Bir şekil 5 eşit parçaya nasıl kesilir? İki çokgenin denkliğiyle ilgili genel soru basit olmaktan uzaktır.

Açılış konuşmasıöğretmenler:

Küçük tarihsel arka plan: Pek çok bilim adamı, eski çağlardan beri sorunları çözmeye ilgi duymuştur. Birçok kişinin kararları basit görevler kesmeye yönelik çalışmalar eski Yunanlılar ve Çinliler tarafından bulunmuştur ancak bu konudaki ilk sistematik eser Ebu'l-Vef'in kalemine aittir. Geometriciler, şekilleri kesme problemlerini çözmeye ciddi şekilde giriştiler. en küçük sayı 20. yüzyılın başlarında başka bir figürün parçaları ve ardından inşası. Bu bölümün kurucularından biri ünlü bulmaca kurucusu Henry E. Dudeney'di.

Günümüzde bulmaca severler öncelikle kesme problemlerini çözmekle ilgileniyorlar çünkü evrensel yöntem bu tür sorunların çözümü yoktur ve bunları çözmeyi üstlenen herkes, yaratıcılıklarını, sezgilerini ve çözme yeteneklerini tam olarak ortaya koyabilir. yaratıcı düşünme. (Sınıfta yalnızca birini göstereceğiz.) olası örnekler kesme. Öğrencilerin başka bir doğru kombinasyona ulaşabilecekleri varsayılabilir - bundan korkmanıza gerek yok).

Bu dersin şu şekilde yapılması gerekiyor: pratik ders. Çember katılımcılarını 2-3 kişilik gruplara ayırın. Her gruba öğretmen tarafından önceden hazırlanmış şekiller verin. Öğrencilerin bir cetveli (bölmeli), bir kalemi ve makası vardır. Makas kullanarak sadece düz kesim yapılmasına izin verilir. Bir figürü parçalara ayırdıktan sonra aynı parçalardan başka bir figür yapmanız gerekir.

Kesme görevleri:

1). Şekilde gösterilen şekli 3 eşit şekilli parçaya kesmeyi deneyin:

İpucu: Küçük şekiller T harfine çok benziyor.

2). Şimdi bu şekli 4 eşit şekilli parçaya bölün:

İpucu: Küçük şekillerin 3 hücreden oluşacağını tahmin etmek kolaydır ancak üç hücreli şekiller çok fazla değildir. Yalnızca iki tür vardır: köşe ve dikdörtgen.

3). Şekli iki eşit parçaya bölün ve elde edilen parçaları bir satranç tahtası oluşturmak için kullanın.

İpucu: Sanki bir satranç tahtası alıyormuş gibi göreve ikinci bölümden başlamanızı önerin. Satranç tahtasının hangi şekle sahip olduğunu (kare) hatırlayın. Mevcut hücre sayısını uzunluk ve genişlik olarak sayın. (8 hücre olması gerektiğini unutmayın).

4). Bıçağın üç hareketi ile peyniri sekiz eşit parçaya ayırmayı deneyin.

İpucu: Peyniri uzunlamasına kesmeyi deneyin.

Şunun için görevler: bağımsız karar:

1). Bir kare kağıt kesin ve aşağıdakileri yapın:

· iki eşit küçük kare oluşturmak için kullanılabilecek 4 parçaya bölün.

· beş parçaya bölün - dört ikizkenar üçgen ve bir kare - ve üç kare elde edecek şekilde katlayın.

Makas kullanarak bir kareli kağıt yaprağı kullanarak birçok farklı ve ilginç sorunu çözebilirsiniz. Bu görevler yalnızca ilginç veya eğlenceli değildir. Çoğunlukla pratik bir çözüm ve bazen çok karmaşık geometrik soruların kanıtını içerirler.

Kesme ve katlamanın ana kuralıyla başlayalım: İki çokgen, eğer bunlardan biri başka çokgenlere bölünebilirse (kesilebilirse), ikinci çokgen oluşturulabilirse buna eşbileşik denir.

Eşit oranlı çokgenler elbette aynı alana (eşit boyutlara) sahiptir ve bu nedenle eş bileşim özelliği bazen alanları hesaplamak için formüller elde etmemize veya şekillerin alanlarını karşılaştırmamıza olanak tanır (dedikleri gibi, bölümleme veya ayrıştırma yöntemi). Bir örnek, bir paralelkenarın ve bir dikdörtgenin alanlarının karşılaştırılmasıdır (hesaplanması).

İki çokgenin denkliğiyle ilgili genel soru basit olmaktan uzaktır. Herhangi bir çokgenin parçalara ayrılmasıyla aynı alana sahip başka bir çokgenin oluşturulabileceğini söyleyen şaşırtıcı bir teorem vardır.

Bu teoremde hakkında konuşuyoruz sözde basit çokgenler hakkında. Basit çokgen, sınırları bir taneden oluşan çokgendir. kapalı hat kendi aralarında kesişmeler yoktur ve bu kırık çizginin her köşesinde bağlantılarından tam olarak ikisi birleşir. Önemli özellik Basit çokgen, en az bir iç köşegeninin bulunmasıdır.

