Dünden itibaren devamı:
Bir geometri masalına mozaikle oynayalım:
Bir zamanlar üçgenler vardı. O kadar benzerler ki birbirlerinin kopyası gibiler.
Bir şekilde düz bir çizgide yan yana duruyorlardı. Ve hepsi aynı boyda olduğundan -
daha sonra üstleri cetvelin altında aynı seviyedeydi:
Üçgenler takla atmayı ve başlarının üzerinde durmayı severdi. En üst sıraya çıkıp akrobatlar gibi köşede durdular.
Ve zaten biliyoruz ki üstleri tam olarak aynı hizada durduklarında,
o zaman tabanları da bir cetveli takip ediyor - çünkü eğer birisi aynı boydaysa, o zaman baş aşağı da aynı boydadır!
Her şeyde aynıydılar; aynı boy ve aynı tabanlar.
ve yanlardaki kaydırakların (biri daha dik, diğeri daha düz) uzunlukları aynı
ve aynı eğime sahiptirler. Sadece ikizler! (yalnızca farklı kıyafetlerle, her biri kendi yapboz parçasına sahip).
- Üçgenler nerede aynı taraflar? Köşeler nerede aynı?
Üçgenler başlarının üstünde durdular, orada durdular ve kayarak alt sıraya uzanmaya karar verdiler.
Bir tepeden aşağı kaydılar, kaydılar; ama slaytları aynı!
Böylece alt üçgenlerin arasına boşluk bırakmadan tam olarak oturuyorlar ve kimse kimseyi kenara itmedi.
Üçgenlerin etrafına baktık ve ilginç bir özelliği fark ettik.
Açıları nerede birleşirse, üç açı da mutlaka buluşacaktır:
en büyüğü “baş açısı”, en dar açı ve üçüncüsü orta en büyük açıdır.
Hangisinin hangisi olduğu hemen belli olsun diye renkli kurdeleler bile bağladılar.
Ve eğer bunları birleştirirseniz, üçgenin üç açısının --
açık bir kitabın kapağı gibi geniş bir açı, bir "açık köşe" oluşturun,
______________________O ___________________
Buna denir: döndürülmüş açı.
Herhangi bir üçgen pasaport gibidir: Üç açının toplamı, katlanmamış açıya eşittir.
Birisi kapınızı çalıyor: - tak-tak, ben bir üçgenim, bırak geceyi geçireyim!
Ve ona şunu söyle: Bana açıların toplamını genişletilmiş biçimde göster!
Ve bunun gerçek bir üçgen mi yoksa sahtekar mı olduğu hemen anlaşılıyor.
Doğrulama başarısız oldu - Yüz seksen derece dön ve eve git!
"180° dön" dedikleri zaman geriye doğru dönmek anlamına gelir ve
ters yöne gidin.
Aynı şey, “bir varmış bir yokmuş” olmadan, daha tanıdık ifadelerle:
Hadi yapalım paralel aktarım OX ekseni boyunca ABC üçgeni
vektöre AB uzunluğa eşit AB bazları.
Üçgenlerin C ve C 1 köşelerinden geçen DF doğrusu
OX eksenine paralel olması nedeniyle eksene dik AH
h ve h 1 bölümleri (yükseklikler eşit üçgenler) eşittir.
Böylece, A 2 B 2 C 2 üçgeninin tabanı AB tabanına paraleldir
ve uzunluğu ona eşittir (çünkü C1 tepe noktası C'ye göre AB miktarı kadar kaydırılır).
A 2 B 2 C 2 ve ABC üçgenlerinin üç tarafı eşittir.
Dolayısıyla düz bir açı oluşturan ∠A 1 ∠B ∠C 2 açıları ABC üçgeninin açılarına eşittir.
=> Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir
Hareketlerle - “çeviriler”, sözde kanıt daha kısa ve nettir,
bir çocuk bile mozaiğin parçalarını anlayabilir.
Ancak geleneksel okul:
paralel çizgilerde kesilen iç çapraz açıların eşitliğine dayalı
bunun neden böyle olduğuna dair bir fikir vermesi açısından değerlidir,
Neden Bir üçgenin açılarının toplamı ters açıya eşit midir?
Çünkü aksi takdirde paralel çizgiler dünyamızda bildiğimiz özelliklere sahip olmayacaktı.
Teoremler her iki yönde de çalışır. Paralel doğrular aksiyomundan şu sonuç çıkar
çapraz yalanın eşitliği ve dikey açılar ve onlardan - üçgenin açılarının toplamı.
Ancak bunun tersi de doğrudur: Bir üçgenin açıları 180° olduğu sürece paralel çizgiler vardır.
