2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımındaki eksik çarpan 5'i ekleyelim. Şunu elde ederiz: 2*2*3*5*5=300. NOC'yi bulduk, yani. bu miktar = 300. Boyutu unutmayın ve cevabı yazın:
Cevap: Annem 300 ruble veriyor.
GCD tanımı: En Büyük Ortak Bölen (GCD) doğal sayılar A Ve V en büyük doğal sayıyı çağır C, hangisine A, Ve B kalansız bölünür. Onlar. C en küçük doğal sayıdır ve A Ve B katlardır.
Hafıza: Doğal sayıları tanımlamaya yönelik iki yaklaşım vardır
- kullanılan sayılar: nesnelerin listelenmesi (numaralandırılması) (birinci, ikinci, üçüncü, ...); - okullarda genellikle böyledir.
- öğe sayısının belirlenmesi (Pokemon yok - sıfır, bir Pokemon, iki Pokemon, ...).
Negatif ve tam sayı olmayan (rasyonel, reel,...) sayılar doğal sayı değildir. Bazı yazarlar doğal sayılar kümesine sıfırı eklerken bazıları koymaz. Tüm doğal sayılar kümesi genellikle sembolüyle gösterilir. N
Hafıza: Bir doğal sayının böleni A numarayı adlandır B, hangisine A kalansız bölünür. Bir doğal sayının katları B doğal bir sayıyı aramak A ile bölünebilen B iz bırakmadan. eğer sayı B- sayı bölen A, O A sayının katları B. Örnek: 2, 4'ün bölenidir ve 4, ikinin katıdır. 3, 12'nin bölenidir ve 12, 3'ün katıdır.
Hafıza: Doğal sayılar, yalnızca kendilerine ve 1'e kalansız olarak bölünebiliyorsa asal sayılar olarak adlandırılır. Ortak asal sayılar, yalnızca bir ortak böleni 1'e eşit olan sayılardır.
Genel durumda bir GCD'nin nasıl bulunacağının belirlenmesi: GCD'yi (En Büyük Ortak Bölen) bulmak için birkaç doğal sayıya ihtiyaç vardır:
1) Bunları asal çarpanlara ayırın. (Asal Sayılar Tablosu bunun için çok yararlı olabilir.)
2) Bunlardan birinin açılımında yer alan faktörleri yazınız.
3) Kalan sayıların açılımına dahil olmayanların üzerini çizin.
4) Adım 3)'te elde edilen faktörleri çarpın.
Sorun 2 (NOK): Kolya Puzatov, yeni yıl için şehirden 48 hamster ve 36 cezve satın aldı. Sınıfın en dürüst kızı olan Fekla Dormidontova'ya, bu mülkü öğretmenler için mümkün olan en fazla sayıda hediye setine bölme görevi verildi. Kaç set aldın? Setlerin içeriği nedir?
Örnek 2.1. GCD bulma problemini çözme. Seçimle GCD'yi bulma.
Çözüm: 48 ve 36 sayılarının her birinin hediye sayısına bölünmesi gerekmektedir.
1) 48: 48, 24, 16'nın bölenlerini yazın. 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) 36:36, 18'in bölenlerini yazıyoruz, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 En büyük ortak böleni seçin. Whoa-la-la! Set sayısının 12 adet olduğunu tespit ettik.
3) 48'i 12'ye bölerek 4'ü, 36'yı 12'ye bölerek 3'ü elde edin. Boyutu unutmayın ve cevabı yazın:
Cevap: Her sette 12 takım 4 hamster ve 3 cezve alacaksınız.
Doğal sayılarda bölünebilme kriterleri.
2'ye kalansız bölünebilen sayılara denireşit .
2'ye tam olarak bölünemeyen sayılara denirgarip .
2'ye bölünebilme testi
Bir doğal sayının sonu çift rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye kalansız bölünür, bir sayı tek rakamla bitiyorsa bu sayı 2'ye tam olarak bölünemez.
Örneğin 6 sayısı0 , 30 8 , 8 4 2'ye kalansız bölünebilir ve sayılar 5'tir1 , 8 5 , 16 7 2'ye kalansız bölünmez.
3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayı 3'e bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa sayı 3'e de bölünmez.
Örneğin 2772825 sayısının 3'e bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3'e bölünebilir. Bu, 2772825 sayısının 3'e bölünebildiği anlamına gelir.
5'e bölünebilme testi
Bir doğal sayının kaydı 0 veya 5 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 5'e kalansız bölünür. Bir sayının kaydı başka bir rakamla bitiyorsa sayı 5'e kalansız bölünemez.
