Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin
Bunu sıklıkla duyuyoruz hoş olmayan ifade: "Ifadeyi basitleştir." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:
“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim.
Üstelik dersin sonunda bu örneği (sadece!) normal numara(evet, bu mektupların canı cehenneme).
Ancak bu etkinliğe başlamadan önce şunları yapabilmeniz gerekir: kesirleri ele almak Ve faktör polinomları.
Bu nedenle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.
Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.
Hadi gidelim, hadi gidelim!)
Temel İfade Sadeleştirme İşlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.
En basit olanı
1. Benzerlerini getirmek
Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız.
Benzer- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir (tek terimliler).
Örneğin toplamda benzer terimler- bu benim.
Hatırlıyor musun?
Benzerini ver- birkaç benzer terimin birbirine eklenmesi ve bir terim elde edilmesi anlamına gelir.
Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır.
Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir?
İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin: .
Karışıklığı önlemek için izin verin farklı harfler farklı nesneleri temsil eder.
Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır.
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar
Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar.
Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.
Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:
Örnekler:
Benzerlerini verin:
Yanıtlar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Çarpanlara ayırma
Bu genellikle en çok önemli kısımİfadelerin basitleştirilmesinde.
Benzerlerini verdikten sonra çoğunlukla ortaya çıkan ifadeye ihtiyaç duyulur. çarpanlara ayırmak yani ürün şeklinde sunulmaktadır.
Özellikle bu kesirlerde önemli: sonuçta kesri azaltabilmek için, Pay ve payda bir çarpım olarak temsil edilmelidir.
İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli.
Bunu yapmak için birkaç örneği çözün (bunları çarpanlara ayırmanız gerekir)
Örnekler:
Çözümler:
3. Bir kesirin azaltılması.
Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?
Küçülmenin güzelliği bu.
Basit:
Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:
Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kısmı azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.
Örnekler:
Sanırım prensip açık mı?
Kısaltma yaparken tipik bir hataya dikkatinizi çekmek isterim. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.
Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.
Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.
Başka bir örnek: azaltın.
“En akıllı” bunu yapacak:
Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.
Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:
Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir.
Yani, harfler yerine bazı (herhangi) rakamları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem bir çarpma olacak, bu da bir çarpımımız olduğu anlamına gelir (ifade çarpanlara ayrılmıştır).
Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.
Bunu güçlendirmek için birkaç örneği kendiniz çözün:
Örnekler:
Çözümler:
4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
Toplama ve çıkarma sıradan kesirler- işlem iyi bilinmektedir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları toplar/çıkarırız.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda:
3. Buradaki ilk şey karışık kesirler bunları yanlış olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan düzeni izliyoruz:
Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:
Basit bir şeyle başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan olanla aynı sayısal kesirler: ortak paydayı bulun, her kesri eksik faktörle çarpın ve payları ekleyin/çıkarın:
Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlara ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harflerden oluşur
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;
· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:
Ortak faktörleri vurgulayalım:
Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:
Bu ortak paydadır.
Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
· paydaları çarpanlara ayırın;
· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;
· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Yani sırasıyla:
1) paydaları çarpanlara ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:
Bu arada, bir hile var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergeler. Ortak payda şu şekilde olacaktır:
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?
İşte sarsılmaz bir kural daha:
Kesirleri azalttığınızda ortak payda, yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz.
Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla, ifadeyi harflerle genişlettiğiniz temel faktörler bir analogdur. asal faktörler sayıları ayrıştırdığınız yer. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.
Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).
Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:
Harika! Daha sonra:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre hiçbir ortak faktör yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:
Öyleyse yazalım:
Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.
Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
Prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:
Saydın mı?
İşe yaramalı.
O halde hatırlatmama izin verin.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.
Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, her şey çok basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?
Hayır, aynı! Sadece bunun yerine Aritmetik işlemler cebirsel, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirlerin eklenmesi, kesirlerin azaltılması vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?
3) Artık kısaltabilirsiniz:
Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Öncelikle eylem sırasını belirleyelim.
Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz.
Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, bir an önce gündeme getirilmesinde fayda var.
2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:
Ve en başında vaat edilen şey:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim olmuşsunuz demektir.
Şimdi öğrenmeye geçelim!
İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Temel işlemler basitleştirmeler:
- Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- Faktorizasyon: oluşturma ortak çarpan parantezlerin ötesinde, uygulama vb.
- Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirleri toplama ve çıkarma:
; - Kesirlerle çarpma ve bölme:
;
Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.
Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...
Ne için?
İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...
Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ancak asıl mesele bu değil.
Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...
Ama kendin düşün...
Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?
BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.
Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.
İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.
Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.
Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.
Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek var:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
- Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR
Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.
Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.
“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.
Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.
Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.
Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) binom üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) ise ikinci dereceye sahiptir.
Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).
Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:
Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.
Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.
Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)
Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.
Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.
Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.
Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.
Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)
Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına tamamen eşittir.
Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.
Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.
Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı
Bazı ifadelerle cebirsel dönüşümler diğerlerinden daha sık uğraşmak zorunda kalıyoruz. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik göründüğünü fark ettiniz, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. . Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.
\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında, polinomları çarparken bu görevle zaten karşılaştınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi toplamına eşit kareler ve ürünü ikiye katlayın.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, iki katı çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.
Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.
Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı
Eğitim kurumu
"Gomel Devlet Üniversitesi onlara. F. Skorina"
Matematik Fakültesi
MPM Departmanı
Kimlik dönüşümleriöğrencilere bunları nasıl gerçekleştireceklerini öğretme ifadeleri ve yöntemleri
Yürütücü:
Öğrenci Starodubova A.Yu.
Cand. fizik ve matematik Bilimler, Doçent Lebedeva M.T.
Gomel'in 2007
giriiş
1 Başlıca dönüşüm türleri ve çalışmalarının aşamaları. Dönüşümlerin kullanımına hakim olmanın aşamaları
Çözüm
Edebiyat
giriiş
Aritmetik işlemlerin özelliklerine dayanarak ifadelerin ve formüllerin en basit dönüşümleri gerçekleştirilir. ilkokul ve 5. ve 6. sınıflar. Dönüşümleri gerçekleştirmeye yönelik beceri ve yeteneklerin oluşumu cebir dersinde gerçekleşir. Bunun nedeni, hem gerçekleştirilen dönüşümlerin sayısındaki ve çeşitliliğindeki keskin artıştan hem de bunları haklı çıkarmaya ve uygulanabilirlik koşullarını açıklığa kavuşturmaya yönelik faaliyetlerin karmaşıklığından, genelleştirilmiş kimlik kavramlarının, özdeş dönüşümlerin tanımlanması ve incelenmesinden kaynaklanmaktadır. eşdeğer dönüşüm.
