Çözümlü monom ve polinom örnekleri. Ders "Polinomları toplama ve çıkarma"

Sunum ve Bildiri 7. sınıf "Polinomlarda toplama ve çıkarma" dersi için

Eğitim oturumunun amaç ve hedefleri:

• eğitici:
  • öğrencilere polinomların toplama ve çıkarma kurallarını tanıtmak;
  • Polinomlarda toplama ve çıkarma, azaltma becerilerini geliştirmek benzer terimler ve parantezlerin açılması.
• Gelişimsel:
  • uygulamaya yönelik becerileri geliştirmek zihinsel operasyonlar: asıl şeyi vurgulayın, sistemleştirin, analiz edin;
  • Matematiksel yazma okuryazarlığını, hafızayı ve dinleme becerilerini geliştirin.
• eğitici:
  • çalışkanlık, azim, doğruluk, doğruluk aşılamak;
  • konuya karşı olumlu tutum ve bilgiye ilgi oluşturmak.

Teçhizat: ders kitabı, tahta.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Polinomların toplanması, çıkarılması. MBOU Lisesi No. 1, Volzhsky Volgograd bölgesi. Matematik öğretmeni: Korotova I.V.

Ders taslağı. UTD Uygulaması için Teori Hazırlığı Ev ödevi Yeni materyal öğrenme Bireysel anket

Teori Monomial. Standart formdaki monomiyal. Benzer terimler. Benzer terimlerin azaltılması. Polinom. Standart formun polinomu. Bir polinomu şuna indirgemek için algoritma standart görünüm. Başına artı işareti (eksi işareti) gelen genişleyen parantezler

Tek terimlileri seçin: 2 x + y; 3xy; 27ab 2; gh + 4; 2m+5n; 1; 1 +k . Teori

Benzer terimler verin: -11ak + 8ak + 5ak; 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 Teori

Polinomu standart biçimde sunun: 6 ab – 2 b 2 – 6 ba + 5 a 2 + 0,6 b 2 - 4 a · b a + 2 a 2 b + 0,2 a 2 b 2 – 2 a 2 b 2 Teori

Parentezleri aç. – (32 – 2a 2 b – 5b + 4a) + (-7 x+ 8 y – 5xy + 7) Karşılıklı kontrol

Akran değerlendirmesi. Tek terimlileri seçin: İşaretleyin 2 3 6 Benzer terimleri verin: 2ak 5x 3 y 2 + 4x 2 y - 6 Polinomu standart biçimde gösterin -1.4 b 2 +5a 2 -1 .8 a 2 b 2 - 2a 2 b Parantezleri açın: -32+2a 2 b + 5b – 4a -7x + 8y – 5xy + 7 Final notu: Dersin özeti

Bireysel anket. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Bireysel anket. Düşük seviye 1 2 3 4 Ortalama seviye 1 2 3 4 Yüksek seviye 1 2 3 4 Sınıf çalışması Dersin özeti

1. Düşük seviye Bir polinomu standart biçimde sunun: Bireysel anket

2. Düşük seviye Bir polinomu standart biçimde sunun: Bireysel anket

3. Düşük seviye Bir polinomu standart biçimde sunun: Bireysel anket

4. Düşük seviye Bir polinomu standart biçimde sunun: Bireysel anket

1. Orta düzey Polinomu standart biçimde sunun: 16a(-a 2 b) + 18a 3 b - 12aa b + 14a 2 b Bireysel anket

2. Orta düzey Polinomu standart biçimde sunun: 5 x (-4x 4) – 2 x 2 3 x 3 + 27 x 5 - x 6 Bireysel anket

3. Orta seviye Polinomu standart formda sunun: 2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11 Bireysel anket

4. Orta düzey Polinomu standart biçimde sunun: 23x 3 - 7 xx 2 y + 6x 2 x – 2 x 2 8y + 4 Bireysel anket

1.Yüksek düzey Polinomu standart formda sunun: 3 a 2 b n+2 + 5 a · 0,2 a b n+2 – 4 a 2 b n · 0,5 b 2 + 2 a 2 b n bb Bireysel anket

