Bir nok sayısı nedir? İki sayının en küçük ortak katı nasıl bulunur

Aşağıdaki problemi çözmeyi düşünelim. Oğlanın adımı 75 cm, kızın adımı ise 60 cm'dir. Her ikisinin de tam sayı sayıda adım attığı en küçük mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm. Adamların geçeceği yolun tamamı 60 ve 70'e bölünebilir olmalı çünkü her birinin tam sayıda adım atması gerekiyor. Yani cevap hem 75'in hem de 60'ın katı olmalıdır.

Öncelikle 75 sayısının tüm katlarını yazacağız. Şunu elde ederiz:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Şimdi 60'ın katı olacak sayıları yazalım. Şunu elde ederiz:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Şimdi her iki satırdaki sayıları buluyoruz.

  • Sayıların ortak katları 300, 600 vb. olacaktır.

Bunlardan en küçüğü 300 sayısıdır. Bu durumda 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı denilecektir.

Sorunun durumuna dönecek olursak, erkeklerin tam sayı adım atacağı en küçük mesafe 300 cm olacaktır. Erkek çocuk bu yolu 4 adımda kat edecek, kız çocuğun ise 5 adım atması gerekecektir.

En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi

  • A ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır.

İki sayının en küçük ortak katını bulmak için bu sayıların tüm katlarını arka arkaya yazmaya gerek yoktur.

Aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.

En küçük ortak kat nasıl bulunur

Öncelikle bu sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Şimdi birinci sayının (2,2,3,5) açılımındaki tüm çarpanları yazalım ve buna ikinci sayının (5) açılımındaki tüm eksik çarpanları ekleyelim.

Sonuç olarak bir dizi asal sayı elde ederiz: 2,2,3,5,5. Bu sayıların çarpımı bu sayıların en küçük ortak çarpanı olacaktır. 2*2*3*5*5 = 300.

En küçük ortak katı bulmak için genel şema

  • 1. Sayıları asal faktörlere bölün.
  • 2. Bunlardan birinin parçası olan asal faktörleri yazın.
  • 3. Bu faktörlere diğerlerinin genişlemesinde olan ancak seçilende olmayanları ekleyin.
  • 4. Yazılan tüm faktörlerin çarpımını bulun.

Bu yöntem evrenseldir. Herhangi bir sayıda doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için kullanılabilir.

Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM ayrıca iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanan bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

Adımlar

Katlar serisi

    Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan küçük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha büyük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

    • Örneğin 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

  1. Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda katlar bulunabilir.

    • Örneğin 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın.İki sayı kümesini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

    • Örneğin 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

  3. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayıyı bulun. Toplam sayıyı bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

    • Örneğin 5 ve 8'in katları serisinde yer alan en küçük sayı 40 sayısıdır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

    Asal çarpanlara ayırma

    1. Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

    2. İlk sayıyı asal faktörlere ayırın. Yani çarpıldığında belirli bir sayıyı verecek asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra bunları eşitlik olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Buna göre 20 sayısının asal çarpanları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

    3. İkinci sayıyı asal faktörlere ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız şekilde yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

    4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) bunun üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının da ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle şunu yazın: 2 × (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
      • Her iki sayının da ortak noktası 2'nin bir çarpanı daha, o halde yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

    5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar her iki ifadede de üstü çizili olmayan faktörlerdir, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Her iki ikinin (2) üzeri çizilir çünkü bunlar ortak çarpanlardır. 5 faktörünün üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • İfadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikilinin (2) de üzeri çizilir. 7 ve 3'ün çarpanları çizilmemiştir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

    6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ile 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

    Ortak faktörleri bulma

    1. Tic-tac-toe oyununa benzer bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, başka iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu size üç satır ve üç sütun verecektir (ızgara, # simgesine çok benzer). İlk sayıyı birinci satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin 18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18 sayısını, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 sayısını yazın.

    2. Her iki sayının ortak bölenini bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin 18 ve 30 çift sayılar olduğundan ortak çarpanları 2'dir. O halde ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

    3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü uygun sayının altına yazın. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9) yani 18 yaş altı 9 yazın.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15) 30'un altında 15 yazın.

    4. Her iki bölümün ortak bölenini bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi halde ikinci satıra ve birinci sütuna böleni yazın.

      • Örneğin 9 ve 15 3'e bölünebilir, bu nedenle ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

    5. Her bölümü ikinci bölenine bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) yani 3'ü 9'un altına yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5) 15'in altına 5 yazın.

    6. Gerekirse ızgaraya ek hücreler ekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

    7. Tablonun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Daha sonra seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları ise son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

    8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Yani 18 ile 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

    Öklid algoritması

    1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi unutmayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur. Kalan, iki sayının bölünmesinden kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 temettü
        6 bir bölendir
        2 bölümdür
        Geriye kalan 3'tür.