Dikdörtgenin kareye dönüşebilmesi için (Şekil 3) onu üç parçaya bölmemiz gerektiğini unutmayın. Ancak bu bölüm tek bölüm değil. Örneğin bir dikdörtgenin dört parçaya bölünmesine örnek verebilirsiniz (Şekil 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width = "356" height = "391 src = ">

Bir figürden başka bir figür oluşturmak için en az sayıda kesmenin yeterli olduğu sorusu bugüne kadar cevapsız kaldı.

Görev 1.

Bir kadının 27 x 36 inç boyutlarında dikdörtgen bir halısı vardı; karşılıklı iki köşesi yıpranmıştı (Şekil 5) ve kesilmesi gerekiyordu, ancak o dikdörtgen bir halı istiyordu. Bu işi ustaya verdi, o da yaptı. Bunu nasıl yaptı?

Sorunun çözümü Şekil 6'da görülebilir.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" genişlik = "286" yükseklik = "240 src = ">

A dişli kısmı B dişli kısmından çıkarılıp B parçasının dişleri arasına bir diş sağa hareket ettirilerek geri itilirse istenilen dikdörtgen elde edilecektir.

Görev 2.

Beş özdeş kareyi keserek bir kare nasıl yapılır?

Şekil 7'de gösterildiği gibi, bir üçgen ve bir yamuk şeklinde dört karenin kesilmesi gerekir. Beşinci karenin kenarlarına dört yamuk takın ve son olarak üçgenleri bacaklarıyla yamuğun tabanlarına takın.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" genişlik = "382" yükseklik = "271 src = ">

Görev 3.

Kareyi bu şekilde yedi parçaya bölün, böylece bunları topladığınızda üç eşit kare elde edersiniz. (Şekil 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" genişlik = "188" yükseklik = "189 src = ">

Görev 4.

Kareyi sekiz parçaya bölün, böylece bunları topladığınızda biri diğerinin yarısı kadar olan iki kare elde edersiniz.

Şekil 10'da karenin nasıl kesileceğini görebilirsiniz. Çözüm, önceki sorunun çözümüne benzer. Şekil 11, gerekli iki kareyi elde etmek için parçaların nasıl ekleneceğini göstermektedir.

Eğitim turu

“Genç” yaş grubundaki ekiplerin bağımsız olarak çözmesi gereken görevler

Sorun 1

Bir salyangoz 10 m yüksekliğindeki bir direğe tırmanıyor. Gündüz 5 m yükseliyor, gece ise 4 m alçalıyor. Salyangozun direğin dibinden tepesine ulaşması ne kadar sürer?

Sorun 2

Bir defter kağıdı parçasına bir kişinin sığabileceği bir delik açmak mümkün müdür?

Sorun 3

Tavşanlar bir kütük kesiyor. 10 kesinti yaptılar. Kaç günlük aldın?

Sorun 4

Simit sektörlere bölünür. 10 kesim yaptık. Kaç adet aldın?

Sorun 5

Büyük yuvarlak bir pastanın üzerine, her bir kesim uçtan uca gidecek ve pastanın ortasından geçecek şekilde 10 kesim yapıldı. Kaç adet aldın?

Sorun 6

İki kişinin iki kare keki vardı. Herkes pastasına uçtan uca 2 düz kesim yaptı. Aynı zamanda biri üç parça, diğeri dört parça aldı. Bu nasıl olabilir?

Sorun 7

Tavşanlar kütüğü yeniden kesiyorlar ama artık kütüğün her iki ucu da emniyete alınmış durumda. Ortadaki on kütük düştü ama dıştaki iki kütük sabit kaldı. Tavşanlar kaç kesim yaptı?

Sorun 8

Üç düz kesim kullanarak bir krepi 4,5, 6, 7 parçaya nasıl bölerim?

Sorun 9

Dikdörtgen bir pastanın üzerinde yuvarlak bir çikolata barı var. Çikolatanın da tam olarak ikiye bölünmesi için bir pastayı iki eşit parçaya nasıl kesebilirim?

Sorun 10

Tek bir düz kesimle 4 parçaya bölünebilen bir pasta pişirmek mümkün mü?

Sorun 11

Ne için maksimum sayı parçalar, yuvarlak bir gözleme üç düz kesim kullanılarak kesilebilir mi?

Sorun 12

Bir evin dördüncü katına çıkan merdiven, aynı evin ikinci katına çıkan merdivenden kaç kat daha uzundur?

Sorun 13

Giuseppe'nin 22 numara kontrplak levhası var × 15. Giuseppe ondan mümkün olduğu kadar çok sayıda 3 boyutunda dikdörtgen parça kesmek istiyor. × 5. Bu nasıl yapılır?