2.Yüksek düzey Polinomu standart formda sunun: 3,2x 2 x n x - 3,4 x n+1 2x 2 - 4,8x n+2 0,1x + x n+3 Bireysel anket

3. Yüksek düzey Polinomu standart formda sunun: 0,3 y n+3 y 2 - 0,12y 2 y 0,1 y n+2 - 1,6 y n+2 yyy – 3 Bireysel anket

4.Yüksek düzey Polinomu standart formda sunun: 3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0.2y-12y n+1 0.1y 2 Bireysel anket

– 2 a + 5 b ve – 2 b – 5 a 5y 2 + 2y - 3 ve 7y 2 - 3y + 7 polinomlarının toplamını yazın. – 2a + 5b ve – 2b – 5a 8y 2 polinomlarının farkını yazın. + 5y + 3 ve 5y 2 - 3y + 7 .

– 2 a + 5 b ve – 2 b – 5 a 8y 2 + 5y + 3 ve 5y 2 - 3y + 7 polinomlarının farkını yazın.

Ifadeyi basitleştir. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = Kontrol edin

Ifadeyi basitleştir. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = Kontrol Et

Ifadeyi basitleştir. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b – 2 b – 5 a = – 3 b – 7 a

Ifadeyi basitleştir. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = 5y 2 + 2y - 3 + 7y 2 - 3y + 7 = 12y 2 - y + 4

İfadeyi basitleştirin (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = Kontrol edin

(8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = Kontrol Et ifadesini basitleştirin

İfadeyi basitleştirin (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b + 2 b + 5 a = 7 b + 3 a

İfadeyi basitleştirin (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = 8y 2 + 5y + 3 - 5y 2 + 3y - 7 = 3y 2 + 8y - 4 Dersin ana hatları

Polinomların toplanması ve çıkarılması.

Polinomları toplama (çıkarma) kuralı. İki polinom verilsin. Bunları eklemek için parantez içine yazın ve aralarına artı işareti koyun. Çıkarma işlemi yaparken parantezlerin arasına eksi işareti koyarız. Bulmak için cebirsel toplam Birkaç polinom için parantezleri uygun kurala göre açıp benzer terimleri getirmeniz gerekir. Polinomların eklenmesi (çıkarılması) sonucunda bir polinom elde edilir. Dersin özeti

Pratik görevler. No. 587 (a, d) No. 588 (b) Dersin Özeti

Ödev: S.26 Sayı 589 (a,c) Sayı 595 (a) Sayı 612 (b)

a - b b a - x - y 2 x - y 3 y 3 a 0

2 a a - b b b - a a - b - b b + a 0 - x - y 2 x - y - x + 2 y 3 y 0 - 3 y x – 2 y - 2 x + y x + y

Düşük seviye Orta seviye 3 a 2 b 3 + 5 a · 0,2 a b 2 – 4 a 2 b 2 · 0,5 b + 2 a 2 b 2 Yüksek seviye 5 x n +4 2y - 10x n y 4x 4 –14 x n y 2 +18x n yy Kontrol et

Düşük seviye -a b 2 Orta seviye a 2 b 3 + 3 a 2 b 2 Yüksek seviye -30x n +4 y + 4 x n y 2 Dersin ana hatları

Ön izleme:

1. Akran değerlendirmesi.

2. Sınıf çalışması

Cevap:	İşaret

1. Akran değerlendirmesi.

2. Sınıf çalışması

Cevap:	İşaret

3 . Her karenin hücrelerine, her sütun, her satır ve her köşegendeki toplamları üçgende yazılan ifadeye eşit olacak şekilde ifadeler yazın:

Ön izleme:

Polinomu standart biçimde sunun:

16а(-а 2 6) + 18а 3 6 - 12аа6 + 14а 2 6

5 x (-4x 4) – 2 x 2 3 x 3 + 27 x 5 - x 6

2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11

23x 3 - 7 xx 2 y + 6x 2 x – 2 x 2 8y + 4

3,2x 2 x n x - 3,4 x n +1 2x 2 - 4,8x n +2 0,1x + x n +3 .

