Simetri merkezi olan şekillere örnekler. Homotelik ve benzerlik, merkezi ve ayna simetrileri

İnsanların hayatları simetriyle doludur. Kullanışlıdır, güzeldir ve yeni standartlar icat etmeye gerek yoktur. Peki gerçekte nedir ve doğası gereği genel olarak inanıldığı kadar güzel midir?

Simetri

Antik çağlardan beri insanlar etraflarındaki dünyayı düzenlemeye çalıştılar. Bu nedenle bazı şeyler güzel sayılır, bazıları ise pek güzel sayılmaz. Estetik açıdan bakıldığında altın ve gümüş oranlarının yanı sıra elbette simetri de çekici kabul ediliyor. Bu terim var Yunan kökenli ve kelimenin tam anlamıyla "orantılılık" anlamına gelir. Elbette hakkında konuşuyoruz sadece bu temelde tesadüfle ilgili değil, aynı zamanda diğer bazı temellerde de. İÇİNDE genel anlamda simetri, belirli oluşumların bir sonucu olarak sonucun orijinal verilere eşit olduğu bir nesnenin özelliğidir. Bu hem yaşarken hem de cansız doğa ve insan tarafından yapılan nesnelerde olduğu gibi.

Her şeyden önce "simetri" terimi geometride kullanılır, ancak birçok alanda uygulama alanı bulur. bilimsel alanlar ve anlamı genellikle değişmeden kalır. Bu fenomen oldukça sık meydana gelir ve ilginç kabul edilir, çünkü türlerinin yanı sıra unsurları da farklılık gösterir. Simetrinin kullanımı da ilginçtir çünkü sadece doğada değil, aynı zamanda kumaş üzerindeki desenlerde, binaların kenarlarında ve diğer birçok insan yapımı nesnede de bulunur. Bu fenomeni daha ayrıntılı olarak ele almaya değer çünkü son derece büyüleyici.

Terimin diğer bilimsel alanlarda kullanımı

Aşağıda simetri geometrik açıdan ele alınacaktır ancak şunu da belirtmekte yarar var. verilen kelime sadece burada kullanılmadı. Biyoloji, viroloji, kimya, fizik, kristalografi - tüm bunlar, bu fenomen ile çalıştı çeşitli taraflar ve içinde farklı koşullar. Örneğin sınıflandırma, bu terimin hangi bilimi ifade ettiğine bağlıdır. Bu nedenle, bazı temel olanlar baştan sona değişmeden kalsa da, türlere bölünme büyük ölçüde değişiklik gösterir.

sınıflandırma

Birkaç ana simetri türü vardır ve bunlardan üçü en yaygın olanıdır:

Ayrıca geometride de var aşağıdaki türler, çok daha az yaygındırlar, ancak daha az ilginç değildirler:

• kayma;
• rotasyonel;
• nokta;
• ilerici;
• vida;
• fraktal;
• vesaire.

Biyolojide, özünde aynı olsalar da, tüm türler biraz farklı olarak adlandırılır. Belirli gruplara bölünme, merkezler, düzlemler ve simetri eksenleri gibi belirli öğelerin varlığı veya yokluğunun yanı sıra miktarına göre de gerçekleşir. Ayrı ayrı ve daha ayrıntılı olarak ele alınmaları gerekir.

Temel unsurlar

Bu olgunun, biri zorunlu olarak mevcut olan belirli özellikleri vardır. Sözde temel unsurlar düzlemleri, merkezleri ve simetri eksenlerini içerir. Bunların varlığı, yokluğu ve miktarına göre türü belirlenir.

Simetri merkezi, bir şeklin veya kristalin içindeki her şeyi çiftler halinde birbirine bağlayan çizgilerin birleştiği noktadır. paralel arkadaş diğer tarafa. Elbette her zaman mevcut değildir. Olmayan taraflar varsa paralel çift ise böyle bir nokta mevcut olmadığı için bulunamaz. Tanıma göre simetri merkezinin, şeklin kendisine yansıtıldığı yer olduğu açıktır. Bir örnek, örneğin bir daire ve ortasındaki bir nokta olabilir. Bu eleman genellikle C olarak adlandırılır.

Simetri düzlemi elbette hayalidir, ancak şekli birbirine eşit iki parçaya bölen tam da budur. Bir veya daha fazla taraftan geçebilir, paralel olabilir veya onları bölebilir. Aynı şekil için aynı anda birden fazla düzlem mevcut olabilir. Bu elemanlar genellikle P olarak adlandırılır.

Ancak belki de en yaygın olanı "simetri ekseni" olarak adlandırılan eksendir. Bu hem geometride hem de doğada görülebilen yaygın bir olgudur. Ve ayrı bir değerlendirmeye değer.

Akslar

Genellikle bir şeklin simetrik olarak adlandırılabileceği eleman

düz bir çizgi veya parça belirir. Zaten bir noktadan veya bir düzlemden bahsetmiyoruz. Daha sonra rakamlar dikkate alınır. Birçoğu olabilir ve herhangi bir şekilde yerleştirilebilirler: kenarları bölmek veya onlara paralel olmak, ayrıca kesişen köşeler veya bunu yapmamak. Simetri eksenleri genellikle L olarak gösterilir.

Örnekler ikizkenarları içerir ve İlk durumda dikey eksen her iki tarafta simetri eşit yüzler ve ikincisinde çizgiler her açıyı kesecek ve tüm açıortaylar, kenarortaylar ve yüksekliklerle çakışacaktır. Sıradan üçgenlerde bu yoktur.

