Hacimsel şekillerin merkezi simetrisi. Uzamsal figürlerin simetrisi

UZAYSEL ŞEKİLLERİN SİMETRİSİ

Ünlülere göre Alman matematikçi G. Weyl (1885-1955), “simetri, insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir.”
Güzel görüntüler simetri sanat eserleriyle gösterilir: mimari, resim, heykel vb.
Planimetri dersinde düzlemdeki şekillerin simetrisi kavramı tartışıldı. Özellikle merkezi ve eksenel simetri kavramları tanımlandı. İçin mekansal figürler simetri kavramı da benzer şekilde tanımlanır.
Önce merkezi simetriye bakalım.
noktaya göre simetrik O aradı simetri merkezi, eğer O, AA doğru parçasının orta noktası ise." O noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan (belirli bir O noktasına göre) bir A noktasıyla ilişkili olduğu uzay dönüşümüne denir. merkezi simetri. O noktasına denir simetri merkezi.
İki rakam Ф ve Ф" olarak adlandırılır merkezi simetrik birini diğerine götüren bir simetri dönüşümü varsa.
F şekline denir merkezi simetrik, eğer merkezi olarak kendisine simetrikse.
Örneğin, bir paralel yüzlü, köşegenlerinin kesişme noktasına göre merkezi olarak simetriktir. Top ve küre merkezleri etrafında merkezi olarak simetriktir.
Düzenli çokyüzlülerden küp, oktahedron, ikosahedron ve dodekahedron merkezi olarak simetriktir. Tetrahedron merkezi olarak simetrik bir şekil değildir.
Merkezi simetrinin bazı özelliklerini ele alalım.
Mülk 1. Eğer O 1, Ç 2 Ф şeklinin simetri merkezleri, ardından O noktası 3, O2'ye göre simetrik O1 aynı zamanda bu şeklin simetri merkezidir.
Kanıt. A uzayda bir nokta olsun, A 2 – O'ya göre simetrik bir nokta 2, bir 1 – A'ya simetrik nokta O 1 ve A 3'e göre 2 – simetrik nokta A 1, O2'ye göre (Şekil 1).

O halde O üçgenleri 2 O 1 A 1 ve O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 ve O 2 O 3 A eşittir. Bu nedenle A ve A 3 O etrafında simetrik 3 . Böylece O'ya göre simetri 3 O'ya göre simetrilerin bir bileşimidir 2, O 1 ve O 2 . Sonuç olarak bu simetri ile F şekli kendine dönüşür. O 3 F şeklinin simetri merkezidir.

Sonuçlar.Herhangi bir şeklin ya simetri merkezi yoktur, ya tek bir simetri merkezi vardır, ya da sonsuz sayıda simetri merkezi vardır.

Gerçekten eğer O 1, Ç 2 Ф şeklinin simetri merkezleri, ardından O noktası 3, O2'ye göre simetrik O1 aynı zamanda bu şeklin simetri merkezidir. Aynı şekilde O noktası 4 simetrik O2, O3'e göre aynı zamanda F şeklinin simetri merkezidir, vb. Dolayısıyla bu durumda F şekli sonsuz sayıda simetri merkezine sahiptir.

Şimdi kavramı ele alalım eksenel simetri.
Uzaydaki A ve A" noktalarına denir düz bir çizgiye göre simetrik A, isminde simetri ekseni eğer düzse A AA" doğru parçasının ortasından geçer ve bu parçaya diktir. Düz bir çizginin her noktası A kendine simetrik kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan bir A noktasıyla ilişkili olduğu (belirli bir çizgiye göre) bir uzay dönüşümü A), isminde eksenel simetri. Dümdüz A bu durumda buna denir simetri ekseni.
İki rakama denir düz bir çizgiye göre simetrik A, eğer bu doğruya ilişkin bir simetri dönüşümü bunlardan birini diğerine dönüştürüyorsa.
Uzaydaki F şekline denir düze göre simetrik A kendisine simetrik ise.
Örneğin dikdörtgen bir paralelyüz, karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen düz bir çizgiye göre simetriktir. Dik dairesel bir silindir kendi ekseni etrafında simetriktir, bir top ve bir küre merkezlerinden geçen herhangi bir düz çizgiye göre simetriktir, vb.
Küpün karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen üç simetri ekseni ve karşıt kenarların ortasından geçen altı simetri ekseni vardır.
Tetrahedron, zıt kenarların orta noktalarından geçen üç simetri eksenine sahiptir.
Oktahedronun içinden geçen üç simetri ekseni vardır. zıt köşeler ve karşıt kenarların ortasından geçen altı simetri ekseni.
İkosahedron ve dodekahedronun her biri, karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş simetri eksenine sahiptir.
Mülk 3. EğerA 1 , A 2 – F şeklinin simetri ekseni, ardından düz çizgiA 3, simetrik A 1 akraba A 2 aynı zamanda bu şeklin simetri eksenidir.

İspat Özellik 1'in ispatına benzer.

Mülk 4.Uzayda kesişen iki dik çizgi belirli bir F şeklinin simetri eksenleri ise, o zaman kesişme noktasından geçen ve bu çizgilerin düzlemine dik olan düz çizgi aynı zamanda F şeklinin simetri ekseni olacaktır.
Kanıt. O koordinat eksenlerini göz önünde bulundurun X, Ey sen, Ey z. O eksenine göre simetri X X, sen, z) koordinatları ile F şeklinin noktasına ( x, –y, –z). Benzer şekilde O eksenine göre simetri senФ şeklinin bir noktasını koordinatlarla çevirir ( X, –sen, –z) koordinatları ile Ф şeklinin noktasına (– x, –y, z) . Böylece, bu simetrilerin bileşimi, F şeklinin noktasını koordinatlarla çevirir ( x, y, z) koordinatları ile Ф şeklinin noktasına (– x, –y, z). Bu nedenle O ekseni z F şeklinin simetri eksenidir.

