Pozitif Pentagon beş kenarın ve beş açısının da birbirine eşit olduğu çokgendir. Etrafına bir daire çizmek kolaydır. Dik Pentagon ve yardımcı olacak olan da bu çevredir.
Talimatlar
1. Öncelikle pusula ile bir daire çizmeniz gerekiyor. Çemberin merkezi O noktasıyla çakışsın. Simetri eksenlerini birbirine dik olarak çizin. Bu eksenlerden birinin daire ile kesiştiği noktaya bir V noktası yerleştirin. Bu nokta geleceğin tepesi olacaktır. Pentagon A. D noktasını diğer eksenin daireyle kesiştiği noktaya yerleştirin.
2. OD segmentinde ortayı bulun ve içindeki A noktasını işaretleyin. Bundan sonra, bu noktada merkezi olan pusulalı bir daire oluşturmanız gerekir. Ayrıca V noktasından yani CV yarıçapıyla geçmesi gerekir. Simetri ekseni ile bu çemberin kesişim noktasını B olarak belirleyin.
3. Daha sonra kullanarak pusulaİğneyi V noktasına yerleştirerek aynı yarıçapta bir daire çizin. Bu dairenin orijinal daireyle kesişimini F noktası olarak belirleyin. Bu nokta gelecekteki doğrunun 2. köşesi olacaktır. Pentagon A.
4. Şimdi aynı daireyi E noktasından, merkezi F'de olacak şekilde çizmeniz gerekiyor. Az önce çizdiğiniz dairenin orijinal daireyle kesişim noktasını G noktası olarak belirleyin. Bu nokta aynı zamanda köşelerden biri haline gelecektir. Pentagon A. Benzer şekilde başka bir daire oluşturmanız gerekir. Merkezi G'dir. Orijinal çemberle kesişme noktası H olsun. Bu, düzgün bir çokgenin son köşesidir.
5. Artık beş köşeniz olmalı. Bunları çizgi boyunca birleştirmek kolaydır. Tüm bu işlemlerin sonucunda dairenin içinde pozitif yazılı bir sonuç elde edeceksiniz. Pentagon .
Olumlu inşa etmek beşgenler Pusula ve cetvel yardımıyla izin verilir. Doğru, bu süreç, tek sayıda kenarı olan herhangi bir pozitif çokgenin inşası gibi oldukça uzundur. Modern bilgisayar programları bunu birkaç saniye içinde yapmanızı sağlar.
İhtiyacın olacak
- – AutoCAD programı olan bilgisayar.
Talimatlar
1. AutoCAD programında üst menüyü ve içinde “Ana” sekmesini bulun. Farenin sol tuşuyla üzerine tıklayın. Çizim paneli görüntülenir. Çeşitli çizgi türleri görünecektir. Kapalı bir sürekli çizgi seçin. Bu bir çokgen, geriye kalan tek şey parametreleri girmek. AutoCAD. Çok çeşitli normal çokgenler çizmenizi sağlar. Kenar sayısı 1024'e kadar olabilir. Versiyona göre komut satırını “_polygon” veya “plural angle” yazarak da kullanabilirsiniz.
2. Komut satırını veya içerik menülerini kullanmanıza bakılmaksızın, ekranınızda kenar sayısını girmenizi isteyen bir pencere açılacaktır. Oraya “5” sayısını girin ve Enter tuşuna basın. Sizden beşgenin merkezini belirlemeniz istenecek. Açılan pencereye koordinatları girin. Bunları (0,0) olarak belirleyebilirsiniz, ancak her türlü başka veri de olabilir.
3. Gerekli inşaat yöntemini seçin. . AutoCAD üç seçenek sunar. Bir beşgen bir dairenin çevresine çizilebilir veya içine yazılabilir, ancak belirli bir kenar boyutuna göre de oluşturulabilir. İstediğiniz seçeneği seçin ve enter tuşuna basın. Gerekirse dairenin yarıçapını ayarlayın ve ayrıca enter tuşuna basın.
4. Belirli bir taraftaki bir beşgen ilk önce aynı şekilde inşa edilir. Kapalı bir sürekli çizgi olan Çiz'i seçin ve kenar sayısını girin. Bağlam menüsünü açmak için sağ tıklayın. “Kenar” veya “yan” komutunu tıklayın. Komut satırında beşgenin kenarlarından birinin başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarını girin. Daha sonra ekranda beşgen görünecek.
5. Tüm işlemler komut satırı kullanılarak gerçekleştirilebilir. Örneğin programın Rusça versiyonunda bir kenar boyunca beşgen oluşturmak için “c” harfini girin. İngilizce versiyonunda “_e” olacaktır. Yazılı veya sınırlı bir beşgen oluşturmak için, daha sonra “o” veya “v” harfinin (veya İngilizce “_с” veya “_i”) kenar sayısı tanımını girin.
Konuyla ilgili video
Konuyla ilgili video
Yararlı tavsiye
Bu basit yöntem yalnızca bir beşgen oluşturmanıza izin vermez. Bir üçgen oluşturmak için pusulanın bacaklarını dairenin yarıçapına eşit bir mesafeye yaymanız gerekir. Bundan sonra iğneyi herhangi bir noktaya takın. İnce bir yardımcı daire çizin. Dairelerin iki kesişme noktası ve pusulanın ayağının bulunduğu nokta pozitif bir üçgenin üç köşesini oluşturur.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir altıgen inşaatı.
Bir altıgenin yapısı, kenarının çevrelenen dairenin yarıçapına eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. Bu nedenle, bunu oluşturmak için daireyi altı eşit parçaya bölmek ve bulunan noktaları birbirine bağlamak yeterlidir.
Düz bir kenar ve 30X60° kare kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Bu yapıyı gerçekleştirmek için dairenin yatay çapını 1 ve 4 numaralı açıların ortaortayı olarak alıyoruz, 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 ve 7 - 2 kenarlarını oluşturuyoruz, ardından 5 - 6 kenarlarını çiziyoruz ve 3 - 2.