Bu arada, kristalografi ve stereometride yukarıdaki tüm elemanların toplamına simetri derecesi denir. Bu gösterge eksen, düzlem ve merkezlerin sayısına bağlıdır.

Geometrideki örnekler

Geleneksel olarak, matematikçiler tarafından incelenen tüm nesneler kümesini simetri eksenine sahip olan ve olmayan şekillere ayırabiliriz. Tüm daireler, ovaller ve bazı özel durumlar otomatik olarak birinci kategoriye girerken geri kalanlar ikinci gruba girer.

Bir üçgenin simetri ekseni hakkında söylendiği gibi, bu elemançünkü dörtgen her zaman mevcut değildir. Bir kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen veya paralelkenar için öyledir ve düzensiz şekil buna göre hayır. Bir daire için simetri ekseni, merkezinden geçen düz çizgiler kümesidir.

Ek olarak, dikkate alınması ilginç hacimsel rakamlar bu açıdan. Hepsine ek olarak en az bir simetri ekseni düzenli çokgenler ve topun bazı konileri, piramitleri, paralelkenarları ve başkaları olacak. Her vaka ayrı ayrı ele alınmalıdır.

Doğadaki örnekler

Hayatta buna iki taraflı denir, en sık görülür
sıklıkla. Herhangi bir insan ve birçok hayvan bunun bir örneğidir. Eksenel, radyal olarak adlandırılır ve çok daha az yaygındır, genellikle flora. Ve yine de varlar. Örneğin, bir yıldızın kaç tane simetri ekseni olduğunu düşünmeye değer ve hiç var mı? Elbette gökbilimcilerin çalışma konusundan değil, deniz yaşamından bahsediyoruz. Ve doğru cevap şu olacaktır: Bu, yıldızın ışın sayısına bağlıdır, örneğin beş köşeli ise beş.

Ayrıca birçok çiçekte radyal simetri gözlenir: papatyalar, peygamber çiçekleri, ayçiçekleri vb. Çok sayıda örnek var, kelimenin tam anlamıyla her yerdeler.

Aritmi

Bu terim öncelikle tıp ve kardiyolojiyi hatırlatıyor, ancak başlangıçta biraz farklı bir anlam taşıyor. İÇİNDE bu durumda eşanlamlısı “asimetri”, yani şu veya bu şekilde düzenliliğin olmaması veya ihlali olacaktır. Bir tesadüf olarak bulunabileceği gibi bazen harika bir tekniğe de dönüşebilir; örneğin giyimde veya mimaride. Sonuçta çok sayıda simetrik bina var, ancak ünlü olan biraz eğimli ve tek olmasa da en büyüğü. ünlü örnek. Bunun tesadüfen olduğu biliniyor ama bunun da kendine has bir çekiciliği var.

Ayrıca insanların ve hayvanların yüzlerinin ve vücutlarının da tamamen simetrik olmadığı aşikardır. Hatta "doğru" yüzlerin cansız veya itici olduğuna karar verildiğini gösteren çalışmalar bile var. Yine de simetri algısı ve bu fenomen başlı başına şaşırtıcıdır ve henüz tam olarak araştırılmamıştır ve bu nedenle son derece ilginçtir.

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

POLİhedra

V. UZAYSEL ŞEKİLLERİN SİMETRİ KAVRAMI

99. Merkezi simetri. Bir şekildeki her A noktası, diğer şekilde O noktasının diğer tarafında OA düz çizgisi üzerinde belirli bir mesafede bulunan A" noktasına karşılık geliyorsa, iki şeklin uzaydaki herhangi bir O noktasına göre simetrik olduğu söylenir. mesafeye eşit A noktasından O noktasına kadar (Şek. 114). O noktasına denir simetri merkezi rakamlar.

Uzayda bu tür simetrik şekillerin bir örneğini zaten görmüştük (§ 53), çokyüzlü bir açının kenarlarını ve yüzlerini tepe noktasının ötesinde devam ettirerek, verilene simetrik bir çokyüzlü açı elde ettik. İki simetrik şekli oluşturan karşılık gelen bölümler ve açılar birbirine eşittir. Bununla birlikte, şekiller bir bütün olarak eşit olarak adlandırılamaz: Simetrik çokyüzlü açılar örneğinde gördüğümüz gibi, bir şekildeki parçaların sırasının diğerinden farklı olması nedeniyle birbirleriyle birleştirilemezler.

Bazı durumlarda simetrik şekiller birleştirilebilir ancak uyumsuz kısımları çakışacaktır. Örneğin, tepe noktası O noktasında ve kenarları OX, OY, OZ olan bir dik üçgen açıyı (Şekil 115) ele alalım.

Hadi onu inşa edelim simetrik açı OX"Y"Z". OXYZ köşesi OX"Y"Z" ile birleştirilebilir, böylece OX kenarı OY" ile çakışır ve OY kenarı OX" ile çakışır. Karşılık gelen OX ile OX" kenarlarını ve OY ile OY" kenarlarını birleştirirsek, o zaman OZ ve OZ" kenarları zıt yönlere yönlendirilecektir.

Simetrik şekiller birlikte tek bir geometrik cisim oluşturuyorsa bu geometrik cismin bir simetri merkezi olduğu söylenir. Böylece, eğer belirli bir cismin bir simetri merkezi varsa, o zaman bu cisme ait her nokta, aynı zamanda ona ait olan simetrik bir noktaya karşılık gelir. verilen vücut. İncelediklerimizden geometrik cisimler bir simetri merkezine sahiptir, örneğin: 1) paralel yüzlü, 2) tabanında düzenli bir çokgen bulunan bir prizma çift ​​sayı taraflar

Düzenli tetrahedron simetri merkezi yoktur.

