Harmonik serilerin kısmi toplamları neden eşit? Aptallar için satırlar



Planı:

    giriiş
  • 1 Serinin ilk n teriminin toplamı
    • 1.1 Bazı kısmi toplam değerleri
    • 1.2 Euler formülü
    • 1.3 Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri
  • 2 Serilerin yakınsaklığı
    • 2.1 Oresme'nin kanıtı
    • 2.2 Farklılığın alternatif kanıtı
  • 3 Kısmi toplamlar
  • 4 Bağlantılı satır
    • 4.1 Dirichlet serisi
    • 4.2 Alternatif seri
    • 4.3 Rastgele harmonik seri
    • 4.4 “İnceltilmiş” harmonik seriler
    • Notlar

giriiş

Matematikte harmonik bir seri, doğal serinin ardışık sayılarının karşılıklıları olan sonsuz sayıda terimden oluşan bir toplamdır:

.

Dizinin adı verildi harmonik, çünkü ikincisinden başlayarak terimlerinin her biri iki komşu terimin harmonik ortalamasıdır.


1. Serinin ilk n teriminin toplamı

Serinin bireysel üyeleri sıfır olma eğilimindedir ancak toplamları ıraksamaktadır. Bir harmonik serinin n'inci kısmi toplamı sn, n'inci harmonik sayıdır:

1.1. Bazı kısmi toplam değerleri

1.2. Euler'in formülü

1740 yılında L. Euler serinin ilk n teriminin toplamı için asimptotik bir ifade elde etti:

,

Euler-Mascheroni sabiti nerede ve ln doğal logaritmadır.

Dolayısıyla değer büyük n için olduğunda:

- Harmonik serinin ilk n teriminin toplamı için Euler formülü.

1.3. Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri

2. Serinin yakınsaklığı

en

Harmonik seri çok yavaş ıraksar (kısmi toplamın 100'ü aşması için serinin yaklaşık 1043 elemanına ihtiyaç vardır).

Harmonik serinin ıraksaması teleskopik seriyle karşılaştırılarak gösterilebilir:

,

kısmi toplamı açıkça şuna eşittir:

.

2.1. Oresme'nin kanıtı

Farklılığın kanıtı, terimlerin aşağıdaki gibi gruplandırılmasıyla oluşturulabilir:


Son sıra açıkça farklılaşıyor. Bu kanıt ortaçağ bilim adamı Nicholas Orem'den (c. 1350) geliyor.


2.2. Farklılığın alternatif kanıtı

Harmonik serinin toplama yakınsadığını varsayalım:

Daha sonra kesirleri yeniden düzenlediğimizde şunu elde ederiz:

İkinci parantezden çıkaralım:

İkinci braketi şununla değiştirin:

Sol tarafa taşıyalım:

Serinin toplamını yerine koyalım:

Bu denklem açıkça yanlıştır, çünkü bir yarımdan büyüktür, üçte biri dörtte birden büyüktür, vb. Dolayısıyla serinin yakınsaklığına ilişkin varsayımımız yanlıştır ve seri ıraksaktır.

0'a eşit değil çünkü parantezlerin her biri pozitiftir.

Bu, S'nin sonsuz olduğu ve onu eşitliğin her iki tarafına ekleme veya çıkarma işlemlerimizin kabul edilemez olduğu anlamına gelir.


3. Kısmi tutarlar

N harmonik serinin kısmi toplamı,

isminde N-th harmonik numarası.

Arasındaki fark N Harmonik sayı ve doğal logaritma N Euler-Mascheroni sabitine yakınsar.

Farklı harmonik sayılar arasındaki fark hiçbir zaman bir tam sayıya eşit değildir ve hiçbir harmonik sayıya eşit değildir. H 1 = 1 bir tam sayı değildir.


4. Bağlantılı satırlar

4.1. Dirichlet serisi

Genelleştirilmiş bir harmonik seri (veya Dirichlet serisi) bir seridir

.

Genelleştirilmiş harmonik seri α≤1 için ıraksar ve α>1 için yakınsar.

α düzeyindeki genelleştirilmiş harmonik serilerin toplamı, Riemann zeta fonksiyonunun değerine eşittir:

Çift sayılar için bu değer açıkça pi sayısıyla ifade edilir, örneğin α=3 için değeri analitik olarak bilinmemektedir.


4.2. Alternatif seri

Alternatif harmonik serinin (siyah bölümler) ilk 14 kısmi toplamı, 2'nin doğal logaritmasına (kırmızı çizgi) yakınsamayı gösterir.

Tüm terimlerin “+” işaretiyle alındığı harmonik serilerden farklı olarak seri

Leibniz testine göre yakınsar. Bu nedenle böyle bir dizi olduğunu söylüyorlar. koşullu yakınsama. Toplamı 2'nin doğal logaritmasına eşittir:

Bu formül Mercator Serisinin özel bir durumudur ( İngilizce), doğal logaritma için Taylor serisi.

Arktanjant için Taylor serisinden benzer bir seri elde edilebilir:

Buna Leibniz serisi denir.


4.3. Rastgele harmonik seri

Alberta Üniversitesi'nden Biron Shmuland rastgele bir serinin özelliklerini inceledi

Nerede S N½ olasılıkla aynı olasılıkla +1 ve −1 değerlerini alan bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenler. Bu toplamın 1 olasılığa sahip olduğu ve serinin toplamının ilginç özelliklere sahip bir rastgele değişken olduğu gösterilmiştir. Örneğin, +2 veya −2 noktalarında hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ... değerine sahiptir ve 10 −42'den daha az farklılık gösterir. Shmuland'ın makalesi bu değerin neden 1/8'e yakın olduğunu ancak ona eşit olmadığını açıklıyor.


4.4. “İnceltilmiş” harmonik seriler

Kempner serisi ( İngilizce)

Paydaları 9 sayısını içermeyen yalnızca terimlerin kaldığı bir harmonik seriyi düşünürsek, kalan toplamın sayıya yakınlaştığı ortaya çıkar.<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. Sayı serisi ve toplamı

Tanım 1. Bir sayı dizisi verilsin. Bir ifade oluşturalım

(1)

buna denir sayı serisi. Sayılar denir bir numaranın üyeleri ve ifade
ortak üye sıra .

