“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Tüm gerekli teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, kullanışlı hileler, geliştirme mekansal hayal gücü. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.
Karar verirken geometrik problemler uzayda genellikle farklı uzaysal nesneler arasındaki açıları hesaplamanın gerekli olduğu yerler vardır. Bu yazımızda düzlemler arasındaki ve aralarındaki açıları ve düz bir çizgiyi bulma konusunu ele alacağız.
Uzayda düz çizgi
Düzlemdeki herhangi bir düz çizginin kesinlikle aşağıdaki eşitlikle tanımlanabileceği bilinmektedir:
Burada a ve b bazı sayılardır. Aynı ifadeyi kullanarak uzayda düz bir çizgi hayal edersek z eksenine paralel bir düzlem elde ederiz. İçin matematiksel tanım uzaysal düz çizgide, iki boyutlu duruma göre farklı bir çözüm yöntemi kullanılır. “Yön vektörü” kavramının kullanılmasından oluşur.
Düzlemlerin kesişme açısının belirlenmesinde problem çözme örnekleri
Düzlemler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı bildiğimizden aşağıdaki problemi çözeceğiz. Denklemleri şu şekilde olan iki düzlem göz önüne alındığında:
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
Uçaklar arasındaki açı nedir?
Sorunun sorusunu cevaplamak için genel düzlem denklemindeki değişkenlere ilişkin katsayıların kılavuz vektörün koordinatları olduğunu unutmayın. Bu düzlemler için normallerinin aşağıdaki koordinatlarına sahibiz:
n 1¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)
Şimdi bu vektörlerin ve modüllerinin skaler çarpımını buluruz:
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
Artık bulunan sayıları verilenlerle değiştirebilirsiniz. önceki paragraf formül. Şunu elde ederiz:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Ortaya çıkan değer, problem ifadesinde belirtilen düzlemlerin dar kesişme açısına karşılık gelir.
Şimdi başka bir örneğe bakalım. İki uçak verilmiştir:
Kesişiyorlar mı? Yön vektörlerinin koordinatlarının değerlerini yazıp hesaplayalım nokta çarpım bunlar ve modüller:
n 1¯(1; 1; 0);
n 2¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18
O zaman kesişme açısı:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .
Bu açı, düzlemlerin kesişmediğini, paralel olduğunu gösterir. Birbirleriyle örtüşmediklerini kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için birincisine ait rastgele bir noktayı alın, örneğin P(0; 3; 2). Koordinatlarını ikinci denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
Yani P noktası yalnızca birinci düzleme aittir.
Böylece normalleri paralel olan iki düzlem paraleldir.
Düz ve düz
Dikkate alınması durumunda göreceli konum Bir düzlem ile düz bir çizgi arasında, iki düzleme göre biraz daha fazla seçenek vardır. Bu gerçek, düz bir çizginin tek boyutlu bir nesne olmasından kaynaklanmaktadır. Düz bir çizgi ve bir düzlem şunlar olabilir:
- karşılıklı olarak paralel, bu durumda düzlem çizgiyi kesmez;
- ikincisi düzleme ait olabilir, aynı zamanda ona paralel olacaktır;
- her iki nesne de belirli bir açıyla kesişebilir.
Önce düşünelim son durumçünkü kesişim açısı kavramının tanıtılmasını gerektirir.
Düz çizgi ve düzlem, aralarındaki açının değeri
Bir düzlem düz bir çizgiyle kesişiyorsa buna eğik denir. Kesişme noktasına genellikle eğimli çizginin tabanı denir. Bu geometrik nesneler arasındaki açıyı belirlemek için düzlemin herhangi bir noktasından bir düz dikin indirilmesi gerekir. Daha sonra dik çizginin düzlemle kesişme noktası ve eğimli çizginin onunla kesişme noktası düz bir çizgi oluşturur. İkincisine, orijinal çizginin söz konusu düzleme izdüşümü denir. Keskin ve projeksiyonu istenendir.
Bir düzlem ile eğimli bir düzlem arasındaki açının biraz kafa karıştırıcı tanımı aşağıdaki şekilde açıklığa kavuşturulacaktır.
Burada ABO açısı AB düz çizgisi ile a düzlemi arasındaki açıdır.
Bunun formülünü yazmak için bir örnek düşünün. Denklemlerle tanımlanan bir düz çizgi ve bir düzlem olsun:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Düz çizgi ile düzlemin yön vektörleri arasındaki skaler çarpımı bulursanız, bu nesneler için istediğiniz açıyı kolayca hesaplayabilirsiniz. Kabul edilmiş dar açı 90o'dan çıkarıldığında düz bir çizgi ile düzlem arasında elde edilir.