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, kesirlerle çalışmayı zahmetsiz hale getiren temel aritmetik kavramlardır. LCM ve çoğunlukla birkaç kesirin ortak paydasını bulmak için kullanılır.

Temel Kavramlar

Bir X tam sayısının böleni, X'in kalan bırakmadan bölündüğü başka bir Y tamsayıdır. Örneğin 4'ün böleni 2, 36 ise 4, 6, 9'dur. Bir X tam sayısının katı, X'e kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.

Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birden fazla böleni ve katı olabilir, dolayısıyla hesaplamalar en büyük bölen GCD'yi ve en küçük kat LCM'yi kullanır.

En küçük bölen anlamsızdır çünkü herhangi bir sayı için o her zaman birdir. Katların sırası sonsuza gittiği için en büyük kat da anlamsızdır.

Gcd'yi bulma

En büyük ortak böleni bulmanın birçok yöntemi vardır; bunlardan en ünlüsü:

  • bölenlerin sıralı numaralandırılması, bir çift için ortak olanların seçilmesi ve bunlardan en büyüğünün aranması;
  • sayıların bölünemez faktörlere ayrıştırılması;
  • Öklid algoritması;
  • ikili algoritma.

Günümüzde eğitim kurumlarında en popüler yöntemler asal faktörlere ayrıştırma ve Öklid algoritmasıdır. İkincisi, Diophantine denklemlerini çözerken kullanılır: denklemin tamsayılarda çözümlenme olasılığı açısından kontrol edilmesi için GCD'nin aranması gerekir.

NOC'yi bulmak

En küçük ortak kat, sıralı numaralandırma veya bölünemez faktörlere ayırma yoluyla da belirlenir. Ayrıca, en büyük bölenin önceden belirlenmiş olması durumunda LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için LCM ve GCD aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

LCD(X,Y) = X × Y / OBE(X,Y).

Örneğin, GCM(15,18) = 3 ise LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 olur. LCM kullanmanın en belirgin örneği, en küçük ortak kat olan ortak paydayı bulmaktır. verilen kesirler.

Eş asal sayılar

Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir çifte eş asal denir. Bu tür çiftlerin gcd'si her zaman bire eşittir ve bölenler ve katlar arasındaki bağlantıya bağlı olarak eş asal çiftlerin gcd'si bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yoktur ve LCM(25, 28) = 700, bu da çarpımlarına karşılık gelir. Bölünemeyen herhangi iki sayı her zaman aralarında asal olacaktır.

Ortak bölen ve çoklu hesap makinesi

Hesap makinemizi kullanarak, aralarından seçim yapabileceğiniz rastgele sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenlerin ve katların hesaplanmasına ilişkin görevler 5. ve 6. sınıf aritmetiğinde bulunur, ancak GCD ve LCM matematikteki anahtar kavramlardır ve sayılar teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.

Gerçek hayattan örnekler

Kesirlerin ortak paydası

Birkaç kesirin ortak paydasını bulurken en küçük ortak kat kullanılır. Diyelim ki bir aritmetik probleminde 5 kesri toplamanız gerekiyor:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kesirleri eklemek için ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma problemini azaltır. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve paydaların değerlerini uygun hücrelere girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek faktörleri hesaplamanız gerekir. Yani ek çarpanlar şöyle görünecektir:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bu kesirleri kolaylıkla toplayıp 159/360 sonucunu elde edebiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.

Doğrusal Diofant denklemlerini çözme

Doğrusal Diophantine denklemleri ax + by = d biçimindeki ifadelerdir. Eğer d / gcd(a, b) oranı bir tamsayı ise, denklem tamsayılarla çözülebilir. Tamsayı çözümleri olup olmadığını görmek için birkaç denklemi kontrol edelim. Öncelikle 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak OBE (150,8) = 2'yi buluruz. 37/2'yi böl = 18,5. Sayı tam sayı olmadığından denklemin tam sayı kökleri yoktur.

1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak GCD(1320, 1760) = 440'ı bulun. 10120/440 = 23'e bölün. Sonuç olarak bir tamsayı elde ederiz, dolayısıyla Diophantine denklemi tamsayı katsayılarıyla çözülebilir. .

Çözüm

GCD ve LCM sayı teorisinde büyük bir rol oynamaktadır ve kavramların kendileri matematiğin çok çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir sayının en büyük bölenlerini ve en küçük katlarını hesaplamak için hesap makinemizi kullanın.

İkinci sayı: b=

Bin ayırıcı Boşluk ayırıcı olmadan "'

Sonuç:

En büyük ortak bölen gcd( A,B)=6

LCM'nin en küçük ortak katı( A,B)=468

a ve b sayılarına kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen(GCD) bu sayıların. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) veya hcf(a,b) ile gösterilir.

En az ortak katİki a ve b tam sayısının LCM'si, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM(a,b) veya lcm(a,b) ile gösterilir.

a ve b tam sayılarına denir karşılıklı olarak asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak bölen

İki pozitif sayı verilsin A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor yani. böyle bir numara bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.

