Tamsayılarda denklem çözmek en eski matematik problemlerinden biridir. Zaten MÖ 2. binyılın başında. e. Babilliler bu tür denklem sistemlerini iki değişkenle nasıl çözeceklerini biliyorlardı. Matematiğin bu alanı Antik Yunan'da en büyük gelişimine ulaştı. Ana kaynağımız çeşitli denklem türlerini içeren Diophantus Aritmetiğidir. İçinde Diophantus (denklemlerin adı Diophantine denklemleridir), ancak 19. yüzyılda geliştirilen 2. ve 3. derece denklemleri incelemek için bir dizi yöntem öngörmektedir.

En basit Diophantine denklemleri şöyledir: ax + y = 1 (iki değişkenli denklem, birinci derece) x2 + y2 = z2 (üç değişkenli denklem, ikinci derece)

Cebirsel denklemler en kapsamlı şekilde incelenmiştir; bunların çözümü 16. ve 17. yüzyıllarda cebirin en önemli problemlerinden biriydi.

19. yüzyılın başlarında P. Fermat, L. Euler ve K. Gauss'un çalışmaları Diophantine denklemini şu şekilde araştırıyordu: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, burada a, b, c , d, e, f sayılardır; x, y bilinmeyen değişkenler.

Bu, iki bilinmeyenli 2. dereceden bir denklemdir.

K. Gauss, iki değişkenli (Diofant denklemleri) belirli denklem türlerini çözmenin temelini oluşturan genel bir ikinci dereceden form teorisi geliştirdi. Temel yöntemler kullanılarak çözülebilecek çok sayıda spesifik Diophantine denklemi vardır. /p>

Teorik materyal.

Çalışmanın bu bölümünde temel matematiksel kavramlar anlatılacak, terimler tanımlanacak ve iki değişkenli denklemler çözülürken incelenen ve dikkate alınan belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak açılım teoremi formüle edilecektir.

Tanım 1: a, b, c, d, e, f sayıları olmak üzere ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 formundaki denklem; bilinmeyen x, y değişkenli iki değişkenli ikinci dereceden denklem denir.

Bir okul matematik dersinde, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi incelenir; burada x sayısının a, b, c'si tek değişkenli bir değişkendir. Bu denklemi çözmenin birçok yolu vardır:

1. Diskriminant kullanarak kökleri bulma;

2. Çift katsayı için köklerin bulunması (D1='e göre);

3. Vieta teoremini kullanarak kökleri bulma;

4. Bir binomun tam karesini ayırarak kökleri bulma.

Bir denklemi çözmek, onun tüm köklerini bulmak veya var olmadıklarını kanıtlamak anlamına gelir.

Tanım 2: Bir denklemin kökü, bir denklemde yerine konulduğunda gerçek bir eşitlik oluşturan bir sayıdır.

Tanım 3: İki değişkenli bir denklemin çözümüne (x, y) sayı çifti denir, denklemde yerine konulduğunda gerçek eşitliğe dönüşür.

Bir denklemin çözümlerini bulma süreci genellikle denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesinden oluşur, ancak çözülmesi daha kolaydır. Bu tür denklemlere eşdeğer denir.

Tanım 4: Bir denklemin her çözümü diğer denklemin çözümü ise veya tam tersi ise ve her iki denklem de aynı alanda kabul ediliyorsa, iki denklemin eşdeğer olduğu söylenir.

İki değişkenli denklemleri çözmek için, denklemin tam kareler toplamına ayrıştırılmasına ilişkin teoremi kullanın (belirsiz katsayılar yöntemiyle).

İkinci dereceden ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) denklemi için a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) açılımı gerçekleşir

İki değişkenli denklem (1) için genişlemenin (2) gerçekleştiği koşulları formüle edelim.

Teorem: Denklem (1)'in katsayıları a, b, c katsayıları a0 ve 4ab – c20 koşullarını sağlıyorsa genişleme (2) benzersiz bir şekilde belirlenir.

Başka bir deyişle, iki değişkenli denklem (1), teoremin koşulları sağlandığı takdirde belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak (2) formuna indirgenebilir.

Belirsiz katsayılar yönteminin nasıl uygulandığına dair bir örneğe bakalım.

