Sistem doğrusal denklemler iki bilinmeyenli - bunlar, hepsini bulmanın gerekli olduğu iki veya daha fazla doğrusal denklemdir genel çözümler. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini ele alacağız. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir, a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı reel sayılardır. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin birkaç yolu vardır. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin yollarından birini, yani toplama yöntemini ele alalım.

Toplama yöntemiyle çözme algoritması

İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma.

1. Gerektiğinde eşdeğer dönüşümler Her iki denklemdeki bilinmeyen değişkenlerden birinin katsayılarını eşitleyin.

2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak, bir bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edin

3. Ortaya çıkan denklemi bir bilinmeyenle çözün ve değişkenlerden birini bulun.

4. Ortaya çıkan ifadeyi sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyun ve bu denklemi çözerek ikinci değişkeni elde edin.

5. Çözümü kontrol edin.

Toplama yöntemini kullanan bir çözüm örneği

Daha fazla netlik sağlamak için, aşağıdaki iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözelim:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Değişkenlerin hiçbirinin katsayıları aynı olmadığından y değişkeninin katsayılarını eşitliyoruz. Bunu yapmak için ilk denklemi üçle, ikinci denklemi ikiyle çarpın.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Aldık aşağıdaki denklem sistemi:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Şimdi ikinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz. Sunuyoruz benzer terimler ve elde edilen doğrusal denklemi çözün.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Ortaya çıkan değeri orijinal sistemimizdeki ilk denklemde yerine koyarız ve elde edilen denklemi çözeriz.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Sonuç x=6 ve y=14 sayılarından oluşan bir çifttir. Kontrol ediyoruz. Bir değişiklik yapalım.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Gördüğünüz gibi iki doğru eşitliğimiz var, dolayısıyla doğru çözümü bulduk.

Talimatlar

Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rasgele seçilen (sistemden) denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı x=116, y=11'dir.

Grafik yöntemi.
Bir denklem sisteminde doğruların matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarını pratik olarak bulmayı içerir. Her iki doğrunun grafiği aynı koordinat sisteminde ayrı ayrı çizilmelidir. Genel görünüm: – y=khx+b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x – y=4

Y=-3x+1.
İlki kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur, kolaylık olması açısından yazılmalıdır: y=2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün ve y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde ediyoruz. (resmi görmek)
x 0 1

y -4 -2
İkinci denklem kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur: y=-3x+1.
Ayrıca düz bir çizgi oluşturun. (resmi görmek)

1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).

Kaynaklar:

• 8. sınıf cebir
• iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
• İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem denklemler her biri bir dizi değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.

İhtiyacın olacak

• -Cetvel ve kalem;
• -hesap makinesi.

Talimatlar

a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2 formuna sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını ele alalım. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest terimlerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarını temsil eder. Başlangıç ​​olarak her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemde yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, ortaya çıkan noktaları işaretleyin ve içinden bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Sistem tek karar, eğer inşa edilen çizgiler kesişiyorsa ve bir ortak nokta. Birbirine paralel ise uyumsuzdur. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.

Bu methodçok görsel olarak kabul edilir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Daha doğru bir sonuç sözde verilir. cebirsel yöntemler.

Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için, ortaya çıkan değerleri değişkenlerin yerine koyun. Çözümünü çeşitli yöntemler kullanarak da bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.

Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Denklemi çözmek için verilen sayıları hatırlamanız ve onlarla yapmanız gerekir. özel set hareketler.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - kalem veya kurşun kalem.

Talimatlar

Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Bir düşünün, her tavşanın bir tane alması için yine de daha fazla havuç almanız gerekiyor.

Bu problemi bir denklem şeklinde sunalım: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım. Gerçekten 5 + 3 = 8.

X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5'i çıkardığınızda yaptığınız şeyin aynısını yapmış olursunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi telafi edelim. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Anlamı bulunması gereken harflere denir. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşan problemimizi çözerken şu denklemi elde ederiz: 5 + x = 20.

20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azaltılan sayıdır. Çıkarılan sayıya denir ve son sonuç fark denir. Yani x = 20 – 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekiyor.

Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğru çözülmüştür. Tabii ne zaman Hakkında konuşuyoruz bu kadar basit olanlar için kontrol yapılmasına gerek yoktur. Ancak elinizde üç basamaklı, dört basamaklı vb. rakamlardan oluşan denklemler varsa, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bulmak bilinmeyen çıkan, farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

İpucu 4: Bir sistem nasıl çözülür? üç denklemüç bilinmeyenli

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmenize olanak tanır.

Talimatlar

Yerine koyma yöntemi, bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene kadar sırayla ardışık olarak elde edilen sonucun sistem denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Üç denklemden oluşan bir sistem verilsin Genel görünüm:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Alacaksınız doğrusal ifade z için sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla. Şimdi "geriye" gidin: ikinci denklemde z'yi değiştirin ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi birinci denklemde yerine koyun ve x'i bulun. İşlem genel olarak z bulunmadan önceki şekilde gösterilmektedir. Genel biçimde daha fazla yazmak çok zahmetli olacaktır; pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.