100. Düzleme göre simetri. Bir şekildeki her A noktası diğerindeki bir A noktasına karşılık geliyorsa ve AA" segmenti P düzlemine dikse ve kesişme noktasında ikiye bölünmüşse, iki uzamsal şekle P düzlemine göre simetrik denir. bu uçak.

Teorem. İki simetrik şekilde karşılık gelen herhangi iki bölüm birbirine eşittir.

P düzlemine göre simetrik iki şekil verilsin. İlk şeklin A ve B gibi iki noktasını seçelim, ikinci şeklin karşılık gelen noktaları A" ve B" olsun (Şekil 116, şekiller çizimde gösterilmiştir).

Ayrıca C, AA" doğru parçasının P düzlemiyle kesişme noktası olsun; D, BB" doğru parçasının aynı düzlemle kesişme noktası olsun. C ve D noktalarını düz bir çizgiyle birleştirerek iki ABDC ve A"B"DC dörtgeni elde ederiz. AC = A"C olduğundan BD = B"D ve
/ AKD = / A.C.D. / BDC = / "DC'de dik açı olarak bu dörtgenler eşittir (ki bu süperpozisyonla kolayca doğrulanır). Sonuç olarak AB = A"B". Bu teoremden hemen karşılık gelen düzlem ve dihedral açılar Bir düzleme göre simetrik olan iki şekil birbirine eşittir. Ancak bir şekildeki parçaların sırası şu şekilde olduğundan, bu iki şekli birbiriyle birleştirerek karşılık gelen parçaları birleştirmek imkansızdır. bunun tam tersi, başka bir yerde gerçekleşir (bu aşağıda kanıtlanacaktır, § 102). Bir düzleme göre simetrik olan iki şeklin en basit örneği: herhangi bir nesne ve onun yansıma düz ayna; her şekil kendisiyle simetriktir ayna görüntüsü aynanın düzlemine göre.

Herhangi bir geometrik cisim belirli bir düzleme göre simetrik iki parçaya bölünebiliyorsa bu düzleme o cismin simetri düzlemi denir.

Simetri düzlemine sahip geometrik cisimler doğada ve doğada oldukça yaygındır. günlük yaşam. İnsan ve hayvanların vücudu, onu sağ ve sol kısımlara ayıran bir simetri düzlemine sahiptir.

Bu örnek özellikle simetrik şekillerin birleştirilemeyeceğini açıkça ortaya koymaktadır. Dolayısıyla sağ ve sol ellerin elleri simetriktir ancak birleştirilemezler, bu en azından aynı eldivenin hem sağ hem de sol ellere uymamasından da görülebilir. Büyük sayı ev eşyalarının bir simetri düzlemi vardır: sandalye, yemek masası, kitaplık, kanepe vb. Yemek masası gibi bazılarında bir değil iki simetri düzlemi bile vardır (Şek. 117).

Genellikle simetri düzlemi olan bir nesneyi ele alırken, ona göre vücudumuzun veya en azından başımızın simetri düzlemi nesnenin simetri düzlemiyle çakışacak şekilde bir konum almaya çalışırız. Bu durumda. simetrik şekil konu özellikle dikkat çekici hale geliyor.

101. Eksen etrafında simetri.İkinci dereceden simetri ekseni. Birinci şeklin her A noktası, ikinci şeklin A" noktasına karşılık geliyorsa, AA" kesiti l eksenine dik ise, iki şekle l eksenine göre simetrik denir (eksen düz bir çizgidir), onunla kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür. L ekseninin kendisine ikinci dereceden simetri ekseni denir.

Bu tanımdan hemen şu sonuç çıkar: Herhangi bir eksene göre simetrik olan iki geometrik cisim, bu eksene dik bir düzlemle kesişirse, o zaman kesit iki sonuç verecektir. düz rakamlar düzlemin cisimlerin simetri ekseni ile kesişme noktasına göre simetriktir.

Buradan eksene göre simetrik olan iki cisimden birinin simetri ekseni etrafında 180° döndürülmesiyle birbiriyle birleştirilebileceği sonucunu çıkarmak daha da kolaydır. Aslında simetri eksenine dik olan tüm olası düzlemleri hayal edelim.

Her iki cisimle kesişen bu tür düzlemlerin her biri, düzlemin cisimlerin simetri ekseniyle buluştuğu noktaya göre simetrik olan şekiller içerir. Kesme düzlemini gövdenin simetri ekseni etrafında 180° döndürerek kendi başına kaymaya zorlarsanız, ilk şekil ikinciyle çakışır.

Bu herhangi bir kesme düzlemi için geçerlidir. Vücudun tüm bölümlerinin 180° dönmesi, tüm vücudun simetri ekseni etrafında 180° dönmesine eşdeğerdir. Açıklamamızın geçerliliği buradan kaynaklanmaktadır.

Döndürmeden sonra ise mekansal şekil belirli bir düz çizgi etrafında kendisiyle 180° çakışıyorsa, şeklin ikinci dereceden simetri ekseni olarak bu düz çizgiye sahip olduğu söylenir.

