Bu videoyla logaritmik denklemlerle ilgili uzun bir ders serisine başlıyorum. Şimdi önünüzde en çok çözmeyi öğreneceğimiz üç örnek var. basit görevler buna şöyle denir - tek hücreli hayvan.
log 0,5 (3x − 1) = −3
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
En basit logaritmik denklemin şu olduğunu hatırlatayım:
loga f(x) = b
Bu durumda x değişkeninin yalnızca argümanın içinde, yani yalnızca f(x) fonksiyonunda mevcut olması önemlidir. Ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenini içeren işlevler değildir.
Temel çözüm yöntemleri
Bu tür yapıları çözmenin birçok yolu vardır. Örneğin, okuldaki çoğu öğretmen şu yöntemi sunmaktadır: Aşağıdaki formülü kullanarak f(x) fonksiyonunu hemen ifade edin. F ( x) = bir b. Yani en basit yapıyla karşılaştığınızda ek işlemlere ve yapılara gerek kalmadan hemen çözüme geçebilirsiniz.
Evet elbette karar doğru olacaktır. Ancak bu formülle ilgili sorun çoğu öğrencinin anlamıyorum, nereden geliyor ve neden a harfini b harfine yükseltiyoruz?
Sonuç olarak, örneğin bu harflerin yerini değiştirirken sıklıkla çok can sıkıcı hatalar görüyorum. Bu formül ya anlaşılmalı ya da sıkıştırılmalıdır ve ikinci yöntem en uygunsuz ve en önemli anlarda hatalara yol açar: sınavlar, testler vb.
Bu nedenle tüm öğrencilerime standart okul formülünden vazgeçmelerini ve logaritmik denklemleri çözmek için muhtemelen isminden de tahmin edebileceğiniz gibi ikinci yaklaşımı kullanmalarını öneriyorum. kanonik form.
Kanonik formun arkasındaki fikir basittir. Sorunumuza tekrar bakalım: solda log a var ve a harfiyle bir sayıyı kastediyoruz ve hiçbir durumda x değişkenini içeren bir fonksiyon değil. Sonuç olarak, bu mektup logaritma bazında uygulanan tüm kısıtlamalara tabidir. yani:
1 ≠ a > 0
Öte yandan aynı denklemden logaritmanın olması gerektiğini görüyoruz. sayıya eşit b ve bu mektuba herhangi bir kısıtlama getirilmemiştir çünkü hem pozitif hem de negatif herhangi bir değeri alabilir. Her şey f(x) fonksiyonunun hangi değerleri aldığına bağlıdır.
Ve burada, herhangi bir b sayısının a tabanının a üssü b'nin logaritması olarak temsil edilebileceğine dair harika kuralımızı hatırlıyoruz:
b = log a a b
Bu formülü nasıl hatırlayacağız? Evet, çok basit. Aşağıdaki yapıyı yazalım:
b = b 1 = b log a a
Elbette bu durumda başlangıçta yazdığımız tüm kısıtlamalar ortaya çıkıyor. Şimdi logaritmanın temel özelliğini kullanalım ve b çarpanını a'nın kuvveti olarak tanıtalım. Şunu elde ederiz:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Sonuç olarak orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Hepsi bu. Yeni özellik artık logaritma içermiyor ve standart cebirsel teknikler kullanılarak çözülebiliyor.
Elbette birileri şimdi itiraz edecek: Neden bir tür kanonik formül bulmak gerekliydi, orijinal tasarımdan son formüle hemen geçmek mümkünse neden iki gereksiz adım daha uygulayalım? Evet, çoğu öğrencinin bu formülün nereden geldiğini anlamaması ve sonuç olarak onu uygularken düzenli olarak hata yapması nedeniyle.
Ancak üç adımdan oluşan bu eylem dizisi, son formülün nereden geldiğini anlamasanız bile orijinal logaritmik denklemi çözmenize olanak tanır. Bu arada, kanonik formül Bu girişin adı:
log a f (x) = log a a b
Kanonik formun rahatlığı aynı zamanda sadece bugün düşündüğümüz en basit olanları değil, çok geniş bir logaritmik denklem sınıfını çözmek için kullanılabilmesi gerçeğinde de yatmaktadır.
Çözüm örnekleri
Şimdi bir göz atalım gerçek örnekler. Öyleyse karar verelim:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Bunu şu şekilde yeniden yazalım:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Pek çok öğrencinin acelesi var ve hemen 0,5 sayısını asıl problemden bize gelen kuvvete yükseltmeye çalışıyor. Aslında, bu tür sorunları çözme konusunda zaten iyi eğitimli olduğunuzda, bu adımı hemen gerçekleştirebilirsiniz.
Ancak şimdi bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için hiçbir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik formumuz var. Sahibiz:
3x − 1 = 0,5 −3
Bu artık logaritmik bir denklem değil, x değişkenine göre doğrusaldır. Bunu çözmek için önce 0,5 üssü −3 sayısına bakalım. 0,5'in 1/2 olduğunu unutmayın.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Tüm ondalık sayılar Logaritmik bir denklemi çözdüğünüzde sıradan olanlara dönüştürün.
Yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
İşte bu, cevabı aldık. İlk sorun çözüldü.
İkinci görev
Gelelim ikinci göreve:
Gördüğümüz gibi, bu denklem artık en basiti değil. Sırf solda bir fark olduğu ve bir tabana göre tek bir logaritma olmadığı için.
Dolayısıyla bir şekilde bu farktan kurtulmamız gerekiyor. İÇİNDE bu durumda her şey çok basit. Tabanlara daha yakından bakalım: solda kökün altındaki sayı var:
Genel öneri: tüm logaritmik denklemlerde radikallerden (köklü girdilerden) kurtulmaya çalışın ve şuna geçin: güç fonksiyonlarıçünkü bu kuvvetlerin üsleri logaritmanın işaretinden kolayca çıkarılır ve sonuçta böyle bir gösterim hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirir ve hızlandırır. Bunu şu şekilde yazalım:
Şimdi logaritmanın dikkate değer özelliğini hatırlayalım: kuvvetler tabandan olduğu gibi argümandan da elde edilebilir. Gerekçe durumunda aşağıdakiler gerçekleşir:
log a k b = 1/k loga b
Yani temel kuvvette olan sayı öne çıkarılır ve aynı zamanda ters çevrilir, yani. karşılıklı sayı. Bizim olgumuzda taban derecesi 1/2 idi. Bu nedenle 2/1 olarak çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 günlük 5 x − günlük 5 x = 18
Lütfen dikkat: Bu adımda hiçbir durumda logaritmalardan kurtulmamalısınız. 4.-5. sınıf matematiğini ve işlem sırasını hatırlayın: önce çarpma yapılır, ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır. Bu durumda 10 elementten aynı elementlerden birini çıkarıyoruz:
9 log 5 x = 18
günlük 5 x = 2
Artık denklemimiz olması gerektiği gibi görünüyor. Bu en basit yapıdır ve bunu kanonik formu kullanarak çözüyoruz:
günlük 5 x = günlük 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Hepsi bu. İkinci sorun çözüldü.
Üçüncü örnek
Gelelim üçüncü göreve:
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
Size şu formülü hatırlatayım:
günlük b = günlük 10 b
Herhangi bir nedenle log b gösterimiyle kafanız karıştıysa, tüm hesaplamaları yaparken log 10 b yazabilirsiniz. Ondalık logaritmalarla diğerleriyle aynı şekilde çalışabilirsiniz: kuvvetleri alın, herhangi bir sayıyı ekleyin ve lg 10 biçiminde temsil edin.
Dersimizin en başında yazdığımız en basit özellik olmadığından, şimdi sorunu çözmek için kullanacağımız bu özelliklerdir.
İlk olarak, lg 5'in önündeki faktör 2'nin toplanabileceğini ve 5 tabanındaki bir kuvvet haline gelebileceğini unutmayın. Ek olarak, serbest terim 3 bir logaritma olarak da temsil edilebilir - bunu notasyonumuzdan gözlemlemek çok kolaydır.
Kendiniz karar verin: herhangi bir sayı, 10 tabanına göre log olarak temsil edilebilir:
3 = günlük 10 10 3 = günlük 10 3
Elde edilen değişiklikleri dikkate alarak orijinal problemi yeniden yazalım:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
günlük (x - 3) = günlük 25.000
Önümüzde yine kanonik form var ve bunu dönüşüm aşamasından geçmeden elde ettik, yani. en basit logaritmik denklem hiçbir yerde görünmedi.
Dersin başında bahsettiğim şey tam olarak buydu. Kanonik form, standart olandan daha geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak tanır okul formülüçoğu okul öğretmeni tarafından verilen bir derstir.
İşte bu kadar, ondalık logaritmanın işaretinden kurtuluyoruz ve basit bir doğrusal yapı elde ediyoruz:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Tüm! Sorun çözüldü.