Örnek 1. Serinin ortak terimini bulun
.

en
,

en

Serinin ortak teriminin olduğunu görmek kolaydır. .

Bu nedenle gerekli seriler aşağıdaki gibi yazılabilir.

.

Bu şekilde (1) serisinin terimlerinden bir dizi oluşturalım :

;

;

;

Bu dizinin her üyesi, sayı serisinin ilk üyelerinin karşılık gelen sayısının toplamını temsil eder.

Tanım 2.İlkinin toplamı N(1) serisinin üyeleri denir N -inci kısmi tutar sayı serisi .

Tanım 3. Sayı serisi isminde yakınsak, Eğer
, sayı nerede isminde serinin toplamı ve yaz
. Eğer

kısmi toplamların limiti sonsuzsa veya mevcut değilse seriye denir farklı.

Örnek 2. Yakınsama için seriyi kontrol edin
.

Hesaplamak için N-inci kısmi tutar ortak bir terim hayal edelim
basit kesirlerin toplamı şeklinde seri

Aynı derecelerdeki katsayıların karşılaştırılması N bilinmeyen katsayılar için bir doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ederiz A Ve İÇİNDE

Buradan bunu buluyoruz
, A
.

Bu nedenle serinin genel terimi şu şekildedir:

Daha sonra kısmi miktar şeklinde temsil edilebilir

Parantez açılıp benzer terimler getirildikten sonra şu şekli alacaktır:

.

Serinin toplamını hesaplayalım

Limit sonlu bir sayıya eşit olduğundan bu seri yakınsar .

Örnek 2. Yakınsama için seriyi kontrol edin

- sonsuz geometrik ilerleme.

Bilindiği üzere birincinin toplamı N geometrik ilerlemenin üyeleri Q 1 eşittir
.

O zaman aşağıdaki durumlarımız var :

1. Eğer
, O

2. Eğer
, O
yani sıra birbirinden uzaklaşıyor.

3. Eğer
o zaman dizi izlenmeli o zaman
yani sıra birbirinden uzaklaşıyor.

4. Eğer
o zaman dizi izlenmeli o zaman
Kısmi toplamın çift sayıda terimi varsa ve
, eğer sayı tekse, yani
mevcut olmadığından seri ıraksaktır.

Tanım 4. Seri toplamı arasındaki fark S ve kısmi miktar isminde serinin geri kalanı ve belirlenmiş
yani
.

Yakınsak seriler için
, O
,

onlar. b.m.v olacak en
. Yani değer serinin toplamının yaklaşık değeridir.

Bir serinin toplamının tanımından yakınsak serilerin özellikleri aşağıdaki gibidir:

1. Eğer satırlar Ve yakınsama, yani karşılık gelen miktarlara sahip olmak S Ve Q, o zaman seri yakınsar, burada
ve toplamı eşittir A S + B Q.

2. Seri yakınsarsa , o zaman bundan elde edilen seri yakınsar

Sonlu sayıda terimin çıkarılması veya eklenmesiyle seri. Bunun tersi de doğrudur.

1.2. Gerekli bir yakınlaşma işareti. Harmonik serisi

Teorem. Eğer satır yakınsaksa serinin ortak terimi sıfıra yaklaşır.
yani
.

Gerçekten de elimizde

Daha sonra , Kanıtlanması gereken şey buydu.

Sonuçlar. Eğer
o zaman seri ıraksar . Aşağıda da görüleceği üzere bunun tersi genel olarak doğru değildir.

Tanım 5. Seriyi görüntüle isminde harmonik.

Bu seri için gerekli karakteristik sağlanmıştır, çünkü
.

Aynı zamanda farklıdır.

Hadi gösterelim

Böylece harmonik seri ıraksar. : Seri yakınsamasının yeterli işaretleri

olumlu terimlerle

2.1. Karşılaştırma işaretleri

Pozitif terimli iki seri verilsin:

Karşılaştırma işareti.(1) ve (2) serisinin tüm üyeleri için belirli bir sayıdan başlayarak eşitsizlik
ve seri (2) yakınsarsa, seri (1) de yakınsar. Aynı şekilde eğer
ve (2) serisi ıraksarsa, (1) serisi de ıraksar.

İzin vermek Ve sırasıyla satırların kısmi toplamları (1-2) ve Q serinin toplamı (2). Daha sonra yeterince büyük N sahibiz

Çünkü
ve sınırlı o zaman
yani seri (1) yakınsar.

İşaretin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.

Örnek 3. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

.

Dizinin üyeleriyle karşılaştıralım
.

Başlangıç
, sahibiz
.

Diziden bu yana yakınsar
, o zaman bu seri de yakınsar.

Uygulamada, karşılaştırma için bir öncekinden gelen sınırlayıcı kriter olarak adlandırılan kriterin kullanılması genellikle daha uygundur.

Karşılaştırma sınırı. Pozitif terimli iki seri (1-2) için koşul karşılanırsa

, O

Seri (1)'in yakınsamasından serinin (2) yakınsaması gelir ve serinin (1) ıraksamasından serinin (2) ıraksaması gelir. , onlar. satırlar aynı şekilde davranır.

Örnek 4. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin
.

Karşılaştırma için bir seri olarak harmonik seriyi ele alalım,

ki bu farklıdır.

ve bu nedenle serimiz ıraksaktır.

Yorum. Sözde kullanmak genellikle uygundur genelleştirilmiş harmonik sıra aşağıda gösterileceği gibi, şu noktada yakınsar:
ve farklılaşıyor
.

Harmonik serisi- doğal serinin ardışık sayılarının tersi olan sonsuz sayıda terimden oluşan bir toplam:

texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

Serinin ilk n teriminin toplamı

Serinin bireysel üyeleri sıfır olma eğilimindedir ancak toplamları ıraksamaktadır. Bir harmonik serinin n'inci kısmi toplamı sn, n'inci harmonik sayıdır:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Bazı kısmi toplam değerleri

Euler'in formülü

Şu tarihte: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc Anlam İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\varepsilon _n \rightarrow 0 bu nedenle büyük İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc :

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​s_n\approx \ln(n) + \gamma- Birincinin toplamı için Euler formülü İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n Harmonik serinin üyeleri.