1. Ana dönüşüm türleri ve çalışmalarının aşamaları. Dönüşümlerin kullanımına hakim olmanın aşamaları
1. Cebirin başlangıcı
Formülün bir veya her iki bölümünde eylem gerçekleştirmeye yönelik kurallarla temsil edilen, bölünmemiş bir dönüşüm sistemi kullanılır. Amaç, basit denklemleri çözmek, fonksiyonları tanımlayan formülleri basitleştirmek ve eylemlerin özelliklerine dayalı hesaplamaları rasyonel bir şekilde gerçekleştirmek için görevleri tamamlamada akıcılık kazanmaktır.
Tipik örnekler:
Denklemleri çözün:
A) ; B) ; V) .
Özdeş dönüşüm (a); eşdeğer ve aynı (b).
2. Belirli dönüşüm türlerinin uygulanmasında becerilerin oluşturulması
Sonuçlar: kısaltılmış çarpma formülleri; üstelleştirme ile ilişkili dönüşümler; çeşitli temel fonksiyon sınıflarıyla ilişkili dönüşümler.
Organizasyon tüm sistem dönüşümler (sentez)
Amaç, çeşitli sorunların çözümünde kullanıma uygun, esnek ve güçlü bir cihaz yaratmaktır. eğitim ödevleri . Bu aşamaya geçiş, konunun anlaşılması sürecinde dersin son tekrarı sırasında gerçekleştirilir. bilinen malzeme tarafından parçalar halinde öğrenildi belirli türler dönüşümler, daha önce incelenen türlere trigonometrik ifadelerin dönüşümlerini ekler. Tüm bu dönüşümlere “cebirsel” denilebilir; “analitik” dönüşümler, türev alma ve integrasyon kurallarına dayanan dönüşümleri ve limitlere geçiş içeren ifadelerin dönüşümlerini içerir. Bu türün farkı, kimliklerdeki değişkenlerin (belirli işlev kümeleri) içinden geçtiği kümenin doğasındadır.
İncelenen kimlikler iki sınıfa ayrılmıştır:
I - değişmeli bir halkada geçerli olan kısaltılmış çarpmanın kimlikleri ve kimlikler
sahada adil.
II – kimlikler birbirine bağlanıyor Aritmetik işlemler ve temel temel işlevler.
2 Kimlik dönüşümlerini incelerken görev sisteminin organizasyonunun özellikleri
Görev sistemini organize etmenin temel ilkesi, bunları basitten karmaşığa doğru sunmaktır.
Egzersiz döngüsü– materyali düzenlemek için çalışmanın çeşitli yönlerini ve teknikleri bir dizi alıştırmada birleştirmek. Kimlik dönüşümlerini incelerken, bir kimliğin incelenmesiyle ilişkilendirilen bir egzersiz döngüsü vardır; bu kimlik çevresinde, onunla doğal bir bağlantı içinde olan diğer kimlikler gruplandırılır. Döngü, yönetici olanlarla birlikte görevleri içerir, Söz konusu kimliğin uygulanabilirliğinin tanınmasını gerektiren. İncelenmekte olan kimlik, çeşitli sayısal alanlarda hesaplamalar yapmak için kullanılır. Her döngüdeki görevler iki gruba ayrılır. İLE Birinci Bunlar, kimlikle ilk tanışma sırasında gerçekleştirilen görevleri içerir. Hizmet ederler Eğitim materyali tek bir konu tarafından birleştirilen birkaç ardışık ders için.
İkinci grup Alıştırmalar, çalışılan kimliği çeşitli uygulamalarla birleştirir. Bu grup kompozisyonsal bir birlik oluşturmaz - buradaki alıştırmalar çeşitli konulara dağılmıştır.
Açıklanan döngü yapıları, belirli dönüşümlerin uygulanmasına yönelik becerilerin geliştirilmesi aşamasını ifade eder.
Sentez aşamasında, döngüler değişir, görev grupları, çeşitli kimliklerle ilgili döngülerin karmaşıklığı ve birleştirilmesi yönünde birleştirilir, bu da belirli bir kimliğin uygulanabilirliğini tanımaya yönelik eylemlerin rolünü artırmaya yardımcı olur.
Örnek.
Kimlik için görev döngüsü:
Görev grubum:
a) ürün formunda mevcut:
b) Eşitliği kontrol edin:
c) İfadedeki parantezleri genişletin:
.
d) Hesaplayın:
e) Çarpanlara ayırın:
f) ifadeyi basitleştirin:
.
Öğrenciler bir kimliğin formüle edilmesine, kimlik biçiminde yazılmasına ve kanıtlanmasına yeni yeni alıştılar.
Görev a) incelenen kimliğin yapısını sabitlemek, ile bağlantı kurmakla ilişkilidir. sayısal kümeler(kimliğin işaret yapılarının ve dönüştürülmüş ifadenin karşılaştırılması; kimlikte harfin sayı ile değiştirilmesi). İÇİNDE son örnek yine de onu incelenen türlere indirgemek gerekiyor. Aşağıdaki örneklerde (e ve g) aşağıdakilerin neden olduğu bir komplikasyon vardır: uygulanan rolİşaret yapısının kimliği ve komplikasyonu.
b) tipi görevler değiştirme becerilerini geliştirmeyi amaçlamaktadır 
Açık . Görev c)'nin rolü benzerdir.
Dönüşüm yönlerinden birini seçmenin gerekli olduğu d) tipi örnekler bu fikrin gelişimini tamamlar.
Grup I görevleri, bir kimliğin yapısına, en basit, temelde en önemli durumlarda ikame işlemine ve bir kimliğin gerçekleştirdiği dönüşümlerin tersine çevrilebilirliği fikrine hakim olmaya odaklanır. Çok önemli zenginleşme de var dilsel araçlar gösteriliyor çeşitli yönler kimlikler. Ödev metinleri bu hususlar hakkında fikir vermektedir.
II görev grubu.
g) için özdeşliği kullanarak polinomu çarpanlarına ayırın.
h) Kesrin paydasındaki irrasyonelliği ortadan kaldırın.
i) Şunu kanıtlayın: tek sayı ise 4'e bölünür.
j) Fonksiyon verilmiştir analitik ifade
.
İki durumu göz önünde bulundurarak modül işaretinden kurtulun: , .
k) Denklemi çöz 
.
