Bu yazıda şunlara odaklanacağız: basamaklama ortak çarpan . Öncelikle bu ifade dönüşümünün nelerden oluştuğunu bulalım. Daha sonra, ortak faktörü parantezlerin dışına çıkarma kuralını sunacağız ve bunun uygulama örneklerini ayrıntılı olarak ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Örneğin, 6 x + 4 y ifadesindeki terimlerin ortak çarpanı 2'dir ve bu açıkça yazılmaz. Ancak 6 sayısını 2·3'ün, 4 sayısını da 2·2'nin çarpımı olarak temsil ettikten sonra görülebilir. Bu yüzden, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Başka bir örnek: x 3 +x 2 +3 x ifadesinde terimlerin ortak bir x çarpanı vardır; bu, x 3'ü x x 2 (bu durumda kullandık) ve x 2'yi x x ile değiştirdikten sonra açıkça görünür hale gelir. Parantezlerden çıkardıktan sonra x·(x 2 +x+3) elde ederiz.
Eksiyi parantez dışına çıkarma konusunu ayrı ayrı söyleyelim. Aslında eksiyi parantez dışına çıkarmak, eksiyi parantez dışına çıkarmak anlamına gelir. Örneğin, −5−12·x+4·x·y ifadesindeki eksiyi çıkaralım. Orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, parantezlerden çıkardığımız −1 ortak faktörünün açıkça görülebildiği yerden. Sonuç olarak, −1 katsayısının parantezlerin önündeki eksi ile değiştirildiği (−1)·(5+12·x−4·x·y) ifadesine ulaşırız, bunun sonucunda şunu elde ederiz: −(5+12·x−4·x· y) . Buradan eksi parantezlerden çıkarıldığında orijinal toplamın parantez içinde kaldığı ve tüm terimlerin işaretlerinin ters yönde değiştirildiği açıkça görülmektedir.
Bu makalenin sonunda ortak faktörün parantez içine alınmasının çok yaygın olarak kullanıldığını görüyoruz. Örneğin sayısal ifadelerin değerlerini daha verimli hesaplamak için kullanılabilir. Ayrıca, ortak bir faktörü parantezlerin dışına koymak, ifadeleri bir çarpım biçiminde temsil etmenize olanak tanır; özellikle bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemlerinden biri, parantez içine almayı temel alır.
Referanslar.
- Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
Başlangıçta cast yöntemlerini dahil etmek istedim ortak payda“Kesirlerde toplama ve çıkarma” bölümünde. Ancak çok fazla bilgi vardı ve önemi o kadar büyüktü ki (sonuçta sadece sayısal kesirler), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi olur.
Diyelim ki iki kesirimiz var farklı paydalar. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:
Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.
Böylece, faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşitlenecektir - bu işleme ortak paydaya indirgeme denir. Ve paydaları "eşleştiren" gerekli sayılara ek faktörler denir.
Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:
- Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
- Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
- Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.
Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda etkililik sırasına göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.
Çapraz çarpma
En basit ve güvenilir yol Paydaları eşitlemesi garanti edilir. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin de paydaları şöyle olacaktır: ürüne eşit orijinal paydalar. Bir göz atın:
Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:
Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.
Tek dezavantajı bu yöntem- çok saymanız gerekir, çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük olabilir büyük sayılar. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.
Ortak Bölen Yöntemi
Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:
- Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
- Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
- Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da keskin bir şekilde azalır.
Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:
84: 21 = 4'e dikkat edin; 72:12=6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:
İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!
Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. Eğer ilgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.
Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölündüğünde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.
En az yaygın olan çoklu yöntem
Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında her paydaya bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.
Bu tür pek çok sayı var ve bunların en küçüğünün mutlaka eşit olması gerekmiyor. doğrudan ürünçapraz yöntemde varsayıldığı gibi orijinal kesirlerin paydaları.
Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu sayı çok daha az ürün 8 12 = 96.
Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya, paydaların en küçük ortak katı (LCM) adı verilir.
Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a ; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.
Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:
Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:
234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 3. Faktör 2 ve 3 eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve faktör 117 ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 ortak asaldır ve faktör 5 ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:
Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:
- Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
- Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.
En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.
Böyle şeylerin olduğunu düşünmeyin karmaşık kesirler gerçek örneklerde durum böyle olmayacaktır. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!
Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.
\(5x+xy\), \(x(5+y)\) olarak temsil edilebilir. Bu aslında özdeş ifadeler parantezlerini açarsak bunu doğrulayabiliriz: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Gördüğünüz gibi sonuç olarak orijinal ifadeyi elde ediyoruz. Bu, \(5x+xy\)'nin gerçekten de \(x(5+y)\)'ye eşit olduğu anlamına gelir. Bu arada, bu, ortak faktörlerin doğruluğunu kontrol etmenin güvenilir bir yoludur - ortaya çıkan parantezi açın ve sonucu orijinal ifadeyle karşılaştırın.
Basamaklamanın ana kuralı:
Örneğin, \(3ab+5bc-abc\) ifadesinde yalnızca \(b\) parantez dışına çıkarılabilir, çünkü her üç terimde de mevcut olan tek odur. Ortak faktörlerin parantezlerden çıkarılması işlemi aşağıdaki şemada gösterilmektedir:
Basamaklama kuralları
Matematikte, tüm ortak çarpanları bir kerede çıkarmak gelenekseldir.
Örnek:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Lütfen burada şu şekilde genişletebileceğimizi unutmayın: \(3(xy-xz)\) veya şu şekilde: \(x(3y-3z)\). Ancak bunlar eksik ayrıştırmalar olacaktır. Hem C hem de X çıkarılmalıdır.
Bazen ortak üyeler hemen görünmez.
Örnek:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Bu durumda ortak terim (beş) gizlenmişti. Bununla birlikte, \(10\)'u \(2\) çarpı \(5\) ve \(15\)'i \(3\) çarpı \(5\) şeklinde genişlettikten sonra "beşini Tanrı'nın nuru” dediler, bundan sonra onu kolayca braketten çıkarabildiler.
Bir monom tamamen kaldırılırsa, ondan bir tane kalır.
Örnek: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
\(x\)'i parantezlerin dışına koyarız ve üçüncü tek terimli yalnızca x'ten oluşur. Neden ondan uzak duruluyor? Çünkü herhangi bir ifade bir ile çarpılırsa değişmeyecektir. Yani, bu aynı \(x\), \(1\cdot x\) olarak temsil edilebilir. Sonra aşağıdaki dönüşüm zincirine sahibiz:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\)\()\)
Üstelik bu tek doğru yol kaldırma, çünkü eğer bir tane bırakmazsak, parantezleri açtığımızda orijinal ifadeye dönmeyeceğiz. Aslında, eğer çıkarma işlemini şu şekilde yaparsak \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), genişletildiğinde \(x(5y+ay)=5xy+axy\) elde edilir. Üçüncü üye eksik. Bu, böyle bir ifadenin yanlış olduğu anlamına gelir.
Parantez dışına eksi işareti koyabilirsiniz ve parantez içindeki terimlerin işaretleri ters çevrilir.
Örnek:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Esasen burada, herhangi bir monomiyalin önüne eksi olmasa bile "seçilebilen" "eksi bir"i koyuyoruz. Burada birinin \((-1) \cdot (-1)\) olarak yazılabildiği gerçeğini kullanıyoruz. Aşağıda ayrıntılı olarak açıklanan aynı örnek verilmiştir:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Bir parantez de ortak bir faktör olabilir.