"İkinci dereceden simetri ekseni" adı, bu eksen etrafında tam bir dönüş sırasında, gövdenin dönme sürecinde orijinaline (orijinal dahil) denk gelen bir konumu iki kez almasıyla açıklanmaktadır. İkinci dereceden simetri eksenine sahip geometrik cisimlerin örnekleri şunlardır:
1) düzenli piramitçift ​​sayıda yan yüze sahip; simetri ekseni yüksekliğidir;
2) küboid; üç simetri ekseni vardır: karşıt yüzlerinin merkezlerini birleştiren düz çizgiler;
3) doğru prizmaçift ​​sayıda yan yüze sahip. Simetrisinin ekseni, karşıt yüzlerinin herhangi bir çiftinin (yan yüzler ve prizmanın iki tabanı) merkezlerini birleştiren her düz çizgidir. Prizmanın yan yüz sayısı 2 ise k, o zaman bu tür simetri eksenlerinin sayısı şöyle olacaktır: k+ 1. Ek olarak, böyle bir prizmanın simetri ekseni, karşıt yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren her düz çizgidir. Prizmanın bu tür A simetri eksenleri vardır.

Yani doğru olan 2 k-yönlü prizmanın 2'si vardır k+1 eksenler, simetri.

102. Arasındaki bağımlılık çeşitli türler Uzayda simetri. Uzaydaki farklı simetri türleri (eksenel, düzlemsel ve merkezi) arasında aşağıdaki teoremle ifade edilen bir ilişki vardır.

Teorem. F şekli, P düzlemine göre F" şekli ile simetrikse ve aynı zamanda P düzleminde yer alan O noktasına göre F" şekli ile simetrikse, o zaman F" ve F" şekilleri, P düzlemine göre simetriktir. O noktasından geçen ve R düzlemine dik olan eksen.

Şekil F'nin bir A noktasını alalım (Şekil 118). Bu, F" şeklinin A" noktasına ve F" şeklinin A" noktasına karşılık gelir (F, F" ve F" şekillerinin kendileri çizimde gösterilmemiştir).

B, AA" doğru parçasının P düzlemiyle kesişme noktası olsun. A, A" ve O noktalarından geçen düzlemi çizelim. Bu düzlem, AA" düz çizgisinden geçtiği için P düzlemine dik olacaktır. AA"O düzleminde OB'ye dik OH düz çizgisi çizeceğiz. Bu OH düz çizgisi aynı zamanda P düzlemine de dik olacaktır. Sonra, AA ve OH düz çizgilerinin kesişme noktası C olsun.

AA"A"" üçgeninde BO segmenti AA" ve AA" kenarlarının orta noktalarını birleştirir, dolayısıyla BO || A"A", ancak BO_|_OH, yani AA"_|_OH anlamına gelir. O, AA" orta nokta kenarlarıdır ve CO || AA", sonra A"C = A"C. Buradan A" ve A" noktalarının OH eksenine göre simetrik olduğu sonucuna varırız. Aynı durum şeklin diğer tüm noktaları için de geçerlidir. Bu, teoremimizin şu olduğu anlamına gelir: Bu teoremden, düzleme göre simetrik olan iki şeklin, karşılık gelen parçaları birleştirilecek şekilde birleştirilemeyeceği sonucu çıkar. Gerçekte, F" şekli, OH ekseni etrafında 180 derece döndürülerek F" şekliyle birleştirilir. °. Ancak F" ve F şekilleri birleştirilemez. Bu nedenle noktaya göre simetrik olduğundan F ve F" şekilleri de birleştirilemez.

103. Yüksek mertebeden simetri eksenleri. Simetri eksenine sahip bir şekil, simetri ekseni etrafında 180° açıyla döndükten sonra kendisiyle aynı hizaya gelir. Ancak rakamın aynı hizaya geldiği durumlar olabilir. başlangıç ​​pozisyonu 180°'den küçük bir açıyla belirli bir eksen etrafında döndükten sonra. Yani eğer vücut bunu yaparsa tam dönüş Bu eksen etrafında dönerse, dönme işlemi sırasında orijinal konumuyla birkaç kez hizalanacaktır. Bu dönme eksenine simetri ekseni denir daha yüksek sıra ve orijinaliyle çakışan vücut pozisyonlarının sayısına simetri ekseninin sırası denir. Bu eksen ikinci dereceden simetri ekseniyle çakışmayabilir. Dolayısıyla, düzenli bir üçgen piramidin ikinci dereceden simetri ekseni yoktur, ancak yüksekliği onun için üçüncü dereceden simetri ekseni görevi görür. Aslında bu piramit yüksekliğin etrafında 120° açıyla döndürüldükten sonra kendisiyle aynı hizaya gelir (Şekil 119).

Piramit bir yükseklik etrafında döndüğünde, orijinali de dahil olmak üzere orijinaliyle çakışan üç konumu işgal edebilir. Eşit dereceden her simetri ekseninin aynı zamanda ikinci dereceden bir simetri ekseni olduğunu fark etmek kolaydır.

Daha yüksek dereceli simetri eksenlerine örnekler:

1) Doğru N-karbon piramidinin simetri ekseni vardır N-inci sipariş. Bu eksen piramidin yüksekliğidir.

2) Doğru N- karbon prizmasının simetri ekseni vardır N-inci sipariş. Bu eksen prizmanın tabanlarının merkezlerini birleştiren düz bir çizgidir.

104. Küpün simetrisi. Herhangi bir paralelyüzlüye gelince, küpün köşegenlerinin kesişme noktası simetrisinin merkezidir.

Küpün dokuz simetri düzlemi vardır: altı diyagonal düzlem ve paralel kenarlarının her birinin orta noktalarından geçen üç düzlem.

Küpün ikinci dereceden dokuz simetri ekseni vardır: karşıt kenarlarının orta noktalarını birleştiren altı düz çizgi ve karşıt yüzlerin merkezlerini birleştiren üç düz çizgi (Şekil 120).