Bu görevler mümkün olduğunca hedefleniyor tam kullanım ve bu özel kimliğin özelliklerini dikkate alarak, kareler farkı için incelenen kimliği kullanma becerilerinin oluşumunu varsayarız. Amaç, kimliğin çeşitli uygulamalarını dikkate alarak, kimlik anlayışını derinleştirmektir. farklı durumlar matematik dersinde diğer konularla ilgili materyallerin kullanımıyla birleştirilmiştir.
veya 
.
Temel işlevlere ilişkin kimliklerle ilgili görev döngülerinin özellikleri:
1) fonksiyonel materyal temelinde incelenirler;
2) ilk grubun kimlikleri daha sonra ortaya çıkar ve kimlik dönüşümlerini gerçekleştirmek için önceden geliştirilmiş beceriler kullanılarak incelenir.
Döngüdeki ilk görev grubu, bu yeni sayısal alanlarla rasyonel sayıların orijinal alanı arasında bağlantı kurmaya yönelik görevleri içermelidir.
Örnek.
Hesaplamak:
;
.
Bu tür görevlerin amacı, yeni işlem ve işlevlerin sembolleri de dahil olmak üzere kayıtların özelliklerine hakim olmak ve matematiksel konuşma becerilerini geliştirmektir.
Kimlik dönüşümlerinin çoğunun kullanımı temel işlevler irrasyonel ve aşkın denklemlerin çözümüne düşer. Adımların sırası:
a) hangi φ fonksiyonunu bulun verilen denklem f(x)=0 şu şekilde temsil edilebilir:
b) y=φ(x)'i yerine koyun ve denklemi çözün
c) φ(x)=y k denklemlerinin her birini çözün; burada y k, F(y)=0 denkleminin kökleri kümesidir.
Açıklanan yöntemi kullanırken, b) adımı çoğunlukla φ(x) için bir gösterim getirilmeden örtülü olarak gerçekleştirilir. Ayrıca öğrenciler sıklıkla tercih etmektedir. Farklı yollar Cevabı bulmanızı sağlayacak şekilde, cebirsel denklemi daha hızlı ve daha kolay bir şekilde ortaya çıkaranı seçin.
Örnek. 4 x -3*2=0 denklemini çözün.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (adım a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (adım b)
Örnek. Denklemi çözün:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Bağımsız çözüm önerin.)
Aşkın denklemlerin çözümüyle ilgili döngülerdeki görevlerin sınıflandırılması, üstel fonksiyon:
1) a x =y 0 formundaki denklemlere indirgenen ve basit, genel bir cevabı olan denklemler:
2) k'nin bir tam sayı olduğu a x = a k veya b≤0 olduğu a x = b biçimindeki denklemlere indirgenen denklemler.
3) a x =y 0 formundaki denklemlere indirgenen ve aşağıdakileri gerektiren denklemler: açık analiz y 0 sayısının açıkça yazıldığı form.
İşlevleri tanımlayan formülleri basitleştirirken grafik oluşturmak için kimlik dönüşümlerinin kullanıldığı görevler büyük fayda sağlar.
a) y=; fonksiyonunun grafiğini çizin
b) lgx+lg(x-3)=1 denklemini çözün
c) log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) formülü hangi kümede bir özdeşliktir?
Hesaplamalarda özdeşlik dönüşümlerinin kullanımı (Journal of Mathematics at School, No. 4, 1983, s. 45).
Görev No.1. Fonksiyon y=0,3x 2 +4,64x-6 formülüyle verilir. Fonksiyonun değerlerini x=1.2'de bulun
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Görev No.2. Bacak uzunluğunu hesapla dik üçgen, hipotenüsünün uzunluğu 3,6 cm ve diğer bacağın uzunluğu 2,16 cm ise.
Görev No.3. Arsa alanı nedir dikdörtgen şekil a) 0,64 m ve 6,25 m boyutlara sahip; b) 99,8m ve 2,6m?
a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;
b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Bu örnekler tanımlamayı mümkün kılar pratik kullanım kimlik dönüşümleri. Öğrenci, dönüşümün fizibilitesine ilişkin koşullar hakkında bilgi sahibi olmalıdır (şemalara bakınız).
| |
- herhangi bir polinomun yuvarlak hatlara uyduğu bir polinomun görüntüsü (Diyagram 1).
-
bir monomiyalin çarpımını dönüştürmenin fizibilite koşulu ve kareler farkına dönüştürmeye izin veren bir ifade verilmiştir. (şema 2)
-
burada gölgelemeler eşit monomlar anlamına gelir ve kareler farkına dönüştürülebilecek bir ifade verilir (Şema 3).
| |
| |
- ortak bir faktöre izin veren bir ifade.
Öğrencilerin koşulları tanımlama becerileri aşağıdaki örnekler kullanılarak geliştirilebilir:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi parantezlerin ortak çarpanı çıkarılarak dönüştürülebilir:
2) 
3) 0,7a2+0,2b2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x2 +3x2 +5y2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Uygulamadaki hesaplamaların çoğu tatmin edicilik koşullarını karşılamamaktadır, bu nedenle öğrencilerin bunları dönüşümlerin hesaplanmasına olanak tanıyan bir forma indirgeme becerilerine ihtiyaçları vardır. Bu durumda aşağıdaki görevler uygundur:
ortak faktörü parantezlerden çıkarmaya çalışırken:
Mümkünse bu ifadeyi diyagram 4'te gösterilen bir ifadeye dönüştürün:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2n4+3n6+n9;
8) 15ab 2 +5a 2b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
“Özdeş dönüşüm” kavramını oluştururken bunun sadece verilen ve dönüşüm sonucunda elde edilen ifadenin, içinde yer alan harflerin herhangi bir değeri için eşit değerler alması anlamına gelmediği, ama aynı zamanda özdeş dönüşüm sırasında, bir hesaplama yolunu tanımlayan ifadeden, aynı değeri hesaplamanın başka bir yolunu tanımlayan bir ifadeye geçiyoruz.
Şema 5 (bir monom ve polinomun çarpımını dönüştürme kuralı) örneklerle gösterilebilir
0,5a(b+c) veya 3,8(0,7+).
Ortak bir faktörün parantezlerden nasıl çıkarılacağını öğrenmek için alıştırmalar:
İfadenin değerini hesaplayın:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a=0,96'da a+bc; b=4.8; c=9.8.
c) a(a+c)-c(a+b) ile a=1,4; b=2.8; c=5.2.