Böyle bir üçgenin köşeleri bir pusula ve açıları 30 ve 60° olan bir kare veya yalnızca bir pusula kullanılarak oluşturulabilir. Bir daire içine yazılmış bir eşkenar üçgen oluşturmanın iki yolunu düşünelim.
İlk yol(Şekil 61,a), 7, 2, 3 üçgeninin üç açısının da 60° içermesi ve 7 noktasından geçen dikey çizginin 1 açısının hem yüksekliği hem de açıortayı olması gerçeğine dayanmaktadır. 0 - 1 - 2 30°'ye eşitse, 1 - 2 kenarını bulmak için 1 noktası ile 0 - 1 kenarı arasında 30°'lik bir açı oluşturmak yeterlidir. Bunu yapmak için, çapraz çubuğu ve kareyi şekilde gösterildiği gibi takın, istenen üçgenin kenarlarından biri olacak 1 - 2 çizgisini çizin. 2 - 3. tarafı oluşturmak için, çapraz çubuğu kesikli çizgilerle gösterilen konuma ayarlayın ve 2. noktadan geçen düz bir çizgi çizin; bu, üçgenin üçüncü tepe noktasını belirleyecektir.
İkinci yol Bir daire içine yerleştirilmiş düzenli bir altıgen inşa edip sonra köşelerini bir noktadan birleştirirseniz, bir eşkenar üçgen elde edeceğiniz gerçeğine dayanmaktadır.
Bir üçgen oluşturmak için, çapın tepe noktası 1'i işaretleyin ve 1 - 4 çapında bir çizgi çizin. Daha sonra, yarıçapı D/2'ye eşit olan 4. noktadan itibaren, 3. noktada daire ile kesişene kadar bir yay tanımlarız ve 2. Ortaya çıkan noktalar istenen üçgenin diğer iki köşesi olacaktır.
Bu inşaat bir kare ve pusula kullanılarak yapılabilir.
İlk yol karenin köşegenlerinin çevrelenen dairenin merkezinde kesişmesi ve eksenlerine 45° açıyla eğik olması esasına dayanır. Buna dayanarak, Şekil 2'de gösterildiği gibi 45° açıyla çapraz çubuğu ve kareyi yerleştiriyoruz. 62, a ve 1 ve 3 noktalarını işaretleyin. Daha sonra, bu noktalardan çapraz çubuk kullanarak 4 - 1 ve 3 -2 karesinin yatay kenarlarını çiziyoruz. Daha sonra karenin kenarı boyunca düz bir kenar kullanarak karenin 1 - 2 ve 4 - 3 dikey kenarlarını çiziyoruz.
İkinci yol bir karenin köşelerinin, çapın uçları arasında kalan bir dairenin yaylarını ikiye böldüğü gerçeğine dayanmaktadır. Karşılıklı olarak dik olan iki çapın uçlarında A, B ve C noktalarını işaretliyoruz ve bunlardan y yarıçapı ile yayları birbirleriyle kesişene kadar tanımlıyoruz.
Daha sonra, yayların kesişme noktalarından, şekilde düz çizgilerle işaretlenmiş yardımcı düz çizgiler çiziyoruz. Çemberle kesiştikleri noktalar 1 ve 3 numaralı köşeleri belirleyecektir; 4 ve 2. Bu şekilde elde edilen istenilen karenin köşelerini seri olarak birbirine bağlıyoruz.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir beşgen inşaatı.
Düzenli bir beşgeni bir daireye sığdırmak için aşağıdaki yapıları yapıyoruz. Çember üzerinde 1 noktasını işaretliyoruz ve onu beşgenin köşelerinden biri olarak alıyoruz. AO segmentini ikiye bölüyoruz. Bunu yapmak için, A noktasından, M ve B noktalarında daire ile kesişene kadar AO yarıçaplı bir yay tanımlarız. Bu noktaları düz bir çizgiyle birleştirerek K noktasını elde ederiz ve bunu daha sonra 1 noktasına bağlarız. A7 segmentine eşit bir yarıçap, K noktasından H noktasında AO çap çizgisiyle kesişene kadar bir yay tanımlarız. 1 noktasını H noktasına bağlayarak beşgenin kenarını elde ederiz. Daha sonra, 1. köşeden daire ile kesişme noktasına kadar bir yayı tanımlayan 1H segmentine eşit bir pusula çözümü kullanarak, 2 ve 5 numaralı köşeleri buluyoruz. Aynı pusula çözümü ile 2 ve 5 numaralı köşelerden çentikler açarak geri kalanını elde ediyoruz köşeler 3 ve 4. Bulunan noktaları sırayla birbirine bağlarız.
Belirli bir kenar boyunca düzenli bir beşgen oluşturmak.
Belirli bir kenar boyunca düzenli bir beşgen oluşturmak için (Şekil 64), AB parçasını altı eşit parçaya böleriz. AB yarıçaplı A ve B noktalarından, kesişimi K noktasını verecek yayları tanımlarız. Bu noktadan ve AB çizgisi üzerindeki 3. bölümden dikey bir çizgi çizeriz. Daha sonra, bu düz çizgi üzerindeki K noktasından 4/6 AB'ye eşit bir parça bırakıyoruz. 1. noktayı alıyoruz - beşgenin tepe noktası. Daha sonra yarıçapı AB'ye eşit olan 1 noktasından, daha önce A ve B noktalarından çizilen yaylarla kesişene kadar bir yay tanımlarız. Yayların kesişme noktaları, 2 ve 5 numaralı beşgen köşelerini belirler. Bulunan köşeleri, birbirleriyle dizi.
Bir daire içine yazılmış düzenli bir yedigen inşaatı.