Cramer'in yöntemi, bir sistem matrisi oluşturmak ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistem matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerinin katsayılarından oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren bir sütun, sağ taraflarındaki bir sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.

Konuyla ilgili video

Not

Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.

Yararlı tavsiye

Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken çarpmanız gerektiğini unutmayın. Sol Taraf ve doğru olanı. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Lütfen katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B elde edeceğinizi unutmayın.

İlk önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, olmaması gerektiğine dikkat edin sıfıra eşit. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmeye başladığınızda bunların ne tür denklemler olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri oldukça iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemlerçoğu zaman cesaret edemiyorlar. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm tekniklerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.

Bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet, paylar da yapılarında bazı modeller gösteriyor. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen tasarlandılar algoritmik yöntemlerçözümler. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü öğrenmelisin genel sistem n denklemden denklemler.

Sistem n doğrusal cebirsel denklemler n bilinmeyenli forma sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde aij sistemin katsayılarıdır,
xj – bilinmeyenler, bi – serbest terimler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistem katsayılarının matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayı matrisinin determinantına ∆ ana, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için yardımcı niteleyici Ana determinantın i'inci sütununun serbest terimler sütunu ile değiştirilmesiyle bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.

Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyen içeren iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Lineer denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan birine yöntem, diğerine ise toplama yöntemi denir.

İki denklemli bir sistemin standart formu

Şu tarihte: standart biçim ilk denklem a1*x+b1*y=c1 biçimindedir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2 biçimindedir ve böyle devam eder. Örneğin sistemin iki parçası olması durumunda, her ikisi de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 belirli denklemlerle temsil edilen bazı sayısal katsayılardır. Buna karşılık x ve y, değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenleri temsil eder. Gerekli değerler her iki denklemi aynı anda dönüştürür gerçek eşitlikler.

Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözme

Sistemi çözmek, yani onları gerçek eşitliklere dönüştürecek x ve y değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayılarının büyüklüğü aynı, ancak işareti farklı olacak şekilde denklemlerden birini dönüştürmektir.

Örneğin iki denklemden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 katsayısıyla çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru katsayı seçimi aşağıdakilerden biridir: anahtar görevler sistemin tamamını belirlediği için toplama yoluyla çözme sürecinde daha fazla hareket Bilinmeyenleri bulma prosedürleri.

Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, katsayıları eşit değerde ancak işareti zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi -10x=-4 formunun oluşmasına yol açacaktır. Bundan sonra, x = 0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.

Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerini, sistemdeki orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koymaktır. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnek sistemin kökleridir.

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durumda 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde ederiz ki bu doğrudur.

Konuyla ilgili video

Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:

1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.

Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Çözmek için terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.

Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 1:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim

Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme

2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)

1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y

2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1

3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor. x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk noktada y'yi yazalım.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)

Örnek #2:

Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.

Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme

3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)

1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X değişkeninden kurtulmak için ikinciyi birinci denklemden çıkarın. Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)

Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.

Sistemi çöz iki bilinmeyenle - bu, verilen denklemlerin her birini karşılayan tüm değişken değer çiftlerini bulmak anlamına gelir. Bu tür çiftlerin her birine denir sistem çözümü.

Örnek:
\(x=3\);\(y=-1\) değer çifti ilk sistemin çözümüdür, çünkü bu üçleri ve eksileri sisteme yerleştirirken \(x\) ve \ yerine (y\), her iki denklem de doğru eşitliklere dönüşecektir \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( vakalar)\)

Ancak \(x=1\); \(y=-2\) - birinci sistemin çözümü değildir, çünkü ikame sonrasında ikinci denklem “yakınsamaz” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(case)\)

Bu tür çiftlerin genellikle daha kısa yazıldığını unutmayın: "\(x=3\); \(y=-1\)" yerine şu şekilde yazarlar: \((3;-1)\).

Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin üç ana yolu vardır:

1. İkame yöntemi.

\(\begin(case)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(case)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

Elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(case)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(case)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(case)\)

   İkinci denklemde her terim çifttir, dolayısıyla denklemi \(2\)'ye bölerek basitleştiririz.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\6x-y=13\end(case)\)

   Bu sistem aşağıdaki yollardan herhangi biriyle çözülebilir, ancak bana öyle geliyor ki ikame yöntemi burada en uygun olanı. İkinci denklemden y'yi ifade edelim.
   

   \(\begin(case)13x+9y=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemde \(y\) yerine \(6x-13\) yazalım.
   

   \(\begin(case)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklem sıradan bir denklem haline geldi. Hadi çözelim.

   Öncelikle parantezleri açalım.
   

   \(\begin(case)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(case)\)

   \(117\)'yi sağa taşıyıp benzer terimleri sunalım.

   \(\begin(case)67x=134\\y=6x-13\end(case)\)

   İlk denklemin her iki tarafını da \(67\)'ye bölelim.

   \(\begin(case)x=2\\y=6x-13\end(case)\)

   Yaşasın, \(x\)'i bulduk! Değerini ikinci denklemde yerine koyalım ve \(y\)'yi bulalım.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Cevabını yazalım.

1. İkame yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

Benzer terimler getirildikten sonra sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Yöntem cebirsel toplama : İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Haydi yazalım bu sistem aksi takdirde:

İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.