Sonuçlar.Uzaydaki herhangi bir şeklin çift (sıfırdan farklı) sayıda simetri ekseni olamaz.
Aslında bazı simetri eksenlerini sabitleyelim A. Eğer B– simetri ekseni kesişmiyor A veya dik açıyla kesişmiyorsa, o zaman onun için başka bir simetri ekseni vardır B', göre simetrik A. Simetri ekseni ise B haçlar A dik açıdaysa onun için başka bir simetri ekseni vardır B' kesişme noktasından geçen ve doğruların düzlemine dik olan A Ve B. Bu nedenle simetri eksenine ek olarak A belki hatta veya sonsuz sayı simetri eksenleri. Bu nedenle, toplam çift (sıfır olmayan) sayıda simetri ekseni imkansızdır.
Yukarıda tanımlanan simetri eksenlerine ek olarak şunları da dikkate alıyoruz: simetri ekseni N-inci sıra, N 2 .
Dümdüz A isminde simetri ekseni N-inci sıraşekil Ф, eğer Ф şeklini düz bir çizgi etrafında döndürürken A bir açıyla F şekli kendisiyle birleştirilir.

2. dereceden simetri ekseninin basitçe bir simetri ekseni olduğu açıktır.
Örneğin, doğru şekilde N-bir karbon piramidi, üstten ve tabanın merkezinden geçen düz çizgi simetri eksenidir N-inci sipariş.
Düzenli çokyüzlülerin hangi simetri eksenlerine sahip olduğunu bulalım.
Küpün, karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen 4. dereceden üç simetri ekseni, karşıt köşelerden geçen 3. dereceden dört simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen 2. dereceden altı simetri ekseni vardır.
Tetrahedron, zıt kenarların orta noktalarından geçen, ikinci dereceden simetriye sahip üç eksene sahiptir.
İkosahedronun zıt köşelerden geçen altı adet 5. dereceden simetri ekseni vardır; karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen on adet 3. dereceden simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş adet 2. dereceden simetri ekseni.
Dodecahedronun karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen altı adet 5. dereceden simetri ekseni vardır; zıt köşelerden geçen on adet 3. dereceden simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş adet 2. dereceden simetri ekseni.
Konsepti ele alalım ayna simetrisi.
Uzaydaki A ve A" noktalarına denir düzleme göre simetrik veya başka bir deyişle, ayna simetrik, eğer bu düzlem AA" doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve ona dik ise. Düzlemin her noktasının kendine simetrik olduğu kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan (belirli bir düzleme göre) bir A noktasıyla ilişkili olduğu uzay dönüşümüne denir. ayna simetrisi. Uçak denir simetri düzlemi.
İki rakama denir ayna simetrik bu düzleme göre bir simetri dönüşümü bunlardan birini diğerine dönüştürüyorsa, düzleme göre.
Uzaydaki F şekline denir ayna simetrik, eğer kendine simetrik bir ayna ise.
Örneğin, dikdörtgen bir paralel yüzlü, simetri ekseninden geçen ve karşıt yüz çiftlerinden birine paralel olan bir düzlem etrafında simetrik bir aynadır. Silindir, ekseninden vb. geçen herhangi bir düzleme göre ayna simetriktir.
Düzenli çokyüzlüler arasında küp ve oktahedronun her birinin dokuz simetri düzlemi vardır. Tetrahedronun altı simetri düzlemi vardır. İkosahedron ve dodekahedronun her biri, zıt kenar çiftlerinden geçen on beş simetri düzlemine sahiptir.
Mülk 5.İkili kompozisyon ayna simetrileri nispeten paralel düzlemler bu düzlemlere dik olan ve büyüklük olarak bu düzlemler arasındaki mesafenin iki katına eşit olan bir vektöre paralel ötelemedir.
Sonuçlar. Paralel taşınma iki ayna simetrisinin bileşimi olarak düşünülebilir.
Mülk 6. Düz bir çizgide kesişen düzlemlere göre iki ayna simetrisinin bileşimi, bu düzlemler arasındaki dihedral açının iki katına eşit bir açıyla bu düz çizgi etrafında bir dönüştür. Özellikle eksenel simetri, dik düzlemler etrafındaki iki ayna simetrisinin bileşimidir.
Sonuçlar. Döndürme, iki ayna simetrisinin birleşimi olarak düşünülebilir.
Mülk 7. Merkezi simetri, üç ayna simetrisinin bileşimi olarak temsil edilebilir.
Bu özelliği kullanarak kanıtlıyoruz koordinat yöntemi. A noktası olsun uzayda koordinatlar vardır ( x, y, z). Koordinat düzlemine göre ayna simetrisi karşılık gelen koordinatın işaretini değiştirir. Örneğin O düzlemine göre ayna simetrisi xy noktayı koordinatlarla çevirir ( x, y, z) koordinatları olan bir noktaya ( x, y, –z). Üç ayna simetrisinin bileşimi koordinat düzlemleri noktayı koordinatlarla çevirir ( x, y, z) koordinatları olan bir noktaya (– x, –y, –z), merkezi olarak simetrik olan başlangıç noktası A.
F figürünü kendine dönüştüren hareketler kompozisyona göre bir grup oluşturur. Buna denir simetri grubu F rakamları
Küpün simetri grubunun sırasını bulalım.
Küpü kendi içine aktaran herhangi bir hareketin küpün merkezini yerinde bıraktığı, yüzlerin merkezlerini yüzlerin merkezlerine, kenarların orta noktalarını kenarların orta noktalarına, köşeleri de köşelere aktardığı açıktır.
Böylece küpün hareketini belirlemek için yüzün merkezinin nereye gittiğini, bu yüzün kenarının ortasını ve kenarın tepe noktasını belirlemek yeterlidir.
Bir küpün, her birinin köşeleri küpün merkezi, yüzün merkezi, bu yüzün kenarının ortası ve kenarın tepe noktası olan dörtyüzlülere bölünmesini ele alalım. Bu tür 48 tetrahedra vardır. Hareket tamamen belirli bir tetrahedronun hangi tetrahedraya çevrildiğine göre belirlendiğinden, küpün simetri grubunun sırası 48'e eşit olacaktır.
Tetrahedron, oktahedron, ikosahedron ve dodekahedronun simetri gruplarının sıraları da benzer şekilde bulunur.
Simetri grubunu bulalım birim çember S 1 . Bu grup O(2) ile gösterilir. Sonsuz bir topolojik gruptur. Birim çemberi bir grup olarak düşünelim karmaşık sayılar modulo bire eşittir. Doğal bir epimorfizm vardır p:O(2) --> S 1 O(2) grubunun bir u öğesini S'deki bir u(1) öğesiyle ilişkilendiren 1 . Bu haritalamanın çekirdeği Z grubudur. 2 birim çemberin Ox eksenine göre simetrisi tarafından oluşturulur. Bu nedenle O(2)/Z 2S 1 . Ayrıca grup yapısını göz ardı edersek bir O(2) homeomorfizmi vardır ve doğrudan ürün S 1 ve Z2.
Benzer şekilde, iki boyutlu S küresinin simetri grubu 2 O(3) ile gösterilir ve bunun için O(3)/O(2) S izomorfizmi vardır. 2 .
N boyutlu kürelerin simetri grupları oynuyor önemli rol V modern bölümler topoloji: manifold teorisi, lifli uzay teorisi, vb.
Doğadaki simetrinin en çarpıcı tezahürlerinden biri kristallerdir. Kristallerin özellikleri, geometrik yapılarının özelliklerine, özellikle de kristal kafes içindeki atomların simetrik düzenine göre belirlenir. Kristallerin dış şekilleri iç simetrilerinin bir sonucudur.
Kristallerdeki atomların düzenli, düzenli, simetrik bir düzende düzenlendiğine dair hala belirsiz olan ilk varsayımlar, atom kavramının belirsiz olduğu ve hiçbir deneysel kanıtın bulunmadığı bir dönemde çeşitli doğa bilimcilerinin çalışmalarında ifade edilmişti. atom yapısı maddeler. Kristallerin simetrik dış şekli, ister istemez kristallerin iç yapısının simetrik ve düzenli olması gerektiği fikrini akla getirdi. Kristallerin dış formunun simetri yasaları 19. yüzyılın ortalarında tam olarak oluşturulmuş ve bu yüzyılın sonuna gelindiğinde kristallerdeki atomik yapıların tabi olduğu simetri yasaları açık ve doğru bir şekilde çıkarılmıştır.
Kristallerin yapısına ilişkin matematiksel teorinin kurucusu, seçkin Rus matematikçi ve kristalograf Evgraf Stepanovich Fedorov'dur (1853-1919). Matematik, kimya, jeoloji, mineraloji, petrografi, madencilik - E.S. Fedorov bu alanların her birine önemli katkılarda bulundu. 1890'da mümkün olan her şeyi kesinlikle matematiksel olarak elde etti. geometrik yasalar kristal yapılardaki simetri elemanlarının kombinasyonları, başka bir deyişle kristallerin içindeki parçacıkların düzeninin simetrisi. Bu tür yasaların sayısının sınırlı olduğu ortaya çıktı. Fedorov, daha sonra bilim adamının onuruna Fedorov adını alacak olan 230 uzay simetri grubunun bulunduğunu gösterdi. Açılıştan 10 yıl önce yapılan devasa bir çalışmaydı röntgen 27 yıl önce varlığını kanıtlamak için kullanıldılar kristal kafes. 230 Fedorov grubunun varlığı, modern yapısal kristalografinin en önemli geometrik yasalarından biridir. “Sayısız kristal oluşumunun tüm doğal “kaosunu” tek bir geometrik şema altında toplamayı başaran E.S. Fedorov'un devasa bilimsel başarısı hala hayranlık uyandırıyor. periyodik tablo DI. Akademisyen A.V. Shubnikov, Mendeleev'in "Kristaller Krallığı" sarsılmaz bir anıt ve klasik Fedorov kristalografisinin son zirvesidir" dedi.