Kapsamla ilgili bir not
Burada tanımın kapsamına ilişkin önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Artık mutlaka şöyle diyecek öğrenci ve öğretmenler olacaktır: “Logaritmalı ifadeleri çözerken f(x) argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini unutmamalıyız!” Bu bağlamda mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Ele alınan sorunların hiçbirinde neden bu eşitsizliğin giderilmesini talep etmedik?
Merak etme. Bu durumlarda fazladan kök görünmeyecektir. Bu da çözümü hızlandırmanıza olanak tanıyan bir başka harika numaradır. Sadece şunu bilin: Eğer problemde x değişkeni yalnızca tek bir yerde (veya daha doğrusu, tek bir logaritmanın tek bir argümanında) ortaya çıkıyorsa ve bizim durumumuzda x değişkeni başka hiçbir yerde görünmüyorsa, o zaman tanımın tanım kümesini yazın. gerek yokçünkü otomatik olarak yürütülecektir.
Kendiniz karar verin: ilk denklemde 3x − 1 elde ettik, yani argüman 8'e eşit olmalıdır. Bu otomatik olarak 3x − 1'in sıfırdan büyük olacağı anlamına gelir.
Aynı başarıyla, ikinci durumda x'in 5 2'ye eşit olması gerektiğini, yani kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu yazabiliriz. Ve üçüncü durumda, x + 3 = 25.000, yani yine açıkça sıfırdan büyüktür. Başka bir deyişle, kapsam otomatik olarak karşılanır, ancak yalnızca x yalnızca bir logaritmanın argümanında yer alıyorsa.
En basit sorunları çözmek için bilmeniz gereken tek şey bu. Tek başına bu kural, dönüşüm kurallarıyla birlikte çok geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak sağlayacaktır.
Ancak dürüst olalım: Bu tekniği nihayet anlamak için, logaritmik denklemin kanonik formunun nasıl uygulanacağını öğrenmek için sadece bir video dersi izlemek yeterli değildir. Bu yüzden şu anda seçenekleri indirin bağımsız karar Bu video dersine ekli olan ve bu iki bağımsız çalışmadan en az birini çözmeye başlayan.
Kelimenin tam anlamıyla birkaç dakikanızı alacak. Ancak böyle bir eğitimin etkisi, bu video dersini izlemenizden çok daha yüksek olacaktır.
Umarım bu ders logaritmik denklemleri anlamanıza yardımcı olur. Kanonik formu kullanın, logaritmalarla çalışma kurallarını kullanarak ifadeleri basitleştirin; herhangi bir sorundan korkmayacaksınız. Bugünlük elimde olan tek şey bu.
Tanım alanı dikkate alınarak
Şimdi logaritmik fonksiyonun tanım alanından ve bunun logaritmik denklemlerin çözümünü nasıl etkilediğinden bahsedelim. Formun bir yapısını düşünün
loga f(x) = b
Böyle bir ifadeye en basit denir - yalnızca bir işlev içerir ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenine bağlı bir işlev değildir. Çok basit bir şekilde çözülebilir. Sadece formülü kullanmanız gerekir:
b = log a a b
Bu formül logaritmanın temel özelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi yerine koyarken aşağıdakileri elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
f(x) = a b
Bu tanıdık bir formül okul ders kitapları. Pek çok öğrencinin muhtemelen bir sorusu olacaktır: Orijinal ifadede f(x) fonksiyonu log işaretinin altında olduğundan, ona aşağıdaki kısıtlamalar getirilmiştir:
f(x) > 0
Bu sınırlama geçerlidir çünkü logaritması negatif sayılar mevcut değil. Peki belki de bu sınırlamanın bir sonucu olarak cevaplara yönelik bir kontrol getirilmeli? Belki de kaynağa eklenmeleri gerekiyor?
Hayır, en basit logaritmik denklemlerde ek kontrole gerek yoktur. İşte nedeni. Son formülümüze bir göz atın:
f(x) = a b
Gerçek şu ki, a sayısı her durumda 0'dan büyüktür - bu gereklilik aynı zamanda logaritma tarafından da dayatılmaktadır. A sayısı tabandır. Bu durumda b sayısına herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Ancak bu önemli değil, çünkü pozitif bir sayıyı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, çıktıda yine pozitif bir sayı elde edeceğiz. Böylece f(x) > 0 şartı otomatik olarak karşılanır.
Gerçekten kontrol etmeye değer olan şey, log işaretinin altındaki fonksiyonun etki alanıdır. Oldukça karmaşık yapılar olabilir ve çözüm sürecinde mutlaka bunlara dikkat etmeniz gerekir. Görelim.
İlk görev:
İlk adım: Sağdaki kesri dönüştürün. Şunu elde ederiz:
Logaritma işaretinden kurtuluruz ve olağan irrasyonel denklemi elde ederiz:
Elde edilen köklerden sadece birincisi bize uygundur çünkü ikinci kök sıfırdan küçüktür. Tek cevap 9 rakamı olacaktır. İşte bu, sorun çözüldü. Logaritma işaretinin altındaki ifadenin 0'dan büyük olduğundan emin olmak için ek bir kontrole gerek yoktur çünkü sadece 0'dan büyük değil, denklemin koşuluna göre 2'ye eşittir. Dolayısıyla “sıfırdan büyük” şartı ” otomatik olarak karşılanır.
Gelelim ikinci göreve:
Burada her şey aynı. Üçlüyü değiştirerek yapıyı yeniden yazıyoruz:
Logaritma işaretlerinden kurtuluruz ve irrasyonel bir denklem elde ederiz:
Kısıtlamaları dikkate alarak her iki tarafın karesini alırız ve şunu elde ederiz:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Ortaya çıkan denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ancak x = −6 bize uymuyor çünkü bu sayıyı eşitsizliğimizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizim durumumuzda 0'dan büyük veya aşırı durumlarda eşit olması gerekiyor. Fakat x = −1 bize uyar:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizim durumumuzda tek cevap x = −1 olacaktır. Çözüm bu. Hesaplamalarımızın en başına dönelim.
Bu dersten çıkan ana sonuç, basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kontrol etmenize gerek olmamasıdır. Çünkü çözüm sürecinde tüm kısıtlar otomatik olarak karşılanır.
Ancak bu hiçbir şekilde kontrol etmeyi tamamen unutabileceğiniz anlamına gelmez. Logaritmik bir denklem üzerinde çalışma sürecinde, bugün iki farklı örnekte gördüğümüz, sağ taraf için kendi kısıtlamaları ve gereksinimleri olan irrasyonel bir denklem haline gelebilir.
Bu tür sorunları çözmekten çekinmeyin ve tartışmanın bir kökü varsa özellikle dikkatli olun.
Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler
Logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve daha karmaşık yapıları çözmenin moda olduğu iki ilginç tekniğe daha bakıyoruz. Ama önce en basit sorunların nasıl çözüldüğünü hatırlayalım:
loga f(x) = b
Bu girdide a ve b sayılardır ve f(x) fonksiyonunda x değişkeni mevcut olmalıdır ve yalnızca orada, yani x yalnızca argümanda bulunmalıdır. Bu tür logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak dönüştüreceğiz. Bunu yapmak için şunu unutmayın
b = log a a b
Üstelik a b tam olarak bir argümandır. Bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazalım:
log a f (x) = log a a b
Bizim de ulaşmaya çalıştığımız şey tam olarak budur, yani a'yı hem sol hem de sağ temel alan bir logaritma vardır. Bu durumda mecazi anlamda log işaretlerinin üzerini çizebiliriz ve matematiksel açıdan argümanları basitçe eşitlediğimizi söyleyebiliriz:
f(x) = a b
Sonuç olarak çözülmesi çok daha kolay olacak yeni bir ifade elde edeceğiz. Bu kuralı bugünkü sorunlarımıza uygulayalım.
Yani ilk tasarım:
Öncelikle sağda paydası log olan bir kesir olduğunu belirteyim. Bunun gibi bir ifade gördüğünüzde logaritmanın harika bir özelliğini hatırlamak iyi bir fikirdir:
Rusçaya çevrildiğinde bu, herhangi bir logaritmanın herhangi bir c tabanına sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. tabii ki 0< с ≠ 1.
Yani: bu formülün harika bir formülü var özel durum c değişkeni değişkene eşit olduğunda B. Bu durumda şöyle bir yapı elde ederiz:
Bu tam olarak denklemimizin sağındaki işarette gördüğümüz yapıdır. Bu yapıyı log a b ile değiştirelim, şunu elde ederiz:
Başka bir deyişle, orijinal göreve kıyasla argümanı ve logaritmanın tabanını değiştirdik. Bunun yerine kesri tersine çevirmek zorunda kaldık.