Örnek:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırma işlemi yaparken bu durumla (parantezlerin çıkarılması) sıklıkla karşılaşırız veya
Bu makale açıklıyor en düşük ortak payda nasıl bulunur Ve Kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir. Öncelikle kesirlerin ortak paydası ve en küçük ortak paydasının tanımları verilmiş, kesirlerin ortak paydasının nasıl bulunacağı gösterilmiştir. Aşağıda kesirleri ortak bir paydaya indirgemek için bir kural verilmiştir ve bu kuralın uygulama örnekleri ele alınmıştır. Sonuç olarak, üç getirme örnekleri ve Daha ortak paydaya sahip kesirler.
Sayfada gezinme.
Kesirleri ortak paydaya indirgemeye ne denir?
Artık kesirleri ortak paydaya indirmenin ne demek olduğunu söyleyebiliriz. Kesirleri ortak paydaya indirgemek- Verilen kesirlerin pay ve paydalarının, paydaları aynı olan kesirler elde edecek şekilde ek faktörlerle çarpılmasıdır.
Ortak payda, tanım, örnekler
Şimdi kesirlerin ortak paydasını belirlemenin zamanı geldi.
Başka bir deyişle, belirli bir dizi sıradan kesirin ortak paydası herhangi bir değerdir. doğal sayı, bu kesirlerin tüm paydalarına bölünebilir.
Belirtilen tanımdan, bu kesirler kümesinin sonsuz sayıda ortak paydaya sahip olduğu anlaşılmaktadır, çünkü sonsuz küme orijinal kesirler kümesinin tüm paydalarının ortak katları.
Kesirlerin ortak paydasını belirlemek, verilen kesirlerin ortak paydalarını bulmanızı sağlar. Örneğin 1/4 ve 5/6 kesirleri verildiğinde paydaları sırasıyla 4 ve 6 olsun. 4 ve 6 sayılarının pozitif ortak katları 12, 24, 36, 48, ... sayılarıdır. Bu sayılardan herhangi biri 1/4 ve 5/6 kesirlerinin ortak paydasıdır.
Malzemeyi birleştirmek için aşağıdaki örneğin çözümünü düşünün.
Örnek.
2/3, 23/6 ve 7/12 kesirleri ortak paydası 150'ye indirgenebilir mi?
Çözüm.
Soruyu cevaplamak için 150 sayısının 3, 6 ve 12 paydalarının ortak katı olup olmadığını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, 150'nin bu sayıların her birine bölünebilir olup olmadığını kontrol edelim (gerekirse doğal sayıları bölme kuralları ve örneklerinin yanı sıra doğal sayıları kalanla bölme kuralları ve örneklerine de bakın): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (kalan 6) .
Bu yüzden, 150, 12'ye tam olarak bölünemediğinden 150, 3, 6 ve 12'nin ortak katı değildir. Bu nedenle 150 sayısı orijinal kesirlerin ortak paydası olamaz.
Cevap:
Bu yasaktır.
En düşük ortak payda, nasıl bulunur?
Verilen kesirlerin ortak paydası olan sayılar kümesinde en küçük ortak payda adı verilen en küçük bir doğal sayı vardır. Bu kesirlerin en küçük ortak paydasının tanımını formüle edelim.
Tanım.
En düşük ortak payda- Bu en küçük sayı, bu kesirlerin tüm ortak paydalarından.
Geriye en küçük ortak bölenin nasıl bulunacağı sorusuyla ilgilenmek kalıyor.
En küçük pozitif olduğundan ortak bölen belirli bir sayı kümesinin, belirli kesirlerin paydalarının LCM'si, verilen kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.
Böylece kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak, o kesirlerin paydalarına iner. Örneğin çözümüne bakalım.
Örnek.
3/10 ve 277/28 kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun.
Çözüm.
Bu kesirlerin paydaları 10 ve 28'dir. İstenilen en düşük ortak payda 10 ve 28 sayılarının LCM'si olarak bulunur. Bizim durumumuzda bu kolay: 10=2·5 ve 28=2·2·7 olduğundan LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Cevap:
140 .
Kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir? Kural, örnekler, çözümler
Genellikle ortak kesirler en düşük ortak paydaya ulaşır. Şimdi kesirleri en küçük ortak paydaya nasıl indireceğimizi açıklayan bir kural yazacağız.
Kesirleri en düşük ortak paydaya indirgeme kuralıüç adımdan oluşur:
- Öncelikle kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.
- İkinci olarak, en küçük ortak paydanın her kesrin paydasına bölünmesiyle her kesir için ek bir faktör hesaplanır.
- Üçüncüsü, her kesrin pay ve paydası ek faktörüyle çarpılır.
Aşağıdaki örneği çözmek için belirtilen kuralı uygulayalım.
Örnek.
5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydalarına düşürün.
Çözüm.
Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için algoritmanın tüm adımlarını gerçekleştirelim.
Öncelikle 14 ve 18 sayılarının en küçük ortak katına eşit olan en küçük ortak paydayı buluyoruz. 14=2·7 ve 18=2·3·3 olduğundan, LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Şimdi 5/14 ve 7/18 kesirlerinin payda 126'ya düşürüleceği ek faktörleri hesaplıyoruz. 5/14 kesri için ek çarpan 126:14=9, 7/18 kesri için ek çarpan 126:18=7'dir.
5/14 ve 7/18 kesirlerinin pay ve paydalarını sırasıyla 9 ve 7 ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor. Biz varız ve 
.
Böylece 5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydaya indirgemek tamamlanmış olur. Ortaya çıkan fraksiyonlar 45/126 ve 49/126 idi.
A / b aritmetik kesirinin paydası, kesrin oluşturulduğu birimin kesirlerinin boyutunu gösteren b sayısıdır. A / B cebirsel fraksiyonunun paydasına denir cebirsel ifade B. Gerçekleştirmek aritmetik işlemler kesirlerde en düşük ortak paydaya indirgenmeleri gerekir.
İhtiyacın olacak
- Cebirsel kesirlerle çalışmak ve en düşük ortak paydayı bulmak için polinomları nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilmeniz gerekir.
Talimatlar
İki sayının en düşük ortak paydasına indirgemeyi düşünün aritmetik kesirler n/m ve s/t; burada n, m, s, t tamsayılardır. Bu iki kesrin m ve t'ye bölünebilen herhangi bir paydaya indirgenebileceği açıktır. Ama en düşük ortak paydaya ulaşmaya çalışıyorlar. Verilen kesirlerin m ve t paydalarının en küçük ortak katına eşittir. Bir sayının en küçük katı (LMK), hepsine aynı anda bölünebilen en küçük sayıdır. verilen sayılar. Onlar. bizim durumumuzda m ve t sayılarının en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor. LCM (m, t) olarak gösterilir. Daha sonra kesirler karşılık gelenlerle çarpılır: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Üç kesrin en küçük ortak paydasını bulalım: 4/5, 7/8, 11/14. Öncelikle paydaları 5, 8, 14'ü genişletelim: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Daha sonra LCM'yi (5, 8, 14) çarparak hesaplayın. genişletmelerden en az birine dahil edilen tüm sayılar. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Birkaç sayının açılımında bir faktör görünüyorsa (payda 8 ve 14'ün açılımında faktör 2), o zaman faktörü alın daha büyük ölçüde(bizim durumumuzda 2^3).
Böylece genel olan elde edilir. 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20'ye eşittir. Burada kesirleri en düşük ortak paydaya getirmek için ilgili paydalarla çarpmamız gereken sayıları elde ederiz. 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 elde ederiz.
En düşük ortak paydaya indirgeme cebirsel kesirler aritmetik ile analoji yoluyla gerçekleştirilir. Açıklık sağlamak için, bir örnek kullanarak soruna bakalım. (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) ve (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) olmak üzere iki kesir verilsin. Her iki paydayı da çarpanlarına ayıralım. İlk kesrin paydasının olduğuna dikkat edin. mükemmel kare: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. İçin