0, 3 y n +3 y 2 - 0, 12 y 2 y 0,1 y n + 2 - 1,6 y n +2 yyy – 3

3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2

Ön izleme:

Akran değerlendirmesi.

Tek terimlileri seçin:

Ders: Polinomların toplanması ve çıkarılması.

Dersin Hedefleri:

Eğitici: polinomları toplama ve çıkarma kurallarını öğrenin; polinomları "bir sütuna" ekleme kuralını tanıtın; “Zıt polinom” kavramını tanıtmak.

Gelişimsel:öğrencilerin polinomları dönüştürme becerilerini geliştirmek; tezahür için koşullar yaratın bilişsel aktivite ve öğrenci etkinliği.

Eğitim: Amaçlılık, organizasyon geliştirmek, materyali incelemeye ilgi geliştirmek Farklı türde aktiviteler.

Yetkinliklerin oluşumuna katkıda bulunun: eğitici-bilişsel ve bilgi-iletişimsel.

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Teçhizat: interaktif tahta SmartBoard, multimedya projektörü.

Ders yapısı:

Organizasyon aşaması. Motivasyon.

Temel bilgilerin güncellenmesi.

Yeni materyal öğrenme.

Beden eğitimi dakikası.

Edinilen bilginin birincil konsolidasyonu.

Dersi özetlemek. Refleks.

Ev ödevi. Bilgilendirme.

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon aşaması. Motivasyon.

Bugünkü dersimizde polinomların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğreneceğiz. Polinomları "bir sütuna" ekleme algoritmasını ve "karşıt polinom" kavramını tanıyalım.

2. Temel bilgilerin güncellenmesi.

Arkadaşlar, bugünkü derste birçok yeni şey öğreneceğiz. Ancak kapsanan materyal hakkında bilgi sahibi olmadığımız için bu bizim için zor olacak, bu nedenle kısa bir sözlü anket yapacağız.

Ön teorik araştırma (Slayt 2)

Tek terimlilerin toplamına ( polinom).

İki tek terimlinin toplamı olan polinoma ( binom).

Toplam ( zıt) monomiyaller sıfıra eşittir.

Bir polinomu ( ile çarparken birim) sonuç aynı polinomdur.

Standart formdaki bir polinomun derecesine ( derecelerin en büyüğü).

Sözlü anket. (Slayt 3).Öğrenciler tek tek “kitabın” üzerine tıklayarak benzer terimleri getirir ve kendi kendilerine bir test yaparlar.

3. Yeni materyalin incelenmesi.

Öğretmen : Polinomlar sıklıkla Matematiksel modeller pratik problemler bu yüzden performans gösterebilmemiz gerekiyor Aritmetik işlemler polinomlarla kullanın ve bu tür ifadeleri maksimuma indirin basit görünüm. Polinomların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrenelim. Aslında bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz.

Örneğin polinomların toplamını ve farkını oluşturalım (Slayt 4) ve sonuçta cebirsel ifade Parantezleri açalım.

(Defterlerde çiftler halinde çalışarak parantezleri açın. Bir öğrenci dönüşümleri arka taraf tahtalar. İşin ilerleyişini kontrol ediyoruz ve tüm işlemlerin doğru şekilde gerçekleştirilip gerçekleştirilmediğini analiz ediyoruz?)

Dönüşüm sonucunda elde edilen toplam ve farkın da polinom olduğunu görüyoruz.

Şu sonuca varıyoruz: (Slayt 5). Polinomların cebirsel toplamını bulmak için parantezleri açıp benzer terimleri getirmeniz gerekir. Ayrıca braketin önünde bir işaret varsa «+» ise parantez içindeki terimlerin işaretleri değişme. Braketin önünde bir işaret varsa «-» , ardından parantez içindeki terimlerin işaretleri tersi.

