Bir çokgenin dışbükeyliğinin belirlenmesi.
Kirus-Back algoritması, pencere olarak kullanılan dışbükey bir çokgenin varlığını varsayar.
Bununla birlikte, pratikte bir çokgenin kesilmesi görevi sıklıkla ortaya çıkar ve bunun dışbükey olup olmadığı hakkında bilgi başlangıçta verilmez. Bu durumda kesme işlemine başlamadan önce hangi poligonun dışbükey olup olmadığını belirlemek gerekir.
Bir çokgenin dışbükeyliğinin bazı tanımlarını verelim
Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa bir çokgen dışbükey kabul edilir:
1) dışbükey bir çokgende, tüm köşeler herhangi bir kenarı taşıyan çizginin bir tarafında bulunur (boyunca iç taraf belirli bir kenara göre);
2) çokgenin tüm iç açıları 180°'den küçüktür;
3) bir çokgenin köşelerini birleştiren tüm köşegenler bu çokgenin içinde yer alır;
4) çokgenin tüm köşeleri aynı yönde geçilir (Şekil 3.3-1).
Son dışbükeylik kriterinin analitik bir temsilini geliştirmek için vektör çarpımını kullanırız.
vektör çizimleri K iki vektör A Ve B (Şekil 3.3‑2 a) şu şekilde tanımlanır:
A x ,a y ,a z ve b x ,by ,bz faktör vektörlerinin sırasıyla X ,Y ,Z koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlardır A Ve B,
- Ben, J, k– X, Y, Z koordinat eksenleri boyunca birim vektörler.
 |
Pirinç.3.3 ‑ 1
Pirinç.3.3 ‑ 2
Bir çokgenin iki boyutlu temsilini onun poligondaki temsili olarak düşünürsek koordinat düzlemi XY üç boyutlu koordinat sistemi X,Y,Z (Şekil 3.3‑2 b), ardından oluşumun ifadesi vektör çarpımı vektörler sen Ve V, nerede vektörler sen Ve V bir çokgenin köşesini oluşturan bitişik kenarlardır ve bir determinant olarak yazılabilir:
Çapraz çarpımın vektörü, faktör vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Çarpım vektörünün yönü burgu kuralı veya sağ vida kuralıyla belirlenir.
Şekil 2'de sunulan durum için. 3,3‑2b), vektör K, vektörlerin vektör çarpımına karşılık gelir V, sen, yön ile aynı yöne sahip olacak koordinat ekseni Z.
Bu durumda faktör vektörlerinin Z ekseni üzerindeki izdüşümlerinin sıfıra eşit olduğu dikkate alındığında, vektör çarpımı şu şekilde temsil edilebilir:
(3.3-1)
Birim vektör k her zaman pozitiftir, dolayısıyla vektörün işareti w vektör çarpımı yalnızca yukarıdaki ifadedeki determinant D'nin işareti ile belirlenecektir. Faktör vektörlerini değiştirirken vektör çarpımının özelliğine bağlı olarak şunu unutmayın: sen Ve V vektör işareti w tam tersi yönde değişecektir.
Bundan şu sonuç çıkıyor: eğer vektörler olarak V Ve sen Bir çokgenin bitişik iki kenarını göz önünde bulundurursak, vektör çarpımındaki vektörlerin listelenme sırası, söz konusu çokgenin köşesinin çaprazlamasına veya bu açıyı oluşturan kenarlara göre belirlenebilir. Bu, bir çokgenin dışbükeyliğini belirlemek için aşağıdaki kuralı kriter olarak kullanmanızı sağlar:
çokgenin tüm kenar çiftleri için aşağıdaki koşul sağlanırsa:
 |
Bireysel açılar için vektör çarpımlarının işaretleri çakışmıyorsa, çokgen dışbükey değildir.
Bir çokgenin kenarları, uç noktalarının koordinatları biçiminde belirlendiğinden, vektör çarpımının işaretini belirlemek için bir determinant kullanmak daha uygundur.
Bu derste başlayacağız yeni konu ve bize yeni bir kavram kazandırıyor: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. O zaman kanıtlayacağız en önemli gerçekler toplam teoremi gibi iç köşelerçokgen, toplam teoremi dış köşelerçokgen. Sonuç olarak, ilerideki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.
Konu: Dörtgenler
Ders: Çokgenler
Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel şeylerden bahsetmenin zamanı geldi ve karmaşık figürler - çokgenler.
Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Üçgen
İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.
Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen
Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.
Tanım.Düzenli çokgen- Bu dışbükey çokgen, tüm kenarların ve açıların eşit olduğu.
Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.
Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir, yani. bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).
Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.
Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.
Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.
Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen
Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.
Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'deki bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.
Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.
Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.
Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.
Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.
Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için iki tane vardır. en önemli teoremler açıları hakkında: dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.
Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?
Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.
Pirinç. 4. Dışbükey n-gon
Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:
Q.E.D.
İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.
Pirinç. 5.
N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve çokgenin iç açılarının toplamına eşittir. iç nokta ve bu açıdır. Sahibiz:
Q.E.D.
Kanıtlanmış.
Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.
Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).
Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.
Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon'u tasvir edelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.
Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon
Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra 
ve geri kalan dış köşeler için de benzer şekilde. Daha sonra:
Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.
Kanıtlanmış.
Kanıtlanmış teoremden şu sonuç çıkıyor ilginç gerçek dış açıların toplamı dışbükey n-gon eşit 
açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.
Referanslar
- Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Ev ödevi
Bu geometrik şekiller bizi her yerde çevreliyor. Dışbükey çokgenler petek gibi doğal veya yapay (insan yapımı) olabilir. Bu rakamlar üretimde kullanılıyor çeşitli türler kaplamalarda, resimde, mimaride, dekorasyonda vb. Dışbükey çokgenler, tüm noktalarının, bu çizginin bir çift bitişik köşesinden geçen bir çizginin bir tarafında bulunması özelliğine sahiptir. geometrik şekil. Başka tanımlar da var. Dışbükey çokgen, kenarlarından birini içeren herhangi bir düz çizgiye göre tek bir yarım düzlemde yer alan bir çokgendir.
biliyorum temel geometri her zaman özel olarak kabul edilir basit çokgenler. Bunların tüm özelliklerini anlamak için onların doğasını anlamak gerekir. Öncelikle, uçları çakışan herhangi bir çizgiye kapalı denildiğini anlamalısınız. Ayrıca, onun oluşturduğu şekil çeşitli konfigürasyonlara sahip olabilir. Çokgen basit bir kapalı kırık çizgi Komşu bağlantıların aynı düz çizgide bulunmadığı durumlar. Bağlantıları ve köşeleri sırasıyla bu geometrik şeklin kenarları ve köşeleridir. Basit bir sürekli çizginin kendi kendine kesişimleri olmamalıdır.
Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçlarını temsil ediyorsa bitişik olarak adlandırılır. Geometrik bir şekil olan n'inci sayı zirveler ve bu nedenle n'inci miktar kenarlara n-gon denir. Kesikli çizginin kendisine bu geometrik şeklin sınırı veya konturu denir. Çokgen bir düzlem veya düz çokgen, kendisi tarafından sınırlanan herhangi bir düzlemin sonlu kısmıdır. Bu geometrik şeklin bitişik kenarları, bir tepe noktasından çıkan kesikli bir çizginin parçalarıdır. Çokgenin farklı köşelerinden geliyorlarsa bitişik olmayacaklardır.
Dışbükey çokgenlerin diğer tanımları
Temel geometride, hangi poligonun dışbükey olarak adlandırıldığını gösteren, anlam bakımından eşdeğer birkaç tanım daha vardır. Üstelik tüm bu formülasyonlar aynı derecede bunlar doğrudur. Bir çokgen şu durumlarda dışbükey kabul edilir:
İçerisindeki herhangi iki noktayı birbirine bağlayan her parça tamamen onun içindedir;
Bütün köşegenleri onun içindedir;
Herhangi bir iç açı 180°'yi aşmaz.
Bir çokgen her zaman bir düzlemi 2 parçaya böler. Bunlardan biri sınırlıdır (bir daire içine alınabilir), diğeri sınırsızdır. Birincisi bu geometrik şeklin iç bölgesi, ikincisi ise dış bölgesidir. Bu çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir (başka bir deyişle ortak bileşen). Ayrıca çokgene ait noktalarda uçları olan her parça tamamen kendisine aittir.
