi de 2'nin çarpanını içerdiğinden. Ve 2'den büyük her çift sayı bileşiktir.

İkinci sayı, her biri 3'ün katı olan iki terimden oluşur. Bu, bu sayının bileşik olduğu anlamına gelir.

Aynı şekilde bunu da tespit ediyoruz sonraki numara 4'ün katı vb. Yani serimizdeki her sayı, birlikten ve kendisinden farklı bir çarpanı içerir; bu nedenle bileşiktir. Teorem kanıtlandı.

Teoremlerin kanıtlarını inceledikten sonra makaleyi incelemeye devam ediyoruz. Metinde asal sayıları bulmanın bir yolu olarak Eratosthenes'in eleme yönteminden bahsediliyordu. Bu yöntemi aynı sözlükten okuyalım:

“Eratosthenes eleği, Eratosthenes tarafından geliştirilen ve doğal serilerden bileşik sayıları ayırmanıza olanak tanıyan bir yöntemdir. Eratosthenes eleğinin özü aşağıdaki gibidir. Birimin üzeri çizilmiştir. İki numara asaldır. 2'ye bölünebilen tüm doğal sayıların üzeri çizilir; 3 Numaranın üzeri çizili olmayan ilk sayı asal olacaktır. Daha sonra, 3'e bölünebilen tüm doğal sayıların üzeri çizilir. Bir sonraki çarpı işareti olmayan sayı olan 5 sayısı asal olacaktır. Benzer hesaplamalara devam ederek, bir asal sayı dizisinin keyfi olarak uzun bir bölümünü bulabilirsiniz. Eratosthenes Eleği teorik yöntem Sayı teorisi çalışması V. Brun (1919) tarafından geliştirilmiştir.

Burada en büyük sayışu anda basit olduğu bilinen:

Bu sayının yaklaşık yedi yüz ondalık basamağı vardır. Bu sayının asal olduğunun belirlendiği hesaplamalar modern bilgisayarlarda yapıldı.

“Riemann zeta fonksiyonu -fonksiyon, karmaşık bir değişkenin analitik bir fonksiyonudur, çünkü σ>1, yakınsak bir Dirichlet serisi tarafından mutlak ve düzgün bir şekilde belirlenir:

σ>1 için Euler çarpımı formundaki gösterim geçerlidir:

(2) p'nin tüm asal sayılardan geçtiği yer.

Seri (1) ve çarpım (2)'nin özdeşliği zeta fonksiyonunun temel özelliklerinden biridir. almanızı sağlar farklı oranlar zeta fonksiyonunu en önemli sayı-teorik fonksiyonlarla birleştiriyor. Bu nedenle zeta işlevi oynar büyük rol sayı teorisinde.

Zeta fonksiyonu, çarpımdaki (2) yerini belirten L. Euler (1737, yayın 1744) tarafından gerçek bir değişkenin fonksiyonu olarak tanıtıldı. Daha sonra zeta işlevi P. Dirichlet tarafından ve özellikle asal sayıların dağılım yasasının incelenmesiyle bağlantılı olarak P. L. Chebyshev tarafından başarıyla değerlendirildi. Ancak zeta fonksiyonunun en derin özellikleri, zeta fonksiyonunu ilk kez 1859'da karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak ele alan B. Riemann'ın çalışmasıyla keşfedildi; “”” ataması.

Ama şu soru ortaya çıkıyor: ne pratik uygulama Asal sayılarla ilgili tüm bu çalışmalar için var mı? Aslında bunların neredeyse hiçbir faydası yok ama asal sayıların ve özelliklerinin bugüne kadar kullanıldığı bir alan var. Bu kriptografidir. Burada asal sayılar şifreleme sistemlerinde anahtar aktarımı yapılmadan kullanılır.

Ne yazık ki asal sayılar hakkında bilinenlerin hepsi bu kadar. Hala birçok gizem kaldı. Örneğin iki kareyle temsil edilebilen asal sayılar kümesinin sonsuz olup olmadığı bilinmemektedir.

"ZOR PRIMLER".

Asal sayılarla ilgili bazı soruların cevabını bulmak için küçük bir araştırma yapmaya karar verdim. Öncelikle 1.000.000.000'dan küçük tüm ardışık asal sayıları üreten bir program derledim. Ayrıca girilen sayının asal olup olmadığını belirleyen bir program derledim. Asal sayıların problemlerini incelemek için asal sayının değerinin asal sayıya bağımlılığını gösteren bir grafik oluşturdum. seri numarası Gibi gelecek planı Araştırma için I. S. Zeltser ve B. A. Kordemsky'nin "Eğlenceli asal sayılar sürüsü" makalesini kullanmaya karar verdim. Yazarlar aşağıdaki araştırma yollarını belirlediler:

1. Doğal sayıların ilk bininde 168 basamak asal sayılardır. Bunlardan 16 sayı palindromiktir - her biri kendi tersine eşittir: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Yalnızca 1061 dört basamaklı asal sayı vardır ve bunların hiçbiri palindromik değildir.

Beş basamaklı birçok asal palindromik sayı vardır. Bunlar arasında şu güzellikler var: 13331, 15551, 16661, 19991. Şüphesiz şu türden sürüler var: ,. Fakat bu sürülerin her birinde kaç tane örnek var?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Görüldüğü gibi sayıların rakamları toplamı 3'e bölünebilir, dolayısıyla bu sayıların kendisi de 3'e bölünebilir.

Formdaki sayılara gelince, bunlar arasında asal sayılar 72227, 75557, 76667, 78887, 79997'dir.