Bu son çizgiler dördüncü dereceden simetri eksenleridir. Ayrıca küpün köşegenleri olan dört adet üçüncü dereceden simetri ekseni vardır. Aslında AG küpünün köşegeninin (Şekil 120) AB, AD ve AE kenarlarına eşit derecede eğimli olduğu ve bu kenarların birbirine eşit eğimli olduğu açıktır. B, D ve E noktalarını birleştirirsek doğru sonucu elde ederiz. üçgen piramit AG küpünün köşegeninin yüksekliği görevi gördüğü ADBE. Bu piramit yükseklik etrafında dönerken kendisiyle aynı hizaya geldiğinde, küpün tamamı orijinal konumuyla aynı hizada olacaktır. Görülmesi kolay olduğu gibi küpün başka simetri ekseni yoktur. Bakalım kaç tane çeşitli şekillerde küp kendisiyle birleştirilebilir. Sıradan simetri ekseni etrafındaki dönüş, küpün bir bütün olarak kendisiyle aynı hizada olduğu, orijinalinden farklı bir konum verir.

Üçüncü dereceden bir eksen etrafında dönme bu tür iki konum üretir ve dördüncü dereceden bir eksen etrafında dönme böyle üç konum üretir. Küpün ikinci dereceden altı ekseni (bunlar sıradan simetri eksenleridir), üçüncü dereceden dört eksen ve dördüncü dereceden üç eksene sahip olduğundan, küpün 6 ​​1 + 4 2 + 3 3 = 23 konumu vardır, kendisiyle birleştiği orijinalinden farklı.

Tüm bu konumların birbirinden ve ayrıca küpün başlangıç ​​konumundan farklı olduğunu doğrudan doğrulamak kolaydır. Orijinal konumuyla birlikte küpü kendisiyle birleştirmenin 24 yolunu oluştururlar.

Simetrinin tanımı;

• Simetrinin tanımı;

• Merkezi simetri;

• Eksenel simetri;

• Düzleme göre simetri;

• Dönme simetrisi;

• Ayna simetrisi;

• Benzerliğin simetrisi;

• Bitki simetrisi;

• Hayvan simetrisi;

• Mimaride simetri;

• İnsan simetrik bir yaratık mıdır?

• Kelime ve sayıların simetrisi;

SİMETRİ

• SİMETRİ- Orantılılık, bir şeyin parçalarının bir noktanın, düz bir çizginin veya düzlemin zıt taraflarındaki düzenindeki aynılık.

• (Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü)

• Yani geometrik bir nesne eğer ona bir şey yapılabilirse simetrik kabul edilir ve sonrasında öyle kalır. değişmedi.

HAKKINDA HAKKINDA HAKKINDA isminde şeklin simetri merkezi.

• Şeklin noktaya göre simetrik olduğu söylenir HAKKINDAşeklin her noktası için o noktaya göre simetrik bir nokta varsa HAKKINDA da bu figüre aittir. Nokta HAKKINDA isminde şeklin simetri merkezi.

daire ve paralelkenar dairenin merkezi ). Takvim Olumsuz eşit işlev

Merkezi simetriye sahip şekillere örnekler: daire ve paralelkenar. Bir dairenin simetri merkezi dairenin merkezi ve paralelkenarın simetri merkezi köşegenlerinin kesişme noktası. Herhangi bir düz çizginin merkezi simetrisi de vardır ( Bir doğru üzerindeki herhangi bir nokta onun simetri merkezidir). Takvim tek fonksiyon orijine göre simetriktir.

• Simetri merkezi olmayan bir şekil örneği keyfi üçgen.

A A A isminde şeklin simetri ekseni.

• Şeklin düz bir çizgiye göre simetrik olduğu söylenir Aşeklin her noktası için düz çizgiye göre simetrik bir nokta varsa A da bu figüre aittir. Dümdüz A isminde şeklin simetri ekseni.

Dönülmemiş bir köşede bir simetri ekseni açıortay bir simetri ekseni üç simetri ekseni iki simetri ekseni ve kare dört simetri ekseni koordinata göre.

Dönülmemiş bir köşede bir simetri ekseni- bulunduğu düz çizgi açıortay. Bir ikizkenar üçgen de vardır bir simetri ekseni ve bir eşkenar üçgen üç simetri ekseni. Kare olmayan bir dikdörtgen ve eşkenar dörtgen iki simetri ekseni ve kare dört simetri ekseni. Çemberde sonsuz sayıda bunlardan var. Eşit bir fonksiyonun grafiği oluşturulduğunda simetriktir koordinata göre.

• Tek bir simetri ekseni olmayan şekiller vardır. Bu tür rakamlar şunları içerir: paralelkenar, dikdörtgen dışında, çeşitkenar üçgen.

Puanlar A Ve A1 A A AA1 Ve dik A sayar kendine simetrik

Puanlar A Ve A1 düzleme göre simetrik olarak adlandırılır A(simetri düzlemi), eğer düzlem A segmentin ortasından geçer AA1 Ve dik bu segmente. Uçağın her noktası A sayar kendine simetrik. İki figür, çift simetrik noktalardan oluşuyorsa, düzleme göre simetrik (veya ayna simetrik göreli) olarak adlandırılır. Bu, bir şeklin her noktası için, ona (göreceli olarak) simetrik bir noktanın başka bir şekilde yer aldığı anlamına gelir.