Benzer şekilde herhangi bir sayıda polinomun toplamını da bulabilirsiniz. Öğrenciler görevi tamamlar (Slayt 6) ve görevin doğruluğunu kontrol edin (Slayt 7)

Son adımı tamamladıktan sonra görevler 1 Belirli bir polinomun karşıtı olan polinom kavramı tanıtıldı.

Belirli bir polinomun tersi, orijinal polinomun (-1) ile çarpılmasıdır. Öğrenciler performans sergiliyor görev 2 (Slayt 8). (Bir silgiyle silip kontrol ediyoruz).

Başka bir deyişle orijinal polinomla toplamı sıfır ise. Öğrenciler performans sergiliyor görev 3 (Slayt 9). (Boşluklara tıklayın ve kontrol edin!).

4. Beden eğitimi dakikası.

Öğretmen . Gözler için egzersizler sunar ve beyin dolaşımını iyileştirir.

Hızla göz kırpın, gözlerinizi kapatın ve sessizce oturun, yavaşça beşe kadar sayın. 4-5 kez tekrarlayın.

Çıkarmak sağ el ileri. Yavaş hareketi başınızı çevirmeden gözlerinizle takip edin işaret parmağı uzanmış kol sola ve sağa, yukarı ve aşağı. 4-5 kez tekrarlayın.

Ortalama bir hızda 3-4 yapın dairesel hareket gözler içeri Sağ Taraf, aynı miktarda Sol Taraf. Rahat göz kasları, 1-6 skorundaki mesafeye bakın. 1-2 kez tekrarlayın.

Devam edelim...

Öğretmen . Fakat polinom terimlerinin sayısı ve terimleri oldukça fazla olabiliyor ve daha sonra bu tür terimleri bulup getirmek çok zor olabiliyor. Hesaplamaları kolaylaştırmak için toplama ve çıkarma işleminde kullandığımıza benzer 'sütun yazma' fikrini kullanabiliriz. çok basamaklı sayılar. Çok basamaklı sayıları toplarken, bu gösterim aynı basamaklardaki rakamların yakınlığını elde etmeye, polinomları eklerken ise benzer terimlerin yakınlığını elde etmeye yardımcı olur.( Slayt 10).

(Karşıt tek terimlilere tıklayın, böylece bunların hariç tutulduğunu gösterin ve ayrıca elde edilen sonucun yerine tıklayın). Sonuç olarak, polinomları "bir sütuna" eklemek için aşağıdaki algoritmaya geldik. Dil: Hatırlamak).

Öğrenciler performans sergiliyor görev 4 seçeneklere göre. ( Slayt 11). Karşılıklı doğrulama gerçekleştirin.

Şimdi polinomlarda çıkarma işlemini tartışalım. çıkarma işlemini biliyoruz rasyonel sayı ekleyerek değiştirilebilir karşı sayı. Polinomlarla çalışırken de aynısını yapabiliriz.

"Bir sütundaki" polinomları çıkarmak da toplama işlemine gelir; ilk önce çıkan polinomu tersiyle değiştirmeniz yeterlidir.

Bu nedenle, "bir sütundaki" polinomları çıkarmaya yönelik algoritma, polinomları eklemek için karşılık gelen algoritmadan yalnızca bir ek adım içermesi bakımından farklılık gösterir - çıkarılan polinomun tersiyle değiştirilmesi. ( Slayt 12). ( Karşıt monomlara tıklıyoruz, böylece bunların hariç tutulduğunu gösteriyoruz ve ayrıca elde edilen sonucun yerine tıklıyoruz). Sonuç olarak, "bir sütundaki" polinomları çıkarmak için aşağıdaki algoritmaya ulaşıyoruz. Dil: Hatırlamak).

