Bir O noktasından çıkan ve aynı düzlemde yer almayan üç ışın ve bu ışınlar arasında yer alan üç düzlem parçasından oluşan şekle üçgen açı denir (Şekil 352).
O noktasına açının tepe noktası denir, a, b, c ışınları onun kenarları, düzlemlerin parçalarıdır. Yüzler, belirli bir üç yüzlü açının düzlem açıları olarak da adlandırılan düzlem açılardır. Düz yüzler arasındaki açılara belirli bir üçgen açının dihedral açıları denir.
Teorem 1. Üçgen açıda her düzlem açısı diğer ikisinin toplamından küçüktür.
Kanıt. Düzlem açılarının en büyüğü için teoremi kanıtlamak yeterlidir. Şekil 2'deki üçgen açının en büyük düzlem açısı olsun. 353. Düzlemde, b tarafının açının içinden geçtiği açıya eşit bir açı (düzlem açılarının en büyüğü!) oluşturalım.
c ve b satırlarını herhangi bir şekilde koyalım eşit segmentler A ve b ışınlarını sırasıyla N ve M noktalarında kesen noktalar arasında rastgele bir düzlem çizelim.
Üçgenler eşittir eşit açılar Eşit taraflar arasında sonuçlandırılır. Köşesi O olan açının aynı köşesi olan açıdan büyük olduğunu gösterelim. Aslında bu açılar çiftler arasında bulunur eşit taraflarüçgende üçüncü kenar daha büyüktür
Bu, iki düzlem açısının toplamının üçüncü düzlem açısından büyük olduğunu gösterir ki, bunun da kanıtlanması gerekir.
Teorem 2. Üçgen bir açının düzlem açılarının toplamı dört dik açıdan küçüktür.
Kanıt. Üçgen açının kenarlarındaki üç A, B ve C noktasını alalım ve bunların içinden Şekil 2'de gösterildiği gibi bir kesme düzlemi çizelim. 354. ABC üçgeninin açılarının toplamı eşittir. Dolayısıyla OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA altı açısının toplamı önceki teoreme göre daha büyüktür. Ancak bir üçgen açının yüzlerindeki OAB, OBC, OCA üçgenlerinin açılarının toplamı eşittir. Böylece, bir üçgen açının düz açılarının payı dört düz çizgiden az kalır: . Bu toplam keyfi olarak küçük (“üçgen sivri”) olabilir veya Şekil 2'deki SABC piramidinin yüksekliğini azaltırsak keyfi olarak buna yakın olabilir. 355, tabanını koruyarak, S tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı şu yönde olacaktır:
Üçgen bir açının dihedral açılarının toplamının da sınırları vardır. Dihedral açıların her birinin ve dolayısıyla toplamlarının 'den küçük olduğu açıktır. Şekil 2'deki aynı piramit için. 355 Piramidin yüksekliği azaldıkça bu toplamın sınırına yaklaştığı da gösterilebilir. Bu toplamın her ne kadar istenildiği kadar az farklılık gösterse de her zaman olduğu da gösterilebilir.
Dolayısıyla, bir üçgen açının düzlem ve dihedral açıları için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:
Düzlemdeki üçgenin geometrisi ile üçgen açının geometrisi arasında önemli bir benzerlik vardır. Bu durumda, bir yanda bir üçgenin açıları ile bir üçgen açının dihedral açıları arasında, diğer yanda bir üçgenin kenarları ile bir üçgen açının düz açıları arasında bir benzetme yapılabilir. Örneğin, kavramların belirtilen şekilde değiştirilmesiyle üçgenlerin eşitliği teoremi geçerliliğini korur. İlgili formülasyonları paralel olarak sunalım:
Bununla birlikte, karşılık gelen dihedral açıları eşit olan iki üçgen açı eştir. Bu arada, açıları sırasıyla eşit olan iki üçgen benzerdir ancak eşit olması gerekmez. Üçgen açılar ve üçgenler için, bir üçyüzlü açıyı çözme görevi, yani bazı elemanlarını diğer verilenlerden bulma görevi ortaya çıkar. Böyle bir göreve bir örnek verelim.
