Modül içeren eşitsizlikleri çözmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan bazılarına bakalım.
1) Modülün geometrik özelliğini kullanarak eşitsizliği çözme.
Size bir modülün geometrik özelliğinin ne olduğunu hatırlatmama izin verin: bir x sayısının modülü, orijinden x koordinatına sahip noktaya olan mesafedir.
Bu yöntemi kullanarak eşitsizlikleri çözerken iki durum ortaya çıkabilir:
1. |x| ≤ b, 
Ve modüllü eşitsizlik açıkça iki eşitsizlikten oluşan bir sisteme indirgenir. Burada işaret katı olabilir, bu durumda resimdeki noktalar "delinmiş" olacaktır.
2. |x| ≥ b, o zaman çözüm resmi şöyle görünür:
Ve modül ile eşitsizlik açıkça iki eşitsizliğin birleşimine indirgenir. Burada işaret katı olabilir, bu durumda resimdeki noktalar "delinmiş" olacaktır.
Örnek 1.
|4 – |x|| eşitsizliğini çözün ≥ 3.
Çözüm.
Bu eşitsizlik aşağıdaki kümeye eşdeğerdir:
U [-1;1] U
Örnek 2.
||x+2| eşitsizliğini çözün – 3| ≤ 2.
Çözüm.
Bu eşitsizlik aşağıdaki sisteme eşdeğerdir.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Sistemin birinci eşitsizliğini ayrı ayrı çözelim. Aşağıdaki sete eşdeğerdir:
U[-1; 3].
2) Modül tanımını kullanarak eşitsizlikleri çözmek.
Öncelikle hatırlatayım modül tanımı.
|bir| = a eğer a ≥ 0 ve |a| = -a eğer a< 0.
Örneğin, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Örnek 1.
3|x – 1| eşitsizliğini çözün ≤ x+3.
Çözüm.
Modül tanımını kullanarak iki sistem elde ederiz:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Birinci ve ikinci sistemleri ayrı ayrı çözerek şunu elde ederiz:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(X< 1
(x ≥ 0.
Orijinal eşitsizliğin çözümü birinci sistemin tüm çözümleri ve ikinci sistemin tüm çözümleri olacaktır.
Cevap: x€.
3) Eşitsizliklerin karesini alarak çözmek.
Örnek 1.
|x 2 – 1| eşitsizliğini çözün< | x 2 – x + 1|.
Çözüm.
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Eşitsizliğin her iki tarafının karesini almanın ancak her ikisinin de pozitif olması durumunda mümkün olduğunu belirteyim. Bu durumda hem solda hem de sağda modüllerimiz var yani bunu yapabiliyoruz.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Şimdi modülün şu özelliğini kullanalım: (|x|) 2 = x 2 .
(x2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz.
Cevap: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Değişkenleri değiştirerek eşitsizlikleri çözmek.
Örnek.
Eşitsizliği çözün (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Çözüm.
(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 olduğuna dikkat edin. Sonra eşitsizliği elde ederiz
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
y = |2x + 3| değişikliğini yapalım.
Eşitsizliğimizi yer değiştirmeyi dikkate alarak yeniden yazalım.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Soldaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayıralım.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Aralık yöntemini kullanarak çözelim ve şunu elde edelim:
Değiştirme konusuna geri dönelim:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Bu çifte eşitsizlik eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Eşitsizliklerin her birini ayrı ayrı çözelim.
İlki sisteme eşdeğerdir
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Hadi çözelim.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
İkinci eşitsizlik açıkça tüm x'ler için geçerlidir, çünkü modül tanım gereği pozitif bir sayıdır. Sistemin çözümü, sistemin hem birinci hem de ikinci eşitsizliğini aynı anda sağlayan tüm x'ler olduğundan, orijinal sistemin çözümü, ilk çift eşitsizliğinin çözümü olacaktır (sonuçta, ikincisi tüm x için doğrudur) .