Edebiyat
1. Hadamard J. Temel geometri. Bölüm II. Stereometri. – 3. baskı. – M.: Üçpedgiz, 1958.
2. Weil G. Simetri. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Simetri üzerine çalışmalar. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Bu sağ, sol dünya. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Ayna Dünyası. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.Ş. Mikro ve makrokozmosta simetri. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Matematikte simetri. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Temel geometri dersi. Bölüm II. Uzayda geometri. – M.-L.: Devlet Yayınevi. teknik-teorik edebiyat, 1949.
9. Sonin A.Ş. Mükemmelliğin kavranması (simetri, asimetri, asimetri, antisimetri). – M.: Bilgi, 1987.
10. Tarasov L.V. Bu inanılmaz derecede simetrik dünya. – M.: Eğitim, 1982.
11. Simetri desenleri. – M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Doğada simetri. – 2. baskı. –L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Bilim ve sanatta simetri. – M.: Nauka, 1972.

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

POLİhedra

V. UZAYSEL ŞEKİLLERİN SİMETRİ KAVRAMI

99. Merkezi simetri. Bir şekildeki her bir A noktası, diğer şekilde O noktasının diğer tarafında OA düz çizgisi üzerinde belirli bir mesafede bulunan A" noktasına karşılık geliyorsa, iki şeklin uzaydaki herhangi bir O noktasına göre simetrik olduğu söylenir. mesafeye eşit A noktasından O noktasına kadar (Şek. 114). O noktasına denir simetri merkezi rakamlar.