Yukarıdaki şekil, söz konusu açıyı bulmak için açıklanan algoritmayı göstermektedir. Burada β normal ile çizgi arasındaki açıdır ve α ise çizgi ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındadır. Toplamlarının 90o olduğu görülmektedir.
Yukarıda düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağı sorusuna cevap veren bir formül sunuldu. Şimdi bir doğru ve bir düzlemin durumu için karşılık gelen ifadeyi veriyoruz:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Formüldeki modül yalnızca dar açıları hesaplamanıza olanak tanır. Trigonometrik fonksiyonlar (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)) arasında karşılık gelen indirgeme formülünün kullanılması sayesinde arkkosinüs yerine arksinüs fonksiyonu ortaya çıktı.
Problem: Bir düzlem bir doğruyla kesişiyor
Şimdi verilen formülle nasıl çalışılacağını göstereceğiz. Sorunu çözelim: y ekseni ile düzlem arasındaki açıyı hesaplamamız gerekiyor, denklem tarafından verilen:
Bu düzlem şekilde gösterilmiştir.
Y ve z eksenlerini sırasıyla (0; -12; 0) ve (0; 0; 12) noktalarında kestiği ve x eksenine paralel olduğu görülmektedir.
Y düz çizgisinin yön vektörü koordinatlara sahiptir (0; 1; 0). Vektör dik Verilen uçak, koordinatlarla (0; 1; -1) karakterize edilir. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişme açısı formülünü uygularsak şunu elde ederiz:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o
Problem: bir düzleme paralel bir doğru
Şimdi benzerini çözelim önceki görev, sorusu farklı bir şekilde soruluyor. Bir düzlemin ve bir doğrunun denklemleri bilinmektedir:
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Bu geometrik nesnelerin olup olmadığını öğrenmek gerekir. birbirine paralel bir arkadaşıma.
İki vektörümüz var: yönlendirme çizgisi (0; 2; 2)'ye eşittir ve yönlendirme düzlemi (1; 1; -1)'e eşittir. Skaler çarpımlarını buluyoruz:
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
Ortaya çıkan sıfır, bu vektörler arasındaki açının 90 o olduğunu gösterir, bu da düz çizgi ile düzlemin paralelliğini kanıtlar.
Şimdi bu doğrunun sadece paralel mi yoksa aynı zamanda düzlemde mi olduğunu kontrol edelim. Bunu yapmak için bir çizgi üzerinde rastgele bir nokta seçin ve bunun düzleme ait olup olmadığını kontrol edin. Örneğin λ = 0'ı ele alalım, o zaman P(1; 0; 0) noktası doğruya aittir. P düzlemini denklemde yerine koyarız:
P noktası düzleme ait değildir ve bu nedenle çizginin tamamı onun içinde yer almaz.
Dikkate alınan geometrik nesneler arasındaki açıları bilmek nerede önemlidir?
Yukarıdaki formüller ve problem çözme örnekleri yalnızca teorik açıdan ilgi çekici değildir. Genellikle önemli olanları belirlemek için kullanılırlar. fiziksel büyüklükler gerçek hacimsel rakamlar Prizmalar veya piramitler gibi. Şekillerin hacimleri ve yüzeylerinin alanları hesaplanırken düzlemler arasındaki açının belirlenebilmesi önemlidir. Üstelik, düz bir prizma durumunda, belirtilen miktarları belirlemek için bu formülleri kullanmamak mümkünse, o zaman herhangi bir piramit türü için bunların kullanılması kaçınılmaz hale gelir.
Aşağıda kare tabanlı bir piramidin köşelerini belirlemek için belirtilen teoriyi kullanmanın bir örneğini ele alacağız.
Piramit ve köşeleri
Aşağıdaki şekilde tabanında kenarı a olan bir kare bulunan bir piramit gösterilmektedir. Şeklin yüksekliği h'dir. İki açı bulmanız gerekiyor:
- yan yüzey ile taban arasında;
- yan kaburga ve taban arasında.