Cevap: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır Bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle çözme. Programı Denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözme yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm yani Sonucun elde edilme sürecini görüntüler.
Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.
|x| veya abs(x) - modül xModüllerle bir denklem veya eşitsizlik girme
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Modüllü denklemler ve eşitsizlikler
Temel bir okul cebir dersinde modüllü en basit denklemler ve eşitsizliklerle karşılaşabilirsiniz. Bunları çözmek için, \(|x-a| \)'nin sayı doğrusu üzerinde x ve a noktaları arasındaki mesafe olduğu gerçeğine dayanan geometrik bir yöntem kullanabilirsiniz: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Örneğin, \(|x-3|=2\) denklemini çözmek için sayı doğrusu üzerinde 3. noktadan 2 uzaklıkta olan noktaları bulmanız gerekir. Böyle iki nokta vardır: \(x_1=1 \) ve \(x_2=5\) .
Eşitsizliği çözme \(|2x+7| 
Ancak denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözmenin ana yolu, "modülün tanımı gereği ortaya çıkarılması" ile ilişkilidir:
if \(a \geq 0 \), ardından \(|a|=a \);
if \(a Kural olarak, modüllü bir denklem (eşitsizlik), modül işaretini içermeyen bir dizi denkleme (eşitsizlikler) indirgenir.
Yukarıdaki tanıma ek olarak aşağıdaki ifadeler kullanılmıştır:
1) Eğer \(c > 0\), o zaman \(|f(x)|=c \) denklemi şu denklem grubuna eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(dizi)\sağ.
2) Eğer \(c > 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| 3) Eğer \(c \geq 0 \), o zaman \(|f(x)| > c \) eşitsizliği şöyledir: bir eşitsizlikler kümesine eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Eşitsizliğin her iki tarafı \(f(x) ise ÖRNEK 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) denklemini çözün.
Eğer \(x-1 \geq 0\), o zaman \(|x-1| = x-1\) ve verilen denklem şu formu alır:
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) ise.
Bu nedenle verilen denklem belirtilen iki durumun her birinde ayrı ayrı ele alınmalıdır.
1) \(x-1 \geq 0 \) olsun, yani. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) denkleminden \(x_1=2, \; x_2=-4\) bulunur. \(x \geq 1 \) koşulu yalnızca \(x_1=2\) değeri tarafından karşılanır.
2) \(x-1 Cevap: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) olsun
ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.
İlk yol(tanım gereği modül genişletme).
Örnek 1'deki gibi akıl yürüterek, verilen denklemin iki koşulun karşılanması durumunda ayrı ayrı dikkate alınması gerektiği sonucuna varıyoruz: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) veya \(x^2-6x+7)
1) Eğer \(x^2-6x+7 \geq 0 \), o zaman \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ve verilen denklem \(x) formunu alır ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyun. Şunu elde ederiz: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yani. \(7 \geq 0 \) gerçek bir eşitsizliktir. Bu, \(x_1=6\)'nın verilen denklemin kökü olduğu anlamına gelir.
\(x_2=\frac(5)(3)\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için belirtilen değeri ikinci dereceden eşitsizliğin yerine koyun. Şunu elde ederiz: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), yani. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) yanlış bir eşitsizliktir. Bu, \(x_2=\frac(5)(3)\) öğesinin verilen denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.
2) Eğer \(x^2-6x+7 Değeri \(x_3=3\) koşulu sağlıyorsa \(x^2-6x+7 Değeri \(x_4=\frac(4)(3) \) karşılamıyor \ (x^2-6x+7 koşulu) Yani verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \).