D çapında bir daire verilsin; içine düzenli bir yedigen yerleştirmeniz gerekir (Şek. 65). Dairenin dikey çapını yedi eşit parçaya bölün. Yarıçapı D çemberinin çapına eşit olan 7 noktasından, F noktasında yatay çapın devamı ile kesişene kadar bir yay tanımlarız. F noktasına çokgenin kutbu adını veririz. VII noktasını yedigenin köşelerinden biri olarak alarak, F kutbundan dikey çapın eşit bölümleri boyunca ışınlar çizeriz; daire ile kesişimi yedigenin VI, V ve IV köşelerini belirleyecektir. IV, V ve VI noktalarından / - // - /// köşelerini elde etmek için daireyle kesişene kadar yatay çizgiler çizin. Bulunan köşeleri sırayla birbirine bağlarız. Bir yedigen, F kutbundan gelen ışınlar çizilerek ve dikey çapın tek bölmeleri yoluyla oluşturulabilir.
Yukarıdaki yöntem herhangi bir sayıda kenarı olan düzenli çokgenler oluşturmak için uygundur.
Bir dairenin herhangi bir sayıda eşit parçaya bölünmesi de Tablodaki veriler kullanılarak yapılabilir. Düzenli yazılı çokgenlerin kenarlarının boyutlarını belirlemeyi mümkün kılan katsayılar sağlayan Şekil 2.
Düzenli yazılı çokgenlerin kenar uzunlukları.
Bu tablonun ilk sütunu düzgün yazılı bir çokgenin kenar sayısını, ikinci sütunu ise katsayılarını gösterir. Belirli bir çokgenin kenar uzunluğu, belirli bir dairenin yarıçapının, bu çokgenin kenar sayısına karşılık gelen bir katsayı ile çarpılmasıyla elde edilir.
5.3. Altın Pentagon; Öklid'in inşası.
"Altın oranın" harika bir örneği, düzenli bir beşgendir - dışbükey ve yıldız şeklindedir (Şekil 5).
Bir pentagram oluşturmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir.
O çemberin merkezi, A çemberin üzerindeki nokta ve E OA doğru parçasının orta noktası olsun. O noktasında düzeltilen OA yarıçapına dik, daireyi D noktasında keser. Bir pusula kullanarak çap üzerine CE = ED parçasını çizin. Bir daire içine yazılan düzgün beşgenin kenar uzunluğu DC'ye eşittir. DC parçalarını dairenin üzerine çiziyoruz ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini köşegenlerle birbirine bağlayıp bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla birbirine bağlanan parçalara böler.
Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgeni temsil ediyor. Kenarları tepede 36° açı oluşturur ve yan tarafa yatırılan taban onu altın oran oranında böler.
Ayrıca altın bir küboid de vardır - bu, kenarları 1.618, 1 ve 0.618 uzunluklara sahip dikdörtgen bir paralel yüzlüdür.
Şimdi Öklid'in Elementler kitabında sunduğu kanıta bakalım.
| |
çevrelenmiş dairenin merkezinden. İle başlayalım
ABE segmenti, ortalamaya bölünmüş ve
AC=AE olsun. Eşit olan EBC ve CEB açılarını a ile gösterelim. AC=AE olduğundan ACE açısı da a'ya eşittir. Bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğu teoremi ALL açısını bulmamızı sağlar: 180-2a'ya eşittir ve EAC açısı 3a - 180'dir. Ancak bu durumda ABC açısı 180'e eşittir. -A. ABC üçgeninin açılarını topladığımızda,
180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)
5a=360 ise a=72 anlamına gelir.
Yani AĞIRLIK üçgeninin taban açılarının her biri tepe açısının iki katıdır, yani 36 derecedir. Bu nedenle, düzgün bir beşgen oluşturmak için, yalnızca merkezi E noktasında olan, EC'yi X noktasında ve EB kenarını Y noktasında kesen herhangi bir daire çizmeniz yeterlidir: XY parçası, şekilde yazılı olan düzgün bir beşgenin kenarlarından biri olarak hizmet eder. daire; Çemberin tamamını dolaşarak diğer tüm kenarları bulabilirsiniz.
Şimdi AC = AE olduğunu kanıtlayalım. C köşesinin düz bir çizgi parçasıyla BE parçasının orta N'sine bağlandığını varsayalım. CB = CE olduğundan CNE açısının dik olduğuna dikkat edin. Pisagor teoremine göre:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Dolayısıyla (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2 elde ederiz.
Yani AC = ja = jAB = AE, bunun kanıtlanması gerekiyordu
5.4. Arşimet spirali.
Altın dikdörtgenlerden sonsuza dek kareler keserek, her seferinde karşıt noktaları bir dairenin çeyreğiyle birleştirerek oldukça zarif bir eğri elde ederiz. Buna ilk dikkat çeken ise adını taşıyan antik Yunan bilim adamı Arşimed oldu. Bunu inceledi ve bu spiralin denklemini çıkardı.
Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.
6.Fibonacci sayıları.
Fibonacci (Fibonacci - kısaltılmış filius Bonacci, yani Bonacci'nin oğlu) takma adıyla daha iyi bilinen Pisa'lı İtalyan matematikçi Leonardo'nun adı dolaylı olarak altın oranla bağlantılıdır.
1202'de "Liber abacci" yani "Abaküs Kitabı" kitabını yazdı. "Liber abacci" dönemin hemen hemen tüm aritmetik ve cebir bilgilerini içeren hacimli bir eserdir ve sonraki birkaç yüzyıl boyunca Batı Avrupa'da matematiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamıştır. Özellikle Avrupalıların Hindu (“Arap”) rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.
Kitapta aktarılan materyaller, bu risalenin önemli bir bölümünü oluşturan çok sayıda problem üzerinden anlatılmaktadır.
Böyle bir sorunu ele alalım:
“Bir çiftten bir yılda kaç çift tavşan doğar?
