Basitçe söylemek gerekirse bunlar, özel bir tarife göre suda pişirilen sebzelerdir. İki başlangıç bileşenini (sebze salatası ve su) ve bitmiş sonucu - pancar çorbasını ele alacağım. Geometrik olarak bir tarafı marulu, diğer tarafı suyu temsil eden bir dikdörtgen gibi düşünülebilir. Bu iki tarafın toplamı pancar çorbasını gösterecektir. Böyle bir "pancar çorbası" dikdörtgeninin köşegeni ve alanı tamamen matematiksel kavramlardır ve asla pancar çorbası tariflerinde kullanılmaz.
Marul ve su matematiksel açıdan nasıl pancar çorbasına dönüşür? İki doğru parçasının toplamı nasıl trigonometri olabilir? Bunu anlamak için doğrusal açısal fonksiyonlara ihtiyacımız var.
Matematik ders kitaplarında doğrusal açısal fonksiyonlar hakkında hiçbir şey bulamazsınız. Ama onlar olmadan matematik olamaz. Doğa kanunları gibi matematik kanunları da onların varlığını bilsek de bilmesek de işlerler.
Doğrusal açısal fonksiyonlar toplama yasalarıdır. Cebirin nasıl geometriye, geometrinin de trigonometriye dönüştüğünü görün.
Doğrusal açısal fonksiyonlar olmadan yapmak mümkün mü? Bu mümkün çünkü matematikçiler hâlâ onlarsız da idare edebiliyorlar. Matematikçilerin püf noktası, bize her zaman yalnızca kendilerinin nasıl çözeceklerini bildikleri problemleri anlatmaları ve çözemedikleri problemlerden asla bahsetmemeleridir. Bakmak. Toplamanın ve bir terimin sonucunu biliyorsak, diğer terimi bulmak için çıkarma işlemini kullanırız. Tüm. Diğer sorunları bilmiyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi de bilmiyoruz. Sadece toplama işleminin sonucunu biliyorsak ve her iki terimi de bilmiyorsak ne yapmalıyız? Bu durumda toplama işleminin sonucunun doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak iki terime ayrıştırılması gerekir. Daha sonra, bir terimin ne olabileceğini kendimiz seçiyoruz ve doğrusal açısal fonksiyonlar, ikinci terimin ne olması gerektiğini gösteriyor, böylece toplamanın sonucu tam olarak ihtiyacımız olan şey oluyor. Bu tür terim çiftlerinden sonsuz sayıda olabilir. Günlük yaşamda toplamı ayrıştırmadan gayet iyi anlaşıyoruz, çıkarma işlemi bize yetiyor. Ancak doğa kanunları üzerine yapılan bilimsel araştırmalarda, bir toplamı bileşenlerine ayırmak çok yararlı olabilir.
Matematikçilerin bahsetmekten hoşlanmadığı bir başka toplama kanunu (hilelerinden bir diğeri), terimlerin aynı ölçü birimlerine sahip olmasını gerektirir. Salata, su ve pancar çorbası için bunlar ağırlık, hacim, değer veya ölçü birimi olabilir.
Şekil matematik için iki seviyeli farkı göstermektedir. Birinci düzey, belirtilen sayılar alanındaki farklılıklardır. A, B, C. Matematikçilerin yaptığı da budur. İkinci düzey, köşeli parantez içinde gösterilen ve harfle gösterilen ölçü birimleri alanındaki farklılıklardır. sen. Fizikçilerin yaptığı da budur. Üçüncü seviyeyi, yani tanımlanan nesnelerin alanındaki farklılıkları anlayabiliriz. Farklı nesneler aynı sayıda aynı ölçü birimine sahip olabilir. Bunun ne kadar önemli olduğunu pancar çorbası trigonometrisi örneğinde görebiliriz. Farklı nesneler için aynı birim tanımına alt simgeler eklersek, belirli bir nesneyi tam olarak hangi matematiksel niceliğin tanımladığını ve bunun zaman içinde veya eylemlerimiz nedeniyle nasıl değiştiğini söyleyebiliriz. Mektup K Suyu harfle belirteceğim S Salatayı bir harfle belirleyeceğim B- borsch. Pancar çorbası için doğrusal açısal fonksiyonlar böyle görünecek.
Suyun bir kısmını ve salatanın bir kısmını alırsak, hepsi birlikte bir porsiyon pancar çorbasına dönüşecektir. Burada pancar çorbasına biraz ara vermenizi ve uzak çocukluğunuzu hatırlamanızı öneririm. Tavşanlarla ördekleri bir araya getirmenin bize nasıl öğretildiğini hatırlıyor musun? Kaç hayvan olacağını bulmak gerekiyordu. O zaman bize ne yapmamız öğretildi? Bize ölçü birimlerini sayılardan ayırmamız ve sayıları toplamamız öğretildi. Evet, herhangi bir sayı başka bir sayıya eklenebilir. Bu, modern matematiğin otizmine giden doğrudan bir yoldur - bunu anlaşılmaz bir şekilde, neden, anlaşılmaz bir şekilde yapıyoruz ve bunun gerçeklikle nasıl ilişkili olduğunu çok az anlıyoruz, üç fark seviyesi nedeniyle, matematikçiler yalnızca bir tanesiyle çalışırlar. Bir ölçü biriminden diğerine nasıl geçileceğini öğrenmek daha doğru olur.
Tavşanlar, ördekler ve küçük hayvanlar parçalar halinde sayılabilir. Farklı nesneler için ortak bir ölçü birimi, onları bir araya toplamamıza olanak tanır. Bu sorunun çocuk versiyonu. Yetişkinler için de benzer bir soruna bakalım. Tavşanları ve parayı eklediğinizde ne elde edersiniz? Burada iki olası çözüm var.
İlk seçenek. Tavşanların piyasa değerini belirliyoruz ve bunu mevcut para miktarına ekliyoruz. Servetimizin toplam değerini parasal olarak aldık.