2. İlk bin sayıda, ardışık asal sayılardan oluşan ve son rakamları 1, 3, 7, 9 dizisini oluşturan beş “dörtlü” vardır: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

N›3'ün n basamaklı asal sayıları arasında bu türden kaç tane dörtlü vardır?

Yazdığım programı kullanarak yazarların gözden kaçırdığı bir dörtlü bulundu: (479, 467, 463, 461) ve n = 4, 5, 6 için dörtlüler. n = 4 için 11 dörtlü var

3. Dokuz asal sayıdan oluşan bir sürü: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, yalnızca farkı 210 olan bir aritmetik ilerlemeyi temsil ettiği için değil, aynı zamanda dokuz asal sayıya sığabildiği için de çekicidir. hücreler yani ne oluşur sihirli kare iki asal sayının farkına eşit bir sabit ile: 3119 – 2:

Söz konusu ilerlemenin bir sonraki onuncu terimi olan 2089 da bir asal sayıdır. 199 sayısını sürüden çıkarırsanız ve 2089'u dahil ederseniz, o zaman bu kompozisyonda bile sürü sihirli bir kare oluşturabilir - aranacak bir konu.

Asal sayılardan oluşan başka sihirli karelerin de bulunduğunu belirtmek gerekir:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Önerilen kare ilginç çünkü

1. 7x7 sihirli bir karedir;

2. 5x5'lik bir sihirli kare içerir;

3. 5x5'lik sihirli kare, 3x3'lük bir sihirli kare içerir;

4. Tüm bu karelerin ortak bir merkezi numarası vardır - 3407;

5. 7x7 kare ucunda 7 rakamı bulunan 49 sayının tamamı;

6. 7x7'lik bir karenin içindeki 49 sayının tümü asal sayılardır;

7. 7x7'lik bir karenin içindeki 49 sayıdan her biri 30n + 17 olarak gösterilebilir.

Kullanılan programlar Dev-C++ programlama dilinde tarafımdan yazılmıştır ve metinlerini ekte veriyorum (.srr uzantılı dosyalara bakınız). Yukarıdakilerin hepsine ek olarak, ardışık doğal sayıları asal çarpanlara ayıran bir program (bkz. Bölenler 1.срр) ve sadece girilen sayıyı asal çarpanlara ayıran bir program (bkz. Bölenler 2.срр) yazdım. Bu programlar derlenmiş halde çok fazla yer kapladığından sadece metinleri verilmiştir. Ancak doğru programa sahip olan herkes bunları derleyebilir.

Asal Sayılar Problemine Katılan Bilim Adamlarının Biyografileri

ÖKLİDLER

(MÖ 330 civarı – MÖ 272 civarı)

Antik çağın en ünlü matematikçisinin hayatı hakkında çok az güvenilir bilgi korunmuştur. Platon'un okulu tarafından geliştirilen geometri konusundaki parlak ustalığını açıklayan Atina'da okuduğuna inanılıyor. Ancak görünüşe göre Aristoteles'in eserlerine aşina değildi. Kazandığı İskenderiye'de öğretmenlik yaptı çok takdir edildi onun pedagojik aktivite Ptolemy I Soter'in hükümdarlığı sırasında. Bu kralın kendisinden matematikte hızlı başarıya ulaşmanın bir yolunu bulmasını talep ettiğine dair bir efsane vardır ve Öklid buna geometride kraliyet yollarının olmadığını söyleyerek yanıt vermiştir (ancak benzer bir hikaye Menchem hakkında da anlatılır, kendisine ne olduğu iddia edilir). Büyük İskender'in de aynısı). Gelenek, Öklid'in hayırsever ve yardımsever anısını korumuştur. mütevazı insan. Öklid - üzerine incelemelerin yazarı çeşitli konular ancak adı esas olarak “İlkeler” adı verilen incelemelerden biriyle ilişkilidir. Kendisinden önce çalışan matematikçilerin (bunların en ünlüsü Koslu Hipokrat'tır) yaptığı ve genelleme yeteneği ve sıkı çalışması sayesinde sonuçlarını mükemmelliğe ulaştırdığı eserlerinden oluşan bir koleksiyon hakkındadır.

EULER LEONARD

(Basel, İsviçre 1707 – St. Petersburg 1783)

Matematikçi, mekanikçi ve fizikçi. Fakir bir papaz olan Paul Euler'in ailesinde doğdu. Eğitimini önce babasından, 1720-24'te ise Basel Üniversitesi'nde aldı ve burada I. Bernoulli'nin matematik derslerine katıldı.

1726'nın sonunda Euler, St. Petersburg Bilimler Akademisi'ne davet edildi ve Mayıs 1727'de St. Petersburg'a geldi. Yeni düzenlenen akademide Euler şunu buldu: uygun koşullarİçin bilimsel aktivite Bu onun hemen matematik ve mekanik okumaya başlamasına izin verdi. Euler, hayatının ilk St. Petersburg döneminin 14 yılı boyunca yaklaşık 80 eseri yayına hazırladı ve 50'den fazla eseri yayınladı. St. Petersburg'da Rus dili okudu.

Euler, St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin birçok faaliyet alanına katıldı. Öğrencilere ders verdi akademik üniversite, çeşitli etkinliklere katıldı teknik uzmanlık, Rusya haritalarının derlenmesi üzerinde çalıştı, halka açık "Aritmetik El Kitabı" nı (1738-40) yazdı. Akademiden gelen özel talimat üzerine Euler, “Deniz Bilimi”ni (1749) yayına hazırladı - temel çalışma gemi yapımı ve navigasyon teorisi üzerine.