Hesaplamalarda becerilerin oluşumunu ve kimlik dönüşümlerini örneklerle açıklayalım (Journal of Mathematics at School, Sayı. 5, 1984, s. 30).
1) beceri ve yetenekler, oluşumları bilinçli olarak gerçekleşirse daha hızlı kazanılır ve daha uzun süre korunur ( didaktik prensip bilinç).
1) Kesirleri eklemek için bir kural formüle edebilirsiniz. aynı paydalar veya daha önce spesifik örnekler eşit pay eklemenin özünü düşünün.
2) Ortak çarpanı parantez dışına alarak çarpanlara ayırma işleminde bu ortak çarpanı görüp dağıtım yasasını uygulamak önemlidir. İlk alıştırmaları yaparken, polinomun her terimini, faktörlerinden biri tüm terimler için ortak olan bir çarpım olarak yazmak faydalıdır:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Bir polinomun tek terimlilerinden biri parantezlerden çıkarıldığında bunu yapmak özellikle yararlıdır:
II. İlk aşama bir becerinin oluşumu - bir beceride ustalık (alıştırmalar detaylı açıklamalar ve kayıtlar)
(Önce tabela sorunu çözüldü)
İkinci aşama– bazı ara işlemleri ortadan kaldırarak beceriyi otomatikleştirme aşaması
III. Becerilerin güçlendirilmesi, hem içerik hem de biçim açısından çeşitlilik gösteren örneklerin çözülmesiyle elde edilir.
Konu: “Ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak.”
1. Polinom yerine eksik faktörü yazın:
2. Parantezlerden önce negatif katsayılı bir monom olacak şekilde çarpanlara ayırın:
3. Parantez içindeki polinomun katsayıları tamsayı olacak şekilde çarpanlara ayırın:
4. Denklemi çözün:
IV. Beceri gelişimi, bazı ara hesaplamalar veya dönüşümler sözlü olarak gerçekleştirildiğinde en etkilidir.
(ağızdan);
V. Geliştirilen beceri ve yetenekler, öğrencilerin önceden oluşturulmuş bilgi, beceri ve yetenek sisteminin parçası olmalıdır.
Örneğin, kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak polinomların çarpanlarına nasıl ayrılacağını öğretirken aşağıdaki alıştırmalar önerilir:
Çarpanlara ayırın:
VI. Hesaplamaları ve dönüşümleri rasyonel olarak gerçekleştirme ihtiyacı.
V) Ifadeyi basitleştir:
Mantık parantezleri açmakta yatıyor çünkü
VII. Üslü sayılar içeren ifadeleri dönüştürme.
No. 1011 (Alg.9) İfadeyi basitleştirin:
No. 1012 (Alg.9) Kök işaretinin altındaki çarpanı kaldırın:
No. 1013 (Alg.9) Kök işaretinin altına bir çarpan girin:
1014 (Alg.9) İfadeyi sadeleştirin:
Tüm örneklerde, önce ortak faktörü çarpanlara ayırma veya çıkarma işlemini gerçekleştirin veya karşılık gelen indirgeme formülüne "bakın".
1015 (Alg.9) Kesri azaltın:
Pek çok öğrenci, özellikle eşitlik çalışırken, kökleri içeren ifadeleri dönüştürürken bazı zorluklarla karşılaşır:
Bu nedenle ya formun ifadelerini ayrıntılı olarak açıklayın ya da 
veya rasyonel bir üssü olan bir dereceye gidin.
No. 1018 (Alg.9) İfadesinin değerini bulun:
No. 1019 (Alg.9) İfadeyi sadeleştirin:
2,285 (Skanavi) İfadeyi basitleştirin
ve ardından fonksiyonun grafiğini çizin senİçin
No. 2.299 (Skanavi) Eşitliğin geçerliliğini kontrol edin:
Derece içeren ifadelerin dönüşümü, polinomların özdeş dönüşümlerinin incelenmesinde edinilen beceri ve yeteneklerin genelleştirilmesidir.
No. 2.320 (Skanavi) İfadeyi basitleştirin:
Cebir 7 dersi aşağıdaki tanımları sağlar.
Def. Değişkenlerin değerlerine karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı derecede eşit olduğu söylenir.
Def. Eşitlik, çağrılan değişkenlerin herhangi bir değeri için doğrudur. kimlik.
Sayı 94 (Alg.7) Eşitlik:
A) 
C) 
D) 
Açıklama tanımı: Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.
No. (Alg.7) İfadeler arasında
tamamen eşit olanları bulunuz.
Konu: “İfadelerin özdeş dönüşümleri” (soru tekniği)
“Cebir-7” - “İfadeler ve dönüşümleri” nin ilk konusu, 5-6. Sınıflarda edinilen hesaplama becerilerinin pekiştirilmesine, ifadelerin dönüşümleri ve denklem çözümlerine ilişkin bilgilerin sistematikleştirilmesine ve genelleştirilmesine yardımcı olur.
Sayısal ve harfli ifadelerin anlamlarını bulmak, öğrencilerle eylem kurallarının tekrarlanmasını mümkün kılar. rasyonel sayılar. Rasyonel sayılarla aritmetik işlemleri gerçekleştirme yeteneği tüm cebir dersinin temelidir.
İfadelerin dönüşümleri dikkate alındığında, resmi ve operasyonel beceriler 5-6. Sınıflarda ulaşılan seviyede kalır.
Ancak burada öğrenciler teoride uzmanlaşmada yeni bir seviyeye yükselirler. “Aynı şekilde” kavramları eşit ifadelerÇeşitli dönüşümlerin incelenmesi sırasında içeriği sürekli olarak ortaya çıkacak ve derinleştirilecek olan "", "kimlik", "ifadelerin özdeş dönüşümleri" cebirsel ifadeler. Kimlik dönüşümlerinin temelinde sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerinin olduğu vurgulanmaktadır.
“Polinomlar” konusunu incelerken cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin resmi operasyonel becerileri oluşturulur. Kısaltılmış çarpma formülleri, tam ifadelerin aynı dönüşümlerini gerçekleştirme yeteneğinin geliştirilmesine yönelik daha ileri sürece katkıda bulunur; polinomların hem kısaltılmış çarpması hem de çarpanlara ayrılması için formülleri uygulama yeteneği yalnızca tüm ifadelerin dönüştürülmesinde değil, aynı zamanda kesirli, köklü işlemlerde de kullanılır. , rasyonel üssü olan kuvvetler.