Böyle bir örnek simetrik şekiller uzayda daha önce karşılaştığımız (§ 53), çokyüzlü bir açının kenarlarının ve yüzlerinin tepe noktasının ötesine geçerek, verilene simetrik bir çokyüzlü açı elde ettiğimizde. İki simetrik şekli oluşturan karşılık gelen bölümler ve açılar birbirine eşittir. Bununla birlikte, şekiller bir bütün olarak eşit olarak adlandırılamaz: Simetrik çokyüzlü açılar örneğinde gördüğümüz gibi, bir şekildeki parçaların sırasının diğerinden farklı olması nedeniyle birbirleriyle birleştirilemezler.

Bazı durumlarda simetrik şekiller birleştirilebilir ancak uyumsuz kısımları çakışacaktır. Örneğin düz bir çizgiyi ele alalım üçgen açı(Şekil 115) O noktasında bir tepe noktasına ve OX, OY, OZ kenarlarına sahip.

Simetrik bir OX"Y"Z" açısı oluşturalım. OXYZ açısı OX"Y"Z" ile birleştirilebilir, böylece OX kenarı OY" ile çakışır ve OY kenarı OX" ile çakışır. Karşılık gelen OX ile OX" kenarlarını ve OY ile OY" kenarlarını birleştirirsek, o zaman OZ ve OZ" kenarları zıt yönlere yönlendirilecektir.

Simetrik şekiller birlikte tek bir geometrik cisim oluşturuyorsa bu geometrik cismin bir simetri merkezi olduğu söylenir. Dolayısıyla, eğer belirli bir cismin bir simetri merkezi varsa, o zaman bu cisme ait her nokta, aynı zamanda kendisine ait olan simetrik bir noktaya karşılık gelir. verilen vücut. İncelediklerimizden geometrik cisimler bir simetri merkezine sahiptir, örneğin: 1) paralel yüzlü, 2) tabanında düzenli bir çokgen bulunan bir prizma çift sayı taraflar

Düzenli tetrahedron simetri merkezi yoktur.

100. Düzleme göre simetri. Bir şekildeki her A noktası diğerindeki bir A noktasına karşılık geliyorsa ve AA" segmenti P düzlemine dikse ve kesişme noktasında ikiye bölünmüşse, iki uzamsal şekle P düzlemine göre simetrik denir. bu uçak.

Teorem. İki simetrik şekilde karşılık gelen herhangi iki bölüm birbirine eşittir.

P düzlemine göre simetrik iki şekil verilsin. İlk şeklin A ve B gibi iki noktasını seçelim, ikinci şeklin karşılık gelen noktaları A" ve B" olsun (Şekil 116, şekiller çizimde gösterilmiştir).

Ayrıca C, AA" doğru parçasının P düzlemiyle kesişme noktası olsun; D, BB" doğru parçasının aynı düzlemle kesişme noktası olsun. C ve D noktalarını düz bir çizgiyle birleştirerek iki ABDC ve A"B"DC dörtgeni elde ederiz. AC = A"C olduğundan BD = B"D ve
/ AKD = / A.C.D. / BDC = / "DC'de dik açı olarak bu dörtgenler eşittir (ki bu süperpozisyonla kolayca doğrulanır). Sonuç olarak AB = A"B". Bu teoremden hemen karşılık gelen düzlem ve düzlemin olduğu sonucu çıkar. dihedral açılar Bir düzleme göre simetrik olan iki şekil birbirine eşittir. Ancak bir şekildeki parçaların sırası şu şekilde olduğundan, bu iki şekli karşılık gelen parçaları eşleşecek şekilde birbiriyle birleştirmek imkansızdır. bunun tam tersi, başka bir yerde gerçekleşir (bu aşağıda kanıtlanacaktır, § 102). Bir düzleme göre simetrik olan iki şeklin en basit örneği: herhangi bir nesne ve onun yansıma düz ayna; her şekil kendisiyle simetriktir ayna görüntüsü aynanın düzlemine göre.

Herhangi bir geometrik cisim belirli bir düzleme göre simetrik iki parçaya bölünebiliyorsa bu düzleme o cismin simetri düzlemi denir.

Simetri düzlemine sahip geometrik cisimler doğada ve doğada oldukça yaygındır. günlük yaşam. İnsan ve hayvanların vücudu, onu sağ ve sol kısımlara ayıran bir simetri düzlemine sahiptir.

Bu örnek özellikle simetrik şekillerin birleştirilemeyeceğini açıkça ortaya koymaktadır. Dolayısıyla sağ ve sol ellerin elleri simetriktir ancak birleştirilemezler, bu en azından aynı eldivenin hem sağ hem de sol ellere uymamasından da görülebilir. Büyük sayı ev eşyalarının bir simetri düzlemi vardır: sandalye, yemek masası, kitaplık, kanepe vb. Yemek masası gibi bazılarında bir değil iki simetri düzlemi bile vardır (Şek. 117).

Genellikle simetri düzlemi olan bir nesneyi ele alırken, ona göre vücudumuzun veya en azından başımızın simetri düzlemi nesnenin simetri düzlemiyle çakışacak şekilde bir konum almaya çalışırız. Bu durumda. simetrik şekil konu özellikle dikkat çekici hale geliyor.

101. Eksen etrafında simetri.İkinci dereceden simetri ekseni. Birinci şeklin her A noktası, ikinci şeklin A" noktasına karşılık geliyorsa, AA" kesiti l eksenine dik ise, iki şekle l eksenine göre simetrik denir (eksen düz bir çizgidir), onunla kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür. L ekseninin kendisine ikinci dereceden simetri ekseni denir.

Bu tanımdan hemen şu sonuç çıkar: Herhangi bir eksene göre simetrik olan iki geometrik cisim, bu eksene dik bir düzlemle kesişirse, o zaman kesitte düzlemin ekseni ile kesişme noktasına göre simetrik iki düz şekil elde ederiz. vücutların simetrisi.

Buradan, bir eksen etrafında simetrik olan iki cisimden birinin simetri ekseni etrafında 180° döndürülmesiyle birbiriyle birleştirilebileceği sonucunu çıkarmak daha da kolaydır. Aslında simetri eksenine dik olan tüm olası düzlemleri hayal edelim.