YÖNTEM No.1. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak denklemi çözün

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. a=2, b=1, c=2 yani a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40 teoreminin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.

2. Teoremin koşulları karşılanmıştır; formül (2)'ye göre genişletilebilirler.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, teoremin koşullarına göre kimliğin her iki kısmı eşdeğerdir. Kimliğin sağ tarafını sadeleştirelim.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Aynı değişkenlerin katsayılarını derecelerine eşitliyoruz.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Bir denklem sistemi elde edelim, çözelim ve katsayıların değerlerini bulalım.

7. Katsayıları (2)'de yerine koyarsak denklem şu şekli alacaktır:

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Dolayısıyla orijinal denklem denkleme eşdeğerdir

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), bu denklem iki doğrusal denklem sistemine eşdeğerdir.

Cevap: (-1; 1).

Genişletme türüne (3) dikkat ederseniz, bunun form olarak tek değişkenli ikinci dereceden bir denklemden tam bir kareyi ayırmayla aynı olduğunu fark edeceksiniz: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

İki değişkenli bir denklemi çözerken bu tekniği uygulayalım. Teorem kullanılarak çözülmüş olan iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemi tam kare seçimini kullanarak çözelim.

YÖNTEM 2: 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 denklemini çözün.

Çözüm: 1. 2x2'yi iki x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 teriminin toplamı olarak düşünelim.

2. Terimleri tam kare formülünü kullanarak katlayabilecek şekilde gruplayalım.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Parantez içindeki ifadelerden tam kareleri seçin.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Bu denklem bir doğrusal denklem sistemine eşdeğerdir.

Cevap: (-1;1).

Sonuçları karşılaştırırsanız, teorem ve belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak 1 numaralı yöntemle çözülen denklem ile tam kare çıkarımı kullanılarak 2 numaralı yöntemle çözülen denklemin aynı köklere sahip olduğunu görebilirsiniz.

Sonuç: İki değişkenli ikinci dereceden bir denklem, iki şekilde kareler toplamına genişletilebilir:

 Birinci yöntem teorem ve genişlemeye (2) dayanan belirsiz katsayılar yöntemidir.

 İkinci yol ise ardışık olarak tamamlanan kareleri seçmenizi sağlayan kimlik dönüşümlerini kullanmaktır.

Elbette problem çözerken genişleme (2) ve koşulları ezberlemeyi gerektirmediği için ikinci yöntem tercih edilir.

Bu yöntem aynı zamanda üç değişkenli ikinci dereceden denklemler için de kullanılabilir. Bu tür denklemlerde tam kareyi izole etmek daha fazla emek gerektirir. Gelecek yıl bu tür bir dönüşüm yapacağım.

f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f formuna sahip bir fonksiyonun, iki değişkenli ikinci dereceden bir fonksiyon olarak adlandırılması ilginçtir. İkinci dereceden fonksiyonlar matematiğin çeşitli dallarında önemli bir rol oynar:

Matematiksel programlamada (ikinci dereceden programlama)

Doğrusal cebir ve geometride (ikinci dereceden formlar)

Diferansiyel denklemler teorisinde (ikinci dereceden bir doğrusal denklemin kanonik forma indirgenmesi).

Bu çeşitli problemleri çözerken, esas olarak ikinci dereceden bir denklemden (bir, iki veya daha fazla değişken) tam bir kareyi ayırma prosedürünü uygulamak gerekir.

Denklemleri iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemle tanımlanan çizgilere ikinci dereceden eğriler denir.

Bu bir daire, elips, hiperbol.

Bu eğrilerin grafiklerini oluştururken, tam bir kareyi sırayla izole etme yöntemi de kullanılır.

Belirli örnekleri kullanarak tam bir kareyi sırayla seçme yönteminin nasıl çalıştığına bakalım.

Pratik kısım.

Tam bir kareyi sırayla izole etme yöntemini kullanarak denklemleri çözün.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Cevap:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Cevap:(0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Cevap:(-1;1).

Denklemleri çözün:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(formuna indirgenir: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Cevap: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(formuna indirgenir: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Cevap: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(formuna indirgenir: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Cevap: (7; -7)

Çözüm.

