Bir üçgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem
Toplam üçgen açıları 180°'ye eşittir.
Kanıt:
- Dan ABC üçgeni.
- B köşesinden AC tabanına paralel bir DK düz çizgisi çiziyoruz.
- \angle CBK= \angle C, paralel DK ve AC ve BC keseniyle iç çapraz olarak uzanır.
- \angle DBA = \angle DK \paralel AC ve sekant AB ile çapraz uzanan bir iç yapı. DBK açısı terstir ve eşittir
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Açılmamış açı 180 ^\circ'e eşit olduğundan ve \angle CBK = \angle C ve \angle DBA = \angle A'dan şunu elde ederiz: 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.
Teorem kanıtlandı
Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin sonuçları:
- Toplam keskin köşeler dik üçgen eşit 90°.
- İkizkenar dik üçgende her dar açı eşittir 45°.
- Eşkenar üçgende her açı eşittir 60°.
- Herhangi bir üçgende ya tüm açılar dardır ya da iki açı dardır ve üçüncüsü geniş veya diktir.
- Bir üçgenin dış açısı toplamına eşit iki iç köşeler, yanında değil.
Üçgen Dış Açı Teoremi
Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin bu dış açıya komşu olmayan diğer iki açısının toplamına eşittir
Kanıt:
- BCD'nin olduğu ABC üçgeni verildiğinde dış köşe.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- Eşitliklerden açı \angle BCD + \angle BCA = 180^0
- Aldık \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.
. (Slayt 1)
Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.
Ders hedefleri:
- eğitici:
- Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi düşünün,
- Teoremin problem çözümünde uygulanmasını gösterir.
- eğitici:
- Öğrencilerin bilgiye karşı olumlu tutumlarını geliştirmek,
- Dersler yoluyla öğrencilerin özgüvenini geliştirmek.
- Gelişimsel:
- gelişim analitik düşünme,
- “Öğrenme becerilerinin” geliştirilmesi: bilgi, beceri ve yeteneklerin kullanılması eğitim süreci,
- gelişim mantıksal düşünme, düşüncelerinizi açıkça formüle etme yeteneği.
Teçhizat: interaktif beyaz tahta, sunum, kartlar.
DERSİN İLERLEMESİ
BEN. Organizasyon anı
– Bugün sınıfta dik, ikizkenar ve eşkenar üçgenin tanımlarını hatırlayacağız. Üçgenlerin açılarının özelliklerini tekrarlayalım. İç tek taraflı ve iç çapraz açıların özelliklerini kullanarak, bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teoremi kanıtlayacağız ve problem çözerken bunun nasıl uygulanacağını öğreneceğiz.
II. sözlü olarak(Slayt 2)
1) Resimlerdeki dikdörtgen, ikizkenar, eşkenar üçgenleri bulun.
2) Bu üçgenleri tanımlayın.
3) Eşkenar ve eşkenar açıların özelliklerini formüle edin ikizkenar üçgen.
4) Resimde KE II NH. (slayt 3)
– Bu çizgiler için sekantları belirtin
– Tek taraflı iç açıları, çapraz uzanan iç açıları bulun, özelliklerini adlandırın
III. Yeni malzemenin açıklaması
Teorem.Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir
Teoremin formülasyonuna göre çocuklar bir çizim yapar, durumu ve sonucu yazarlar. Soruları yanıtlayarak teoremi bağımsız olarak kanıtlarlar.
 |
Verilen: Kanıtlamak: |
Kanıt:
1. Üçgenin B köşesinden BD II AC düz bir çizgi çiziyoruz.
2. Paralel çizgiler için kesenleri belirtin.
3. CBD ve ACB açıları hakkında ne söylenebilir? (not edin)
4. CAB ve ABD açıları hakkında ne biliyoruz? (not edin)
5. CBD açısını ACB açısıyla değiştirin
6. Bir sonuç çıkarın.
IV. Cümleyi tamamla.(Slayt 4)
1. Bir üçgenin açılarının toplamı...
2. Bir üçgende açılardan biri eşittir, diğeri ise üçgenin üçüncü açısı eşittir...
3. Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı...
4. İkizkenar dik üçgenin açıları eşittir...