Harmonik serinin kısmi toplamı için daha doğru bir asimptotik formül:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU'ya bakın - kurulumla ilgili yardım.): B_(2k)- Bernoulli sayıları.

Bu seri ıraksaktır ancak hesaplama hatası asla ilk atılan terimin yarısını geçmez.

Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README - kurulum yardımına bakın.): ​​\forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Serinin ıraksaması

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): s_n\rightarrow \infty en İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n\rightarrow \infty

Harmonik seri ıraksarçok yavaş (kısmi toplamın 100'ü aşması için serinin yaklaşık 1043 elemanına ihtiyaç vardır).

Harmonik serinin ıraksaması teleskopik seriyle karşılaştırılarak gösterilebilir:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n) ,

kısmi toplamı açıkça şuna eşittir:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Oresme'nin kanıtı

Farklılığın kanıtı, terimlerin aşağıdaki gibi gruplandırılmasıyla oluşturulabilir:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\sağ] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(hizala)

Son sıra açıkça farklılaşıyor. Bu kanıt ortaçağ bilim adamı Nicholas Orem'den (c. 1350) geliyor.

Farklılığın alternatif kanıtı

Arasındaki fark İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n Harmonik sayı ve doğal logaritma İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n Euler-Mascheroni sabitine yakınsar.

Farklı harmonik sayılar arasındaki fark hiçbir zaman tam sayıya eşit değildir ve harmonik sayı hariç İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​H_1=1, bir tam sayı değildir.

İlgili seri

Dirichlet serisi

Genelleştirilmiş bir harmonik seri (veya Dirichlet serisi) bir seridir

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

Genelleştirilmiş harmonik seri şu noktada ıraksar: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\alpha \leqslant 1 ve birleşir İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\alpha > 1 .

Genelleştirilmiş harmonik sıra serilerinin toplamı İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\alpha Riemann zeta fonksiyonunun değerine eşittir:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

Çift sayılar için bu değer açıkça pi cinsinden ifade edilir, örneğin: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\zeta(2)=\frac(\pi^2)(6) ve zaten α=3 için değeri analitik olarak bilinmiyor.

Harmonik serilerin ıraksamasının bir başka örneği de şu ilişki olabilir: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Alternatif seri

Tüm terimlerin “+” işaretiyle alındığı harmonik serilerden farklı olarak seri

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \n 2.

Bu formül Mercator serisinin özel bir durumudur ( İngilizce), doğal logaritma için Taylor serisi.

Arktanjant için Taylor serisinden benzer bir seri türetilebilir:

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Bu ilişki Leibniz serisi olarak bilinir.

Rastgele harmonik seri

2003 yılında rastgele bir serinin özellikleri incelendi

İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​\sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): s_n- aynı olasılıkla +1 ve −1 değerlerini alan bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler. Bu serinin 1 olasılıkla yakınsak olduğu ve serinin toplamının ilginç özelliklere sahip bir rastgele değişken olduğu gösterilmiştir. Örneğin, +2 veya −2 noktalarında hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu şu değere sahiptir:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛'den 10 −42'den az farklılık gösterir.

“İnceltilmiş” harmonik seriler

Kempner serisi ( İngilizce)

Paydaları 9 sayısını içermeyen yalnızca terimlerin kaldığı bir harmonik seriyi düşünürsek, kalan toplamın sayıya yakınlaştığı ortaya çıkar.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n, "inceltilmiş" serilerin toplamı için giderek daha az terim alınır. Yani sonuçta, harmonik serilerin toplamını oluşturan terimlerin büyük çoğunluğu, yukarıdan sınırlanan geometrik ilerlemeyi aşmayacak şekilde atılır.

"Harmonik seri" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Harmonik seriyi karakterize eden bir alıntı