Dışbükey çokgen çeşitleri
Dışbükey çokgenin tanımı, çok sayıda türün olduğunu göstermez. Üstelik her birinin belirli kriterleri var. Bu nedenle, iç açısı 180°'ye eşit olan dışbükey çokgenlere zayıf dışbükey denir. Üç köşesi olan dışbükey geometrik şekle üçgen, dörde dörtgen, beşe beşgen vb. denir. Dışbükey n-gonların her biri aşağıdaki en önemli gereksinimi karşılar: n, 3'e eşit veya daha büyük olmalıdır. Her biri üçgenlerin dışbükeydir. Geometrik şekil bu türden Tüm köşeleri aynı daire üzerinde bulunanlara daire içine yazılı denir. Dışbükey bir çokgen, daireye yakın tüm kenarları ona dokunuyorsa, çevrelenmiş olarak adlandırılır. İki çokgenin ancak süperpozisyonla bir araya getirilebiliyorsa uyumlu olduğu söylenir. Düzlem çokgen, bu geometrik şekille sınırlanan çokgen bir düzlemdir (bir düzlemin parçası).
Düzenli dışbükey çokgenler
Düzenli çokgenler geometrik şekillerdir. eşit açılar ve taraflar. İçlerinde her bir köşeden aynı mesafede bulunan bir 0 noktası vardır. Bu geometrik şeklin merkezi denir. Bu geometrik şeklin merkezini köşe noktalarına bağlayan parçalara apotem, 0 noktasını kenarlara bağlayan parçalara ise yarıçap adı verilir.
Düzenli bir dörtgen bir karedir. Düzenli üçgen eşkenar denir. Bu tür şekiller için şu kural vardır: Dışbükey bir çokgenin her açısı 180° * (n-2)/ n'ye eşittir,
burada n, bu dışbükey geometrik şeklin köşe sayısıdır.
Herhangi bir alan düzenli çokgen formülle belirlenir:
burada p, belirli bir çokgenin tüm kenarlarının toplamının yarısına eşittir ve h, kısa çizginin uzunluğuna eşittir.
Dışbükey çokgenlerin özellikleri
Dışbükey çokgenler belirli özellikler. Dolayısıyla, böyle bir geometrik şeklin herhangi 2 noktasını birleştiren bir segmentin mutlaka içinde bulunması gerekir. Kanıt:
P'nin belirli bir dışbükey çokgen olduğunu varsayalım. 2 al keyfi noktalar, örneğin R. Po'ya ait olan A, B mevcut tanım dışbükey bir çokgenin bu noktaları, herhangi bir P kenarını içeren çizginin bir tarafında bulunur. Sonuç olarak, AB de bu özelliğe sahiptir ve P'de bulunur. Dışbükey bir çokgen her zaman kesinlikle tüm köşegenlerle birkaç üçgene bölünebilir köşelerinden birinden çizilir.
Dışbükey geometrik şekillerin açıları
Dışbükey bir çokgenin açıları, kenarlarının oluşturduğu açılardır. İç açılar verilen bir geometrik şeklin iç bölgesinde bulunur. Bir köşede buluşan kenarlarının oluşturduğu açıya dışbükey çokgenin açısı denir. Belirli bir geometrik şeklin iç açılarına sahip olanlara dış denir. İçinde bulunan dışbükey bir çokgenin her açısı şuna eşittir:
burada x dış açının boyutudur. Bu basit formül bu türdeki herhangi bir geometrik şekil için geçerlidir.
İÇİNDE genel durum, dış açılar için aşağıdaki kural: Dışbükey bir çokgenin her açısı, 180° ile iç açısı arasındaki farka eşittir. -180° ile 180° arasında değişen değerlere sahip olabilir. Bu nedenle iç açı 120° olduğunda dış açı 60° olur.
Dışbükey çokgenlerin açılarının toplamı
Dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:
burada n, n-gon'un köşe sayısıdır.
Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı oldukça basit bir şekilde hesaplanır. Böyle herhangi bir geometrik şekli düşünün. Dışbükey bir çokgenin içindeki açıların toplamını belirlemek için köşelerinden birini diğer köşelere bağlamanız gerekir. Bu işlem sonucunda (n-2) üçgen elde edilir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının her zaman 180°'ye eşit olduğu bilinmektedir. Herhangi bir çokgendeki sayıları (n-2) olduğundan, böyle bir şeklin iç açılarının toplamı 180° x (n-2)'ye eşittir.
Belirli bir dışbükey geometrik şekil için bir dışbükey çokgenin açılarının toplamı, yani herhangi iki iç ve bitişik dış açı, her zaman 180°'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak tüm açılarının toplamını belirleyebiliriz:
İç açıların toplamı 180°* (n-2)'dir. Buna dayanarak, belirli bir şeklin tüm dış açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360° olacaktır (kenar sayısına bakılmaksızın).