5. Edinilen bilginin birincil konsolidasyonu.

Çalışılan materyali pekiştirmek için görevlerin yerine getirilmesi.

Görev 5 (Slayt 13).

Görev 6. Bir jeneratör küpü kullanarak, dönüşümlü olarak küpe ve oka tıklayarak, polinomları bir sütuna yerleştirerek toplama işlemini gerçekleştiriyoruz. (Slayt 14).

6. Dersi özetlemek.

Refleks.

Derste hangi yeni ve ilginç şeyleri öğrendiniz?

Polinom ekleme kurallarından hangisi sizin için en kabul edilebilir ve uygundur?

Ne tür zorluklar yaşadınız?

7. Ödev. Bilgilendirme.

Öğretmen ödevin nasıl tamamlanacağına dair talimatlar verir.

Tanım 3.3. Tek terimli sayıların, değişkenlerin ve doğal üslü kuvvetlerin çarpımı olan bir ifadedir.

Örneğin, ifadelerin her biri,
,
bir monomiyaldir.

Monomiyalin sahip olduğunu söylüyorlar standart görünüm , ilk etapta yalnızca bir sayısal faktör içeriyorsa ve içindeki özdeş değişkenlerin her çarpımı bir derece ile temsil ediliyorsa. Standart biçimde yazılan bir monomiyalin sayısal faktörüne denir monom katsayısı . Monomiyalin gücü adına tüm değişkenlerinin üslerinin toplamı denir.

Tanım 3.4. Polinom monomların toplamı denir. Bir polinomun oluşturulduğu monomlara denirpolinomun üyeleri .

Benzer terimlere (bir polinomdaki tek terimlilere) denir polinomun benzer terimleri .

Tanım 3.5. Standart formun polinomu tüm terimlerin standart formda yazıldığı ve benzer terimlerin verildiği polinom denir.Standart formdaki bir polinomun derecesi içerdiği monomların kuvvetlerinin en büyüğü olarak adlandırılır.

Örneğin, dördüncü derecenin standart formunun bir polinomudur.

Tek terimli ve polinomlarla ilgili eylemler

Polinomların toplamı ve farkı standart formda bir polinom haline dönüştürülebilir. İki polinom toplanırken tüm terimleri yazılır ve benzer terimler verilir. Çıkarma işlemi sırasında, çıkarılan polinomun tüm terimlerinin işaretleri tersine çevrilir.

Örneğin:

Bir polinomun terimleri gruplara ayrılabilir ve parantez içine alınabilir. Bu, parantezlerin açılmasının tersi olan özdeş bir dönüşüm olduğundan, aşağıdaki denklem kurulur: basamaklama kuralı: parantezlerin önüne artı işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler işaretleriyle birlikte yazılır; Parantezlerin önüne eksi işareti konulursa parantez içindeki tüm terimler zıt işaretlerle yazılır.

Örneğin,

Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmak ve elde edilen çarpımları eklemek yeterlidir.

Örneğin,

Tanım 3.6. Tek değişkenli polinom derece formun ifadesi denir

Nerede
- aranan herhangi bir numara polinom katsayıları , Ve
,– negatif olmayan tamsayı.

Eğer
, o zaman katsayı isminde polinomun baş katsayısı
, tek terimli
- onun Kıdemli Üye , katsayı – Ücretsiz Üye .

Bir değişken yerine bir polinoma
gerçek sayıyı değiştir , o zaman sonuç gerçek bir sayı olacaktır
buna denir polinomun değeri
en
.

Tanım 3.7. Sayı ismindepolinomun kökü
, Eğer
.

Bir polinomu bir polinoma bölmeyi düşünün;
Ve - tamsayılar. Polinom temettüsünün derecesi ise bölme mümkündür
Olumsuz daha az derece bölen polinom
, yani
.

Bir polinomu bölme
bir polinoma
,
, böyle iki polinomun bulunması anlamına gelir
Ve
, ile

Bu durumda polinom
derece
isminde polinom bölümü ,
– kalan ,
.