İkinci seçenek. Elimizdeki banknot sayısına tavşan sayısını da ekleyebilirsiniz. Taşınır mal miktarını parça halinde alacağız.
Gördüğünüz gibi aynı toplama kanunu farklı sonuçlar elde etmenize olanak sağlıyor. Her şey tam olarak ne bilmek istediğimize bağlı.
Ama hadi pancar çorbamıza geri dönelim. Artık doğrusal açısal fonksiyonların farklı açı değerleri için ne olacağını görebiliriz.
Açı sıfırdır. Salatamız var ama suyumuz yok. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı da sıfırdır. Bu, sıfır pancar çorbasının sıfır suya eşit olduğu anlamına gelmez. Sıfır salata ile sıfır pancar çorbası olabilir (dik açı).
Şahsen benim için bu, şu gerçeğin ana matematiksel kanıtıdır. Sıfır, eklendiğinde sayıyı değiştirmez. Bunun nedeni, yalnızca bir terim varsa ve ikinci terim eksikse toplama işleminin kendisinin imkansız olmasıdır. Bunu istediğiniz gibi hissedebilirsiniz, ancak unutmayın - sıfırla yapılan tüm matematiksel işlemler matematikçiler tarafından icat edilmiştir, bu yüzden mantığınızı bir kenara bırakın ve matematikçiler tarafından icat edilen tanımları aptalca tıkıştırın: "sıfıra bölmek imkansızdır", "herhangi bir sayının çarpımı" sıfır sıfıra eşittir”, “delme noktası sıfırın ötesinde” ve diğer saçmalıklar. Sıfırın bir sayı olmadığını bir kez hatırlamak yeterlidir ve bir daha asla sıfırın doğal sayı olup olmadığı sorusuyla karşılaşmazsınız çünkü böyle bir soru tüm anlamını yitirir: Sayı olmayan bir şey nasıl sayı olarak kabul edilebilir? ? Bu, görünmez bir rengin hangi renk olarak sınıflandırılması gerektiğini sormak gibidir. Bir sayıya sıfır eklemek, orada olmayan boyayla resim yapmakla aynı şeydir. Kuru bir fırça salladık ve herkese “boyama yaptık” dedik. Ama biraz dalıyorum.
Açı sıfırdan büyük ama kırk beş dereceden az. Çok fazla marulumuz var ama yeterli suyumuz yok. Sonuç olarak kalın pancar çorbası elde edeceğiz.
Açı kırk beş derecedir. Eşit miktarda su ve salatamız var. Bu mükemmel pancar çorbası (affet beni şefler, bu sadece matematik).
Açı kırk beş dereceden büyük, ancak doksan dereceden azdır. Bol suyumuz ve az salatamız var. Sıvı pancar çorbası alacaksınız.
Sağ açı. Bizim suyumuz var. Bir zamanlar salatayı işaretleyen çizginin açısını ölçmeye devam ettiğimizde, salatadan geriye kalan tek şey anılardır. Pancar çorbası pişiremiyoruz. Pancar çorbası miktarı sıfırdır. Bu durumda tutun ve elinizde su varken için)))
Burada. Bunun gibi bir şey. Burada fazlasıyla uygun olacak başka hikayeler anlatabilirim.
İki arkadaşın ortak bir işte hisseleri vardı. Birini öldürdükten sonra her şey diğerine gitti.
Gezegenimizde matematiğin ortaya çıkışı.
Bütün bu hikayeler matematik dilinde doğrusal açısal fonksiyonlar kullanılarak anlatılıyor. Başka bir zaman size bu fonksiyonların matematiğin yapısındaki gerçek yerini göstereceğim. Bu arada pancar çorbası trigonometrisine dönelim ve projeksiyonları ele alalım.
26 Ekim 2019 Cumartesi
İlginç bir video izledim Grundy serisi Bir eksi bir artı bir eksi bir - Numberphile. Matematikçiler yalan söyler. Gerekçelendirme sırasında eşitlik kontrolü yapmamışlardır.
Bu benim düşüncelerimi yansıtıyor.
Matematikçilerin bizi aldattığına dair işaretlere daha yakından bakalım. Tartışmanın en başında matematikçiler bir dizinin toplamının çift sayıda öğeye sahip olup olmamasına bağlı olduğunu söylüyorlar. Bu, objektif olarak kanıtlanmış bir gerçektir. Sonra ne olur?
Daha sonra matematikçiler diziyi birlikten çıkarırlar. Bu neye yol açıyor? Bu, dizinin eleman sayısında bir değişikliğe yol açar; çift sayı tek sayıya dönüşür, tek sayı çift sayıya dönüşür. Sonuçta diziye bire eşit bir eleman ekledik. Tüm dışsal benzerliğe rağmen dönüşümden önceki dizi, dönüşümden sonraki diziye eşit değildir. Sonsuz bir diziden bahsediyor olsak bile, tek sayıda öğeye sahip sonsuz bir dizinin, çift sayıda öğeye sahip sonsuz bir diziye eşit olmadığını unutmamalıyız.
Matematikçiler, farklı sayıda öğeye sahip iki dizi arasına eşit işareti koyarak, dizi toplamının dizideki öğe sayısına bağlı OLMADIĞINI iddia ederler; bu da, HEDEF OLARAK BELİRTİLMİŞ BİR GERÇEKLE çelişir. Sonsuz bir dizinin toplamına ilişkin daha fazla akıl yürütme, yanlış bir eşitliğe dayandığı için yanlıştır.