Sorunu çözmek için önce bir koordinat sistemi tanıtmalı ve karşılık gelen köşelerin parametrelerini belirlemelisiniz. Şekil, başlangıç noktasının merkezdeki noktayla çakıştığını göstermektedir kare taban. Bu durumda taban düzlemi aşağıdaki denklemle tanımlanır:
Yani herhangi bir x ve y için üçüncü koordinatın değeri her zaman sıfırdır. Yanal düzlem ABC, z eksenini B(0; 0; h) noktasında ve y eksenini koordinatları (0; a/2; 0) olan noktada keser. x eksenini kesmez. Bu, ABC düzleminin denkleminin şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:
y/(a/2) + z/h = 1 veya
2 * h * y + a * z - a * h = 0
AB¯ vektörü bir yan kenardır. Başlangıç ve bitiş koordinatları eşittir: A(a/2; a/2; 0) ve B(0; 0; h). Daha sonra vektörün kendisinin koordinatları:
Gerekli tüm denklemleri ve vektörleri bulduk. Şimdi dikkate alınan formülleri kullanmaya devam ediyor.
Öncelikle piramidin taban düzlemleri ile kenar düzlemleri arasındaki açıyı hesaplayalım. Karşılık gelen normal vektörler eşittir: n 1 ¯(0; 0; 1) ve n 2 ¯(0; 2*h; a). O zaman açı şöyle olacaktır:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))
Düzlem ile AB kenarı arasındaki açı şuna eşit olacaktır:
β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))
Geriye kalan tek şey yerine geçmek belirli değerler Gerekli açıları elde etmek için tabanın kenarlarını a ve yüksekliğini h ayarlayın.
Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Bundan sonra koordinat yöntemini kullanarak kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulma prensibi analiz edildi ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin bilinen koordinatlarını kullanarak kesişen düzlemler arasındaki açıyı hesaplamanıza olanak tanıyan bir formül elde edildi. Sonuç olarak gösterilmiştir detaylı çözümler karakteristik görevler.
Sayfada gezinme.
Düzlemler arasındaki açı - tanım.
Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.
Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.
Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.
c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.
Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Yani yapabilirsin paralel aktarım düzlemden düzleme, burada a 1 düz çizgisi a düz çizgisiyle ve b düz çizgisi b 1 düz çizgisiyle çakışır. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı açıya eşit kesişen a ve b çizgileri arasında.
Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.
Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.
Tanım.
Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.
İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.
Kesişen çizgiler arasındaki açı aşmadığından belirtilen tanımdan şu sonuç çıkar: derece ölçüsü kesişen iki düzlem arasındaki açı ifade edilir gerçek sayı aralıktan. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Arasındaki açı paralel düzlemler ya hiç belirlemezler ya da sıfıra eşit sayarlar.
Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.
Genellikle, kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken, önce aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen düz çizgileri görmek için ek yapılar yapmanız ve ardından eşitlik testleri, benzerlik testleri kullanarak bu açıyı orijinal verilerle ilişkilendirmeniz gerekir. testler, kosinüs teoremi veya sinüs, kosinüs ve açının tanjantının tanımları. Geometri dersinde lise benzer sorunlar yaşanıyor.
Örnek olarak, 2012 Matematik Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). İçinde kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.
Örnek.
Çözüm.
İlk önce bir çizim yapalım.
Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.
Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği bir düz çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. Bu düzlemlerin ikinci ortak noktasını bulalım. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan, DA çizgisi ABC düzleminde ve D 1 E çizgisi - BED 1 düzleminde yer alır, bu nedenle DA ve D 1 E çizgilerinin kesişme noktası olacaktır. ortak nokta ABC uçakları ve YATAK 1. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.
Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik olan iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC ve BED 1 uçakları. Hadi bunu yapalım.
Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.
Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.
Bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) şu şekilde belirleyebiliriz: dik üçgen AEM, eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.
Bunu yapmak için, AM'nin yüksekliği olduğu A dik açısına sahip bir ABF dik üçgenini düşünün. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz: 
Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: 
, diğer tarafta 
, Neresi 
.
Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki 
.
Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki 
).
Cevap:
Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.
Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.
Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek 
düzlemin normal vektörüdür ve 
düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.
Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.
Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.
Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır 
.
Önceki örneği koordinat yöntemini kullanarak çözelim.
Örnek.
AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ve E noktasının AA 1 kenarını A noktasından sayarak 4 ila 3 oranında böldüğü dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
Çözüm.
Yanlardan beri dikdörtgen paralel yüzlü bir köşe ikili olarak dik olduğunda, tanıtmak uygundur dikdörtgen sistem Oxyz'i şu şekilde koordine eder: başlangıç köşe C ile hizalanır ve koordinat eksenleri Ox, Oy ve Oz sırasıyla CD, CB ve CC 1 taraflarına yönlendirilir.
ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.
\(\blacktriangleright\) Dihedral açı, iki yarım düzlem ve bunların ortak sınırı olan bir düz çizgi \(a\) tarafından oluşturulan bir açıdır.
\(\blacktriangleright\) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için şunu bulmanız gerekir: doğrusal açı(Ve baharatlı veya doğrudan) dihedral açı\(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu :
Adım 1: Let \(\xi\cap\pi=a\) (düzlemlerin kesişme çizgisi). \(\xi\) düzleminde rastgele bir \(F\) noktası işaretliyoruz ve \(FA\perp a\) çiziyoruz;
Adım 2: \(FG\perp \pi\) komutunu uygulayın;
Adım 3: TTP'ye göre (\(FG\) – dikey, \(FA\) – eğik, \(AG\) – projeksiyon) elimizde: \(AG\perp a\) ;
Adım 4: \(\angle FAG\) açısına \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısı denir.
\(AG\) üçgeninin dik açılı olduğuna dikkat edin.
Ayrıca bu şekilde oluşturulan \(AFG\) düzleminin hem \(\xi\) hem de \(\pi\) düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle farklı söyleyebiliriz: düzlemler arasındaki açı\(\xi\) ve \(\pi\), ve \(\xi\'ye dik bir düzlem oluşturan \(c\in \xi\) ve \(b\in\pi\) ile kesişen iki çizgi arasındaki açıdır. ) ve \(\pi\) .
Görev 1 #2875
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Dana dörtgen piramit tüm kenarları eşit ve tabanı karedir. \(6\cos \alpha\)'yı bulun; burada \(\alpha\), bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.
\(SABCD\) olsun – bu piramit(\(S\), kenarları \(a\)'ya eşit olan bir köşedir). Bu nedenle her şey yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki açıyı bulalım.
Hadi \(CH\perp SD\) yapalım. Çünkü \(\üçgen SAD=\üçgen SCD\) ise \(AH\) aynı zamanda \(\triangle SAD\)'nin yüksekliği olacaktır. Bu nedenle, tanım gereği, \(\angle AHC=\alpha\), \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.
Taban kare olduğundan \(AC=a\sqrt2\) olur. Ayrıca \(CH=AH\)'ın yükseklik olduğunu unutmayın eşkenar üçgen\(a\) tarafıyla, bu nedenle \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Daha sonra \(\triangle AHC\)'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Cevap: -2
Görev 2 #2876
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, kosinüsü \(0,2\)'ye eşit olan bir açıda kesişir. \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) düzlemleri dik açılarda kesişir ve \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinin kesişme çizgisi, düzlemler \(\pi_2\) ve \(\ pi_3\) . \(\pi_1\) ve \(\pi_3\) düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\)'nin kesişme çizgisi düz bir çizgi \(a\), \(\pi_2\) ve \(\pi_3\)'in kesişme çizgisi bir düz çizgi olsun \(b\) çizgisi ve \(\pi_3\) ile \(\pi_1\) kesişim çizgisi – \(c\) düz çizgisi. \(a\parallel b\) olduğundan, \(c\parallel a\parallel b\) (teorik referans “Uzayda Geometri” \(\rightarrow\) “Sterometriye giriş bölümündeki teoreme göre, paralellik”).
\(A\in a, B\in b\) noktalarını \(AB\perp a, AB\perp b\) olacak şekilde işaretleyelim (bu, \(a\parallel b\) olduğundan mümkündür). \(C\in c\)'yi \(BC\perp c\) olacak şekilde işaretleyelim, dolayısıyla \(BC\perp b\) . Sonra \(AC\perp c\) ve \(AC\perp a\) .
Aslında, \(AB\perp b, BC\perp b\) olduğundan, \(b\), \(ABC\) düzlemine diktir. \(c\paralel a\paralel b\) olduğundan, \(a\) ve \(c\) çizgileri de \(ABC\) düzlemine ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgiye diktir, özellikle , \ (AC\) satırı.
Şunu takip ediyor \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\açı BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)\). \(\ABC üçgeni\)'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıkıyor, bu da şu anlama geliyor: \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Cevap: 0,2
Görev 3 #2877
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Bir noktada kesişen \(a, b, c\) düz çizgileri verildiğinde ve bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\) değerine eşittir. \(\cos^(-1)\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(a\) ve \(c\) çizgilerinin oluşturduğu düzlem ile \( çizgilerinin oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. b\ ) ve \(c\) . Cevabınızı derece cinsinden verin.