Dışbükey bir çokgenin dış açısı genellikle 180° ile iç açının değeri arasındaki farkla temsil edilir.
Dışbükey çokgenin diğer özellikleri
Bu geometrik şekillerin temel özelliklerine ek olarak, onları manipüle ederken ortaya çıkan başka özellikleri de vardır. Böylece, herhangi bir çokgen birkaç dışbükey n-gona bölünebilir. Bunu yapmak için her bir kenarını devam ettirmeniz ve bu geometrik şekli bu düz çizgiler boyunca kesmeniz gerekiyor. Herhangi bir çokgeni, her parçanın köşeleri tüm köşeleriyle çakışacak şekilde birkaç dışbükey parçaya bölmek de mümkündür. Böyle bir geometrik şekilden, tüm köşegenleri bir köşeden çizerek çok basit bir şekilde üçgenler oluşturabilirsiniz. Böylece, herhangi bir çokgen sonuçta belirli sayıda üçgene bölünebilir ve bunun çözümde çok yararlı olduğu ortaya çıkar. çeşitli görevler bu tür geometrik şekillerle ilişkilidir.
Dışbükey bir çokgenin çevresi
Çokgenin kenarları olarak adlandırılan kesikli bir çizginin bölümleri çoğunlukla şu harflerle gösterilir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar a, b, c, d, e köşelerine sahip geometrik bir şeklin kenarlarıdır. Bu dışbükey çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına çevresi denir.
Bir çokgenin çemberi
Dışbükey çokgenler yazılabilir veya çevrelenebilir. Bu geometrik şeklin her tarafına dokunan daireye, içine yazılı denir. Böyle bir çokgene sınırlı denir. Bir çokgen içine yazılan bir dairenin merkezi, belirli bir geometrik şekil içindeki tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasıdır. Böyle bir çokgenin alanı şuna eşittir:
burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve p, verilen çokgenin yarı çevresidir.
Bir çokgenin köşelerini içeren daireye çevrelenmiş daire denir. Bu durumda, bu dışbükey geometrik şekle yazılı denir. Böyle bir çokgenin etrafında tanımlanan dairenin merkezi, tüm kenarların dik açıortayları olarak adlandırılan kesişme noktasıdır.
Dışbükey geometrik şekillerin köşegenleri
Dışbükey bir çokgenin köşegenleri birbirine bağlanan parçalardır komşu zirveler. Her biri bu geometrik şeklin içinde yer alıyor. Böyle bir n-gon'un köşegen sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
N = n (n - 3)/ 2.
Dışbükey çokgen oyunlarının köşegen sayısı önemli rol temel geometride. Her bir dışbükey çokgenin bölünebileceği üçgen sayısı (K) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı her zaman köşe sayısına bağlıdır.
Dışbükey bir çokgeni bölümlendirme
Bazı durumlarda çözmek için geometrik problemler dışbükey bir çokgeni ayrık köşegenlere sahip birkaç üçgene bölmek gerekir. Bu problem belli bir formül çıkarılarak çözülebilir.
Sorunun tanımı: Dışbükey bir n-gon'un belirli bir bölümünü, köşegenleri yalnızca bu geometrik şeklin köşelerinde kesişen birkaç üçgene doğru olarak adlandıralım.