Vücudun (veya şeklin) sahip olduğu dönme simetrisi, eğer bir açıyı döndürürken 360°/n, burada n bir tam sayıdır tamamen uyumlu

• Vücudun (veya şeklin) sahip olduğu dönme simetrisi, eğer bir açıyı döndürürken 360°/n, burada n bir tam sayıdır, bir AB düz çizgisinin (simetri ekseni) yakınında tamamen uyumlu Orijinal konumuyla.

• Radyal simetri- Bir nesne belirli bir nokta veya çizgi etrafında döndüğünde korunan bir simetri biçimi. Çoğu zaman bu nokta, nesnenin ağırlık merkeziyle, yani kesişiyor sonsuz sayıda simetri ekseni. Benzer nesneler olabilir daire, top, silindir veya koni.

Ayna simetrisi herkesi bağlar

Ayna simetrisi herkesi bağlar bir cisim ve onun düzlem aynadaki yansıması. Bir figürün (veya vücudun) birlikte bir ayna görüntüsü oluşturması durumunda diğerine ayna simetriği olduğu söylenir. simetrik şekil(veya vücut). Simetrik olarak aynalanmış figürler, tüm benzerliklerine rağmen birbirlerinden önemli ölçüde farklıdır. İki ayna simetrik düz figür her zaman üst üste yerleştirilebilir. Ancak bunun için bunlardan birinin (veya her ikisinin) ortak düzlemden çıkarılması gerekir.

Benzerliğin simetrisi yuvalama bebek.

• Benzerliğin simetrisiönceki simetrilerin tuhaf analoglarıdır; tek fark, bunların şeklin benzer kısımlarında ve aralarındaki mesafelerde eşzamanlı azalma veya artış. Böyle bir simetrinin en basit örneği yuvalama bebek.

• Bazen şekiller farklı simetri türlerine sahip olabilir. Örneğin, bazı harfler dönme ve ayna simetrisine sahiptir: VE, N, M, HAKKINDA, A.

• Doğası gereği soyut olan birçok başka simetri türü vardır. Örneğin:

• Değişme simetrisi, eğer aynı parçacıklar değiştirilirse hiçbir değişiklik meydana gelmez;

• Gösterge simetrileri bağlı yakınlaştırma değişikliği ile. Cansız doğada simetri öncelikle böyle bir doğal olayda ortaya çıkar. kristaller neredeyse tüm katıların oluştuğu yer. Özelliklerini belirleyen budur. Kristallerin güzelliğinin ve mükemmelliğinin en açık örneği bilinen kar tanesi.

Her yerde simetriyle karşılaşırız: doğada, teknolojide, sanatta, bilimde. Simetri kavramı yüzyıllardır süregelen bir tarihe sahiptir insan yaratıcılığı. Simetri oyununun ilkeleri önemli rol fizik ve matematik, kimya ve biyoloji, teknoloji ve mimari, resim ve heykel, şiir ve müzik alanlarında. Doğa yasaları da simetri ilkelerine tabidir.

simetri ekseni.

• Birçok çiçeğin ilginç bir özelliği vardır: Her bir taç yaprağı komşusunun konumunu alacak ve çiçek kendisiyle aynı hizada olacak şekilde döndürülebilirler. Bu çiçek var simetri ekseni.

• Helisel simetriÇoğu bitkinin gövdelerindeki yaprakların dizilişinde gözlenir. Gövde boyunca vida şeklinde dizilen yapraklar her yöne yayılıyor gibi görünüyor ve bitki yaşamı için son derece gerekli olan ışıktan birbirlerini engellemiyorlar.

• İkili simetri Birçok kaktüsün gövdesi gibi bitki organları da mevcuttur. Genellikle botanikte bulunur radyal olarak simetrik olarak düzenlenmiş çiçekler.

bölme çizgisi.

• Hayvanlarda simetri, boyut, şekil ve dış hatların uygunluğunun yanı sıra karşıt taraflarda bulunan vücut parçalarının göreceli düzenlemesi anlamına gelir. bölme çizgisi.

• Başlıca simetri türleri şunlardır: radyal(radyal) - derisi dikenliler, koelenteratlar, denizanası vb. tarafından ele geçirilmiştir; veya iki taraflı(iki taraflı) - her hayvanın (böcek, balık veya kuş) oluştuğunu söyleyebiliriz. iki yarım- sağ ve sol.

• Küresel simetri radyolaryalılarda ve güneş balıklarında görülür. Merkezden çizilen herhangi bir düzlem, hayvanı eşit yarılara böler.

• Bir yapının simetrisi, fonksiyonlarının organizasyonu ile ilişkilidir. Simetri düzleminin (bina ekseni) izdüşümü genellikle ana girişin konumunu ve ana trafik akışlarının başlangıcını belirler.

• Simetrik bir sistemdeki her ayrıntı mevcuttur zorunlu çiftinizin bir dublörü gibi eksenin diğer tarafında yer alır ve bu nedenle ancak bütünün bir parçası olarak değerlendirilebilir.

• Mimarlıkta en yaygın olanı ayna simetrisi. Eski Mısır'ın binaları ve antik Yunanistan tapınakları, amfitiyatrolar, hamamlar, bazilikalar ve Romalıların zafer takıları, Rönesans'ın sarayları ve kiliseleri ile modern mimarinin çok sayıda yapısı ona tabidir.

aksan

• Simetriyi daha iyi yansıtacak şekilde binalar yerleştirildi aksan- özellikle önemli unsurlar (kubbeler, kuleler, çadırlar, ana girişler ve merdivenler, balkonlar ve cumbalı pencereler).