(Öyle ki, bir doğrunun üzerinde olmayan bir noktadan, verilenin benzersiz bir || çizgisi çizilebilir).
Bir gün dünyada açılarının toplamı açılan açıya eşit olmayan bir üçgen ortaya çıkarsa -
o zaman paralel olanların paralelliği sona erecek, bütün dünya eğilip bükülecek.
Üçgen desenli şeritler üst üste konulursa -
tüm alanı fayanslı bir zemin gibi yinelenen bir desenle kaplayabilirsiniz:
böyle bir ızgara üzerinde farklı şekilleri çizebilirsiniz - altıgenler, eşkenar dörtgenler,
yıldız çokgenleri ve çeşitli parkeler elde edin
Bir uçağı parke ile döşemek sadece eğlenceli bir oyun değil, aynı zamanda alakalı bir oyundur. matematik problemi:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Her dörtgen bir dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen vb. olduğundan,
iki üçgenden oluşabilir
sırasıyla bir dörtgenin açılarının toplamı: 180° + 180° = 360°
Aynı ikizkenar üçgenler farklı şekillerde karelere katlanır.
2 parçadan oluşan küçük bir kare. Ortalama 4. Ve 8'in en büyüğü.
6 üçgenden oluşan çizimde kaç şekil vardır?
Ön bilgi
Öncelikle doğrudan üçgen kavramına bakalım.
Tanım 1
Buna üçgen diyeceğiz geometrik şekil bölümlerle birbirine bağlanan üç noktadan oluşur (Şekil 1).
Tanım 2
Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.
Tanım 3
Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adını vereceğiz.
Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.
Bir üçgende açıların toplamı ile ilgili teorem
Üçgenlerle ilgili temel teoremlerden biri olan üçgendeki açıların toplamı teoremini tanıtıp ispatlayalım.
Teorem 1
Herhangi bir üçgendeki açıların toplamı 180$^\circ$'dir.
Kanıt.
$EGF$ üçgenini düşünün. Bu üçgendeki açıların toplamının $180^\circ$'a eşit olduğunu kanıtlayalım. Ek bir yapı yapalım: $XY||EG$ düz çizgisini çizelim (Şekil 2)
$XY$ ve $EG$ doğruları paralel olduğundan, $∠E=∠XFE$ $FE$ sekantında çapraz olarak uzanır ve $∠G=∠YFG$ $FG$ sekantında çapraz olarak uzanır.
$XFY$ açısı ters çevrilecektir ve dolayısıyla $180^\circ$'a eşit olacaktır.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Buradan
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Teorem kanıtlandı.
Üçgen Dış Açı Teoremi
Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin başka bir teorem, dış açıya ilişkin teorem olarak düşünülebilir. Öncelikle bu kavramı tanıtalım.
Tanım 4
Üçgenin herhangi bir açısına komşu olan açıya üçgenin dış açısı adını vereceğiz (Şekil 3).
Şimdi teoremi doğrudan ele alalım.
Teorem 2
Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin kendisine komşu olmayan iki açısının toplamına eşittir.
Kanıt.
düşünelim keyfi üçgen$EFG$. $FGQ$ üçgeninin bir dış açısı olsun (Şekil 3).
Teorem 1'e göre $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ elde ederiz, dolayısıyla,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
$FGQ$ açısı dış olduğundan, $∠G$ açısına komşudur, o zaman
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Teorem kanıtlandı.
Örnek görevler
Örnek 1
Eşkenar üçgen ise tüm açılarını bulunuz.
O zamandan beri eşkenar üçgen tüm kenarlar eşitse, o zaman içindeki tüm açıların da birbirine eşit olduğunu görürüz. Derece ölçülerini $α$ ile gösterelim.
O halde Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:
$α+α+α=180^\circ$
Yanıt: tüm açılar $60^\circ$'a eşittir.
Örnek 2
Açılarından biri $100^\circ$'a eşitse, bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulun.
Bir ikizkenar üçgendeki açılar için aşağıdaki gösterimi kullanalım:
$100^\circ$ açısının tam olarak hangi açıya eşit olduğu koşulunda bize verilmediğinden, iki durum mümkündür:
$100^\circ$'a eşit bir açı, üçgenin tabanındaki açıdır.
Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılara ilişkin teoremi kullanarak şunu elde ederiz:
$∠2=∠3=100^\circ$
Ancak o zaman yalnızca toplamları $180^\circ$'dan büyük olacaktır, bu da Teorem 1'in koşullarıyla çelişir. Bu, bu durumun meydana gelmediği anlamına gelir.
$100^\circ$'a eşit bir açı, arasındaki açıdır. eşit taraflar yani
Soru 04/08/2017 12:25'te açıldı
Tam olarak değil___
2. İkizkenar üçgende tabandaki açılar geniştir.