Aşağıdaki kurala göre herhangi bir derecenin tabandan türetilebileceğini hatırlıyoruz:
Başka bir deyişle bazın kuvveti olan k katsayısı ters kesir olarak ifade edilir. Bunu ters kesir olarak gösterelim:
Kesirli faktör önde bırakılamaz çünkü bu durumda bu gösterimi kanonik formda gösteremeyeceğiz (sonuçta kanonik formda ikinci logaritmadan önce ek bir faktör yoktur). Bu nedenle argümana 1/4 kesirini kuvvet olarak ekleyelim:
Şimdi tabanları aynı olan (ve tabanlarımız gerçekten aynı olan) argümanları eşitliyoruz ve şunu yazıyoruz:
x + 5 = 1
x = −4
Hepsi bu. İlk logaritmik denklemin cevabını bulduk. Lütfen unutmayın: orijinal problemde, x değişkeni yalnızca bir günlükte görünür ve argümanında görünür. Bu nedenle tanım kümesini kontrol etmeye gerek yoktur ve x = −4 sayımız aslında cevaptır.
Şimdi ikinci ifadeye geçelim:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Burada olağan logaritmalara ek olarak log f(x) ile çalışmamız gerekecek. Böyle bir denklem nasıl çözülür? Hazırlıksız bir öğrenciye bu zor bir görev gibi görünebilir, ancak aslında her şey basit bir şekilde çözülebilir.
lg 2 log 2 7 terimine yakından bakın. Bu konuda ne söyleyebiliriz? Log ve lg'nin temelleri ve argümanları aynıdır ve bu bazı fikirler vermelidir. Logaritmanın işaretinin altındaki kuvvetlerin nasıl çıkarıldığını bir kez daha hatırlayalım:
log a b n = nlog a b
Başka bir deyişle, argümanda b'nin kuvveti olan şey log'un önünde bir faktör haline gelir. Bu formülü lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayalım. lg 2'den korkmayın - bu en yaygın ifadedir. Aşağıdaki şekilde yeniden yazabilirsiniz:
Başka herhangi bir logaritma için geçerli olan tüm kurallar onun için de geçerlidir. Özellikle öndeki faktör argümanın derecesine eklenebilir. Bunu yazalım:
Çoğu zaman öğrenciler bu eylemi doğrudan görmezler çünkü bir günlüğe diğerinin işareti altında girmek iyi değildir. Aslında bunda suç teşkil edecek bir durum yok. Üstelik önemli bir kuralı hatırlarsanız hesaplaması kolay bir formül elde ederiz:
Bu formül hem tanım olarak hem de onun özelliklerinden biri olarak düşünülebilir. Her durumda, eğer logaritmik bir denklemi dönüştürüyorsanız, herhangi bir sayının log gösterimini bildiğiniz gibi bu formülü de bilmelisiniz.
Görevimize dönelim. Eşittir işaretinin sağındaki ilk terimin lg 7'ye eşit olacağı gerçeğini dikkate alarak yeniden yazıyoruz. Elimizde:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
LG 7'yi sola kaydıralım, şunu elde ederiz:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tabanları aynı olduğundan soldaki ifadeleri çıkarıyoruz:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Şimdi elde ettiğimiz denkleme daha yakından bakalım. Pratikte kanonik formdur, ancak sağda −3 çarpanı vardır. Bunu sağ lg argümanına ekleyelim:
log 8 = log (x + 4) −3
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden lg işaretlerinin üstünü çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
İşte bu! İkinci logaritmik denklemi çözdük. Bu durumda hiçbir ek kontrole gerek yoktur çünkü orijinal problemde x yalnızca bir bağımsız değişkende mevcuttu.
Bu dersin önemli noktalarını tekrar sıralayayım.
Bu sayfadaki logaritmik denklemlerin çözümüne ayrılmış tüm derslerde öğretilen ana formül kanonik formdur. Ve çoğu okul ders kitabında size çözmenin öğretildiği gerçeğinden korkmayın. benzer görevler farklı. Bu araç çok etkili bir şekilde çalışır ve dersimizin başında incelediğimiz en basit sorunlardan çok daha geniş bir sorun sınıfını çözmenize olanak tanır.
Ayrıca logaritmik denklemlerin çözümünde temel özelliklerin bilinmesi yararlı olacaktır. Yani:
- Tek tabana geçme formülü ve logu ters çevirdiğimizdeki özel durum (bu ilk problemde bizim için çok yararlıydı);
- Logaritma işaretine kuvvet ekleme ve çıkarma formülü. Burada birçok öğrenci takılıp kalıyor ve alınan ve tanıtılan derecenin kendisinin log f (x) içerebileceğini göremiyor. Bunda yanlış bir şey yok. Bir kütüğü diğerinin işaretine göre tanıtabiliriz ve aynı zamanda ikinci durumda gözlemlediğimiz gibi sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebiliriz.
Sonuç olarak, bu durumların her birinde tanım alanını kontrol etmenin gerekli olmadığını eklemek isterim, çünkü x değişkeni her yerde log'un yalnızca bir işaretinde mevcuttur ve aynı zamanda onun argümanındadır. Sonuç olarak kapsamın tüm gereklilikleri otomatik olarak yerine getirilir.
Değişken tabanla ilgili sorunlar
Bugün birçok öğrenci için tamamen çözülemez olmasa da standart dışı görünen logaritmik denklemlere bakacağız. bu yaklaşık sayılara değil, değişkenlere ve hatta işlevlere dayalı ifadeler hakkında. Bu tür yapıları standart tekniğimizi, yani kanonik formu kullanarak çözeceğiz.
Başlangıç olarak en basit problemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım. normal sayılar. Yani en basit yapıya denir
loga f(x) = b
Bu tür problemleri çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
b = log a a b
Orijinal ifademizi yeniden yazarsak şunu elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
Sonra argümanları eşitliyoruz, yani şunu yazıyoruz:
f(x) = a b
Böylece log işaretinden kurtulup alışılagelmiş sorunu çözmüş oluyoruz. Bu durumda çözümden elde edilen kökler orijinal logaritmik denklemin kökleri olacaktır. Ek olarak, hem sol hem de sağın aynı logaritmada ve aynı tabanda olduğu bir kayda tam olarak kanonik form adı verilir. Öyle bir rekora varıyoruz ki, bugünün tasarımlarını azaltmaya çalışacağız. Hadi gidelim.
İlk görev:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1'i log x − 2 (x − 2) 1 ile değiştirin. Argümanda gözlemlediğimiz derece aslında eşittir işaretinin sağında bulunan b sayısıdır. Böylece ifademizi yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Ne görüyoruz? Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden argümanları güvenli bir şekilde eşitleyebiliriz. Şunu elde ederiz:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü bu denklem orijinalinin eşdeğeri değil. Sonuçta ortaya çıkan yapı, sayı doğrusunda tanımlanan fonksiyonlardan oluşur ve orijinal logaritmalarımız her zaman ve her yerde tanımlanmaz.
Bu nedenle tanım alanını ayrıca yazmamız gerekir. Saçmalamayalım ve önce tüm gereksinimleri yazalım:
İlk olarak, logaritmaların her birinin argümanı 0'dan büyük olmalıdır:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
İkincisi, tabanın yalnızca 0'dan büyük olması değil aynı zamanda 1'den farklı olması gerekir:
x - 2 ≠ 1
Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:
Ancak paniğe kapılmayın: Logaritmik denklemleri işlerken böyle bir sistem önemli ölçüde basitleştirilebilir.
Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdan büyük olması gerekiyor, diğer yandan bu ikinci dereceden fonksiyon belirli bir değere eşitleniyor doğrusal ifade sıfırdan büyük olması da gerekiyor.
Bu durumda, x − 2 > 0 olmasını istersek, 2x 2 − 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanacaktır. Bu nedenle, içeren eşitsizliğin üzerini güvenle çizebiliriz. ikinci dereceden fonksiyon. Böylece sistemimizde yer alan ifade sayısı üçe düşecektir.
Tabii ki, üstünü çizebiliriz doğrusal eşitsizlik yani x − 2 > 0'ın üzerini çizin ve 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını talep edin. Ancak, en basit doğrusal eşitsizliği çözmenin ikinci dereceden denklemden çok daha hızlı ve daha kolay olduğunu kabul etmelisiniz, hatta tüm denklemi çözmenin bir sonucu olsa bile bu sistemde aynı kökleri alacağız.
Genel olarak mümkün olduğunca hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Logaritmik denklemler söz konusu olduğunda en zor eşitsizliklerin üzerini çizin.
Sistemimizi yeniden yazalım:
Burada üç ifadeden oluşan bir sistem var, bunlardan ikisini daha önce ele almıştık. Bunu ayrı ayrı yazalım ikinci dereceden denklem ve çözelim:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Bizden önce verilen ikinci dereceden üç terimli ve bu nedenle Vieta'nın formüllerini kullanabiliriz. Şunu elde ederiz:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Şimdi sistemimize dönüyoruz ve x = 2'nin bize uymadığını görüyoruz çünkü x'in kesinlikle 2'den büyük olması gerekiyor.