Bu bilimsel çalışmada ikinci dereceden iki değişkenli denklemler incelenmiş ve bunları çözme yöntemleri dikkate alınmıştır. Görev tamamlandı, tam bir karenin izole edilmesine ve denklemin eşdeğer bir denklem sistemi ile değiştirilmesine dayanan daha kısa bir çözüm yöntemi formüle edildi ve tanımlandı, bunun sonucunda iki değişkenli bir denklemin köklerini bulma prosedürü geliştirildi. basitleştirildi.

Çalışmanın önemli bir noktası da söz konusu tekniğin ikinci dereceden bir fonksiyonla ilgili çeşitli matematik problemlerinin çözümünde, ikinci dereceden eğrilerin oluşturulmasında ve ifadelerin en büyük (en küçük) değerinin bulunmasında kullanılmasıdır.

Bu nedenle, iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemin kareler toplamına ayrıştırılması tekniği matematikte en çok sayıda uygulamaya sahiptir.

Ders:Doğrusal fonksiyon

Ders:İki değişkenli doğrusal denklem ve grafiği

Koordinat ekseni ve koordinat düzlemi kavramlarına aşina olduk. Düzlemdeki her noktanın benzersiz bir şekilde bir (x; y) sayı çiftini tanımladığını biliyoruz; ilk sayı noktanın apsisi, ikincisi ise ordinattır.

Çözümü koordinat düzleminde temsil edilebilen bir sayı çifti olan, iki değişkenli bir doğrusal denklemle çok sık karşılaşacağız.

Formun denklemi:

a, b, c sayılardır ve

Buna iki değişken x ve y olan doğrusal denklem denir. Böyle bir denklemin çözümü herhangi bir x ve y sayı çifti olacaktır; bunları denklemde yerine koyarsak doğru sayısal eşitliği elde ederiz.

Koordinat düzleminde bir nokta olarak bir çift sayı gösterilecektir.

Bu tür denklemler için birçok çözüm, yani birçok sayı çifti göreceğiz ve bunlara karşılık gelen tüm noktalar aynı düz çizgi üzerinde yer alacak.

Bir örneğe bakalım:

Bu denklemin çözümlerini bulmak için karşılık gelen x ve y sayı çiftlerini seçmeniz gerekir:

Let , o zaman orijinal denklem bir bilinmeyenli bir denkleme dönüşüyor:

,

Yani, belirli bir denklemin (0; 3) çözümü olan ilk sayı çifti. A(0;3) noktasını elde ettik

İzin vermek . Tek değişkenli orijinal denklemi elde ederiz: buradan B(3; 0) noktasını elde ederiz

Sayı çiftlerini tabloya koyalım:

Grafikteki noktaları işaretleyelim ve düz bir çizgi çizelim:

Belirli bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın verilen denklemin çözümü olacağını unutmayın. Hadi kontrol edelim; koordinatı olan bir nokta alalım ve ikinci koordinatını bulmak için grafiği kullanalım. Bu noktada şu açıkça görülüyor. Bu sayı çiftini denklemde yerine koyalım. 0=0 elde ederiz - doğru bir sayısal eşitlik, bu da bir doğru üzerinde bulunan noktanın bir çözüm olduğu anlamına gelir.

Şimdilik, çizilen doğru üzerinde bulunan herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu kanıtlayamayız, bu nedenle bunu doğru olarak kabul ediyoruz ve daha sonra kanıtlayacağız.

Örnek 2 - denklemin grafiğini çizin:

Bir tablo yapalım; düz bir çizgi oluşturmak için yalnızca iki noktaya ihtiyacımız var, ancak kontrol için üçüncüyü alacağız:

İlk sütunda uygun olanı aldık, onu şuradan bulacağız:

, ,

İkinci sütunda uygun olanı aldık, x'i bulalım:

, , ,

Kontrol edip bulalım:

, ,

Bir grafik oluşturalım:

Verilen denklemi ikiyle çarpalım:

Böyle bir dönüşümden sonra çözüm kümesi değişmeyecek ve grafik aynı kalacaktır.