Her iki cisimle kesişen bu tür düzlemlerin her biri, düzlemin cisimlerin simetri ekseniyle buluştuğu noktaya göre simetrik olan şekiller içerir. Kesme düzlemini gövdenin simetri ekseni etrafında 180° döndürerek kendi başına kaymaya zorlarsanız, ilk şekil ikinciyle çakışır.

Bu herhangi bir kesme düzlemi için geçerlidir. Vücudun tüm bölümlerinin 180° dönmesi, tüm vücudun simetri ekseni etrafında 180° dönmesine eşdeğerdir. Açıklamamızın geçerliliği buradan kaynaklanmaktadır.

Eğer bir uzaysal şekil belirli bir düz çizgi etrafında 180° döndürüldükten sonra kendisiyle çakışıyorsa, bu durumda şeklin ikinci dereceden simetri ekseni olarak bu düz çizgiye sahip olduğu söylenir.

"İkinci dereceden simetri ekseni" adı, bu eksen etrafında tam bir dönüş sırasında, gövdenin dönme sürecinde orijinaline (orijinal dahil) denk gelen bir konumu iki kez almasıyla açıklanmaktadır. İkinci dereceden simetri eksenine sahip geometrik cisimlerin örnekleri şunlardır:
1) düzenli piramitçift sayıda yan yüze sahip; simetri ekseni yüksekliğidir;
2) küboid; üç simetri ekseni vardır: karşıt yüzlerinin merkezlerini birleştiren düz çizgiler;
3) doğru prizmaçift sayıda yan yüze sahip. Simetrisinin ekseni, karşıt yüzlerinin herhangi bir çiftinin (yan yüzler ve prizmanın iki tabanı) merkezlerini birleştiren her düz çizgidir. Prizmanın yan yüz sayısı 2 ise k, o zaman bu tür simetri eksenlerinin sayısı şöyle olacaktır: k+ 1. Ek olarak, böyle bir prizmanın simetri ekseni, karşıt yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren her düz çizgidir. Prizmanın bu tür A simetri eksenleri vardır.

Yani doğru olan 2 k-yönlü prizmanın 2'si vardır k+1 eksenler, simetri.

102. Arasındaki bağımlılık çeşitli türler Uzayda simetri. Uzaydaki farklı simetri türleri (eksenel, düzlemsel ve merkezi) arasında aşağıdaki teoremle ifade edilen bir ilişki vardır.

Teorem. F şekli, P düzlemine göre F" şekli ile simetrikse ve aynı zamanda P düzleminde yer alan O noktasına göre F" şekli ile simetrikse, o zaman F" ve F" şekilleri, P düzlemine göre simetriktir. O noktasından geçen ve R düzlemine dik olan eksen.

Şekil F'nin bir A noktasını alalım (Şekil 118). F" şeklinin A" noktasına ve F" şeklinin A" noktasına karşılık gelir (F, F" ve F" şekillerinin kendileri çizimde gösterilmemiştir).

B, AA" doğru parçasının P düzlemiyle kesişme noktası olsun. A, A" ve O noktalarından geçen düzlemi çizelim. Bu düzlem, AA" düz çizgisinden geçtiği için P düzlemine dik olacaktır. AA"O düzleminde OB'ye dik OH düz çizgisi çizeceğiz. Bu OH düz çizgisi aynı zamanda P düzlemine de dik olacaktır. Sonra, AA ve OH doğrularının kesişme noktası C olsun.

AA"A"" üçgeninde BO segmenti AA" ve AA" kenarlarının orta noktalarını birleştirir, dolayısıyla BO || A"A", ancak BO_|_OH, yani AA"_|_OH anlamına gelir. O, AA" orta nokta kenarlarıdır ve CO || AA", sonra A"C = A"C. Buradan A" ve A" noktalarının OH eksenine göre simetrik olduğu sonucuna varırız. Aynı durum şeklin diğer tüm noktaları için de geçerlidir. Bu, teoremimizin şu olduğu anlamına gelir: Bu teoremden, düzleme göre simetrik olan iki şeklin, karşılık gelen parçaları birleştirilecek şekilde birleştirilemeyeceği sonucu çıkar. Gerçekte, F" şekli, OH ekseni etrafında 180 derece döndürülerek F" şekliyle birleştirilir. °. Ancak F" ve F şekilleri birleştirilemez. Bu nedenle noktaya göre simetrik olduğundan F ve F" şekilleri de birleştirilemez.

103. Yüksek mertebeden simetri eksenleri. Simetri eksenine sahip bir şekil, simetri ekseni etrafında 180° açıyla döndükten sonra kendisiyle aynı hizaya gelir. Ancak rakamın aynı hizaya geldiği durumlar olabilir. başlangıç pozisyonu 180°'den küçük bir açıyla belirli bir eksen etrafında döndükten sonra. Yani eğer vücut bunu yaparsa tam dönüş Bu eksen etrafında dönerse, dönme işlemi sırasında birkaç kez orijinal konumuna hizalanacaktır. Bu dönme eksenine simetri ekseni denir daha yüksek sıra ve orijinaliyle çakışan vücut pozisyonlarının sayısına simetri ekseninin sırası denir. Bu eksen ikinci dereceden simetri ekseniyle çakışmayabilir. Dolayısıyla, düzenli bir üçgen piramidin ikinci dereceden simetri ekseni yoktur, ancak yüksekliği onun için üçüncü dereceden simetri ekseni görevi görür. Aslında bu piramit yüksekliğin etrafında 120° açıyla döndürüldükten sonra kendisiyle aynı hizaya gelir (Şekil 119).

Piramit bir yükseklik etrafında döndüğünde, orijinali de dahil olmak üzere orijinaliyle çakışan üç konumu işgal edebilir. Çift sıradaki her simetri ekseninin aynı zamanda ikinci dereceden bir simetri ekseni olduğunu fark etmek kolaydır.