1741'de Euler teklifi kabul etti Prusya kralı Frederick II, Bilimler Akademisi'nin yeniden düzenlenmesinin gerçekleşeceği Berlin'e taşınacak. Euler, Berlin Bilimler Akademisi'nde matematik sınıfı direktörlüğü ve yönetim kurulu üyeliği görevini üstlendi ve ilk başkanı P. Maupertuis'in ölümünden sonra birkaç yıl (1759'dan itibaren) akademiyi fiilen yönetti. Berlin'deki 25 yıllık yaşamı boyunca aralarında çok sayıda büyük monografinin de bulunduğu yaklaşık 300 eser hazırladı.

Euler, Berlin'de yaşarken St. Petersburg Bilimler Akademisi için yoğun bir şekilde çalışmayı bırakmadı ve onursal üye unvanını korudu. Kapsamlı bilimsel ve bilimsel-örgütsel yazışmalar yürüttü, özellikle çok değer verdiği M. Lomonosov ile yazıştı. Euler, Rus Akademisyenliği'nin matematik bölümünün editörlüğünü yaptı. bilimsel kuruluş Bu süre zarfında neredeyse Berlin Bilimler Akademisi'nin "Anıları"ndaki makale sayısı kadar makale yayınladı. Rus matematikçilerin eğitimine aktif olarak katıldı; Geleceğin akademisyenleri S. Kotelnikov, S. Rumovsky ve M. Sofronov, onun önderliğinde çalışmak üzere Berlin'e gönderildi. Euler, St. Petersburg Bilimler Akademisi'ne büyük yardım sağladı ve bunun için satın aldı. bilimsel literatür ve ekipman, akademideki pozisyonlar için adaylarla pazarlık yapmak vb.

17 Temmuz (28), 1766 Euler ve ailesi St. Petersburg'a döndü. İlerleyen yaşına ve neredeyse tamamen kör olmasına rağmen ömrünün sonuna kadar verimli bir şekilde çalıştı. St.Petersburg'da geçirdiği 17 yıl boyunca, aralarında birkaçının da bulunduğu yaklaşık 400 eser hazırladı. büyük kitaplar. Euler akademinin organizasyonel çalışmalarına katılmaya devam etti. 1776 yılında I. Kulibin tarafından önerilen Neva üzerindeki tek kemerli köprü projesinin uzmanlarından biriydi ve tüm komisyon içinde projeye geniş destek sağlayan tek kişiydi.

Büyük bir bilim adamı ve organizatör olarak Euler'in yararları bilimsel araştırma yaşamı boyunca büyük övgüler aldı. St.Petersburg ve Berlin akademilerinin yanı sıra en büyük akademilerin üyesiydi. bilimsel kurumlar: Paris Bilimler Akademisi, Londra Kraliyet Cemiyeti ve diğerleri.

Euler'in çalışmasının ayırt edici yönlerinden biri olağanüstü üretkenliğidir. Yalnızca yaşamı boyunca yaklaşık 550 kitabı ve makalesi yayımlandı (Euler'in eserlerinin listesi yaklaşık 850 başlık içermektedir). 1909'da İsviçre Doğa Bilimleri Topluluğu yayınlamaya başladı tam toplantı Euler'in 1975 yılında tamamlanan çalışmaları; 72 ciltten oluşmaktadır. Euler'in devasa bilimsel yazışmaları da (yaklaşık 3.000 mektup) büyük ilgi görüyor; şimdiye kadar yalnızca bir kısmı yayımlandı.

Euler'in faaliyet yelpazesi alışılmadık derecede genişti; çağdaş matematik ve mekaniğin tüm bölümlerini, esneklik teorisini, matematiksel fiziği, optik, müzik teorisini, makine teorisini, balistikleri, deniz bilimi, sigortacılık vb. Euler'in çalışmalarının yaklaşık 3/5'i matematikle ilgilidir, geri kalan 2/5'i ise esas olarak matematik uygulamalarıyla ilgilidir. Bilim adamı, kendi sonuçlarını ve başkaları tarafından elde edilenleri, şaşırtıcı bir netlikle yazılmış ve değerli örneklerle donatılmış bir dizi klasik monografide sistematize etti. Bunlar, örneğin, “Mekanik veya Hareket Bilimi, Analitik Olarak Açıklandı” (1736), “Analizlere Giriş” (1748), “Diferansiyel Hesap” (1755), “Hareket Teorisi”dir. sağlam"(1765), 6 dilde yaklaşık 30 baskıdan geçen "Universal Aritmetic" (1768–69), "Integral Calculus" (1768–94), vb. 18. yüzyılda. ve kısmen 19. yüzyılda. kamuya açık “Bazılarına yazılan, çeşitli fiziksel ve felsefi konulardaki mektuplar” Alman prensesi. "(1768–74), 10 dilde 40'ın üzerinde baskıdan geçmiştir. En Euler'in monografilerinin içeriği daha sonra yüksek öğrenim için eğitim kılavuzlarına dahil edildi ve kısmen lise. Euler'in hala kullanımda olan tüm teoremlerini, yöntemlerini ve formüllerini listelemek imkansızdır ve bunlardan sadece birkaçı literatürde onun adı altında yer almaktadır (örneğin, Euler'in kesikli çizgi yöntemi, Euler'in ikameleri, Euler sabiti, Euler denklemleri, Euler formülleri, Euler fonksiyonu, Euler sayıları, Euler formülü - Maclaurin, Euler-Fourier formülleri, Euler karakteristiği, Euler integralleri, Euler açıları].