Görev. Üçgen açının düzlem açıları verilmiştir. Dihedral açılarını bulun.
Çözüm. a kenarına bir doğru parçası yerleştirelim ve a dihedral açısının ABC normal kesitini çizelim. İtibaren dik üçgen OAV'yi de buluyoruz.
BC için, BAC üçgenine uygulanan kosinüs teoremi ile buluruz (kısalık sağlamak için düzlem açılarını basitçe ab, ac, bc, dihedral açılar - a, b, c olarak gösteririz)
Şimdi kosinüs teoremini BOC üçgenine uyguluyoruz:
Buradan buluyoruz
ve benzer şekilde
Bu formülleri kullanarak düzlem açılarını bilerek dihedral açıları bulabilirsiniz. Kanıt olmadan dikkat çekici ilişkiye dikkat edelim.
sinüs teoremi denir.
Üçgen açının geometrisi ile üçgenin geometrisi arasındaki derin analojinin açıklamasını aşağıdaki yapıyı uygularsak elde etmek zor değildir. Birim yarıçaplı bir kürenin merkezini O üçgen açısının tepe noktasına yerleştirelim (Şekil 357).
Daha sonra kenarlar kürenin yüzeyini A, B, C üç noktasında kesecek, açının kenarları küre üzerinde yaylar kesecek büyük daireler AC, AB, BC. Kürenin üzerinde küresel üçgen adı verilen bir ABC şekli oluşuyor. Yaylar (bir üçgenin "kenarları") üçgen açının düzlem açılarıyla ölçülür, köşelerdeki açılar dihedral açıların düzlem açılarıdır. Dolayısıyla üçgen açıların çözümü, küresel trigonometrinin konusu olan küresel üçgenlerin çözümünden başka bir şey değildir. (243.1) ve (243.2) bağıntıları küresel trigonometrinin temel bağıntıları arasındadır. Küresel trigonometri sahip olmak önemli astronomi için. Dolayısıyla, üç yüzlü açılar teorisi küresel üçgenlerin teorisidir ve bu nedenle birçok yönden düzlemdeki üçgen teorisine benzer. Bu teoriler arasındaki fark şudur: 1) küresel bir üçgende, hem açılar hem de kenarlar açısal ölçülerle ölçülür, bu nedenle, örneğin sinüs teoreminde görünen kenarlar değil, AB kenarlarının sinüsleridir. , AC, BC;
Çokyüzlü açı uzayın bir çokyüzlü boşlukla sınırlı kısmı konik yüzey yönü, kendi kesişimleri olmayan düz bir çokgendir. Bu yüzeyin yüzlerine mozaiğin yüzleri, üst kısmına da mozaiğin tepesi denir. M. u. tüm doğrusal açıları ve tüm dihedral açıları eşitse düzgün denir. Meroy M. u. yarıçapı olan bir küre olan çokgenin yüzlerinin kesişmesiyle elde edilen küresel çokgenin sınırladığı alandır bire eşit ve merkezi M. y'nin tepe noktasında olacak şekilde. Ayrıca bkz. Katı açı.
Büyük Sovyet ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .
Diğer sözlüklerde “çokyüzlü açının” ne olduğunu görün:
Katı açıya bakın... Büyük Ansiklopedik Sözlük
Katı açıya bakın. * * * ÇOKHEDAL AÇI ÇOKHEDAL AÇI, bkz. Katı açı (bkz. KATI AÇI) ... Ansiklopedik Sözlük
Uzayın çok yüzlü bir konikteki bir boşlukla sınırlanan kısmı. kendi kendine kesişmeyen bir düz çokgen sürüsüne yönlendirilen yüzey. Bu yüzeyin yüzlerine denir. M. u.'nun kenarları, M. u.'nun tepesinin üstü. Çokyüzlü açıya denir doğru... Matematik Ansiklopedisi
Bkz. Katı açı... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük
çokyüzlü açı- matematik. Bir noktadan (bir açının tepe noktasından) geçen birkaç düzlemle sınırlanan uzayın bir kısmı ... Birçok ifadenin sözlüğü
ÇOK YÖNLÜ, çok yönlü, çok yönlü (kitap). 1. Birden fazla yüze veya kenara sahip olmak. Çok yönlü taş. Çokyüzlü açı (bir noktada kesişen birkaç düzlemle sınırlanan uzayın bir kısmı; mat.). 2. aktarma... ... Sözlük Uşakova
- (mat.). Belirli bir düzlemde O noktasından OA ve 0B düz çizgilerini çizersek, AOB açısını elde ederiz (Şekil 1). Saçmalık. 1. 0 noktası çağrıldı açının tepe noktası ve açının kenarları olarak OA ve 0B düz çizgileri. İki açının ΒΟΑ ve Β 1 Ο 1 Α 1 olduğunu varsayalım. Bunları öyle empoze edelim ki... ...