Doğruların \(O\) noktasında kesişmesine izin verin. Bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\)'a eşit olduğundan, üç düz çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. \(a\) doğrusu üzerinde \(A\) noktasını işaretleyelim ve \(AB\perp b\) ve \(AC\perp c\) çizelim. Daha sonra \(\üçgen AOB=\üçgen AOC\) hipotenüs ve dar açı boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle, \(OB=OC\) ve \(AB=AC\) .
Hadi \(AH\perp (BOC)\) yapalım. Daha sonra teoreme göre yaklaşık üç dik \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . \(AB=AC\) olduğundan, o zaman \(\üçgen AHB=\üçgen AHC\) hipotenüs ve kenar boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle \(HB=HC\) . Bu, \(OH\)'nin \(BOC\) açısının açıortayı olduğu anlamına gelir (çünkü \(H\) noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).
Bu şekilde dihedral açının doğrusal açısını da oluşturduğumuza dikkat edin, bir düzlemin oluşturduğu, \(a\) ve \(c\) düz çizgilerinden oluşan ve \(b\) ve \(c\) düz çizgilerinden oluşan düzlem. Bu \(ACH\) açısıdır.
Bu açıyı bulalım. \(A\) noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre \(OA=2\) olacak şekilde seçelim. Daha sonra dikdörtgen şeklinde \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) bir açıortay olduğundan, \(\angle HOC=30^\circ\) , dolayısıyla dikdörtgen bir \(\triangle HOC\) içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgen \(\üçgen ACH\)'den: \[\cos\açı \alpha=\cos\açı ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Cevap: 3
Görev 4 #2910
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, üzerinde \(M\) ve \(N\) noktalarının bulunduğu \(l\) düz çizgisi boyunca kesişir. \(MA\) ve \(MB\) parçaları \(l\) düz çizgisine diktir ve sırasıyla \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinde yer alır ve \(MN = 15) \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri arasındaki açıdır.
\(AMN\) üçgeni dik açılıdır, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), dolayısıyla \ \(BMN\) üçgeni dik açılıdır, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), bundan \(AMB\) üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Daha sonra \ Düzlemler arasındaki \(\alpha\) açısı dar bir açı olduğundan ve \(\angle AMB\) geniş olduğu ortaya çıktığından, \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Daha sonra \
Cevap: 1.25
Görev 5 #2911
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) bir paralelyüzdür, \(ABCD\) kenarı \(a\) olan bir karedir, \(M\) noktası \(A_1\) noktasından \ düzlemine bırakılan dikmenin tabanıdır ((ABCD)\) ayrıca \(M\), \(ABCD\) karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. biliniyor ki \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Şekilde gösterildiği gibi \(MN\)'yi \(AB\)'ye dik olarak oluşturalım.
\(ABCD\) kenarı \(a\) ve \(MN\perp AB\) ve \(BC\perp AB\) olan bir kare olduğundan, \(MN\parallel BC\) . \(M\) karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğuna göre, \(M\) \(AC\'nin orta noktasıdır), dolayısıyla \(MN\) orta hat Ve \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\), \(A_1N\)'nin \((ABCD)\) düzlemine izdüşümüdür ve \(MN\) \(AB\'ye diktir), o halde üç dik teoremine göre, \ (A_1N\), \(AB \)'ye diktir ve \((ABCD)\) ile \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açı \(\angle A_1NM\)'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Cevap: 60
Görev 6 #1854
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(ABC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
Dik üçgenler \(\triangle SAO\) ve \(\triangle SDO\) iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak taraf) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – ikizkenar. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\) \(ASD\) ve \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) düzlemlerine diktir – istenene eşit doğrusal açı dihedral açı.
\(\triangle SKO\) içinde: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – ikizkenar dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Cevap: 45
Görev 7 #1855
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(BSC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ve \(\triangle SOC\) dik üçgenlerinin iki tarafı eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC) \) \(\Sağok\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) ve \(\triangle BSC\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\), \(ASD\) düzlemine diktir. \(L\) noktası \(BC\'nin ortasıdır), o zaman \(SL\) \(\üçgen BSC\) üçgenindeki yüksekliktir ve \(OL\) üçgendeki yüksekliktir \( BOC\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOL\) (aka \(SOK\)) düzlemi \(BSC\) düzlemine diktir. Böylece, \(\angle KSL\)'nin istenen dihedral açıya eşit bir doğrusal açı olduğunu elde ederiz.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – eşit yükseklikler ikizkenar üçgenler Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Şu fark edilebilir ki \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) bir üçgen için \(\üçgen KSL\) ters Pisagor teoremi şunu tutar: \(\Rightarrow\) \(\üçgen KSL\) – dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .
Cevap: 90
Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün yeterince ayrıntılı olarak kapsanmasına rağmen okul müfredatı, birçok mezunun temel materyalleri tekrarlaması gerekir. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.
Ana nüanslar
Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.
Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.
Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.
Sonraki adım- bulma trigonometrik fonksiyon dik açıların oluşturduğu dihedral açı. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.
Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.
Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır
Birleşik Devlet Sınavını geçmenin arifesinde dersler sırasında birçok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Okul ders kitabı Tam ihtiyacınız olduğu anda her zaman elinizin altında olmayabilir. Ve bulmak gerekli formüller ve bazen çok fazla zaman harcamayı gerektiren çevrimiçi olarak uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere bunların doğru kullanımına ilişkin örnekler.
Matematiksel portal "Shkolkovo" şunları sunuyor: yeni yaklaşım devlet sınavına hazırlanmak için. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.
Gerekli tüm materyali hazırladık ve net bir şekilde sunduk. Temel Tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.
Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Geniş görev seçimi değişen derecelerörneğin karmaşıklık “Katalog” bölümünde sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Web sitesindeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede ona geri dönebilecekler gerekli miktar zaman ayırın ve kararının ilerleyişini onlarla tartışın okul öğretmeni veya bir öğretmen.
Düzlemler arasındaki açının ölçüsü, bu düzlemler arasında uzanan ve bunların kesişme çizgisine dik olarak çizilen iki düz çizginin oluşturduğu dar açıdır.
İnşaat algoritması
- İtibaren keyfi nokta K verilen düzlemlerin her birine dik çizer.
- Seviye çizgisi etrafında döndürülerek, K noktasındaki tepe noktasıyla γ° açısı belirlenir.
- γ° > 90° olmak koşuluyla, ϕ° = 180 – γ° düzlemleri arasındaki açıyı hesaplayın. Eğer γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
Şekil α ve β düzlemlerinin izlerle verildiği durumu göstermektedir. Gerekli tüm yapılar algoritmaya göre yapılmış olup aşağıda açıklanmıştır.
Çözüm
- Çizimde rastgele bir yerde K noktasını işaretleyin. Buradan sırasıyla m ve n dik noktalarını α ve β düzlemlerine indiriyoruz. m ve n projeksiyonlarının yönü şu şekildedir: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
- M ve n çizgileri arasındaki ∠γ° gerçek boyutunu belirliyoruz. Bunu yapmak için, ön f etrafında, K tepe noktasıyla açının düzlemini ön projeksiyon düzlemine paralel bir konuma döndürüyoruz. K noktasının dönüş yarıçapı R değere eşit Kenarı K""K 0 = y K – y O olan O""K""K 0 dik üçgeninin hipotenüsü.
- ∠γ° dar açı olduğundan istenen açı ϕ° = ∠γ°'dir.
Aşağıdaki şekil, sırasıyla paralel ve kesişen çizgilerle verilen α ve β düzlemleri arasındaki γ° açısını bulmanın gerekli olduğu bir problemin çözümünü göstermektedir.
Çözüm
- Yatay h 1, h 2 ve ön f 1, f 2'nin çıkıntılarının yönünü belirleriz, uçaklara aitα ve β, oklarla gösterilen sırayla. Kare üzerindeki keyfi bir K noktasından. α ve β'da e ve k dik açılarını atlıyoruz. Bu durumda, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ve k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
- e ve k doğruları arasında ∠γ° tanımlıyoruz. Bunu yapmak için, yatay bir h 3 çizgisi çizin ve onun etrafında K noktasını K 1 konumuna döndürün; burada △CKD yatay düzleme paralel olacak ve doğal boyutunda yansıtılacaktır - △C"K" 1 D ". O" dönme merkezinin izdüşümü, K"O"ya dik h" 3'e çizilen üzerinde bulunur. R yarıçapı, tarafı K"K 0 = olan O"K"K 0 dik üçgeninden belirlenir. Z O – Z K.
- γ° açısı dar olduğundan istenilen değerin değeri ∠ϕ° = ∠γ°'dir.