Ancak x = 5 bize çok yakışıyor: 5 sayısı 2'den büyüktür ve aynı zamanda 5, 3'e eşit değildir. Dolayısıyla bu sistemin tek çözümü x = 5 olacaktır.
İşte bu, ODZ dikkate alınarak sorun çözüldü. İkinci denkleme geçelim. Burada bizi daha ilginç ve bilgilendirici hesaplamalar bekliyor:
İlk adım: olduğu gibi son kez, tüm bu konuyu kanonik forma getiriyoruz. Bunun için 9 sayısını şu şekilde yazabiliriz:
Kök ile tabana dokunmanıza gerek yok, ancak argümanı dönüştürmek daha iyidir. Kökten kuvvet c'ye gidelim rasyonel gösterge. Hadi yazalım:
Büyük logaritmik denklemimizin tamamını yeniden yazmama izin verin, ancak hemen argümanları eşitleyelim:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Önümüzde yeni indirgenmiş ikinci dereceden bir trinomial var, Vieta formüllerini kullanıp yazalım:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Yani kökleri bulduk ama kimse bize bunların orijinal logaritmik denkleme uyacağını garanti etmedi. Sonuçta, log işaretleri ek kısıtlamalar getirmektedir (burada sistemi yazmamız gerekirdi, ancak tüm yapının hantal doğası nedeniyle tanım alanını ayrı olarak hesaplamaya karar verdim).
Her şeyden önce, argümanların 0'dan büyük olması gerektiğini unutmayın; yani:
Bunlar tanımın kapsamının gerektirdiği gerekliliklerdir.
Hemen belirtelim ki sistemin ilk iki ifadesini birbirine eşitlediğimiz için herhangi birinin üzerini çizebiliriz. İlkinin üzerini çizelim çünkü ikincisinden daha tehditkar görünüyor.
Ek olarak, ikinci ve üçüncü eşitsizliklerin çözümünün aynı kümeler olacağını unutmayın (eğer bu sayının kendisi sıfırdan büyükse, bir sayının küpü sıfırdan büyüktür; benzer şekilde, üçüncü derecenin köküyle - bu eşitsizlikler) tamamen benzer olduğundan üstünü çizebiliriz).
Ancak üçüncü eşitsizlikte bu işe yaramayacaktır. Her iki parçayı da küp haline getirerek soldaki kök işaretinden kurtulalım. Şunu elde ederiz:
Böylece aşağıdaki gereksinimleri alıyoruz:
− 2 ≠ x > −3
Köklerimizden hangisi: x 1 = −3 veya x 2 = −1 bu gereksinimleri karşılıyor? Açıkçası, yalnızca x = −1, çünkü x = −3 ilk eşitsizliği sağlamaz (eşitsizliğimiz katı olduğundan). Yani problemimize dönersek bir kök elde ederiz: x = −1. İşte bu, sorun çözüldü.
Bir kez daha, bu görevin kilit noktaları:
- Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve çözmekten çekinmeyin. Bu şekilde yazan öğrenciler, doğrudan orijinal problemden log a f(x) = b gibi bir yapıya gitmek yerine, daha fazlasına izin verirler. daha az hata bir yerde acelesi olan, hesaplamaların ara adımlarını atlayanlardan;
- Logaritmada değişken bir taban ortaya çıktığı anda problem en basit olmaktan çıkar. Bu nedenle, çözerken tanım alanını hesaba katmak gerekir: argümanlar sıfırdan büyük olmalı ve tabanlar yalnızca 0'dan büyük olmamalı, aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır.
Nihai gereksinimler, nihai cevaplara farklı şekillerde uygulanabilir. Örneğin tanım alanına ait tüm gereksinimleri içeren bir sistemin tamamını çözebilirsiniz. Öte yandan, önce problemin kendisini çözebilir, sonra tanım alanını hatırlayabilir, bunu bir sistem şeklinde ayrı ayrı çözebilir ve ortaya çıkan köklere uygulayabilirsiniz.
Belirli bir logaritmik denklemi çözerken hangi yöntemi seçeceğiniz size kalmış. Her durumda cevap aynı olacaktır.
Logaritmik denklemlerin çözümüyle ilgili uzun ders serisinin son videoları. Bu sefer öncelikle logaritmanın ODZ'si ile çalışacağız - bu tür problemleri çözerken çoğu hatanın ortaya çıkmasının nedeni tam olarak tanım alanının yanlış değerlendirilmesinden (veya hatta göz ardı edilmesinden) kaynaklanmaktadır.
Bu kısa video dersinde logaritmalarda toplama ve çıkarma formüllerinin kullanımına bakacağız ve ayrıca birçok öğrencinin sorun yaşadığı kesirli rasyonel denklemleri de ele alacağız.
Ne hakkında konuşacağız? Anlamak istediğim ana formül şuna benzer:
log a (f g ) = log a f + log a g
Bu, çarpımdan logaritma toplamına ve geriye doğru standart bir geçiştir. Muhtemelen bu formülü logaritma çalışmaya başladığınızdan beri biliyorsunuzdur. Ancak bir aksaklık var.
a, f ve g değişkenleri sıradan sayılar olduğu sürece herhangi bir sorun ortaya çıkmaz. Bu formül harika çalışıyor.
Ancak f ve g yerine fonksiyonlar ortaya çıktığı anda, hangi yönde dönüşüm yapılacağına bağlı olarak tanım alanının genişletilmesi veya daraltılması sorunu ortaya çıkar. Kendiniz karar verin: Solda yazılı logaritmada tanım alanı aşağıdaki gibidir:
fg > 0
Ancak sağda yazılan miktarda tanım alanı zaten biraz farklıdır:
f > 0
g > 0
Bu gereksinimler dizisi orijinal gereksinimlerden daha katıdır. İlk durumda f seçeneğinden memnun olacağız.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yürütülür).
Yani sol yapıdan sağa doğru gidildiğinde tanım alanının daralması söz konusudur. İlk başta bir toplamımız olsaydı ve onu bir çarpım biçiminde yeniden yazarsak, o zaman tanım alanı genişler.
Başka bir deyişle, ilk durumda köklerimizi kaybedebilir, ikincisinde ise fazladan kök alabiliriz. Gerçek logaritmik denklemleri çözerken bu dikkate alınmalıdır.
Yani, ilk görev:
[Resmin başlığı] Sol tarafta aynı tabanı kullanan logaritmaların toplamını görüyoruz. Bu nedenle bu logaritmalar toplanabilir:
[Resmin başlığı] Gördüğünüz gibi sağ tarafta sıfırı aşağıdaki formülü kullanarak değiştirdik:
a = log b b a
Denklemimizi biraz daha düzenleyelim:
günlük 4 (x - 5) 2 = günlük 4 1
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var; log işaretinin üstünü çizebilir ve argümanları eşitleyebiliriz:
(x - 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Lütfen dikkat: Modül nereden geldi? Tam karenin kökünün modüle eşit olduğunu hatırlatmama izin verin:
[Resmin başlığı] Daha sonra modüllü klasik denklemi çözeriz:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6
İşte iki aday cevabı. Bunlar orijinal logaritmik denklemin çözümü mü? Hayır, hiçbir durumda!
Her şeyi böyle bırakıp cevabı yazmaya hakkımız yok. Logaritmaların toplamını argümanların çarpımının bir logaritması ile değiştirdiğimiz adıma bir göz atın. Sorun şu ki, orijinal ifadelerde fonksiyonlarımız var. Bu nedenle aşağıdakilere ihtiyacınız olmalıdır:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Ürünü dönüştürüp tam bir kare elde ettiğimizde gereksinimler değişti:
(x - 5) 2 > 0
Bu gereksinim ne zaman karşılanır? Evet, neredeyse her zaman! x − 5 = 0 durumu hariç. Yani eşitsizlik tek bir delinmiş noktaya indirgenecek:
x - 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Gördüğünüz gibi tanımın kapsamı genişledi, dersin başında da bundan bahsetmiştik. Bu nedenle olabilir ekstra kökler.
Bu ekstra köklerin ortaya çıkmasını nasıl önleyebilirsiniz? Çok basit: Elde ettiğimiz köklere bakıyoruz ve bunları orijinal denklemin tanım alanıyla karşılaştırıyoruz. Hadi sayalım:
x (x - 5) > 0
Aralık yöntemini kullanarak çözeceğiz:
x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Ortaya çıkan sayıları satırda işaretliyoruz. Eşitsizlik katı olduğundan tüm noktalar eksik. 5'ten büyük herhangi bir sayıyı alın ve yerine şunu koyun:
[Resmin başlığı] (−∞; 0) ∪ (5; ∞) aralıklarıyla ilgileniyoruz. Köklerimizi segment üzerinde işaretlersek x = 4'ün bize uymadığını görürüz çünkü bu kök orijinal logaritmik denklemin tanım bölgesinin dışında kalır.
Bütünlüğe dönüyoruz, x = 4 kökünün üzerini çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz: x = 6. Bu, orijinal logaritmik denklemin son cevabıdır. İşte bu, sorun çözüldü.