1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı olarak anlaşılacaktır.

İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve izin ver

Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölmenin geri kalanı A başına 1 A 2 daha az olmalı A 2).

Diyelim ki λ böler A 1 ve A 2 o zaman λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 (“Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik testi” makalesinin 2. ifadesi). Buradan her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Bunun tersi de geçerliyse λ ortak bölen A 2 ve A 3 o zaman M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3 de bölünebilir λ . Bu nedenle ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 ise sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünü söyleyebiliriz. A 1 ve A 2 sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir A 2 ve A 3 .

Eğer A 3 ≠0 ise bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra

,

Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A Bölmeden kalan 4 A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer akıl yürütmeyle sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle çakışır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sürekli azalan sayılardır ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğundan A 2 ve 0, sonra bir aşamada N, bölmenin geri kalanı A hayır A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2 =0).

.

Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların bölenidir A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 . Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n−1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ancak sayıların ortak böleni A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 çünkü A n ve A n+1 şunlara bölünebilir: A n+1 (unutmayın A n+2 =0). Buradan A n+1 aynı zamanda sayıların bölenidir A 1 ve A 2 .

Numaraya dikkat edin A n+1 sayıların en büyük böleni A n ve A n+1 , en büyük bölenden beri A n+1 kendisidir A n+1 . Eğer A n+1 tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilirse bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak bölen sayılar A 1 ve A 2 .

Sayılar A 1 ve A 2 pozitif ya da negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid algoritmasıİki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

  • Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Geri kalan 196'dır.
  • Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Geri kalan 42 olur.
  • Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Geri kalan 28'dir.
  • Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Geri kalan 14'tür.
  • Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Geri kalan 0'dır.

5. adımda bölmeden kalan 0 olur. Dolayısıyla 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının aynı zamanda 630 ve 434 sayılarının da bölenleri olduğuna dikkat edin.

Eş asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2 bire eşittir. Daha sonra bu numaralar çağrılır eş asal sayılar, ortak böleni yoktur.

Teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 eş asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ Ve A 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).

.

Teoremin koşullarına göre sayıların en büyük ortak böleni şu şekildedir: A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1 eşittir 1. Yani A n+1 =1.

Bütün bu eşitlikleri şununla çarpalım: λ , Daha sonra

.

Ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 evet δ . Daha sonra δ çarpan olarak dahil edilir A 1 λ , M 1 A 2 λ ve içinde A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (bkz. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Sonraki δ çarpan olarak dahil edilir A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve bu nedenle bir faktör olarak dahil edilmiştir. A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ çarpan olarak dahil edilir A n−1 λ Ve M n−1 A N λ ve bu nedenle A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1 ise δ çarpan olarak dahil edilir λ . Bu nedenle sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.

Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C Asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü ac göre bir asal sayıdır B.

Gerçekten mi. Teorem 1'den ac Ve B aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B nispeten basit, yani tek bir ortak böleni var 1. Sonra ac Ve B ayrıca tek bir ortak bölen 1 var. Bu nedenle ac Ve B karşılıklı olarak basit.

Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B eş asal sayılar ve izin ver B böler tamam. Daha sonra B böler ve k.

Gerçekten mi. Onay koşulundan tamam Ve B ortak bir böleni var B. Teorem 1'e göre, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuçlar 3. 1. Sayıları bırakın A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki satırlık sayılarımız olsun

Öyle ki, birinci serideki her sayı, ikinci serideki her sayının oranında asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmanız gerekir.

Bir sayı bölünebiliyorsa A 1, o zaman formu var sa 1 nerede S bir miktar. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2, o zaman

Nerede S 1 bir tam sayıdır. Daha sonra

öyle sayıların en küçük ortak katları A 1 ve A 2 .

A 1 ve A 2 aralarında asalsa sayıların en küçük ortak katıdır A 1 ve A 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor.

Yukarıdakilerden herhangi bir sayının katları olduğu sonucu çıkar A 1 , A 2 , A 3 sayının katı olmalı ε Ve A 3 ve geri. sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 evet ε 1. Daha sonra sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sayının katı olmalı ε 1 ve A 4. sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 evet ε 2. Böylece sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m belirli bir sayının katlarıyla çakışıyor ε n'ye verilen sayıların en küçük ortak katı denir.

Sayıların olduğu özel durumda A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m göreceli olarak asaldır, bu durumda sayıların en küçük ortak katıdır A 1 , AŞekil 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Sonraki, beri A Sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 o zaman A 3 asal sayı A 1 · A 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı anlamına gelir A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.

İfade 1. Eş asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Çevrimiçi hesap makinesi, iki veya herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

  • Giriş alanına sayıları girin
  • Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
  • "GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

  • Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
  • Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak bölen birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En az ortak kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı 3'e bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

İki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamanın en kolay yolu, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

  1. Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
  3. Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

  1. 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
  2. OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
  3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

  1. Öncelikle sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
  3. Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
  4. Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
  5. Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.