• Mimarinin dekorasyonunu tasarlamak için, elemanlarının simetrik kompozisyonuna dayanan ve çizgi, renk veya kabartma ile ifade edilen, ritmik olarak tekrarlanan bir desen olan bir süsleme kullanılır. Tarihsel olarak, iki kaynağa (doğal formlar ve geometrik şekiller) dayalı olarak çeşitli süsleme türleri gelişmiştir.

• Ancak bir mimar her şeyden önce bir sanatçıdır. Ve bu nedenle en "klasik" stiller bile daha sık kullanıldı asimetri– saf simetriden incelikli sapma veya asimetri- kasıtlı olarak asimetrik yapı.

• Bir kişinin dışarıdan simetrik olarak inşa edildiğinden hiç kimse şüphe duymayacaktır: sol el her zaman sağa karşılık gelir ve her iki el de tamamen aynıdır. Ancak ellerimiz, kulaklarımız, gözlerimiz ve vücudumuzun diğer kısımları arasındaki benzerlikler aynıdır. Bir nesne ile onun aynadaki yansıması arasında.

Sağ onun yarım kaba özellikler, doğuştan erkek. Sol yarı

Erkeklerde ve kadınlarda yüz parametrelerinin çok sayıda ölçümü şunu göstermiştir: Sağ onun yarım sola kıyasla daha belirgin enine boyutlara sahiptir, bu da yüze daha fazla görünüm kazandırır. kaba özellikler erkek cinsiyetinin karakteristik özelliği. Sol yarı yüzün daha belirgin uzunlamasına boyutları vardır, bu da onu verir pürüzsüz çizgiler ve kadınlık. Bu gerçek, kadınların sanatçıların önünde yüzlerinin sol tarafıyla, erkeklerin ise sağ tarafıyla poz verme konusundaki baskın isteklerini açıklıyor.

Palindrom

• Palindrom(Gr. Palindromos'tan - geri koşmak), bileşenlerinin simetrisinin baştan sona ve uçtan başa belirtildiği bir nesnedir. Örneğin bir cümle veya metin.

• Belirli bir alfabenin normal okuma yönüne göre (genellikle soldan sağa) okunan bir palindromun düz metnine denir. dik, tersi - gezici tarafından veya tersi(sağdan sola). Bazı sayıların simetrisi de vardır.

Eksenel ve merkezi simetrileri bazı özelliklerin özellikleri olarak düşünün. geometrik şekiller; Eksenel ve merkezi simetrileri bazı geometrik şekillerin özellikleri olarak düşünün; Nasıl inşa edileceğini bilin simetrik noktalar ve bir noktaya veya çizgiye göre simetrik olan şekilleri tanıyabilme; Simetrik noktalar oluşturabilme ve bir noktaya veya doğruya göre simetrik olan şekilleri tanıyabilme; Problem çözme becerilerini geliştirmek; Problem çözme becerilerini geliştirmek; Geometrik çizimleri doğru bir şekilde kaydetmek ve tamamlamak için çalışmaya devam edin; Geometrik çizimleri doğru bir şekilde kaydetmek ve tamamlamak için çalışmaya devam edin;

Sözlü çalışma“Nazik sorgulama” Sözlü çalışma “Nazik sorgulama” Hangi noktaya parçanın ortası denir? Hangi üçgene ikizkenar denir? Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin özellikleri nelerdir? İkizkenar üçgenin açıortay özelliğini belirtiniz. Hangi çizgilere dik denir? Hangi üçgene eşkenar denir? Bir karenin köşegenlerinin özellikleri nelerdir? Hangi rakamlara eşit denir?

Sınıfta hangi yeni kavramları öğrendiniz? Sınıfta hangi yeni kavramları öğrendiniz? Geometrik şekiller hakkında ne gibi yeni şeyler öğrendiniz? Geometrik şekiller hakkında ne gibi yeni şeyler öğrendiniz? Eksenel simetriye sahip geometrik şekillere örnekler verin. Eksenel simetriye sahip geometrik şekillere örnekler verin. Merkezi simetriye sahip şekillere bir örnek verin. Merkezi simetriye sahip şekillere bir örnek verin. Öğelere örnekler verin çevreleyen yaşam bir veya iki tür simetriye sahip olan. Çevredeki hayattan bir veya iki tür simetriye sahip nesnelere örnekler verin.

Simetri uyum ve düzen ile ilişkilidir. Ve iyi bir sebepten dolayı. Çünkü simetri nedir sorusunun, eski Yunancadan birebir tercümesi şeklinde bir cevabı var. Ve bunun orantılılık ve değişmezlik anlamına geldiği ortaya çıktı. Ve kesin bir konum tanımından daha düzenli ne olabilir? Ve boyuta tam olarak karşılık gelen bir şeyden daha uyumlu ne denilebilir?

Farklı bilimlerde simetri ne anlama geliyor?

Biyoloji. Simetrinin önemli bir bileşeni, hayvanların ve bitkilerin düzenli olarak düzenlenmiş parçalara sahip olmasıdır. Üstelik bu bilimde kesin bir simetri yoktur. Her zaman bir miktar asimetri vardır. Bütünün parçalarının birbiriyle örtüşmediğini kabul eder. mutlak hassasiyet.

Kimya. Bir maddenin moleküllerinin düzenlenmeleri belirli bir düzene sahiptir. Kristalografide ve kimyanın diğer dallarında malzemelerin birçok özelliğini açıklayan şey onların simetrisidir.