- (mat.). Belirli bir düzlemde O noktasından OA ve 0B düz çizgilerini çizersek, AOB açısını elde ederiz (Şekil 1). Saçmalık. 1. 0 noktası çağrıldı açının tepe noktası ve açının kenarları olarak OA ve 0B düz çizgileri. İki ΒΟΑ ve Β1Ο1Α1 açısının verildiğini varsayalım. Bunları üst üste koyalım, böylece köşeler O... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron
Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Açı (anlamlar). Açı ∠ Boyut ° SI birimleri Radyan ... Wikipedia
Düz, geometrik şekil, bir noktadan (yüzeyin tepe noktası) çıkan iki ışından (yüzeyin kenarları) oluşur. Bir dairenin (merkez U.) O merkezinde bir tepe noktasına sahip olan her U., daire üzerinde ... ... ile sınırlanan bir AB yayını tanımlar. Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Slayt 1
Belirtilen yüzey ve bununla sınırlanan uzayın iki parçasından birinin oluşturduğu şekle çokyüzlü açı denir. Ortak köşe S'ye çokyüzlü açının tepe noktası denir. SA1, ..., SAn ışınlarına çokyüzlü açının kenarları denir ve A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 düzlem açılarına çokyüzlü açının yüzleri denir. Çokyüzlü bir açı, köşeyi ve kenarlarındaki noktaları gösteren SA1...An harfleriyle gösterilir. Ortak bir S köşe noktasına sahip sonlu bir A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 düzlem açıları kümesinden oluşan, bitişik açıların, ortak bir ışının noktaları ve bitişik olmayan açılar dışında ortak noktalarının olmadığı bir yüzey. sahip değilim ortak noktalar ortak bir tepe noktasına ek olarak, çokyüzlü yüzey olarak adlandırılacaktır.
Slayt 2
Yüz sayısına bağlı olarak çok yüzlü açılar üç yüzlü, dört yüzlü, beşgen vb. olabilir.
Slayt 3
ÜÇGEN AÇILAR
Teorem. Üçgen açının her düzlem açısı, diğer iki düzlem açısının toplamından küçüktür. İspat: SABC üçgen açısını düşünün. Düzlem açılarının en büyüğü ASC açısı olsun. O halde ASB ASC eşitsizlikleri sağlanır
Slayt 4
Mülk. Üçgen açının düzlem açılarının toplamı 360°'den küçüktür. Benzer şekilde, köşeleri B ve C olan üçgen açılar için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: ABC
Slayt 5
DIŞ BÜKEY ÇOK YÜZEYLİ AÇILAR
Çokyüzlü bir açıya dışbükey denir dışbükey şekil yani herhangi iki noktasıyla birlikte onları birleştiren parçayı tamamen içerir. Şekilde dışbükey ve dışbükey olmayan çokyüzlü açıların örnekleri gösterilmektedir. Özellik: Dışbükey çokyüzlü bir açının tüm düzlem açılarının toplamı 360°'den küçüktür. İspat, üçgen açının ilgili özelliğinin ispatına benzer.
Slayt 6
Dikey çokyüzlü açılar
Şekillerde üç yüzlü, dört yüzlü ve beş yüzlü dikey açıların örnekleri gösterilmektedir. Dikey açılar eşittir.