Daha yüksek dereceli simetri eksenlerine örnekler:

1) Doğru N-karbon piramidinin simetri ekseni vardır N-inci sipariş. Bu eksen piramidin yüksekliğidir.

2) Doğru N- karbon prizmasının simetri ekseni vardır N-inci sipariş. Bu eksen prizmanın tabanlarının merkezlerini birleştiren düz bir çizgidir.

104. Küpün simetrisi. Herhangi bir paralelyüzlüye gelince, küpün köşegenlerinin kesişme noktası simetrisinin merkezidir.

Küpün dokuz simetri düzlemi vardır: altı diyagonal düzlem ve paralel kenarlarının her birinin orta noktalarından geçen üç düzlem.

Küpün ikinci dereceden dokuz simetri ekseni vardır: karşıt kenarlarının orta noktalarını birleştiren altı düz çizgi ve karşıt yüzlerin merkezlerini birleştiren üç düz çizgi (Şekil 120).

Bu son düz çizgiler dördüncü dereceden simetri eksenleridir. Ayrıca küpün köşegenleri olan dört adet üçüncü dereceden simetri ekseni vardır. Aslında AG küpünün köşegeni (Şekil 120) açıkça AB, AD ve AE kenarlarına eşit eğimlidir ve bu kenarlar birbirlerine eşit eğimlidir. B, D ve E noktalarını birleştirirsek doğru sonucu elde ederiz. üçgen piramit AG küpünün köşegeninin yüksekliği görevi gördüğü ADBE. Bu piramit yükseklik etrafında dönerken kendisiyle aynı hizaya geldiğinde, küpün tamamı orijinal konumuyla aynı hizada olacaktır. Görülmesi kolay olduğu gibi küpün başka simetri ekseni yoktur. Bakalım kaç tane çeşitli şekillerde küp kendisiyle birleştirilebilir. Sıradan simetri ekseni etrafındaki dönüş, küpün bir bütün olarak kendisiyle aynı hizada olduğu, orijinalinden farklı bir konum verir.

Üçüncü dereceden bir eksen etrafında dönme bu tür iki konum üretir ve dördüncü dereceden bir eksen etrafında dönme böyle üç konum üretir. Küpün ikinci dereceden altı ekseni (bunlar sıradan simetri eksenleridir), üçüncü dereceden dört eksen ve dördüncü dereceden üç eksene sahip olduğundan, küpün 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 konumu vardır, kendisiyle birleştiği orijinalinden farklı.

Tüm bu konumların birbirinden ve ayrıca küpün başlangıç konumundan farklı olduğunu doğrudan doğrulamak kolaydır. Orijinal konumuyla birlikte küpü kendisiyle birleştirmenin 24 yolunu oluştururlar.

Matematik öğretmeni Kochkina L.K.

Ders EKSENEL VE MERKEZİ SİMETRİ

Dersin amacı:

İnşa etmeyi öğret simetrik noktalar Eksenel ve merkezi simetriye sahip şekilleri tanır, öğrencilerin mekânsal temsillerinin oluşumunu öğrenir. Gözlemleme ve akıl yürütme yeteneğini geliştirmek; kullanarak bir konuya ilgi geliştirmek Bilişim teknolojisi. Öğrencilerin matematiksel yeterliliğinin geliştirilmesi. Güzelliğin kıymetini bilen bir insan yetiştirmek.

Beklenen sonuç Öğrenciler merkeze ve çizgiye göre simetrik şekiller oluşturabilecektir

Ders ekipmanları:

Bilgi teknolojisinin kullanımı (sunum).

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı.

Dersin konusunu bilgilendirin, dersin hedeflerini formüle edin.

II. Sunum gösterimi: “Simetrik Dünya”(öğrenciler için)

III. ders konusu üzerinde çalışın(grup halinde çalışın)

Öğrenciler ödevleri bağımsız olarak tamamlarlar. Tamamlandıktan sonra bilgi alışverişi yapılır.

1 seçenek

paragraf 47

eksenel simetri

Seçenek 2

paragraf 47

merkezi simetri

Tam olarak değil

Simetrik şekiller oluşturma kurallarını ele alalım.

1 .Merkezi simetri bir noktaya göre simetridir.

Eğer O noktası AB doğru parçasının orta noktası ise, A ve B noktaları bir O noktasına göre simetriktir.

Merkezi simetrik bir şekil oluşturmak için algoritma

Bir A 1 B 1 C 1 üçgeni oluşturalım, bir üçgene simetrik ABC, merkeze (noktaya) göre O.

Bunu yapmak için:

Haydi bağlanalım A, B, C noktaları O merkezi ile bu segmentlere devam edin;

2. AO, VO, CO segmentlerini ölçün ve O noktasının diğer tarafında bunlara eşit segmentleri bırakın (AO=A 1 O 1, BO=B 1 O 1, CO=C 1 O 1);

3. Ortaya çıkan noktaları A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1 bölümlerine bağlayın.

4. Alındı ∆A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 simetrik ∆ABC.

O noktasına şeklin simetri merkezi, şekle merkezi simetri denir.

Görev No.1Şekilde simetri merkezi M noktası olan bir şeklin parçası gösterilmektedir. Yapısını açıklayın

Görev No.2 1 numaralı şeklin yapısının doğruluğunu masanızdaki komşunuzla kontrol edin. Defterine bir dörtgen çizin ve bu dörtgene ait olmayan O noktasını işaretleyin. Defterinizi geri alın ve verilene O noktasına göre simetrik bir dörtgen çizin.

Görevin doğru şekilde tamamlanıp tamamlanmadığını kontrol edin.

2. Eksenel simetri – bu, çizilen eksene (düz çizgi) göre simetridir.

A ve B noktaları, eğer bu noktalar buna dik bir doğru üzerinde ve aynı uzaklıkta bulunuyorsa, bir a doğrusuna göre simetriktir.

Simetri ekseni, büküldüğünde "yarıların" çakıştığı düz çizgidir ve şekle belirli bir eksen etrafında simetrik denir.