Euler, Mekanik'te ilk olarak matematiksel analiz kullanarak bir noktanın dinamiğini özetledi: serbest hareket hem boşlukta hem de dirençli bir ortamda çeşitli kuvvetlerin etkisi altındaki noktalar; bir noktanın belirli bir çizgi veya yüzey boyunca hareketi; Merkezi kuvvetlerin etkisi altındaki hareket. 1744 yılında, en az etkinin mekanik prensibini ilk kez doğru bir şekilde formüle etti ve ilk uygulamalarını gösterdi. "Sert Cisim Hareketi Teorisi"nde Euler, katı bir cismin kinematiğini ve dinamiğini geliştirdi ve sabit bir nokta etrafında dönmesine ilişkin denklemleri vererek jiroskop teorisinin temelini attı. Euler, gemi teorisinde stabilite teorisine değerli katkılarda bulundu. Euler'in gök mekaniği (örneğin Ay'ın hareketi teorisi), mekanik alanındaki keşifleri süreklilik(temel hareket denklemleri ideal sıvı Euler formunda ve sözde. Lagrange değişkenleri, borulardaki gaz salınımları vb.). Optikte Euler (1747) bikonveks mercek formülünü verdi ve bir ortamın kırılma indisini hesaplamak için bir yöntem önerdi. Euler bağlı kaldı dalga teorisi Sveta. O buna inanıyordu farklı renkler karşılık gelmek farklı uzunluklarışık dalgaları. Euler, merceklerdeki renk sapmalarını ortadan kaldırmanın yollarını önerdi ve bir mikroskobun optik bileşenlerini hesaplamak için yöntemler verdi. Euler, 1748'de başlayan kapsamlı bir dizi çalışmayı şu konulara ayırdı: matematiksel fizik: Bir ipin, levhanın, zarın vb. titreşimiyle ilgili problemler. Tüm bu çalışmalar teorinin gelişimini teşvik etti diferansiyel denklemler, yaklaşık analiz yöntemleri, spesifikasyon. fonksiyonlar, diferansiyel geometri vb. matematiksel keşifler Euler'in fikirleri tam olarak bu çalışmalarda yer almaktadır.

Euler'in bir matematikçi olarak asıl işi matematiksel analizin geliştirilmesiydi. I. Newton, G. Leibniz ve Bernoulli kardeşlerin sonsuz küçük hesaplarında henüz gelişmemiş durumda olan veya tamamen bulunmayan çeşitli matematik disiplinlerinin temellerini attı. Böylece Euler, karmaşık bir argümanın fonksiyonlarını ortaya koyan ve karmaşık bir değişkenin temel temel fonksiyonlarının (üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar) özelliklerini araştıran ilk kişi oldu; özellikle aşağıdakileri birbirine bağlayan formüller türetmiştir: trigonometrik fonksiyonlar gösterici ile. Euler'in bu yöndeki çalışması karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinin temelini attı.

Euler, “Maksimum veya minimum özelliklere sahip eğri çizgileri bulma yöntemi” çalışmasında ana hatları verilen varyasyon hesabının yaratıcısıydı. "(1744). Euler'in 1744'te türettiği yöntem gerekli koşul Fonksiyonelin ekstremumu - Euler denklemi, 20. yüzyılın varyasyon hesabının doğrudan yöntemlerinin prototipiydi. Euler nasıl olduğunu yarattı bağımsız disiplin Adi diferansiyel denklemler teorisi ve kısmi diferansiyel denklemler teorisinin temelleri atıldı. Burada çok sayıda keşif yaptı: klasik çözme yöntemi doğrusal denklemlerİle sabit katsayılar, keyfi sabitlerin değişimi yöntemi, Riccati denkleminin temel özelliklerinin açıklanması, sonsuz seriler kullanılarak değişken katsayılı doğrusal denklemlerin entegrasyonu, kriterler özel çözümler, integral faktörü doktrini, çeşitli yaklaşık yöntemler ve kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için bir takım teknikler. Euler bu sonuçların önemli bir kısmını “İntegral Hesabı”nda topladı.

Euler ayrıca diferansiyeli zenginleştirdi ve integral hesabı V dar anlamda kelimeler (örneğin, değişkenlerin değişimi doktrini, homojen fonksiyonlarla ilgili teorem, kavram çift ​​katlı integral ve birçok özel integralin hesaplanması). İÇİNDE " Diferansiyel hesap"Euler, ıraksak serilerin kullanılmasının tavsiye edilebilirliğine olan inancını ifade etti ve örneklerle destekledi ve serilerin genelleştirilmiş toplamı için önerilen yöntemler, ıraksak serilerin modern katı teorisinin fikirlerini önceden tahmin ederek oluşturuldu. 19. yüzyılın başı ve 20. yüzyıl Ayrıca Euler seri teorisinde birçok somut sonuç elde etti. Sözdeyi keşfetti. Euler-Maclaurin toplama formülü, kendi adını taşıyan serilerin dönüşümünü önerdi, çok sayıda serinin toplamlarını belirledi ve matematiğe yenilerini kazandırdı. önemli türler satırlar (örneğin, trigonometrik seri). Bu aynı zamanda Euler'in sürekli kesirler ve diğer sonsuz süreçler teorisi üzerine araştırmasını da içermektedir.