Slayt 7
Çokyüzlü açıların ölçülmesi
Gelişmiş bir dihedral açının derece değeri karşılık gelen açının derece değeri ile ölçüldüğü için doğrusal açı ve 180°'ye eşitse, iki açılmamış dihedral açıdan oluşan tüm uzayın derece değerinin 360°'ye eşit olduğunu varsayacağız. Derece olarak ifade edilen çokyüzlü açının boyutu, belirli bir çokyüzlü açının ne kadar yer kapladığını gösterir. Örneğin bir küpün üçgen açısı yerin sekizde birini kaplar ve dolayısıyla derece değeri 360°: 8 = 45° olur. Üçgen açı sağda n-gonal prizma yarıya eşit yan kenardaki dihedral açı. Bunu göz önünde bulundurarak dihedral açı eşitse, prizmanın üçgen açısının eşit olduğunu buluruz.
Slayt 8
Üçgen açıların ölçülmesi*
Üçgen açının büyüklüğünü dihedral açılar cinsinden ifade eden bir formül türetelim. Üçgen açının S köşesine yakın bir birim küre tanımlayalım ve üçyüzlü açının kenarlarının bu küre ile kesişme noktalarını A, B, C olarak gösterelim. Üçgen açının yüzlerinin düzlemleri bu küreyi bu üçgen açının dihedral açılarına karşılık gelen altı çift eşit küresel digon. Küresel ABC üçgeni ve simetrik küresel üçgen A"B"C" üç digonun kesişimidir. Bu nedenle dihedral açıların iki katı toplamı 360o artı üçgen açının dört katı veya SA +SB + SC = 180o + 2 olur. SABC.
Slayt 9
Çokyüzlü açıların ölçülmesi*
SA1…An bir dışbükey n-yönlü açı olsun. Üçgen açılara bölüp, A1A3, ..., A1An-1 köşegenlerini çizip, elde edilen formülü bunlara uyguladığımızda: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… Bir. Çokyüzlü açılar sayılarla da ölçülebilir. Aslında tüm uzayın üç yüz altmış derecesi 2π sayısına karşılık gelir. Ortaya çıkan formülde dereceden sayılara geçtiğimizde şunu elde ederiz: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Slayt 10
Alıştırma 1
Düz açılı bir üçgen açı olabilir mi: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Cevap: a) Hayır; b) hayır; evet.
Slayt 11
Alıştırma 2
Köşelerde kesişen yüzleri yalnızca aşağıdakileri oluşturan çokyüzlülere örnekler verin: a) üçgen açılar; b) tetrahedral açılar; c) beşgen açılar. Cevap: a) Tetrahedron, küp, dodecahedron; b) oktahedron; c) ikosahedron.
Slayt 12
Alıştırma 3
Üçgen açının iki düzlem açısı 70° ve 80°'dir. Üçüncü düzlem açısının sınırları nelerdir? Cevap: 10°
Slayt 13
Alıştırma 4
Üçgen açının düzlem açıları 45°, 45° ve 60°'dir. 45°'lik düzlem açılarının düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevap: 90o.
Slayt 14
Alıştırma 5
Üçgen açıda iki düzlem açısı 45°'ye eşittir; aralarındaki dihedral açı doğrudur. Üçüncü düzlem açısını bulun. Cevap: 60o.
Slayt 15
Alıştırma 6
Üçgen açının düzlem açıları 60°, 60° ve 90°'dir. OA, OB, OC eşit segmentleri tepe noktasından itibaren kenarlarına yerleştirilir. 90° açı düzlemi ile ABC düzlemi arasındaki dihedral açıyı bulun. Cevap: 90o.
Slayt 16
Egzersiz 7
Üçgen açının her düzlem açısı 60°'dir. Kenarlarından birinde üstten 3 cm'ye eşit bir parça döşenir ve ucundan karşı yüze bir dik düşer. Bu dikmenin uzunluğunu bulun. Cevap: bkz.