Sorun 14

İÇİNDE Sihirli Ülke Doğanın büyülü kanunlarından biri şunu söylüyor: "Uçan bir halı ancak dikdörtgen bir şekle sahip olduğunda uçar."

Ivan Tsarevich'in 9 numara sihirli bir halısı vardı × 12. Bir gün Yılan Gorynych sürünerek geldi ve bu halıdan 1 numara küçük bir halıyı kesti. × 8. Ivan Tsarevich çok üzgündü ve bir parça daha kesmek istedi 1 × 4 dikdörtgen yapmak için 8 × 12, ancak Bilge Vasilisa farklı yapmayı önerdi. Halıyı üç parçaya böldü ve bu parçalardan sihirli iplikler kullanarak 10 metrelik kare bir uçan halı dikti. × 10.

Bilge Vasilisa'nın hasarlı halıyı nasıl yeniden yaptığını tahmin edebilir misiniz?

Sorun 15

Gulliver Lilliput'a vardığında oradaki her şeyin memleketindekinden tam olarak 12 kat daha kısa olduğunu keşfetti. Kaç tane Lilliputian kibrit kutusunun sığabileceğini söyleyebilir misiniz? kibrit kutusu Gulliver mi?

Sorun 16

Direk üzerinde korsan gemisi Aynı genişlikte alternatif siyah ve beyaz dikey şeritlerden oluşan iki renkli dikdörtgen bir bayrak dalgalanıyor. Toplam sayı mahkumların sayısına eşit şeritler şu anda gemide. Başlangıçta gemide 12 mahkum vardı ve bayrakta 12 şerit vardı; iki mahkum daha sonra kaçtı. Bayrağın alanı ve şeritlerin genişliği değişmeyecek, ancak şerit sayısı 10 olacak şekilde bir bayrak iki parçaya kesilip sonra nasıl birlikte dikilir?

Sorun 17

Çemberin içinde bir nokta işaretlendi. Bu daireyi bir araya getirebilmek için üç parçaya bölmek mümkün müdür? yeni çevre, merkezde kimin işaretli noktası olacaktır?

Sorun 18

Bir kareyi, her bir parçanın diğer üç parçaya değeceği (yani ortak sınır alanlarına sahip olacağı) şekilde dört parçaya bölmek mümkün müdür?

DIV_ADBLOCK245">

Sorun 24

9 cm uzunluğundaki cetvelde bölme yoktur. Üzerine üç ara bölme uygulayın, böylece 1 ila 9 cm arasındaki mesafeleri 1 cm hassasiyetle ölçebilirsiniz.

Sorun 25

Üçgenin her köşesinin yakınına bir miktar sayı yazın ve o kenarın uçlarındaki sayıların toplamını üçgenin her iki yanına yazın. Şimdi her sayıyı, sayının yakınında olacak şekilde en üste ekleyin karşı taraf. Sizce miktarlar neden aynı çıktı?

Sorun 26

Kenarları 18, 17, 35 olan bir üçgenin alanı nedir?

Sorun 27

Kareyi beş üçgene bölün, böylece bu üçgenlerden birinin alanı geri kalanların alanlarının toplamına eşit olsun.

Sorun 28

Kare şeklinde bir kağıt altı parçaya bölündü. dışbükey çokgenler; beş parça kayboldu ve geriye tek parça düzgün sekizgen şeklinde kaldı (resme bakın). Yalnızca bu sekizgeni kullanarak orijinal kareyi yeniden oluşturmak mümkün müdür?

Sorun 29

Bir kareyi kolayca ikiye bölebilirsiniz eşit üçgen veya iki eşit dörtgen. Bir kareyi iki eşit beşgen veya iki eşit altıgen halinde nasıl keserim?

Sorun 30

Ivan Tsarevich, Koshchei tarafından kaçırılan Güzel Vasilisa'yı aramaya gitti. Goblin onunla tanışır.

"Biliyorum" diyor, "Oraya, Koshcheevo Krallığı'na giderdim." Dört gün dört gece yürüdüm. İlk 24 saatte kuzeye giden düz yolun üçte birini yürüdüm. Sonra batıya döndü, bir gün boyunca ormanın içinden yürüdü ve yarısına kadar yürüdü. Üçüncü gün ormanın içinden güneye doğru yürüdüm ve doğuya giden düz bir yola çıktım. Günde 100 mil boyunca yürüdüm ve Koshcheevo krallığına ulaştım. Sen de benim kadar hızlı bir yürüyüşçüsün. Git Ivan Tsarevich, bak, beşinci gün Koshchei'yi ziyaret edeceksin.

Hayır," diye cevapladı Ivan Tsarevich, "eğer her şey söylediğin gibiyse, o zaman yarın Güzel Vasilisa'mı göreceğim."

Haklı mı? Leshy kaç kilometre yürüdü ve Tsarevich Ivan yürümeyi ne kadar düşünüyor?