Çözüm: P1, P2, P3..., Pn'nin bu n-gon'un köşeleri olduğunu varsayalım. Xn sayısı bölümlerinin sayısıdır. Pi Pn geometrik şeklinin ortaya çıkan köşegenini dikkatlice inceleyelim. herhangi birinde doğru bölümlerР1 Pn, 1 değeri olan belirli bir Р1 Pi Pn üçgenine aittir. i = 2, her zaman P2 Pn köşegenini içeren düzenli bölümlerin bir grubu olsun. İçerisine dahil edilen bölümlerin sayısı, (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışmaktadır. Başka bir deyişle Xn-1'e eşittir. Eğer i = 3 ise, bu diğer bölüm grubu her zaman P3 P1 ve P3 Pn köşegenlerini içerecektir. Bu durumda, bu grupta yer alan normal bölümlerin sayısı, (n-2)-gon P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışacaktır. Başka bir deyişle Xn-2'ye eşit olacaktır. i = 4 olsun, o zaman üçgenler arasında doğru bölüm kesinlikle P1 P2 P3 P4 dörtgenine, (n-3)-gon P4 P5... Pn'ye komşu olacak P1 P4 Pn üçgenini içerecektir. Böyle bir dörtgenin düzenli bölüm sayısı X4'tür ve bir (n-3)-gon'un bölüm sayısı Xn-3'tür. Yukarıdakilerin hepsine dayanarak, bu grupta yer alan normal bölümlerin toplam sayısının Xn-3 X4'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. i = 4, 5, 6, 7... olan diğer gruplar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... normal bölümlerini içerecektir. i = n-2 olsun, o zaman bu gruptaki doğru bölüm sayısı, i=2 olan gruptaki bölüm sayısıyla çakışacaktır (başka bir deyişle Xn-1'e eşit). X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... olduğuna göre, bir dışbükey çokgenin tüm bölümlerinin sayısı şuna eşittir: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Belirli durumları kontrol ederken, dışbükey n-gonların köşegen sayısının, bu şeklin (n-3)'e tüm bölümlerinin çarpımına eşit olduğu varsayımına varılabilir. Bu varsayımın kanıtı: P1n = Xn * (n-3) olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir n-gon (n-2)-üçgenlere bölünebilir. Ayrıca bunlardan bir (n-3)-dörtgeni oluşturulabilir. Bununla birlikte her dörtgenin bir köşegeni olacaktır. Bu dışbükey geometrik şekilde iki köşegen çizilebildiğinden, bu, herhangi bir (n-3)-dörtgeninde ilave (n-3) köşegen çizilebileceği anlamına gelir. Buna dayanarak, herhangi bir düzenli bölmede, bu problemin koşullarını karşılayan (n-3) köşegenlerini çizmenin mümkün olduğu sonucuna varabiliriz. Çoğu zaman, çeşitli temel geometri problemlerini çözerken, dışbükey bir çokgenin alanını belirlemek gerekli hale gelir. (Xi.Yi), i = 1,2,3... n'nin kendi kesişimleri olmayan bir çokgenin tüm komşu köşelerinin koordinat dizisi olduğunu varsayalım. Bu durumda alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: S = ½ (∑ (X ben + X ben + 1) (Y ben + Y ben + 1)) burada (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Bir düzlem üzerinde dışbükey noktalar kümesi. Bir düzlem veya üç boyutlu uzaydaki noktalar kümesine ne ad verilir? dışbükey, eğer bu kümenin herhangi iki noktası tamamen bu kümenin içinde yer alan bir doğru parçasıyla bağlanabiliyorsa. Teorem 1. Sonlu sayıda dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir. Sonuçlar. Sonlu sayıda dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir. Köşe noktaları. Dışbükey bir kümenin sınır noktasına denir açısal, eğer tüm noktaları verilen kümeye ait olmayan bir doğru parçası çizmek mümkünse. Farklı şekillerden oluşan kümeler sonlu veya sonsuz sayıda köşe noktasına sahip olabilir. Dışbükey çokgen. Çokgen isminde dışbükey, eğer komşu köşelerinden ikisinden geçen her çizginin bir tarafında yer alıyorsa. Teorem: Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180˚ *(n-2)'dir. 6) İki değişkenli m doğrusal eşitsizlik sistemlerini çözme İki değişkenli doğrusal eşitsizlikler sistemi verildiğinde Eşitsizliklerin bir kısmının veya tamamının işareti ≥ olabilir. X1OX2 koordinat sistemindeki ilk eşitsizliği ele alalım. Düz bir çizgi oluşturalım bu sınır çizgisidir. Bu düz çizgi, düzlemi 1 ve 2 numaralı iki yarım düzleme ayırır (Şekil 19.4). Yarım düzlem 1 orijini içerir, yarım düzlem 2 orijini içermez. Belirli bir yarım düzlemin sınır çizgisinin hangi tarafında bulunduğunu belirlemek için, düzlemde rastgele bir nokta (tercihen başlangıç noktası) almanız ve bu noktanın koordinatlarını eşitsizliğin yerine koymanız gerekir. Eşitsizlik doğruysa, yarım düzlem bu noktaya doğru bakar; doğru değilse