İkinci logaritmik denkleme geçelim:
[Resmin başlığı] Hadi çözelim. İlk terimin bir kesir olduğunu ve ikincisinin aynı kesir olduğunu ancak ters çevrildiğini unutmayın. lgx ifadesinden korkmayın - bu sadece ondalık bir logaritmadır, şunu yazabiliriz:
lgx = günlük 10 x
Tersine çevrilmiş iki kesirimiz olduğundan, yeni bir değişken eklemeyi öneriyorum:
[Resmin başlığı] Bu nedenle denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:
t + 1/t = 2;
t + 1/t - 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t - 1) 2 /t = 0.
Gördüğünüz gibi kesrin payı tam karedir. Bir kesrin payı sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşit ve payda sıfırdan farklıdır:
(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0
İlk denklemi çözelim:
t - 1 = 0;
t = 1.
Bu değer ikinci şartı karşılamaktadır. Dolayısıyla denklemimizi tamamen çözdüğümüzü söyleyebiliriz, ancak yalnızca t değişkenine göre. Şimdi t’nin ne olduğunu hatırlayalım:
[Resmin başlığı]Oranı bulduk:
lgx = 2 lgx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
Bu denklemi kanonik formuna getiriyoruz:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Sonuç olarak, teoride orijinal denklemin çözümü olan tek bir kök elde ettik. Ancak yine de işi riske atalım ve orijinal denklemin tanım tanım kümesini yazalım:
[Resmin başlığı] Bu nedenle kökümüz tüm gereksinimleri karşılıyor. Orijinal logaritmik denklemin çözümünü bulduk. Cevap: x = 0,1. Sorun çözüldü.
Bugünkü dersimizde tek bir kilit nokta var: Bir çarpımdan toplama ve geriye doğru geçiş formülünü kullanırken, geçişin hangi yöne yapıldığına bağlı olarak tanımın kapsamının daraltılabileceğini veya genişleyebileceğini mutlaka dikkate alın.
Ne olduğunu nasıl anlayabilirim: daralma mı yoksa genişleme mi? Çok basit. Daha önce işlevler bir aradaysa ve şimdi ayrıysa, tanımın kapsamı daralmıştır (çünkü daha fazla gereksinim vardır). Başlangıçta işlevler ayrı ayrı duruyorsa ve şimdi bir aradaysa, o zaman tanım alanı genişletilir (ürüne bireysel faktörlere göre daha az gereksinim dayatılır).
Bu açıklamayı dikkate alarak, ikinci logaritmik denklemin bu dönüşümleri hiç gerektirmediğini, yani argümanları hiçbir yere eklemediğimizi veya çarpmadığımızı belirtmek isterim. Ancak burada, çözümü önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanıyan başka bir harika tekniğe dikkatinizi çekmek istiyorum. Bir değişkenin değiştirilmesiyle ilgilidir.
Ancak hiçbir ikamenin bizi tanımın kapsamından kurtarmadığını unutmayın. Bu nedenle tüm kökler bulunduktan sonra tembel olmadık ve ODZ'sini bulmak için orijinal denkleme geri döndük.
Çoğunlukla bir değişkeni değiştirirken öğrenciler t değerini bulup çözümün tamamlandığını düşündüklerinde can sıkıcı bir hata ortaya çıkar. Hayır, hiçbir durumda!
T'nin değerini bulduktan sonra orijinal denkleme dönüp bu harfle tam olarak ne demek istediğimizi görmeniz gerekir. Sonuç olarak, orijinalinden çok daha basit olacak bir denklemi daha çözmemiz gerekiyor.
Yeni bir değişkenin tanıtılmasının amacı tam olarak budur. Orijinal denklemi, her birinin çok daha basit bir çözümü olan iki ara denkleme ayırdık.
"İç içe geçmiş" logaritmik denklemler nasıl çözülür?
Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam edeceğiz ve bir logaritmanın başka bir logaritmanın işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz.
Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve bir logaritmanın diğerinin işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz. Size şunu hatırlatmama izin verin, log a f (x) = b formundaki en basit logaritmik denklemimiz varsa, o zaman böyle bir denklemi çözmek için gerçekleştirdiğimiz sonraki adımlar. Öncelikle b sayısını değiştirmemiz gerekiyor:
b = log a a b
Not: a b bir argümandır. Benzer şekilde orijinal denklemde argüman f(x) fonksiyonudur. Sonra denklemi yeniden yazar ve şu yapıyı elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
Daha sonra üçüncü adımı gerçekleştirebiliriz - logaritma işaretinden kurtulun ve basitçe şunu yazın:
f(x) = a b
Sonuç olarak yeni bir denklem elde ederiz. Bu durumda f(x) fonksiyonuna herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Mesela onun yerine de olabilir logaritmik fonksiyon. Ve sonra yine logaritmik bir denklem elde edeceğiz ve bunu yine en basit formuna indirip kanonik form aracılığıyla çözeceğiz.
Ancak şarkı sözleri yeterli. Asıl sorunu çözelim. Yani, görev numarası 1:
günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = 2
Gördüğünüz gibi basit bir logaritmik denklemimiz var. F (x)'in rolü 1 + 3 log 2 x yapısıdır ve b sayısının rolü 2 sayısıdır (a'nın rolü de iki tarafından oynanır). Bu ikisini şu şekilde yeniden yazalım:
İlk iki ikinin bize logaritmanın tabanından geldiğini anlamak önemlidir; yani orijinal denklemde 5 olsaydı, o zaman 2 = log 5 5 2 elde ederdik. Genel olarak taban yalnızca problemde başlangıçta verilen logaritmaya bağlıdır. Ve bizim durumumuzda bu 2 sayısıdır.
Sağdaki ikisinin de aslında bir logaritma olduğunu dikkate alarak logaritmik denklemimizi yeniden yazıyoruz. Şunu elde ederiz:
günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = günlük 2 4
Planımızın son adımına geçelim - kanonik formdan kurtulma. Basitçe kütük işaretlerinin üzerini çizdiğimizi söyleyebilirsiniz. Bununla birlikte, matematiksel açıdan bakıldığında, "günlüğün üzerini çizmek" imkansızdır - argümanları basitçe eşitlediğimizi söylemek daha doğru olacaktır:
1 + 3 log 2 x = 4
Buradan 3 log 2 x'i kolaylıkla bulabiliriz:
3 log 2 x = 3
günlük 2 x = 1
Yine en basit logaritmik denklemi elde ettik, tekrar kanonik forma getirelim. Bunu yapmak için aşağıdaki değişiklikleri yapmamız gerekiyor:
1 = günlük 2 2 1 = günlük 2 2
Üssünde neden iki tane var? Çünkü soldaki kanonik denklemimizde tam olarak 2 tabanına göre bir logaritma var. Bu gerçeği dikkate alarak problemi yeniden yazıyoruz:
günlük 2 x = günlük 2 2
Yine logaritma işaretinden kurtuluyoruz, yani basitçe argümanları eşitliyoruz. Tabanlar aynı olduğundan ve sağda veya solda başka hiçbir işlem yapılmadığından bunu yapma hakkımız var:
İşte bu! Sorun çözüldü. Logaritmik denklemin çözümünü bulduk.
Dikkat etmek! Her ne kadar argümanda x değişkeni görünse de (yani tanım alanı için gereksinimler mevcutsa), herhangi bir ek gereksinim yapmayacağız.
Yukarıda söylediğim gibi, bu çek değişken yalnızca bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde ortaya çıkıyorsa gereksizdir. Bizim durumumuzda x gerçekte yalnızca argümanda ve yalnızca bir log işareti altında görünür. Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur.
Ancak güvenmiyorsanız bu yöntem, o zaman x = 2'nin gerçekten bir kök olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz. Bu sayıyı orijinal denklemde değiştirmek yeterlidir.
Şimdi ikinci denkleme geçelim, biraz daha ilginç:
log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1
İçerisindeki ifadeyi belirtirsek büyük logaritma f(x) fonksiyonuyla bugünkü video dersine başladığımız en basit logaritmik denklemi elde ederiz. Bu nedenle, birimi log 2 2 1 = log 2 2 biçiminde temsil etmemiz gereken kanonik formu uygulayabiliriz.
Büyük denklemimizi yeniden yazalım:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Argümanları eşitleyerek logaritmanın işaretinden uzaklaşalım. Bunu yapmaya hakkımız var çünkü hem solda hem de sağda tabanlar aynı. Ayrıca log 2 4 = 2'ye dikkat edin:
log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x - 1) = 0
Önümüzde yine log a f (x) = b formunun en basit logaritmik denklemi var. Kanonik forma geçelim yani sıfırı log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 formunda temsil ediyoruz.
Denklemimizi yeniden yazıyoruz ve argümanları eşitleyerek log işaretinden kurtuluyoruz:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x - 1 = 1
Yine hemen yanıt aldık. Orijinal denklemde fonksiyonu bağımsız değişken olarak yalnızca bir logaritma içerdiğinden ek kontrollere gerek yoktur.
Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur. Bu denklemin tek kökünün x = 1 olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.
Ancak ikinci logaritmada dört yerine bir x fonksiyonu varsa (veya 2x argümanda değil tabandaysa), o zaman tanım alanını kontrol etmek gerekli olacaktır. Aksi halde fazladan köklerle karşılaşma ihtimaliniz yüksektir.
Bu ekstra kökler nereden geliyor? Bu noktanın çok iyi anlaşılması gerekiyor. Orijinal denklemlere bir göz atın: x fonksiyonu her yerde logaritma işaretinin altındadır. Bu nedenle log 2 x'i yazdığımız için gereksinimi otomatik olarak x > 0 olarak ayarladık. Aksi halde bu giriş Hiç mantıklı değil.
Ancak logaritmik denklemi çözdükçe tüm log işaretlerinden kurtulur ve basit yapılar elde ederiz. Artık burada herhangi bir kısıtlama yoktur, çünkü doğrusal fonksiyon x'in herhangi bir değeri için tanımlanır.
Sorun tam olarak bu olduğunda son fonksiyon her yerde ve her zaman tanımlanır, ancak orijinal olan hiçbir şekilde her yerde değildir ve her zaman değildir ve logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla fazladan köklerin ortaya çıkmasının nedenidir.
Ancak bir kez daha tekrar ediyorum: Bu yalnızca fonksiyonun birden fazla logaritmada veya bunlardan birinin tabanında olması durumunda gerçekleşir. Bugün ele aldığımız problemlerde prensip olarak tanım alanının genişletilmesinde herhangi bir sorun yoktur.
Farklı gerekçelerle davalar
Bu ders daha fazlasına adanmıştır karmaşık yapılar. Günümüzün denklemlerindeki logaritmalar artık hemen çözülmeyecek; önce bazı dönüşümlerin yapılması gerekecek.
Birbirinin tam kuvvetleri olmayan tamamen farklı tabanlara sahip logaritmik denklemleri çözmeye başlıyoruz. Bu tür sorunların sizi korkutmasına izin vermeyin; bunları çözmek, yukarıda tartıştığımız en basit tasarımlardan daha zor değil.
Ancak doğrudan sorunlara geçmeden önce, size en basit logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak çözme formülünü hatırlatmama izin verin. Bunun gibi bir sorunu düşünün:
loga f(x) = b
f(x) fonksiyonunun sadece bir fonksiyon olması ve a ve b sayılarının rolünün (herhangi bir x değişkeni olmadan) sayılar olması önemlidir. Elbette, kelimenin tam anlamıyla bir dakika içinde a ve b değişkenleri yerine fonksiyonların olduğu bu tür durumlara bakacağız, ancak bu şimdi bununla ilgili değil.
Hatırladığımız gibi, b sayısının, soldaki aynı a tabanına göre bir logaritma ile değiştirilmesi gerekir. Bu çok basit bir şekilde yapılır:
b = log a a b
Elbette “herhangi bir sayı b” ve “herhangi bir sayı a” kelimeleri tanım kapsamını karşılayan değerler anlamına gelir. Özellikle bu denklemde hakkında konuşuyoruz yalnızca a > 0 ve a ≠ 1 tabanı.
Bununla birlikte, bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilir, çünkü orijinal problem zaten a tabanına göre bir logaritma içerir - bu kesinlikle 0'dan büyük olacaktır ve 1'e eşit olmayacaktır. Bu nedenle logaritmik denklemi çözmeye devam ediyoruz:
log a f (x) = log a a b
Böyle bir gösterime kanonik form denir. Kolaylığı, argümanları eşitleyerek log işaretinden hemen kurtulabilmemizde yatmaktadır:
f(x) = a b
Logaritmik denklemleri çözmek için şimdi kullanacağımız teknik budur. değişken taban. Öyleyse gidelim!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Sırada ne var? Birisi şimdi doğru logaritmayı hesaplamanız veya bunları aynı tabana indirmeniz veya başka bir şey yapmanız gerektiğini söyleyecektir. Ve aslında, şimdi her iki tabanı da aynı forma getirmemiz gerekiyor - ya 2 ya da 0,5. Ama gelin şu kuralı kesin olarak öğrenelim:
Logaritmik bir denklemde ondalık sayılar varsa, bu kesirleri ondalık gösterim normale. Bu dönüşüm çözümü büyük ölçüde basitleştirebilir.
Böyle bir geçiş, herhangi bir eylem veya dönüşüm gerçekleştirilmeden önce bile hemen gerçekleştirilmelidir. Görelim:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8
Böyle bir kayıt bize ne verir? 1/2 ve 1/8'i c'nin kuvvetleri olarak gösterebiliriz. negatif gösterge:
[Resmin başlığı] Önümüzde kanonik form var. Argümanları eşitliyoruz ve klasik ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Önümüzde Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilecek aşağıdaki ikinci dereceden denklem var. Lisede benzer görüntüleri kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak görmelisiniz:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
İşte bu! Orijinal logaritmik denklem çözüldü. İki kökümüz var.
Bu durumda tanım kümesini belirlemeye gerek olmadığını hatırlatmama izin verin, çünkü x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Bu nedenle tanım kapsamı otomatik olarak gerçekleştirilir.
Böylece ilk denklem çözülür. Gelelim ikincisine:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Şimdi birinci logaritmanın argümanının negatif üssü olan bir kuvvet olarak da yazılabileceğine dikkat edin: 1/2 = 2 −1. Daha sonra denklemin her iki tarafındaki kuvvetleri çıkarıp her şeyi -1'e bölebilirsiniz:
[Resmin başlığı] Ve şimdi çok şey başardık önemli adım Logaritmik bir denklemin çözümünde. Belki birisi bir şeyi fark etmemiştir o yüzden açıklamama izin verin.
Denklemimize bakın: hem solda hem de sağda bir log işareti var, ancak solda 2 tabanına göre bir logaritma var ve sağda 3 tabanına göre bir logaritma var. Üç, bir tamsayı kuvveti değildir. iki ve tam tersine 2'nin 3 olduğunu tamsayı derece cinsinden yazamazsınız.
Sonuç olarak bunlar, yalnızca kuvvetlerin eklenmesiyle birbirine indirgenemeyen, farklı tabanlara sahip logaritmalardır. Tek yol Bu tür sorunların çözümü bu logaritmaların birinden kurtulmaktır. Bu durumda, hala oldukça basit problemleri ele aldığımız için, sağdaki logaritma basitçe hesaplandı ve en basit denklemi elde ettik - tam da bugünkü dersin başında bahsettiğimiz denklemin aynısı.
Sağdaki 2 sayısını log 2 2 2 = log 2 4 olarak temsil edelim. Sonra logaritma işaretinden kurtuluruz ve elimizde ikinci dereceden bir denklem kalır:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x - 2 = 0
Önümüzde sıradan bir ikinci dereceden denklem var, ancak x 2'nin katsayısı birden farklı olduğu için indirgenmiyor. Bu nedenle bunu bir diskriminant kullanarak çözeceğiz:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
İşte bu! Her iki kökü de bulduk, bu da orijinal logaritmik denklemin çözümünü elde ettiğimiz anlamına geliyor. Aslında orijinal problemde x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Sonuç olarak, tanım alanı üzerinde hiçbir ek kontrole gerek yoktur; bulduğumuz her iki kök de kesinlikle tüm olası kısıtlamaları karşılamaktadır.
Bu, bugünkü video dersinin sonu olabilir, ancak sonuç olarak tekrar söylemek isterim: logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdüğünüzden emin olun. Çoğu durumda bu, çözümlerini büyük ölçüde basitleştirir.
Nadiren, çok nadiren, ondalık kesirlerden kurtulmanın yalnızca hesaplamaları zorlaştırdığı sorunlarla karşılaşırsınız. Ancak bu tür denklemlerde kural olarak ondalık kesirlerden kurtulmaya gerek olmadığı başlangıçta açıktır.
Diğer birçok durumda (özellikle logaritmik denklemleri çözmeye yeni başlıyorsanız), ondalık sayılardan kurtulmaktan ve bunları sıradan sayılara dönüştürmekten çekinmeyin. Çünkü uygulama, bu şekilde sonraki çözümü ve hesaplamaları önemli ölçüde basitleştireceğinizi gösteriyor.
Çözümün incelikleri ve püf noktaları
Bugün daha fazlasına geçiyoruz karmaşık görevler ve temeli sayı değil fonksiyon olan logaritmik bir denklemi çözeceğiz.
Ve bu fonksiyon doğrusal olsa bile şunu eklemek zorunda kalacaksınız: küçük değişiklikler anlamı şu şekilde özetlenebilir: ek gereksinimler, logaritmanın tanım alanı üzerine bindirilmiştir.