Sorun 31

Küpün yüzleri için, üç farklı konumda resimde gösterildiği gibi görünecek bir renk şeması oluşturun. (Görünmez kenarların nasıl renklendirileceğini veya ağ çizileceğini belirtin.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align = "left" width = "205" height = "205 src = "> Sorun 32

Nümismatist Fedya'nın çapı 10 cm'yi geçmeyen tüm madeni paraları 30 cm * 70 cm ölçülerinde (tek kat) düz bir kutuda saklıyor. Kendisine 25 cm çapında bir madeni para verildi. Tüm madeni paraların 55 cm * 55 cm ölçülerinde düz bir kutuya yerleştirilebileceğini kanıtlayın.

Sorun 33

5x5 kareden merkezi bir kare kesildi. Ortaya çıkan şekli, içine 2x2x2'lik bir küp sarabileceğiniz iki parçaya kesin.

Sorun 34

Kesmek verilen kare Hücrelerin yanları dört parçaya bölünerek tüm parçalar aynı büyüklükte ve aynı şekil ve böylece her parça bir daire ve bir yıldız içerecektir.

Sorun 35

Flower City'deki otopark, her birine bir araba park edebileceğiniz 7x7 hücreden oluşan bir karedir. Otopark çitle çevrilidir, köşe kafesinin yanlarından biri kaldırılmıştır (bu kapıdır). Araba kafes genişliğinde bir yol boyunca ilerliyor. Dunno'dan mümkün olduğu kadar çok paylaşım yapması istendi daha fazla araba Otoparkta, başkaları ayaktayken herkesin çıkabileceği şekilde yerleştirilmiştir. Dunno, Şekil 2'de gösterildiği gibi 24 araba düzenledi. Daha fazlasını barındıracak şekilde arabaları farklı şekilde düzenlemeyi deneyin.

Sorun 36

Petya ve Vasya komşu evlerde yaşıyor (resimdeki plana bakın). Vasya dördüncü girişte yaşıyor. Petya'nın Vasya'ya en kısa yoldan ulaşmak için (hücrelerin kenarlarından gitmesi gerekmiyor) evinin hangi tarafından koştuğunu umursamadığı biliniyor. Petya'nın hangi girişte yaşadığını belirleyin.

Sorun 37

Sıradan bir tuğlanın köşegenini pratikte kolayca uygulanabilen (Pisagor teoremi olmadan) ölçmenin bir yolunu önerin.

Sorun 38

Beş özdeş kareden oluşan bir haçı, alan ve çevre açısından eşit üç çokgen halinde kesin.

Sorun 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

Sorun 46

a) Tetrahedron b) küp, kalın çizgilerle vurgulanan kenarlar boyunca kesildi (resimlere bakın) ve açıldı. Ortaya çıkan gelişmeleri çizin.

Sorun 47

Şekillerde hangi organların gelişimi gösteriliyor? Çizimleri çizimlere göre çizin, geometrik bir gövde oluşturacak şekilde birbirine yapıştırın.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" genişlik = "182" yükseklik = "146 src = ">.gif" genişlik = "212" yükseklik = "139">8 )

29 Nisan 2013, 16:34

İki eşit parçaya kesme, birinci kısım

Matematik

Kesme problemleri, dedikleri gibi, ortalıkta mamutların bulunmadığı bir matematik alanıdır. Birçok bireysel problemler, ama aslında hayır genel teori. Tanınmış Bolyai-Gerwin teoremine ek olarak diğerleri temel sonuçlar bu bölgede neredeyse hiç yok. Belirsizlik - ebedi yoldaş kesme görevleri. Mesela kesebiliriz düzenli beşgen bir kareyi katlayabileceğiniz altı parçaya bölün; ancak beş parçanın bunun için yeterli olmayacağını kanıtlayamayız.

Kurnaz buluşsal yöntemler, hayal gücü ve yarım litrenin yardımıyla bazen bulmayı başarırız. özel çözüm, ancak kural olarak, bu çözümün minimalliğini veya var olmadığını kanıtlayacak uygun araçlara sahip değiliz (ikincisi elbette bir çözüm bulamadığımız durum için geçerlidir). Bu üzücü ve adil değil. Ve bir gün boş bir defter aldım ve adaleti bir ölçekte yeniden tesis etmeye karar verdim. özel görev: kesme düz şekil iki eşit (uyumlu) parçaya bölünür. Bu makale serisinin bir parçası olarak (bu arada, üç tane olacak), siz ve ben, yoldaşlar, aşağıda gösterilen bu komik çokgene bakacağız ve onu iki eşit parçaya bölmenin mümkün olup olmadığını tarafsız bir şekilde anlamaya çalışacağız. rakamlar olsun ya da olmasın.

giriiş

Öncelikle yenileyelim okul kursu geometri ve ne olduğunu hatırla eşit rakamlar. Yandex yararlı bir şekilde şunları öneriyor:

Düzlemdeki iki figür, bir şeklin bire bir diğerine dönüştüğü bir hareket varsa buna eşit denir.