Korkunç gün sona ermek üzereydi. Hiçbir şey hissetmeden ve duymadan açık pencerenin yanında oturdum. Dünya benim için donmuş ve keyifsiz hale gelmişti. Sanki ayrı ayrı var oldu, yorgun beynime girmiyor ve bana hiçbir şekilde dokunmuyor... Pencere kenarında oynayan huzursuz “Roma” serçeleri hâlâ ciyaklıyordu. Aşağıda insan sesleri ve hareketli bir şehrin olağan gündüz gürültüsü vardı. Ama tüm bunlar bana seslerin neredeyse geçmesine izin vermeyen çok yoğun bir "duvar" aracılığıyla geldi... Her zamanki iç dünyam boş ve sağırdı. Tamamen yabancı ve karanlık oldu... Tatlı, şefkatli babası artık yoktu. Girolamo'yu takip etti...
Ama hâlâ Anna'm vardı. Ve en azından onu, kendisine "Tanrı'nın vekili", yani Kutsal Papa diyen sofistike bir katilden kurtarmak için yaşamam gerektiğini biliyordum... Caraffa'nın sadece onun "genel naibi" olduğunu hayal etmek bile zordu. "Peki o zaman onun bu sevgili Tanrısı nasıl bir canavara dönüşebilir?!. "Donmuş" durumumdan çıkmaya çalıştım, ancak ortaya çıktığı gibi o kadar kolay olmadı - vücut hiç itaat etmedi, canlanmak istemiyordu ve yorgun Ruh sadece huzur arıyordu.. Sonra hiçbir şeyin yolunda gitmediğini görünce kendimi rahat bırakmaya karar verdim ve her şeyin yolunda gitmesine izin verdim.
Başka hiçbir şey düşünmeden ve hiçbir şeye karar vermeden, kurtarılmak için yaralı Ruhumun çabaladığı yere "uçtum"... Dinlenmek ve en azından biraz unutmak, kötü "dünyevi" dünyadan uzaklaşmak sadece ışığın hüküm sürdüğü yere...
Caraffa'nın, yaşadıklarıma rağmen beni uzun süre yalnız bırakmayacağını biliyordum, aksine acının beni zayıflattığını ve silahsız bıraktığını düşünecek ve belki de şu anda beni teslim olmaya zorlayacaktı. bir tür başka korkunç darbe daha vuruyor...
Günler geçti. Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın ortaya çıkmamasıydı... Bu büyük bir rahatlamaydı ama ne yazık ki rahatlamama izin vermedi. Çünkü her an onun karanlık, şeytani ruhunun benim için ne kadar yeni bir anlam bulacağını bekliyordum...
Ağrı, özellikle birkaç hafta önce meydana gelen ve beni tamamen şaşkına çeviren beklenmedik ve neşeli bir olay sayesinde, her geçen gün yavaş yavaş azaldı - merhum babamı duyma fırsatım oldu!..
Onu göremiyordum ama sanki babam yanımdaymış gibi her kelimesini çok net bir şekilde duydum ve anladım. İlk başta buna inanmadım, tamamen yorgunluktan delirdiğimi düşündüm. Ama arama tekrarlandı... Gerçekten de babasıydı.
Sevinçten kendime gelemiyordum ve hala aniden ortaya çıkıp ortadan kaybolmasından korkuyordum!.. Ama babam ortadan kaybolmadı. Biraz sakinleştikten sonra nihayet ona cevap verebildim...
– Gerçekten sen misin? Şimdi neredesin?.. Seni neden göremiyorum?
– Kızım… Tamamen bitkin olduğun için görmüyorsun canım. Anna onunla birlikte olduğumu görüyor. Ve göreceksin canım. Sadece sakinleşmek için zamana ihtiyacın var.
Saf, tanıdık bir sıcaklık tüm vücuduma yayıldı, beni neşe ve ışıkla sardı...
– Nasılsın baba!? Söyle bana, bu diğer hayat neye benziyor?.. Nasıl bir şey?
– Harika biri canım!.. Ama yine de sıra dışı. Ve bizim eski dünyevi dünyamızdan o kadar farklı ki!.. Burada insanlar kendi dünyalarında yaşıyorlar. Ve o kadar güzel ki bu “dünyalar”!.. Ama yine de yapamıyorum. Görünüşe göre benim için henüz çok erken... - sanki daha fazla konuşup konuşmamaya karar veriyormuş gibi ses bir anlığına sustu.
- Girolamo'n benimle tanıştı kızım... O, Dünya'daki kadar canlı ve sevgi dolu... Seni çok özlüyor ve özlüyor. Ve benden seni orada da aynı kadar sevdiğini söylememi istedi... Ve her geldiğinde seni bekliyor... Annen de bizimle. Hepimiz seni seviyoruz ve bekliyoruz canım. Seni gerçekten çok özledik... Kendine iyi bak kızım. Karaffa'nın seninle alay etme zevkini yaşamasına izin verme.
– Bir daha yanıma gelir misin baba? Seni bir daha duyabilecek miyim? – aniden ortadan kaybolmasından korkarak dua ettim.
- Sakin ol kızım. Artık burası benim dünyam. Ve Caraffa'nın gücü onu kapsamıyor. Ne seni ne de Anna'yı asla bırakmayacağım. Ne zaman çağırsan yanına geleceğim. Sakin ol canım.
- Nasıl hissediyorsun baba? Bir şey hissediyor musun?.. – saf sorumdan biraz utanarak yine de sordum.
– Dünya'da hissettiğim her şeyi hissediyorum, sadece çok daha parlak. Bir anda renklerle dolan bir karakalem hayal edin; tüm duygularım, tüm düşüncelerim çok daha güçlü ve daha renkli. Ve bir şey daha... Özgürlük hissi muhteşem!.. Her zaman olduğum gibiyim ama aynı zamanda tamamen farklıyım... Bunu sana nasıl açıklayacağımı bilmiyorum. daha doğrusu canım... Sanki dünyadaki her şeyi hemen kucaklayabilirim, ya da çok uzaklara, yıldızlara uçabilirim... Her şey mümkün görünüyor, sanki istediğim her şeyi yapabilirmişim gibi! Anlatmak, kelimelere dökmek çok zor... Ama inan kızım, harika! Ve bir şey daha... Artık tüm yaşamlarımı hatırlıyorum! Bir zamanlar başıma gelen her şeyi hatırlıyorum... Hepsi muhteşem. Bu “öteki” hayatın o kadar da kötü olmadığı ortaya çıktı… Bu yüzden korkma kızım, eğer buraya gelmek zorunda kalırsan hepimiz seni bekliyor olacağız.
– Söyle baba... Caraffa gibileri orada da gerçekten harika bir hayat mı bekliyor?.. Ama bu durumda yine büyük bir adaletsizlik olur!.. Gerçekten her şey yine Dünya'daki gibi olacak mı?!. Gerçekten asla intikam almayacak mı?!!
- Hayır, sevincim, burada Karaffa'ya yer yok. Onun gibi insanların berbat bir dünyaya gittiğini duydum ama henüz oraya gitmedim. Hak ettiklerinin bu olduğunu söylüyorlar!.. Görmek istedim ama henüz zamanım olmadı. Merak etme kızım, buraya geldiğinde hak ettiğini alacak.
"Bana oradan yardım edebilir misin baba?" diye sordum gizli bir umutla.
– Bilmiyorum canım… Bu dünyayı henüz anlayamadım. İlk adımlarını atan bir çocuk gibiyim... Sana cevap verebilmem için önce 'yürümeyi öğrenmem' gerekiyor... Ve artık gitmem gerekiyor. Üzgünüm tatlım. İlk önce iki dünyamız arasında yaşamayı öğrenmeliyim. Bundan sonra sana daha sık geleceğim. Cesaretini topla Isidora ve asla Karaffa'ya teslim olma. Kesinlikle hak ettiğini alacaktır, inanın bana.
Babamın sesi gittikçe azaldı, ta ki tamamen zayıflayıp yok olana kadar... Ruhum sakinleşti. Gerçekten O'ydu!.. Ve yeniden yaşadı, ancak şimdi, bana hâlâ yabancı olan, ölümden sonraki dünyada... Ama kendisinin de söylediği gibi, hâlâ düşünüyor ve hissediyordu - hatta yaşadığı zamandan çok daha parlaktı. Toprak. Artık onu asla öğrenemeyeceğimden... Beni sonsuza kadar terk etmiş olmasından korkamıyordum.
Ama kadınsı ruhum her şeye rağmen hâlâ onun acısını çekiyordu... Yalnız hissettiğimde ona bir insan gibi sarılamadığımı... Melankolimi ve korkumu gizleyemediğimi... geniş göğsü, huzur isteyen... Güçlü, yumuşak avuçlarının artık yorgun başımı okşayamadığını, sanki her şeyin yoluna gireceğini, her şeyin kesinlikle düzeleceğini söylercesine... Bu küçük ve önemsiz görünenleri çok özledim ama öyle sevgili, tamamen "insani" sevinçler ve ruh onlara açtı, huzuru bulamıyordu. Evet, ben bir savaşçıydım... Ama aynı zamanda bir kadındım. En kötü şeyin bile olacağını önceden bilen tek kızı, babamın hep orada olacağını, hep yanımda olacağını... Ve tüm bunları acı bir şekilde özledim...
Bir şekilde artan üzüntüyü üzerimden atarak kendimi Karaffa'yı düşünmeye zorladım. Bu tür düşünceler beni anında ayılttı ve kendimi toparlamaya zorladı, çünkü bu "huzurun" sadece geçici bir soluklanma olduğunu çok iyi anlamıştım...
Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın hâlâ ortaya çıkmamasıydı...
Günler geçti, endişeler arttı. Onun yokluğuna bir açıklama bulmaya çalıştım ama ne yazık ki aklıma ciddi bir şey gelmedi... Bir şeyler hazırladığını hissettim ama ne olduğunu tahmin edemedim. Yorgun sinirler teslim oldu. Ve beklemekten tamamen çıldırmamak için her gün sarayın etrafında dolaşmaya başladım. Dışarı çıkmam yasak değildi ama onaylanmadı, bu yüzden kilitlenmeye devam etmek istemediğim için kendim yürüyüşe çıkmaya karar verdim... belki birisi bundan hoşlanmayacak olsa da. Sarayın devasa ve alışılmadık derecede zengin olduğu ortaya çıktı. Odaların güzelliği hayal gücünü hayrete düşürdü ama şahsen ben asla bu kadar göz alıcı bir lüks içinde yaşayamazdım... Duvarların ve tavanların yaldızları baskıcıydı, muhteşem fresklerin işçiliğine aykırıydı, altının ışıltılı ortamında boğucuydu. tonlar. Bu harika evi boyayan, eserlerine saatlerce hayranlıkla bakan ve en iyi işçiliğe içtenlikle hayranlık duyan sanatçıların yeteneklerini memnuniyetle anıyorum. Şu ana kadar kimse beni rahatsız etmedi, kimse beni durdurmadı. Gerçi her zaman tanışan, saygıyla eğilen ve yollarına devam eden, her biri kendi işine koşan insanlar vardı. Bu kadar sahte "özgürlüğe" rağmen tüm bunlar endişe vericiydi ve her yeni gün daha fazla endişeyi beraberinde getiriyordu. Bu “sakinlik” sonsuza kadar süremezdi. Ve bunun benim için kesinlikle korkunç ve acı verici bir talihsizliğe "doğuracağından" neredeyse emindim...