o zaman noktanın tersi yöndedir. Şekillerde yarım düzlemin yönü okla gösterilmiştir. Tanım 15. Sistemin her bir eşitsizliğinin çözümü, sınır çizgisini içeren ve onun bir tarafında yer alan bir yarım düzlemdir. Tanım 16. Her biri sistemin karşılık gelen eşitsizliği tarafından belirlenen yarım düzlemlerin kesişimine sistemin çözüm alanı (SO) denir. Tanım 17. Negatif olmama koşullarını (xj ≥ 0, j =) karşılayan bir sistemin çözüm alanına, negatif olmayan veya kabul edilebilir çözümlerin alanı (ADS) adı verilir. Eşitsizlik sistemi tutarlıysa, OR ve ODR bir çokyüzlü, sınırsız bir çokyüzlü bölge veya tek bir nokta olabilir. Eşitsizlik sistemi tutarsızsa OR ve ODR boş bir kümedir. Örnek 1. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun ve ODE'nin köşe noktalarının koordinatlarını belirleyin. Çözüm. İlk eşitsizliğin OR'sini bulalım: x1 + 3x2 ≥ 3. x1 + 3x2 – 3 = 0 sınır çizgisini oluşturalım (Şekil 19.5). (0,0) noktasının koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyalım: 1∙0 + 3∙0 > 3; (0,0) noktasının koordinatları bunu sağlamadığından, (19.1) eşitsizliğinin çözümü (0,0) noktasını içermeyen bir yarım düzlemdir. Sistemin geri kalan eşitsizliklerine de benzer şekilde çözümler bulalım. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sinin dışbükey bir ABCD çokyüzlü olduğunu elde ederiz. Çokyüzlünün köşe noktalarını bulalım. A noktasını çizgilerin kesişme noktası olarak tanımlarız Sistemi çözerek A(3/7, 6/7) elde ederiz. Doğruların kesişme noktası olarak B noktasını buluyoruz Sistemden B(5/3, 10/3) elde ediyoruz. Benzer şekilde C ve D noktalarının koordinatlarını da buluyoruz: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10). Örnek 2. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun Çözüm. Düz doğrular çizelim ve (19.5)-(19.7) eşitsizliklerinin çözümlerini belirleyelim. OR ve ODR, sırasıyla ACFM ve ABDEKM sınırsız çokyüzlü bölgelerdir (Şekil 19.6). Örnek 3. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun Çözüm. (19.8)-(19.10) eşitsizliklerinin çözümlerini bulalım (Şekil 19.7). OR, sınırsız çokyüzlü ABC bölgesini temsil eder; ODR - B noktası. Örnek 4. Eşitsizlik sisteminin OP ve ODP'sini bulun Çözüm. Düz çizgiler çizerek sistemdeki eşitsizliklere çözüm bulacağız. OR ve ODR uyumsuzdur (Şekil 19.8). EGZERSİZLER Eşitsizlik sistemlerinin OR ve ODE'sini bulun Teorem. Eğer xn ® a ise . Kanıt. xn®a'dan şu sonuç çıkıyor. Aynı zamanda: Teorem. Eğer xn ® a ise (xn) dizisi sınırlıdır. Bunun tersinin doğru olmadığı unutulmamalıdır; Bir dizinin sınırlı olması onun yakınsaması anlamına gelmez. Örneğin, dizi Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi. Fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi, fonksiyonların incelenmesi, farklılaşma, entegrasyon, diferansiyel denklemlerin çözülmesi, limitlerin hesaplanması, bir fonksiyonun yaklaşık değerlerinin hesaplanması gibi çeşitli problemlerin çözümü için büyük önem taşımaktadır. Çokgen kavramı Tanım 1 Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların uçları - çokgenin köşeleri. Tanım 2 $n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir. Tanım 3 Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1). Şekil 1. Dışbükey çokgen Tanım 4 Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2). Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım. Teorem 1 Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir \[(n-2)\cdot (180)^0\] Kanıt. Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3). Şekil 3. Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz. \[(n-2)\cdot (180)^0\] Teorem kanıtlandı. $2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır. Tanım 5 Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4). Şekil 4. Dörtgen Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5). Şekil 5. Dışbükey dörtgenler Teorem 2 Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır Kanıt. $1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz: \[(n-2)\cdot (180)^0\] Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir: \[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\] Teorem kanıtlandı.İçeride bir köşegenle kesişen normal bölümlerin sayısı
Dışbükey çokgenlerin alanı
, yani , yani . Teorem kanıtlandı.
yine de sınırı yokÇokgen türleri
Bir çokgenin açılarının toplamı
Dörtgen kavramı