Matematikçilerin ispat sırasında parantezler yerleştirdiğini, matematiksel ifadenin öğelerini yeniden düzenlediğini, bir şeyler ekleyip çıkardığını görürseniz çok dikkatli olun, büyük olasılıkla sizi kandırmaya çalışıyorlar. Kart sihirbazları gibi matematikçiler de, sonuçta size yanlış bir sonuç vermek amacıyla dikkatinizi dağıtmak için çeşitli ifade manipülasyonları kullanırlar. Aldatmanın sırrını bilmeden bir kart numarasını tekrarlayamıyorsanız, o zaman matematikte her şey çok daha basittir: aldatma hakkında hiçbir şeyden şüphelenmezsiniz, ancak tüm manipülasyonları matematiksel bir ifadeyle tekrarlamak, başkalarını oyunun doğruluğuna ikna etmenize olanak tanır. sonuç tıpkı sizi ikna ettiklerinde olduğu gibi.
İzleyiciden gelen soru: Sonsuzluk (S dizisindeki elemanların sayısı olarak) çift mi yoksa tek mi? Eşliği olmayan bir şeyin eşliği nasıl değiştirilir?
Sonsuzluk matematikçiler içindir, tıpkı Cennetin Krallığının rahipler için olduğu gibi - hiç kimse oraya gitmedi, ama herkes orada her şeyin tam olarak nasıl çalıştığını biliyor))) Katılıyorum, ölümden sonra çift mi yoksa tek bir sayı mı yaşadığınıza kesinlikle kayıtsız kalacaksınız günlerce, ama... Hayatınızın başlangıcına sadece bir gün eklersek, tamamen farklı bir insan elde edeceğiz: soyadı, adı ve soyadı tamamen aynı, sadece doğum tarihi tamamen farklı - o senden bir gün önce doğdum
Şimdi gelelim asıl meseleye))) Diyelim ki paritesi olan sonlu bir dizi sonsuza giderken bu pariteyi kaybediyor. O zaman sonsuz bir dizinin herhangi bir sonlu parçası eşliği kaybetmelidir. Bunu görmüyoruz. Sonsuz bir dizinin tek veya çift sayıda elemana sahip olup olmadığını kesin olarak söyleyemememiz, eşliğin ortadan kalktığı anlamına gelmez. Eşitlik, eğer varsa, bir keskin nişancının kolundaki gibi sonsuza doğru iz bırakmadan kaybolamaz. Bu durum için çok güzel bir benzetme var.
Saatin içinde oturan guguk kuşuna saatin ibresinin hangi yöne döndüğünü hiç sordunuz mu? Onun için ok, “saat yönü” dediğimiz yönün tersi yönde dönüyor. Kulağa ne kadar paradoksal gelse de, dönme yönü yalnızca dönüşü hangi taraftan gözlemlediğimize bağlıdır. Ve böylece dönen bir tekerleğimiz var. Dönmenin hangi yönde gerçekleştiğini söyleyemeyiz çünkü bunu hem dönme düzleminin bir tarafından hem de diğer tarafından gözlemleyebiliyoruz. Biz sadece rotasyonun var olduğuna tanıklık edebiliriz. Sonsuz bir dizinin eşlikiyle tam benzetme S.
Şimdi dönme düzlemi birinci dönen tekerleğin dönme düzlemine paralel olan ikinci bir dönen tekerlek ekleyelim. Bu tekerleklerin hangi yöne döndüğünü henüz kesin olarak söyleyemeyiz ancak her iki tekerleğin aynı yönde mi yoksa ters yönde mi döndüğünü kesinlikle söyleyebiliriz. İki sonsuz diziyi karşılaştırma S Ve 1-S Bu dizilerin farklı paritelere sahip olduğunu ve aralarına eşit işareti koymanın bir hata olduğunu matematik yardımıyla gösterdim. Şahsen ben matematiğe güveniyorum, matematikçilere güvenmiyorum))) Bu arada sonsuz dizilerin dönüşümlerinin geometrisini tam olarak anlamak için kavramı tanıtmak gerekiyor. "eşzamanlılık". Bunun çizilmesi gerekecek.
7 Ağustos 2019 Çarşamba
Konuşmayı sonlandırırken sonsuz bir kümeyi düşünmemiz gerekiyor. Mesele şu ki, "sonsuzluk" kavramı matematikçileri, bir boa yılanının bir tavşanı etkilemesi gibi etkiliyor. Sonsuzluğun titreten dehşeti matematikçileri sağduyudan yoksun bırakıyor. İşte bir örnek:
Orijinal kaynak bulunur. Alfa gerçek sayı anlamına gelir. Yukarıdaki ifadelerde yer alan eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklediğinizde hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz doğal sayılar kümesini alırsak, dikkate alınan örnekler aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:
Matematikçiler haklı olduklarını açıkça kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar gibi bakıyorum. Esasen, bunların hepsi ya bazı odaların boş olması ve yeni misafirlerin taşınması ya da bazı ziyaretçilerin misafirlere yer açmak için koridora atılması (çok insani bir şekilde) gerçeğine dayanıyor. Bu tür kararlara ilişkin görüşlerimi Sarışın hakkında fantastik bir hikaye şeklinde sundum. Benim mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz miktarda zaman alır. İlk odayı bir misafir için boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri, zamanın sonuna kadar her zaman koridor boyunca kendi odasından diğerine yürüyecektir. Zaman faktörü elbette aptalca göz ardı edilebilir ama bu da “aptallar için hiçbir kanun yazılmaz” kategorisinde olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere göre ayarlamak veya tam tersi.
“Sonsuz otel” nedir? Sonsuz otel, kaç oda dolu olursa olsun her zaman herhangi bir sayıda boş yatağa sahip olan bir oteldir. Sonsuz "ziyaretçi" koridorundaki tüm odalar doluysa, "misafir" odalarının bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Bu tür koridorlardan sonsuz sayıda olacak. Üstelik “sonsuz otel”, sonsuz sayıda Tanrının yarattığı sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende, sonsuz sayıda binada, sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler sıradan günlük problemlerden uzaklaşamazlar: Her zaman tek bir Tanrı-Allah-Buda vardır, tek bir otel vardır, tek bir koridor vardır. Yani matematikçiler otel odalarının seri numaralarıyla hokkabazlık yaparak bizi "imkansızı itmenin" mümkün olduğuna ikna etmeye çalışıyorlar.
Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak göstereceğim. Öncelikle çok basit bir soruyu yanıtlamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha fazla mı? Sayıları kendimiz icat ettiğimiz için bu sorunun doğru bir cevabı yok; doğada sayılar yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır ama bunun için bizim bilmediğimiz diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın ne düşündüğünü başka zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimizden beri, kaç tane doğal sayı kümesinin olacağına kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bilim adamlarına yakışır şekilde her iki seçeneği de ele alalım.
Seçenek bir. Rafta sakin bir şekilde duran tek bir doğal sayı dizisi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak yer yok. Bu sete zaten sahip olduğumuz için ekleyemiyoruz. Peki ya gerçekten istersen? Sorun değil. Almış olduğumuz setten bir adet alıp rafa geri koyabiliriz. Daha sonra raftan bir tane alıp elimizde kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde edeceğiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:
Eylemleri cebirsel gösterimde ve küme teorisi gösteriminde, kümenin elemanlarının ayrıntılı bir listesiyle birlikte yazdım. Alt simge, tek ve tek bir doğal sayı kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklenirse değişmeden kalacağı ortaya çıktı.
İkinci Seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen - FARKLI olduğunu vurguluyorum. Bu setlerden birini alalım. Daha sonra başka bir doğal sayı kümesinden birini alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesini bile toplayabiliriz. Elde ettiğimiz şey bu:
"Bir" ve "iki" alt simgeleri bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet sonsuz bir kümeye bir eklerseniz sonuç yine sonsuz küme olur ama orijinal kümeyle aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklerseniz sonuç, ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.
Doğal sayılar kümesi sayma için, cetvelin ölçme için kullanılmasıyla aynı şekilde kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacaktır.
Benim mantığımı kabul edebilir veya kabul etmeyebilirsiniz; bu sizin kendi işinizdir. Ancak eğer matematik problemleriyle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçilerin izlediği yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik çalışmak her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünce stereotipi oluşturur ve ancak o zaman zihinsel yeteneklerimize katkıda bulunur (veya tam tersine bizi özgür düşünceden mahrum bırakır).
pozg.ru
4 Ağustos 2019 Pazar
Hakkında bir makalenin ekini bitiriyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:
Şöyle okuyoruz: "... Babil matematiğinin zengin teorik temeli bütünsel bir karaktere sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı tekniğe indirgenmişti."
Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek kişisel olarak aşağıdakileri elde ettim:
Modern matematiğin zengin teorik temeli doğası gereği bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.
Sözlerimi doğrulamak için fazla uzağa gitmeyeceğim; matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve kurallarından farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Bir dizi yayını modern matematiğin en bariz hatalarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.
3 Ağustos 2019 Cumartesi
Bir küme alt kümelere nasıl bölünür? Bunu yapmak için seçilen setin bazı öğelerinde bulunan yeni bir ölçü birimi girmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.
Bolluğumuz olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu set “kişiler” esas alınarak oluşturulmuştur. Bu setin elemanlarını harfle gösterelim. A numaralı alt simge, bu setteki her kişinin seri numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi olan "cinsiyet"i tanıtalım ve onu harfle gösterelim B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğal olduğundan, kümenin her bir öğesini çarpıyoruz A cinsiyete dayalı B. “İnsanlar” grubumuzun artık “cinsiyet özelliklerine sahip insanlar” kümesi haline geldiğine dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkeklere ayırabiliriz. BM ve kadınların siyah kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Hangisi olursa olsun bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz: erkek ya da kadın. Bir kişide varsa onu bir ile çarparız, eğer böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Ve sonra normal okul matematiğini kullanıyoruz. Bak ne oldu.
Çarpma, azaltma ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt küme elde ettik: Erkeklerin alt kümesi BM ve kadınların bir alt kümesi siyah. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde mantık yürütürler. Ancak bize ayrıntıları söylemiyorlar, ancak nihai sonucu veriyorlar: "birçok insan, erkeklerden ve kadınlardan oluşan bir alt gruptan oluşuyor." Doğal olarak aklınıza şu soru gelebilir: Yukarıda özetlenen dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki, özünde dönüşümler doğru yapıldı; aritmetiğin matematiksel temellerini, Boole cebirini ve matematiğin diğer dallarını bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.
Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir süper kümede birleştirebilirsiniz.
Gördüğünüz gibi ölçü birimleri ve sıradan matematik, küme teorisini geçmişin kalıntısı haline getiriyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve gösterimlerini geliştirmiş olmalarıdır. Matematikçiler bir zamanlar şamanların yaptığı gibi hareket ediyorlardı. Yalnızca şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" şekilde uygulayacaklarını bilirler. Bize bu “bilgiyi” öğretiyorlar.
Sonuç olarak size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.
Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesinde matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar yer aldı ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.
Size süreci bir örnekle göstereceğim. "Sivilce içindeki kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütünümüz". Aynı zamanda bunların fiyonklu olduğunu ve fiyonksuz olduğunu da görüyoruz. Bundan sonra “bütünün” bir kısmını seçip “yaylı” bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, yerleşik teorilerini gerçekliğe bağlayarak yiyeceklerini bu şekilde elde ederler.
Şimdi küçük bir numara yapalım. “Fiyonklu sivilceli katı”yı alalım ve bu “bütünleri” kırmızı unsurları seçerek renklerine göre birleştirelim. Bir sürü "kırmızı"mız var. Şimdi son soru: Sonuçta ortaya çıkan “fiyonklu” ve “kırmızı” kümeler aynı küme mi, yoksa iki farklı küme mi? Bunun cevabını yalnızca şamanlar biliyor. Daha doğrusu kendileri hiçbir şey bilmiyorlar ama dedikleri gibi öyle olacak.