Serilerin yakınsaması için gerekli bir kriter (kanıt).

Teorem 1.(bir sayı serisinin yakınsaması için gerekli bir koşul). sayı serisi ise yakınsar, O .

Kanıt. Seri yakınsaktır, yani. bir sınır var. Dikkat .

Düşünelim. Daha sonra . Buradan, .

Sonuç 1.Koşul karşılanmıyorsa, ardından seri ayrışır.

Not 1. Bir sayı serisinin yakınsaması için bu koşul yeterli değildir. Örneğin, harmonik serisi gerçekleşmesine rağmen farklılık göstermektedir.

Tanım 1. Sayı serisi BİR +1 +BİR+2 +…=, belirli bir satırdan ilk satırın atılmasıyla elde edilir Nüyeler çağrılır N- M geri kalan bu satırın ve belirlenmiş Rn.

Teorem 2.sayı serisi ise yakınsarsa, kalanlar yakınsar. Geri:Eğer serinin kalanlarından en az biri yakınsaksa serinin kendisi de yakınsaktır. Ayrıca herhangi bir n için AÇIK eşitlik S=Sn+Rn .

Sonuç 2.İlk birkaç terimi çıkarırsanız veya eklerseniz sayı serisinin yakınsaklığı veya ıraksaması değişmeyecektir.

Sonuç 3..

32. Pozitif seriler için karşılaştırma kriterleri ve işaret

Teorem 1(eşitsizliklerde serileri pozitif terimlerle karşılaştırmanın bir işareti) . İzin vermekVe - Negatif olmayan terimler içeren seriler, ve her n için AÇIK a n koşulu sağlandı£ bn. Daha sonra:

1) serinin yakınsamasındanbüyük terimlerle seri yakınsardaha küçük üyelerle;

2) serinin farklılığındandaha küçük terimlerle seri ıraksarbüyük yaraklarla.

Not 1. Koşul şu durumda teorem doğrudur: ve n£ bn bazı numaralardan idam edildi NÎ N .

Teorem 2(Pozitif terimli serilerin limit formunda karşılaştırılması işareti) .

İzin vermekVe - Negatif olmayan terimleri olan bir seri var ve . O zaman bu seriler aynı anda yakınsar veya ıraksar .

33. Pozitif işaretli serilerin yakınsaklığı için D'Alembert testi

Teorem 1(D'Alembert'in işareti). İzin vermek - pozitif terimleri olan bir seri mevcut .

O halde seri q noktasında yakınsar<1 ve q noktasında ıraksar>1 .

Kanıt.İzin vermek Q<1. Зафиксируем число RÖyle ki Q<P< 1. По определению bazı numaralardan sayı dizisinin sınırı NÎ N eşitsizlik geçerli BİR +1 /BİR<P, onlar. BİR +1 <p×a n . Daha sonra BİR +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N . Tümevarım yoluyla bunu herhangi bir kişi için göstermek kolaydır. kÎ N eşitsizlik doğru , bir N + k<p k ×a N . Ancak seri geometrik bir seri gibi yakınsaktır ( P<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд da birleşiyor. Sonuç olarak seri de yakınsar (Teorem 2.2'ye göre).

İzin vermek Q>1. Daha sonra bazı numaralardan NÎ N eşitsizlik doğru BİR +1 /BİR>1, yani BİR +1 >BİR. Bu nedenle numaradan N sonraki dizi ( BİR) artıyor ve koşul sağlanmıyor. Buradan, Sonuç 2.1'e göre serinin şu noktada ıraksadığı sonucu çıkıyor: Q>1.