Açıklama 3.2. Bölen ise
–sıfır polinom değilse bölme
Açık
,
, her zaman mümkündür ve bölüm ve kalan benzersiz bir şekilde belirlenir.

Açıklama 3.3. Durumunda
herkesin önünde , yani

bunun bir polinom olduğunu söylüyorlar
tamamen bölünmüş(veya paylaşımlar)bir polinoma
.

Polinomların bölünmesi, çok basamaklı sayıların bölünmesine benzer şekilde gerçekleştirilir: önce, bölen polinomunun baş terimi, bölen polinomunun baş terimine bölünür, daha sonra bu terimlerin bölümünden elde edilen bölüm, bölüm polinomunun baş terimi bölen polinom ile çarpılır ve elde edilen ürün, bölen polinomundan çıkarılır. Sonuç olarak, bir polinom elde edilir - bölen polinomuna benzer şekilde bölünen ilk kalan ve bölüm polinomunun ikinci terimi bulunur. Bu işleme sıfır kalan elde edilene veya kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar devam edilir.

Bir polinomu bir binoma bölerken Horner şemasını kullanabilirsiniz.

Horner şeması

Diyelim ki bir polinomu bölmek istiyoruz

binom ile
. Bölme bölümünü polinom olarak gösterelim

ve geri kalanı . Anlam , polinom katsayıları
,
ve geri kalanı Bunu aşağıdaki formda yazalım:

Bu şemada katsayıların her biri
,
,
, …,şuradan alındı önceki tarih alt satır sayıyla çarpılır ve ortaya çıkan sonuca, istenen katsayının üzerindeki üst satırda karşılık gelen sayının eklenmesi. Herhangi bir derece varsa polinomda yoksa karşılık gelen katsayı sıfıra eşit. Katsayıları verilen şemaya göre belirledikten sonra bölümü yazıyoruz

ve bölmenin sonucu ise
,

veya ,

Eğer
,

Teorem 3.1. İndirgenemez bir kesir elde etmek için (

,

)polinomun köküydü
tamsayı katsayıları ile sayının olması gerekir serbest terimin böleniydi ve numara - baş katsayının böleni .

Teorem 3.2. (Bezout'un teoremi ) Kalan bir polinomun bölünmesinden
binom ile
polinomun değerine eşit
en
, yani
.

Bir polinomu bölerken
binom ile
eşitliğimiz var

Bu özellikle şu durumlarda doğrudur:
, yani
.

Örnek 3.2. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

Örnek 3.3. Bölünür
.

Çözüm. Horner'ın şemasını uygulayalım:

Buradan,

,

Örnek 3.4. Bölünür
.

Çözüm.

Sonuç olarak elde ederiz

Örnek 3.5. Bölmek
Açık
.

Çözüm. Polinomları sütunlara bölelim:

Sonra alırız

.

Bazen bir polinomu iki veya daha fazla polinomun eşit çarpımı olarak temsil etmek yararlı olabilir. Böyle bir kimlik dönüşümüne denir bir polinomu çarpanlarına ayırma . Bu tür ayrıştırmanın ana yöntemlerini ele alalım.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz. Ortak çarpanı parantezlerden çıkararak bir polinomu çarpanlara ayırmak için şunları yapmalısınız:

1) ortak çarpanı bulun. Bunun için polinomun tüm katsayıları tamsayı ise, polinomun tüm katsayılarının en büyük modulo ortak böleni, ortak faktörün katsayısı olarak kabul edilir ve polinomun tüm terimlerinde yer alan her değişken, en büyük ile alınır. bu polinomdaki üssü;

2) bölme bölümünü bulun verilen polinom ortak bir faktörle;

3) Genel faktörün çarpımını ve ortaya çıkan bölümü yazın.