Slayt 17
Egzersiz 8
Bulmak yer iç noktalar yüzlerinden eşit uzaklıkta olan üçgen açı. Cevap: Tepe noktası bir üçgen açının tepe noktası olan ve dihedral açıları ikiye bölen düzlemlerin kesişme çizgisi üzerinde bulunan bir ışın.
Slayt 18
Egzersiz 9
Kenarlarından eşit uzaklıkta olan bir üçgen açının iç noktalarının yerini bulun. Cevap: Tepe noktası bir üçgen açının tepe noktası olan, düzlem açılarının açıortaylarından geçen düzlemlerin kesişme çizgisi üzerinde bulunan bir ışın ve düzlemlere dik bu açılar.
Slayt 19
Egzersiz 10
Tetrahedron'un dihedral açıları için elimizde: 70o30" bulunur. Tetrahedron'un üçgen açıları için elimizde: 15o45" bulunur. Cevap: 15o45". Dört yüzlünün üçgen açılarının yaklaşık değerlerini bulun.
Slayt 20
Egzersiz 11
Oktahedronun tetrahedral açılarının yaklaşık değerlerini bulun. Oktahedronun dört yüzlü açıları için elimizde: , dolayısıyla 109°30". Oktahedronun dört yüzlü açıları için elimizde: 38°56". Cevap: 38o56".
Slayt 21
Egzersiz 12
İkosahedronun pentahedral açılarının yaklaşık değerlerini bulun. İkosahedronun dihedral açıları için elimizde: , dolayısıyla 138о11". İkosahedronun beş yüzlü açıları için elimizde: 75о28". Cevap: 75o28".
Slayt 22
Egzersiz 13
On iki yüzlünün iki yüzlü açıları için elimizde: 116o34" bulunur. On iki yüzlünün üç yüzlü açıları için elimizde: 84o51" bulunur. Cevap: 84o51". On iki yüzlünün üçgen açılarının yaklaşık değerlerini bulun.
Slayt 23
Egzersiz 14
Düzgün dörtgensel SABCD piramidinde tabanın kenarı 2 cm, yüksekliği 1 cm'dir. Bu piramidin tepe noktasındaki tetrahedral açıyı bulun. Çözüm: Verilen piramitler küpü, köşeleri küpün merkezinde olacak şekilde altı eşit piramite böler. Sonuç olarak piramidin tepesindeki 4 kenarlı açı, 360°'lik açının altıda biri kadardır, yani. 60°'ye eşittir. Cevap: 60o.
Slayt 24
Egzersiz 15
Sağda üçgen piramit yan kaburgalar 1'e eşit, köşe açıları 90°. Bu piramidin tepe noktasındaki üçgen açıyı bulun. Çözüm: Belirtilen piramitler, oktahedronu, köşeleri oktahedronun O merkezinde olacak şekilde sekiz eşit piramite böler. Sonuç olarak piramidin tepesindeki 3 kenarlı açı, 360°'lik açının sekizde biri kadardır; 45°'ye eşittir. Cevap: 45o.
Slayt 25
Egzersiz 16
Düzenli bir üçgen piramitte yan kenarlar 1'e eşittir ve yükseklik bu piramidin tepe noktasındaki üçgen açıyı bulun. Çözüm: Belirtilen piramitler kırıldı düzenli tetrahedron dörde kadar eşit piramitler Otetrahedronun merkezinde köşeleri olan. Sonuç olarak piramidin tepesindeki 3 kenarlı açı, 360°'lik açının dörtte biri kadardır, yani. 90°'ye eşittir. Cevap: 90o.
Tüm slaytları görüntüle
DERSİN METİN TRANSKRİSİ:
Planimetride çalışma nesnelerinden biri açıdır.
Açı, bir noktadan (açının tepe noktası) ve bu noktadan çıkan iki ışından oluşan geometrik bir şekildir.
Bir tarafı ortak, diğer ikisi birbirinin devamı olan iki açıya planimetride bitişik denir.
Pusula bir düzlem açısının modeli olarak düşünülebilir.
Dihedral açı kavramını hatırlayalım.