Birisi, eğer tavşanların doğası bir ay içinde bir çift olacak şekildeyse, bu yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. tavşanlar başka bir tavşan doğurur ve tavşanlar doğduktan sonraki ikinci aydan itibaren doğurur."
| Aylar | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Tavşan çiftleri | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Şimdi tavşanlardan sayılara geçelim ve aşağıdaki sayı dizisini ele alalım:
sen 1, sen 2… sen
burada her terim önceki ikisinin toplamına eşittir, yani. herhangi bir n>2 için
sen n =u n -1 +u n -2 .
Asimptotik olarak (giderek daha yavaş yaklaşan) bu dizi, sabit bir ilişkiye eğilimlidir. Ancak bu oran irrasyoneldir, yani kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Bunu tam olarak ifade etmek mümkün değil.
Fibonacci dizisinin herhangi bir terimi önceki terime (örneğin 13:8) bölünürse sonuç, irrasyonel değer olan 1,61803398875 civarında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen ona ulaşamayan bir değer olacaktır.
Dizinin asimptotik davranışı ve irrasyonel F sayısı etrafındaki oranının sönümlü salınımları, dizinin ilk birkaç teriminin oranlarını gösterirsek daha anlaşılır hale gelebilir. Bu örnek, ikinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkilerini gösterir:
1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 küçüktür
2:1 = 2,0000, bu da phi'den 0,3820 fazladır
3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 küçüktür
5:3 = 1,6667, bu da phi'den 0,0486 fazladır
8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 küçüktür
Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe, her yeni terim bir sonrakini, ulaşılamaz F'ye giderek daha büyük bir yaklaşımla bölecektir.
İnsan bilinçaltında İlahi orantıyı arar: Rahatlama ihtiyacını karşılamak için buna ihtiyaç vardır.
Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde sonuç 1,618'in tersi olur (1: 1,618 = 0,618). Ancak bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir.
Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0,382 sayısını elde ederiz.
Oranları bu şekilde seçerek Fibonacci oranlarının ana kümesini elde ederiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Bunların hepsinin doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rolü olduğunu da belirtelim.
Burada şunu belirtelim ki Fibonacci, eski çağlarda Altın Oran adıyla bilindiğinden insanlığa sadece kendi dizisini hatırlatmıştır.
Altın oran, gördüğümüz gibi, düzenli bir beşgenle bağlantılı olarak ortaya çıkar, bu nedenle Fibonacci sayıları, dışbükey ve yıldız şeklindeki düzenli beşgenlerle ilgili olan her şeyde rol oynar.
Fibonacci serisi yalnızca matematiksel bir olay olarak kalabilirdi; eğer bitki ve hayvanlar dünyasındaki altın bölümü araştıran tüm araştırmacıların, sanattan bahsetmeye bile gerek yok, bu seriye her zaman altın kanunun aritmetik bir ifadesi olarak yaklaşmaları olmasaydı. bölüm. Bilim adamları Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu. Matiyasevich, Fibonacci sayılarını kullanarak Hilbert'in 10. problemini (Diophantine denklemlerinin çözümüyle ilgili) çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın oranı kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için zarif yöntemler ortaya çıkıyor. ABD'de, 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile oluşturuluyor.
Bu alandaki başarılardan biri genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir. Fibonacci serisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ve onun keşfettiği “ikili” sayı serisi 1, 2, 4, 8, 16... (yani n'ye kadar olan bir sayı dizisi) n'den küçük herhangi bir doğal sayının bu serideki bazı sayıların toplamı olarak temsil edilebildiği durumlar) ilk bakışta tamamen farklıdır. Ancak bunların yapımına yönelik algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisi 2 = 1 + 1 olan toplamıdır; 4 = 2 + 2..., ikincisinde - bu önceki iki sayının toplamıdır 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Bir genel bulmak mümkün mü “İkili seriler ve Fibonacci serileri”ni elde ettiğimiz matematiksel formül?
Aslında herhangi bir değeri alabilen sayısal bir parametre S tanımlayalım: 0, 1, 2, 3, 4, 5... İlk terimleri bir olan ve her biri S + 1 olan bir sayı serisi düşünün. sonrakiler öncekinin iki teriminin toplamına eşittir ve öncekinden S adımıyla ayrılır. Bu serinin n'inci terimini S (n) ile gösterirsek, S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1) genel formülünü elde ederiz.
Bu formülden S = 0'da “ikili” bir seri, S = 1'de bir Fibonacci serisi, S = 2, 3, 4'te ise S-Fibonacci sayıları olarak adlandırılan yeni bir sayı serisi elde edeceğimiz açıktır. .
Genel olarak altın S oranı, altın S bölümü denklemi x S+1 – x S – 1 = 0'ın pozitif köküdür.
S = 0 olduğunda parçanın ikiye bölündüğünü ve S = 1 olduğunda bilinen klasik altın oranın elde edildiğini göstermek kolaydır.
Komşu Fibonacci S-sayılarının oranları, altın S-oranlarıyla limitte mutlak matematiksel doğrulukla örtüşüyor! Yani, altın S-bölümleri Fibonacci S-sayılarının sayısal değişmezleridir.
7. Sanatta altın oran.
7.1. Resimde altın oran.
Resimdeki “altın oran” örneklerine geçersek, Leonardo da Vinci'nin çalışmalarına odaklanmaktan kendimizi alamıyoruz. Onun kişiliği tarihin gizemlerinden biridir. Leonardo da Vinci'nin kendisi şöyle dedi: "Matematikçi olmayan hiç kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin."
Hiç şüphe yok ki Leonardo da Vinci harika bir sanatçıydı, bu zaten çağdaşları tarafından tanınıyordu, ancak kişiliği ve faaliyetleri gizemle örtülecek çünkü o, fikirlerinin tutarlı bir sunumunu değil, yalnızca çok sayıda el yazısıyla yazılmış torunlarına bıraktı. "Dünyadaki herkes hakkında" diyen eskizler, notlar.
Monna Lisa'nın (La Gioconda) portresi, uzun yıllardır araştırmacıların dikkatini çekmiş ve resmin kompozisyonunun, yıldız şeklindeki düzenli bir beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayandığını keşfetmiştir.