Karmaşık görevler
Bu eğitim oldukça uzun olacak. İçinde birçok öğrencinin hata yaptığı iki ciddi logaritmik denklemi çözerken analiz edeceğiz. Matematik öğretmeni olarak çalışmalarım sırasında sürekli olarak iki tür hatayla karşılaştım:
- Logaritmanın tanım alanının genişlemesi nedeniyle ekstra köklerin ortaya çıkması. Bu tür rahatsız edici hatalardan kaçınmak için her dönüşümü dikkatle izleyin;
- Öğrencinin bazı "ince" durumları dikkate almayı unutması nedeniyle kök kaybı - bunlar bugün odaklanacağımız durumlardır.
Bu son ders, logaritmik denklemlere adanmıştır. Uzun olacak, karmaşık logaritmik denklemleri analiz edeceğiz. Rahat olun, kendinize bir çay yapın ve başlayalım.
İlk denklem oldukça standart görünüyor:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Her iki logaritmanın da birbirinin ters kopyaları olduğunu hemen belirtelim. Harika formülü hatırlayalım:
log a b = 1/log b a
Bununla birlikte, bu formülün a ve b sayıları yerine x değişkeninin fonksiyonları olması durumunda ortaya çıkan bir takım sınırlamaları vardır:
b > 0
1 ≠ a > 0
Bu gereksinimler logaritmanın tabanı için geçerlidir. Öte yandan, bir kesirde 1 ≠ a > 0 olması gerekir, çünkü yalnızca a değişkeni logaritmanın argümanında yer almakla kalmaz (dolayısıyla a > 0), logaritmanın kendisi de kesirin paydasındadır. . Ancak log b 1 = 0 ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir, yani a ≠ 1.
Yani a değişkeni üzerindeki kısıtlamalar devam ediyor. Peki b değişkenine ne olur? Bir yandan taban b > 0'ı, diğer yandan b ≠ 1 değişkenini ima eder, çünkü logaritmanın tabanı 1'den farklı olmalıdır. Toplamda, formülün sağ tarafından 1 ≠ sonucu çıkar. b > 0.
Ancak sorun şu: Sol logaritmayla ilgili olan birinci eşitsizlikte ikinci koşul (b ≠ 1) eksik. Başka bir deyişle, bu dönüşümü gerçekleştirirken yapmamız gerekenler ayrı ayrı kontrol edin, b argümanının birden farklı olduğunu!
Öyleyse kontrol edelim. Formülümüzü uygulayalım:
[Resmin başlığı] 1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Yani orijinal logaritmik denklemden, hem a'nın hem de b'nin 0'dan büyük olması ve 1'e eşit olmaması gerektiğini zaten anladık. Bu, logaritmik denklemi kolayca tersine çevirebileceğimiz anlamına gelir:
Yeni bir değişken tanıtmayı öneriyorum:
log x + 1 (x - 0,5) = t
Bu durumda inşaatımız şu şekilde yeniden yazılacaktır:
(t 2 - 1)/t = 0
Payda kareler farkına sahip olduğumuzu unutmayın. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak karelerin farkını ortaya çıkarıyoruz:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Bir kesrin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda kesir sıfıra eşittir. Ancak pay bir çarpım içerdiğinden her faktörü sıfıra eşitliyoruz:
t1 = 1;
t2 = −1;
t ≠ 0.
Görüldüğü gibi t değişkeninin her iki değeri de bize uygundur. Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü t'yi değil x'in değerini bulmamız gerekiyor. Logaritmaya dönüp şunu elde ederiz:
log x + 1 (x - 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Bu denklemlerin her birini kanonik forma koyalım:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
İlk durumda logaritma işaretinden kurtuluruz ve argümanları eşitleriz:
x - 0,5 = x + 1;
x - x = 1 + 0,5;
Böyle bir denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla ilk logaritmik denklemin de kökleri yoktur. Ancak ikinci denklemde her şey çok daha ilginç:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Orantıyı çözersek şunu elde ederiz:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak kullanmanın çok daha uygun olduğunu hatırlatmama izin verin, o yüzden denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.
Önümüzde aşağıdaki ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:
(x + 3/2) (x - 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
İki kökümüz var - bunlar orijinal logaritmik denklemi çözmeye adaylar. Aslında cevaba hangi köklerin gireceğini anlamak için asıl soruna dönelim. Şimdi her bir kökümüzün tanım alanına uyup uymadığını kontrol edeceğiz:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Bu gereksinimler çifte eşitsizliğe eşdeğerdir:
1 ≠ x > 0,5
Buradan x = −1,5 kökünün bize uymadığını, ancak x = 1'in oldukça uyduğunu hemen görüyoruz. Bu nedenle x = 1 - nihai karar logaritmik denklem.
Gelelim ikinci göreve:
günlük x 25 + günlük 125 x 5 = günlük 25 x 625
İlk bakışta tüm logaritmalar öyle görünebilir farklı nedenler ve çeşitli argümanlar. Bu tür yapılarla ne yapmalı? Öncelikle 25, 5 ve 625 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Şimdi kullanalım dikkat çekici özellik logaritma Önemli olan, bir argümandan güçleri faktörler biçiminde çıkarabilmenizdir:
log a b n = n ∙ log a b
Bu dönüşüm, b'nin bir fonksiyonla değiştirilmesi durumunda da kısıtlamalara tabidir. Ama bizim için b sadece bir sayıdır ve ek kısıtlamalar ortaya çıkmaz. Denklemimizi yeniden yazalım:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Log işaretini içeren üç terimli bir denklem elde ettik. Ayrıca her üç logaritmanın argümanları da eşittir.
Logaritmaları ters çevirerek aynı tabana (5) getirmenin zamanı geldi. b değişkeni bir sabit olduğundan tanım alanında herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Hemen yeniden yazıyoruz:
[Resmin başlığı] Beklendiği gibi paydada da aynı logaritmalar ortaya çıktı. Değişkeni değiştirmenizi öneririm:
log 5 x = t
Bu durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:
Payı yazıp parantezleri açalım:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Kesirimize dönelim. Pay sıfır olmalıdır:
[Resmin başlığı] Ve payda sıfırdan farklıdır:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Son gereksinimler otomatik olarak yerine getirilir çünkü bunların tümü tam sayılara "bağlıdır" ve tüm yanıtlar irrasyoneldir.
Bu yüzden, kesirli rasyonel denklemçözüldükten sonra t değişkeninin değerleri bulunur. Logaritmik denklemi çözmeye dönelim ve t'nin ne olduğunu hatırlayalım:
[Resmin başlığı] Bu denklemi kanonik forma getirirsek, bir sayı elde ederiz. irrasyonel derece. Bunun kafanızı karıştırmasına izin vermeyin; bu tür argümanlar bile eşitlenebilir:
[Resmin başlığı] İki kökümüz var. Daha doğrusu, adayların iki yanıtı var; bunların tanım alanına uygunluğu açısından kontrol edelim. Logaritmanın tabanı x değişkeni olduğundan aşağıdakilere ihtiyacımız var:
1 ≠ x > 0;
Aynı başarıyla x ≠ 1/125 olduğunu iddia ediyoruz, aksi takdirde ikinci logaritmanın tabanı birliğe dönecektir. Son olarak üçüncü logaritma için x ≠ 1/25.
Toplamda dört kısıtlama aldık:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Şimdi soru şu: Köklerimiz bu gereksinimleri karşılıyor mu? Tabii ki tatmin ediyorlar! Çünkü 5'in herhangi bir kuvveti sıfırdan büyük olacaktır ve x > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanır.
Öte yandan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, bu da köklerimiz için bu kısıtlamaların (ki size hatırlatmama izin verin) anlamına gelir. irrasyonel sayı) da memnundur ve her iki cevap da sorunun çözümüdür.
Yani son cevabımız var. Önemli Noktalar Bu problemde iki tane var:
- Argüman ve taban yer değiştirdiğinde logaritmayı çevirirken dikkatli olun. Bu tür dönüşümler tanımın kapsamına gereksiz kısıtlamalar getirmektedir.
- Logaritmaları dönüştürmekten korkmayın: onları yalnızca ters çevirmekle kalmaz, aynı zamanda toplam formülünü kullanarak da açabilirsiniz ve genel olarak çözerken üzerinde çalıştığınız formülleri kullanarak bunları değiştirebilirsiniz. logaritmik ifadeler. Ancak şunu asla unutmayın: Bazı dönüşümler tanımın kapsamını genişletir, bazıları ise daraltır.
Bu derste logaritmalarla ilgili temel teorik gerçekleri gözden geçireceğiz ve en basit logaritmik denklemleri çözmeyi ele alacağız.
Merkezi tanımı, logaritmanın tanımını hatırlayalım. Kararla alakalı üstel denklem. Bu denklem tek bir kökü vardır, buna b'nin a tabanına göre logaritması denir:
Tanım:
b'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üstür.
Size hatırlatalım temel logaritmik kimlik.