Örneğin 1 sayısı5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5'e kalansız bölünebilir ve sayılar 1'dir7 , 37 8 , 9 1 paylaşmayın.
9'a bölünebilme testi
Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa sayı 9'a bölünür; Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünemiyorsa sayı 9'a da bölünemez.
Örneğin 5402070 sayısının 9'a bölünüp bölünmediğini bulalım. Bunun için bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9'a bölünmez Bu, 5402070 sayısının 9'a bölünemediği anlamına gelir.
10'a bölünebilme testi
Bir doğal sayının sonu 0 rakamıyla bitiyorsa bu sayı 10'a kalansız bölünür. Bir doğal sayı başka bir rakamla bitiyorsa 10'a tam olarak bölünemez.
Örneğin 4 sayısı0 , 17 0 , 1409 0 10'a kalansız bölünebilir ve 1 sayıları7 , 9 3 , 1430 7 - paylaşmayın.
En büyük ortak böleni (GCD) bulma kuralı.
Birkaç doğal sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapmanız gerekenler:
2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.
Örnek. OBEB'yi (48;36) bulalım. Kuralı kullanalım.
1. 48 ve 36 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 48 sayısının açılımında yer alan faktörlerden 36 sayısının açılımında yer almayanları çıkarıyoruz.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Geriye kalan çarpanlar 2, 2 ve 3'tür.
3. Geriye kalan çarpanları çarpın ve 12 değerini elde edin. Bu sayı, 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
En küçük ortak katı (LCM) bulma kuralı.
Birkaç doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için yapmanız gerekenler:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.
Örnek. LOC'yi (75;60) bulalım. Kuralı kullanalım.
1. 75 ve 60 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 75 sayısının açılımına dahil olan çarpanları yazalım: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Onlara 60 sayısının açılımındaki eksik faktörleri ekleyin; 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Aşağıda sunulan materyal, LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ile GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM) ve örneklerin çözümüne özellikle dikkat edeceğiz. İlk olarak, iki sayının LCM'sinin, bu sayıların OBEB'i kullanılarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlarına ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edeceğiz.
Sayfada gezinme.
GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması
En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ile GCD arasındaki mevcut bağlantı, bilinen bir en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tam sayının en küçük ortak katını hesaplamamıza olanak tanır. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b) . Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerini ele alalım.
Örnek.
126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
Bu örnekte a=126 , b=70 . Aşağıdaki formülle ifade edilen LCM ile GCD arasındaki bağlantıyı kullanalım. LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.
Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.
Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: OBEB(126, 70)=126·70:OBEB(126, 70)= 126.70:14=630.
Cevap:
LCM(126, 70)=630 .
Örnek.
LCM(68, 34) neye eşittir?
Çözüm.
Çünkü 68, 34'e bölünebilirse OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: OBEB(68, 34)=68·34:OBEB(68, 34)= 68.34:34=68.
Cevap:
LCM(68, 34)=68 .
Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.
Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma
En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .
LCM'yi bulmak için belirtilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, OBEB(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin çarpımına eşittir (sayıların asal çarpanlara açılmasını kullanarak OBE'yi bulma bölümünde anlatıldığı gibi).
Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir; NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Örnek.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.
Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Cevap:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik faktörler, a sayısının açılımındaki faktörlere eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..
Örneğin aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, bunların asal çarpanlarına ayrıştırılması şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.
Örnek.
84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.
Cevap:
LCM(84, 648)=4,536 .
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.
Teorem.
a 1 , a 2 , …, a k pozitif tamsayı sayıları verilse, bu sayıların en küçük ortak katı m k sırasıyla m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) hesaplanarak bulunur. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.
Örnek.
140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.
Çözüm.
Bu örnekte a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
İlk önce buluyoruz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dolayısıyla GCD(140, 9)=1 , buradan OBEB(140, 9)=140 9:OBEB(140, 9)= 140.9:1=1.260. Yani m2 =1 260.
Şimdi bulduk m3 = LOC (m2, a 3) = LOC (1 260, 54). Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.
Geriye kalan tek şey bulmak m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCM(3,780, 250)=10, dolayısıyla GCM(3,780, 250)= 3 780 250: OBEB(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.
Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.
Cevap:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda aşağıdaki kurala uymalısınız. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; üçüncü sayı ortaya çıkan faktörlere eklenir ve bu şekilde devam eder.
Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.
Örnek.
84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 asal bir sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla birlikte) ve 143=11·13.
Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bir sonraki adımda bu sete çarpan eklemenize gerek kalmayacak çünkü 7 zaten içinde yer alıyor. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.