8.sınıfta edinilen kimlik dönüştürme becerileri eylemlerle uygulanır. cebirsel kesirler, kare kök ve tamsayı üssü olan kuvvetleri içeren ifadeler.
Gelecekte kimlik dönüştürme teknikleri, rasyonel üslü bir derece içeren ifadelere yansır.
Özel bir kimlik dönüşümleri grubu aşağıdakilerden oluşur: trigonometrik ifadeler ve logaritmik ifadeler.
7-9. sınıflarda bir cebir dersinin zorunlu öğrenme çıktıları şunları içerir:
1) tamsayı ifadelerinin kimlik dönüşümleri
a) açma ve kapatma braketleri;
b) benzer üyelerin getirilmesi;
c) polinomların toplanması, çıkarılması ve çarpılması;
d) ortak çarpanı parantezlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin dışına koyarak polinomları çarpanlarına ayırmak;
e) ayrışma ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.
“Okulda Matematik” (B.U.M.) s.110
2) rasyonel ifadelerin özdeş dönüşümleri: kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma ve bölünmesinin yanı sıra basit birleşik dönüşümler gerçekleştirirken listelenen becerilerin uygulanması [s. 111]
3) Öğrenciler kuvvet ve kök içeren basit ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirebilmelidir. (s. 111-112)
Ana problem türleri dikkate alındı; öğrencinin olumlu not almasını sağlayan çözme yeteneği.
Kimlik dönüşümlerini incelemeye yönelik metodolojinin en önemli yönlerinden biri, öğrencinin kimlik dönüşümlerini gerçekleştirmeye yönelik hedefler geliştirmesidir.
1) 
- basitleştirme Sayısal değer ifade
2) Dönüşümlerden hangisinin gerçekleştirilmesi gerektiği: (1) 
veya (2) Bu seçeneklerin analizi bir motivasyondur ((2)'de tanımın kapsamı daraltıldığı için (1) tercih edilir)
3) Denklemi çözün:
Denklem çözerken çarpanlara ayırma.
4) Hesaplayın:
Kısaltılmış çarpma formülünü uygulayalım:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) İfadenin değerini bulun:
Değeri bulmak için her kesri eşleniğiyle çarpın:
6) Fonksiyonun grafiğini çizin:
Parçanın tamamını seçelim: .
Kimlik dönüşümleri gerçekleştirilirken hataların önlenmesi, uygulama örneklerinin değiştirilmesiyle sağlanabilir. Bu durumda, daha büyük bir dönüşüm sürecine bileşen olarak dahil edilen “küçük” teknikler uygulanır.
Örneğin:
Denklemin yönlerine bağlı olarak çeşitli problemler dikkate alınabilir: polinomların sağdan sola çarpımı; soldan sağa - çarpanlara ayırma. Sol Taraf sağ taraftaki faktörlerden birinin katıdır vb.
Örnekleri değiştirmenin yanı sıra şunları da kullanabilirsiniz: kimlikler ve sayısal eşitlikler arasındaki özür.
Bir sonraki teknik kimliklerin açıklanmasıdır.
Öğrencilerin ilgisinin arttırılması, problemleri çözmenin farklı yollarını bulmayı içerebilir.
Kimlik dönüşümlerini incelemeye yönelik dersler, bunları kendinize ayırırsanız daha ilginç hale gelecektir. soruna çözüm arıyorum .
Örneğin: 1) kesri azaltın:
3) “karmaşık radikal” formülünü kanıtlayın
Dikkate almak:
Eşitliğin sağ tarafını dönüştürelim:
-
eşlenik ifadelerin toplamı. Bunlar eşlenikleriyle çarpılabilir ve bölünebilir, ancak böyle bir işlem bizi paydası radikallerin farkı olan bir kesire götürür.
Kimliğin ilk kısmındaki ilk terimin ikinciden daha büyük bir sayı olduğuna dikkat edin, böylece her iki parçanın karesini alabiliriz:
Pratik ders №3.
Konu: İfadelerin özdeş dönüşümleri (soru tekniği).
Literatür: “MPM Çalıştayı”, s. 87-93.
İmza yüksek kültüröğrenciler için hesaplamalar ve kimlik dönüşümleri Sağlam bilgi kesin ve yaklaşık büyüklüklere ilişkin işlemlerin özellikleri ve algoritmaları ve bunların ustalıkla uygulanması; rasyonel teknikler hesaplamalar ve dönüşümler ve bunların doğrulanması; hesaplama ve dönüşüm yöntemlerinin ve kurallarının kullanımını gerekçelendirme yeteneği, hesaplama işlemlerinin hatasız yürütülmesine ilişkin otomatik beceriler.
Öğrenciler listelenen becerileri geliştirmek için hangi sınıfta çalışmaya başlamalı?
İfadelerin özdeş dönüşümleri çizgisi tekniklerin kullanımıyla başlar rasyonel hesaplama sayısal ifadelerin değerlerini rasyonel olarak hesaplamak için tekniklerin kullanılmasıyla başlar. (5. sınıf)
Bu tür konuları incelerken okul kursu onlara matematik verilmeli Özel dikkat!
Öğrencilerin kimlik dönüşümlerini bilinçli olarak uygulamaları, cebirsel ifadelerin kendi başlarına var olmadıkları, belirli bir sayısal kümeyle ayrılmaz bir bağlantı içinde oldukları, sayısal ifadelerin genelleştirilmiş kayıtları oldukları gerçeğinin anlaşılmasıyla kolaylaştırılır. Cebirsel ve arasındaki analojiler sayısal ifadeler(ve bunların dönüşümleri) mantıksal anlamda yasaldır, öğretimde kullanımları öğrencilerde hataların önlenmesine yardımcı olur.
Özdeş dönüşümler okul matematik dersinde ayrı bir konu değildir; cebir dersinin tamamı ve matematiksel analizin başlangıcı boyunca incelenirler.
1-5. Sınıflar için matematik programı, değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümlerini incelemek için hazırlık materyalidir.
7.sınıf cebir dersinde. kimliğin tanımı ve kimlik dönüşümleri tanıtılmaktadır.
Def. Değişkenlerin herhangi bir değerine karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye denir. aynı şekilde eşittir.
Resmi Kalkınma Yardımı. Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan eşitliğe kimlik denir.
Kimliğin değeri, belirli bir ifadenin kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine izin vermesi gerçeğinde yatmaktadır.
Def. Bir ifadeyi tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirmeye denir özdeş dönüşüm ya da sadece dönüşüm ifade.
Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.