Şimdi Wikipedia'ya hareketler hakkında soru soralım. Bize öncelikle hareketin, noktalar arasındaki mesafeleri koruyan düzlemin bir dönüşümü olduğunu anlatacaktır. İkincisi, düzlemdeki hareketlerin bir sınıflandırması bile var. Hepsi birine ait sonraki üç türleri:

Kayma simetrisi (burada kolaylık ve fayda sağlamak adına, paralel ötelemenin sıfır vektörüne gerçekleştirildiği dejenere bir durum olarak ayna simetrisini dahil ediyorum)

Biraz notasyonu tanıtalım. Kesilen şekli A olarak adlandıracağız ve onu kesebileceğimizi varsaydığımız iki varsayımsal eşit şekle sırasıyla B ve C adını vereceğiz. Düzlemin A şeklinin işgal etmediği kısmına D bölgesi adını vereceğiz. Resimdeki belirli bir çokgenin kesilmiş şekil olarak kabul edildiği durumlarda buna A 0 adını vereceğiz.

Yani A şekli B ve C şeklinde iki eşit parçaya kesilebiliyorsa B'yi C'ye dönüştüren bir hareket vardır. paralel aktarım döndürme veya kaydırma simetrisi ile (bundan sonra bunu şart koşmuyorum) ayna simetrisi kayma olarak da kabul edilir). Kararımız bu basit ve hatta açıkça söyleyebilirim ki temel üzerine inşa edilecek. Bu bölümde en basit duruma, yani paralel transfere bakacağız. Dönme ve kayma simetrisi sırasıyla ikinci ve üçüncü kısımlara girecektir.

Durum 1: paralel aktarım

Paralel aktarım, tek bir parametreyle (kaymanın gerçekleştiği vektör) belirlenir. Birkaç terim daha tanıtalım. Kaydırma vektörüne paralel olan ve A şeklinin en az bir noktasını içeren düz bir çizgiye A şekli adı verilecektir. sekant. Kesen çizgi ile A şeklinin kesişimine çağrılacaktır. enine kesit. A şeklinin (kesit hariç) tamamen bir yarım düzlemde yer aldığı bir sekant olarak adlandırılacaktır. sınır.

Lemma 1. Bir sınır kesiti birden fazla nokta içermelidir.

Kanıt: açık. Peki, ya da daha ayrıntılı olarak: Hadi bunu çelişkiyle kanıtlayalım. Eğer bu nokta şekil B'ye aitse, o zaman görüntü(yani paralel öteleme sırasında gideceği nokta) şekil C'ye aittir => görüntü şekil A'ya aittir => görüntü kesite aittir. Çelişki. Eğer bu nokta şekil C'ye aitse, o zaman prototip(paralel çeviri ile içine girecek nokta) şekil B'ye aittir ve sonra benzer şekilde. Bu bölümde en az iki nokta olması gerektiği ortaya çıktı.

Bu basit lemmanın rehberliğinde, arzu edilen paralel aktarımın ancak şu şekilde gerçekleşebileceğini anlamak kolaydır: dikey eksen(resmin mevcut yönünde) Başka bir yönde olsaydı sınır kesitlerinden en az biri tek noktadan oluşacaktı. Bu, kaydırma vektörünü zihinsel olarak döndürerek ve sınırlara ne olduğunu görerek anlaşılabilir. Dikey paralel aktarım durumunu ortadan kaldırmak için daha karmaşık bir araca ihtiyacımız var.

Lema 2. C şeklinin sınırında yer alan bir noktanın ters görüntüsü ya B ve C şekillerinin sınırında ya da B şekli ile D bölgesinin sınırındadır.

Kanıt: açık değil ama şimdi düzelteceğiz. Bir şeklin sınır noktası öyle bir noktadır ki, ona ne kadar yakın olursa olsun, hem şekle ait noktalar, hem de ona ait olmayan noktalar bulunduğunu hatırlatayım. Buna göre, C şeklinin sınır noktasının (O diyelim) yakınında, hem C şeklinin noktaları hem de B şekline ya da D bölgesine ait diğer noktalar olacaktır. C şeklinin noktalarının ters görüntüleri sadece şeklin noktaları olabilir. B. Sonuç olarak, O" noktasının ters görüntüsüne keyfi olarak yakın (buna O noktası demek mantıklı olacaktır), B şeklinin noktaları vardır. B şeklinin noktalarının ters görüntüleri, aşağıdakileri sağlayan herhangi bir nokta olabilir: B'ye ait değildir (yani ya C şeklinin noktaları ya da D bölgesinin noktaları). Benzer şekilde D bölgesi noktaları için de. Sonuç olarak, O noktasına ne kadar yakın olursa olsun, ya C şeklinin noktaları (ve o zaman O noktası B ve C'nin sınırında olacaktır) ya da D bölgesinin noktaları (ve sonra ters görüntü) vardır. B ve D sınırında olacaktır). Eğer tüm bu mektupları geçebilirseniz, lemmanın kanıtlandığını kabul edeceksiniz.