Ayrıca Shishkin'in tablosunda altın oranın oranı da karşımıza çıkıyor. I. I. Shishkin'in bu ünlü tablosunda altın oranın motifleri açıkça görülmektedir. Parlak güneş ışığıyla aydınlanan bir çam ağacı (ön planda duran), resmin uzunluğunu altın orana göre bölüyor. Çam ağacının sağında güneşli bir tepecik var. Altın orana göre resmin sağ tarafını yatay olarak böler.
Raphael'in "Masumların Katliamı" adlı tablosunda altın oranın başka bir unsuru da görülüyor - altın sarmal. Raphael'in hazırlık taslağında, kompozisyonun anlamsal merkezinden (savaşçının parmaklarının çocuğun ayak bileği etrafında kapandığı nokta) itibaren çocuk, onu yakınında tutan kadın, kılıcını kaldırmış savaşçı figürleri boyunca kırmızı çizgiler çizilmiştir. ve ardından taslağın sağ tarafında aynı grubun figürleri boyunca. Raphael'in altın spirali mi inşa ettiği yoksa onu hissedip hissetmediği bilinmiyor.
T. Cook, Sandro Botticelli'nin “Venüs'ün Doğuşu” tablosunu incelerken altın oranı kullandı.
7.2. Altın oran piramitleri.
Piramitlerin tıbbi özellikleri, özellikle de altın oran yaygın olarak bilinmektedir. En yaygın görüşlerden bazılarına göre, böyle bir piramidin bulunduğu oda daha büyük görünüyor ve hava daha şeffaf. Rüyalar daha iyi hatırlanmaya başlar. Altın oranın mimaride ve heykelde de yaygın olarak kullanıldığı biliniyor. Bunun bir örneği: Yunanistan'daki Pantheon ve Parthenon, mimarlar Bazhenov ve Malevich'in binaları
8. Sonuç.
Altın oranın hayatımızda büyük bir uygulama alanına sahip olduğunu söylemek gerekir.
İnsan vücudunun kemer çizgisiyle altın orana orantılı olarak bölündüğü kanıtlanmıştır.
Nautilus kabuğu altın bir spiral gibi bükülmüştür.
Altın oran sayesinde Mars ile Jüpiter arasındaki asteroit kuşağı keşfedildi; orana göre orada başka bir gezegenin olması gerekirdi.
Telin altın bölüme göre bölündüğü noktada uyarılması telin titreşmesine neden olmaz, yani bu telafi noktasıdır.
Elektromanyetik enerji kaynaklarına sahip uçaklarda altın oran oranına sahip dikdörtgen hücreler oluşturulur.
Mona Lisa altın üçgenler üzerine inşa edilmiştir; altın sarmal Raphael'in "Masumların Katliamı" tablosunda mevcuttur.
Oran Sandro Botticelli'nin "Venüs'ün Doğuşu" tablosunda keşfedildi
Atina'daki Pantheon ve Parthenon, mimarlar Bazhenov ve Malevich'in binaları da dahil olmak üzere altın oran kullanılarak inşa edilmiş bilinen birçok mimari anıt vardır.
Beş asır önce yaşamış olan John Kepler şöyle demiştir: "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır. Birincisi Pisagor teoremi, ikincisi ise bir doğru parçasının ekstrem ve ortalama oranına bölünmesidir."
Kaynakça
1. D. Pidou. Geometri ve sanat. – M.: Mir, 1979.
2. Dergi "Bilim ve Teknoloji"
3. "Kvant" Dergisi, 1973, Sayı 8.
4. “Okulda Matematik” Dergisi, 1994, Sayı: 2; Numara 3.
5. Kovalev F.V. Resimde altın oran. K.: Vyshcha Okulu, 1989.
6. Stakhov A. Altın oran kodları.
7. Vorobiev N.N. "Fibonacci sayıları" - M.: Nauka 1964
8. "Matematik - Çocuklar İçin Ansiklopedi" M.: Avanta +, 1998
9. İnternetten alınan bilgiler.
Fibonacci matrisleri ve “altın” matrisler olarak adlandırılan matrisler, yeni bilgisayar aritmetiği, yeni kodlama teorisi ve yeni kriptografi teorisi. Yeni bilimin özü, Pisagor'dan başlayarak tüm matematiğin altın bölüm açısından revize edilmesidir; bu, doğal olarak teoride yeni ve kesinlikle çok ilginç matematiksel sonuçlara yol açacaktır. Pratik açıdan “altın” bilgisayarlaşma. Dan beri...
Bu sonucu etkilemeyecektir. Altın oranın temeli, 4 ve 6 yinelemeli ilişkilerinin değişmezidir. Bu, canlı maddenin örgütlenme ilkelerinden biri olan altın bölümün “kararlılığını” gösterir. Ayrıca altın oranın tabanı iki egzotik özyinelemeli dizinin çözümüdür (Şekil 4.). 4 Özyinelemeli Fibonacci Dizileri...
Kulak j5'tir ve kulaktan tepeye olan mesafe j6'dır. Böylece bu heykelde paydası j olan geometrik bir ilerleme görüyoruz: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Şekil 9). Dolayısıyla altın oran, Antik Yunan sanatının temel ilkelerinden biridir. Kalp ve beyin ritimleri. İnsan kalbi eşit şekilde atıyor; dinlenme sırasında dakikada yaklaşık 60 atış. Kalbim piston gibi sıkışıyor...
Talimatlar
MH çapına dik başka bir çap oluşturun. Bunu yapmak için, aynı yarıçapa sahip M ve H noktalarından yaylar çizmek için bir pusula kullanın. Her iki yayın birbiriyle ve verilen daireyle bir noktada kesişeceği bir yarıçap seçin. Bu ikinci çapın ilk A noktası olacaktır. Üzerine düz bir çizgi çizin ve O noktasını işaretleyin. Ortaya çıkan AB çapı MN düz çizgisine diktir.