Sonuç: İki değişkenli denklemleri çözmeyi ve grafiklerini oluşturmayı öğrendik, böyle bir denklemin grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın denklemin çözümü olduğunu öğrendik

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 7. 6. baskı. M.: Aydınlanma. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ve diğerleri Cebir 7.M.: Aydınlanma. 2006

2. Aile görüntüleme portalı ().

Görev 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 960, Madde 210;

Görev 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 961, Madde 210;

Görev 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebir 7, Sayı 962, Madde 210;

İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca, Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere giderek daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tamsayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.

Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?

Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.

2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.

Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.

İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:

A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);

B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;

G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçektir sayı.

İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi izole etmeye, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve tahmin yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.

Faktorizasyon

Örnek 1.

Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.

Çözüm.

Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:

y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.

Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.

Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği

Örnek 2.

Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Çözüm.

Gruplandırma:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.

Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.

Cevap: (2/3; 3/2).

Tahmin yöntemi

Örnek 3.

Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Çözüm.

Her parantez içinde tam bir kareyi vurguluyoruz:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim parantez içindeki ifadelerin anlamı.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.

Cevap: (-1; 2).

İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.

Örnek 4.

Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Çözüm.

Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin çözümü ancak D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.

Cevap: (3; 4).

Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.

Örnek 5.

Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Çözüm.

Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak a'nın karesi 5'e bölünmeyen sayı 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.

Cevap: Kök yok.

Örnek 6.

Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Çözüm.

Her parantez içindeki karelerin tamamını vurgulayalım:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| olması koşuluyla mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.

Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).

Örnek 7.

Denklemi sağlayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.

Çözüm.

Tam kareleri seçelim:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı eklersek iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:

(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Cevap: -17.

İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi çözebilirsiniz.

Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemler

Tanım 1. A biraz olsun sayı çiftleri kümesi (X; sen). A kümesinin verildiğini söylüyorlar sayısal fonksiyon z iki değişkenden x ve y A kümesindeki her sayı çiftinin belirli bir sayıyla ilişkilendirildiği bir kural belirtilirse.

İki değişken x ve y için sayısal bir z fonksiyonu belirtmek genellikle belirtmek Bu yüzden:

Nerede F (X , sen) – fonksiyon dışında herhangi bir fonksiyon

F (X , sen) = balta+by+c ,

a, b, c'ye sayılar verilmiştir.

Tanım 3. Denklem çözme (2) bir çift numarayı arayın ( X; sen) , bunun için formül (2) gerçek bir eşitliktir.

Örnek 1. Denklemi çözün

Herhangi bir sayının karesi negatif olmadığından, formül (4)'ten x ve y bilinmeyenlerinin denklem sistemini sağladığı sonucu çıkar.

çözüm bir çift sayıdır (6; 3).

Cevap: (6; 3)

Örnek 2. Denklemi çözün

Bu nedenle, denklem (6)'nın çözümü şu şekildedir: sonsuz sayıda sayı çifti tür

(1 + sen ; sen) ,

burada y herhangi bir sayıdır.

doğrusal

Tanım 4. Bir denklem sistemini çözme

bir çift numarayı arayın ( X; sen) , bunları bu sistemin denklemlerinin her birine yerleştirirken doğru eşitlik elde edilir.

Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:

G(X , sen)

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

Çözüm . Sistemin (7) ilk denklemindeki bilinmeyen y'yi bilinmeyen x'e kadar ifade edelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:

Denklemin çözümü

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Buradan,

sen 1 = 8 - X 1 = 9 ,
sen 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Biri homojen olan iki denklemli sistemler

Biri homojen olan iki denklemin sistemleri şu şekildedir:

burada a, b, c'ye sayılar verilmiştir ve G(X , sen) – iki değişkenli x ve y fonksiyonu.

Örnek 6. Denklem sistemini çözme

Çözüm . Homojen denklemi çözelim

3X 2 + 2xy - sen 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10sen 2 = 0 ,

bunu bilinmeyen x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak ele alırsak:

.

Durumunda X = - 5sen, sistemin (11) ikinci denkleminden denklemi elde ederiz

5sen 2 = - 20 ,

kökleri olmayan.