İkinci yol.\(|f(x)| = h(x) \) denklemi verilirse, \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = ile \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Bu denklemlerin her ikisi de yukarıda çözüldü (verilen denklemin ilk çözümü kullanılarak), kökleri şu şekildedir: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Bu dört değerin \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) koşulu yalnızca iki tanesi tarafından karşılanır: 6 ve 3. Bu, verilen denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Üçüncü yol(grafik).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. İlk önce bir \(y = x^2-6x+7\) parabolünü oluşturalım. \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) elimizde. \(y = (x-3)^2-2\) fonksiyonunun grafiği, \(y = x^2\) fonksiyonunun grafiğinden 3 ölçek birim sağa kaydırılarak (yön boyunca) elde edilebilir. x ekseni) ve 2 ölçek birimi aşağı (y ekseni boyunca). Düz çizgi x=3 ilgilendiğimiz parabolün eksenidir. Daha doğru çizim için kontrol noktaları olarak, parabolün tepe noktası olan (3; -2) noktasını, parabolün eksenine göre ona simetrik olan (0; 7) noktasını ve (6; 7) noktasını almak uygundur. .
Şimdi \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, oluşturulmuş parabolün x ekseninin altında olmayan kısımlarını değiştirmeden bırakmanız ve bu kısmı aynalamanız gerekir. x eksenine göre x ekseninin altında yer alan parabol.
2) Doğrusal fonksiyonun \(y = \frac(5x-9)(3)\) grafiğini oluşturalım. (0; –3) ve (3; 2) noktalarını kontrol noktası olarak almak uygundur.
Düz çizginin apsis ekseni ile kesiştiği noktanın x = 1.8 noktasının, parabolün apsis ekseni ile kesiştiği sol noktanın sağında yer alması önemlidir - bu nokta \(x=3-\ sqrt(2) \) (çünkü \(3-\sqrt(2 ) 3) Çizime bakılırsa, grafikler iki noktada kesişiyor - A(3; 2) ve B(6; 7). Verilen denklemde x = 3 ve x = 6 noktalarında, her iki durumda da doğru sayısal eşitliğin elde edildiğine inanıyoruz; bu, hipotezimizin doğrulandığı anlamına gelir - denklemin iki kökü vardır: x = 3 ve. x = 6. Cevap: 3;
Yorum. Grafiksel yöntem tüm zarafetine rağmen pek güvenilir değildir. Ele alınan örnekte, denklemin kökleri tamsayı olduğu için işe yaradı.
ÖRNEK 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8\) denklemini çözün
İlk yol
2x–4 ifadesi x = 2 noktasında 0 olur, x + 3 ifadesi ise x = –3 noktasında 0 olur. Bu iki nokta sayı doğrusunu üç aralığa böler: \(x
İlk aralığı düşünün: \((-\infty; \; -3) \).
Eğer x İkinci aralığı düşünün: \([-3; \; 2) \).
If \(-3 \leq x Üçüncü aralığı düşünün: \(
Örnek çözüldü.
Örnek 3 . Eşitsizliği çözün 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Çözüm.
Sayı X pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır olabilir. Bu nedenle her üç durumu da dikkate almamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi iki eşitsizlikte dikkate alınıyorlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0 orijinal eşitsizliğimizi modül işareti olmadan olduğu gibi yeniden yazarız:
6x2 - X - 2 ≤ 0.
Şimdi ikinci durum hakkında: eğer X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Parantezleri genişletiyoruz:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Böylece iki denklem sistemi elde ettik:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor; bu da iki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitleriz.
İlkiyle başlayalım:
6X 2 - X - 2 = 0.
İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür - “İkinci Dereceden Denklem” bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:
X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar olan sayıların tamamı olduğu sonucunu elde ederiz. Çözümlerin birliğini şu adrese yazıyoruz: X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Şimdi ikinci dereceden denklemi çözelim:
6X 2 + X - 2 = 0.
Kökleri:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
İki cevabı birleştirelim ve son cevaba ulaşalım: Çözüm, bu uç sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan sayı kümesinin tamamıdır.
Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].
eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi çözüm hemen hemen her eşitsizlik çevrimiçi. Matematiksel çevrimiçi eşitsizlikler matematik çözmek için. Hızlıca bulun eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi bulmanızı sağlar çözüm neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın eşitsizlik çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her dalını farklı aşamalarda çalışırken, çevrimiçi eşitsizlikler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site sitesi sayesinde çevrimiçi eşitsizliği çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi eşitsizlikler- bu, sağlanan yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel eşitsizlikler çevrimiçi, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, aşkın eşitsizlikler çevrimiçi, Ve eşitsizlikler modunda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Eşitsizlikler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik problemler. Yardımla matematiksel eşitsizliklerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. Bilinmeyen miktarlar eşitsizlikler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil eşitsizlikler Ve karar vermek modunda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel eşitsizlik, trigonometrik eşitsizlik veya eşitsizlikler kapsamak transandantal kolayca yapabileceğiniz özellikler karar vermekçevrimiçi olun ve kesin cevabı alın. Doğa bilimleri okurken kaçınılmaz olarak bir ihtiyaçla karşılaşırsınız. eşitsizliklere çözümler. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle matematiksel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, Ve aşkın eşitsizlikler çevrimiçi veya eşitsizlikler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli sorunlara çevrimiçi çözümler bulmanın pratik sorunları için matematiksel eşitsizlikler kaynak www.. Çözme çevrimiçi eşitsizlikler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. eşitsizliklerin çevrimiçi çözümü www.site web sitesinde. Eşitsizliği doğru yazmanız ve anında elde etmeniz gerekir. çevrimiçi çözüm Bundan sonra geriye kalan tek şey cevabı eşitsizliğin çözümüyle karşılaştırmaktır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, bu yeterli çevrimiçi eşitsizliği çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi eşitsizlikleri çözme herhangi biri cebirsel, trigonometrik, transandantal veya eşitsizlik bilinmeyen parametrelerle
Matematik bilim bilgeliğinin sembolüdür,
bilimsel titizlik ve basitliğin bir modeli,
Bilimde mükemmellik ve güzellik standardı.
Rus filozof, profesör A.V. Voloşinov
Modüllü eşitsizlikler
Okul matematiğinde çözülmesi en zor problemler eşitsizliklerdir, modül işaretinin altındaki değişkenleri içerir. Bu tür eşitsizlikleri başarılı bir şekilde çözebilmek için modülün özelliklerini iyi bilmeniz ve bunları kullanma becerisine sahip olmanız gerekir.
Temel kavramlar ve özellikler
Gerçek bir sayının modülü (mutlak değeri) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:
Bir modülün basit özellikleri aşağıdaki ilişkileri içerir:
VE .
Not, son iki özelliğin herhangi bir çift derece için geçerli olduğu.
Üstelik eğer, nerede, o zaman ve
Daha karmaşık modül özellikleri, modüllerle denklem ve eşitsizlikleri çözerken etkili bir şekilde kullanılabilir, aşağıdaki teoremlerle formüle edilir:
Teorem 1.Herhangi bir analitik fonksiyon için Ve eşitsizlik doğrudur.
Teorem 2. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.
Teorem 3. Eşitlik eşitsizlikle eşdeğer.
Okul matematiğindeki en yaygın eşitsizlikler, modül işareti altında bilinmeyen değişkenler içeren, formdaki eşitsizlikler ve nerede bazı pozitif sabitler.
Teorem 4. Eşitsizlik çift eşitsizliğe eşdeğer, ve eşitsizliğin çözümübir dizi eşitsizliği çözmeye indirgenir Ve .
Bu teorem, Teorem 6 ve 7'nin özel bir durumudur.
Daha karmaşık eşitsizlikler, bir modül içeren formdaki eşitsizliklerdir, Ve .
Bu tür eşitsizlikleri çözme yöntemleri aşağıdaki üç teorem kullanılarak formüle edilebilir.
Teorem 5. Eşitsizlik iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir
ben (1)
Kanıt. O zamandan beri
Bu (1)'in geçerliliğini ifade eder.