Fizik. Bir cisimler sistemi ve içindeki değişiklikler denklemler kullanılarak tanımlanır. Tüm çözümü basitleştiren simetrik bileşenler içerirler. Bu, korunan miktarların aranmasıyla gerçekleştirilir.

Matematik. Simetrinin ne olduğunu temel olarak açıklayan şey budur. Dahası daha yüksek değer Geometride buna önem verilir. Burada simetri şekil ve cisimlerde gösterilebilme yeteneğidir. İÇİNDE dar anlamda sadece bir ayna görüntüsüne dönüşür.

Farklı sözlükler simetriyi nasıl tanımlar?

Hangisine bakarsak bakalım “orantılılık” kelimesi her yerde karşımıza çıkacak. Dahl'da aynılık ve eşitlik gibi bir yorum da görülebilir. Başka bir deyişle simetrik aynı anlama gelir. Aynı zamanda sıkıcı olduğunu da söylüyor; olmayan şey daha ilginç görünüyor.

Simetrinin ne olduğu sorulduğunda, Ozhegov'un sözlüğü zaten parçaların bir noktaya, çizgiye veya düzleme göre konumundaki aynılıktan bahsediyor.

Ushakov’un sözlüğü aynı zamanda orantılılığın yanı sıra bütünün iki parçasının birbiriyle tam yazışmasından da bahsediyor.

Asimetriden ne zaman bahsedeceğiz?

“a” öneki asıl ismin anlamını ortadan kaldırır. Dolayısıyla asimetri, elemanların dizilişinin belirli bir kalıba uymaması anlamına gelir. Bunda hiçbir değişmezlik yoktur.

Bu terim, bir öğenin iki yarısının tamamen aynı olmadığı durumlarda kullanılır. Çoğu zaman hiç benzer değiller.

Canlı doğada asimetri önemli bir rol oynar. Üstelik hem faydalı hem de zararlı olabilir. Örneğin kalp göğsün sol yarısında yer alır. Bu nedenle sol akciğer önemli ölçüde daha küçüktür. Ama bu gerekli.

Merkezi ve eksenel simetri hakkında

Matematikte aşağıdaki türler ayırt edilir:

• merkezi, yani bir noktaya göre yapılmış;
• düz bir çizginin yakınında gözlenen eksenel;
• aynasal, yansımalara dayanır;
• simetri aktarımı.

Eksen ve simetri merkezi nedir? Bu, vücuttaki herhangi bir noktanın başka bir noktayı bulabileceği bir nokta veya çizgidir. Üstelik orijinalden ortaya çıkana kadar olan mesafe eksen veya simetri merkezi tarafından ikiye bölünecek şekilde. Bu noktalar hareket ettikçe aynı yörüngeleri tanımlarlar.

Bir eksene göre simetrinin ne olduğunu anlamanın en kolay yolu bir örnektir. Defter sayfasının ikiye katlanması gerekiyor. Katlama çizgisi simetri ekseni olacaktır. Ona dik bir çizgi çizerseniz, üzerindeki tüm noktaların eksenin diğer tarafında aynı mesafede bulunan noktaları olacaktır.

Simetri merkezini bulmanın gerekli olduğu durumlarda yapmanız gerekenler aşağıdaki gibi. İki şekil varsa, aynı noktaları bulun ve bunları bir doğru parçasına bağlayın. Daha sonra ikiye bölün. Yalnızca tek bir şekil olduğunda, onun özelliklerinin bilinmesi yardımcı olabilir. Çoğu zaman bu merkez köşegenlerin veya yüksekliklerin kesişme noktasıyla çakışır.

Hangi şekiller simetriktir?

Geometrik şekiller eksenel veya merkezi simetriye sahip olabilir. Ama değil önkoşul, buna hiç sahip olmayan birçok nesne var. Örneğin, bir paralelkenarın merkezi bir paralel kenarı vardır, ancak eksenel bir paralel kenarı yoktur. Ancak ikizkenar olmayan yamukların ve üçgenlerin hiçbir simetrisi yoktur.

Merkezi simetri dikkate alınırsa buna sahip olan pek çok figür vardır. Bunlar bir doğru parçası, bir daire, bir paralelkenar ve ikiye bölünebilen kenarları olan tüm düzgün çokgenlerdir.

Bir parçanın (aynı zamanda bir dairenin) simetri merkezi onun merkezidir ve bir paralelkenar için köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Normal çokgenler için bu nokta aynı zamanda şeklin merkezi ile çakışmaktadır.

Bir şekilde katlanabileceği düz bir çizgi çizilebilirse ve iki yarım çakışırsa, bu (düz çizgi) bir simetri ekseni olacaktır. İlginç olan, farklı şekillerin kaç tane simetri eksenine sahip olduğudur.

Örneğin baharatlı veya geniş açı tek bir ekseni vardır, o da ortaydır.

Ekseni bulmanız gerekiyorsa ikizkenar üçgen, o zaman yüksekliği tabanına kadar çizmeniz gerekir. Çizgi simetri ekseni olacaktır. Ve sadece bir tane. Ve eşkenar olanda aynı anda üç tane olacak. Ayrıca üçgen, yüksekliklerin kesişim noktasına göre merkezi simetriye de sahiptir.

Çember olabilir sonsuz sayı simetri eksenleri. Merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi bu rolü yerine getirebilir.

Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen iki simetri eksenine sahiptir. Birincisinde kenarların ortasından geçerler, ikincisinde ise köşegenlerle çakışırlar.

Kare, önceki iki rakamı birleştirir ve aynı anda 4 simetri eksenine sahiptir. Eşkenar dörtgen ve dikdörtgenle aynıdırlar.