Bu basit örnek, konu gerçekliğe geldiğinde küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu gösteriyor. İşin sırrı nedir? "Sivilce ve fiyonklu kırmızı katı" bir set oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü biriminde gerçekleşti: renk (kırmızı), sağlamlık (katı), pürüzlülük (sivilceli), dekorasyon (yaylı). Yalnızca bir dizi ölçü birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamamıza izin verir.. Görünüşe göre bu.
Farklı endekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini belirtir. Başlangıç aşamasında “bütün”ün ayırt edildiği ölçü birimleri parantez içinde vurgulanmıştır. Setin oluşturulduğu ölçü birimi parantezlerden çıkarılır. Son satır nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimlerini kullanırsak sonuç, eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar, ölçüm birimlerinin onların "bilimsel" cephaneliğinin bir parçası olmaması nedeniyle bunun "açık" olduğunu savunarak "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilirler.
Ölçü birimlerini kullanarak bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.
Trigonometrik daire sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantlı denklemlerin çözümü için geometrinin temel unsurlarından biridir.
Bu terimin tanımı nedir, bu dairenin nasıl oluşturulacağı, trigonometride çeyreğin nasıl belirleneceği, oluşturulmuş bir trigonometrik dairedeki açıların nasıl bulunacağı - bunun hakkında ve çok daha fazlası hakkında konuşacağız.
Trigonometrik daire
Matematikteki bir sayı çemberinin trigonometrik formu, merkezi koordinat düzleminin orijininde olan tek bir yarıçapa sahip bir çemberdir. Kural olarak, bir koordinat sistemi üzerinde kosinüs, teğet ve kotanjantlı sinüs formüllerinin bir alanı tarafından oluşturulur.
N boyutlu uzaya sahip böyle bir kürenin amacı, bu küre sayesinde trigonometrik fonksiyonların tanımlanabilmesidir. Basit görünüyor: içinde bir koordinat sistemi bulunan bir daire ve bu daireden trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak oluşturulan çok sayıda dik açılı üçgen.
Dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nedir?
Dik açılı üçgen, açılarından birinin ölçüsü 90° olan üçgendir. Trigonometrinin tüm anlamlarını taşıyan bacaklar ve hipotenüsten oluşur. Bacaklar üçgenin 90° açıya bitişik iki tarafıdır ve üçüncüsü hipotenüstür, her zaman bacaklardan daha uzundur.
Sinüs, bacaklardan birinin hipotenüse oranıdır, kosinüs diğer bacağın ona oranıdır ve teğet iki bacağın oranıdır. İlişki bölünmeyi sembolize eder. Teğet aynı zamanda dar bir açının sinüs ve kosinüs ile bölünmesidir. Kotanjant, tanjantın zıt oranıdır.
Son iki oranın formülleri şu şekildedir: tg(a) = sin(a) / cos(a) ve ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Birim çember oluşturma
Birim dairenin oluşturulması, onu koordinat sisteminin merkezinde birim yarıçapla çizmeye dayanır. Daha sonra, inşa etmek için açıları saymanız ve saat yönünün tersine hareket ederek tüm dairenin etrafında dolaşarak onlara karşılık gelen koordinat çizgilerini yazmanız gerekir.
Bir daire çizilip ortasına OX koordinat sistemi yerleştirilerek bir nokta yerleştirildikten sonra inşaat başlıyor. Koordinat ekseninin üstündeki O noktası sinüs, X ise kosinüstür. Buna göre apsis ve koordinatlardır. O zaman ölçüm yapmanız gerekir ∠. Derece ve radyan cinsinden gerçekleştirilirler.
Bu göstergeleri tercüme etmek kolaydır - tam bir daire iki pi radyana eşittir. Saat yönünün tersine sıfırdan itibaren açı + işaretiyle gelir ve saat yönünde 0'dan itibaren ∠ - işaretiyle gelir. Sinüs ve kosinüsün pozitif ve negatif değerleri dairenin her dönüşünde tekrarlanır.
Trigonometrik çember üzerindeki açılar
Trigonometrik daire teorisine hakim olmak için ∠'nin nasıl sayıldığını ve ne şekilde ölçüldüğünü anlamanız gerekir. Çok basit bir şekilde hesaplanırlar.
Daire koordinat sistemine göre dört parçaya bölünmüştür. Her parça ∠ 90° oluşturur. Bu açıların yarısı 45 derecedir. Buna göre bir dairenin iki parçası 180°'ye, üç parçası ise 360°'ye eşittir. Bu bilgi nasıl kullanılır?
∠ bulma problemini çözmek gerekiyorsa, üçgenlerle ilgili teoremlere ve bunlarla ilişkili temel Pisagor yasalarına başvururlar.
Açılar radyan cinsinden ölçülür:
- 0 ila 90° arası — 0 ila ∏/2 arası açı değerleri;
- 90 ila 180° arası — ∏/2 ila ∏ arası açı değerleri;
- 180 ila 270° - ∏ ila 3*∏/2;
- son çeyrekte 270 0'dan 360 0'a - 3*∏/2'den 2*∏'ya kadar değerler.
Belirli bir ölçümü bulmak, radyanı dereceye dönüştürmek veya tam tersini yapmak için bir kopya sayfasına başvurmalısınız.
Açıları dereceden radyana dönüştürme
Açılar derece veya radyan cinsinden ölçülebilir. Her iki anlam arasındaki bağlantının farkında olmak gerekir. Bu ilişki özel bir formül kullanılarak trigonometride ifade edilir. İlişkiyi anlayarak açıları hızlı bir şekilde kontrol etmeyi ve dereceden radyana geriye doğru nasıl hareket edeceğinizi öğrenebilirsiniz.