Teorem 6. Eşitsizlik eşitsizlik sistemine eşdeğerdir
Kanıt.Çünkü , o zaman eşitsizlikten bunu takip ediyor . Bu koşul altında eşitsizlikve bu durumda ikinci eşitsizlik sisteminin (1) tutarsız olduğu ortaya çıkacaktır.
Teorem kanıtlandı.
Teorem 7. Eşitsizlik bir eşitsizlik ile iki eşitsizlik sisteminin birleşimine eşdeğerdir
ben (3)
Kanıt. O zamandan beri eşitsizlik her zaman idam edildi, Eğer .
İzin vermek , o zaman eşitsizlikeşitsizliğe eşdeğer olacak, buradan iki eşitsizlik kümesi çıkar Ve .
Teorem kanıtlandı.
“Eşitsizlikler” konusundaki tipik problem çözme örneklerine bakalım, modül işareti altında değişkenler içeren."
Eşitsizlikleri modül ile çözme
Modüllü eşitsizlikleri çözmenin en basit yöntemi yöntemdir., Modül genişletmeye dayalı. Bu yöntem evrenseldir, ancak genel durumda kullanımı çok zahmetli hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle öğrencilerin bu tür eşitsizliklerin çözümüne yönelik diğer (daha etkili) yöntem ve teknikleri bilmeleri gerekmektedir. Özellikle, teoremleri uygulama becerisine sahip olmak gerekir, bu makalede verilmiştir.
Örnek 1.Eşitsizliği çözün
. (4)
Çözüm.Eşitsizliği (4) “klasik” yöntemi, yani modülleri açma yöntemini kullanarak çözeceğiz. Bu amaçla sayı eksenini bölüyoruz noktalar ve aralıklara bölün ve üç durumu düşünün.
1. Eğer öyleyse , , , ve eşitsizlik (4) şu şekli alır veya .
Burada durum ele alındığından eşitsizliğin çözümüdür (4).
2. Eğer, o zaman eşitsizlikten (4) elde ederiz veya . Aralıkların kesişiminden bu yana Ve boş, o zaman dikkate alınan çözüm aralığında eşitsizlik yoktur (4).
3. Eğer, o zaman eşitsizlik (4) formunu alır veya . Açıkça görülüyor ki aynı zamanda eşitsizliğe de bir çözümdür (4).
Cevap: , .
Örnek 2. Eşitsizliği çözün.
Çözüm. Bunu varsayalım. Çünkü , o zaman verilen eşitsizlik şu şekli alır: veya . O zamandan beri ve buradan itibaren şu şekilde oluyor veya .
Ancak bu nedenle veya.
Örnek 3. Eşitsizliği çözün
. (5)
Çözüm.Çünkü , o zaman eşitsizlik (5) eşitsizliklere eşdeğerdir veya . Buradan, Teorem 4'e göre, bir takım eşitsizliklerimiz var Ve .
Cevap: , .
Örnek 4.Eşitsizliği çözün
. (6)
Çözüm. belirtelim. Daha sonra eşitsizlikten (6) , , veya eşitsizliklerini elde ederiz.
Buradan, aralık yöntemini kullanma, anlıyoruz. Çünkü , o zaman burada bir eşitsizlik sistemimiz var
(7) numaralı sistemin ilk eşitsizliğinin çözümü iki aralığın birleşimidir Ve , ve ikinci eşitsizliğin çözümü çift eşitsizliktir. Bu şu anlama gelir: eşitsizlikler sisteminin (7) çözümünün iki aralığın birleşimi olduğu Ve .
Cevap: ,
Örnek 5.Eşitsizliği çözün
. (8)
Çözüm. Eşitsizliği (8) şu şekilde dönüştürelim:
Veya .
Aralık yöntemini kullanma, eşitsizliğin çözümünü elde ederiz (8).
Cevap: .
Not. Teorem 5'in koşullarını koyarsak ve elde ederiz.
Örnek 6. Eşitsizliği çözün
. (9)
Çözüm. Eşitsizlikten (9) şu sonuç çıkıyor. Eşitsizliği (9) şu şekilde dönüştürelim:
Veya
O zamandan beri veya .