5. Açılar eşkenar üçgen eşit...
6. Bir ikizkenar üçgenin yan kenarları arasındaki açı 1000 ise tabandaki açılar eşittir...
V. Biraz tarih.(Slayt 5-7)
| Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin kanıtı “İç açıların toplamı İki dik açıya eşit olan üçgenin açıları" Pisagor'a (MÖ 580-500) atfedilir. |
|
| Antik Yunan bilim adamı Proclus (MS 410-485), |
Bu teorem aynı zamanda L.S. Atanasyan'ın ders kitabında da formüle edilmiştir. ve Pogorelov A.V.'nin ders kitabında. . Bu ders kitaplarındaki bu teoremin kanıtları önemli ölçüde farklı değildir ve bu nedenle kanıtını örneğin A.V. Pogorelov'un ders kitabından sunuyoruz.
Teorem: Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir
Kanıt. ABC'ye izin ver - verilen üçgen. B köşesinden AC doğrusuna paralel bir çizgi çizelim. A ve D noktaları yan yana olacak şekilde D noktasını işaretleyelim. farklı taraflar BC direkt hattından (Şek. 6).
DBC ve ACB açıları, BC sekantının AC ve BD paralel düz çizgileriyle oluşturduğu iç çapraz uzanma açılarına eşittir. Dolayısıyla bir üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı ABD açısına eşittir. Bir üçgenin üç açısının toplamı da ABD ve BAC açılarının toplamına eşittir. Bunlar paralel AC ve BD ile sekant AB için tek taraflı iç açılar olduğundan toplamları 180°'dir. Teorem kanıtlandı.
Bu kanıtın fikri, paralel çizgi ve istenilen açıların eşitliğinin belirlenmesi. Bu teoremi düşünce deneyi kavramıyla kanıtlayarak böyle bir ek yapı fikrini yeniden oluşturalım. Bir düşünce deneyi kullanılarak teoremin kanıtı. Yani düşünce deneyimizin konusu üçgenin açılarıdır. Onu zihinsel olarak özünün özel bir kesinlikle ortaya çıkabileceği koşullara yerleştirelim (1. aşama).
Bu koşullar, üçgenin köşelerinin, üç köşesinin de bir noktada birleştirileceği şekilde düzenlenmesi olacaktır. Eğim açısını değiştirmeden üçgenin kenarlarını hareket ettirerek köşeleri "hareket ettirme" olanağına izin verirsek böyle bir kombinasyon mümkündür (Şekil 1). Bu tür hareketler esasen birbirini takip eden zihinsel dönüşümlerdir (2. aşama).
Bir üçgenin açılarını ve kenarlarını (Şekil 2) "hareket ederek" elde edilen açıları belirleyerek, düşünce öznemizi yerleştirdiğimiz çevreyi, bağlantılar sistemini zihinsel olarak oluştururuz (3. aşama).
BC çizgisi boyunca "hareket eden" ve eğim açısını değiştirmeden AB çizgisi, 1 açısını 5 açısına aktarır ve AC çizgisi boyunca "hareket ederek", 2 açısını 4 açısına aktarır. Böyle bir "hareket" AB çizgisiyle olduğundan AC ve BC çizgilerinin eğim açısını değiştirmiyorsa sonuç açıktır: a ve a1 ışınları AB'ye paraleldir ve birbirine dönüşür ve b ve b1 ışınları sırasıyla BC ve AC kenarlarının devamıdır. 3 açısı ile b ve b1 ışınları arasındaki açı dikey olduğundan eşittir. Bu açıların toplamı döndürülen aa1 açısına eşittir, yani 180°.
ÇÖZÜM
İÇİNDE diploma çalışması bazı okulların “inşa edilmiş” kanıtlarını gerçekleştirdi geometrik teoremler Formüle edilmiş hipotezi doğrulayan bir düşünce deneyinin yapısını kullanarak.
Sunulan kanıtlar, orijinali dönüştürmeyi mümkün kılan "sıkıştırma", "germe", "kayma" gibi görsel ve duyusal idealleştirmelere dayanıyordu. geometrik nesne ve bir düşünce deneyi için tipik olan temel özelliklerini vurgulayın. Aynı zamanda düşünce deneyi geometrik bilginin ortaya çıkmasına katkıda bulunan belirli bir “yaratıcı araç” görevi görür (örneğin, orta hat yamuk veya bir üçgenin açıları civarında). Bu tür idealleştirmeler, tüm kanıt fikrini, "ek inşaat" gerçekleştirme fikrini kavramayı mümkün kılar; bu da, okul çocukları tarafından resmi tümdengelimli kanıt sürecinin daha bilinçli bir şekilde anlaşılması olasılığı hakkında konuşmamıza olanak tanır. geometrik teoremler.