Kimlik dönüşümlerinin temelinde eşdeğer dönüşümler sayılabilir.
Resmi Kalkınma Yardımı. Her biri diğerinin mantıksal sonucu olan iki cümleye denir. eş değer.
Resmi Kalkınma Yardımı. A değişkenli cümleye denir. B değişkenli bir cümlenin sonucu, eğer B doğruluk alanı, A doğruluk alanının bir alt kümesi ise.
Eşdeğer cümlelerin başka bir tanımı da verilebilir: Değişkenleri olan iki cümle, eğer doğruluk alanları çakışıyorsa eşdeğerdir.
a) B: x-1=0 bölü R; A: (x-1) 2 bölü R => A~B, çünkü doğruluk alanları (çözüm) çakışıyor (x=1)
b) A: x=2 bölü R; B: x 2 =4 bölü R => doğruluk bölgesi A: x = 2; doğruluk alanı B: x=-2, x=2; Çünkü A'nın doğruluk alanı B'de bulunuyorsa, o zaman: x 2 =4, x = 2 önermesinin bir sonucudur.
Kimlik dönüşümlerinin temeli aynı sayıyı temsil edebilme yeteneğidir. değişik formlar. Örneğin,
-
Bu gösterim “kesirlerin temel özellikleri” konusunu incelerken yardımcı olacaktır.
Sınıflarda öğrencilere sunulan “2a 3 +3ab+b 2 ifadesinin sayısal değerini a = 0,5, b = 2/3 ile bulunuz” benzeri örnekler çözülürken kimlik dönüşümü yapma becerisi gelişmeye başlar. 5 ve propaedötik fonksiyon kavramına izin verir.
Kısaltılmış çarpma formüllerini incelerken derin anlayışlarına ve güçlü asimilasyonlarına dikkat etmelisiniz. Bunu yapmak için aşağıdaki grafik gösterimi kullanabilirsiniz:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Soru: Bu çizimlere dayanarak verilen formüllerin özü öğrencilere nasıl anlatılır?
Yaygın bir hata, "toplamın karesi" ve "kareler toplamı" ifadelerini karıştırmaktır. Öğretmenin bu ifadelerin işlem sırasına göre farklılık gösterdiğini belirtmesi anlamlı görünmemektedir. Çünkü öğrenciler bu eylemlerin aynı sayılar üzerinde yapıldığını ve bu nedenle eylemlerin sırası değiştirildiğinde sonucun değişmeyeceğini düşünmektedir.
Ödev: Öğrencilerin yukarıdaki formülleri hatasız kullanma becerilerini geliştirmek için sözlü alıştırmalar oluşturun. Bu iki ifadenin nasıl benzer olduğunu ve birbirlerinden nasıl farklı olduklarını nasıl açıklayabiliriz?
Aynı dönüşümlerin çok çeşitli olması, öğrencilerin, gerçekleştirildikleri amaca göre kendilerini yönlendirmelerini zorlaştırır. Dönüşümleri gerçekleştirme amacına ilişkin bulanık bilgi (her birinde özel durum) farkındalıklarını olumsuz etkiler, kaynak görevi görür büyük hatalaröğrenciler. Bu durum öğrencilere çeşitli kimlik dönüşümlerini gerçekleştirme hedeflerini açıklamanın önemli olduğunu göstermektedir. ayrılmaz parça bunları incelemek için yöntemler.
Kimlik dönüşümlerine yönelik motivasyon örnekleri:
1. Bir ifadenin sayısal değerini bulmanın basitleştirilmesi;
2. denklemin kök kaybına yol açmayacak bir dönüşümünün seçilmesi;
3. Bir dönüşüm gerçekleştirirken hesaplama alanını işaretleyebilirsiniz;
4. hesaplamalarda dönüşümlerin kullanılması, örneğin, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Karar sürecini yönetmek için öğretmenin, öğrencinin yaptığı hatanın özünü doğru bir şekilde tanımlayabilme becerisine sahip olması önemlidir. Doğru hata karakterizasyonu anahtardır doğru seçimÖğretmenin daha sonraki eylemleri.
Öğrenci hatalarına örnekler:
1. çarpma işleminin yapılması: öğrenci -54abx 6 (7 hücre) aldı;
2. Öğrenci (3x2)3'ün üssüne yükselterek 3x6 (7 not) aldı;
3. (m + n) 2'yi polinoma dönüştürerek öğrenci m 2 + n 2 (7. sınıf);
4. Öğrencinin aldığı kesiri (8 not) düşürerek;
5. Çıkarma işlemini gerçekleştirmek: 
, öğrenci yazıyor (8. sınıf)
6. Kesri kesir şeklinde temsil eden öğrenci şunları aldı: 
(8 sınıf);
7. Kaldırma aritmetik kököğrenci x-1 aldı (9. sınıf);
8. Denklemin çözümü (9. sınıf);
9. İfadeyi dönüştürerek öğrenci şunu elde eder: (9. sınıf).
Çözüm
Kimlik dönüşümlerinin incelenmesi, belirli bir sınıfta incelenen sayısal kümelerle yakın bağlantılı olarak gerçekleştirilir.
İlk başta öğrenciden dönüşümün her adımını açıklamasını, geçerli kural ve yasaları formüle etmesini istemelisiniz.
Cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerinde iki kural kullanılır: değiştirme ve eşitlerle değiştirme. Değiştirme en sık kullanılır, çünkü Formülleri kullanarak hesaplama buna dayanmaktadır, yani. a*b ifadesinin a=5 ve b=-3 değerini bulun. Çoğu zaman, öğrenciler çarpma işlemlerini gerçekleştirirken çarpma işaretinin ima edildiğine inanarak parantezleri ihmal ederler. Örneğin şu giriş mümkündür: 5*-3.
Edebiyat
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “İşlevsel ve grafik yöntemleri sınav problemlerini çözme”, Mn..Aversev, 2004
2. AÇIK Piryutko " Yaygın hatalar Açık merkezi test", Mn..Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Merkezi testlerde tuzak görevleri”, Mn..Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Çözüm yöntemleri trigonometrik problemler", Mn..Aversev, 2005
BEN. Harflerin yanı sıra sayıların, aritmetik sembollerin ve parantezlerin de kullanılabildiği ifadelere cebirsel ifadeler denir.
Cebirsel ifade örnekleri:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Cebirsel bir ifadedeki bir harf bazı harflerle değiştirilebileceğinden farklı sayılar, o zaman harfe değişken denir ve cebirsel ifadenin kendisine değişkenli bir ifade denir.