Teorem 1.Şekil A'nın kesiti bir parça ise uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğunun katıdır.

Kanıt: Bu parçanın “uzak” ucunu (yani prototipi de parçaya ait olan ucu) düşünün. Bu uç açıkça şekil C'ye aittir ve onun sınır noktasıdır. Sonuç olarak, ters görüntüsü (bu arada, yine parçanın üzerinde yer alıyor ve görüntüden kaydırma vektörünün uzunluğu kadar ayrılıyor) ya B ve C sınırında ya da B ve D sınırında olacaktır. B ve C sınırındaysa onun da ters görüntüsünü alırız. Bir sonraki ters görüntü C sınırında olmayı bırakıp D sınırında bitene kadar bu işlemi tekrarlayacağız - ve bu tam olarak kesitin diğer ucunda gerçekleşecek. Sonuç olarak, bölümü her birinin uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğuna eşit olan bir dizi küçük parçaya bölen bir ön görüntü zinciri elde ederiz. Bu nedenle kesitin uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğunun katıdır, vb.

Teorem 1'in sonucu. Segment olan herhangi iki bölüm orantılı olmalıdır.

Bu sonucu kullanarak dikey paralel aktarımın da ortadan kalktığını göstermek kolaydır.

Aslında, birinci bölümün uzunluğu üç hücredir ve ikinci bölümün uzunluğu üç eksi ikinin köküdür. Açıkçası, bu değerler kıyaslanamaz.

Çözüm

Eğer A şekli 0 ise ve iki eşit B ve C şekline kesilebiliyorsa, bu durumda B, paralel öteleme ile C'ye çevrilmez. Devam edecek.

Kesme problemleri, dedikleri gibi, ortalıkta mamutların bulunmadığı bir matematik alanıdır. Pek çok bireysel sorun var ama aslında genel bir teori yok. İyi bilinen Bolyai-Gerwin teoremi dışında bu alanda pratikte başka temel sonuç yoktur. Belirsizlik, işleri kesmenin ebedi yoldaşıdır. Örneğin, düzgün bir beşgeni altı parçaya bölebilir ve bundan bir kare oluşturabiliriz; ancak beş parçanın bunun için yeterli olmayacağını kanıtlayamayız.

Kurnaz buluşsal yöntemler, hayal gücü ve yarım litre yardımıyla bazen belirli bir çözüm bulmayı başarabiliriz, ancak kural olarak bu çözümün minimalliğini veya var olmadığını kanıtlayacak uygun araçlara sahip değiliz (ikincisi) , elbette, bir çözüm bulamadığımız durum için geçerlidir) . Bu üzücü ve adil değil. Ve bir gün boş bir defter aldım ve belirli bir görev ölçeğinde adaleti yeniden sağlamaya karar verdim: düz bir figürü iki eşit (uyumlu) parçaya kesmek. Bu makale serisinin bir parçası olarak (bu arada, üç tane olacak), siz ve ben, yoldaşlar, aşağıda gösterilen bu komik çokgene bakacağız ve onu iki eşit parçaya bölmenin mümkün olup olmadığını tarafsız bir şekilde anlamaya çalışacağız. rakamlar olsun ya da olmasın.

giriiş

Öncelikle okul geometri dersimizi yenileyelim ve eşit rakamların ne olduğunu hatırlayalım. Yandex yararlı bir şekilde şunları öneriyor:

Düzlemdeki iki figür, bir şeklin bire bir diğerine dönüştüğü bir hareket varsa buna eşit denir.

Kayma simetrisi (burada kolaylık ve fayda sağlamak adına, paralel ötelemenin sıfır vektörüne gerçekleştirildiği dejenere bir durum olarak ayna simetrisini dahil ediyorum)

Yani A şekli B ve C şeklinde iki eşit parçaya kesilebiliyorsa B'yi C'ye çeviren bir hareket vardır. Bu hareket paralel öteleme olabilir, dönme olabilir veya kayma simetrisi olabilir (bundan sonra şart koşmuyorum) ayna simetrisinin de kayan olduğu kabul edilir). Kararımız bu basit ve hatta açıkça söyleyebilirim ki temel üzerine inşa edilecek. Bu bölümde en basit duruma, yani paralel transfere bakacağız. Dönme ve kayma simetrisi sırasıyla ikinci ve üçüncü kısımlara girecektir.

Durum 1: paralel aktarım

Lemma 1. Bir sınır kesiti birden fazla nokta içermelidir.

Kanıt: açık. Peki, ya da daha ayrıntılı olarak: Hadi bunu çelişkiyle kanıtlayalım. Eğer bu nokta şekil B'ye aitse, o zaman görüntü(yani paralel öteleme sırasında gideceği nokta) şekil C'ye aittir => görüntü şekil A'ya aittir => görüntü kesite aittir. Çelişki. Eğer bu nokta şekil C'ye aitse, o zaman prototip(paralel çeviri ile içine girecek nokta) şekil B'ye aittir ve sonra benzer şekilde. Bu bölümde en az iki nokta olması gerektiği ortaya çıktı.