Bir radyanın tam olarak neye eşit olduğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
1 rad. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956
Sonuçta 1 radyan 57°'ye eşittir ve 1 derecede 0,0175 radyan vardır:
1 derece = (∏ /180) rad. = 3,1416 / 180 rad. = 0,0175 rad.
Trigonometrik bir daire üzerinde kosinüs, sinüs, teğet, kotanjant
Trigonometrik bir daire üzerinde sinüs, teğet ve kotanjantlı kosinüs - 0'dan 360 dereceye kadar alfa açılarının fonksiyonları. Her fonksiyonun açının büyüklüğüne bağlı olarak pozitif veya negatif bir değeri vardır. Bir daire içinde oluşturulan dik üçgenlerle ilişkiyi sembolize ederler.
Trigonometrik fonksiyonun işareti yalnızca sayısal argümanın bulunduğu koordinat çeyreğine bağlıdır. En son argümanları radyan ölçüsünden derece ölçüsüne dönüştürmeyi öğrendik (“Radyan ve açının derece ölçüsü” dersine bakın) ve sonra aynı koordinat çeyreğini belirlemeyi öğrendik. Şimdi aslında sinüs, kosinüs ve tanjantın işaretini belirleyelim.
α açısının sinüsü, yarıçap α açısıyla döndürüldüğünde ortaya çıkan trigonometrik daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (y koordinatı).
α açısının kosinüsü, yarıçap α açısıyla döndürüldüğünde ortaya çıkan trigonometrik daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (x koordinatı).
α açısının tanjantı sinüsün kosinüse oranıdır. Veya aynı şey olan y koordinatının x koordinatına oranı.
Gösterim: sin α = y; çünkü α = x; tg α = y : x .
Bütün bu tanımlar size lise cebirinden tanıdık geliyor. Ancak biz tanımların kendisiyle değil, trigonometrik çemberde ortaya çıkan sonuçlarla ilgileniyoruz. Bir göz at:
Mavi renk OY ekseninin (ordinat ekseni) pozitif yönünü, kırmızı renk ise OX ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönünü gösterir. Bu "radar"da trigonometrik fonksiyonların işaretleri açıkça ortaya çıkıyor. Özellikle:
- eğer α açısı I veya II koordinat çeyreğinde yer alıyorsa sin α > 0. Bunun nedeni, tanım gereği sinüsün bir ordinat (y koordinatı) olmasıdır. Ve y koordinatı tam olarak I ve II koordinat bölgelerinde pozitif olacaktır;
- çünkü α > 0, eğer α açısı 1. veya 4. koordinat çeyreğinde yer alıyorsa. Çünkü yalnızca orada x koordinatı (diğer adıyla abscissa) sıfırdan büyük olacaktır;
- tan α > 0 eğer α açısı I veya III koordinat çeyreğinde yer alıyorsa. Bu, tanımdan kaynaklanmaktadır: sonuçta tan α = y : x, dolayısıyla yalnızca x ve y'nin işaretleri çakıştığında pozitiftir. Bu, ilk koordinat çeyreğinde (burada x > 0, y > 0) ve üçüncü koordinat çeyreğinde (x) gerçekleşir.< 0, y < 0).
Açıklık sağlamak için, her trigonometrik fonksiyonun (sinüs, kosinüs ve tanjant) işaretlerini ayrı "radarlar" üzerinde not edelim. Aşağıdaki resmi elde ediyoruz:
Lütfen dikkat: Tartışmalarımda dördüncü trigonometrik fonksiyon - kotanjant hakkında hiç konuşmadım. Gerçek şu ki, kotanjant işaretler teğet işaretlerle çakışıyor - orada özel bir kural yok.
Şimdi, 27 Eylül 2011'de gerçekleştirilen matematikte Birleşik Devlet Sınavı denemesinden B11 problemlerine benzer örnekleri düşünmeyi öneriyorum. Sonuçta teoriyi anlamanın en iyi yolu pratiktir. Bol bol pratik yapmanız tavsiye edilir. Elbette görevlerin koşulları biraz değişti.
Görev. Trigonometrik fonksiyonların ve ifadelerin işaretlerini belirleyin (fonksiyonların değerlerinin kendilerinin hesaplanmasına gerek yoktur):
- günah(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- günah (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- günah (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Eylem planı şudur: önce tüm açıları radyan ölçülerinden dereceye (π → 180°) dönüştürürüz ve sonra elde edilen sayının hangi koordinat çeyreğinde olduğuna bakarız. Mahalleleri bildiğimiz için, az önce açıklanan kurallara göre işaretleri kolayca bulabiliriz. Sahibiz:
- günah (3π/4) = günah (3 · 180°/4) = günah 135°. 135° ∈ olduğundan bu, II koordinat çeyreğinden bir açıdır. Ancak ikinci çeyrekteki sinüs pozitiftir, yani sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Çünkü 210° ∈ , bu, tüm kosinüslerin negatif olduğu üçüncü koordinat çeyreğinden gelen açıdır. Bu nedenle cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ olduğundan teğetin negatif değerler aldığı IV. çeyrekteyiz. Bu nedenle ten rengi (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Hadi sinüsle ilgilenelim: çünkü 135° ∈ sinüslerin pozitif olduğu ikinci çeyrektir, yani. sin (3π/4) > 0. Şimdi kosinüsle çalışıyoruz: 150° ∈ - yine ikinci çeyrekte, oradaki kosinüsler negatif. Bu nedenle cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kosinüse bakıyoruz: 120° ∈ II koordinat çeyreğidir, yani cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Yine faktörlerin farklı işaretlere sahip olduğu bir çarpım elde ettik. “Eksi artı eksi verdiğinden” şu sonuca varırız: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Sinüs ile çalışıyoruz: 150° ∈ olduğundan, sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreğinden bahsediyoruz. Bu nedenle, sin (5π/6) > 0. Benzer şekilde, 315° ∈ IV koordinat çeyreğidir, oradaki kosinüsler pozitiftir. Bu nedenle cos (7π/4) > 0. İki pozitif sayının çarpımını elde ettik - böyle bir ifade her zaman pozitiftir. Şu sonuca varıyoruz: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ancak 135° ∈ açısı ikinci çeyrektir, yani. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “Eksi artı artı işareti verdiğinden” elimizde: tg (3π/4) cos (5π/3) bulunur.< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kotanjant argümanına bakıyoruz: 240° ∈, III koordinat çeyreğidir, dolayısıyla ctg (4π/3) > 0. Benzer şekilde, sahip olduğumuz teğet için: 30° ∈, I koordinat çeyreğidir, yani. en basit açı. Bu nedenle tan (π/6) > 0. Yine iki pozitif ifademiz var; bunların çarpımı da pozitif olacaktır. Bu nedenle cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Son olarak daha karmaşık sorunlara bakalım. Trigonometrik fonksiyonun işaretini bulmanın yanı sıra, burada biraz matematik yapmanız gerekecek - tam olarak B11 gerçek problemlerinde yapıldığı gibi. Prensip olarak bunlar, matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan neredeyse gerçek problemlerdir.