II. Cebirsel bir ifadede harfler (değişkenler) değerleri ile değiştirilirse ve belirtilen işlemler yapılırsa, ortaya çıkan sayıya cebirsel ifadenin değeri denir.
Örnekler. İfadenin anlamını bulun:
1) a + 2b -c ile a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6.
Çözüm.
1) a + 2b -c ile a = -2; b = 10; c = -3,5. Değişkenler yerine değerlerini değiştirelim. Şunu elde ederiz:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6. Değiştirme belirtilen değerler. Negatif bir sayının modülünün karşıt sayıya eşit olduğunu ve modülün pozitif sayı bu sayının kendisine eşittir. Şunu elde ederiz:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu harfin (değişken) değerlerine, harfin (değişken) izin verilen değerleri denir.
Örnekler. Hangi değerlerde değişken ifadesi mantıklı değil mi?
Çözüm. Sıfıra bölmenin mümkün olmadığını biliyoruz, dolayısıyla kesrin paydasını sıfıra çeviren harfin (değişken) değeri göz önüne alındığında bu ifadelerin her biri bir anlam ifade etmeyecektir!
Örnek 1)'de bu değer a = 0'dır. Aslında a yerine 0 koyarsanız 6 sayısını 0'a bölmeniz gerekir, ancak bu yapılamaz. Cevap: ifade 1) a = 0 olduğunda anlamlı değildir.
Örnek 2)'de x = 4'te x'in paydası 4 = 0 olduğundan bu x = 4 değeri alınamaz. Cevap: ifade 2) x = 4 olduğunda anlamlı değildir.
Örnek 3)'te x = -2 olduğunda payda x + 2 = 0'dır. Cevap: ifade 3) x = -2 olduğunda anlamlı değildir.
Örnek 4)'te payda 5 -|x| |x| için = 0 = 5. Ve |5| = 5 ve |-5| = 5 ise x = 5 ve x = -5 alamazsınız. Cevap: ifade 4) x = -5 ve x = 5'te anlamlı değildir.
IV. Değişkenlerin kabul edilebilir herhangi bir değeri için bu ifadelerin karşılık gelen değerleri eşitse, iki ifadenin tamamen eşit olduğu söylenir.
Örnek: 5 (a – b) ve 5a – 5b de eşittir, çünkü 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği a ve b'nin herhangi bir değeri için doğru olacaktır. 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği bir özdeşliktir.
Kimlik içerisinde yer alan değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Zaten bildiğiniz kimlik örnekleri, örneğin toplama ve çarpma özellikleri ve dağılma özelliğidir.
Bir ifadenin başka bir özdeş ifadeyle değiştirilmesine kimlik dönüşümü veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.
Örnekler.
A)Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:
1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Çözüm. Çarpmanın dağılma özelliğini (yasasını) hatırlayalım:
(a+b)c=ac+bc(toplamaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılım yasası: iki sayının farkını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, eksiyi bu sayıyla ayrı ayrı çarpabilir ve çıkarabilirsiniz ve ikinciyi ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).
1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
B) değişmeli ve kullanarak ifadeyi aynı eşitliğe dönüştürün ilişkisel özellikler(kanunlar) ekleme:
4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a+2.1)+7.8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.
Çözüm. Toplama yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:
a+b=b+a(değişmeli: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(birleşik: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.
V)Çarpmanın değişmeli ve ilişkisel özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 yıl · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Çözüm.Çarpma yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:
a·b=b·a(değişmeli: faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleşik: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).
2 numaralı konu.
Cebirsel ifadeleri dönüştürme
BEN. Teorik materyal
Temel konseptler
Cebirsel ifade: tam sayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel.
Tanımın kapsamı, geçerli ifade değerleri.
Cebirsel bir ifadenin anlamı.
Tek terimli, polinom.
Kısaltılmış çarpma formülleri.
Çarpanlara ayırma, ortak çarpanı parantez dışında bırakma.
Bir kesrin temel özelliği.
Derece, derecenin özellikleri.
Kortim, köklerin özellikleri.
Rasyonel ve irrasyonel ifadelerin dönüşümü.
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yükseltme işaretlerini kullanarak sayılardan ve değişkenlerden oluşan bir ifade. rasyonel derece kökü çıkartıp parantez kullanmaya denir cebirsel.
Örneğin: ; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Cebirsel ifade değişkenlere bölmeyi ve değişkenlerin kökünü almayı (özellikle bir kuvvete yükseltmeyi) içermiyorsa kesirli gösterge), o zaman denir tüm.
Örneğin: 
; 
; 
.
Cebirsel bir ifade toplama, çıkarma, çarpma, üs alma işlemlerini kullanarak sayılardan ve değişkenlerden oluşuyorsa doğal gösterge ve bölme ve değişkenlerle ifadelere bölme kullanılırsa buna denir kesirli.
Örneğin: 
; 
.
Bütün ve kesirli ifadeler arandı akılcı ifade.
Örneğin: ; 
;
.
Cebirsel bir ifade, değişkenlerin kökünü almayı (veya değişkenleri kesirli bir kuvvete yükseltmeyi) içeriyorsa, bu tür bir cebirsel ifadeye denir. mantıksız.
Örneğin: 
; 
.
Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu değişkenlerin değerlerine denir geçerli değişken değerleri.
Herkesten bol miktarda kabul edilebilir değerler değişkenler denir tanım alanı.
Bir cebirsel ifadenin tamamının tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.
Kesirli cebirsel ifadenin tanım alanı, paydayı sıfır yapanlar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.
Örneğin: ne zaman mantıklı 
;
ne zaman mantıklı 
yani ne zaman 
.
İrrasyonel bir cebirsel ifadenin tanım alanı, dönüştürülenler dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir. negatif bir sayı eşit bir kuvvetin kökü işareti altında veya kesirli bir kuvvete yükselme işareti altında bir ifade.
Örneğin: 
ne zaman mantıklı 
;
ne zaman mantıklı 
yani ne zaman 
.
Sayısal değer Değişkenlerin izin verilen değerlerinin cebirsel bir ifadeyle değiştirilmesiyle elde edilen şeye denir. cebirsel bir ifadenin değeri.
Örneğin: ifade 
en 
, 
değerini alır 
.
Yalnızca sayıları, değişkenlerin doğal kuvvetlerini ve çarpımlarını içeren cebirsel ifadeye denir. tek terimli.
Örneğin: 
; 
; 
.
İlk etapta sayısal faktörün ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılan monom, şuna indirgenir: standart görünüm.