En küçük ortak katı bulmanın üç yoluna bakalım.
Çarpanlara ayırma yoluyla bulma
İlk yöntem, verilen sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.
Diyelim ki 99, 30 ve 28 sayılarının LCM'sini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bu sayıların her birini asal çarpanlara ayıralım:
İstenilen sayının 99, 30 ve 28'e bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunun için bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük dereceye alıp bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Dolayısıyla LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e bölünemez.
Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, bunları asal çarpanlarına ayırırsınız, ardından her asal çarpanı göründüğü en büyük üssüyle alırsınız ve bu çarpanları birbiriyle çarparsınız.
Nispeten asal sayıların ortak asal çarpanları bulunmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Çeşitli asal sayıların en küçük ortak katını bulurken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Seçime göre bulma
İkinci yöntem ise seçim yaparak en küçük ortak katı bulmaktır.
Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü başka bir sayıya bölündüğünde, bu sayıların LCM'si en büyüğüne eşittir. Örneğin dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, dolayısıyla:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Diğer durumlarda en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:
- Verilen sayılardan en büyüğünü belirleyiniz.
- Daha sonra en büyük sayının katları olan sayıları artan sırada doğal sayılarla çarparak buluyoruz ve elde edilen çarpımın kalan sayılara bölünüp bölünemediğini kontrol ediyoruz.
Örnek 2. 24, 3 ve 18 olmak üzere üç sayı verildiğinde. Bunların en büyüğünü belirliyoruz - bu 24 sayısıdır. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederek 24'ün katları olan sayıları buluyoruz:
24 · 1 = 24 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.
24 · 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.
24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.
Böylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.
LCM'yi sırayla bularak bulma
Üçüncü yöntem, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.
Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.
Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:
Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:
Böylece LCM (12, 8) = 24 olur.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:
- Öncelikle bu sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
- Daha sonra bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının LCM'si.
- Daha sonra, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının LCM'si vb.
- Böylece LCM arayışı sayılar olduğu sürece devam eder.
Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte 12 ve 8 sayılarının LCM'sini zaten bulduk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24 sayısının ve verilen üçüncü sayının - 9'un en küçük ortak katını bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 sayısıyla çarpın:
Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:
Böylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.
Aşağıdaki problemi çözmeyi düşünelim. Oğlanın adımı 75 cm, kızın adımı ise 60 cm'dir. Her ikisinin de tam sayı sayıda adım attığı en küçük mesafeyi bulmak gerekir.
Çözüm. Adamların geçeceği yolun tamamı 60 ve 70'e bölünebilir olmalı çünkü her birinin tam sayıda adım atması gerekiyor. Yani cevap hem 75'in hem de 60'ın katı olmalıdır.
Öncelikle 75 sayısının tüm katlarını yazacağız. Şunu elde ederiz:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Şimdi 60'ın katı olacak sayıları yazalım. Şunu elde ederiz:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Şimdi her iki satırdaki sayıları buluyoruz.
- Sayıların ortak katları 300, 600 vb. olacaktır.
Bunlardan en küçüğü 300 sayısıdır. Bu durumda 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı denilecektir.
Sorunun durumuna dönecek olursak, erkeklerin tam sayı adım atacağı en küçük mesafe 300 cm olacaktır. Erkek çocuk bu yolu 4 adımda kat edecek, kız çocuğun ise 5 adım atması gerekecektir.
En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi
- A ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır.
İki sayının en küçük ortak katını bulmak için bu sayıların tüm katlarını arka arkaya yazmaya gerek yoktur.
Aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.
En küçük ortak kat nasıl bulunur
Öncelikle bu sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Şimdi birinci sayının (2,2,3,5) açılımındaki tüm çarpanları yazalım ve buna ikinci sayının (5) açılımındaki tüm eksik çarpanları ekleyelim.
Sonuç olarak bir dizi asal sayı elde ederiz: 2,2,3,5,5. Bu sayıların çarpımı bu sayılar için en az ortak faktör olacaktır. 2*2*3*5*5 = 300.
En küçük ortak katı bulmak için genel şema
- 1. Sayıları asal faktörlere bölün.
- 2. Bunlardan birinin parçası olan asal faktörleri yazın.
- 3. Bu faktörlere diğerlerinin genişlemesinde olan ancak seçilende olmayanları ekleyin.
- 4. Tüm yazılı faktörlerin çarpımını bulun.
Bu yöntem evrenseldir. Herhangi bir sayıda doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için kullanılabilir.