Bu basit önermenin rehberliğinde, istenen paralel ötelemenin yalnızca dikey eksen boyunca (resmin mevcut yönünde) meydana gelebileceğini anlamak zor değildir. Eğer başka bir yönde olsaydı, sınır kesitlerinden en az biri olurdu. tek noktadan oluşur. Bu, kaydırma vektörünü zihinsel olarak döndürerek ve sınırlara ne olduğunu görerek anlaşılabilir. Dikey paralel aktarım durumunu ortadan kaldırmak için daha karmaşık bir araca ihtiyacımız var.

Lema 2. C şeklinin sınırında yer alan bir noktanın ters görüntüsü ya B ve C şekillerinin sınırında ya da B şekli ile D bölgesinin sınırındadır.

Kanıt: açık değil ama şimdi düzelteceğiz. Bir şeklin sınır noktası öyle bir noktadır ki, ona ne kadar yakın olursa olsun, hem şekle ait noktalar, hem de ona ait olmayan noktalar bulunduğunu hatırlatayım. Buna göre, C şeklinin sınır noktasının (O diyelim) yakınında, hem C şeklinin noktaları hem de B şekline ya da D bölgesine ait diğer noktalar olacaktır. C şeklinin noktalarının ters görüntüleri sadece şeklin noktaları olabilir. B. Sonuç olarak, O" noktasının ters görüntüsüne keyfi olarak yakın (buna O noktası demek mantıklı olacaktır), B şeklinin noktaları vardır. B şeklinin noktalarının ters görüntüleri, aşağıdakileri sağlayan herhangi bir nokta olabilir: B'ye ait değildir (yani ya C şeklinin noktaları ya da D bölgesinin noktaları). Benzer şekilde D bölgesi noktaları için de. Sonuç olarak, O noktasına ne kadar yakın olursa olsun, ya C şeklinin noktaları (ve o zaman O noktası B ve C'nin sınırında olacaktır) ya da D bölgesinin noktaları (ve sonra ters görüntü) vardır. B ve D sınırında olacaktır). Eğer tüm bu mektupları geçebilirseniz, lemmanın kanıtlandığını kabul edeceksiniz.

Teorem 1.Şekil A'nın kesiti bir parça ise uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğunun katıdır.

Kanıt: Bu parçanın “uzak” ucunu (yani prototipi de parçaya ait olan ucu) düşünün. Bu uç açıkça şekil C'ye aittir ve onun sınır noktasıdır. Sonuç olarak, ters görüntüsü (bu arada, yine parçanın üzerinde yer alıyor ve görüntüden kaydırma vektörünün uzunluğu kadar ayrılıyor) ya B ve C sınırında ya da B ve D sınırında olacaktır. B ve C sınırındaysa onun da ters görüntüsünü alırız. Bir sonraki ters görüntü C sınırında olmayı bırakıp D sınırında bitene kadar bu işlemi tekrarlayacağız - ve bu tam olarak kesitin diğer ucunda gerçekleşecek. Sonuç olarak, bölümü her birinin uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğuna eşit olan bir dizi küçük parçaya bölen bir ön görüntü zinciri elde ederiz. Bu nedenle kesitin uzunluğu kaydırma vektörünün uzunluğunun katıdır, vb.

Teorem 1'in sonucu. Segment olan herhangi iki bölüm orantılı olmalıdır.

Bu sonucu kullanarak dikey paralel aktarımın da ortadan kalktığını göstermek kolaydır.

Aslında, birinci bölümün uzunluğu üç hücredir ve ikinci bölümün uzunluğu üç eksi ikinin köküdür. Açıkçası, bu değerler kıyaslanamaz.

Çözüm

Eğer A şekli 0 ise ve iki eşit B ve C şekline kesilebiliyorsa, bu durumda B, paralel öteleme ile C'ye çevrilmez. Devam edecek.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Deneyimler, pratik öğretim yöntemlerini kullanırken, öğrencilerde geometrik şekillere alışma sırasında gerekli olan ve temel olmayan özellikleri doğru bir şekilde tanımlamak için gerekli bir dizi zihinsel tekniğin oluşturulmasının mümkün olduğunu göstermektedir. matematiksel sezgi, mantıksal ve soyut düşünme, matematiksel konuşma kültürü oluşur, matematiksel ve tasarım yetenekleri geliştirilir, bilişsel aktivite artar, bilişsel ilgi oluşur, entelektüel ve yaratıcı potansiyel gelişir. pratik problemler kesme için geometrik şekiller Bu parçalardan yeni bir figür oluşturmak için parçalara ayırın. Öğrenciler gruplar halinde ödevler üzerinde çalışırlar. Daha sonra her grup projesini savunur.