Düz bir çizgiye göre simetrik bir şekil oluşturmak için algoritma

ABC üçgenine a düz çizgisine göre simetrik bir A 1 B 1 C 1 üçgeni oluşturalım.

Bunu yapmak için:

1. Köşelerden çizim yapın ABC üçgeni a düz çizgisine dik düz çizgiler çizin ve bunları daha da devam ettirin.

2. Üçgenin köşelerinden düz çizgi üzerinde elde edilen noktalara kadar olan mesafeleri ölçün ve aynı mesafeleri düz çizginin diğer tarafına çizin.

3. Ortaya çıkan noktaları A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1 bölümlerine bağlayın.

4. Alındı ∆ bir 1 İÇİNDE 1 İLE 1 simetrik ∆ABC.

248-252, No. 261 ders kitabından ödevler

Düz çizgi a'ya göre simetrik olan bir şekil oluşturun (tahtada ve defterlerde).

VI. Dersi özetlemek.

Yansıma Derste ne tür simetrilerle tanıştınız?

Ev ödevi:

Tanımları tekrarlayın. Yaratıcı çalışma: Rus alfabesini çalışmış olmak (seçenek 1 için) ve latin alfabesi(seçenek 2 için), simetriye sahip harfleri seçin. Araştırma sonuçlarını A4 formatında sunun. İlgilenenler bu konu, katılabilir yaratıcı proje"En sevdiğim okulda simetri"

Görev No.4 Tabloyu doldurun:

Segment

Dümdüz

kiriş

Kare

Bir simetri merkezi

Sonsuz sayıda simetri merkezi

Bir simetri ekseni

İki simetri ekseni

Dört simetri ekseni

Sonsuz sayıda simetri ekseni

1 seçenek

paragraf 47

eksenel simetri

Seçenek 2

paragraf 47

merkezi simetri

Eksenel simetri ____________'ye göre simetridir

Merkezi simetri ________________ civarında simetridir

Eğer ____________ ise, A ve A 1 noktalarına a düz çizgisine göre simetrik denir.

Eğer ______________ ise A ve A 1 noktalarına O noktasına göre simetrik denir.

A satırına _______________ denir

O noktasına_________________ denir

Şeklin her noktası için ona simetrik bir nokta _________ aitse, şeklin a düz çizgisine göre simetrik olduğu söylenir.

Bir şeklin her bir noktası için ona simetrik bir nokta aitse, bu şekle O noktasına göre simetrik denir.

Düz şekillere göre simetrik eşit midir?

Tam olarak değil

Şekiller eşit bir noktaya göre simetrik midir?

Simetri uyum ve düzen ile ilişkilidir. Ve iyi bir sebepten dolayı. Çünkü simetri nedir sorusunun, eski Yunancadan birebir tercümesi şeklinde bir cevabı var. Ve bunun orantılılık ve değişmezlik anlamına geldiği ortaya çıktı. Ve kesin bir konum tanımından daha düzenli ne olabilir? Ve boyuta tam olarak karşılık gelen bir şeyden daha uyumlu ne denilebilir?

Farklı bilimlerde simetri ne anlama geliyor?

Biyoloji. Simetrinin önemli bir bileşeni, hayvanların ve bitkilerin düzenli olarak düzenlenmiş parçalara sahip olmasıdır. Üstelik bu bilimde kesin bir simetri yoktur. Her zaman bir miktar asimetri vardır. Bütünün parçalarının birbiriyle örtüşmediğini kabul eder. mutlak hassasiyet.

Kimya. Bir maddenin moleküllerinin düzenlenmeleri belirli bir düzene sahiptir. Kristalografide ve kimyanın diğer dallarında malzemelerin birçok özelliğini açıklayan onların simetrisidir.

Fizik. Bir cisimler sistemi ve içindeki değişiklikler denklemler kullanılarak tanımlanır. Tüm çözümü basitleştiren simetrik bileşenler içerirler. Bu, korunan miktarların aranmasıyla gerçekleştirilir.

Matematik. Simetrinin ne olduğunu temel olarak açıklayan şey budur. Dahası daha yüksek değer geometride verilmiştir. Burada simetri şekil ve cisimlerde gösterilebilme yeteneğidir. İÇİNDE dar anlamda sadece bir ayna görüntüsüne dönüşür.

Farklı sözlükler simetriyi nasıl tanımlar?

Hangisine bakarsak bakalım “orantılılık” kelimesi her yerde karşımıza çıkacak. Dahl'da aynılık ve eşitlik gibi bir yorum da görülebilir. Başka bir deyişle simetrik aynı anlama gelir. Aynı zamanda sıkıcı olduğunu da söylüyor; olmayan şey daha ilginç görünüyor.

Simetrinin ne olduğu sorulduğunda Ozhegov'un sözlüğü zaten parçaların bir noktaya, çizgiye veya düzleme göre konumundaki aynılıktan bahsediyor.

Ushakov’un sözlüğü aynı zamanda orantılılığın yanı sıra bütünün iki parçasının birbiriyle tam yazışmasından da bahsediyor.

Asimetriden ne zaman bahsedeceğiz?

“a” öneki asıl ismin anlamını ortadan kaldırır. Dolayısıyla asimetri, elemanların dizilişinin belirli bir kalıba uymaması anlamına gelir. Bunda hiçbir değişmezlik yoktur.

Bu terim, bir öğenin iki yarısının tamamen aynı olmadığı durumlarda kullanılır. Çoğu zaman hiç de benzer değiller.

Canlı doğada asimetri önemli bir rol oynar. Üstelik hem faydalı hem de zararlı olabilir. Örneğin kalp göğsün sol yarısında yer alır. Bu nedenle sol akciğer önemli ölçüde daha küçüktür. Ama bu gerekli.

Merkezi ve eksenel simetri hakkında

Matematikte aşağıdaki türler ayırt edilir:

merkezi, yani bir noktaya göre yapılmış;
düz bir çizginin yakınında gözlenen eksenel;
aynasal, yansımalara dayanır;
simetri aktarımı.