Örneğin: 
; 
.
Bir monomiyalin standart gösteriminin sayısal faktörüne denir monom katsayısı. Tüm değişkenlerin üslerinin toplamına denir tek terimli derecesi.
Bir tek terimliyi bir tek terimli ile çarparken ve bir tek terimliyi yükseltirken doğal derece standart forma getirilmesi gereken bir monom elde ederiz.
Monomların toplamına denir polinom.
Örneğin: 
; ; 
.
Bir polinomun tüm terimleri yazılırsa standart biçim ve benzer terimlerin indirgenmesi yapılır, ardından ortaya çıkan sonuç standart formun polinomu.
Örneğin: .
Bir polinomda yalnızca bir değişken varsa bu değişkenin en büyük üssüne denir. polinom derecesi.
Örneğin: Bir polinomun beşinci derecesi vardır.
Polinomun değerinin sıfır olduğu değişkenin değerine denir. polinomun kökü.
Örneğin: bir polinomun kökleri 
1,5 ve 2 sayılarıdır.
Kısaltılmış çarpma formülleri
Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılmasına ilişkin özel durumlar
Kareler farkı: 
veya
Kare toplamı: 
veya
Kare farkı: 
veya
Küplerin toplamı: 
veya
Küplerin farkı: 
veya
Toplamın küpü: 
veya
Fark küpü: 
veya
Bir polinomun çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomlar) çarpımına dönüştürülmesine denir. Bir polinomun çarpanlara ayrılması.
Örneğin:.
Bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri
Örneğin: .
Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.
Örneğin: .
Gruplama yöntemi. Seyahat etmek ve ilişkisel yasalar bir polinomun terimlerini gruplandırmanıza izin verir Farklı yollar. Bir yol, parantez içinde ortaya çıktığı gerçeğine yol açar aynı ifade, bu da parantezlerin dışına çıkarılır.
Örneğin:.
Herhangi bir kesirli cebirsel ifade, paydası değişken olan iki rasyonel ifadenin bölümü olarak yazılabilir.
Örneğin: 
.
Pay ve paydanın eşit olduğu kesir rasyonel ifadeler ve paydada adı verilen bir değişken var rasyonel kesir.
Örneğin: 
; 
; 
.
Pay ve payda ise rasyonel kesir sıfırdan farklı aynı sayıyla, tek terimli veya polinomla çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu ifade isminde bir kesrin temel özelliği:
.
Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölme işlemine ne ad verilir? bir fraksiyonu azaltmak:
.
Örneğin: 
; 
.
İş N her biri eşit olan faktörler A, Nerede A– keyfi cebirsel ifade veya gerçek Numara, A N – doğal sayı, isminde dereceA :
.
Cebirsel ifade A isminde derece esası, sayı
N – gösterge.
Örneğin: 
.
Tanım gereği, herhangi bir şey için olduğuna inanılmaktadır. A, Olumsuz sıfıra eşit:
Ve 
.
Eğer 
, O 
.
Derecenin özellikleri
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Eğer , 
, o zaman ifade N-inci derecesi şuna eşittir: A, isminde kökN
derecesiA
. Genellikle belirtilir 
. burada A isminde radikal ifade, N isminde kök dizini.
Örneğin: 
; 
; 
.
Kök özellikleriNa'nın derecesi
1. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
Derece ve kök kavramını genelleştirerek, rasyonel bir üste sahip derece kavramını elde ederiz:
.
Özellikle, 
.
Köklerle gerçekleştirilen eylemler
Örneğin: .
II. Pratik materyal
Görevleri tamamlama örnekleri
örnek 1. Kesrin değerini bulun 
.
Cevap: 
.
Örnek 2. Ifadeyi basitleştir 
.
İlk parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:
, Eğer 
.
İkinci parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim:
.
Birinci parantezden elde edilen sonucu ikinci parantezden elde edilen sonuca bölelim:
Cevap: 
Örnek 3. Ifadeyi basitleştir:
.
Örnek 4. Ifadeyi basitleştir.
İlk kesri dönüştürelim:
.
İkinci kesri dönüştürelim:
.
Sonuç olarak şunu elde ederiz: 
.
Örnek 5. Ifadeyi basitleştir 
.
Çözüm. Aşağıdaki eylemlere karar verelim:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
6) 
;
Cevap: 
.
Örnek 6. Kimliği kanıtla 
.
1) 
;
2) 
;
Örnek 7. Ifadeyi basitleştir:
.
Çözüm. Bu adımları takip et:
;
2) 
.
Örnek 8. Kimliği kanıtla 
.
Çözüm. Bu adımları takip et:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Bağımsız çalışma için görevler
1. İfadeyi basitleştirin:
A) 
;
B) 
;
2. Şunları hesaba katın:
A) 
;
B) 
;.Belge
Ders 5.1 numara. Trigonometrik denklemler I. Teorikmalzeme Temel konseptler Trigonometrik denklem...çeşitli kullanımlar cebirsel Ve trigonometrik formüller Ve dönüşümler. II. Pratik malzeme Görev tamamlama örnekleri...
Dış ve oturum grupları için teorik materyal içindekiler dersi 1 bilgisayar bilimi dersi 2 bilgileri
DersTeorikmalzemeİçin... , dönüşüm, aktarın ve kullanın. Bilgi bilgidir ifade edildi... ve önceden biriktirilmiş, onlar böylece ilericilere katkıda bulunuyorlar... onların yardımıyla cebirsel yöntemler. Açıklamalar ve ifadeler...
“Profil öncesi hazırlık kapsamında seçmeli ders programının geliştirilmesi” Konusu Tamamlandı
Belge... Teorik projenin gerekçesi Haziran-Ağustos 2005 3. Seçim malzeme...ne zaman modül tanımının uygulanmasını gösterir dönüşümcebirselifade. Denklemlerdeki modül: - ... öğrenci motivasyonu, teşvik onlar en çok, profil içi...
... Ders 1. Özdeş dönüşümcebirselifade Ders 2. Cebirsel teorikmalzeme
Ve Kondaurova'ya, okul çocukları için ek matematik eğitiminin matematik öğretimi teorisi ve metodolojisinin seçilen bölümleri
Eğitimsel ve metodolojik el kitabı... Ders 1. Özdeş dönüşümcebirselifade(ikamelerin kullanılması, bir sayının modülü kavramı dahil). Ders 2. Cebirsel...öğretmenler. Uzaktan dersler var teorikmalzeme...'de sunulabilir.