BO yarıçapının orta noktasını bulun. Bunu yapmak için, dairenin yarıçapına sahip bir pusula kullanarak B noktasından daireyi C ve P olmak üzere iki noktada kesecek şekilde bir yay çizin. Bu noktalardan düz bir çizgi çizin. Bu düz çizgi VO'nun yarıçapını tam olarak ikiye bölecektir. K noktasını CP ve VO'nun kesişim noktasına yerleştirin.
M ve K noktalarını bir doğru parçasıyla birleştirin. Pusula üzerinde MK segmentine eşit bir mesafe ayarlayın. M noktasından AO yarıçapıyla kesişecek bir yay çizin. E noktasını bu kesişme noktasına yerleştirin. Ortaya çıkan ME mesafesi, yazılı beşgenin bir kenarının uzunluğuna karşılık gelir.
Beşgenin geri kalan köşelerini oluşturun. Bunu yapmak için pusulanın bacaklarının mesafesini ME segmentine eşit olarak ayarlayın. M beşgeninin ilk köşesinden daireyle kesişene kadar bir yay çizin. Kesişme noktası F'nin ikinci köşe noktası olacaktır. Ortaya çıkan noktadan da daireyle kesişen aynı yarıçapta bir yay çizin. G beşgeninin üçüncü köşesini bulun. Geriye kalan S ve L noktalarını da aynı şekilde oluşturun.
Ortaya çıkan köşeleri düz parçalarla bağlayın. Bir daire içine yazılan düzenli bir beşgen MFGSL inşa edilmiştir.
Kaynaklar:
- Düzenli çokgenler
Altıgen, altı açısı olan bir çokgendir. Rastgele bir altıgen çizmek için yalnızca 2 adım yapmanız gerekir.
İhtiyacın olacak
- Kalem, cetvel, kağıt.
Talimatlar
Bir cetvel alın ve bu noktalara göre önceden çizilen noktalar boyunca birbirine bağlanacak 6 parça çizin (Şekil 2).
Konuyla ilgili video
Not
Özel bir altıgen türü normal altıgendir. Bütün kenarları ve açıları birbirine eşit olduğundan bu ismi almıştır. Böyle bir altıgenin etrafına bir daire tanımlanabilir veya yazılabilir. Yazılı daireye ve altıgenin kenarlarına dokunularak elde edilen noktalarda düzgün altıgenin kenarlarının ikiye bölündüğünü belirtmekte fayda var.
Yararlı tavsiye
Doğada normal altıgenler çok popülerdir. Örneğin her petek düzenli bir altıgen şekle sahiptir.
Veya grafenin kristal kafesi (karbon modifikasyonu) da düzenli bir altıgen şekline sahiptir.
Geometrik şekillerin görüntüleri çok sayıda oyun, kolaj ve illüstrasyon oluşturmak için kullanılır. Photoshop araçlarını kullanarak altıgen dahil herhangi bir üç boyutlu şekli çizebilirsiniz.
İhtiyacın olacak
- Adobe Photoshop
Talimatlar
Yeni bir belge açın. Araçlarda Çokgen Aracını seçin. Özellikler panelinde kenarları = 6'yı ve rengi istediğiniz gibi ayarlayın. Shift tuşunu basılı tutun ve çizin. İmleci şeklin üzerine getirin, sağ tıklayın ve Katmanı Rasterleştir komutunu seçin.
Üç altıgen elde etmek için bu katmanı iki kez (Ctrl+J) çoğaltın. Yeni bir katman üzerinde durun. Bir seçime ulaşmak için Ctrl tuşunu basılı tutarken yeni simgeye tıklayın. Araç çubuğunda ön plan rengini daha koyu bir gölgeye ayarlayın. Boya Kovası Aracını kullanarak altıgeni doldurun. Tekrar yeni bir katmana gidin ve şekli uygun bir katmanla doldurun. Bu şekilde altıgenleriniz aynı rengin farklı tonlarında renklendirilecektir.
Taşıma Aracını kullanarak altıgenleri resimde gösterildiği gibi konumlandırın. Bunu yaparken ışık kaynağının resminizde nereye yerleştirileceğini düşünün. Işığın düştüğü yerde daha hafif bir kenar olmalıdır. En karanlık kenar gölgede olacaktır.
Yan yüzleri temsil eden altıgenli katmanlar için Opaklık=%50'yi ayarlayın. Araç çubuğundan Silgi Aracı'nı seçin. Sertliği=%100 olarak ayarlayın ve fazla görüntüyü dikkatli ve dikkatli bir şekilde silmeye başlayın. Kenarın yakınındaki gereksiz rengi gidermek için aşağıdakileri yapın: fazlalığı yakalamayacak şekilde elastik bandın çapını azaltın. Bir kenarın bir ucunun üzerine gelin altıgen a ve farenin sol tuşuyla tıklayın. Daha sonra imleci diğer uca taşıyın, Shift tuşuna basın ve tekrar sol tıklayın. Pürüzsüz, boş bir şerit elde edeceksiniz. Şeklin etrafındaki gereksiz arka planı kaldırmak için bu işlemi gerektiği kadar tekrarlayın.
Yan yüzleri olan katmanlar için Opaklık=%100 değerini döndürün.
Konuyla ilgili video
Yararlı tavsiye
Kenarlar için renk tonlarını seçerken görüntünüzdeki ışık kaynağının konumunu göz önünde bulundurun
Düzenli çokgen, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu dışbükey bir çokgendir. Düzenli bir çokgenin etrafına bir daire çizilebilir. Yapımına yardımcı olan bu dairedir. Yapımı basit aletlerle yapılabilen normal çokgenlerden biri de düzgün beşgendir.
İhtiyacın olacak
- cetvel, pusula
Talimatlar
Daha sonra O noktasından OA çizgisine dik bir çizgi çizin. Bir kare veya (aynı yarıçaptaki iki daire yöntemiyle) kullanarak dik bir düz çizgi oluşturabilirsiniz. Çemberle kesişimi B noktası olarak belirlenebilir.