Euler teorinin kurucusudur özel fonksiyonlar. Sinüs ve kosinüsü bir dairenin parçaları olarak değil, fonksiyonlar olarak düşünen ilk kişi oydu. Temel fonksiyonların neredeyse tüm klasik açılımlarını sonsuz serilere ve çarpımlara elde etti. Çalışmaları γ fonksiyonu teorisini yarattı. Eliptik integrallerin özelliklerini, hiperbolik ve silindirik fonksiyonları, ζ fonksiyonunu, bazı θ fonksiyonlarını, integral logaritmasını ve özel polinomların önemli sınıflarını araştırdı.

P. Chebyshev'e göre Euler, onu oluşturan tüm araştırmaların temelini attı. ortak kısım sayı teorisi. Böylece Euler, P. Fermat'ın yaptığı bir dizi ifadeyi (örneğin, Fermat'ın küçük teoremi) kanıtladı, güç kalıntıları teorisinin ve teorinin temellerini geliştirdi. ikinci dereceden formlar, ikinci dereceden karşılıklılık yasasını keşfetti (ancak kanıtlayamadı) ve Diophantine analizindeki bir dizi sorunu araştırdı. Sayıların terimlere bölünmesi ve asal sayılar teorisi üzerine yaptığı çalışmalarda, analiz yöntemlerini ilk kullanan Euler oldu ve böylece analitik sayılar teorisinin yaratıcısı oldu. Özellikle ζ fonksiyonunu tanıttı ve sözde ispatladı. Asal sayıları tüm doğal sayılarla birleştiren Euler kimliği.

Euler matematiğin diğer alanlarında da büyük başarılar elde etti. Cebirde köklü denklemlerin çözümü üzerine çalışmalar yazdı. daha yüksek dereceler ve iki bilinmeyenli denklemlerin yanı sıra sözde. Euler'in dört kare özdeşliği. Euler önemli ilerleme kaydetti analitik geometriözellikle ikinci dereceden yüzeyler doktrini. Diferansiyel geometride özellikleri ayrıntılı olarak inceledi. jeodezik çizgiler, ilk kez kullanıldı doğal denklemler eğriler ve en önemlisi yüzeyler teorisinin temellerini attı. Bir yüzey üzerindeki bir noktada temel yönler kavramını ortaya attı, bunların dikliklerini kanıtladı, herhangi bir normal kesitin eğriliği için bir formül türetti, geliştirilebilir yüzeyler üzerinde çalışmaya başladı vb.; Ölümünden sonra yayınlanan bir çalışmasında (1862), K. Gauss'un yüzeylerin iç geometrisi üzerine araştırmasını kısmen öngörmüştü. Euler okudu ve ayrı konular topoloji ve kanıtlandı, örneğin, önemli teorem O dışbükey çokyüzlüler. Matematikçi Euler genellikle parlak bir "hesap makinesi" olarak nitelendirilir. Gerçekten de öyleydi eşsiz usta eserlerinde biçimsel hesaplamalar ve dönüşümler çoktur. matematiksel formüller ve sembolizm modern bir görünüm kazandı (örneğin, e ve π notasyonlarına sahiptir). Bununla birlikte Euler, bilime artık kesin olarak kanıtlanmış ve araştırma konusuna nüfuz etme derinliğinin bir örneği olarak hizmet eden bir dizi derin fikri de tanıttı.

P. Laplace'a göre Euler, ikinci yüzyılın matematikçilerinin öğretmeniydi. XVIII'in yarısı V.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, şimdiki Almanya, 1805 - Göttingen, age, 1859)

Paris'te okudu, desteklendi dostane ilişkilerİle seçkin matematikçilerözellikle Fourier ile. Alındıktan sonra bilimsel derece Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) ve Göttingen üniversitelerinde profesördü ve bilim adamı Carl Friedrich Gauss'un ölümünden sonra matematik bölümünün başına geçti. Onun en olağanüstü katkı Bilimde sayı teorisi, öncelikle serilerin incelenmesi ile ilgilidir. Bu onun Fourier tarafından önerilen seriler teorisini geliştirmesine olanak sağladı. Oluşturuldu kendi versiyonu Fermat teoreminin kanıtı, çözmek için analitik fonksiyonlar kullanıldı aritmetik problemler ve seriler için yakınsama kriterlerini tanıttı. Matematiksel analiz alanında fonksiyonun tanımını ve kavramını geliştirdi. teorik mekanik Sistemlerin kararlılığının incelenmesine ve Newton'un potansiyel kavramına odaklandı.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Rus matematikçi, St. Petersburg'un yaratıcısı bilimsel okul, St. Petersburg Bilimler Akademisi akademisyeni (1856). Chebyshev'in çalışmaları matematiğin birçok yeni dalının gelişiminin temelini attı.

Chebyshev'in en çok sayıda eseri matematiksel analiz alanındaydı. Özellikle, Chebyshev'in bazılarının entegre edilebilirliğini araştırdığı ders verme hakkı üzerine bir tez ona ithaf edildi. irrasyonel ifadeler Cebirsel fonksiyonlar ve logaritmalarda. Chebyshev ayrıca cebirsel fonksiyonların entegrasyonuna bir dizi başka çalışma da ayırdı. Bunlardan birinde (1853), integrallenebilirlik koşulları hakkında iyi bilinen bir teorem elde edildi. temel işlevler diferansiyel binom. Önemli yön Matematiksel analiz üzerine yaptığı araştırmalar inşaat üzerine yaptığı çalışmalardan oluşmaktadır. genel teori ortogonal polinomlar. Yaratılışının nedeni, yöntemi kullanan parabolik enterpolasyondu. en küçük kareler. Chebyshev'in momentler sorunu ve karesel formüller üzerine araştırması da aynı fikir yelpazesine bitişiktir. Hesaplamaları azaltmak amacıyla Chebyshev (1873), kareleme formüllerini dikkate almayı önerdi. eşit oranlar(yaklaşık entegrasyon). Kareleme formülleri ve enterpolasyon teorisi üzerine yapılan araştırmalar, askeri bilim komitesinin topçu bölümünde Chebyshev'e verilen görevlerle yakından ilgiliydi.