Durumunda

(11) sisteminin ikinci denkleminden denklemi elde ederiz

,

kökleri sayılar olan sen 1 = 3 , sen 2 = - 3 . Bu y değerlerinin her biri için karşılık gelen x değerini bularak sisteme iki çözüm elde ederiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Cevap: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Diğer türdeki denklem sistemlerinin çözüm örnekleri

Örnek 8. Denklem sistemini çözme (MIPT)

Çözüm . Aşağıdaki formüllere göre x ve y aracılığıyla ifade edilen yeni bilinmeyen u ve v'yi tanıtalım:

(12) sistemini yeni bilinmeyenler cinsinden yeniden yazmak için öncelikle x ve y bilinmeyenlerini u ve v cinsinden ifade ederiz. Sistem (13)'ten şu sonuç çıkıyor:

Lineer sistemi (14) bu sistemin ikinci denkleminden x değişkenini çıkararak çözelim. Bu amaçla sistem (14) üzerinde aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

• Sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakacağız;
• ikinci denklemden birinci denklemi çıkarırız ve sistemin ikinci denklemini ortaya çıkan farkla değiştiririz.

Sonuç olarak sistem (14) eşdeğer bir sisteme dönüştürülür.

nereden buluyoruz

Formül (13) ve (15)'i kullanarak orijinal sistemi (12) şu şekilde yeniden yazıyoruz:

(16) sisteminin ilk denklemi doğrusaldır, dolayısıyla bilinmeyen u'yu bilinmeyen v'ye doğru ifade edebilir ve bu ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyabiliriz.

Talimatlar

Yerine Koyma Yöntemi Bir değişkeni ifade edin ve onu başka bir denklemde değiştirin. Herhangi bir değişkeni kendi takdirinize bağlı olarak ifade edebilirsiniz. Örneğin, ikinci denklemden y'yi ifade edin:
x-y=2 => y=x-2Sonra her şeyi ilk denklemde yerine koyun:
2x+(x-2)=10 “x” olmayan her şeyi sağ tarafa taşıyın ve hesaplayın:
2x+x=10+2
3x=12 Daha sonra x'i elde etmek için denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:
x=4 Yani “x”i buldunuz. "Y"yi bulun. Bunu yapmak için, "y"yi ifade ettiğiniz denklemde "x"i değiştirin:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Bir kontrol yapın. Bunu yapmak için ortaya çıkan değerleri denklemlerde değiştirin:
2*4+2=10
4-2=2
Bilinmeyenler doğru şekilde bulundu!

Denklemleri toplamanın veya çıkarmanın bir yolu Herhangi bir değişkenden hemen kurtulun. Bizim durumumuzda bunu “y” ile yapmak daha kolaydır.
"Y"de "+" işareti ve ikincisinde "-" olduğundan, toplama işlemini gerçekleştirebilirsiniz, yani. Sol tarafı solla ve sağ tarafı sağla katlayın:
2x+y+(x-y)=10+2Dönüştür:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4“x”i herhangi bir denklemde yerine koyun ve “y”yi bulun:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21. yöntemle doğru bulunduklarını görebilirsiniz.

Açıkça tanımlanmış değişkenler yoksa denklemleri biraz dönüştürmek gerekir.
İlk denklemde "2x", ikincisinde ise sadece "x" var. Toplama sırasında x'in azalması için ikinci denklemi 2 ile çarpın:
x-y=2
2x-2y=4Daha sonra ikinciyi birinci denklemden çıkarın:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Parantezden önce bir eksi varsa, açtıktan sonra bunu tersiyle değiştirin:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
herhangi bir denklemden ifade ederek y=2x'i bulun;
x=4

Konuyla ilgili video

İpucu 2: İki değişkenli bir doğrusal denklem nasıl çözülür?

Denklem ax+bу+c=0 genel formuyla yazılan denkleme iki denklemli doğrusal denklem denir. değişkenler. Böyle bir denklemin kendisi sonsuz sayıda çözüm içerir, bu nedenle problemlerde her zaman bir şeyle desteklenir - başka bir denklem veya sınırlayıcı koşullar. Problemin sağladığı koşullara bağlı olarak iki denklemli bir doğrusal denklemi çözün. değişkenler farklı şekillerde takip eder.

İhtiyacın olacak

• - iki değişkenli doğrusal denklem;
• - ikinci denklem veya ek koşullar.