OB segmentinde orta noktası olacak C noktasını oluşturun. Daha sonra merkezi C noktasında olan, A noktasından geçen, yani CA yarıçaplı bir daire çizmeniz gerekir. Bu dairenin, O merkezli dairenin (veya orijinal dairenin) içindeki OB düz çizgisiyle kesişme noktasını D olarak belirleyin.
Daha sonra merkezi A'dan D noktasına kadar bir daire çizin. Bunun orijinal daireyle kesişim noktasını E ve F noktaları olarak belirleyin. Bunlar dönen beşgenin iki köşesi olacaktır.
Merkezi E olan ve A noktasından geçen bir daire çizin. Bunun orijinal daireyle kesişimini G noktası olarak etiketleyin. Bu, beşgenin köşelerinden biri olacaktır.
Benzer şekilde, merkezi F olan ve A noktasından geçen bir daire çizin. Bunun orijinal daireyle diğer kesişimini H noktası olarak etiketleyin. Bu nokta aynı zamanda dikdörtgenin tepe noktası olacaktır.
Daha sonra A, E, G, H ve F noktalarını birleştirin. Sonuç, bir daire içine yazılmış normal bir beşgen olacaktır.
Konuyla ilgili video
Altıgen, çokgenin özel bir durumudur; kapalı bir çoklu çizgiyle sınırlanan bir düzlem üzerindeki bir dizi noktadan oluşan bir şekildir. Sıradan bir altıgen (altıgen) de özel bir durumdur - altı eşit kenarı ve eşit açıları olan bir çokgendir. Bu rakam, her bir kenarının uzunluğunun, şeklin etrafında tanımlanan dairenin yarıçapına eşit olması açısından dikkat çekicidir.
İhtiyacın olacak
- - pusula;
- - cetvel;
- - kalem;
- - kağıt.
Talimatlar
Kenar uzunluğunu seçin. Bir pusula alın ve bacaklarından birinde bulunan iğnenin ucu ile diğer bacakta bulunan kalemin ucu ile çizilen şeklin yan tarafının uzunluğuna eşit mesafeyi ayarlayın. Bunu yapmak için bir cetvel kullanabilir veya an önemli değilse rastgele bir mesafe seçebilirsiniz. Mümkünse pusulanın bacaklarını bir vidayla sabitleyin.
Pusula kullanarak bir daire çizin. Bacaklar arasında seçilen mesafe dairenin yarıçapı olacaktır.
Pusulanın ayağını iğneyle birlikte, belirtilen dairenin çizgisi üzerinde bulunan rastgele bir noktaya yerleştirin. İğnenin çizgiyi tam olarak delmesi gerekir. Yapının doğruluğu doğrudan pusula kurulumunun doğruluğuna bağlıdır. İlk olarak çizilen daireyi iki noktada kesecek şekilde pergelle bir yay çizin.
Pusulanın bacağını iğne ile çizilen yayın orijinal daire ile kesişme noktalarından birine hareket ettirin. Daireyi iki noktada kesen başka bir yay çizin (bunlardan biri pusula iğnesinin önceki konumuyla çakışacaktır).
Aynı şekilde pusula iğnesini yeniden düzenleyin ve dört kez daha yay çizin. Pusulanın iğneli ayağını daire boyunca bir yönde hareket ettirin (her zaman saat yönünde veya saat yönünün tersine). Sonuç olarak, yayların başlangıçta oluşturulan daire ile kesiştiği altı nokta belirlenmelidir.
Düzenli bir altıgen çizin. Önceki adımda elde edilen altı noktayı çiftler halinde bölümlerle tutarlı bir şekilde bağlayın. Bir kalem ve cetvel kullanarak parçaları çizin. Sonuç düzenli bir altıgen olacaktır. İnşaattan sonra yardımcı elemanları (yaylar ve daireler) silebilirsiniz.
Not
Pusulanın bacakları arasında, aralarındaki açı 15-30 derece olacak şekilde bir mesafe seçmek mantıklıdır, aksi takdirde inşaat sırasında bu mesafe kolayca kaybolabilir.
Bir zamanlar, düzenli bir altıgen çizme süreci eski Yunan Öklid tarafından anlatılmıştı. Ancak bugün bu geometrik şekli oluşturmanın başka yolları da var. Temel prensip, şekil çizerken iyi bilinen bazı kurallara uymaktır.
Elinizde pusula yoksa beş ışınlı basit bir yıldız çizebilir ve ardından bu ışınları kolayca birleştirebilirsiniz. Aşağıdaki resimde görebileceğiniz gibi tamamen düzgün bir beşgen elde ediliyor.
Matematik karmaşık bir bilimdir ve pek çok sırrı vardır, bunlardan bazıları oldukça komiktir. Eğer bu tür konulara ilginiz varsa Fun Math kitabını bulmanızı tavsiye ederim.
Bir daire yalnızca pusula kullanılarak çizilemez. Örneğin bir kalem ve iplik kullanabilirsiniz. İplik üzerinde gerekli çapı ölçüyoruz. Bir ucunu daire çizeceğimiz bir kağıda sıkıca tutturuyoruz. Ve ipliğin diğer ucuna bir kalem takıp takın. Artık pusula gibi çalışıyor: ipliği çekiyoruz ve bir kalemle hafifçe bastırarak çevrenin etrafındaki daireyi işaretliyoruz.
Çemberin içine köylüleri merkezden çiziyoruz: dikey bir çizgi ve yatay bir çizgi. Dikey çizgi ile dairenin kesişme noktası beşgenin tepe noktası olacaktır (nokta 1). Şimdi yatay çizginin sağ yarısını ikiye bölüyoruz (nokta 2). Bu noktadan beşgenin tepe noktasına olan mesafeyi ölçüyoruz ve bu parçayı 2. noktanın (3. nokta) soluna yerleştiriyoruz. Bir iplik ve kalem kullanarak, 1. noktadan yarıçaplı 3. noktaya kadar, sol ve sağdaki ilk daireyi kesen bir yay çiziyoruz - kesişme noktaları beşgenin köşeleri olacaktır. Bunlara 4 ve 5 numaralı noktalar diyelim.