Olasılık teorisinde Chebyshev'in sistematik olarak ortaya attığı rastgele değişkenler ve olasılık teorisinde limit teoremlerini kanıtlamak için yeni bir tekniğin yaratılması - sözde. momentler yöntemi (1845, 1846, 1867, 1887). Kanıtladılar büyük sayılar kanun çok genel biçim; Dahası, kanıtı basitliği ve temelliği açısından dikkat çekicidir. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının dağılım fonksiyonlarının yakınsaması için koşulların incelenmesi normal hukuk Chebyshev bunu tam olarak tamamlamadı. Ancak A. A. Markov, Chebyshev'in yöntemlerine bazı eklemeler yaparak bunu başardı. Chebyshev, kesin bir sonuca varmadan, bu konuyu açıklığa kavuşturma olasılığının da altını çizdi. limit teoremi n=1/2 kuvvetleri cinsinden bağımsız terimlerin toplamının dağılım fonksiyonunun asimptotik açılımları şeklinde; burada n, terim sayısıdır. Chebyshev'in olasılık teorisi üzerine çalışmaları şu kadardır: önemli aşama gelişiminde; Ayrıca bunlar, başlangıçta Chebyshev'in doğrudan öğrencilerinden oluşan Rus olasılık teorisi ekolünün üzerinde büyüdüğü temeldi.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Aşağı Saksonya, 1826 - Selaska, Intra yakınında, İtalya 66)

Alman matematikçi. 1846'da Göttingen Üniversitesi'ne girdi: Fikirlerinin çoğunu daha sonra kendisi geliştiren K. Gauss'un derslerini dinledi. 1847-49'da derslere katıldı. Berlin Üniversitesi; 1849'da Göttingen'e döndü ve burada Gauss'un işbirlikçisi fizikçi W. Weber ile yakınlaştı. Weber, matematik biliminin sorularına karşı onda derin bir ilgi uyandırdı.

1851'de "Tek Karmaşık Değişkenli Fonksiyonların Genel Teorisinin Temelleri" adlı doktora tezini savundu. 1854'ten itibaren özel yardımcı doçentti ve 1857'den itibaren Göttingen Üniversitesi'nde profesördü.

Riemann'ın çalışmasının matematiğin gelişimi üzerinde büyük etkisi oldu. 19. yüzyılın yarısı V. ve 20. yüzyılda. Doktora tezinde Riemann teorinin geometrik yönünün temelini attı analitik fonksiyonlar; çok değerli fonksiyonların incelenmesinde önemli olan Riemann yüzeyleri olarak adlandırılan yüzeyleri tanıttı, konformal haritalama teorisini geliştirdi ve bununla bağlantılı olarak topolojinin temel fikirlerini verdi, analitik fonksiyonların varoluş koşullarını inceledi. iç alanlar çeşitli türler(sözde Dirichlet ilkesi), vb. Riemann tarafından geliştirilen yöntemler, cebirsel fonksiyonlar ve integraller teorisi, diferansiyel denklemlerin analitik teorisi (özellikle hipergeometrik fonksiyonları tanımlayan denklemler) üzerine daha sonraki çalışmalarında yaygın olarak kullanıldı. analitik sayı teorisi (örneğin, Riemann, asal sayıların dağılımı ile ζ fonksiyonunun özellikleri arasındaki bağlantıyı, özellikle de sıfırlarının karmaşık bölgedeki dağılımıyla - geçerliliği Riemann hipotezi olarak adlandırılan) gösterdi. henüz kanıtlanmamıştır), vb.

Bir dizi çalışmada Riemann, fonksiyonların trigonometrik serilere ayrıştırılabilirliğini araştırdı ve bununla bağlantılı olarak gerekli ve yeterli koşullar Gerçek değişkenli kümeler ve fonksiyonlar teorisi için önemli olan Riemann anlamında integrallenebilirlik. Riemann ayrıca kısmi diferansiyel denklemlerin entegrasyonu için yöntemler de önerdi (örneğin, Riemann değişmezleri ve Riemann fonksiyonu kullanılarak).

Riemann, 1854 tarihli ünlü "Geometrinin Altında Yatan Hipotezler Üzerine" (1867) dersinde, fonksiyonel ve topolojik uzaylar dahil olmak üzere matematiksel uzay (kendi deyimiyle "manifoldlar") hakkında genel bir fikir verdi. Burada geometriyi ele aldı geniş anlamda sürekli n boyutlu manifoldlar doktrini olarak, yani herhangi bir şeyin koleksiyonları olarak homojen nesneler ve Gauss'un sonuçlarının yüzeyin iç geometrisine genelleştirilmesi, şunu verdi: genel konsept doğrusal eleman (manifoldun noktaları arasındaki mesafenin farkı), böylece Finsler uzayları olarak adlandırılan şeyi tanımlar. Daha ayrıntılı olarak Riemann, Öklid, Lobaçevski ve Riemann eliptik geometrisinin uzaylarını genelleştirerek sözde Riemann uzaylarını inceledi. özel tip doğrusal eleman ve eğrilik doktrinini geliştirdi. Fikirlerinin fiziksel uzaya uygulanmasını tartışan Riemann, sanki genel görelilik teorisinde yapılanları önceden tahmin ediyormuş gibi, bunun "metrik özelliklerinin nedenleri" sorusunu gündeme getirdi.