Üyelerin gruplandırılması. Gruplama yöntemini kullanarak bir polinomu çarpanlara ayırırken, terimleri iki veya daha fazla gruba bölünür, böylece her biri bir çarpıma dönüştürülebilir ve sonuçta ortaya çıkan çarpımların ortak bir çarpanı olur. Daha sonra yeni dönüştürülen terimlerin ortak çarpanlarının parantez içine alınması yöntemine geçilir.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Polinomun genişletileceği durumlarda çarpanlara ayırma, herhangi bir kısaltılmış çarpma formülünün sağ tarafı biçimindedir; çarpanlarına ayırma, farklı bir sırayla yazılmış karşılık gelen formül kullanılarak elde edilir.

İzin vermek

, o zaman aşağıdakiler doğrudur kısaltılmış çarpma formülleri:

İçin :
Eğer garip ( ):
Newton binom: Nerede – kombinasyon sayısı İle .

Yeni yardımcı elemanların tanıtılması. Bu yöntem, bir polinomun, kendisine tamamen eşit olan ancak farklı sayıda terim içeren başka bir polinomla değiştirilmesinden, iki zıt terimin getirilmesinden veya herhangi bir terimin benzer tek terimlilerin aynı eşit toplamı ile değiştirilmesinden oluşur. Değiştirme, terimleri gruplandırma yönteminin elde edilen polinoma uygulanabileceği şekilde yapılır.

Örnek 3.6..

Çözüm. Bir polinomun tüm terimleri ortak bir faktör içerir
. Buradan,.

Cevap: .

Örnek 3.7.

Çözüm. Katsayıyı içeren terimleri ayrı ayrı gruplandırıyoruz ve içeren terimler . Basamaklama Ortak etkenler gruplarda şunu elde ederiz:

.

Cevap:
.

Örnek 3.8. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Uygun kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Cevap: .

Örnek 3.9. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Gruplandırma yöntemini ve karşılık gelen kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

.

Cevap: .

Örnek 3.10. Bir polinomu çarpanlara ayırın
.

Çözüm. Değiştireceğiz Açık
, terimleri gruplandırın, kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayın:

.

Cevap:
.

Örnek 3.11. Bir polinomu çarpanlara ayırın

Çözüm.Çünkü ,
,
, O

Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) binom üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Kullanarak dağılma özelliğiçarpmalar bir polinoma, bir monom ve bir polinomun çarpımına dönüştürülebilir (basitleştirilebilir). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına tamamen eşittir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Bazı ifadelerle cebirsel dönüşümler diğerlerinden daha sık uğraşmak zorunda kalıyoruz. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik göründüğünü fark ettiniz, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. . Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında, polinomları çarparken bu görevle zaten karşılaştınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi toplamına eşit kareler ve ürünü ikiye katlayın.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, iki katı çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Toplama ve çıkarma işlemleri cebirsel problemlerin çözümünde birçok durumda temel işlemlerdir. Bu videoda polinomlarla çalışmanın temel prensiplerine bakacağız.

Başlangıç ​​olarak, bir polinomun birkaç farklı tek terimli veya tek terimliden oluşan bir ifade olduğunu hatırlayalım. Ayrıca, bu tür her bir tek terimli, aşağıdakilerden birini temsil eder: Sayısal değer, veya bir değişken. Bazen değişkenler çarpma veya bölmeye göre gruplandırılır ve kendi sayısal katsayılarına da sahip olabilirler.

Önceki video derslerde benzer terimleri azaltmayı, yani herhangi bir polinomu standart bir forma basitleştirmeyi incelemiştik. Bu tür eylemlerin bir polinom içindeki toplama ve çıkarma işlemleriyle doğrudan ilişkili olduğunu hemen belirtmekte fayda var. Ama bu durumda cebirsel işlemler birden fazla polinom söz konusu olduğunda ön basitleştirme gereksiz olabilir ve sorunu karmaşıklaştırabilir. Nihai polinomun standartlaştırılması daha doğru olacaktır. Sonuçta, bir polinomda ne kadar çok tek terimli varsa benzer terimleri bulmak da o kadar kolay olur. Bu nedenle, eğer görev iki polinomu eklemek veya çıkarmaksa, bunları hemen standart forma indirmemelisiniz.