Bu, bir düz çizgi ve iki yarım düzlem c'den oluşan bir şekildir. ortak sınır Geometride aynı düzleme ait olmayan açıya dihedral açı denir. Yarım düzlemler dihedral açının yüzleridir. Düz çizgi a, dihedral açının bir kenarıdır.
Evin çatısı dihedral açıyı açıkça göstermektedir.
Ancak ikinci şekildeki evin çatısı, köşeleri aynı hizada olacak şekilde, köşeleri ortak olan altı düz köşeden oluşan bir şekil şeklinde yapılmıştır. belli bir sırayla ve birinci ve sonuncu dahil olmak üzere her bir komşu açı çifti ortak taraf. Bu çatı şekline ne ad veriliyor?
Geometride açılardan oluşan bir şekil
Ve bu açının yapıldığı açılara düzlem açılar denir. Düzlem açıların kenarlarına çokyüzlü açının kenarları denir. O noktasına açının tepe noktası denir.
Çokyüzlü açıların örnekleri tetrahedron ve paralelyüzlü olarak bulunabilir.
Dörtyüzlü DBA, ABC, DBC'nin yüzleri çokyüzlü BADC açısını oluşturur. Daha sıklıkla buna üçgen açı denir.
Paralel boruda AA1D1D, ABCD, AA1B1B yüzleri AA1DB üçgen açısını oluşturur.
Evin çatısı altıgen açı şeklinde yapılmıştır. Altı düz açıdan oluşur.
Çokyüzlü bir açı için bir dizi özellik doğrudur. Bunları formüle edelim ve kanıtlayalım. Burada beyanda yazıyor
İlk olarak, herhangi bir dışbükey çokyüzlü açı için, tüm kenarlarını kesen bir düzlem vardır.
Kanıt olarak OA1A2 A3…An çokyüzlü açısını düşünün.
Koşullara göre dışbükeydir. Bir açı, düzlem açılarının her birinin düzleminin bir tarafında yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır.
Koşul gereği bu açı dışbükey olduğundan, O, A1, A2, A3, An noktaları OA1A2 düzleminin bir tarafında yer alır.
Hadi gerçekleştirelim orta hat OA1A2 üçgeninin KM'sini ve OA3, OA4, OAn kenarlarından OKM düzlemi ile en küçük dihedral açıyı oluşturan kenarı seçin. Bu kenar OAi olsun.(оа toplam)
OKMAi dihedral açısını iki dihedral açıya bölen CM sınırına sahip yarım düzlem α'yı ele alalım. A'dan An'a kadar olan tüm köşeler α düzleminin bir tarafında, O noktası ise diğer tarafında yer alır. Sonuç olarak, α düzlemi çokyüzlü açının tüm kenarlarını keser. İfade kanıtlandı.
Dışbükey çokyüzlü açıların başka bir önemli özelliği daha vardır.
Dışbükey çokyüzlü açının düzlem açılarının toplamı 360°'den küçüktür.
Tepe noktası O noktasında olan dışbükey çokyüzlü bir açıyı düşünün. Kanıtlanmış ifadeye göre, tüm kenarlarını kesen bir düzlem vardır.
Böyle bir α düzlemi çizelim, açının kenarlarını A1, A2, A3 vb. An noktalarında kessin.
Düzlem açısının dış bölgesinden gelen α düzlemi üçgeni kesecektir. Açıların toplamı 180°'dir. A1OA2'den AnOA1'e kadar olan tüm düzlem açılarının toplamının ifadeye eşit olduğunu elde ederiz, bu ifadeyi dönüştürürüz, terimleri yeniden düzenleriz, şunu elde ederiz:
İÇİNDE bu ifade parantez içinde gösterilen toplamlar bir üçgen açının düzlem açılarının toplamlarıdır ve bilindiği gibi üçüncü düzlem açısından büyüktür.
Bu eşitsizlik, belirli bir çokyüzlü açıyı oluşturan tüm üç yüzlü açılar için yazılabilir.
Sonuç olarak eşitliğin aşağıdaki devamını elde ederiz
Cevap, dışbükey çokyüzlü bir açının düzlem açılarının toplamının 360 dereceden az olduğunu kanıtlıyor.