Riemann'ın önerdiği fikirler ve yöntemler matematiğin gelişiminde yeni yollar açtı ve mekanikte ve genel görelilik teorisinde uygulama buldu. Bilim adamı 1866'da tüberkülozdan öldü.

• Çeviri

Asal sayıların özellikleri ilk kez matematikçiler tarafından incelenmiştir. Antik Yunanistan. Pisagor okulunun (MÖ 500 - 300) matematikçileri öncelikle asal sayıların mistik ve numerolojik özellikleriyle ilgileniyorlardı. Mükemmel ve dost sayılar hakkında ilk fikirleri ortaya atanlar onlardı.

Mükemmel bir sayının kendi bölenlerinin toplamı kendisine eşittir. Örneğin 6 sayısının gerçek bölenleri 1, 2 ve 3'tür. 1 + 2 + 3 = 6. 28 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14'tür. Üstelik 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bir sayının uygun bölenlerinin toplamı diğerine eşitse ve bunun tersi de geçerliyse sayılara dost denir - örneğin 220 ve 284. Mükemmel bir sayının kendisine dost olduğunu söyleyebiliriz.

Öklid'in Elementleri M.Ö. 300'de ortaya çıktı. birçoğu zaten kanıtlanmış önemli gerçekler asal sayılar ile ilgili Elementlerin IX. Kitabında Öklid asal sayıların olduğunu kanıtladı. sonsuz sayı. Bu arada bu, çelişki yoluyla kanıtın kullanılmasının ilk örneklerinden biridir. Ayrıca Aritmetiğin Temel Teoremini de kanıtlıyor: Her tam sayı, asal sayıların bir çarpımı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Ayrıca 2n-1 sayısının asal olması durumunda 2n-1 * (2n-1) sayısının mükemmel olacağını da gösterdi. Başka bir matematikçi olan Euler, 1747'de her şeyin eşit olduğunu göstermeyi başardı. mükemmel sayılar bu formda yazılabilir. Bugüne kadar tek mükemmel sayıların var olup olmadığı bilinmiyor.

MÖ 200 yılında. Yunan Eratosthenes, asal sayıları bulmak için Eratosthenes Kalburu adı verilen bir algoritma geliştirdi.

Ve sonra asal sayılara ilişkin araştırmaların tarihinde Orta Çağ'la bağlantılı olarak büyük bir kırılma yaşandı.

Aşağıdaki keşifler 17. yüzyılın başında matematikçi Fermat tarafından yapılmıştır. Albert Girard'ın 4n+1 formundaki herhangi bir asal sayının iki karenin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde yazılabileceği varsayımını kanıtladı ve ayrıca herhangi bir sayının dört karenin toplamı olarak yazılabileceği teoremini formüle etti.

O geliştirdi yeni yöntem büyük sayıları çarpanlara ayırmayı başardı ve bunu 2027651281 = 44021 × 46061 sayısı üzerinde gösterdi. Ayrıca Fermat'ın Küçük Teoremini de kanıtladı: eğer p bir asal sayıysa, o zaman herhangi bir a tamsayısı için a p = a modulo p olduğu doğru olacaktır.

Bu ifade "" olarak bilinen şeyin yarısını kanıtlıyor. Çin hipotezi" ve 2000 yıl öncesine dayanır: bir n tamsayısı, ancak ve ancak 2 n -2'nin n'ye bölünebilmesi durumunda asaldır. Hipotezin ikinci kısmının yanlış olduğu ortaya çıktı - örneğin 2,341 - 2, 341'e bölünebilir, ancak 341 sayısı bileşiktir: 341 = 31 × 11.

Fermat'ın Küçük Teoremi, sayı teorisindeki diğer birçok sonuca ve sayıların asal olup olmadığını test etmeye yönelik yöntemlere temel oluşturdu; bunların çoğu bugün hala kullanılmaktadır.

Fermat çağdaşlarıyla, özellikle de Maren Mersenne adlı bir keşişle çokça yazışıyordu. Mektuplarından birinde, n'nin ikinin kuvveti olması durumunda 2 n +1 formundaki sayıların her zaman asal olacağını varsaydı. Bunu n = 1, 2, 4, 8 ve 16 için test etti ve n'nin ikinin katı olmaması durumunda sayının mutlaka asal olmayacağından emindi. Bu sayılara Fermat sayıları denir ve yalnızca 100 yıl sonra Euler, bir sonraki sayı olan 2 32 + 1 = 4294967297'nin 641'e bölünebileceğini ve bu nedenle asal olmadığını gösterdi.

2 n - 1 formundaki sayılar da araştırmanın konusu olmuştur, çünkü n bileşik ise sayının kendisinin de bileşik olduğunu göstermek kolaydır. Bu sayılara Mersenne sayıları deniyor çünkü kendisi bu sayıları kapsamlı bir şekilde incelemiş.

Ancak n'nin asal olduğu 2 n - 1 formundaki sayıların tümü asal değildir. Örneğin, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Bu ilk kez 1536'da keşfedildi.

Uzun yıllar boyunca bu tür sayılar matematikçilere bilinen en büyük asal sayıları sağladı. M 19'un 1588'de Cataldi tarafından kanıtlandığı ve Euler'in M 31'in de asal olduğunu kanıtlamasına kadar 200 yıl boyunca bilinen en büyük asal sayı olduğu ortaya çıktı. Bu kayıt bir yüz yıl daha devam etti ve ardından Lucas, M 127'nin asal olduğunu gösterdi (ve bu zaten 39 basamaklı bir sayıdır) ve bundan sonra araştırmalar bilgisayarların gelişiyle devam etti.