Bir düşünce deneyi bunlardan biridir temel yöntemler Geometrik teoremlerin elde edilmesi ve keşfedilmesi. Yöntemin öğrenciye aktarılması için bir metodolojinin geliştirilmesi gerekmektedir. Kalıntılar açık soru yöntemi “kabul etmek” için kabul edilebilir bir öğrencinin yaşı hakkında, “ yan etkiler» Kanıtların bu şekilde sunulması.
Bu sorular gerektirir ek çalışma. Ancak her durumda kesin olan bir şey var: Okul çocuklarında bir düşünce deneyi gelişiyor teorik düşünme, bunun temelidir ve bu nedenle zihinsel deney yeteneğinin geliştirilmesi gerekir.
Ön bilgi
Öncelikle doğrudan üçgen kavramına bakalım.
Tanım 1
Buna üçgen diyeceğiz geometrik şekil bölümlerle birbirine bağlanan üç noktadan oluşur (Şekil 1).
Tanım 2
Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.
Tanım 3
Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adı verilecektir.
Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.
Bir üçgende açıların toplamı ile ilgili teorem
Üçgenlerle ilgili temel teoremlerden biri olan üçgendeki açıların toplamı teoremini tanıtıp ispatlayalım.
Teorem 1
Herhangi bir üçgendeki açıların toplamı 180$^\circ$'dir.
Kanıt.
$EGF$ üçgenini düşünün. Bu üçgendeki açıların toplamının $180^\circ$'a eşit olduğunu kanıtlayalım. Ek bir yapı yapalım: $XY||EG$ düz çizgisini çizelim (Şekil 2)
$XY$ ve $EG$ doğruları paralel olduğundan, $∠E=∠XFE$ $FE$ sekantında çapraz olarak uzanır ve $∠G=∠YFG$ $FG$ sekantında çapraz olarak uzanır.
$XFY$ açısı ters çevrilecektir ve dolayısıyla $180^\circ$'a eşit olacaktır.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Buradan
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teorem kanıtlandı.
Üçgen Dış Açı Teoremi
Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin başka bir teorem, dış açıya ilişkin teorem olarak düşünülebilir. Öncelikle bu kavramı tanıtalım.
Tanım 4
Üçgenin herhangi bir açısına komşu olan açıya üçgenin dış açısı adını vereceğiz (Şekil 3).
Şimdi teoremi doğrudan ele alalım.
Teorem 2
Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin kendisine komşu olmayan iki açısının toplamına eşittir.
Kanıt.
düşünelim keyfi üçgen$EFG$. $FGQ$ üçgeninin bir dış açısı olsun (Şekil 3).
Teorem 1'e göre $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ elde ederiz, dolayısıyla,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
$FGQ$ açısı dış olduğundan, $∠G$ açısına komşudur, o zaman
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teorem kanıtlandı.
Örnek görevler
Örnek 1
Eşkenar üçgen ise tüm açılarını bulunuz.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, içindeki tüm açıların da birbirine eşit olmasını sağlayacağız. Bunları belirtelim derece ölçüleri$α$ aracılığıyla.
Daha sonra Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$α+α+α=180^\circ$
Yanıt: tüm açılar $60^\circ$'a eşittir.
Örnek 2
Açılarından biri $100^\circ$'a eşitse, bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulun.
Bir ikizkenar üçgendeki açılar için aşağıdaki gösterimi kullanalım:
$100^\circ$ açısının tam olarak hangi açıya eşit olduğu koşulunda bize verilmediğinden, iki durum mümkündür:
$100^\circ$'a eşit bir açı, üçgenin tabanındaki açıdır.
Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılara ilişkin teoremi kullanarak şunu elde ederiz:
$∠2=∠3=100^\circ$
Ancak o zaman yalnızca toplamları $180^\circ$'dan büyük olacaktır, bu da Teorem 1'in koşullarıyla çelişir. Bu, bu durumun meydana gelmediği anlamına gelir.
$100^\circ$'a eşit bir açı, arasındaki açıdır. eşit taraflar yani