Not 1.İntegral testini kullanarak sayı serisinin doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. eğer yakınsarsa A>1 ve eğer ıraksarsa A 1 sterlin. Sıra isminde harmonik serisi ve seri keyfi olarak AÎ R isminde genelleştirilmiş harmonik seriler.

34. Alternatif satırlar. Alternatif serilerin işaretinin yakınsaması için Leibniz testi

Serilerin keyfi işaretlerle incelenmesi daha zor bir iştir, ancak iki durumda uygun işaretler vardır: alternatif işaretler serisi için - Leibniz teoremi; Mutlak yakınsak seriler için, negatif olmayan terimleri olan serileri incelemenin herhangi bir işaretini uygularız.

Tanım 1. Sayı dizisi denir sinyal dönüşümlü, herhangi iki bitişik terimin zıt işaretleri varsa, yani seri şu şekildedir veya , burada BİR Herkes için >0 NÎ N .

Teorem 1(Leibniz). Alternatif bir seri şu durumlarda yakınsar:

1) (BİR) - artmayan dizi;

2) en.

Bu durumda, alternatif serilerin toplamının modülü, ilk teriminin modülünü aşmaz;|S|£ A 1 .

Çaydanlıklar için sıralar. Çözüm örnekleri

Tüm hayatta kalanları ikinci yıla davet ediyorum! Bu derste, daha doğrusu bir dizi derste satırları nasıl yöneteceğimizi öğreneceğiz. Konu çok karmaşık değil, ancak bu konuda uzmanlaşmak ilk yıldan itibaren bilgi gerektirecek, özellikle anlamanız gerekiyor sınır nedir ve en basit limitleri bulabiliriz. Ancak sorun değil, açıkladığım gibi gerekli derslere ilgili bağlantıları vereceğim. Bazı okuyuculara matematiksel seriler, çözüm yöntemleri, işaretler, teoremler konusu tuhaf, hatta iddialı, saçma görünebilir. Bu durumda, çok fazla "yüklenmenize" gerek yok; gerçekleri olduğu gibi kabul ediyoruz ve sadece tipik, ortak görevleri çözmeyi öğreniyoruz.

1) Aptallar için satırlar ve semaverler için hemen içerik :)

Konuyla ilgili süper hızlı hazırlık için Uygulamanızı tam anlamıyla bir günde gerçekten "yükseltebileceğiniz" pdf formatında hızlı bir kurs var.

Sayı serisi kavramı

Genel olarak sayı serisişu şekilde yazılabilir: .
Burada:
– matematiksel toplam simgesi;
– serinin ortak terimi(bu basit terimi hatırlayın);
– “sayaç” değişkeni. Gösterim, toplamanın 1'den "artı sonsuza", yani önce bizimle, sonra, sonra vb. - sonsuza kadar gerçekleştirildiği anlamına gelir. Bazen değişken yerine değişken veya kullanılır. Toplamanın mutlaka birden başlaması gerekmez; bazı durumlarda sıfırdan, ikiden veya herhangi birinden başlayabilir. doğal sayı.

"Sayaç" değişkenine uygun olarak herhangi bir seri genişletilebilir:
- ve benzeri, sonsuza kadar.

Bileşenler - Bu NUMARALAR bunlara denir üyeler sıra. Eğer hepsi negatif değilse (sıfırdan büyük veya sıfıra eşit), o zaman böyle bir dizi denir pozitif sayı serisi.

Örnek 1



Bu arada, bu zaten bir "savaş" görevidir - pratikte çoğu zaman bir serinin birkaç terimini yazmak gerekir.

Önce, sonra:
Sonra:
Sonra:

İşlem süresiz olarak devam ettirilebilir ancak duruma göre serinin ilk üç teriminin yazılması gerekiyordu, bu yüzden cevabı yazıyoruz:

Lütfen aşağıdaki temel farka dikkat edin: sayı dizisi,
terimlerin özetlenmediği, ancak bu şekilde kabul edildiği.

Örnek 2

Serinin ilk üç terimini yazınız

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

İlk bakışta karmaşık görünen bir seriyi bile genişletilmiş haliyle anlatmak hiç de zor değil:

Örnek 3

Serinin ilk üç terimini yazınız

Aslında görev sözlü olarak gerçekleştirilir: serinin ortak terimini zihinsel olarak yerine koyunönce, sonra ve. Sonuç olarak:

Cevabı şu şekilde bırakıyoruz: Ortaya çıkan seri terimlerini basitleştirmemek daha iyidir yani gerçekleştirme eylemler: , , . Neden? Cevap formdadır öğretmenin kontrol etmesi çok daha kolay ve kullanışlıdır.

Bazen tam tersi bir görev ortaya çıkar

Örnek 4



Burada net bir çözüm algoritması yok, sadece modeli görmen gerekiyor.
Bu durumda:

Kontrol etmek için, ortaya çıkan seri genişletilmiş biçimde "geri yazılabilir".

Ancak burada kendi başınıza çözmeniz biraz daha karmaşık olan bir örnek var:

Örnek 5

Toplamı serinin ortak terimiyle birlikte daraltılmış biçimde yazın

Seriyi genişletilmiş biçimde tekrar yazarak bir kontrol yapın

Sayı serilerinin yakınsaklığı

Konunun temel amaçlarından biri yakınsaklık için serilerin incelenmesi. Bu durumda iki durum mümkündür:

1) Sırauzaklaşıyor. Bu, sonsuz bir toplamın sonsuza eşit olduğu anlamına gelir: veya genel olarak toplamlar mevcut değilörneğin dizide olduğu gibi
(bu arada burada negatif terimler içeren bir dizi örneği var). Dersin başında ıraksak sayı serilerine güzel bir örnek bulundu: . Burada serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olduğu oldukça açık, bu nedenle ve dolayısıyla seri ıraksaktır. Daha da önemsiz bir örnek: .