İfade (ifade 1) denklemin köküdür (ifade 2). İfade 1'deki x değerini x yerine ifade 2'ye koyun ve ana logaritmik özdeşliği elde edin:
Yani her değerin bir değerle ilişkilendirildiğini görüyoruz. b'yi x() ile, c'yi y ile gösteririz ve böylece logaritmik bir fonksiyon elde ederiz:
Örneğin: 
Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini hatırlayalım.
Burada bir kez daha dikkat edelim, çünkü logaritma altında logaritmanın tabanı olarak kesinlikle pozitif bir ifade olabilir.
Pirinç. 1. Logaritmik fonksiyonun farklı tabanlardaki grafiği
Fonksiyonun grafiği siyah renkte gösterilmiştir. Pirinç. 1. Eğer argüman sıfırdan sonsuza artarsa, fonksiyon eksiden artı sonsuza artar.
Fonksiyonun grafiği kırmızıyla gösterilmiştir. Pirinç. 1.
Bu fonksiyonun özellikleri:
Kapsam: ;
Değer aralığı: ;
Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monotondur. Monoton olarak (kesinlikle) arttığında, daha yüksek değer argüman fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelir. Monoton (kesinlikle) azaldığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.
Logaritmik fonksiyonun özellikleri, çeşitli logaritmik denklemleri çözmenin anahtarıdır.
En basit logaritmik denklemi ele alalım; diğer tüm logaritmik denklemler kural olarak bu forma indirgenir.
Logaritmanın tabanları ve logaritmanın kendisi eşit olduğundan, logaritmanın altındaki fonksiyonlar da eşittir, ancak tanım alanını kaçırmamalıyız. Logaritmanın altında yalnızca pozitif bir sayı görünebilir, elimizde:
f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu bulduk, dolayısıyla ODZ'ye uymak için herhangi bir eşitsizliği seçmenin yeterli olduğunu gördük.
Böylece, bir denklemin ve bir eşitsizliğin olduğu karma bir sistemimiz var:
Kural olarak, bir eşitsizliği çözmek gerekli değildir; denklemi çözmek ve bulunan kökleri eşitsizliğin yerine koymak ve böylece bir kontrol yapmak yeterlidir.
En basit logaritmik denklemleri çözmek için bir yöntem formüle edelim:
Logaritmanın tabanlarını eşitleyin;
Sublogaritmik fonksiyonları eşitleyin;
Kontrol gerçekleştirin.
Belirli örneklere bakalım.
Örnek 1 - denklemi çözün:
Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkına sahibiz, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ilk logaritmayı seçiyoruz:
Örnek 2 - denklemi çözün:
Bu denklem, logaritmanın tabanlarının birden küçük olması nedeniyle öncekinden farklıdır, ancak bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemez:
Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:
Yanlış bir eşitsizlik aldık, bu da bulunan kökün ODZ'yi karşılamadığı anlamına geliyor.
Örnek 3 - denklemi çözün:
Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkımız var, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ikinci logaritmayı seçiyoruz:
Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:
Açıkçası, yalnızca ilk kök DD'yi karşılar.
giriiş
Logaritmalar hesaplamaları hızlandırmak ve basitleştirmek için icat edildi. Logaritma fikri yani sayıları aynı tabanın kuvvetleri olarak ifade etme fikri Mikhail Stiefel'e aittir. Ancak Stiefel'in zamanında matematik bu kadar gelişmemişti ve logaritma fikri de gelişmemişti. Logaritmalar daha sonra İskoç bilim adamı John Napier (1550-1617) ve İsviçreli Jobst Burgi (1552-1632) tarafından aynı anda ve birbirinden bağımsız olarak icat edildi ve bu çalışmayı 1614'te yayınlayan ilk kişi Napier oldu. "İnanılmaz logaritma tablosunun açıklaması" başlıklı Napier'in logaritma teorisi yeterince ayrıntılı olarak verildi tam olarak Logaritmaları hesaplama yöntemi en basit şekilde verilmiştir, bu nedenle Napier'in logaritmanın icadındaki değeri Bürgi'ninkinden daha büyüktür. Bürgi, Napier'le aynı zamanda masalarda çalışıyordu ama uzun zamandır onları gizli tuttu ve ancak 1620'de yayınladı. Napier, 1594 civarında logaritma fikrinde ustalaştı. tablolar 20 yıl sonra yayınlanmış olmasına rağmen. İlk başta logaritmalarına "yapay sayılar" adını verdi ve ancak daha sonra bu "yapay sayılara" tek kelimeyle "logaritma" adını vermeyi önerdi; bu, Yunancadan çevrildiğinde, biri aritmetik ilerlemeden, diğeri ise bir aritmetik ilerlemeden alınan "bağıntılı sayılar" anlamına gelir. Bunun için özel olarak seçilmiş geometrik ilerleme. Rusça'daki ilk tablolar 1703'te yayınlandı. 18. yüzyılın harika bir öğretmeninin katılımıyla. L. F. Magnitsky. Logaritma teorisinin geliştirilmesinde büyük değer Petersburglu akademisyen Leonhard Euler'in çalışmaları vardı. Logaritmayı bir kuvvete yükseltmenin tersi olarak düşünen ilk kişi oydu; "logaritma tabanı" ve "mantis" terimlerini tanıttı. Briggs, 10 tabanlı logaritma tabloları derledi. Ondalık tablolar pratik kullanım için daha uygundur, onların teorisi Napier'in logaritmasından daha basittir. Bu yüzden ondalık logaritmalar bazen brig denir. "Karakterizasyon" terimi Briggs tarafından tanıtıldı.
Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. Antik çağlarda matematik problemleri Mezopotamya, Hindistan, Çin, Yunanistan, bilinmeyen miktarlar bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğa sayısını, mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin bütünlüğünü ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitimli katipler, yetkililer ve inisiyeler gizli bilgi Rahipler bu tür görevlerle oldukça başarılı bir şekilde başa çıktılar.
Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs veya kil tablette bu tekniklerin açıklaması yer almıyor. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.
Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi zamanla iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve çalışma El-Harizmi'nin bizzat kendisi denklem çözme biliminin gelişmesinde başlangıç noktası oldu.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler
1. Logaritmik denklemler
Logaritma işareti altında veya tabanında bir bilinmeyen içeren bir denkleme logaritmik denklem denir.
En basit logaritmik denklem, formun bir denklemidir
kayıt A X = B . (1)
Açıklama 1. Eğer A > 0, A≠ 1, herhangi bir gerçek için denklem (1) B sahip olmak tek çözüm X = bir b .
Örnek 1. Denklemleri çözün:
a)günlük 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)
Çözüm. İfade 1'i kullanarak şunu elde ederiz: a) X= 2 3 veya X= 8; B) X= 3 -1 veya X= 1/3; C)
veya X = 1.Logaritmanın temel özelliklerini sunalım.
P1. Temel logaritmik kimlik:
Nerede A > 0, A≠ 1 ve B > 0.
P2. Pozitif faktörlerin çarpımının logaritması toplamına eşit bu faktörlerin logaritmaları:
kayıt A N 1 · N 2 = günlük A N 1 + günlük A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Yorum. Eğer N 1 · N 2 > 0 ise P2 özelliği şu formu alır:
kayıt A N 1 · N 2 = günlük A |N 1 | + günlük A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. İki pozitif sayının bölümünün logaritması, bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Yorum. Eğer
, (bu eşdeğerdir N 1 N 2 > 0) o zaman P3 özelliği şu şekli alır
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Derecenin logaritması pozitif sayı ürüne eşit bu sayının logaritması başına üssü:
kayıt A N k = k kayıt A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).
Yorum. Eğer k - çift sayı (k = 2S), O
kayıt A N 2S = 2S kayıt A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Başka bir üsse geçmenin formülü:
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, B
≠ 1, N
> 0),
özellikle eğer N = B, alıyoruz
(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)P4 ve P5 özelliklerini kullanarak aşağıdaki özellikleri elde etmek kolaydır
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (3)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (4)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (5)
ve eğer (5)'te ise C- çift sayı ( C = 2N), tutar
(B
> 0, A
≠ 0, |A
| ≠ 1). (6)
Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini listeleyelim F (X) = günlük A X :
1. Logaritmik bir fonksiyonun tanım alanı pozitif sayılar kümesidir.
2. Logaritmik fonksiyonun değer aralığı gerçek sayılar kümesidir.
3. Ne zaman A> 1 logaritmik fonksiyon kesinlikle artıyor (0< X 1 < X 2 günlük A X 1 < logA X 2) ve 0'da< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 günlük A X 1 > günlük A X 2).
4.günlük A 1 = 0 ve log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).
5. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon negatiftir: X(0;1) ve pozitif X(1;+∞) ve eğer 0 ise< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) ve negatif X (1;+∞).
6. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon yukarı doğru dışbükeydir ve eğer A(0;1) - aşağı doğru dışbükey.
Logaritmik denklemleri çözerken aşağıdaki ifadeler (örneğin bkz.) kullanılır.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.