Şimdi 4. noktadan itibaren, 1'den 4'e kadar olan uzunluğa eşit bir yarıçapa sahip, alttaki daireyi kesen bir yay yapıyoruz - bu 6. nokta olacak. Aynı şekilde 5. noktadan itibaren - onu 7. nokta olarak belirleyeceğiz.
Geriye kalan tek şey beşgenimizi 1, 5, 7, 6, 4 köşelerine bağlamak.
Pusula kullanarak basit bir beşgen yapmayı biliyorum: Bir daire çizin, beş noktayı işaretleyin ve bunları birleştirin. Kenarları eşit olan bir beşgen yapabiliriz; bunun için de bir iletkiye ihtiyacımız var. Aynı 5 noktayı iletkiye koyduk. Bunu yapmak için açıları 72 derece olarak işaretleyin. Daha sonra segmentlerle de bağlantı kurup ihtiyacımız olan rakamı elde ediyoruz.
Yeşil daire isteğe bağlı bir yarıçapla çizilebilir. Bu dairenin içine düzgün bir beşgen yazacağız. Pusula olmadan tam bir daire çizmek imkansızdır, ancak bu gerekli değildir. Daire ve diğer tüm yapılar elle yapılabilir. Daha sonra, O dairesinin ortasından karşılıklı iki dik düz çizgi çizmeniz ve çizginin daire ile kesişme noktalarından birini A olarak belirlemeniz gerekir. A noktası, beşgenin tepe noktası olacaktır. OB yarıçapını ikiye bölüyoruz ve C noktasını yerleştiriyoruz. C noktasından AC yarıçaplı ikinci bir daire çiziyoruz. A noktasından AD yarıçaplı üçüncü bir daire çiziyoruz. Üçüncü dairenin birinciyle kesişme noktaları (E ve F) aynı zamanda beşgenin köşeleri olacaktır. AE yarıçaplı E ve F noktalarından ilk daireye çentikler açıyoruz ve G ve H beşgeninin geri kalan köşelerini elde ediyoruz.
Siyah sanatın taraftarları: Basit, güzel ve hızlı bir şekilde bir beşgen çizmek için, pentagramın (beş köşeli yıldız) doğru, uyumlu temelini çizmeli ve bu yıldızın ışınlarının uçlarını düz, eşit çizgilerle birleştirmelisiniz. Her şey doğru yapıldıysa tabanın etrafındaki bağlantı hattı istenen beşgen olacaktır.
(resimde tamamlanmış ancak doldurulmamış bir pentagram var)
Pentagramın doğruluğundan emin olmayanlar için: Da Vinci'nin Vitruvius Adamı'nı temel alın (aşağıya bakın)
Bir beşgene ihtiyacınız varsa, rastgele 5 noktayı sokun ve dış hatları bir beşgen olacaktır.
Düzenli bir beşgene ihtiyacınız varsa, o zaman matematiksel bir pusula olmadan bu yapı tamamlanamaz, çünkü onsuz iki özdeş ancak paralel olmayan bölüm çizmek imkansızdır. İki özdeş ancak paralel olmayan parça çizmenize olanak tanıyan herhangi bir araç, matematik pusulasına eşdeğerdir.
Önce bir daire çizmeniz, sonra kılavuzlar çizmeniz, ardından ikinci noktalı daireyi çizmeniz, üst noktayı bulmanız, ardından iki üst köşeyi ölçmeniz, alt köşeleri onlardan çizmeniz gerekir. Pusulanın yarıçapının tüm yapı boyunca aynı olduğunu unutmayın.
Her şey ne tür bir beşgene ihtiyacınız olduğuna bağlı. Varsa beş nokta koyun ve bunları birbirine bağlayın (tabii ki noktaları düz bir çizgiye koymuyoruz). Ve doğru şekle sahip bir beşgene ihtiyacınız varsa, uzunluk boyunca herhangi bir beşgen alın (kağıt şeritleri, kibrit, kalem vb.), beşgeni yerleştirin ve ana hatlarını çizin.
Örneğin bir yıldızdan bir beşgen çizilebilir. Bir yıldızın nasıl çizileceğini biliyorsanız ancak bir beşgenin nasıl çizileceğini bilmiyorsanız, kalemle bir yıldız çizin, ardından yıldızın bitişik uçlarını birleştirin ve ardından yıldızın kendisini silin.
İkinci yol. Beşgenin istenen kenarına eşit uzunlukta ve 0,5 - 1 cm gibi dar bir genişliğe sahip bir kağıt şeridi kesin. Şablona göre, bu şerit boyunca aynı boyutta dört şerit daha kesin. toplam 5 tanesidir.
Daha sonra bir sayfa kağıt yerleştirin (bunu dört düğme veya iğne ile masaya sabitlemek daha iyidir). Daha sonra bu 5 şeridi bir beşgen oluşturacak şekilde kağıdın üzerine yerleştirin. Bu 5 şeridi, hareketsiz kalacak şekilde toplu iğne veya iğnelerle bir kağıt parçasına sabitleyin. Daha sonra ortaya çıkan beşgeni daire içine alın ve bu şeritleri sayfadan çıkarın.
Pusulanız yoksa ve bir beşgen inşa etmeniz gerekiyorsa, aşağıdakileri tavsiye edebilirim. Ben kendim bu şekilde inşa ettim. Normal bir beş köşeli yıldız çizebilirsiniz. Bundan sonra, bir beşgen elde etmek için yıldızın tüm köşelerini birleştirmeniz yeterlidir. Bu şekilde bir beşgen elde edersiniz. Elde ettiğimiz şey bu
Yıldızın köşelerini düz siyah çizgilerle birleştirdik ve bir beşgen elde ettik.