20. Çokyüzlü açıların çok düzeyli incelenmesi, üçyüzlü açının ve çokyüzlü açının düzlem açılarının özellikleri.
Temel seviye:
Atanasyan
Yalnızca Dihedral açıyı dikkate alır.
Pogorelov
İlk önce dihedral açıyı ve ardından hemen üç yüzlü ve çok yüzlü açıları ele alıyor.
Aynı noktadan çıkan ve aynı düzlemde yer alan a, b, c ışınlarını ele alalım. Üçgen açı (abc), üç düz açıdan (ab), (bc) ve (ac) oluşan bir şekildir (Şekil 400). Bu açılara üçgen açının yüzleri, kenarlarına ise kenarlar denir. Düzlem açıların ortak köşesine üçgen açının tepe noktası denir. Üçgen açının yüzleri tarafından oluşturulan dihedral açılara, üçyüzlü açının dihedral açıları denir.
Çokyüzlü açı kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır (Şekil 401).
Şekil 400 ve Şekil 401
P 
profil düzeyi(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):
Rasgele çokyüzlü açıların tanımını ve çalışmasını § 31'e bırakarak, şimdi bunların en basitini - üç yüzlü açıları ele alacağız. Stereometride iki yüzlü açılar düzlem açıların analogları olarak kabul edilebiliyorsa, o zaman üç yüzlü açılar da düzlem üçgenlerin analogları olarak düşünülebilir ve aşağıdaki paragraflarda bunların küresel üçgenlerle doğal olarak nasıl ilişkili olduğunu göreceğiz.
Bunun gibi bir üçgen açı oluşturabilirsiniz (ve dolayısıyla yapıcı bir şekilde tanımlayabilirsiniz). Aşağıdaki a, b, c ışınlarından herhangi birini alın: genel başlangıç O ve aynı düzlemde uzanmıyor (Şek. 150). Bu ışınlar üç dışbükey düzlem açısının kenarlarıdır: b, c kenarlarıyla α açısı, a, c kenarlarıyla β açısı ve a, b kenarlarıyla γ açısı. Bu üç α, β, γ açısının birleşimine Oabc üçgen açısı (veya kısaca O üçgen açısı) adı verilir. A, b, c ışınlarına Oabc üçgen açısının kenarları denir ve α, β, γ düzlem açıları onun yüzleridir. O noktasına üçgen açının tepe noktası denir.
3 Açıklama Dışbükey olmayan bir yüze sahip bir üçgen açı tanımlamak mümkün olabilir (Şekil 151), ancak bu tür üçgen açıları dikkate almayacağız. 
Bir üç yüzlü açının her kenarı için, kenarı üç yüzlü açının karşılık gelen kenarını içeren ve yüzleri bu kenara bitişik üç yüzlü açının yüzlerini içeren karşılık gelen bir dihedral açı belirlenir.
A, b, c kenarlarındaki üç yüzlü açı Oabc'nin dihedral açılarının değerleri sırasıyla a^, b^, c^ (harflerin hemen üzerindeki büyük harfler) ile gösterilecektir.
Oabc üçgen açısının α, β, γ üç yüzü ve onun üç dihedral açısı kaburga a, b, с, ve ayrıca α, β, γ ve а^, b^, с^ miktarlarına üçgen açının elemanları adını vereceğiz. (Düzlemsel bir üçgenin elemanlarının onun kenarları ve açıları olduğunu unutmayın.)
Görevimiz bir üçgen açının bazı elemanlarını diğer elemanları aracılığıyla ifade etmek, yani üçgen açıların bir “trigonometrisini” oluşturmaktır.
1) Kosinüs teoreminin bir benzerini türeterek başlayalım. İlk olarak, en az iki yüzü olan (örneğin α ve β) bir üçgen açı olan Oabc'yi düşünün. keskin köşeler. C kenarındaki C noktasını alalım ve CB ve CA'ya dik olan α ve β yüzlerinden c kenarına, bunlar A ve B noktalarında a ve b kenarlarıyla kesişene kadar çizelim (Şekil 152). OAB ve CAB üçgenlerinden AB uzaklığını kosinüs teoremini kullanarak ifade edelim.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) ve AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
Birinci eşitliği ikinci eşitlikten çıkardığımızda şunu elde ederiz:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Çünkü OSV ve OCA üçgenleri dik açılıdır, bu durumda AC 2 -AC 2 =OS 2 ve OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
Dolayısıyla (1) ve (2)'den şu sonuç çıkar: OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
onlar. 