Görev. sin 2 α = 0,64 ve α ∈ [π/2; π].
sin 2 α = 0,64 olduğundan sin α = ±0,8 elde ederiz. Geriye kalan tek şey karar vermek: artı mı eksi mi? Koşula göre açı α ∈ [π/2; π], tüm sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreğidir. Dolayısıyla sin α = 0,8 - işaretlerdeki belirsizlik ortadan kalkar.
Görev. cos 2 α = 0,04 ve α ∈ [π; 3π/2].
Benzer şekilde davranıyoruz, yani. karekökünü alın: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Koşula göre açı α ∈ [π; 3π/2], yani Üçüncü koordinat çeyreğinden bahsediyoruz. Buradaki tüm kosinüsler negatiftir, dolayısıyla α = −0,2.
Görev. sin 2 α = 0,25 ve α ∈ ise sin α'yı bulun.
Elimizde: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Açıya tekrar bakıyoruz: α ∈, bildiğimiz gibi sinüsün negatif olacağı IV koordinat çeyreğidir. Böylece şu sonuca varıyoruz: sin α = −0,5.
Görev. Tan 2 α = 9 ve α ∈ ise tan α'yı bulun.
Her şey aynı, sadece teğet için. Karekökü çıkarın: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ancak koşula göre α ∈ açısı I koordinat çeyreğidir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar dahil. teğet, pozitif var, yani tan α = 3. İşte bu kadar!
Trigonometrik daire. Birim çember. Sayı çemberi. Ne olduğunu?
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Çok sık terimler trigonometrik çember, birim çember, sayı çemberiöğrenciler tarafından yeterince anlaşılmamıştır. Ve tamamen boşuna. Bu kavramlar trigonometrinin tüm alanlarında güçlü ve evrensel bir yardımcıdır. Aslında bu yasal bir kopya kağıdıdır! Trigonometrik bir daire çizdim ve cevapları hemen gördüm! Cazip? O halde öğrenelim, böyle bir şeyi kullanmamak günah olur. Üstelik hiç de zor değil.
Trigonometrik çemberle başarılı bir şekilde çalışmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Ders türü: bilginin sistemleştirilmesi ve ara kontrol.
Teçhizat: trigonometrik daire, testler, görev kartları.
Dersin Hedefleri:çalışılan teorik materyali sinüs, kosinüs, açının tanjantı tanımlarına göre sistematize etmek; Bu konuyla ilgili bilgi edinme derecesini ve pratikte uygulamayı kontrol edin.
Görevler:
- Bir açının sinüs, kosinüs ve tanjant kavramlarını genelleştirin ve birleştirin.
- Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin kapsamlı bir anlayış oluşturun.
- Öğrencilerin trigonometrik materyali çalışma isteğini ve ihtiyacını teşvik etmek; bir iletişim kültürünü, gruplar halinde çalışma yeteneğini ve kendi kendine eğitim ihtiyacını geliştirmek.
“Kim genç yaştan itibaren kendi başına düşünür ve düşünürse,
O zaman daha güvenilir, daha güçlü, daha akıllı hale gelir.
(V. Shukshin)
DERSLER SIRASINDA
I. Organizasyon anı
Sınıf üç grupla temsil edilir. Her grubun bir danışmanı vardır.
Öğretmen dersin konusunu, amaçlarını ve hedeflerini duyurur.
II. Bilgiyi güncelleme (sınıfla ön çalışma)
1) Gruplar halinde görevler üzerinde çalışın:
1. Sin açısının tanımını formüle edin.
– Sin α'nın her koordinat çeyreğinde hangi işaretleri vardır?
– Sin α ifadesi hangi değerlerde anlamlıdır ve hangi değerleri alabilir?
2. İkinci grup cos α için aynı sorulardır.
3. Üçüncü grup aynı tg α ve ctg α sorularına yanıtlar hazırlar.
Şu anda, üç öğrenci kartlar (farklı grupların temsilcileri) kullanarak tahtada bağımsız olarak çalışır.
1 numaralı kart.
Pratik iş.
Birim çemberi kullanarak 50, 210 ve –210 açıları için sin α, cos α ve tan α değerlerini hesaplayın.
2 numaralı kart.
İfadenin işaretini belirleyin: tg 275; çünkü 370; günah 790; tg 4.1 ve sin 2.
3 numaralı kart.
1) Hesaplayın:
2) Karşılaştırın: cos 60 ve cos 2 30 – sin 2 30
2) Sözlü olarak:
a) Bir dizi sayı önerilmektedir: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Bunların arasında gereksiz olanlar da var. Bu sayılar sin α veya cos α'nın hangi özelliğini ifade edebilir (sin α veya cos α bu değerleri alabilir mi).
b) İfade anlamlı mı: çünkü (-); günah 2; tg 3: ctg (- 5); ; ctg0;
cotg(–π). Neden?
c) Sin veya cos, tg, ctg'nin minimum ve maksimum değeri var mıdır?
d) Doğru mu?