Cevap: .
Örnek 7.Eşitsizliği çözün
. (10)
Çözüm. O zamandan beri ve , o zaman veya .
Bu konuda ve eşitsizlik (10) şu şekli alır
Veya
. (11)
Bunu takip eder veya . O zamandan beri eşitsizlik (11) aynı zamanda veya anlamına da gelir.
Cevap: .
Not. Teorem 1'i eşitsizliğin sol tarafına uygularsak (10), sonra elde ederiz . Bundan ve eşitsizlikten (10) şu sonuç çıkıyor, ne ya da . Çünkü , o zaman eşitsizlik (10) formunu alır veya .
Örnek 8. Eşitsizliği çözün
. (12)
Çözüm. O zamandan beri ve eşitsizlikten (12) şu sonuç çıkıyor veya . Ancak bu nedenle veya. Buradan veya elde ederiz.
Cevap: .
Örnek 9. Eşitsizliği çözün
. (13)
Çözüm. Teorem 7'ye göre eşitsizliğin (13) çözümü veya'dır.
Şimdi olsun. Bu durumda ve eşitsizlik (13) şu şekli alır veya .
Aralıkları birleştirirseniz Ve , daha sonra formun (13) eşitsizliğine bir çözüm elde ederiz.
Örnek 10. Eşitsizliği çözün
. (14)
Çözüm. Eşitsizliği (14) eşdeğer biçimde yeniden yazalım: . Bu eşitsizliğin sol tarafına Teorem 1'i uygularsak eşitsizliği elde ederiz.
Buradan ve Teorem 1'den şu sonuç çıkıyor, eşitsizliğin (14) herhangi bir değer için karşılandığı.
Cevap: herhangi bir sayı.
Örnek 11. Eşitsizliği çözün
. (15)
Çözüm. Teorem 1'in eşitsizliğin sol tarafına uygulanması (15), alıyoruz . Bu ve eşitsizlik (15) denklemi verir, forma sahip olan.
Teorem 3'e göre, denklem eşitsizlikle eşdeğer. Buradan anlıyoruz.
Örnek 12.Eşitsizliği çözün
. (16)
Çözüm. Teorem 4'e göre eşitsizlikten (16) bir eşitsizlik sistemi elde ediyoruz
Eşitsizliği çözerkenTeorem 6'yı kullanalım ve bir eşitsizlik sistemi elde edelimburadan takip ediliyor.
Eşitsizliği düşünün. Teorem 7'ye göre, bir dizi eşitsizlik elde ederiz Ve . İkinci nüfus eşitsizliği herhangi bir gerçek için geçerlidir..
Buradan , eşitsizliğin çözümü (16).
Örnek 13.Eşitsizliği çözün
. (17)
Çözüm. Teorem 1'e göre şunu yazabiliriz:
(18)
Eşitsizliği (17) hesaba katarak, her iki eşitsizliğin de (18) eşitliğe dönüştüğü sonucuna varıyoruz; bir denklem sistemi var
Teorem 3'e göre bu denklem sistemi eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir
veya
Örnek 14.Eşitsizliği çözün
. (19)
Çözüm. O zamandan beri. Eşitsizliğin her iki tarafını da (19) herhangi bir değer için yalnızca pozitif değerler alan ifadeyle çarpalım. Daha sonra eşitsizliğe (19) eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz:
Buradan or'u alıyoruz, nerede. O zamandan beri ve o zaman eşitsizliğin çözümü (19) Ve .
Cevap: , .
Eşitsizlikleri modülle çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için ders kitaplarına dönmenizi öneririz., Önerilen literatür listesinde verilmiştir.
1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Barış ve Eğitim, 2013. – 608 s.
2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: eşitsizlikleri çözme ve kanıtlama yöntemleri. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.
3. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: problem çözmede standart olmayan yöntemler. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.
Hala sorularınız mı var?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.