İki rakamdan birinin belirli bir şekilde kesilmesi durumunda, iki rakamın eşdeğer olduğu söylenir. son sayı parçalardan (bu parçaların farklı şekilde düzenlenmesiyle) onlardan ikinci bir şekil oluşturmak mümkündür. Dolayısıyla bölümleme yöntemi, eşit olarak oluşturulmuş herhangi iki çokgenin boyutlarının eşit olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Tam tersi soruyu sormak doğaldır: Aynı alana sahip iki çokgenin boyutları eşit midir? Bu sorunun cevabı (neredeyse aynı anda) Macar matematikçi Farkas Bolyai (1832) tarafından verildi. Alman subayı ve matematik aşığı Gerwin (1833) tarafından: alanları eşit olan iki çokgen eşit olarak oluşur.

Bolyai-Gerwin teoremi, herhangi bir çokgenin parçalara ayrılarak parçaların kare oluşturulabileceğini belirtir.

Görev 1.

Dikdörtgeni kesin A X 2a kare haline getirilebilecek şekilde parçalara ayrılır.

ABCD dikdörtgenini MD ve MC çizgileri boyunca üç parçaya böldük (M, AB'nin ortasıdır)

Şekil 1

AMD üçgenini, M tepe noktası C köşesiyle çakışacak şekilde hareket ettiriyoruz, AM ayağı DC segmentine hareket ediyor. MVS üçgenini sola ve aşağı doğru hareket ettiriyoruz, böylece MV ayağı DC segmentinin yarısıyla örtüşüyor. (Şekil 1)

Görev 2.

Kesmek eşkenar üçgen kare şeklinde katlanabilecek şekilde parçalara ayrılır.

Bunu doğru olarak gösterelim ABC üçgeni. ABC üçgenini kare şeklinde katlayabilmeleri için çokgenlere kesmek gerekir. O halde bu çokgenlerin en az bir dik açısı olmalıdır.

K, CB'nin orta noktası, T, AB'nin orta noktası olsun, AC kenarında M ve E noktalarını ME=AT=TV=BK=SC= olacak şekilde seçin. A, AM=EC= A/2.

Şekil 2

MK parçasını ve ona dik olan EP ve TN parçalarını çizelim. Üçgeni oluşturulan çizgiler boyunca parçalara ayıralım. SC'nin KV segmentiyle aynı hizada olması için KRES dörtgenini K tepe noktasına göre saat yönünde döndürüyoruz. AT'nin TV ile aynı hizada olması için AMNT dörtgenini T köşesine göre saat yönünde döndürüyoruz. MEP üçgenini sonuç kare olacak şekilde hareket ettirelim. (Şekil 2)

Görev 3.

Kareyi parçalara ayırın, böylece iki kare katlanabilsin.

ABCD orijinal karesini gösterelim. Karenin kenarlarının orta noktalarını (M, N, K, H) işaretleyelim. Sırasıyla MT, HE, KF ve NP segmentlerini - MC, HB, KA ve ND segmentlerinin parçalarını - çizelim.

ABCD karesini çizilen çizgiler boyunca keserek PTEF karesini ve MDHT, HCKE, KBNF ve NAMP dört dörtgenini elde ederiz.

Şekil 3

PTEF – zaten bitmiş kare. Kalan dörtgenlerden ikinci kareyi oluşturacağız. A, B, C ve D köşeleri bir noktada uyumludur; AM ve BC, MD ve KS, BN ve CH, DH ve AN segmentleri uyumludur. P, T, E ve F noktaları yeni karenin köşeleri olacak. (Şekil 3)

Görev 4.

Kalın kağıttan bir eşkenar üçgen ve bir kare kesilir. Bu şekilleri tek bir kareye katlanabilecek şekilde çokgenler halinde kesin, parçalar onu tamamen doldurmalı ve kesişmemelidir.

Üçgeni parçalara ayırın ve görev 2'de gösterildiği gibi bunlardan bir kare yapın. Üçgenin kenar uzunluğu – 2a. Şimdi kareyi çokgenlere bölmelisiniz ki bu parçalardan ve üçgenden çıkan kareden yeni bir kare oluşturmalısınız. Kenarı 2 olan bir kare alın A LRSD olarak gösterelim. Karşılıklı yürüteceğiz dikey bölümler UG ve VF, böylece DU=SF=RG=LV olur. Kareyi dörtgenlere keselim.

Şekil 4

Bir üçgenin parçalarından oluşan bir kareyi ele alalım. Şekil 4'te gösterildiği gibi dörtgenleri (karenin parçalarını) yerleştirelim.

Görev 5.

Haç beş kareden oluşur: biri merkezde, diğer dördü yanlara bitişik. Bir kare oluşturabilmeniz için parçalara ayırın.

Karelerin köşelerini Şekil 5'te gösterildiği gibi birleştirelim. “Dış” üçgenleri kesip ücretsiz koltuklar ABCC karesinin içinde.

Şekil 5

Görev 6.

İki rastgele kareyi bir kareye yeniden çizin.

Şekil 6 kare parçaların nasıl kesileceğini ve taşınacağını göstermektedir.