1) α = 1000 ikinci çeyreğin açısıdır;
2) α = – 330 IV çeyreğinin açısıdır.
e) Sayılar birim çember üzerinde aynı noktaya karşılık gelir.
3) Yönetim kurulunda çalışmak
No. 567 (2; 4) – İfadenin değerini bulun
Sayı 583 (1-3) İfadenin işaretini belirleyin
Ev ödevi: not defterindeki tablo. 567(1, 3) Sayı 578
III. Ek bilgi edinme. Trigonometri avucunuzun içinde
Öğretmen: Açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin avucunuzun içinde “bulunduğu” ortaya çıktı. Elinizi (her iki elinizle) uzatın ve parmaklarınızı olabildiğince birbirinden ayırın (posterdeki gibi). Bir öğrenci davet edilir. Parmaklarımızın arasındaki açıları ölçüyoruz.
30, 45 ve 60 90'lik bir açının olduğu bir üçgen alın ve açının tepe noktasını avucunuzun içindeki Ay'ın tümseğine uygulayın. Ay Dağı, küçük parmak ile başparmağın uzantılarının kesiştiği noktada bulunur. Bir tarafını küçük parmakla, diğer tarafını da diğer parmaklardan biriyle birleştiriyoruz.
Küçük parmak ile başparmak arasında 90 derece, küçük parmak ile yüzük parmağı arasında 30 derece, küçük parmak ile orta parmak arasında 45 derece, serçe parmak ile işaret parmağı arasında 60 derecelik bir açı olduğu ortaya çıktı ve bu tüm insanlar için geçerli. istisnasız.
Küçük parmak No. 0 – 0'a karşılık gelir,
isimsiz No. 1 - 30'a karşılık gelir,
ortalama No. 2 – 45’e karşılık gelir,
indeks numarası 3 - 60'a karşılık gelir,
Büyük No. 4 – 90’a karşılık gelir.
Böylece elimizde 4 parmağımız var ve formülü hatırlıyoruz:
Parmak hayır. |
Köşe |
Anlam |
|
||
|
||
|
Bu sadece anımsatıcı bir kuraldır. Genel olarak sin α veya cos α'nın değeri ezbere bilinmelidir, ancak bazen bu kural zor zamanlarda yardımcı olabilir.
Çünkü için bir kural bulun (açılar değişmez, ancak başparmaktan itibaren sayılır). Sin α veya cos α işaretleriyle ilişkili fiziksel bir duraklama.
IV. Bilgi ve becerilerinizi kontrol etmek
Geri bildirimle bağımsız çalışma
Her öğrenciye bir test (4 seçenekli) verilir ve cevap kağıdı herkes için aynıdır.
Ölçek
seçenek 1
1) Yarıçap hangi dönüş açısında 50 derecelik bir açıyla dönerken aynı konumu alacaktır?
2) İfadenin değerini bulun: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Hangi sayı sıfırdan küçüktür: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
seçenek 2
1) Hangi dönüş açısında yarıçap, 10'luk bir açıyla dönerken olduğu gibi aynı konumu alacaktır.
2) İfadenin değerini bulun: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Hangi sayı sıfırdan büyüktür: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).
Seçenek 3
1) İfadenin değerini bulun: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Hangi sayı sıfırdan küçüktür: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Sin α > 0 ise hangi çeyrek açı α açısıdır, çünkü α< 0.
Seçenek 4
1) İfadenin değerini bulun: tg 60 – 6ctg 90.
2) Hangi sayı sıfırdan küçüktür: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) CTg α ise hangi çeyrek açı α açısıdır?< 0, cos α> 0.
A |
B |
İÇİNDE |
G |
D |
e |
VE |
Z |
VE |
L |
M |
|
N |
HAKKINDA |
P |
R |
İLE |
T |
sen |
F |
X |
Ş |
YU |
BEN |
(anahtar kelime trigonometridir)
V. Trigonometri tarihinden bilgiler
Öğretmen: Trigonometri, insan yaşamı için oldukça önemli bir matematik dalıdır. Trigonometrinin modern biçimi, 18. yüzyılın en büyük matematikçisi, Rusya'da uzun yıllar çalışmış ve St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesi olan İsviçre doğumlu Leonhard Euler tarafından verilmiştir. Trigonometrik fonksiyonların iyi bilinen tanımlarını sundu, iyi bilinen formülleri formüle etti ve kanıtladı, bunları daha sonra öğreneceğiz. Euler'in hayatı çok ilginç ve onu Yakovlev'in "Leonard Euler" kitabı aracılığıyla tanımanızı tavsiye ederim.
(Bu konuyla ilgili adamlardan mesaj var)
VI. Dersi özetlemek
Oyun "Tic Tac Toe"
En aktif iki öğrenci katılıyor. Gruplardan destek alıyorlar. Görevlerin çözümleri bir not defterine yazılır.
Görevler
1) Hatayı bulun
a) günah 225 = – 1,1 c) günah 115< О
b) çünkü 1000 = 2 d) çünkü (– 115) > 0
2) Açıyı derece cinsinden ifade edin
3) 300 açısını radyan cinsinden ifade edin
4) İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük değer nedir: 1+ sin α;
5) İfadenin işaretini belirleyin: sin 260, cos 300.
6) Nokta sayı çemberinin hangi çeyreğindedir?
7) İfadenin işaretlerini belirleyin: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Hesaplayın:
9) Karşılaştırın: sin 2 ve sin 350
VII. Ders yansıması
Öğretmen: Trigonometriyle nerede tanışabiliriz?
9. sınıfta hangi derslerde ve hatta şu anda bile sin α, cos α kavramlarını kullanıyorsunuz; tg a; ctg α ve hangi amaçla?