İÇİNDE lineer Cebir Aynı serideki polinomları ayrı parantez içinde yazmak gelenekseldir. Bu, işaretin doğru şekilde ortaya çıkmasına yardımcı olur. Yani, eğer iki polinomumuz varsa, bunları bir seri halinde yazar ve yerine koyarız. gerekli işaret parantez içinde:

(a 2 + c 3 - 7) + (3a 2 - 2c 3 +3)

Çözümler için verilen ifade sadece her zamanki gibi davranmak yeterli cebirsel toplama. Bunu yapmak için, işaretleri koruma kurallarını akılda tutarak parantezleri açın. Ekleme sırasında (bir artı olduğunda), tüm işaretler değişmeden korunur; parantezler kolayca çıkarılabilir. İfadeyi yeni bir biçimde yazıyoruz:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3 =

4a 2 - 1c 3 - 4 = 4a 2 - s 3 - 4

Ortaya çıkan polinomu benzer terimleri azaltma kurallarına göre işleriz, ortak değişkenleri buluruz ve her şeyi azaltırız Benzer anlamlar. Bazen belirli tek terimli sayılar için adım adım toplama veya çıkarma işlemlerini kullanırız. Sonuç olarak ifademiz, sorunun cevabı olan standart forma indirgenir. verilen örnek. Biçimsel olarak bir polinomun toplamının şu şekilde olduğunu anlamaya değer: bu durumda, ifadedir:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3

Cevapta belirtirseniz hata olarak değerlendirilmeyecektir. Ancak cebirsel hesaplama algoritmalarının yasalarına göre, polinomlarla yapılan işlemlere ilişkin nihai yanıt mümkün olduğunca basitleştirilmelidir; standart forma indirgenmiştir.
Çıkarma işlemleri de aynı şekilde yapılır, ancak parantezlerin önündeki eksi işaretinin içerideki işareti değiştireceği dikkate alınır:

(a 2 + c 3 - 7) - (3a 2 - 2c 3 +3) =

bir 2 + c 3 - 7 - 3a 2 + 2c 3 - 3=

2a 2 + 3c 3 - 10

İkinci polinomda (çıkarılmış), eksi nedeniyle işaretler tamamen ters çevrilmiştir: açık zıt anlamlar. Bundan sonra çözüm algoritması toplamayla tamamen aynıdır (aslında bir polinomu standart bir forma indirgemek de budur).

Bazen bazı görevlerde gerçekleştirmek gerekir ters eylemler- bir polinomdan belirli bir toplam veya fark elde edin. Bu, daha ileri bir çözüm için gerekli olabilir ve polinomun bölünmesine ilişkin koşullar, problemin kendi gerçekleri tarafından belirlenir. Örneğin şöyle bir ifadeye ihtiyacınız var:

3a 2 - 2c 3 +3

Bu durumda görev şudur: ifadeyi biri 3a 2 olan polinomların toplamı olarak sunmak. Belirtilen polinomları parantez içinde vurgulayarak bunu yapmak kolaydır. Aynı zamanda, artı bunu yapmanıza izin verdiği için işaretleri değiştirmenize gerek yoktur:

3а 2 + (- 2с 3 +3)

Biri 3a 2 olan polinomların farkına ihtiyacınız varsa, o zaman sadece polinomları parantez içinde izole etmekle kalmaz, aynı zamanda ikinci polinomdaki işaretleri tersine çeviren bir eksi de koymanız gerekir:

3a 2 - (2c 3 -3)

Bu nedenle, cebirsel toplamanın özelliklerini ustaca kullanırsanız, polinomların eklenmesini veya çıkarılmasını içeren problemler oldukça basit bir şekilde çözülebilir.