2) Sırayakınsar. Bu, sonsuz bir toplamın bazılarına eşit olduğu anlamına gelir sonlu sayı: . Lütfen: – bu seri yakınsaktır ve toplamı sıfırdır. Daha anlamlı bir örnek olarak şunu verebiliriz: sonsuz azalan Okuldan beri bildiğimiz geometrik ilerleme: . Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu formülle hesaplanır: ilerlemenin ilk terimi nerede ve onun temelidir ve genellikle şu şekilde yazılır: doğru kesirler Bu durumda: , . Böylece: Sonlu bir sayı elde ediliyor, bu da serinin yakınsak olduğu anlamına geliyor ki bunun da kanıtlanması gerekiyor.

Ancak vakaların büyük çoğunluğunda serinin toplamını bulun o kadar basit değildir ve bu nedenle pratikte bir serinin yakınsaklığını incelemek için teorik olarak kanıtlanmış özel işaretler kullanılır.

Seri yakınsamasının birkaç işareti vardır: Bir serinin yakınsaması için gerekli testler, karşılaştırma testleri, D'Alembert testi, Cauchy testleri, Leibniz'in işareti ve diğer bazı işaretler. Hangi işaret ne zaman kullanılır? Mecazi anlamda, serinin "doldurulmasına", serinin ortak üyesine bağlıdır. Ve çok yakında her şeyi çözeceğiz.

! Dersi daha fazla öğrenmek için şunları yapmalısınız: iyi anla Limit nedir ve bir türün belirsizliğini ortaya koyabilmek iyidir. Materyali incelemek veya incelemek için lütfen makaleye bakın. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bir serinin yakınsamasının gerekli bir işareti

Bir seri yakınsaksa ortak terimi sıfıra yaklaşır: .

Genel durumda bunun tersi doğru değildir, yani eğer öyleyse, o zaman seri ya yakınsak ya da ıraksak olabilir. Ve bu nedenle bu işaret haklı çıkarmak için kullanılır farklılıklar sıra:

Serinin ortak terimi ise sıfıra yönelmiyor o zaman seri ıraksar

Veya kısacası: eğer öyleyse seri ıraksar. Özellikle limitin hiç mevcut olmadığı bir durum mümkündür, örneğin: sınır. Böylece bir serinin farklılığını hemen haklı çıkardılar :)

Ancak çok daha sık olarak, ıraksak bir serinin limiti sonsuza eşittir ve "x" yerine "dinamik" bir değişken görevi görür. Bilgimizi tazeleyelim: “x” ile gösterilen limitlere fonksiyonların limitleri, “en” değişkenli limitlere ise sayısal dizilerin limitleri denir. Açık fark, "en" değişkeninin ayrık (süreksiz) doğal değerleri almasıdır: 1, 2, 3, vb. Ancak bu gerçeğin, limitleri çözme yöntemleri ve belirsizlikleri açıklama yöntemleri üzerinde çok az etkisi vardır.

İlk örnekteki serinin ıraksak olduğunu kanıtlayalım.
Serinin ortak üyesi:

Çözüm: sıra uzaklaşıyor

Gerekli özellik genellikle gerçek pratik görevlerde kullanılır:

Örnek 6

Pay ve paydada polinomlarımız var. Makaledeki belirsizliği açıklama yöntemini dikkatlice okuyup anlayan kişi Sınırlar. Çözüm örnekleri, muhtemelen bunu yakaladım pay ve paydanın en büyük kuvvetleri olduğunda eşit, o zaman limit sonlu sayı .


Pay ve paydayı şuna bölün:

İncelenmekte olan seriler uzaklaşıyorÇünkü serinin yakınsaması için gerekli kriter sağlanmamıştır.

Örnek 7

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Yani bize HERHANGİ bir sayı dizisi verildiğinde, Öncelikle(zihinsel olarak veya taslak üzerinde) kontrol ediyoruz: ortak terimi sıfıra mı gidiyor? Aksi takdirde 6, 7 numaralı örneklere dayanarak bir çözüm formüle edip serinin ıraksak olduğu cevabını veririz.

Ne tür görünüşte farklı serileri ele aldık? Serilerin benzer veya farklı olduğu hemen anlaşılıyor. 6, 7 numaralı örneklerden elde edilen seriler de birbirinden farklıdır: pay ve payda polinomlar içerdiğinde ve payın baştaki kuvveti paydanın baştaki kuvvetinden büyük veya ona eşit olduğunda. Tüm bu durumlarda örnekleri çözerken ve hazırlarken serinin gerekli yakınsaklık işaretini kullanırız.

İşaret neden çağrıldı? gerekli? En doğal şekilde anlayın: Bir serinin yakınlaşması için, gerekli böylece ortak terimi sıfıra yaklaşır. Ve her şey harika olurdu ama dahası da var yeterli değil. Başka bir deyişle, Bir serinin ortak terimi sıfıra yaklaşıyorsa BU, serinin yakınsak olduğu anlamına gelmez– hem yakınlaşabilir hem de uzaklaşabilir!

Tanışmak:

Bu seriye denir harmonik serisi. Lütfen unutmayın! Sayı dizileri arasında baş balerindir. Daha doğrusu bir balerin =)

Bunu görmek kolaydır , ANCAK. Matematiksel analiz teorisinde kanıtlanmıştır ki harmonik seri ıraksar.

Genelleştirilmiş harmonik seri kavramını da hatırlamanız gerekir:

1) Bu satır uzaklaşıyor. Örneğin , , serisi ıraksaktır.
2) Bu satır yakınsar. Örneğin , , , serisi yakınsaktır. Hemen hemen tüm pratik görevlerde, örneğin serinin toplamının neye eşit olduğunun bizim için hiç önemli olmadığını bir kez daha vurguluyorum, yakınsaması gerçeği önemlidir.

Bunlar seri teorisinin zaten kanıtlanmış temel gerçekleridir ve herhangi bir pratik örneği çözerken, örneğin bir serinin ıraksamasına veya bir serinin yakınsamasına güvenle başvurabilirsiniz.

Genel olarak söz konusu materyal aşağıdakilere çok benzer: uygunsuz integrallerin incelenmesi ve bu konuyu inceleyenlerin işi daha kolay olacaktır. Eh, henüz çalışmayanlar için iki kat daha kolay :)

Peki serinin ortak terimi sıfıra eğilim gösterirse ne yapmalıyız? Bu gibi durumlarda örnekleri çözmek için başkalarını kullanmanız gerekir, yeterli yakınsama/ayrılma belirtileri:

Pozitif sayı serileri için karşılaştırma kriterleri

dikkatinizi çekiyorum burada sadece pozitif sayı serilerinden bahsediyoruz (negatif olmayan terimlerle).