Eksen ve simetri merkezi nedir? Bu, vücuttaki herhangi bir noktanın başka bir noktayı bulabileceği bir nokta veya çizgidir. Üstelik orijinalden ortaya çıkana kadar olan mesafe eksen veya simetri merkezi tarafından ikiye bölünecek şekilde. Bu noktalar hareket ettikçe aynı yörüngeleri tanımlarlar.

Bir eksene göre simetrinin ne olduğunu anlamanın en kolay yolu bir örnektir. Defter sayfasının ikiye katlanması gerekiyor. Katlama çizgisi simetri ekseni olacaktır. Ona dik bir çizgi çizerseniz, üzerindeki tüm noktaların eksenin diğer tarafında aynı mesafede bulunan noktaları olacaktır.

Simetri merkezini bulmanın gerekli olduğu durumlarda yapmanız gerekenler aşağıdaki gibi. İki şekil varsa, bunların aynı noktalarını bulun ve bunları bir doğru parçasına bağlayın. Daha sonra ikiye bölün. Yalnızca tek bir şekil olduğunda, onun özelliklerinin bilinmesi yardımcı olabilir. Çoğu zaman bu merkez köşegenlerin veya yüksekliklerin kesişme noktasıyla çakışır.

Hangi şekiller simetriktir?

Geometrik şekiller eksenel veya merkezi simetriye sahip olabilir. Ama değil önkoşul, buna hiç sahip olmayan birçok nesne var. Örneğin, bir paralelkenarın merkezi bir paralel kenarı vardır, ancak eksenel bir paralel kenarı yoktur. Ancak ikizkenar olmayan yamukların ve üçgenlerin hiçbir simetrisi yoktur.

Merkezi simetri dikkate alınırsa buna sahip olan pek çok figür vardır. Bunlar bir doğru parçası, bir daire, bir paralelkenar ve ikiye bölünebilen kenarları olan tüm düzgün çokgenlerdir.

Bir parçanın (aynı zamanda bir dairenin) simetri merkezi onun merkezidir ve bir paralelkenar için köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. iken düzenli çokgenler bu nokta aynı zamanda şeklin merkezine de denk gelmektedir.

Bir şekilde katlanabileceği düz bir çizgi çizilebilirse ve iki yarım çakışırsa, bu (düz çizgi) bir simetri ekseni olacaktır. İlginç olan, farklı şekillerin kaç tane simetri eksenine sahip olduğudur.

Örneğin baharatlı veya geniş açı tek bir ekseni vardır, o da ortaydır.

Ekseni ikizkenar üçgende bulmanız gerekiyorsa, yüksekliği tabanına kadar çizmeniz gerekir. Çizgi simetri ekseni olacaktır. Ve sadece bir tane. Ve eşkenar olanda aynı anda üç tane olacak. Ayrıca üçgen, yüksekliklerin kesişim noktasına göre merkezi simetriye de sahiptir.

Bir dairenin sonsuz sayıda simetri ekseni olabilir. Merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi bu rolü yerine getirebilir.

Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen iki simetri eksenine sahiptir. Birincisinde kenarların ortasından geçerler, ikincisinde ise köşegenlerle çakışırlar.

Kare, önceki iki rakamı birleştirir ve aynı anda 4 simetri eksenine sahiptir. Eşkenar dörtgen ve dikdörtgenle aynıdırlar.

“Simetri noktası” - Mimaride simetri. Simetri örnekleri düz rakamlar. Eğer O, AA1 doğru parçasının orta noktası ise, A ve A1 noktalarına O'ya göre simetrik denir. Merkezi simetriye sahip şekillere örnek olarak daire ve paralelkenar verilebilir. C noktasına simetri merkezi denir. Bilim ve teknolojide simetri.

“Geometrik figürlerin yapımı” - Eğitim yönü. Asimilasyonun kontrolü ve düzeltilmesi. Yöntemin dayandığı teorinin incelenmesi. Stereometride - değil katı yapılar. Stereometrik yapılar. Cebirsel yöntem. Dönüşüm yöntemi (benzerlik, simetri, paralel aktarım vesaire.). Örneğin: düz; açıortay; orta dik.

“İnsan figürü” - İnsan vücudunun şekli ve hareketleri büyük ölçüde iskelet tarafından belirlenir. Tiyatro performansıyla fuar. Sirkte bir sanatçıya iş çıkacağını mı sanıyorsunuz? İskelet, figürün yapısında çerçeve görevi görmektedir. Ana Gövde (mide, göğüs) Başa, yüze, ellere dikkat edilmedi. A. Mathis. Oranlar. Antik Yunanistan.

“Düz bir çizgiye göre simetri” - Düz bir çizgiye göre simetriye eksenel simetri denir. Düz çizgi a simetri eksenidir. Simetri nispeten düzdür. Bulavin Pavel, 9B sınıfı. Her şeklin kaç simetri ekseni vardır? Bir şeklin bir veya daha fazla simetri ekseni olabilir. Merkezi simetri. İkizkenar yamuk. Dikdörtgen.

“Şekil geometrisinin alanları” - Pisagor Teoremi. Kare çeşitli rakamlar. Bulmacayı çözün. Alanları eşit olan şekillere eşit alanlı şekiller denir. Alan ölçüm birimleri. Bir üçgenin alanı. Dikdörtgen, üçgen, paralelkenar. Santimetre kare. Rakamlar eşit alan. Eşit rakamlar B). Milimetre kare. V). A ve D şekillerinden oluşan şeklin alanı nedir?

“Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti” - , Bu durumda. Çabalarken. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Bir noktada sürekli. Fonksiyon değerine eşittir. Ancak fonksiyonun limitini hesaplarken. Değere eşittir. İfade. Aspirasyon. Ya da şunu söyleyebiliriz: Noktanın oldukça küçük bir mahallesinde. den derlenmiştir. Çözüm. Aralıklarla sürekli. Arada.