Ancak 
,
,
,
. Bu yüzden
(3) – üçgen açılar için kosinüs teoreminin bir benzeri – kosinüs formülü.
Hem α hem de β yüzleri geniş açılardır.
α ve β açılarından biri, örneğin α, dar açıdır ve diğeri β, geniş açıdır.
α veya β açılarından en az biri düzdür.
Üçgen açıların eşitliğinin işaretleriüçgenlerin eşitlik işaretlerine benzer. Ancak bir fark var: örneğin, iki üçgen açı, eğer dihedral açıları karşılık gelen şekilde eşitse eşittir. Karşılıklı açıları eşit olan iki düzlem üçgenin benzer olduğunu unutmayın. Üçgen açılar için de benzer bir durum benzerliğe değil eşitliğe yol açar.
Üçgen açıların dikkat çekici bir özelliği vardır mülk buna ikilik denir. Oabc üçgen açısıyla ilgili herhangi bir teoremde yerine koyarsak a, b değerleri, π-α, π-β, π-γ'ya ve tersine, α, β, γ'yı π-a^, π-b^, π-c^ ile değiştirin, sonra yine üçgen açılar hakkında doğru bir ifade elde ederiz, orijinal teoremin ikilisi. Doğru, eğer sinüs teoreminde böyle bir değişiklik yapılırsa, o zaman tekrar sinüs teoremine geliriz (kendine çifttir). Ancak bunu kosinüs teoreminde (3) yaparsak yeni bir formül elde ederiz.
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Böyle bir ikiliğin neden oluştuğu, bir üçyüzlü açı için kenarları orijinal açının yüzlerine dik olan bir üçyüzlü açı oluşturursak daha açık hale gelecektir (bkz. bölüm 33.3 ve Şekil 356).
En basit yüzeylerden bazıları çokyüzlü açılar. Tıpkı kapalı bir kesik çizginin parçalardan oluşması gibi, bunlar da sıradan açılardan oluşur (bu tür açılara artık sıklıkla düz açılar diyeceğiz). Yani aşağıdaki tanım verilmiştir:
Çokyüzlü açıya denir Aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde düzlem açılarından oluşan bir şekil:
1) Hiçbir iki açının ortak köşeleri veya tam kenarları dışında ortak noktaları yoktur.
2) Bu açılardan her birinin kenarlarının her biri, bu açılardan yalnızca bir tanesiyle ortaktır.
3) Her köşeden, ortak kenarları olan köşeler boyunca her köşeye gidebilirsiniz.
4) Bir kenarı ortak olan iki açı aynı düzlemde yer almaz (Şekil 324).
Bu durumda çokyüzlü bir açıyı oluşturan düzlem açılara yüzler, kenarlarına da kenarları denir.
Altında bu tanım Bir dihedral açı da uygundur. Açılmamış iki düz açıdan oluşur. Tepe noktası, kenarındaki herhangi bir nokta olarak düşünülebilir ve bu nokta, kenarı, tepe noktasında buluşan iki kenara böler. Ancak tepe noktasının konumundaki bu belirsizlik nedeniyle, dihedral açı, çokyüzlü açıların sayısına dahil edilmez.
P 
Çokyüzlü açı kavramı, özellikle çokyüzlülerin incelenmesinde - çokyüzlüler teorisinde - önemlidir. Bir çokyüzlünün yapısı, hangi yüzlerden oluştuğu ve bunların köşelerde nasıl birleştiği, yani hangi çokyüzlü açıların bulunduğu ile karakterize edilir.
Farklı çokyüzlülerin çokyüzlü açılarını düşünün.
Çokyüzlü açıların yüzlerinin dışbükey olmayan açılar da olabileceğini unutmayın.