İki karşılaştırma işareti var, bunlardan birini basitçe arayacağım bir karşılaştırma işareti, bir diğer - karşılaştırma sınırı.

İlk önce düşünelim karşılaştırma işareti daha doğrusu ilk kısmı:

İki pozitif sayı serisini ve . Eğer biliniyorsa, bu dizi – yakınsar ve bir sayıdan başlayarak eşitsizlik sağlanırsa seri aynı zamanda yakınsar.

Başka bir deyişle: Daha büyük terimli serilerin yakınsaması, daha küçük terimli serilerin yakınsamasını takip eder. Uygulamada eşitsizlik genellikle tüm değerler için geçerlidir:

Örnek 8

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

İlk önce kontrol edelim(zihinsel veya taslak halinde) yürütme:
yani "az kanla kurtulmanın" mümkün olmadığı anlamına geliyor.

Genelleştirilmiş harmonik serilerin "paketine" bakarız ve en yüksek dereceye odaklanarak benzer bir seri buluruz: Teorik olarak yakınsak olduğu bilinmektedir.

Tüm doğal sayılar için bariz eşitsizlik geçerlidir:

ve daha büyük paydalar daha küçük kesirlere karşılık gelir:
, yani karşılaştırma kriterine göre incelenen seriler yakınsar yanında ile birlikte.

Herhangi bir şüpheniz varsa eşitsizliği her zaman ayrıntılı olarak tanımlayabilirsiniz! Birkaç “en” sayısı için oluşturulmuş eşitsizliği yazalım:
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
….
ve şimdi eşitsizliğin kesinlikle açık olduğu tüm doğal sayılar “en” için yerine getirilmiştir.

Karşılaştırma kriterini ve çözülmüş örneği resmi olmayan bir bakış açısıyla analiz edelim. Yine de seri neden yakınsıyor? İşte nedeni. Eğer bir seri yakınsaksa, o zaman bazı son miktar: . Ve serinin tüm üyelerinden beri az Serinin terimleri birbirine karşılık geliyorsa, serinin toplamının sayıdan büyük olamayacağı ve hatta sonsuza eşit olamayacağı açıktır!

Benzer şekilde “benzer” serilerin yakınsaklığını da kanıtlayabiliriz: , , vesaire.

! lütfen aklınızda bulundurun her durumda paydalarda “artılar” var. En az bir eksi varlığı, söz konusu ürünün kullanımını ciddi şekilde zorlaştırabilir. karşılaştırma işareti. Örneğin, bir seri yakınsak bir seriyle aynı şekilde karşılaştırılırsa (ilk terimler için birkaç eşitsizliği yazın), bu durumda koşul hiç sağlanmayacaktır! Burada örneğin karşılaştırma için başka bir yakınsak seriyi atlatabilir ve seçebilirsiniz, ancak bu gereksiz rezervasyonlara ve diğer gereksiz zorluklara yol açacaktır. Bu nedenle, bir serinin yakınsaklığını kanıtlamak için kullanmak çok daha kolaydır. karşılaştırma sınırı(sonraki paragrafa bakın).

Örnek 9

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu örnekte, kendi başınıza düşünmenizi öneririm karşılaştırma özelliğinin ikinci kısmı:

Eğer biliniyorsa, bu dizi – uzaklaşıyor ve bir sayıdan başlayarak (genellikle ilk andan itibaren), eşitsizlik sağlanırsa seri ayrıca ayrılıyor.

Başka bir deyişle: Daha küçük terimlere sahip bir serinin ıraksamasından, daha büyük terimlere sahip bir serinin ıraksaması meydana gelir.

Ne yapılması gerekiyor?
İncelenen serilerin ıraksak harmonik serilerle karşılaştırılması gerekmektedir. Daha iyi bir anlayış için birkaç özel eşitsizlik oluşturun ve eşitsizliğin adil olduğundan emin olun.

Çözüm ve örnek tasarım dersin sonundadır.

Daha önce de belirtildiği gibi, pratikte az önce tartışılan karşılaştırma kriteri nadiren kullanılmaktadır. Sayı serilerinin gerçek gücü karşılaştırma sınırı ve kullanım sıklığı açısından yalnızca rekabet edebilir d'Alembert'in işareti.

Sayısal pozitif serileri karşılaştırmak için limit testi

İki pozitif sayı serisini ve . Bu serilerin ortak terimlerinin oranının limiti şuna eşitse: sıfır olmayan sonlu sayı: , o zaman her iki seri de aynı anda yakınsar veya ıraksar.

Sınırlayıcı kriter ne zaman kullanılır? Karşılaştırma için sınırlayıcı kriter, serinin "doldurulması" polinomlar olduğunda kullanılır. Ya paydada bir polinom ya da hem pay hem de paydada polinomlar. İsteğe bağlı olarak polinomlar köklerin altına yerleştirilebilir.

Önceki karşılaştırma işaretinin durduğu satırla ilgilenelim.

Örnek 10

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu seriyi yakınsak bir seriyle karşılaştıralım. Karşılaştırma için sınırlayıcı kriteri kullanıyoruz. Serinin yakınsak olduğu bilinmektedir. Eğer bunun eşit olduğunu gösterebilirsek sonlu, sıfır olmayan sayısına göre serinin de yakınsak olduğu kanıtlanacaktır.


Sıfırdan farklı sonlu bir sayı elde edilir; bu, incelenen serinin şu olduğu anlamına gelir: yakınsar yanında ile birlikte.

Dizi neden karşılaştırma için seçildi? Genelleştirilmiş harmonik serilerin “kafesinden” başka bir seri seçseydik limitte başarılı olamazdık. sonlu, sıfır olmayan sayılar (deneme yapabilirsiniz).

Not: sınırlayıcı karşılaştırma kriterini kullandığımızda, önemli değil Ele alınan örnekte, ortak üyeler arasındaki ilişkinin hangi sırayla oluşturulacağı, ilişki tam tersi şekilde derlenebilir: - bu, konunun özünü değiştirmez.