Tam olarak değil___
3. İki paralel çizgi çapraz bir enine çizgiyle kesiştiğinde, yatma açıları eşittir
karşılık gelen açılar.
Tam olarak değil___
4. İki paralel doğru bir çaprazla kesiştiğinde tek taraflı açıların toplamı 180° olur.
Tam olarak değil___
5. Bir üçgenin dış açısı, üçgenin kendisine komşu olmayan iki açısının farkına eşittir.
Tam olarak değil___
6.Paralelkenarın köşegenleri eşittir.
Tam olarak değil___
7. Bir karenin köşegenleri birbirine diktir.
Tam olarak değil___
8. Bir dikdörtgenin köşegenleri dikdörtgenin köşelerini ikiye böler.
Tam olarak değil___
9. Bir üçgenin kenarortayı, üçgenin kenarlarını tepe noktasından itibaren 2:1 oranında böler.
Tam olarak değil___
10.Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.
Tam olarak değil___
11. Tabana çizilen ikizkenar üçgenin yüksekliği kenarortay ve açıortaydır.
Tam olarak değil___
12. Bir tarafında kare olan bir üçgen toplamına eşit diğer iki tarafın kareleri dikdörtgendir.
Tam olarak değil___
13. İki kenarı paralel olan dörtgen yamuktur.
Tam olarak değil___
14. Bir paralelkenarda köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarlarının karelerinin toplamına eşittir.
Tam olarak değil___
15. Bir eşkenar dörtgenin alanı, kenarın karesi ile eşkenar dörtgen açısının sinüsünün çarpımına eşittir.
Tam olarak değil___
16.Dikdörtgenin alanı köşegenin karesi ile köşegenler arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
Tam olarak değil___
17. Dar açının tanjantı dik üçgen orana eşit bitişik bacak tam tersi olana.
Tam olarak değil___
18. Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı, bitişik bacağın karşı bacağın oranına eşittir.
Tam olarak değil___
19.Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir.
Tam olarak değil___
20.Bir paralelkenarın köşegenleri eşitse bu paralelkenar bir karedir.
Tam olarak değil___
21. Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası, tabanları farkının yarısına eşittir.
Tam olarak değil___
22. Yamuğun yan kenarlarının devamı ile tabanlarının ortasının kesişme noktası aynı düz çizgi üzerindedir.
Tam olarak değil___
23.Yamuğun taban açıları eşitse ikizkenardır.
Tam olarak değil___
24. Bir yamuğun orta çizgisi, tabanları farkının yarısına eşittir.
Tam olarak değil___
25.Alan oranı benzer rakamlar benzerlik katsayısına eşittir.
Tam olarak değil___
26. Kirişe dik olan çap, onun uzandığı yayları ikiye böler.
Tam olarak değil___
27. İki akordan merkeze daha uzak olan daha büyüktür.
Tam olarak değil___
28.Bir dairenin yarıçapı çapının iki katıdır.
Tam olarak değil___
29. Bir daireyle iki ortak noktası olan düz bir çizgi teğettir.
Tam olarak değil___
30. Bir açıyla çizilen dairenin merkezi, bu açının ortaortasında yer alır.
Tam olarak değil___
31. Yazılı bir açının tepe noktası dairenin merkezinde yer alır.
Tam olarak değil___
32.Eşkenar üçgenin iç çemberinin ve çevrel çemberinin merkezleri çakışmaktadır.
Tam olarak değil___
33. Toplam eğer bir dörtgen içine bir daire yazılabilir zıt köşeler 180°'ye eşittir.
Tam olarak değil___
34.Bir dairenin çevresi ∏d'ye eşittir, burada d dairenin çapıdır.
Tam olarak değil___
35. Bir çokgenin açılarının toplamı 180°:(n-2).
Tam olarak değil___
36.Bir dik üçgenin hipotenüsü, dik kenarın bu kenarın karşısındaki açının sinüsüne bölünmesine eşittir.
Tam olarak değil___
37.Bir üçgenin açıortayı, kenarını diğer iki kenarla orantılı parçalara ayırır.
Tam olarak değil___
38. Bir üçgenin yüksekliklerini içeren doğrular üç noktada kesişir.
Tam olarak değil___
39. Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, bu üçgeni çevreleyen çemberin merkezidir.
Tam olarak değil___
40. Düşey açıların açıortayları arasındaki açı 180°'dir.
Tam olarak değil___
Bu teorem aynı zamanda L.S. Atanasyan'ın ders kitabında da formüle edilmiştir. ve Pogorelov A.V.'nin ders kitabında. . Bu ders kitaplarındaki bu teoremin kanıtları önemli ölçüde farklı değildir ve bu nedenle kanıtını örneğin A.V. Pogorelov'un ders kitabından sunuyoruz.