Talimatlar

İki doğrusal denklem sistemi verilmişse, bunu aşağıdaki şekilde çözün. Katsayıların olduğu denklemlerden birini seçin değişkenler daha küçüktür ve değişkenlerden birini ifade eder, örneğin x. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.

İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0 değilse aynı şekilde sağ tarafları da çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.

İki doğrusal denklem sistemini çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça olasıdır. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

• tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale çevirmek denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, herhangi bir denklemi üç ile çözmenin genel yöntemini kullanın. Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Lütfen katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B elde edeceğinizi unutmayın.

Önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmek zorlu ve heyecan vericidir. Sistem ne kadar karmaşıksa çözülmesi de o kadar ilginç olur. Ortaokul matematiğinde çoğunlukla iki bilinmeyenli denklem sistemleri vardır, ancak yüksek matematikte daha fazla değişken olabilir. Sistemler çeşitli yöntemler kullanılarak çözülebilir.

Talimatlar

Bir denklem sistemini çözmenin en yaygın yöntemi ikamedir. Bunu yapmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmeniz ve onu ikincinin yerine koymanız gerekir. denklem sistemler, dolayısıyla lider denklem bir değişkene. Örneğin şu denklemler verilmiştir: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

İkinci ifadeden, değişkenlerden birini ifade etmek, diğer her şeyi ifadenin sağ tarafına taşımak, katsayının işaretini değiştirmeyi unutmamak uygundur: x = 3-y.

Parantezleri açın: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Ortaya çıkan y değerini şu ifadeye koyarız: x=3-y;x=3-1;x=2. .

İlk ifadede tüm terimler 2'dir, çarpma işleminin dağılma özelliğine 2'yi parantez dışına alabilirsiniz: 2*(2x-y-3)=0. Artık ifadenin her iki kısmı da bu sayı kadar azaltılabilir ve modül katsayısı bire eşit olduğundan y olarak ifade edilebilir: -y = 3-2x veya y = 2x-3.

İlk durumda olduğu gibi, bu ifadeyi ikinci durumda değiştiriyoruz. denklem ve şunu elde ederiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Ortaya çıkan değeri ifadede değiştirin: y=2x -3;y=4-3=1.

Y'nin katsayısının değer olarak aynı, işaret olarak farklı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla bu denklemleri toplarsak y'den tamamen kurtulacağız: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. x'in değerini sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyarsak y=1 elde ederiz.

Konuyla ilgili video

Biquadratic denklem temsil etmek denklem genel formu ax^4 + bx^2 + c = 0 ifadesiyle temsil edilen dördüncü derece. Çözümü, bilinmeyenlerin ikamesi yönteminin kullanımına dayanmaktadır. Bu durumda x^2'nin yerini başka bir değişken alır. Böylece sonuç sıradan bir karedir denklemçözülmesi gereken bir konu.

Talimatlar

İkinci dereceden denklemi çöz denklem değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunu yapmak için önce değeri şu formüle göre hesaplayın: D = b^2? 4ac. Bu durumda a, b, c değişkenleri denklemimizin katsayılarıdır.

Biquadratic denklemin köklerini bulun. Bunu yapmak için elde edilen çözümlerin karekökünü alın. Bir çözüm varsa, o zaman iki tane olacaktır - karekökün pozitif ve negatif değeri. Eğer iki çözüm varsa, iki ikinci dereceden denklemin dört kökü olacaktır.

Konuyla ilgili video

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin klasik yöntemlerinden biri Gauss yöntemidir. Basit dönüşümler kullanan bir denklem sistemi, son değişkenlerden başlayarak tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu adım adım bir sisteme dönüştürüldüğünde, değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur.

Talimatlar

İlk olarak denklem sistemini tüm bilinmeyenlerin kesin olarak tanımlanmış bir düzende olacağı bir forma getirin. Örneğin, tüm bilinmeyen X'ler her satırda ilk önce görünecek, tüm Y'ler X'lerden sonra gelecek, tüm Z'ler Y'lerden sonra gelecek, vb. Her denklemin sağ tarafında bilinmeyen olmamalıdır. Her bilinmeyenin önündeki katsayıları ve her denklemin sağ tarafındaki katsayıları zihinsel olarak belirleyin.