1952 yılında M 521, M 607, M 1279, M 2203 ve M 2281 sayılarının asallığı kanıtlandı.

2005 yılına gelindiğinde 42 Mersenne asal sayısı bulunmuştu. Bunlardan en büyüğü M 25964951, 7816230 rakamdan oluşuyor.

Euler'in çalışmasının asal sayılar da dahil olmak üzere sayılar teorisi üzerinde büyük etkisi oldu. Fermat'ın Küçük Teoremini genişletti ve φ fonksiyonunu tanıttı. 5. Fermat sayısı 2 32 +1'i çarpanlara ayırdı, 60 çift dost sayı buldu ve ikinci dereceden karşılıklılık yasasını formüle etti (ancak kanıtlayamadı).

Matematiksel analiz yöntemlerini tanıtan ve geliştiren ilk kişi oydu. analitik teori sayılar. Sadece ∑ (1/n) harmonik serisinin değil, aynı zamanda formdaki bir serinin de olduğunu kanıtladı.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Asal sayıların tersinin toplamı ile elde edilen sonuç da ıraksaktır. N terimin toplamı harmonik serisi yaklaşık olarak log(n) kadar büyür ve ikinci satır log[ log(n)] kadar daha yavaş ıraksar. Bu, örneğin bugüne kadar bulunan tüm asal sayıların karşılıklarının toplamının, seri hala farklı olsa da, yalnızca 4 vereceği anlamına gelir.

İlk bakışta asal sayıların tam sayılar arasında oldukça rastgele dağıldığı görülmektedir. Örneğin, 10000000'den hemen önceki 100 sayıdan 9'u asal sayıdır ve bu değerden hemen sonraki 100 sayıdan yalnızca 2 tanesi vardır. Ancak büyük dilimlerde asal sayılar oldukça eşit bir şekilde dağılmıştır. Legendre ve Gauss bunların dağılımıyla ilgili konuları ele aldılar. Gauss bir keresinde bir arkadaşına herhangi bir boş 15 dakika içinde her zaman sonraki 1000 sayıdaki asal sayıları saydığını söylemişti. Hayatının sonuna gelindiğinde 3 milyona kadar olan tüm asal sayıları saymıştı. Legendre ve Gauss, büyük n için asal yoğunluğun 1/log(n) olduğunu eşit şekilde hesapladı. Legendre, 1'den n'ye kadar olan aralıktaki asal sayıların sayısını şu şekilde tahmin etti:

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Ve Gauss logaritmik bir integral gibidir

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2'den n'ye kadar bir entegrasyon aralığı ile.

1/log(n) asal sayılarının yoğunluğu hakkındaki ifade, Asal Dağılım Teoremi olarak bilinir. 19. yüzyıl boyunca bunu kanıtlamaya çalıştılar ve ilerleme Chebyshev ve Riemann tarafından sağlandı. Bunu, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının dağılımı hakkında henüz kanıtlanmamış bir hipotez olan Riemann hipoteziyle ilişkilendirdiler. Asal sayıların yoğunluğu 1896'da Hadamard ve Vallée-Poussin tarafından eşzamanlı olarak kanıtlandı.

Asal sayılar teorisinde hala çözülmemiş birçok soru var ve bunların bazıları yüzlerce yıllık:

• İkiz asal hipotezi birbirinden 2 kat farklı olan sonsuz sayıda asal sayı çiftiyle ilgilidir.
• Goldbach varsayımı: 4 ile başlayan herhangi bir çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir
• n 2 + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• n 2 ile (n + 1) 2 arasında bir asal sayı bulmak her zaman mümkün müdür? (n ile 2n arasında her zaman bir asal sayının olduğu gerçeği Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır)
• Fermat asallarının sayısı sonsuz mudur? 4'ten sonra Fermat asal sayıları var mı?
• var mı aritmetik ilerleme herhangi bir ardışık asal sayının Verilen uzunluk? örneğin uzunluk 4 için: 251, 257, 263, 269. Bulunan maksimum uzunluk 26'dır.
• Aritmetik bir ilerlemede ardışık üç asal sayının sonsuz sayıda kümesi var mıdır?
• n 2 - n + 41, 0 ≤ n ≤ 40 için bir asal sayıdır. Böyle asal sayılardan sonsuz sayıda var mıdır? Aynı soru n 2 - 79 n + 1601 formülü için de geçerlidir. Bu sayılar 0 ≤ n ≤ 79 için asaldır.
• N# + 1 formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? (n#, n'den küçük tüm asal sayıların çarpılmasının sonucudur)
• n# -1 biçiminde sonsuz sayıda asal sayı var mıdır?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? +1?
• N formunda sonsuz sayıda asal sayı var mıdır? – 1?
• eğer p asalsa, 2 p -1'in çarpanları arasında her zaman asal kareler bulunmaz mı?
• Fibonacci dizisi sonsuz sayıda asal sayı içeriyor mu?

En büyük ikiz asal sayılar 2003663613 × 2 195000 ± 1'dir. 58711 rakamdan oluşurlar ve 2007 yılında keşfedilmişlerdir.

En büyük faktöriyel asal sayı (n! ± 1 tipinde) 147855'tir! - 1. 142891 rakamdan oluşur ve 2002 yılında bulunmuştur.

En büyük ilkel asal sayı (n# ± 1 formundaki bir sayı) 1098133# + 1'dir.