Teorem: Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir
Kanıt. ABC'ye izin ver - verilen üçgen. B köşesinden AC doğrusuna paralel bir çizgi çizelim. A ve D noktaları yan yana olacak şekilde D noktasını işaretleyelim. farklı taraflar BC direkt hattından (Şek. 6).
DBC ve ACB açıları, BC sekantının AC ve BD paralel düz çizgileriyle oluşturduğu iç çapraz uzanma açılarına eşittir. Dolayısıyla bir üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı ABD açısına eşittir. Bir üçgenin üç açısının toplamı da ABD ve BAC açılarının toplamına eşittir. Bunlar paralel AC ve BD ile sekant AB için tek taraflı iç açılar olduğundan toplamları 180°'dir. Teorem kanıtlandı.
Bu kanıtın fikri, paralel çizgi ve istenilen açıların eşitliğinin belirlenmesi. Bu teoremi düşünce deneyi kavramıyla kanıtlayarak böyle bir ek yapı fikrini yeniden oluşturalım. Bir düşünce deneyi kullanılarak teoremin kanıtı. Yani düşünce deneyimizin konusu üçgenin açılarıdır. Onu zihinsel olarak özünün özel bir kesinlikle ortaya çıkabileceği koşullara yerleştirelim (1. aşama).
Bu koşullar, üçgenin köşelerinin, üç köşesinin de bir noktada birleştirileceği şekilde düzenlenmesi olacaktır. Eğim açısını değiştirmeden üçgenin kenarlarını hareket ettirerek köşeleri "hareket ettirme" olanağına izin verirsek böyle bir kombinasyon mümkündür (Şekil 1). Bu tür hareketler esasen birbirini takip eden zihinsel dönüşümlerdir (2. aşama).
Bir üçgenin açılarını ve kenarlarını (Şekil 2) "hareket ederek" elde edilen açıları belirleyerek, düşünce öznemizi yerleştirdiğimiz çevreyi, bağlantılar sistemini zihinsel olarak oluştururuz (3. aşama).
BC çizgisi boyunca "hareket eden" ve eğim açısını değiştirmeden AB çizgisi, 1 açısını 5 açısına aktarır ve AC çizgisi boyunca "hareket ederek", 2 açısını 4 açısına aktarır. Böyle bir "hareket" AB çizgisiyle olduğundan AC ve BC çizgilerinin eğim açısını değiştirmiyorsa sonuç açıktır: a ve a1 ışınları AB'ye paraleldir ve birbirine dönüşür ve b ve b1 ışınları sırasıyla BC ve AC kenarlarının devamıdır. 3 açısı ile b ve b1 ışınları arasındaki açı dikey olduğundan eşittir. Bu açıların toplamı döndürülen aa1 açısına eşittir, yani 180°.
ÇÖZÜM
İÇİNDE diploma çalışması bazı okulların “inşa edilmiş” kanıtlarını gerçekleştirdi geometrik teoremler Formüle edilmiş hipotezi doğrulayan bir düşünce deneyinin yapısını kullanarak.
Sunulan kanıtlar, orijinali dönüştürmeyi mümkün kılan "sıkıştırma", "germe", "kayma" gibi görsel ve duyusal idealleştirmelere dayanıyordu. geometrik nesne ve bir düşünce deneyi için tipik olan temel özelliklerini vurgulayın. Aynı zamanda düşünce deneyi geometrik bilginin ortaya çıkmasına katkıda bulunan belirli bir “yaratıcı araç” görevi görür (örneğin, orta hat yamuk veya bir üçgenin açıları civarında). Bu tür idealleştirmeler, tüm kanıt fikrini, "ek inşaat" gerçekleştirme fikrini kavramayı mümkün kılar; bu da, okul çocukları tarafından resmi tümdengelimli kanıt sürecinin daha bilinçli bir şekilde anlaşılması olasılığı hakkında konuşmamıza olanak tanır. geometrik teoremler.
Bir düşünce deneyi bunlardan biridir temel yöntemler Geometrik teoremlerin elde edilmesi ve keşfedilmesi. Yöntemin öğrenciye aktarılması için bir metodolojinin geliştirilmesi gerekmektedir. Kalıntılar açık soru yöntemi “kabul etmek” için kabul edilebilir bir öğrencinin yaşı hakkında, “ yan etkiler» Kanıtların bu şekilde sunulması.
Bu sorular gerektirir ek çalışma. Ancak her durumda kesin olan bir şey var: Okul çocuklarında bir düşünce deneyi gelişiyor teorik düşünme, bunun temelidir ve bu nedenle zihinsel deney yeteneğinin geliştirilmesi gerekir.